精品解析：江苏无锡市辅仁高级中学2025-2026学年第二学期期中考试高二数学试卷

无锡市辅仁高级中学2025－2026学年度第二学期期中考试 高二数学试卷 命题人：王文俊 审核人：李思聪 一、单项选择题：（每题5分，共40分） 1. 已知，则 （ ） A. B. C. 1 D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数的定义可得，求得得解. 【详解】由，可得， 即，又，则， 所以. 故选：D. 2. 的展开式的中间项为（ ） A. -40 B. C. 40 D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据二项式定义可知一共有项，通项为可知第项为中间项，计算可得. 【详解】解：的展开式的通项为 则中间项为. 故选：B. 【点睛】本题考查求二项式展开式中指定项的计算问题，属于基础题. 3. 若直线是曲线的切线，则（ ） A. B. C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】设出切点坐标，根据切点在切线和曲线上，结合导数的几何意义列方程组求解可得. 【详解】设直线与曲线相切于点， 由题知，，直线的斜率为1， 所以，解得. 故选：B 4. 某药品研究所研制了5种消炎药、、、、和4种退热药、、、，现从中取出两种消炎药和一种退热药同时使用进行疗效试验，已知两种药必须同时使用，且两种药不能同时使用，则不同的试验方案有（ ）种． A. 12 B. 14 C. 18 D. 24 【答案】B 【解析】 【详解】当取时，再取退热药有（种）方案，此时不同的试验方案有4（种）方案； 当不取，且取时，取另一种消炎药的方法有（种）方案， 由于两种药不能同时使用，所以再取退热药有（种）方案， 此时不同的试验方案有（种）方案； 当取时，再取退热药有（种）方案，此时不同的试验方案有4（种）方案； 综上所述，不同的试验方案共有（种）方案. 5. 若，则的值为（ ） A. 54 B. 55 C. 164 D. 165 【答案】C 【解析】 【分析】由组合数的性质计算可得，结合计算即可得解. 【详解】由，故或，故， 则 . 故选：C. 6. 定义在上的函数的导函数为，若对任意实数，有，且为奇函数，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造辅助函数，利用导数判断其单调性，再利用为奇函数求出的值，从而将原不等式转化为关于的不等式进行求解. 【详解】设， 则， 因为，所以，所以为定义在上的减函数， 因为为奇函数， 所以，，，， 即，即， 故． 故选：C. 7. 若函数在上有最大值，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求得，令，得到，得出在上单调递减，根据题意，转化为在存在零点，列出不等式组，即可求解. 【详解】由函数，可得，其中， 令，可得， 所以在上为单调递减函数， 要使得函数在上有最大值，则函数在上有极大值， 则存在，使得在上单调递增，在上单调递减， 即有零点，所以，解得， 所以实数的取值范围为. 8. ，均有成立，求a的取值范围，以下选项错误的为（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对给定不等式作等价变形，构造函数，利用函数在区间上单调递减，借助导数求解即得. 【详解】不妨设，则， 由，得，即， 则，令，于是，， 因此在区间上单调递减，求导得对于恒成立， 即对于恒成立，从而对于恒成立， 而函数在区间上单调递减，当时，，则， 所以a的取值范围是，B正确，ACD错误. 故选：ACD 二、多项选择题：（每题6分，共18分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有种 B. 从6男4女中选4人参加比赛，若4人中必须有男有女，则共有194种选法 C. 6本不同的书，分给甲、乙每人各2本，分给丙、丁每人各1本，有270种分法 D. 将4个不同的小球放入4个不同的盒子中，则恰有两个盒子为空的放法种数为84 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A，由于每封信都有3种投法，则5封信有种投法，故A正确； 对于B，从10人中任选4人有种，若4人全是男生有种， 若4人全是女生有1种，所以共有种选法，故B正确； 对于C，先选2本有种，从余下的书再选2本有种，进而分给甲、乙，余下的2本分给丙、丁有， 所以共有种，故C错误； 对于D，将4个不同的小球分成两组有种分组方法， 再将这两组分配给4个盒子中的两个有种不同的分配方法，故D正确. 10. 若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 除以5的余数为4 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】对于选项A，因为求常数项，所以可令展开式中的，代入函数式计算；对于选项B，因为求奇数项系数和，所以可分别令和得到两个等式，再通过两式的运算得出奇数项系数和；对于选项C，先计算，再将底数转化为5的倍数加余数的形式，利用二项式定理展开分析余数；对于选项D，先对原函数式求导，再令代入导函数式计算. 【详解】选项A，令，代入得：，即，A正确； 选项B，利用赋值法求奇次项系数和： 令：① 令：② ①②得：， 即，B错误； ， 根据二项式定理展开得： ， 因为展开式中当时，所有项都含有因数，都能被整除， 所以除以的余数，仅看第一项（时）除以的余数. 又因为除以的余数规律满足： 余，余，余， 余，余，可见余数周期为， 所以对周期取余：，因此的余数与的余数相同， 即余，因此除以余数为，C正确； 选项D，对两边求导得： ， 令，左边为：， 右边恰好是，即结果为，D错误. 11. 已知（ ） A. 当时，是的极大值点 B. 当时，的所有零点之和为0 C. 直线是的切线 D. 存在使在上单调递增 【答案】BC 【解析】 【分析】求出导数，利用极值的定义判断A；求出零点判断B；求出切点判断C；取特值说明判断D. 【详解】函数定义域为R，求导得， 对于A，，当时，， 当时，，因此是的极小值点，A错误； 对于B，，存在三个零点，， 为方程的两根，则，所有零点之和为0，B正确； 对于C，由时，得，点在函数的图象上， 因此函数的图象在点处的切线为，C正确； 对于D，，而，则不存在使在上单调递增，D错误. 故选：BC 三、填空题：（每题5分，共15分） 12. 某社区计划在端午节前夕按如下规则设计香囊：在基础配方以外，从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中至少选择一味添加到香囊，则不同的添加方案有_________种．（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】分四种情况，利用分类计数原理即可求出结果. 【详解】从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中选一种，有种， 从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中选二种，有种， 从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中选三种，有种， 从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药全选，有种， 所以从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中至少选一种， 共有种. 13. 若，则_________． 【答案】10 【解析】 【详解】令，则原等式变为， 展开式的通项为， 令指数，解得，所以． 14. 已知函数有两个零点，则整数a的最小值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】求出导函数，对a分类讨论，明确函数的单调性，研究函数的最值与零的关系即可. 【详解】，， 当时，，单调递增，不可能有两个零点； 当时，有唯一解，此时， 则， 解得， ∴整数a的最小值为3． 【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，函数的零点个数的判断，考查转化思想以及计算能力． 四、解答题：（第15~18题每题15分，第19题17分） 15. （1）身高互不相同的6人按要求站队列，站成两排，每排3人，若要求后排每位同学比他正前方的同学身高高，求不同的站法种数． （2）7人站成两排，前排3人，后排4人． ①共有多少种不同站法？ ②甲、乙、丙也要加入队列，决定前排加2人，后排加1人，且原队列中各人保持相对位置不变，求有多少种不同的加入方法？ （各小题答案请用数字作答） 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用分步乘法原理来求解即可； （2）①根据题意，相当于7个人在7个不同的位置（前排3个，后排4个）上进行全排列，进而即可求解； ②根据题意，分后排和前排两步分析，对于后排：后排4人有5个空位，先从甲、乙、丙3人中选1人插入；对于前排：前排3人有4个空位，将剩余2人插入，要分2人不相邻和相邻两种情况讨论，进而即可求解． 【小问1详解】 由将6人排成2排，每排3人，且后排每位同学比他正前方的同学身高高， 即将6人排成3列，每列2人，且自动将矮的同学放前排，高的同学排在后排， 从6人中选2人给第一列，有种站法； 从剩余的4人中选2人给第二列，有种站法； 则剩余的2人自动为第三列，有种站法， 所以有种不同的站法． 【小问2详解】 依题意可得①依题意可得，相当于7个人在7个不同的位置（前排3个，后排4个）上进行全排列， 所以有种排法． ②对于后排：由后排有4人，即有5个空位，从甲、乙、丙3人中选1人插入， 则后排有种排法， 对于前排：由前排有3人，即有4个空位，将剩余2人插入， 若2人不相邻，则有种排法；若2人相邻，则有种排法， 则前排有种排法， 所以有种不同的加入方法． 16. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）设，当时，求函数的最大值； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据导数几何意义可求得切线斜率，根据切点坐标可得结果； （2）求导后，根据正负可得函数单调性，进而确定最大值为. 【小问1详解】 当时，，则， ，， 在点处的切线方程为：，即. 【小问2详解】 ， 的定义域为，， ，，，， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减，. 17. 在的展开式中，第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为． （1）求展开式中所有的有理项； （2）展开式中系数最大的项是第几项？ 【答案】（1）有理项为 （2）6 【解析】 【分析】（1）根据题干求出n的值，再从通项中找出所有有理项即可； （2）设第项系数最大，列对应的系数不等式，解出即可． 【小问1详解】 由题意得，也即， 解得，则通项为， 令为整数，则应为的倍数，又，故， 时，， 时，， 时，， 综上，所有的有理项为． 【小问2详解】 设第项系数最大，需满足， 即，可化简为， 解得，故，对应第项． 18. 已知函数 （1）当时，若的最小值为0，求的值； （2）若为的极小值点，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）对函数求导分析，判断导数得正负，并得到函数的最小值，从而得到方程进而求解. （2）根据题意将代入导数为0，得到参数之间的关系，并分析是否在处取得极小值. 【小问1详解】 因为，所以，求导得， 因为，所以令，解得， 当，，所以在上单调递减； 当，，所以在上单调递增； 所以，解得. 【小问2详解】 因为，求导得， 又因为为的极小值点，所以，得到， 代入导数得， 因为，所以， ①当时，，解得或，此时， 所以，，在上单调递减； ，，在上单调递增； ，，在上单调递减； 所以为的极小值点满足条件. ②当时, 恒成立， 所以在定义域内单调递减，无极值，不满足题意舍去. ③当时，，解得或，此时， 所以，，在上单调递减； ，，在上单调递增； ，，在上单调递减； 所以为的极大值点.不满足条件，舍去. 综上所述，实数的取值范围. 19. 已知函数． （1）讨论的单调性． （2）若有两个极值点b，c，记过两点，的直线斜率为．是否存在a使？若存在，求a的值；若不存在，试说明理由． 【答案】（1）答案见解析 （2）不存在符合题意的使,理由见解析. 【解析】 【分析】（1）对求导，对参数进行分类讨论即可. （2）由（1）可知当且仅当时，有两个极值点，根据题意列出等式，由分析法判断方程的解的情况即可. 【小问1详解】 对求导得， 由基本不等式得，当且仅当时等号成立， 所以当时，有， 所以此时在上单调递增； 当时，令，解得， 又，所以， 所以此时、随的变化情况如下表： 由上表可知：此时在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 综上所述：当时，此时在上单调递增；当时，此时在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，其中. 【小问2详解】 由（1）可知当且仅当时，有两个极值点，， 由题意， 又由（1）可知是方程即方程的两根， 所以由韦达定理有，所以， 由题意若，所以有， 且注意到，所以， 又因为， 所以有， 不妨设，则， 求导得， 所以函数在上严格单调递减， 且注意到， 所以只能 又， 所以， 注意到且， 所以不可能成立， 综上所述：不存在符合题意的使. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 无锡市辅仁高级中学2025－2026学年度第二学期期中考试 高二数学试卷 命题人：王文俊 审核人：李思聪 一、单项选择题：（每题5分，共40分） 1. 已知，则 （ ） A. B. C. 1 D. 0 2. 的展开式的中间项为（ ） A. -40 B. C. 40 D. 3. 若直线是曲线的切线，则（ ） A. B. C. 3 D. 4 4. 某药品研究所研制了5种消炎药、、、、和4种退热药、、、，现从中取出两种消炎药和一种退热药同时使用进行疗效试验，已知两种药必须同时使用，且两种药不能同时使用，则不同的试验方案有（ ）种． A. 12 B. 14 C. 18 D. 24 5. 若，则的值为（ ） A. 54 B. 55 C. 164 D. 165 6. 定义在上的函数的导函数为，若对任意实数，有，且为奇函数，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 7. 若函数在上有最大值，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. ，均有成立，求a的取值范围，以下选项错误的为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：（每题6分，共18分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有种 B. 从6男4女中选4人参加比赛，若4人中必须有男有女，则共有194种选法 C. 6本不同的书，分给甲、乙每人各2本，分给丙、丁每人各1本，有270种分法 D. 将4个不同的小球放入4个不同的盒子中，则恰有两个盒子为空的放法种数为84 10. 若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 除以5的余数为4 D. 11. 已知（ ） A. 当时，是的极大值点 B. 当时，的所有零点之和为0 C. 直线是的切线 D. 存在使在上单调递增 三、填空题：（每题5分，共15分） 12. 某社区计划在端午节前夕按如下规则设计香囊：在基础配方以外，从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中至少选择一味添加到香囊，则不同的添加方案有_________种．（用数字作答） 13. 若，则_________． 14. 已知函数有两个零点，则整数a的最小值为______． 四、解答题：（第15~18题每题15分，第19题17分） 15. （1）身高互不相同的6人按要求站队列，站成两排，每排3人，若要求后排每位同学比他正前方的同学身高高，求不同的站法种数． （2）7人站成两排，前排3人，后排4人． ①共有多少种不同站法？ ②甲、乙、丙也要加入队列，决定前排加2人，后排加1人，且原队列中各人保持相对位置不变，求有多少种不同的加入方法？ （各小题答案请用数字作答） 16. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）设，当时，求函数的最大值； 17. 在的展开式中，第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为． （1）求展开式中所有的有理项； （2）展开式中系数最大的项是第几项？ 18. 已知函数 （1）当时，若的最小值为0，求的值； （2）若为的极小值点，求实数的取值范围． 19. 已知函数． （1）讨论的单调性． （2）若有两个极值点b，c，记过两点，的直线斜率为．是否存在a使？若存在，求a的值；若不存在，试说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $