精品解析：【福建福州第十九中学2025～2026学年九年级（下）数学综合练习一

福州第十九中学2025～2026学年九年级（下） 数学综合练习一 一、选择题（共10小题） 1. 上马石是古人上下马的工具，形状如图①．它可以看作图②所示的几何体，该几何体的俯视图为（ ） A. B. C. D. 2. 通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，但其中自由电子定向移动的平均速度大约只有，比蜗牛爬行的速度还慢．数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 小美和小好同学做“石头、剪刀、布”的游戏，两人同时出相同的手势，这个事件是（ ） A. 随机事件 B. 不可能事件 C. 必然事件 D. 确定性事件 4. 下列计算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，点、、分别是边、、的中点，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，推动水桶，以点O为支点，使其向右倾斜．若在点A处分别施加推力、，则的力臂大于的力臂．这一判断过程体现的数学依据是（ ） A. 垂线段最短 B. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C. 两点确定一条直线 D. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 8. 当自变量时，下列函数y随x的增大而增大的是（ ） A. B. C. D. 9. 已知甲做300个零件与乙做420个零件所用的时间相同，若两人一天共做120个零件，设甲一天做个零件，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，动点P从菱形的点A出发，沿边匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到中点时，的长为（　　） A. 2 B. 3 C. D. 二、填空题（共6小题） 11. 如果公元前121年记作年，那么公元2026年应记作______年． 12. 已知是方程的解，则______． 13. 一只不透明的袋中装有8个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中．通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是，则袋中约有红球__________个． 14. 如图，是圆的直径，、、、的顶点均在上方的圆弧上，、的一边分别经过点A、B，则__________． 15. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q，则______． 16. 如图，点P是正六边形的边的中点，一束光线从点P出发，照射到镜面上的点Q处，经反射后恰好经过顶点C，已知正六边形的边长为2，则________． 三、解答题（共9小题） 17. 计算：． 18. 如图，．试说明：． 19. 解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 20. 如图，在中，对角线与相交于点O，，过点B作交于点E． （1）求证：； （2）若，，求的长． 21. 为落实“双减”政策，培养德智体美劳全面发展的时代新人，某校组织调研学生体育和美育发展水平，现从七年级共180名学生中随机抽取20名学生，对每位学生的体育和美育水平进行测评后按百分制分数量化，并进行等级评定（成绩用x表示，分为四个等级，包括优秀：；良好：；合格：；待提高：）．对数据进行整理，描述和分析，部分信息如下． 信息一：体育成绩的人数（频数）分布图如下． 信息二：美育成绩的人数（频数）分布表如下． 分组 人数 m 7 2 7 信息三：20位学生的体育成绩和美育成绩得分统计如下（共20个点）． 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：______； （2）下列结论正确的是______；（填序号） ①体育成绩低于80分的人数占抽取人数的； ②参与测评的20名学生美育成绩的中位数对应的等级是“合格”； ③在信息三中，相比于点A所代表的学生，点B所代表的学生的体育水平与其大致相同，但美育水平还存在一定差距，需要进一步提升； （3）请结合以上信息，估计七年级全体学生中体育和美育两项成绩均属于“优秀”等级的人数． 22. 如图，已知及边上一点． （1）用无刻度直尺和圆规在射线上求作点，使得；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，以点为圆心，以为半径的圆交射线于点，用无刻度直尺和圆规在射线上求作点，使点到点的距离与点到射线的距离相等；（保留作图痕迹，不写作法） （3）在（1）、（2）的条件下，若，，求的长． 23. 已知抛物线经过点． （1）求该抛物线的对称轴； （2）点和分别在抛物线和上（与原点都不重合）． ①若，且，比较与的大小； ②当时，若是一个与无关的定值，求与的值． 24. 根据背景素材，探索解决问题． 测算拉索桥立柱的高 素材1 一条桥身形状和抛物线相同的拉索桥，桥的跨径OH的水平距离为22米，点O和点H处于同一水平线． 素材2 （1）桥的两根主立柱AB和GL拉出铁索固定桥身，两个立柱中间共有10根拉索（如图）；（2）立柱和铁索与桥身的连接点水平等距分布（即相邻的两个连接点的水平距离相等）：（3）经测量拉索AC与水平线CE成角，从左侧第3个拉索连接点D射出的探测光线DP交立柱AB于点P，从连接点C射出的探测光线CB交立柱于点B，且． 问题解决 任务1 建立模型 以点O为原点，水平线为x轴，以1米为一个单位长度，建立直角坐标系，根据素材1求桥身模型的函数解析式． 任务2 利用模型 根据任务1所求的解析式模型，分别求点D、C的坐标． 任务3 分析计算 若点P恰好为OB中点，根据素材2及任务1和任务2得到的函数模型和数据，求立柱AB的高度． 25. 如图，为的外接圆，弦，垂足为E，直径交于点G，连接，．若，． （1）证明：四边形为平行四边形； （2）求的值； （3）求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州第十九中学2025～2026学年九年级（下） 数学综合练习一 一、选择题（共10小题） 1. 上马石是古人上下马的工具，形状如图①．它可以看作图②所示的几何体，该几何体的俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三视图，考生解答本题需要熟悉三视图，会观察几何体的三视图．根据俯视图是从上方看到的解答即可． 【详解】解：该几何体的俯视图为： ， 故选：D． 2. 通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，但其中自由电子定向移动的平均速度大约只有，比蜗牛爬行的速度还慢．数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法表示绝对值小于1的正数的一般形式为，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．n的值由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：， 故选：C． 3. 小美和小好同学做“石头、剪刀、布”的游戏，两人同时出相同的手势，这个事件是（ ） A. 随机事件 B. 不可能事件 C. 必然事件 D. 确定性事件 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：两人同时出相同的手势，，这个事件是随机事件， 故选：A． 4. 下列计算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查整式乘法运算、算术平方根等知识点，熟练掌握相关运算法则成为解题的关键． 根据整式乘法运算、算术平方根逐项判断即可． 【详解】解：A．，故该选项错误，不符合题意； B．，故该选项正确，符合题意； C． ，故该选项错误，不符合题意； D． ，故该选项错误，不符合题意． 故选B． 5. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，绝对值的意义，利用数轴表示有理数的大小，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先由数轴得，，且，再逐项分析即可． 【详解】解：由数轴得，，且 ∴，， 故A，B，C均错误，不符合题意，D正确，符合题意， 故选：D． 6. 如图，在中，，点、、分别是边、、的中点，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键． 由题意可得为的中位线，根据三角形的中位线定理可得，则，四边形是平行四边形，即可判断A、B、D；再由，是边的中点，即可判断C． 【详解】解：点、、分别是边、、的中点 ∴为的中位线， ∴， ∴，四边形是平行四边形， ∴， 故A、B、D正确，不符合题意； ∵，是边的中点， ∴， 故C错误，符合题意， 故选：C． 7. 如图，推动水桶，以点O为支点，使其向右倾斜．若在点A处分别施加推力、，则的力臂大于的力臂．这一判断过程体现的数学依据是（ ） A. 垂线段最短 B. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C. 两点确定一条直线 D. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了力臂，平行公理，垂直的性质，直线特点，垂线段最短，根据图形分析得到过点有，进而利用垂线段最短得到即可解题． 【详解】解：过点有， ， 即得到的力臂大于的力臂， 其体现的数学依据是垂线段最短， 故选：A． 8. 当自变量时，下列函数y随x的增大而增大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数的增减性，掌握一次函数，反比例函数以及二次函数的增减性是解题关键．根据函数的相关性质逐一判断即可． 【详解】解：A、在中，，则y随x的增大而减小，不符合题意； B、在中，，则当自变量时，y随x的增大而减小，不符合题意； C、在中，，则y随x的增大而增大，符合题意； D、在中，，则二次函数开口向下，对称轴为直线，当自变量时，y随x的增大而减小，不符合题意； 故选：C． 9. 已知甲做300个零件与乙做420个零件所用的时间相同，若两人一天共做120个零件，设甲一天做个零件，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，关键是用工作时间工作总量工作效率建立等量关系． 设甲一天做个零件，则乙一天做个零件，根据“甲做300个零件与乙做420个零件所用时间相同”列方程即可. 【详解】解：设甲一天做个零件，则乙一天做个零件， 根据题意，得． 故选：A． 10. 如图1，动点P从菱形的点A出发，沿边匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到中点时，的长为（　　） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合图象，得到当时，，当点P运动到点B时，，根据菱形的性质，得，继而得到，当点P运动到中点时，的长为，解得即可． 本题考查了菱形的性质，图象信息题，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】结合图象，得到当时，， 当点P运动到点B时，， 根据菱形的性质，得， 故， 当点P运动到中点时，的长为， 故选C． 二、填空题（共6小题） 11. 如果公元前121年记作年，那么公元2026年应记作______年． 【答案】 【解析】 【详解】解:根据题意得，公元2026年记作年． 12. 已知是方程的解，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，以及解一元一次方程，理解题意，把代入，解得，即可作答． 【详解】解：∵是方程的解， ∴把代入，得， ∴， ∴， 故答案为：2 13. 一只不透明的袋中装有8个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中．通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是，则袋中约有红球__________个． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率．设红球有x个，利用频率=红球个数÷总数，计算即可得出答案． 【详解】解：设红球有x个，由题意可得， ， 解得：， 经检验：是方程的解， 故答案为：12． 14. 如图，是圆的直径，、、、的顶点均在上方的圆弧上，、的一边分别经过点A、B，则__________． 【答案】90 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，根据半圆的度数为，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，进行求解即可． 【详解】∵是圆的直径， ∴所对的弧是半圆，所对圆心角的度数为， ∵、、、所对的弧的和为半圆， ∴， 故答案为：90． 15. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数平移规律，抛物线与x轴的交点，两点间的距离公式，解题关键是熟练掌握二次函数图象的平移规律，求出抛物线的解析式．根据二次函数图象的平移规律，求出抛物线的解析式，然后令，列出关于x的方程，解方程求出x，再根据两点间的距离公式求出答案即可． 【详解】解：将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线的解析式为： ， 令，则， 或， 解得：或， ， 故答案为：1． 16. 如图，点P是正六边形的边的中点，一束光线从点P出发，照射到镜面上的点Q处，经反射后恰好经过顶点C，已知正六边形的边长为2，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】延长、交于点，作于点，于点，如图所示，由正六边形的性质及等腰三角形的判定与性质得到，设，再由正六边形的性质得到相应边与角度，在中，由三角函数求出和长度，连接，如图所示，易证是矩形，得到，过点作，如图所示，由等腰三角形性质，解直角三角形得到，最后利用的性质列式求参数即可得到答案． 【详解】解：延长、交于点，作于点，于点，如图所示： 则， 在正六边形中，，则， 由反射光线的性质可知， ，即， ， ， ， 设，则， ， 六边形为正六边形， ， ， 是中点， ， 在中，，， ， 在正六边形中，，， ， ， ， 四边形是矩形， ，， 过点作，如图所示： 由等腰三角形三线合一性质可知平分，且是边上的中线， 在中，， ， ， ，则，解得， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查几何综合，涉及正六边形的性质、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定与性质、解直角三角形、矩形的判定与性质等内容，熟练掌握相关几何知识是解题的关键． 三、解答题（共9小题） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据实数的混合运算法则即可求解． 【详解】原式 【点睛】本题考查实数的混合运算．熟记特殊角的三角函数值、求绝对值法则，负指数幂的运算法则是解题关键． 18. 如图，．试说明：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，证得是解题的关键． 先根据角的和差可得，再运用证明，最后根据全等三角形的性质即可证明结论． 【详解】解：∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴． 19. 解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】不等式组的解集为：． 在数轴上表示其解集如下： 【解析】 【分析】先解不等式组中的两个不等式，再在数轴上表示两个不等式的解集，从而可得答案． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ∴， ∴不等式组的解集为：． 【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的解法，在数轴上表示不等式组的解集，掌握不等式组的解法与步骤是解本题的关键． 20. 如图，在中，对角线与相交于点O，，过点B作交于点E． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证，得是菱形，再由菱形的性质得，可得，再由，可得，从而得出，然后证即可； （2）由勾股定理得，由，得，即可得出结论． 【小问1详解】 证明：， ， 是菱形， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：是菱形， ，， ， ， ， ，即， 解得：， 即的长为． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理以及相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质和菱形的判定与性质是解题的关键． 21. 为落实“双减”政策，培养德智体美劳全面发展的时代新人，某校组织调研学生体育和美育发展水平，现从七年级共180名学生中随机抽取20名学生，对每位学生的体育和美育水平进行测评后按百分制分数量化，并进行等级评定（成绩用x表示，分为四个等级，包括优秀：；良好：；合格：；待提高：）．对数据进行整理，描述和分析，部分信息如下． 信息一：体育成绩的人数（频数）分布图如下． 信息二：美育成绩的人数（频数）分布表如下． 分组 人数 m 7 2 7 信息三：20位学生的体育成绩和美育成绩得分统计如下（共20个点）． 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：______； （2）下列结论正确的是______；（填序号） ①体育成绩低于80分的人数占抽取人数的； ②参与测评的20名学生美育成绩的中位数对应的等级是“合格”； ③在信息三中，相比于点A所代表的学生，点B所代表的学生的体育水平与其大致相同，但美育水平还存在一定差距，需要进一步提升； （3）请结合以上信息，估计七年级全体学生中体育和美育两项成绩均属于“优秀”等级的人数． 【答案】（1）4 （2）①③ （3）18 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图的相关知识，个体占比，中位数定义，用样本估计总体等知识，掌握这些知识是解题的关键． （1）用样本总体减去良好成绩的人生，合格成绩的人数，待提高成绩的人数即可得出答案． （2）①用体育成绩低于80分的人数8除以样本总体20即可得出判断．②用中位数的定义判断即可．③根据坐标得出点A和点B各自的美育和体育的成绩判断即可． （3）用样本估计总体即可． 【小问1详解】 解：， 故答案为：4． 【小问2详解】 ①根据20位学生的体育成绩和美育成绩得分统计图可知： 体育成绩低于80分的人数有8人， ∴体育成绩低于80分的人数有占抽取人数的，故①正确． ②∵一共有20人，成绩从小到大排序，中位数为第10位和第11位的平均数， ∴中位数位于之间， 即参与测评的20名学生美育成绩的中位数对应的等级是“良好”，故②错误． ③在信息三中，点A的美育成绩为90，体育成绩为70，点B的美育成绩为70，体育成绩为70，所以相比于点A所代表的学生，点B所代表的学生的体育水平与其大致相同，但美育水平还存在一定差距，需要进一步提升，故③正确， 故有①③正确， 故答案为①③． 【小问3详解】 根据信息三，可知：美育和体育成绩都在90分以及以上的只有2人． 故七年级全体学生中体育和美育两项成绩均属于“优秀”等级的人数有人． 22. 如图，已知及边上一点． （1）用无刻度直尺和圆规在射线上求作点，使得；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，以点为圆心，以为半径的圆交射线于点，用无刻度直尺和圆规在射线上求作点，使点到点的距离与点到射线的距离相等；（保留作图痕迹，不写作法） （3）在（1）、（2）的条件下，若，，求的长． 【答案】（1）作图见详解 （2）作图见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）根据尺规作角等于已知角的方法即可求解； （2）根据尺规作圆，作垂线的方法即可求解； （3）根据作图可得是直径，结合锐角三角函数的定义可得的值，根据勾股定理可求出的值，在直角中运用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示， ∴； 点O即为所求 【小问2详解】 解：如图所示， 连接，以点为圆心，以为半径画弧交于点，以点为圆心，以任意长为半径画弧交于点，分别以点为圆心，以大于为半径画弧，交于点，连接并延长交于点， ∵是直径， ∴，即， 根据作图可得， ∴，即，是点到的距离， ∵， ∴， ∴， 点即为所求点的位置； 【小问3详解】 解：如图所示， 根据作图可得，，连接， ∴在中，， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， 设，则， ∴在中，， 解得，（负值舍去）， ∴， 在中，． 【点睛】本题主要考查尺规作角等于已知角，尺规作垂线，勾股定理，锐角三角函数的定义等知识的综合，掌握以上知识的综合运用是解题的关键． 23. 已知抛物线经过点． （1）求该抛物线的对称轴； （2）点和分别在抛物线和上（与原点都不重合）． ①若，且，比较与的大小； ②当时，若是一个与无关的定值，求与的值． 【答案】（1）对称轴是直线 （2）；， 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，求抛物线的对称轴，判断函数值的大小，利用函数值的数量关系求系数，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）将已知点的坐标代入解析式中，得出系数之间的关系，利用对称轴公式即可求解； （2）①根据题意得出函数的解析式，将代入解析式中，利用作差法即可得出函数值的大小； ②将函数值用各自自变量表示，整理得出两自变量的数量关系，即，再利用特殊值法即可求出系数的值． 【小问1详解】 解：由题意得，将点代入得， ，即， 所以， 故所求抛物线的对称轴是直线． 【小问2详解】 解：①由（1）可知，当时，， 抛物线的解析式为． ∵， ∴ ， ∵抛物线过原点，且点A与原点不重合， ∴， ， 故． ②由题意知，，． ∵， ∴． 因为两条抛物线均过原点，且A，B与原点都不重合，所以，． 故，即． 于是． 依题意知，是与无关的定值． 则，解得． 经检验，当时，是一个与无关的定值，符合题意． 所以，． 24. 根据背景素材，探索解决问题． 测算拉索桥立柱的高 素材1 一条桥身形状和抛物线相同的拉索桥，桥的跨径OH的水平距离为22米，点O和点H处于同一水平线． 素材2 （1）桥的两根主立柱AB和GL拉出铁索固定桥身，两个立柱中间共有10根拉索（如图）；（2）立柱和铁索与桥身的连接点水平等距分布（即相邻的两个连接点的水平距离相等）：（3）经测量拉索AC与水平线CE成角，从左侧第3个拉索连接点D射出的探测光线DP交立柱AB于点P，从连接点C射出的探测光线CB交立柱于点B，且． 问题解决 任务1 建立模型 以点O为原点，水平线为x轴，以1米为一个单位长度，建立直角坐标系，根据素材1求桥身模型的函数解析式． 任务2 利用模型 根据任务1所求的解析式模型，分别求点D、C的坐标． 任务3 分析计算 若点P恰好为OB中点，根据素材2及任务1和任务2得到的函数模型和数据，求立柱AB的高度． 【答案】；；16米． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质及用待定系数法求二次函数的表达式，求图像上点的坐标，及相似三角形的性质和判定的应用，综合性强，数形结合，适当添加辅助线是正确解决本题的关键. （1）用待定系数法即可求出； （2）先求出两点的横坐标，再代入所求的二次函数表达式即可求出纵坐标从而得两点坐标； （3）利用相似三角形的性质和判定及等腰三角形的判定即可求出． 【详解】解：如图所示， ∵抛物线经过点和， ∴由题意可知，抛物线的对称轴为直线， 设， 将代入，得， ， ； （2）由题意可知，线段被平均分成11条等长的线段，每段长米， 可设， 当时，， 当时，， ， （3）设与轴交于点M，作轴于N， 可得， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：16米． 25. 如图，为的外接圆，弦，垂足为E，直径交于点G，连接，．若，． （1）证明：四边形为平行四边形； （2）求的值； （3）求的值． 【答案】（1） 证明：∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴∠ADC=∠ABC， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理得到，根据平行线的判定定理得到，推出，得到，根据平行四边形的判定定理即可得到结论； （2）设，得到，根据勾股定理得到，得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论； （3）如图：过点D作于H，根据勾股定理得到，根据相似三角形的性质得到，求得，再根据三角函数的定义即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，解得， ∴， ∴， 由（1）知，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：如图：过点D作于H， 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 在中，， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形外接圆和外心、平行四边形的判定、相似三角形的判定和性质、解直角三角形、圆周角定理等知识点，正确的作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $