精品解析：江苏赣榆高级中学2025-2026学年第二学期期中学业水平质量监测高一年级数学试题（B）

2025—2026学年度第二学期期中学业水平质量监测 高一年级数学试题（B） （本卷满分150分，共4页，考试时间120分钟） 注意事项： 1答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效. 3考试结束后，将答题卡交回. 一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上） 1. 若向量，则（ ） A. B. 2 C. 1 D. 0 2. 已知复数（为虚数单位），则的共轭复数为 A. B. C. D. 3. 在△中，内角的对边分别是，且，则等于（ ） A. B. C. 3 D. 4. 已知，，任意点关于点的对称点为，点关于点的对称点为，则向量（ ） A. B. C. D. 5. 函数，的零点为，则（ ） A. B. C. D. 6. 在平行四边形中，，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线相交于，两点，．若，则（ ）． A. B. C. D. 8. 外轮除特许外，不得进入离我国海岸线d n mile以内的区域，如果进入则对其发出警告，其退出此区域．如图，设A，B是相距s n mile的两个观察站，一外轮在P点，测得，，，满足什么关系时就该向外轮发出警告（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分） 9. 下面是关于复数（为虚数单位）的命题，其中真命题为（ ） A. 的共轭复数为 B. 在复平面内对应的点在第二象限 C. 若，则的最大值是 D. 的虚部为 10. 已知为的垂心，且，，，，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 下列四个等式中正确的是（ ） A. B. C. 已知函数，则的最小正周期是 D. 已知，，则的最小值为 三､填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 在中，，且，则___________． 13. 若，则___________． 14. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则cosA＝____． 四､解答题（本大题共5个小题，共77分.解答题应写出文字说明､证明过程或者演算步骤） 15. 已知向量，满足，. （1）若，求; （2）若与的夹角为，求. 16. 已知复数（，为虚数单位）． （1）若为纯虚数，求复数； （2）若，且复数所对应的点位于第一象限，求的范围． 17. 设a为正实数．如图，一个水轮的半径为a m，水轮圆心 O 距离水面，已知水轮每分钟逆时针转动 5 圈．当水轮上的点 P 从水中浮现时（即图中点）开始计算时间． （1）将点 P 距离水面的高度 h(m )表示为时间 t(s)的函数； （2）点 P 第一次达到最高点需要多少时间． 18. 如图，两点都在河的对岸（不可到达），为了测量两点间的距离，在两点的对岸选定两点，测得，并且在两点分别测得，，，， （1）求两点间的距离； （2）设与相交于点，记与的面积分别为，，求． 19. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求角A的大小； （2）若且，求的面积； （3）若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期期中学业水平质量监测 高一年级数学试题（B） （本卷满分150分，共4页，考试时间120分钟） 注意事项： 1答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效. 3考试结束后，将答题卡交回. 一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上） 1. 若向量，则（ ） A. B. 2 C. 1 D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量平行的坐标表示直接求解. 【详解】依题意得，即. 故选：D. 2. 已知复数（为虚数单位），则的共轭复数为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】 选D. 3. 在△中，内角的对边分别是，且，则等于（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦定理，结合已知条件，即可容易求得结果. 【详解】在三角形中， 由正弦定理可得：. 故选：A. 4. 已知，，任意点关于点的对称点为，点关于点的对称点为，则向量（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据点的对称关系，结合中点坐标公式进行化简即可得结论． 【详解】解：因为点关于点的对称点为，点关于点的对称点为 即，， 两式相减得， 即. 故选：B. 【点睛】本题考查向量的运算，根据对称性得到向量的关系是关键. 5. 函数，的零点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦的二倍角公式变形后确定，同时求得，再由二倍角公式求得，然后由两角和的余弦公式求解. 【详解】， 又，则，得，则， ，． 所以． 故选：C． 6. 在平行四边形中，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，根据平面向量的加减法，结合数量积的定义，可得关于所求余弦值的方程，可得答案. 【详解】因为，所以， 解得. 故选：B. 7. 已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线相交于，两点，．若，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 设，两点坐标，根据题意可得，由此可得，求得，再设直线的方程为，与抛物线方程联立，根据两根之积求出，进而利用抛物线的性质求出结果. 【详解】由题意可知，，设，， 则，， 因为，且，，三点共线，则由可得， 所以，即， 解得或（舍），所以. 设直线的方程为，与抛物线方程联立， 得，消去得，则，所以. 则. 所以. 故选：D. 【点睛】解题关键是求出的值，本题中设直线方程并代入抛物线方程，整理后应用韦达定理求出，并结合向量，列出等式确定. 8. 外轮除特许外，不得进入离我国海岸线d n mile以内的区域，如果进入则对其发出警告，其退出此区域．如图，设A，B是相距s n mile的两个观察站，一外轮在P点，测得，，，满足什么关系时就该向外轮发出警告（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作PD垂直于AB于D.在直角三角形中，表示出，进而表示出，只需时,就该向外轮发出警告 【详解】作PD垂直于AB于D,如图示. 在Rt△PAD中,. 在Rt△PBD中 所以, 所以 故当时,就该向外轮发出警告,今其退出我国海域. 故选：C 二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分） 9. 下面是关于复数（为虚数单位）的命题，其中真命题为（ ） A. 的共轭复数为 B. 在复平面内对应的点在第二象限 C. 若，则的最大值是 D. 的虚部为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用复数的四则运算化简复数， 对于A，利用共轭复数的定义可判断；对于B，利用复数的几何意义可判断；对于C，利用复数模的三角不等式可判断；对于D，利用复数的概念可判断. 【详解】因为，所以， 对于A，利用共轭复数的定义可知，故A正确； 对于B，复数在复平面内对应的点在第三象限，故B错误； 对于C，由复数模的三角不等式可得，故C正确； 对于D，的虚部为，故D错误. 故选：AC 10. 已知为的垂心，且，，，，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据平面向量共线定理，结合平面向量垂直的性质、平面向量数量积的运算性质、垂心的性质进行求解判断即可. 【详解】，且，得，同理可得， 设，，则， 由于，，所以 化简得，故，得，故A正确，B错误 设，，，，， 故，，，故，故C正确，D错误. 故选：AC 11. 下列四个等式中正确的是（ ） A. B. C. 已知函数，则的最小正周期是 D. 已知，，则的最小值为 【答案】AB 【解析】 【分析】由，得到，可判定A正确；根据三角恒等变换的公式和辅助角公式，可判定B正确；根据可得，可判定C错误；由，得到，结合两角和与差的正弦、余弦公式及基本不等式，可判定D错误． 【详解】对于A中，由， 可得， 则，所以A正确， 对于B中，由 ，所以B正确； 对于C中，由函数， 可得，所以C错误； 对于D中，由， 可得， 又由 ， 当且仅当时，等号成立， 即，，方程无解，所以D错误． 故选：AB． 三､填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 在中，，且，则___________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据正弦定理可知角的正弦值比等于边的比，设出三条边长，由余弦定理即可求得的值. 【详解】∵， 设，（）， ∴由余弦定理代入可得， 解得. 故答案为：4. 【点睛】本题考查了正弦定理与余弦定理在解三角形中的简单应用，属于基础题. 13. 若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用两角和与差的余弦公式进行求解. 【详解】因为，所以， 所以， 所以 ， 故答案为： 14. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则cosA＝____． 【答案】 【解析】 【详解】∵，∴由正弦定理，可得，∴，即，∴，故答案为. 点睛：正弦定理和余弦定理是解三角形的重要工具，其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系，一般的利用公式（为三角形外接圆半径）可将边转化为角的三角函数关系，然后利用三角函数知识进行化简，往往用到三角形内角和定理和两角和与差的正、余弦公式等. 四､解答题（本大题共5个小题，共77分.解答题应写出文字说明､证明过程或者演算步骤） 15. 已知向量，满足，. （1）若，求; （2）若与的夹角为，求. 【答案】（1）或 （2）2 【解析】 【分析】（1）分为，方向相同，以及方向相反，分别计算，即可得出答案； （2）根据数量积的定义求出，然后根据数量积的运算律，展开即可得出答案. 【小问1详解】 若，方向相同，则； 若，方向相反，则. 【小问2详解】 由已知可得，， 所以. 16. 已知复数（，为虚数单位）． （1）若为纯虚数，求复数； （2）若，且复数所对应的点位于第一象限，求的范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据复数代数形式的乘法法则化简复数，依题意可得实部为零，虚部不为零，即可方程（不等式）组，解得即可； （2）根据复数代数形式的除法运算法则化简复数，再根据复数的几何意义得到不等式组，解得即可； 【小问1详解】 解：复数， ， 为纯虚数，，解得，； 【小问2详解】 解：， 所以复数在复平面内所对应的点的坐标为， 因为复数所对应的点位于第一象限， 所以，解得， 所以的范围为． 17. 设a为正实数．如图，一个水轮的半径为a m，水轮圆心 O 距离水面，已知水轮每分钟逆时针转动 5 圈．当水轮上的点 P 从水中浮现时（即图中点）开始计算时间． （1）将点 P 距离水面的高度 h(m )表示为时间 t(s)的函数； （2）点 P 第一次达到最高点需要多少时间． 【答案】（1） （2）4s； 【解析】 【分析】（1）建立直角坐标系，根据题意结合三角函数定义可以求出点 P 距离水面的高度 h(m )表示为时间 t(s)的函数； （2）根据正弦型函数的单调性求出最大值即可. 【详解】（1）如图，以水轮圆心 O 为原点，与水面平行的直线为 x 轴建立直角坐标系． 当t= 0时，点 P 的坐标为，角度为;根据水轮每分钟逆时针转动 5 圈，可知水轮转动的角速度为rad / s,所以 t 时刻，角度为;根据三角函数定义，可得 ⑵ 当时，，所以，解得t=4+12k， 所以当k= 0时， t = 4，即第一次达到最高点时需要4s． 【点睛】考查了数学阅读能力，考查了建模能力，考查了正弦型函数的最值，属于基础题. 18. 如图，两点都在河的对岸（不可到达），为了测量两点间的距离，在两点的对岸选定两点，测得，并且在两点分别测得，，，， （1）求两点间的距离； （2）设与相交于点，记与的面积分别为，，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦理定依次求得，再利用余弦定理即可求得，由此得解； （2）在中，利用正弦定理求得，再在与中，利用三角形面积公式即可得解. 【小问1详解】 在中，，，所以， 又，所以由，得， 在中，，，所以， 又， 所以由，得， 在中，，， 所以 ， 则. 【小问2详解】 在中，，，则， 由，得，， 所以在中，，， 则， 在中，，， 则， 所以. 19. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求角A的大小； （2）若且，求的面积； （3）若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理及两角和的正弦公式化简求解即可； （2）先根据两角差的正切公式结合可得，再结合同角三角函数的基本关系求得，进而求得，由正弦定理可得，进而根据三角形的面积公式求解即可； （3）根据正弦定理可得，，进而根据三角恒等变换化简的周长为，再根据正切函数的性质求解即可. 【小问1详解】 由，即， 根据正弦定理得，， 则， 则， 则， 因为，所以， 则，即. 【小问2详解】 由（1）知，， 在中，由， 则，且， 则，即， 解得（舍去）或， 又，且， 解得， 所以 ， 由正弦定理得，， 则，解得， 则. 【小问3详解】 由正弦定理得，， 则，所以，， 则的周长为 ， 由，则，即， 又，则， 所以，则， 所以的周长的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $