2026年高考数学模拟卷（八）（全国Ⅱ卷）

**基本信息** 2026年高考数学模拟卷（适用晋辽等11省份），120分钟150分，涵盖集合、复数等基础及函数、立体几何、概率等综合内容，通过电池使用情境（第19题）和空间几何问题（第16题）考查数学思维与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|集合、复数、向量、数列、圆、排列组合、三角函数、立体几何、双曲线|基础与中档题结合，多选考查综合判断| |填空题|3题15分|二项式定理、等差数列、解三角形|聚焦核心公式应用| |解答题|5题77分|函数性质、立体几何（二面角）、导数应用、椭圆方程、概率期望|第19题以电池使用为情境考查概率期望，体现应用意识；第16题结合二面角与线面角，考查空间观念|

2026年高考数学模拟卷（八） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．适用省份：山西 辽宁 吉林 黑龙江 广西 海南 重庆 贵州 云南 甘肃 新疆 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·重庆·模拟预测）已知集合 ，则 的子集个数是（    ） A．63 B．64 C．127 D．128 【答案】D 【分析】根据子集的个数公式计算即可. 【详解】因为， 所以，有7个元素， 故子集个数为. 2．（2026·云南昭通·二模）已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】因为， 所以， 其对应点为，在第四象限. 3．（2026·吉林长春·二模）已知平面向量，，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，所以，解得. 4．（2026·内蒙古赤峰·一模）为等差数列的前项和，若，且，则（   ） A．12 B．15 C．16 D．18 【答案】B 【详解】由，得，即，即，所以， 又，由等差数列的性质得，解得. 5．（2026·重庆·模拟预测）设圆 与圆 交于 两点，则线段 的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】圆，圆. 展开圆：，即. 两圆方程相减得公共弦：. 圆心到直线的距离：. 圆半径，弦长. 6．（2026·重庆·二模）树人中学选派出甲、乙、丙、丁四名学生参加接力比赛，要求甲不跑第一棒，丁不跑第四棒，则不同的接力比赛顺序有（ ） A．8种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【详解】4名学生排列总数：， 甲跑第一棒的情况：， 丁跑第四棒的情况：， 甲跑第一棒且丁跑第四棒的情况：， 总顺序数：． 7．（2026·重庆·二模）已知中，，则的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，利用两角和的正弦公式，求得，得到为直角三角形，结合直角三角形的面积公式，即可求解. 【详解】在中，因为，所以均为锐角， 可得，， 所以， 又因为，所以，所以为直角三角形， 因为，可得， 所以的面积为. 8．（2026·河北保定·一模）已知，，若，恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据以及的符号变化将的范围分成三类，，，分类讨论中的取值范围，从而确定的最小值. 【详解】由题意可知，对任意， 由， 当时，有，所以对任意时，， 此时只要求，即， 故，即的最小值为； 当时，且，因此，在时，， 此时要求，即， 在时，，此时要求，即， 由此可得，此时， 令，求导得， 由于，故在单调递减， 因此，的最小值为，即的最小值为； 当时，，因此，在时，，此时要求，即， 在时，，此时要求，即， 在时，存在使得，此时要求，则， 因此需要同时满足，，显然矛盾，故无解； 综上所述，即的最小值为，故B正确. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026·云南昭通·二模）函数的最大值为4，则（   ） A． B．图象关于点中心对称 C．的图象向左平移个单位长度得到函数的图象 D．在上的值域为 【答案】ABD 【分析】利用辅助角公式化简函数解析式，再结合正弦函数的性质及平移变换规律逐一判断即得. 【详解】因为的最大值为4， 所以，解得，故A正确； 则，因，故B正确； 将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象， 该函数显然与不是同一函数，故C错误； 对于，当时，， 因函数在上单调递增，故在上的值域为，故D正确. 10．（25-26高三下·江苏泰州·开学考试）正方体的棱长为，、、分别为、、的中点，则（   ） A．平面 B． C．三棱锥的体积为 D．平面平面 【答案】ABD 【分析】证明出，结合线面平行的判定定理可判断A选项；由结合柱体和锥体的体积公式可判断C选项；建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断B选项；证明出平面，平面，结合线面垂直的性质可判断D选项. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、、、、、、、， 对于A选项，在正方体中，，， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面，A对； 对于B选项，，，， 所以，B对； 对于C选项，，C错； 对于D选项，，所以，所以， 又因为，，、平面，所以平面， 因为，， 所以，， 所以，， 因为，、平面，所以平面， 所以平面平面，D对. 11．（2026·广东佛山·一模）设，是双曲线的左、右焦点，过右焦点的直线交的右支于，两点，则下列说法正确的是（   ） A．双曲线的两条渐近线夹角为 B．的最小值为 C．当时，的面积为1 D．的周长最小值为 【答案】ACD 【分析】对A，根据渐近线斜率求出倾斜角，直接计算两条渐近线的夹角；对B，利用平方差公式和双曲线定义化简表达式，再结合直线与双曲线的交点条件判断最小值能否取到；对C，由推出点在以为直径的圆上，联立方程求高，进而计算三角形面积；对 D，利用双曲线定义将周长转化为，再求出弦长的最小值，从而得到周长的最小值. 【详解】对于A：双曲线的渐近线方程为，一条渐近线的倾斜角为，由对称性可知，两条渐近线的夹角为，A正确； 对于B：由双曲线的定义可得， 所以， 又，所以， 因为，所以，B错误； 对于C：，故，即A在以为直径的圆上， 由，解得，所以， 所以，C正确； 对于D：由双曲线定义可得， 所以周长， 当轴时，最小，将代入双曲线方程，得，故， 所以，D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026·辽宁鞍山·二模）的展开式中的系数为________． 【答案】 【详解】展开式的通项是，当时，， 则的系数为 13．（2026·新疆·一模）已知是等差数列的前项和，若，则___________． 【答案】 【分析】利用等差数列的通项公式和求和公式求解. 【详解】是等差数列，，，， ，， . 故答案为：. 14．（2026·贵州贵阳·模拟预测）中，角，，所对的边分别为，，，若的面积是2，则的最小值是________. 【答案】 【分析】先由三角形面积公式得与的关系，再用余弦定理代换目标表达式，接着通过基本不等式放缩，随后设斜率转化几何意义，最后利用直线与单位圆相切求最值，得出最终结果. 【详解】在中，，得，即. 由余弦定理. 所以. 由基本不等式，当且仅当时取等号. 代入得. 令，，所以 则表示单位圆上的点与连线斜率,， 直线与单位圆相切时，. 解得，即. 故，即. 因此. 两处等号可同时成立，故最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2026·重庆·二模）已知函数． (1)求的最小正周期； (2)若曲线关于直线对称，求以及的值域． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据三角恒等变换化简，利用正弦型三角函数的周期公式得解； （2）根据对称性取特殊值求解，再检验得出函数解析式，根据正弦型函数值域求解. 【详解】（1）因为， （其中） 所以最小正周期； （2）因为曲线关于直线对称， 所以，即， 所以，解得， 此时， 当时，，符合题意， 因为，所以． 即的值域为． 16．（2026·贵州贵阳·模拟预测）如图，在多面体中，平面，，，为中点，．    (1)证明：平面； (2)当二面角的正切值为时，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先由等腰的三线合一及平面证得平面，再由推出，从而证平面； （2）建立空间直角坐标系，设，利用二面角的正切值，​求得，再求出平面的法向量与，用线面角公式计算得正弦值为． 【详解】（1） 连接， 因为，为中点，所以． 因为平面，平面，所以． 因为平面，，所以平面． 因为，所以，， 所以四边形是平行四边形，所以，所以平面． （2）因为平面，平面， 所以，， 所以为二面角的平面角． 不妨设， 因为平面，平面， 所以，所以，所以． 在中，，， 所以，．    如图，建立空间直角坐标系，，，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 由，得，令，得， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 17．（2026·广西南宁·二模）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若方程在上有解，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求的切线方程； （2）由可得，令，其中，则实数的取值范围为函数在上的值域，利用导数求解即可. 【详解】（1）当时，，则， 所以，， 当时，曲线在点处的切线方程为， 即. （2）当时，由可得， 令，其中，则， 令，则， 当时，，即函数在上为减函数， 当时，，即函数在上为增函数， 当时，，即， 故函数在上为增函数， 当时，， 故函数在上的值域为， 故实数的取值范围为. 18．（2026·辽宁鞍山·二模）已知椭圆的左顶点为，上顶点为，离心率，且以短轴为直径的圆与直线相切． (1)求的方程； (2)过点的直线交于两点，若直线的斜率都存在且不为0，将的斜率分别记为，求． 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）根据题意，结合即可求出； （2）分情况讨论，当直线斜率存在时，设直线的方程为，，联立得到，再求得，代入化简即可. 【详解】（1）由题意得， 又以短轴为直径的圆与直线相切， 原点到直线的距离为， 又，， 故椭圆的方程为. （2）由（1）可知，， 当过点的直线斜率不存在时，直线与椭圆只有一个交点，不合题意，舍去； 当过点的直线斜率存在时，设直线的方程为， 设，联立， 消去整理得， ，解得， 且， 而直线的斜率为，直线的斜率为， ， 又， ， . 19．（2026·重庆·二模）小明拥有1个电动玩具，厂家配备了一个装电池的盒子，内装满原装4块电池，其中2块为可充电电池，2块为一次性电池、为了保证随时可玩耍，小明又购买了2块可充电电池备用，他每次玩玩具时就随机从装满电池的盒子中取出1块使用，若为一次性电池，则使用完毕后丢弃，并补充1块可充电电池装入盒中；若为可充电电池，则使用完毕后充电，并放入盒中以备下次使用． (1)记第次使用后一次性电池剩余的块数为，求的数学期望； (2)记第次使用后一次性电池恰好使用完毕的概率为． （i）求； （ii）分析第几次使用后一次性电池恰好使用完的可能性最大． 【答案】(1) (2)（i）（ii）第3次 【分析】（1）根据的可能取值求出对应的概率，再由数学期望公式计算； （2）（i）记事件，，，分析在不同抽取次数下各事件发生的情况，分别考虑时一次性电池恰好使用完毕的概率，利用全概率公式求出的表达式，借助于等比数列求和公式计算即得；（ii）在（i）求得的基础上，利用作差比较法判断其增减性即得结果. 【详解】（1）的可能取值为0，1，2， 所以， ， 所以； （2）（i）记事件：第一次取到一次性电池，事件：取到可充电电池，事件：第二次取到一次性电池， 由条件，假设第次抽取时，事件发生，概率，第次抽取时，事件发生，概率， 在事件前面每次发生事件的概率为，后面每次发生事件的概率为，则有 抽取次数 1 2 ．．． ．．． 事件 ．．． ．．． 所以 即 （ii）令， 即，所以， 所以第3次使用后一次性电池恰好使用完的可能性最大． 【点睛】关键点点睛：在求解的表达式时，关键在于弄清在时一次性电池恰好使用完毕的概率，再求和. 2 / 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学模拟卷（八） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．适用省份：山西 辽宁 吉林 黑龙江 广西 海南 重庆 贵州 云南 甘肃 新疆 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·重庆·模拟预测）已知集合 ，则 的子集个数是（    ） A．63 B．64 C．127 D．128 2．（2026·云南昭通·二模）已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（2026·吉林长春·二模）已知平面向量，，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·内蒙古赤峰·一模）为等差数列的前项和，若，且，则（   ） A．12 B．15 C．16 D．18 5．（2026·重庆·模拟预测）设圆 与圆 交于 两点，则线段 的长度为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·重庆·二模）树人中学选派出甲、乙、丙、丁四名学生参加接力比赛，要求甲不跑第一棒，丁不跑第四棒，则不同的接力比赛顺序有（ ） A．8种 B．种 C．种 D．种 7．（2026·重庆·二模）已知中，，则的面积为（ ） A． B． C． D． 8．（2026·河北保定·一模）已知，，若，恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026·云南昭通·二模）函数的最大值为4，则（   ） A． B．图象关于点中心对称 C．的图象向左平移个单位长度得到函数的图象 D．在上的值域为 10．（25-26高三下·江苏泰州·开学考试）正方体的棱长为，、、分别为、、的中点，则（   ） A．平面 B． C．三棱锥的体积为 D．平面平面 11．（2026·广东佛山·一模）设，是双曲线的左、右焦点，过右焦点的直线交的右支于，两点，则下列说法正确的是（   ） A．双曲线的两条渐近线夹角为 B．的最小值为 C．当时，的面积为1 D．的周长最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026·辽宁鞍山·二模）的展开式中的系数为________． 13．（2026·新疆·一模）已知是等差数列的前项和，若，则___________． 14．（2026·贵州贵阳·模拟预测）中，角，，所对的边分别为，，，若的面积是2，则的最小值是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2026·重庆·二模）已知函数． (1)求的最小正周期； (2)若曲线关于直线对称，求以及的值域． 16．（2026·贵州贵阳·模拟预测）如图，在多面体中，平面，，，为中点，．    (1)证明：平面； (2)当二面角的正切值为时，求直线与平面所成角的正弦值． 17．（2026·广西南宁·二模）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若方程在上有解，求的取值范围． 18．（2026·辽宁鞍山·二模）已知椭圆的左顶点为，上顶点为，离心率，且以短轴为直径的圆与直线相切． (1)求的方程； (2)过点的直线交于两点，若直线的斜率都存在且不为0，将的斜率分别记为，求． 19．（2026·重庆·二模）小明拥有1个电动玩具，厂家配备了一个装电池的盒子，内装满原装4块电池，其中2块为可充电电池，2块为一次性电池、为了保证随时可玩耍，小明又购买了2块可充电电池备用，他每次玩玩具时就随机从装满电池的盒子中取出1块使用，若为一次性电池，则使用完毕后丢弃，并补充1块可充电电池装入盒中；若为可充电电池，则使用完毕后充电，并放入盒中以备下次使用． (1)记第次使用后一次性电池剩余的块数为，求的数学期望； (2)记第次使用后一次性电池恰好使用完毕的概率为． （i）求； （ii）分析第几次使用后一次性电池恰好使用完的可能性最大． 抽取次数 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