精品解析：广东仲元中学等校2025-2026学年下学期八年级数学学科素养提升练习

广东仲元中学2025-2026学年度第二学期初二年级 数学学科素养提升练习 一、单选题（共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 要使二次根式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数为非负数列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次根式有意义的条件是被开方数为非负数， ∴要使有意义，需满足， 解不等式得． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二次根式的加法，二次根式的混合计算，二次根式的乘法以及二次根式的性质求解即可． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，计算错误，不符合题意； B、，计算错误，不符合题意； C、，计算错误，不符合题意； D、，计算正确，符合题意． 3. 若是整数，则正整数n的最小值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．要使为整数，需满足是完全平方数，由，即可确定n的最小值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵是整数，且n是整数， 则是完全平方数， ∴n的最小值为：6． 故选：D． 4. 长方形纸片中，，，将纸片沿折叠使点与点重合，折痕与相交于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，由折叠的性质及矩形的性质可表示出和的长，在中利用勾股定理列式解方程即可得解． 【详解】解：四边形是矩形，，， ，， 设， 由折叠的性质可知，， ， 在中，，即， 解得， 即的长为． 5. 下列条件不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理逆定理可判断A、B选项，由三角形内角和为可判断C、D选项． 【详解】解：A选项，满足勾股定理逆定理，是直角三角形； B选项，由，设， 则，满足勾股定理逆定理，是直角三角形； C选项，由，结合， 则，解得，是直角三角形； D选项，由，设， 则，解得， 此时最大角，不是直角三角形． 6. 若一个多边形的内角和是，则这个多边形是（ ） A. 十边形 B. 六边形 C. 八边形 D. 七边形 【答案】C 【解析】 【分析】根据边数内角和即可得到答案． 【详解】解：． 这个多边形是八边形． 7. 如图，有一个水池，其底面是边长为16尺的正方形，一根芦苇生长在它的正中央，高出水面部分的长为2尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的，则这根芦苇的长为（ ） A. 15尺 B. 16尺 C. 17尺 D. 18尺 【答案】C 【解析】 【分析】如图所示，设芦苇长尺，则水深尺，根据题意得到尺，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长． 【详解】解：如图所示， 设芦苇长尺，则水深尺， 因为尺，所以尺， 在中，， 解得：， ∴尺． ∴芦苇长17尺． 8. 下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形常见的判定方法是解题的关键．根据平行四边形的判定方法（①有两组对角分别相等的四边形是平行四边形，②有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③有一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，④对角线互相平分的四边形是平行四边形，⑤有两组对边分别平行的四边形是平行四边形）逐项判断即得答案． 【详解】解：A、∵，， ∴四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； B、根据，，不一定能推出四边形是平行四边形，故本选项符合题意； C、∵，， ∴四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； D、∵，， ∴四边形是平行四边形，故本选项不符合题意． 故选：B． 9. 如图所示，从一个大正方形中裁掉面积为20和90的两个小正方形，则余下部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设面积为20和90的两个小正方形的边长分别为x，y，根据题意，得，，，解答即可． 本题考查了正方形的性质，算术平方根的计算，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：设面积为20和90的两个小正方形的边长分别为x，y， 根据题意，得，，， 故， 故， 故剩余图形的面积为， 故选：C． 10. 如图，已知是边长为3的等边三角形，点是边上的一点，且，以为边作等边，过点作，交于点，连接，则下列结论中①；②；③四边形是平行四边形；④；⑤．其中正确的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，连接，作于，由等边三角形的性质可判断①；证明，是等边三角形，可得，求解，可得判断③，可得，可判断②，可得，如图，过作于点，则，进一步可判断④⑤不符合题意． 【详解】解：连接，作于， ∵，都是等边三角形， ∴，，， ∴，故①符合题意； ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴在中，由勾股定理得：， ∵， ∴四边形是平行四边形，故③符合题意， ∵，，， ∴，故②符合题意， ∴， 如图，过作于点，则， ∵是边长为的等边三角形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴，故④不符合题意； ∵，， ∴， 而，， ∴， ∴；故⑤不符合题意， 综上①②③符合题意，共个， 故选：B． 二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分） 11. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质，将被开方数分解为完全平方数与剩余因数的乘积，即可完成化简． 【详解】解：= ． 12. 如图，在四边形中，与相交于点．若，，则当________，________时，四边形是平行四边形． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【详解】解：∵平行四边形的对角线互相平分， ∴要使四边形是平行四边形，需满足，， 即：， ∵，， ∴． 13. 直角三角形有两边长分别为3，4，则该直角三角形第三边的长度为_____． 【答案】5或##或5 【解析】 【分析】题中没有指明哪个是直角边哪个是斜边，故应该分情况进行分析． 【详解】解：当两边均为直角边时，由勾股定理得，第三边为； 当4为斜边时，由勾股定理得，第三边为， 故该直角三角形第三边的长度为5或． 14. 计算：_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用二次根式的性质化简，先判断的符号，再根据绝对值的性质去绝对值即可得到结果． 【详解】解：根据二次根式的性质，得 = ， ， 根据绝对值的性质，负数的绝对值等于它的相反数，得． 15. 在平面直角坐标系中，已知平行四边形的三个顶点坐标分别是，则平行四边形第四个顶点D的坐标为__________． 【答案】（3，6），（-1，-2），（7，2） 【解析】 【分析】分三种情况讨论，由平行四边形的性质即可得出答案． 【详解】解：观察图象可知满足条件的点D的坐标为（3，6），（-1，-2），（7，2）， 故答案为：（3，6），（-1，-2），（7，2）． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质，解答本题的关键要注意分情况求解，不能忽略任何一种可能的情况． 16. 如图，在四边形中，连接，，．已知是边上的一点，连接DE，过点E作于点F，且．若，，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】结合题意，再根据角平分线的判定可得平分，利用平行线的判定，可推出四边形是平行四边形，即，根据勾股定理可得，设，再利用，代入数值解方程可得，再利用勾股定理可得． 【详解】解：∵， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 设， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，平行线的判定，勾股定理，角平分线的判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 三、解答题（共9小题，满分86分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可； （2）先根据完全平方公式和二次根式的除法法则运算，然后合并即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 计算：已知，，求下列各式的值： （1）； （2）． 【答案】（1）10 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，求代数式的值，完全平方公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意可得，，再将所求式子变形为，整体代入计算即可得解； （2）由题意可得，，整体代入计算即可得解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴，， ∴． 19. 如图，每个小正方形的边长均为1，A，B，C，D均为格点． （1）直接写出下列线段的长度： ， ； （2）连接，判断形状，并证明你的结论． 【答案】（1）；5 （2）是直角三角形，证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理和勾服定理的逆定理，解题关键是牢记公式． （1）根据勾股定理计算即可； （2）先计算，再利用勾股定理的逆定理即可证明． 【小问1详解】 解：， ； 【小问2详解】 解：是直角三角形； 证明：∵，，， ∴， ∴是直角三角形． 20. 学校花园有一个不规则的池塘，A，B两点分别位于池塘的两端，利用现有皮尺无法直接测量A，B间的距离．综合实践小组利用所学数学知识解决这一问题，实践报告如下： 实践任务 测量池塘两端A，B间的距离 测量工具 皮尺 测量方案及测量数据 如图所示，图中各点均在同一水平地面内．第一步：沿线段延长线的方向，在池塘边的空地上选点C，使；第二步：在的一侧选点D，使点D能直接到达A，B，C三点，测得，，． 问题解决： （1）试判断的形状，并说明理由； （2）求池塘两端A，B之间的距离． 【答案】（1）是直角三角形，理由见解析 （2）池塘两端A，B之间的距离为 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理逆定理，进行求解即可； （2）利用勾股定理进行求解即可. 【小问1详解】 解：是直角三角形，理由如下： ∵，，， ∴， ∴是直角三角形； 【小问2详解】 解：由（1）知：是直角三角形，且， ∴， ∵，， ∴； 答：池塘两端A，B之间的距离为． 21. 如图，在中，是它的一条对角线，过A，C两点分别作，，E、F是垂足，求证：． 【答案】证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】此题考查平行四边形的性质，三角形全等的判定与性质．根据平行四边形的性质证明，即可得出结论． 【详解】略 22. 如图（1）所示是某校篮球架实物图，如图（2）所示是篮球架的侧面示意图，篮板边侧垂直于地面．八年级的“综合与实践”数学小组开展测量篮球架篮板高度的实践活动．在不便于直接测量的情况下，小组设计了如下测量方法：如图（3）所示，小组成员将竹竿垂直固定在地面上，小明从竹竿上的F点处观察篮板底部B点，用测角仪测量视线与竹竿的夹角的度数为，接着将观察点沿着竹竿向上移动到G点，使得从G点观察篮板顶部A点的视线与竹竿的夹角的度数恰好等于的度数时，在竹竿上标注G点的位置，测量的长度为．活动分享时，小明说：“的长度就是篮板的高度”，你认为小明的说法是否正确，并说明理由． 【答案】我认为小明的说法正确， 理由如下： ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴四边形是平行四边形． ∴． ∴的长度就是篮板的高度． 【解析】 【分析】本题主要查了平行四边形的判定和性质，证明四边形是平行四边形是解题的关键． 根据题意可得，再由，得到，继而得到四边形是平行四边形，即可解答． 【详解】略 23. “赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．在世界数学史上具有独特的贡献和地位．现用四个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”．设直角三角形的两条直角边长分别为a，b（），斜边为c，请利用这个图形解决下列问题： （1）试说明： （2）如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是3，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的证明，完全平方公式的变形应用．解题的关键在于明确与面积的关系． （1）根据大正方形面积=小正方形面积+四个直角三角形面积计算即可； （2）由图可得到和的值，进而求出，代入，即可得到结论． 【小问1详解】 证明：∵大正方形面积为，直角三角形面积为，小正方形面积为， ∴ ∴． 【小问2详解】 解：大正方形面积为13， ， ， ， 又小正方形面积为3， ， ， ， ． 24. 【再读教材】：我们八年级下册数学课本第16页介绍了“海伦—秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为． 【解决问题】：已知在中，，，． （1）请你用“海伦—秦九韶公式”求的面积． （2）除了利用“海伦—秦九韶公式”求的面积外，你还有其它的解法吗？请写出你的解法． 【答案】（1）15 （2）有，见解析 【解析】 【分析】（1）直接用海伦—秦九韶公式计算面积即可； (2)计算得到AC2+BC2=AB2，即△ABC为直角三角形，直接两直角边的积除以2求面积， 【小问1详解】 ∵，， ∴ ∴ 【小问2详解】 证明：∵，， ∴，， ∴ ∴ 所以∆ABC为直角三角形； ∴ 【点睛】本题考查了代数式求值，勾股定理逆定理，准确计算是解题关键． 25. 定义：若端点均在四边形边上的线段平分该四边形的面积，则我们称这条线段为该四边形的等积线．例：如图1，在中，连结，我们可以利用“夹在两条平行线间的垂线段相等”，结合“等底（同底）等高的两个三角形面积相等”来说明与的面积相等，即是的等积线． （1）请利用图1完成例的证明． （2）如图2，在四边形中，连结．已知点与上一点的连线段是四边形的等积线，过点作的平行线，交于点，若，求的长度． （3）如图3，在（2）的条件下，延长，交于点．若，请在图中找出一条不同于的四边形的等积线，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）线段是四边形的等积线 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，平行线间的距离； （1）过作于，过作于，由得到，，根据夹在两条平行线间的垂线段相等得到，再根据等底（同底）等高的两个三角形面积相等证明即可． （2）连接，，过作于，过作于，由得到，再根据线段是四边形的等积线，得到，即可推出，表示出面积即可得到； （3）连接，，由和得到四边形是平行四边形，推出，得到，即可得到，线段是四边形的等积线． 【小问1详解】 解：过作于，过作于， ∵， ∴，， ∵夹在两条平行线间的垂线段相等， ∴， ∵，， ∴，即是的等积线． 【小问2详解】 解，连接，，过作于，过作于， ∵， ∴， ∵线段是四边形的等积线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 连接，， 由（2）可得， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵线段是四边形的等积线， ∴， ∴， ∴线段是四边形的等积线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东仲元中学2025-2026学年度第二学期初二年级 数学学科素养提升练习 一、单选题（共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 要使二次根式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若是整数，则正整数n的最小值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 长方形纸片中，，，将纸片沿折叠使点与点重合，折痕与相交于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 5. 下列条件不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 6. 若一个多边形的内角和是，则这个多边形是（ ） A. 十边形 B. 六边形 C. 八边形 D. 七边形 7. 如图，有一个水池，其底面是边长为16尺的正方形，一根芦苇生长在它的正中央，高出水面部分的长为2尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的，则这根芦苇的长为（ ） A. 15尺 B. 16尺 C. 17尺 D. 18尺 8. 下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 9. 如图所示，从一个大正方形中裁掉面积为20和90的两个小正方形，则余下部分的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知是边长为3的等边三角形，点是边上的一点，且，以为边作等边，过点作，交于点，连接，则下列结论中①；②；③四边形是平行四边形；④；⑤．其中正确的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分） 11. 计算：________． 12. 如图，在四边形中，与相交于点．若，，则当________，________时，四边形是平行四边形． 13. 直角三角形有两边长分别为3，4，则该直角三角形第三边的长度为_____． 14. 计算：_____． 15. 在平面直角坐标系中，已知平行四边形的三个顶点坐标分别是，则平行四边形第四个顶点D的坐标为__________． 16. 如图，在四边形中，连接，，．已知是边上的一点，连接DE，过点E作于点F，且．若，，则的长为_____． 三、解答题（共9小题，满分86分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 计算：已知，，求下列各式的值： （1）； （2）． 19. 如图，每个小正方形的边长均为1，A，B，C，D均为格点． （1）直接写出下列线段的长度： ， ； （2）连接，判断形状，并证明你的结论． 20. 学校花园有一个不规则的池塘，A，B两点分别位于池塘的两端，利用现有皮尺无法直接测量A，B间的距离．综合实践小组利用所学数学知识解决这一问题，实践报告如下： 实践任务 测量池塘两端A，B间的距离 测量工具 皮尺 测量方案及测量数据 如图所示，图中各点均在同一水平地面内．第一步：沿线段延长线的方向，在池塘边的空地上选点C，使；第二步：在的一侧选点D，使点D能直接到达A，B，C三点，测得，，． 问题解决： （1）试判断的形状，并说明理由； （2）求池塘两端A，B之间的距离． 21. 如图，在中，是它的一条对角线，过A，C两点分别作，，E、F是垂足，求证：． 22. 如图（1）所示是某校篮球架实物图，如图（2）所示是篮球架的侧面示意图，篮板边侧垂直于地面．八年级的“综合与实践”数学小组开展测量篮球架篮板高度的实践活动．在不便于直接测量的情况下，小组设计了如下测量方法：如图（3）所示，小组成员将竹竿垂直固定在地面上，小明从竹竿上的F点处观察篮板底部B点，用测角仪测量视线与竹竿的夹角的度数为，接着将观察点沿着竹竿向上移动到G点，使得从G点观察篮板顶部A点的视线与竹竿的夹角的度数恰好等于的度数时，在竹竿上标注G点的位置，测量的长度为．活动分享时，小明说：“的长度就是篮板的高度”，你认为小明的说法是否正确，并说明理由． 23. “赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．在世界数学史上具有独特的贡献和地位．现用四个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”．设直角三角形的两条直角边长分别为a，b（），斜边为c，请利用这个图形解决下列问题： （1）试说明： （2）如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是3，求的值． 24. 【再读教材】：我们八年级下册数学课本第16页介绍了“海伦—秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为． 【解决问题】：已知在中，，，． （1）请你用“海伦—秦九韶公式”求的面积． （2）除了利用“海伦—秦九韶公式”求的面积外，你还有其它的解法吗？请写出你的解法． 25. 定义：若端点均在四边形边上的线段平分该四边形的面积，则我们称这条线段为该四边形的等积线．例：如图1，在中，连结，我们可以利用“夹在两条平行线间的垂线段相等”，结合“等底（同底）等高的两个三角形面积相等”来说明与的面积相等，即是的等积线． （1）请利用图1完成例的证明． （2）如图2，在四边形中，连结．已知点与上一点的连线段是四边形的等积线，过点作的平行线，交于点，若，求的长度． （3）如图3，在（2）的条件下，延长，交于点．若，请在图中找出一条不同于的四边形的等积线，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $