2026年高考数学模拟卷（六）（全国Ⅱ卷）

**基本信息** 2026年高考数学模拟卷全面覆盖集合、函数、数列等核心知识，通过农业统计回归分析、精密仪器质检等真实情境，考查数学眼光观察、思维推理与语言表达能力，适配多省份高考模拟需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|集合运算、双曲线离心率、立体几何外接球等|多选题（如复数方程）考查批判性思维，频率分布直方图（第5题）体现数据观念| |填空题|3题/15分|数列通项、二面角、函数零点|正三棱锥二面角（第13题）考查空间观念，函数零点（第14题）强化运算能力| |解答题|5题/77分|解三角形、统计回归、抛物线切线综合|农业施肥量回归分析（第18题）用数学语言解决实际问题，抛物线切线与面积（第19题）体现创新应用，契合高考命题趋势|

2026年高考数学模拟卷（六） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．适用省份：山西 辽宁 吉林 黑龙江 广西 海南 重庆 贵州 云南 甘肃 新疆 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·吉林长春·二模）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以 2．（2026·山东滨州·一模）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若，则，又，所以或，则， 所以当时，“”推不出“”； 若，，则，可得，则， 所以当时，“”可以推出. 综上，“”是“”的必要不充分条件. 3．（2026·辽宁沈阳·三模）等比数列的公比为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，利用等比数列的通项公式，化简得到，即可求解. 【详解】因为等比数列的公比为，可得，所以， 则. 4．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知向量 ，若 ，则 （    ） A． B． C．5 D．20 【答案】A 【详解】由题意可得，解得， 所以，. 5．（2026·吉林长春·二模）某精密仪器厂生产一种标准长度为的金属垫片．现随机抽取200个垫片测量其实际长度（单位：），按长度分组并绘制出如图所示的频率分布直方图．若规定长度在区间内的垫片为合格品，用样本频率估计总体的概率，则任取一个垫片为合格品的概率为（   ）    A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6 【答案】C 【分析】在频率分布表中，小矩形的面积等于这一组的频率，所以面积和为1，建立等量关系求出，进而求出长度在内的频率． 【详解】由题意知，，整理得，解得. 所以任取一个垫片为合格品的概率为：. 6．（2026·云南昭通·二模）已知双曲线的渐近线与以为圆心，面积为的圆相切，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，根据双曲线的渐近线公式与直线与圆的位置关系，可列方程，可得答案. 【详解】双曲线的渐近线方程为， 因为圆的圆心为，面积为，设圆的半径为， 则，故， 由渐近线与圆相切，则圆心到直线的距离，即， 所以双曲线的离心率为 7．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）过坐标原点可作曲线的切线条数为（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条 【答案】C 【分析】先求出切线方程，再将代入切线方程，通过解方程求出满足条件的切点，最后将满足的切点值代入求出切线的斜率（注意在代入过程中因导数中包括正弦函数项，所以需要对切点值分类讨论），即可求出切线，确定切线条数. 【详解】由题意， 设切点为， 所以切线方程为， 再将代入切线方程， 所以 ， 当时，满足条件， 当时，， 解得， 最后将切点代入，求出切线斜率 当时，，所以切线为， 当，因为导数中包括正弦函数项，所以需要分类讨论， 当，，此时切线为， 当，，此时切线为， 所以切线条数为条. 8．（2026·广西南宁·二模）在三棱锥中，为正三角形，，，二面角的平面角为，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意证明三棱锥外接球的球心即是正三角形的中心，计算得解. 【详解】如图，取的中点，连接， 因为为正三角形，所以，又二面角的平面角为， 所以平面，则， 设为正三角形的中心，则， 因为，所以，又， 所以， 所以，则，即为三棱锥外接球的球心， 因为，所以， 所以三棱锥外接球的半径， 所以三棱锥外接球的表面积为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知为实数，若在复数范围内，方程存在两个虚数根分别为 ，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D．的取值范围为 【答案】ACD 【详解】方程存在两个虚数根分别为 ， 是共轭虚数，，故选项A正确； 虚数不能比较大小，故选项B错误； 方程存在两个虚数根分别为 ， ，，，故选项C正确； 方程存在两个虚数根分别为 ， ，，， ，故选项D正确. 10．（2026·广西崇左·一模）若函数的最大值为3，则（   ） A．的最小值为1 B．的最小正周期为 C．的图象关于点对称 D．的图象关于直线对称 【答案】AC 【详解】因为的最大值为3，所以，得， 则的最小值为，的最小正周期为，A正确，B错误. 因为，所以的图象关于点对称，C正确. 因为，所以的图象不关于直线对称，D错误. 11．（2026·重庆·二模）在平面直角坐标系中，经过点的直线交坐标轴于点（可重合），若点满足，记的轨迹为曲线C，则（ ） A．曲线C的方程是 B．直线是曲线C的切线 C．曲线C关于直线对称 D．曲线C关于点对称 【答案】ACD 【分析】根据条件，利用直接法推理计算即得曲线C的方程判断A，将直线方程与曲线方程联立，利用判别式推得当且仅当时直线与曲线相切排除B；利用轴对称与中心对称的判断方法判断CD即可. 【详解】对于A，如图，当不重合时， 设，则过的直线满足， 因点在直线上，则， 设点坐标为，由可知点为的中点， 则， 故点的坐标满足，即，当重合时，也满足该方程，故A正确； 对于B，由联立消去得， 由， 当时，曲线的轨迹为一个点，不具有切线，所以且， 上式两边同除有，即， 因为，所以， 所以仅当直线的方程为时，直线才与相切，故B错误； 对于C，设点满足方程， 因为点关于直线对称的点也满足方程， 所以曲线关于直线对称，C正确； 对于D，设点满足方程，则， 把代入中， 可得， 故也满足方程，即曲线关于点对称，故D正确． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（23-24高三·全国·一轮复习）已知在数列中，，则数列的通项公式________． 【答案】 【分析】根据条件，两边取倒得到，从而得到是以1为首项，为公差的等差数列，即可求出结果. 【详解】因为，又，所以，得到，即， 由，得到，所以是以1为首项，为公差的等差数列， 所以，得到， 故答案为：. 13．（2026·广西崇左·一模）若正三棱锥的高为3，，二面角为，则______. 【答案】/ 【分析】通过二面角的几何求法与长度关系先确定二面角的平面角为，再结合垂直关系求解即可. 【详解】如图，取棱的中点D，连接，， 过点P作底面的垂线，垂足为E，则E在线段上，且， 因为，，所以，， 所以二面角的平面角为. 因，所以，所以， 即，故. 14．（2026·新疆·一模）若函数有唯一零点，则___________． 【答案】1 【分析】分析可知函数为偶函数，结合题意可得，解得，并代入结合导数求的单调性和最值，检验的充分性即可. 【详解】因为函数的定义域为，且， 可知函数为偶函数， 若函数有唯一零点，则，解得， 若，则，， 令，则， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 且，则， 可知在定义域内单调递减，且， 当时，则，即；当时，则，即； 可知在内单调递增，在内单调递减，则， 所以函数有唯一零点，即符合题意， 综上所述：. 故答案为：1. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2026·新疆·一模）在中，角的对边分别为，已知为的中点． (1)求角； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理以及两角和的正弦公式化简即可； （2）利用以及余弦定理可求，再利用面积公式即可. 【详解】（1）， 由正弦定理可得. 又， 化简得. ，, ,； （2）为的中点，， 可化为， 又在中，， ， 得， 的面积. 16．（25-26高二上·湖南张家界·期末）记为数列的前项和，已知，数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)证明：数列为等比数列； (3)求数列的前项和. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据之间的关系进行求解即可； （2）根据等比数列的定义进行运算证明即可； （3）运用错位相减法进行求解即可. 【详解】（1）当时，， 也满足上式， 所以； （2）因为， 所以数列为等比数列； （3）由（2）可知数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，则， 设数列的前项和为， 所以， ， 两式相减得 . 17．（2026·重庆·二模）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，． (1)若是棱的中点，证明：面； (2)若，，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）设与的交点为，根据中位线求证，再利用线面平行的判定定理求证； （2）过作，先证明平面，再求证平面，即可以为原点建系，计算两个平面的法向量，根据向量夹角和平面夹角的关系求出. 【详解】（1）设与的交点为，连接， 因为是菱形，所以是线段的中点， 又是棱的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面；． （2）过作，连接， 因为，所以， 又，且平面，所以平面， 又平面，所以， 因为平面，所以平面， 作，则有平面，以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系， 因为，， 所以， 因为，所以，则， 则， 则，， 设平面的法向量为，则， 取，可得平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，则， 取，可得平面的一个法向量， 设平面与平面夹角为，所以， 综上，平面与平面夹角的余弦值为． 18．（2026·辽宁沈阳·三模）某农业技术站研究化肥施用量对大棚青菜产量的影响.在一定范围内，施肥量（单位kg/亩）越大，青菜产量（单位kg/亩）越高.实验测得具体数据如下表： 施肥量 2 3 4 5 6 青菜产量 4200 4300 4350 4380 4400 根据散点数据特征，研究人员分析得出产量与施肥量近似满足的关系，取，经计算可知，，，， (1)请根据上述数据，计算得出产量y关于施肥量x的回归方程，并结合常识描述的实际意义，为简化计算，计算过程中、均精确到个位数. (2)若青菜的收购价格为2元/kg，化肥的采购价格为12元/kg，请从利润最大的角度给出大棚的最优施肥量. 参考公式：，. 【答案】(1)，实际意义是当化肥使用量无限增加时，青菜产量的理论上限为/亩 (2)当施肥量为10kg/亩时利润最大 【分析】（1）根据题意，利用回归系数的公式，求得，进而得出回归直线方程，结合的值，得出的实际意义； （2）由利润为，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）根据题意，可得， 又由， 所以产量y关于施肥量x的回归方程为， 其中的实际意义是当化肥使用量无限增加时，青菜产量的理论上限为/亩. （2）设利润为元/亩， 当且仅当kg/亩时取等，即当施肥量为10kg/亩时利润最大. 19．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知抛物线焦点为，，，为抛物线上的三个动点，且. (1)求拋物线的方程； (2)过分别作抛物线的三条切线，分别为，，，，交于点，，交于点E，，交于点. （i）证明：的垂心在一条定直线上； （ii）已知G点在曲线（）上，求的面积的最大值. 【答案】(1) (2)（i）证明见详解 （ii） 【分析】（1）利用抛物线标准方程的焦点坐标公式，建立方程求解参数，从而确定抛物线方程； （2）（i）通过求导得到切线方程，联立求出交点坐标，并利用垂心定义与斜率关系推导出垂心的纵坐标为定值，证明其在定直线上；（ii）由切线交点坐标与椭圆条件建立面积表达式，结合二次函数最值求得三角形面积的最大值. 【详解】（1）抛物线的焦点坐标为，已知焦点，故， 因此抛物线方程为：. （2）（i）由方程，故在点处切线方程为： 方程为， 方程为方程为， 联立故解得， 同理可得 则过点与垂直的直线为：，① 过点点与垂直的直线：，② ①－②可得： 故的垂心在一定直线上 （ii）设，由（i）可知：的直线方程为， 将代入可得：， 同理可得， 故的直线方程为， 联立直线与抛物线得， 由弦长公式， 为了使的面积最大，必须保证处的切线与直线平行， 所以， 从而故的面积为： ， 当时，取得最大值. 2 / 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学模拟卷（六） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．适用省份：山西 辽宁 吉林 黑龙江 广西 海南 重庆 贵州 云南 甘肃 新疆 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·吉林长春·二模）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 2．（2026·山东滨州·一模）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2026·辽宁沈阳·三模）等比数列的公比为，则（   ） A． B． C． D． 4．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知向量 ，若 ，则 （    ） A． B． C．5 D．20 5．（2026·吉林长春·二模）某精密仪器厂生产一种标准长度为的金属垫片．现随机抽取200个垫片测量其实际长度（单位：），按长度分组并绘制出如图所示的频率分布直方图．若规定长度在区间内的垫片为合格品，用样本频率估计总体的概率，则任取一个垫片为合格品的概率为（   ）    A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6 6．（2026·云南昭通·二模）已知双曲线的渐近线与以为圆心，面积为的圆相切，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 7．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）过坐标原点可作曲线的切线条数为（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条 8．（2026·广西南宁·二模）在三棱锥中，为正三角形，，，二面角的平面角为，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知为实数，若在复数范围内，方程存在两个虚数根分别为 ，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D．的取值范围为 10．（2026·广西崇左·一模）若函数的最大值为3，则（   ） A．的最小值为1 B．的最小正周期为 C．的图象关于点对称 D．的图象关于直线对称 11．（2026·重庆·二模）在平面直角坐标系中，经过点的直线交坐标轴于点（可重合），若点满足，记的轨迹为曲线C，则（ ） A．曲线C的方程是 B．直线是曲线C的切线 C．曲线C关于直线对称 D．曲线C关于点对称 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（23-24高三·全国·一轮复习）已知在数列中，，则数列的通项公式________． 13．（2026·广西崇左·一模）若正三棱锥的高为3，，二面角为，则______. 14．（2026·新疆·一模）若函数有唯一零点，则___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2026·新疆·一模）在中，角的对边分别为，已知为的中点． (1)求角； (2)若，求的面积． 16．（25-26高二上·湖南张家界·期末）记为数列的前项和，已知，数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)证明：数列为等比数列； (3)求数列的前项和. 17．（2026·重庆·二模）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，． (1)若是棱的中点，证明：面； (2)若，，求平面与平面夹角的余弦值． 18．（2026·辽宁沈阳·三模）某农业技术站研究化肥施用量对大棚青菜产量的影响.在一定范围内，施肥量（单位kg/亩）越大，青菜产量（单位kg/亩）越高.实验测得具体数据如下表： 施肥量 2 3 4 5 6 青菜产量 4200 4300 4350 4380 4400 根据散点数据特征，研究人员分析得出产量与施肥量近似满足的关系，取，经计算可知，，，， (1)请根据上述数据，计算得出产量y关于施肥量x的回归方程，并结合常识描述的实际意义，为简化计算，计算过程中、均精确到个位数. (2)若青菜的收购价格为2元/kg，化肥的采购价格为12元/kg，请从利润最大的角度给出大棚的最优施肥量. 参考公式：，. 19．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知抛物线焦点为，，，为抛物线上的三个动点，且. (1)求拋物线的方程； (2)过分别作抛物线的三条切线，分别为，，，，交于点，，交于点E，，交于点. （i）证明：的垂心在一条定直线上； （ii）已知G点在曲线（）上，求的面积的最大值. 2 / 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $