精品解析：福建省福州文博中学2024-2025学年下学期九年级期中考数学试卷

福州文博中学2024－2025学年二检模拟考数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列各数中，为有理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据立方根、无理数与有理数的概念即可得． 【详解】解：A、，是有理数，则此项符合题意； B、是无限不循环小数，是无理数，则此项不符合题意； C、是无理数，则此项不符合题意； D、是无理数，则此项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了立方根、无理数与有理数，熟记无理数与有理数的概念是解题关键． 2. 将数据3000亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解：3000亿． 故选：D． 3. 如图中六棱柱的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据几何体的三视图的定义，画出从左面看所得到的图形即可． 【详解】根据三视图的概念，可知选项A中的图形是左视图，选项C中的图形是主视图，选项D中的图形是俯视图， 故选A． 【点睛】本题主要考查了简单几何体的三视图，理解三视图的定义，熟练掌握三视图的画法是解题的关键． 4. 在平面直角坐标系中，点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据点坐标分别判断出横坐标和纵坐标的符号，从而就可以判断改点所在的象限． 【详解】解：， ，， 满足第二象限的条件． 故选：B． 【点睛】本题考查的是平面直角坐标系中点的坐标以及象限知识，解题的关键在于熟练掌握各个象限的横纵坐标点的符号特点． 5. 生活中有许多对称美的图形，下列是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形和轴对称图形的识别；根据中心对称图形定义：把图形沿某点旋转得到的新图形与原图形重合的图形叫中心对称图形，轴对称图形定义：把一个图形沿某条直线对折两边完全重合的图形叫轴对称图形，逐个判断即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， A选项图形不是中心对称图形是轴对称图形，不符合题意， B选项图形是中心对称图形又是轴对称图形，不符合题意， C选项图形是中心对称图形不是轴对称图形，符合题意， D选项图形是中心对称图形也是轴对称图形，不符合题意， 故选：C． 6. 下列计算正确是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别根据积的乘方、合并同类项、乘法公式逐项求解判断即可． 详解】解：A、，故原计算错误，不符合题意； B、，故原计算错误，不符合题意； C、，故原计算正确，符合题意； D、，故原计算错误，不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查积的乘方、合并同类项、乘法公式，熟记完全平方公式和平方差公式，正确判断是解答的关键． 7. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一．书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺．问木长多少尺？设木长尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设木长尺，根据题意“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺”，列出一元一次方程即可求解． 【详解】解：设木长尺，根据题意得， ， 故选：A 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 8. 估计的值应在（ ） A. 7和8之间 B. 8和9之间 C. 9和10之间 D. 10和11之间 【答案】B 【解析】 【分析】先计算二次根式的混合运算，再估算结果的大小即可判断． 【详解】解： ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，正确掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． 9. 如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点．若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例得出，根据，得出，则，进而可得，根据，得出，根据相似三角形的性质得出，进而在中，勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，，， ∴，，， ∵， ∴ ∴，， ∴， 则， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 在中，， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 10. 设二次函数（a，c为实数，）的图象过点，，，，则（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图像上点的坐标特征，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．将四个点的坐标代入解析式，根据对每个选项解不等式即可解答． 【详解】解： ， ， A、，，则， 或， 即或， 当时，或， 当时，， 当时，，故A错误； B．，，则， 或， 即或， 当时， 当时，， 当时，，故B错误； C．，，则， 或， 即或， 当时，无解， 当时，无解， 当时，， ，故选项C错误； D、，，则， 或， 即或， 当时，， 当时，无解， 当时，无解， ，故D正确； ，故选项D正确； 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 计算：__________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了实数运算，立方根定义，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 先开立方化简，再计算即可． 【详解】解：， 故答案为：3． 12. 已知直线，将一块含角的直角三角板按如图方式放置，其中A、两点分别落在直线、上，若，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据平行线的性质即可得到结论． 【详解】解：∵直线， ∴， 故答案为：． 13. 不等式组的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握解题步骤是解题的关键．分别求得不等式组中每个不等式的解集，再找到两个不等式解集的公共部分即为不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为：， 故答案为：． 14. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查提公因式法分解因式． 提公因式即可． 【详解】解： 故答案为：． 15. 要使代数式有意义，则x的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件得出，即可求解． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 16. 如图，已知点是一次函数图象上一点，过点作轴的垂线，是上一点（在上方），在的右侧以为斜边作等腰直角三角形，反比例函数的图象过点，，若的面积为，则的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与几何的综合，等腰直角三角形的性质，三角形面积． 作轴于，交于，由等腰直角三角形的性质，结合已知可得，设，则，，根据反比例函数的图象过点，，列方程，化简可得，结合的面积为，可得，进而可得的面积． 【详解】解：作轴于，交于， ∵轴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴, 设，则, 设，则，， ∵反比例函数的图象过点，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积． 故答案为： ． 三、解答题：（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算：． 【答案】3 【解析】 【分析】根据负整数指数幂和零指数幂运算法则，特殊角的三角函数值，进行计算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查了实数混合运算，解题的关键是熟练掌握负整数指数幂和零指数幂运算法则，特殊角的三角函数值，准确计算． 18. 如图，CD＝ CA，∠1 ＝ ∠2，EC＝BC． 求证：DE＝AB． 【答案】详见解析 【解析】 【分析】由已知证得∠ACB=∠DCE，从而根据三角形全等SAS的判定，证明△ABC≌△DEC，继而可得出结论． 【详解】证明：∵∠1=∠2， ∴∠1+ECA=∠2+∠ACE，即∠ACB=∠DCE． 在△ABC和△DEC中， ∵CD=CA，∠ACB=∠DCE，BC=EC， ∴△ABC≌△DEC（SAS）． ∴DE=AB． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，解决此题的关键是证明∠ACB=∠DCE． 19. 先化简，再求值；，其中为满足的整数． 【答案】， 【解析】 【分析】利用分式的混合运算的法则化简后，将代入运算即可. 【详解】解：原式 ∵a为满足的整数且， ∴， ∴取，原式． 【点睛】本题主要考查了分式的运算，熟练掌握分式的化简求值是解题的关键. 20. “双减”政策实施后，某校为丰富学生的课余生活，开设了A书法，B绘画，C舞蹈，D跆拳道四类兴趣班．为了解学生对这四类兴趣班的喜爱情况，随机抽取该校部分学生进行了问卷调查，并将调查结果整理后绘制成两幅不完整的统计图．请根据统计图信息回答下列问题． （1）本次抽取调查学生共有___________人，估计该校3000名学生喜爱“跆拳道”兴趣班的人数约为___________人． （2）请将以上两个统计图补充完整． （3）甲、乙两名学生要选择参加兴趣班，若他们每人从A，B，C，D四类兴趣班中随机选取一类，请用画树状图或列表法，求两人恰好选择同一类的概率． 【答案】（1）60，300 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据喜欢绘画的条形统计图和扇形统计图信息即可得本次抽取调查学生的总人数，再利用3000乘以喜欢跆拳道的学生所占百分比即可得； （2）先求出喜欢书法的学生人数，据此补全条形统计图，再求出喜欢舞蹈和跆拳道的学生所占百分比，据此补全扇形统计图即可得； （3）先画出树状图，从而可得甲、乙两名学生选择参加兴趣班的所有等可能的结果，再找出两人恰好选择同一类的结果，然后利用概率公式计算即可得． 【小问1详解】 解：本次抽取调查学生的总人数为（人）， 估计该校3000名学生喜爱“跆拳道”兴趣班的人数约为（人）， 故答案为：60，300． 【小问2详解】 解：喜欢书法的学生人数人（人）， 喜欢舞蹈的学生所占百分比为， 喜欢跆拳道的学生所占百分比为． 则补全两个统计图如下： 【小问3详解】 解：由题意，画树状图如下： 由图可知，甲、乙两名学生选择参加兴趣班的所有等可能的结果共有16种，其中，两人恰好选择同一类的结果有4种， 则两人恰好选择同一类的概率为， 答：两人恰好选择同一类的概率为． 【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联、画条形统计图和扇形统计图、利用列举法求概率，熟练掌握统计调查的相关知识和列举法是解题关键． 21. 如图，点为等边三角形的中心，是以为斜边的直角三角形，且． （1）用尺规在直线的左侧作，使≌，保留必要的作图痕迹，不写作法； （2）能否由绕点按顺时针方向旋转得到？若能，请加以证明，并求出旋转角（）的度数；若不能，请说明理由． 【答案】（1）图见详解；（2）能，旋转角为120°，证明见详解． 【解析】 【分析】（1）分别以点A、B为圆心，以CE、BE为半径画弧，则两弧交于一点D，进而问题可求解； （2）连接OA、OB、OC、OD、OE，由题意易得，，由（1）可知：，则有，然后可得，进而可得OD=OE，最后问题可求解． 【详解】（1）解：如图所示： （2）证明：能，理由如下： 连接OA、OB、OC、OD、OE，如图所示： ∵O是等边三角形ABC的中心，是以为斜边的直角三角形，且， ∴，， 由（1）可知：， ∴， ∴，即， ∵OB=OB， ∴， ∴， ∵OA=OB=OC，∠BOC=∠AOB=120°， ∴能由绕点按顺时针方向旋转得到，旋转角度为． 【点睛】本题主要考查旋转的性质、等边三角形及等腰直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质、等边三角形及等腰直角三角形的性质是解题的关键． 22. 预防青少年近视，从一点一滴做起，为提高同学们保护视力的意识，某学校开展了一系列爱眼护眼宣传活动．某数学小组从网课期间利用笔记本电脑学习的同学处得到启发，准备探究笔记本电脑屏幕与键盘的夹角以及屏幕上方边界离桌面的距离与视力的关系． 如图，当屏幕与键盘所成夹角时，上方边界处离桌面的高度的长为，通过发放调查问卷统计的数据显示，多数同学表示此角度不理想．通过不断调整与问卷调查分析，发现多数同学认为当夹角时，感觉比较适宜．求此时上方边界处离桌面的高度的长．（结果精确到；参考数据：，，，） 【答案】约 【解析】 【分析】先根据直角三角形中30度角所对的边是斜边的一半和勾股定理求出的长度，再解直角三角形即可． 【详解】解：， ， ， ∵， ． 在中，， 由勾股定理得：， 解得． 由题意得：， ， ， 在中，， 此时上方边界处离桌面的高度的长约． 【点睛】本题考查了解直角三角形应用，涉及勾股定理，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． 23. 如图，在中，，点为边的中点，以为直径作⊙，分别与交于点，过点作于． （1）求证：是的切线； （2）若，的半径为5，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据直角三角形的性质可得，从而得到，再由，可得，即可； （2）连接，根据是直径，可得，从而得到，进而得到，由勾股定理可得，再由，可得，即可求解． 【小问1详解】 证明：连接， ， ， 是中点，， ， ， ∴， 又， ， 即是的切线； 【小问2详解】 解：连接， 是直径， ， ， 的半径为5， ， ， 由勾股定理得，， ， ， 又， ， ∴． 【点睛】此题主要考查了圆的有关性质，切线的判定，直角三角形斜边的中线是斜边的一半，勾股定理，正弦的定义，综合运用以上知识是解本题的关键． 24. 二次函数经过点，，． （1）求该二次函数的解析式； （2）直线上方有一点D，过点D作轴交直线于点E，过点D作交x 轴于点F，求的值最大值及此时点D的坐标． （3）将原抛物线向右平移得到经过原点的新抛物线，直线 (m、n为常数，)与抛物线有唯一公共点G，且与抛物线对称轴相交于点P，点P关于x轴的对称点为点，过点G作于点H，求线段的长． 【答案】（1） （2）的最大值为，此时点 （3） 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）求出直线的解析式为，设点D的坐标为，则点E的坐标为，得出，过点C作轴交于点G，求出，得出求出最值即可； （3）求出，令，根据，得出，求出，得出，，求出， 得出，，根据求出结果即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数经过点，，， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：设直线的解析式为，把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 设点D坐标为，则点E的坐标为， ∴， ∵，， ∴，， 过点C作轴交于点G，如图所示： ∵轴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴ ， ∴当时，有最大值6， 此时点D的坐标为：． 【小问3详解】 解：， ∵原抛物线向右平移得到经过原点的新抛物线，且点B的坐标为， ∴， 令， 整理得：， 则， 整理得：， ∴直线的解析式为， 此时， 把代入得：， ∴， 抛物线的对称轴为直线， 把代入得：， ∴点P关于x轴的对称点为点， ∴， ∴ ， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，求出二次函数解析式，二次函数的平移，平行线的性质，解直角三角形，平行四边形的判定和性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握二次函数的性质． 25. 如图，正方形中，点在边上，点是的中点，连接，． （1）求证：； （2）将绕点逆时针旋转，使点的对应点落在上，连接．当点在边上运动时（点不与，重合），判断的形状，并说明理由． （3）在（2）的条件下，已知，当时，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）等腰直角三角形，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的基本性质以及“斜中半定理”等推出，即可证得结论； （2）由旋转的性质得，从而利用等腰三角形的性质推出，再结合正方形对角线的性质推出，即可证得结论； （3）结合已知信息推出，从而利用相似三角形的性质以及勾股定理进行计算求解即可． 【小问1详解】 证：∵四边形为正方形， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴，即：， 在与中， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：为等腰直角三角形，理由如下： 由旋转的性质得：， ∴， ∴，， ∵， ∴，即：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形； 【小问3详解】 解：如图所示，延长交于点， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则，， ∴， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形和相似三角形的判定与性质等，理解并熟练运用基本图形的证明方法和性质，掌握勾股定理等相关计算方式是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州文博中学2024－2025学年二检模拟考数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列各数中，为有理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 将数据3000亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图中六棱柱的左视图是（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 生活中有许多对称美的图形，下列是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A B. C. D. 6. 下列计算正确的是（ ） A B. C. D. 7. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一．书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺．问木长多少尺？设木长尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 估计的值应在（ ） A. 7和8之间 B. 8和9之间 C. 9和10之间 D. 10和11之间 9. 如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点．若，，则（ ） A. B. C. D. 10. 设二次函数（a，c为实数，）的图象过点，，，，则（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11 计算：__________． 12. 已知直线，将一块含角的直角三角板按如图方式放置，其中A、两点分别落在直线、上，若，则的度数为______． 13. 不等式组的解集为______． 14. 因式分解：__________． 15. 要使代数式有意义，则x的取值范围是__________． 16. 如图，已知点是一次函数图象上一点，过点作轴垂线，是上一点（在上方），在的右侧以为斜边作等腰直角三角形，反比例函数的图象过点，，若的面积为，则的面积是______． 三、解答题：（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算：． 18. 如图，CD＝ CA，∠1 ＝ ∠2，EC＝BC． 求证：DE＝AB． 19. 先化简，再求值；，其中为满足整数． 20. “双减”政策实施后，某校为丰富学生的课余生活，开设了A书法，B绘画，C舞蹈，D跆拳道四类兴趣班．为了解学生对这四类兴趣班的喜爱情况，随机抽取该校部分学生进行了问卷调查，并将调查结果整理后绘制成两幅不完整的统计图．请根据统计图信息回答下列问题． （1）本次抽取调查学生共有___________人，估计该校3000名学生喜爱“跆拳道”兴趣班的人数约为___________人． （2）请将以上两个统计图补充完整． （3）甲、乙两名学生要选择参加兴趣班，若他们每人从A，B，C，D四类兴趣班中随机选取一类，请用画树状图或列表法，求两人恰好选择同一类的概率． 21. 如图，点为等边三角形的中心，是以为斜边的直角三角形，且． （1）用尺规在直线的左侧作，使≌，保留必要的作图痕迹，不写作法； （2）能否由绕点按顺时针方向旋转得到？若能，请加以证明，并求出旋转角（）的度数；若不能，请说明理由． 22. 预防青少年近视，从一点一滴做起，为提高同学们保护视力的意识，某学校开展了一系列爱眼护眼宣传活动．某数学小组从网课期间利用笔记本电脑学习的同学处得到启发，准备探究笔记本电脑屏幕与键盘的夹角以及屏幕上方边界离桌面的距离与视力的关系． 如图，当屏幕与键盘所成夹角时，上方边界处离桌面的高度的长为，通过发放调查问卷统计的数据显示，多数同学表示此角度不理想．通过不断调整与问卷调查分析，发现多数同学认为当夹角时，感觉比较适宜．求此时上方边界处离桌面的高度的长．（结果精确到；参考数据：，，，） 23. 如图，在中，，点为边的中点，以为直径作⊙，分别与交于点，过点作于． （1）求证：是的切线； （2）若，的半径为5，求的长． 24. 二次函数经过点，，． （1）求该二次函数的解析式； （2）直线上方有一点D，过点D作轴交直线于点E，过点D作交x 轴于点F，求的值最大值及此时点D的坐标． （3）将原抛物线向右平移得到经过原点的新抛物线，直线 (m、n为常数，)与抛物线有唯一公共点G，且与抛物线对称轴相交于点P，点P关于x轴的对称点为点，过点G作于点H，求线段的长． 25. 如图，正方形中，点在边上，点是的中点，连接，． （1）求证：； （2）将绕点逆时针旋转，使点的对应点落在上，连接．当点在边上运动时（点不与，重合），判断的形状，并说明理由． （3）在（2）的条件下，已知，当时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $