专题4.1 认识三角形 讲义-2025-2026学年北师大版数学七年级下册

本讲义系统梳理三角形的有关概念、内角和定理、分类、三边关系、高线中线角平分线及重心等核心知识点，从基础定义到性质应用形成递进式学习支架，助力学生构建完整知识网络。 资料以思维导图呈现知识结构培养几何直观，典例引领结合图形问题提升推理意识，好题冲关融入实际情境增强应用意识。课中辅助教师分层教学，课后帮助学生巩固查漏，有效提升学习效率。

认识三角形 知识归纳与题型总结 思 维 导 图 培 优 讲 练 考点01 三角形的有关概念 考点梳理 1.三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 2.三角形的三要素 3.三角形的表示：三角形用符号“△”表示，三角形ABC用符号表示为△ABC. 典例引领 考向01 三角形的识别与有关概念 【例1】如图，中，与的夹角是____________，，的公共边是____________． 考向02 三角形的个数问题 【例2】如图，图中有_______个三角形． 对点提升 【对点1】下列由三条线段组成的图形是三角形的是（   ） A． B． C． D． 【对点2】如图，从正五边形的顶点出发，画出所有的对角线，则这些对角线将正五边形分成______个三角形． 考点02 三角形内角和定理 考点梳理 定义：三角形三个内角的和等于180°. 如图所示，在△ABC 中，∠A+∠B+∠C=180°. 图 (1) 图 (2) 典例引领 考向01 三角形内角和定理的证明 【例1】如图，已知，平分，平分，，那么成立吗？请说明理由． 考向02 与平行线有关的三角形内角和问题 【例2】如图是某款婴儿手推车的平面示意图，若，，，求的度数． 对点提升 【对点1】如图，，，为三角形的内角，求：_______． 【对点2】如图,已知AB∥CD,直线EF分别交AB,CD于点E,F,EP平分∠BEF,FP平分∠DFE.试说明:△PEF是直角三角形. 考点03 三角形的分类 考点梳理 1、等腰三角形的定义 三边都相等的三角形叫做等边三角形；有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. 在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰 ,另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹角叫做底角. 2、直角三角形的性质 直角三角形的两个锐角互余. 3、三角形的分类 （1）按边分类 典例引领 考向01 三角形的分类 【例1】在中，，，，那么是__________三角形．（填“锐角”、“钝角”或“直角”） 考向02 直角三角形的两个锐角互余 【例2】如图，在中，是角平分线，点D在边上（不与点A，B重合），与交于点O． (1)若是中线，，则与的周长差为______． (2)若，是的高，求的度数． 考向03 锐角互余的三角形是直角三角形 【例3】如图，在四边形中，，，，则（   ）°. A． B． C． D． 考向04 等腰三角形的定义 【例4】如图，和如图所示放置，当为等腰三角形时，的长为_____． 对点提升 【对点1】若为的三边长，且，则一定是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 【对点2】如图，在中，是上的中线，点是的中点，连接，． (1)若，，求的度数； (2)若的面积为，，求线段的长度． 【对点3】如图，与⊙O相切于点B，交⊙O于点C，的延长线交⊙O于点D，E是上不与B，D重合的点，． (1)求的大小； (2)若点F在的延长线上，且，求证：与⊙O相切． 【对点4】如图，分别以矩形的边，为直角边向外作等腰直角三角形，面积分别是和，且，若，则阴影部分的面积为（   ） A．8 B．16 C．64 D．128 考点04 三角形的三边关系 考点梳理 1.定义：三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边. 2.判断三条线段能否组成三角形：若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形. 典例引领 考向01 构成三角形的条件 【例1】下列长度的三根铁条能首尾顺次连接做成三角形框架的是（   ） A． B． C． D． 考向02 确定第三边的取值范围 【例2】设三角形三边长分别为、、，则的取值范围是______． 考向03 三角形三边关系的应用 【例3】已知的三边长分别是a，b，c，化简的结果为（    ） A． B． C． D． 对点提升 【对点1】已知某等腰三角形的两条边长分别为4和9，则其第三边的长是（   ） A．4 B．9 C．4或9 D．13 【对点2】已知一个三角形的两边长是4和7，且周长为偶数，则第三条边的长度可以是___（写一个） 【对点3】等腰三角形的两边长为4，9，则它的周长为_____． 考点05 三角形的高线、中线、角平分线 考点梳理 1、三角形的高线 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高. 三角形的三条高的特性： 名称 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 图示 高在三角形内部的数量 3 1 1 高之间是否相交 相交 相交 不相交 高所在的直线是否相交 相交 相交 相交 三条高所在直线的交点的位置 三角形内部 直角顶点 三角形外部 2、三角形的中线 在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线，三角形的三条中线相交于一点，三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.三角形的重心在三角形内部. 3、三角形的角平分线 三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段叫做三角形的角平分线.任意一个三角形都有三条角平分线，三条角平分线交于一点，且在三角形的内部. 典例引领 考向01 画三角形的高 【例1】下列说法中正确的是（   ） A．钝角三角形有两条高在三角形内部 B．三角形三条高至多有两条不在三角形内部 C．三角形三条高的交点不在三角形内部，就在三角形外部 D．钝角三角形三个内角的平分线的交点一定不在三角形内部 考向02 三角形角平分线的定义 【例2】下列说法中，正确的有（   ） ①三角形的中线、角平分线、高都是线段； ②三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都在三角形内部； ③直角三角形只有一条高； ④三角形的三条角平分线交于一点，这个交点叫做重心． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考向03 与三角形的高有关的计算问题 【例3】如图，在中，，P为边上一动点（不与A，B重合），于E，于F，连接，则下列为定值的是（    ） A．线段的长 B．的大小 C．的周长 D．的面积 考向04 利用网格求三角形面积 【例4】在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1．（请利用网格作图，画出的线请用铅笔描粗描黑） (1)过点C画的垂线，垂足为E； (2)过点C画的平行线，F在格点上 (3)连接，则三角形的面积为________． 对点提升 【对点1】如图，，，，垂足分别为点、、，中边上的高是（    ） A． B． C． D． 【对点2】如图，，若设，，平分，平分，平分，平分，可得，平分，平分，可得…，依次平分下去，则________． 【对点3】如图，在四边形中，，点，分别在边，上，，，分别记四边形，四边形的面积为，．若，，则，的长分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【对点4】如图所示，在的正方形网格中，每个正方形的边长为1，的顶点都在小正方形的顶点上，这样的三角形中，则面积的最大值是（    ） A． B．2 C． D．3 考点06 三角形的重心 考点梳理 定义：三角形的三条中线交于一点。这个点称为三角形的重心. 典例引领 考向01 重心的概念 【例1】平面图形的重心是指这个平面图形形状的匀质薄板的重心．下列图形中重心不一定在直线上的是（    ） A． B． C．D． 考向02 重心的有关性质 【例2】如图，G为的重心，连结并延长交于点D，若，则______． 对点提升 【对点1】如图，用铅笔支起一块质地均匀的三角形薄板，使薄板保持平衡，关于这个平衡点位置的确定，下列说法正确的是（    ） A．画出三角形薄板的三条高，取其交点 B．画出三角形薄板的三条中线，取其交点 C．画出三角形薄板的三条角平分线，取其交点 D．过不同顶点画出三角形薄板的一条高，中线和角平分线，取其交点． 【对点2】如图，点D，E分别是，中点，与交于点G．若，则_____． 好 题 冲 关 能力提升 1、 选择题 1．如图，，将一副三角板放置在和之间，点G在上，点N在上，点G，F，M在一条直线上，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知等腰中，，是延长线上一点，作（、在直线的同侧），使得，则当逐渐增大时，的面积大小变化情况是（     ） A．一直变大 B．一直变小 C．先变小再变大 D．保持不变 3．已知各边长均为整数，且，，是唯一的最长边，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．5或6 4．5张不同卡片分别写有数字，，，，，从中任意取出3张，则这三张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是（   ） A． B． C． D． 5．如图，是内部的一条射线，已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．一等腰三角形的周长为20，两条边的比为，那么其底边长为（   ） A．10 B．4 C．4或10 D．5或8 7．如图，为了估计池塘岸边，两点间的距离，小明同学在池塘一侧选取一点，测得，，则，间的距离不可能是（   ） A． B． C． D． 8．周长为的三角形中，最长边的取值范围是 (    ) A． B． C． D． 9．设一个三角形的边长分别为，且，，为正整数，若，则的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 10．一副三角板按如图所示的位置放置，过点A 作直线，平分，、交于点F．已知，，，．则①；②平分；③；④．其中结论正确的有（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 二、填空题 11．若一个三角形三边的长分别为4，7，x，则x的值可以为____．（只需写出满足要求的一种情况即可） 12．已知是等腰三角形，，则边_________． 13．小丽有两根长度分别为和的木棒，她想以这两根木棒为边做一个等腰三角形，还需再选用一根长度为_________的木棒． 14．等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰的周长为10，其中一边长为4，则它的“优美比”为_____． 15．在1~5这5个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于5，有____种不同取法；各边长都是整数，最大边长为51的三角形有____个． 三、解答题 16．已知的三边长分别为a，b，c． (1)若a，b，c满足，试判断的形状； (2)若，，且c为整数，求的周长； (3)直接写出化简结果：________． 17．如图，在直角三角形中，，，，． (1)点到直线的距离是垂线段___________的长度，该长度是___________． (2)画出表示点到直线的距离的线段，并求这个距离． 18．如图，将四边形的四条边，，，分别延长两倍至点，，，，若四边形的面积为，则四边形的面积是多少？ 19．在平面直角坐标系中，对于不同的三点，若这三个点组成的三角形的面积等于，则称这个三角形为“青一三角形”，称其中一个点为另外两个点的“青一点”． (1)已知点，点，则下列为点和的“青一点”的有　　　　　　． ，，． (2)已知点，，，判断是否“青一三角形”，并说明理由． (3)已知点，，若点在轴上且是点和的“青一点”，求点的坐标． 20．阅读材料：若，求、的值． 解：∵， ∴ ， ∴且， ∴． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)，则________，________； (2)已知，求的值； (3)已知的三边长、、都是正整数，且满足，求的周长． 所以，的周长为． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 认识三角形 知识归纳与题型总结 思 维 导 图 培 优 讲 练 考点01 三角形的有关概念 考点梳理 1.三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 2.三角形的三要素 3.三角形的表示：三角形用符号“△”表示，三角形ABC用符号表示为△ABC. 典例引领 考向01 三角形的识别与有关概念 【例1】如图，中，与的夹角是____________，，的公共边是____________． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形的基本构成，掌握角、边的表示是关键，根据图示，写出角、边即可． 【详解】解：与的夹角是， ，的公共边是， 故答案为：①，②． 考向02 三角形的个数问题 【例2】如图，图中有_______个三角形． 【答案】6 【分析】直接根据三角形的定义即可得出答案． 【详解】解：图中有6个三角形，分别是． 对点提升 【对点1】下列由三条线段组成的图形是三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的定义，掌握“在同一平面内，由三条线段首尾顺次连接形成的封闭图形叫做三角形”是解题关键．据此解答即可． 【详解】解：由三角形的定义可知，只有C选项的图形是三角形， 故选：C． 【对点2】如图，从正五边形的顶点出发，画出所有的对角线，则这些对角线将正五边形分成______个三角形． 【答案】3 【分析】本题考查了多边形的对角线分成的三角形的个数问题，理解对角线的含义是解本题的关键； 连接，，观察图形即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接，， 由图可知，这些对角线将正五边形分成了3个三角形， 故答案为：． 考点02 三角形内角和定理 考点梳理 定义：三角形三个内角的和等于180°. 如图所示，在△ABC 中，∠A+∠B+∠C=180°. 图 (1) 图 (2) 典例引领 考向01 三角形内角和定理的证明 【例1】如图，已知，平分，平分，，那么成立吗？请说明理由． 【答案】 ，理由见详解． 【分析】本题主要考查角平分线的性质和三角形内角和定理的应用．解决本题的关键是熟练使用等量代换求解． 根据角平分线的性质可得，，再由，可得，由此可求解，由此可解． 【详解】解： ，理由如下： ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴． ∴， 又∵， 即，且， ∴， ∴， ∴， 即， ∴． 考向02 与平行线有关的三角形内角和问题 【例2】如图是某款婴儿手推车的平面示意图，若，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查求角度，涉及平行线性质、邻补角定义、三角形内角和定理等知识，先由平行性质得到，再由邻补角定义及三角形内角和得到即可确定答案，数形结合，准确表示出各个角度是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，则． 对点提升 【对点1】如图，，，为三角形的内角，求：_______． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理的证明，过点作，可得，，结合，即可求解． 【详解】解：如图，过点作， ， ，， ， ， 故答案为：． 【对点2】如图,已知AB∥CD,直线EF分别交AB,CD于点E,F,EP平分∠BEF,FP平分∠DFE.试说明:△PEF是直角三角形. 【答案】△PEF是直角三角形 【详解】试题分析：根据平行线的性质，由AB∥CD得到∠BEF＋∠DFE ＝180°，再根据角平分线定义得∠PEF＋∠PFE＝(∠BEF＋∠DFE)，然后计算出∠P＝90°，根据直角三角形的定义即可得到△EPF是直角三角形． 试题解析： 证明：因为AB∥CD， 所以∠BEF＋∠DFE＝180°． 又因为EP平分∠BEF，FP平分∠DFE， 所以∠PEF＝∠BEF，∠PFE＝∠DFE． 所以∠PEF＋∠PFE＝(∠BEF＋∠DFE)＝90°． 又因为∠PEF＋∠PFE＋∠P＝180°， 所以∠P＝90°． 所以△PEF是直角三角形． 考点03 三角形的分类 考点梳理 1、等腰三角形的定义 三边都相等的三角形叫做等边三角形；有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. 在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰 ,另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹角叫做底角. 2、直角三角形的性质 直角三角形的两个锐角互余. 3、三角形的分类 （1）按边分类 典例引领 考向01 三角形的分类 【例1】在中，，，，那么是__________三角形．（填“锐角”、“钝角”或“直角”） 【答案】钝角 【分析】由最大内角的度数，即可确定三角形的形状． 【详解】解：∵在中， ， 即三角形的最大内角为钝角，故此三角形是钝角三角形． 考向02 直角三角形的两个锐角互余 【例2】如图，在中，是角平分线，点D在边上（不与点A，B重合），与交于点O． (1)若是中线，，则与的周长差为______． (2)若，是的高，求的度数． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题主要考查了三角形中线，高，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余： （1）根据三角形中线的定义可得，即可求解； （2）根据角平分线的定义可得，再由三角形高的定义可得，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴， ∵， ∴与的周长差为； （2）解：∵是角平分线，， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∴． 考向03 锐角互余的三角形是直角三角形 【例3】如图，在四边形中，，，，则（   ）°. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点，证得是解本题的关键． 先根据直角三角形两锐角互余可得；再证明可得，然后根据角的和差即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：C． 考向04 等腰三角形的定义 【例4】如图，和如图所示放置，当为等腰三角形时，的长为_____． 【答案】5 【分析】根据等腰三角形定义，构成三角形三边关系分情况讨论即可． 【详解】解：①当，在中，， 在中，， ∴此时； ②当，在中，，不符合三边关系， ∴此种情况舍去； 综上，的长为5． 对点提升 【对点1】若为的三边长，且，则一定是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 【答案】A 【分析】根据乘积为0的性质得到边的关系，即可判断三角形类型. 【详解】解：∵， ∴或， 即或， ∴至少有两条边相等， ∴一定是等腰三角形. 【对点2】如图，在中，是上的中线，点是的中点，连接，． (1)若，，求的度数； (2)若的面积为，，求线段的长度． 【答案】(1)73° (2)3 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形的中线，熟练运用三角形内角和定理和中线的性质是解题的关键． （1）先求出的度数，在中，根据三角形的内角和定理即可求解； （2）根据中线的性质：平分三角形的面积，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ，， ； （2）解：是的中线， ， 点是的中点， ， ， ， ． 【对点3】如图，与⊙O相切于点B，交⊙O于点C，的延长线交⊙O于点D，E是上不与B，D重合的点，． (1)求的大小； (2)若点F在的延长线上，且，求证：与⊙O相切． 【答案】(1) (2)证明见详解 【分析】（1）根据切线的性质，得出，进而求出，，再根据圆周角定理得出答案； （2）根据等腰三角形的判定和性质可得，进而得出，根据“三角形一边的中线等于这边的一半，这个三角形是直角三角形”得出即可得到答案； 【详解】（1）解：连接， ∵与⊙O相切于点B，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：连接， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴是直角三角形， 即， ∵，是半径， ∴是⊙O的切线； 【对点4】如图，分别以矩形的边，为直角边向外作等腰直角三角形，面积分别是和，且，若，则阴影部分的面积为（   ） A．8 B．16 C．64 D．128 【答案】B 【分析】设，根据题意可得，再利用完全平方公式解答即可． 【详解】解：设， ∵和等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即阴影部分的面积为16． 考点04 三角形的三边关系 考点梳理 1.定义：三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边. 2.判断三条线段能否组成三角形：若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形. 典例引领 考向01 构成三角形的条件 【例1】下列长度的三根铁条能首尾顺次连接做成三角形框架的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：三角形三边关系为任意两边之和大于第三边，只需比较较短两边的和与最长边的大小即可， A选项，最长边为，，不能做成三角形框架，不符合题意； B选项，最长边为，，能做成三角形框架，符合题意； C选项，最长边为，，不能做成三角形框架，不符合题意； D选项，最长边为，，不能做成三角形框架，不符合题意． 考向02 确定第三边的取值范围 【例2】设三角形三边长分别为、、，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据三角形三边关系，即任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，列出不等式，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：∵三角形的三边长分别为、、， ， 整理得： ， ∴． 考向03 三角形三边关系的应用 【例3】已知的三边长分别是a，b，c，化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角形任意两边之和大于第三边，判断绝对值内式子的正负，再去掉绝对值符号合并同类项即可． 【详解】解：∵的三边长分别为，，， 根据三角形三边关系，可得，， ∴，， ∴ ． 对点提升 【对点1】已知某等腰三角形的两条边长分别为4和9，则其第三边的长是（   ） A．4 B．9 C．4或9 D．13 【答案】B 【分析】根据等腰三角形两腰相等的性质，分两种情况讨论第三边长度，再利用三角形三边关系（两边之和大于第三边）验证，排除不成立的情况得到结果． 【详解】解：已知等腰三角形的两条边长分别为4和9 根据等腰三角形的定义，第三边可能为4或9 情况一：第三边长为4。此时三边长为4，4，9 根据三角形两边之和大于第三边的原则，检验：，不满足三角形三边关系，因此不能构成三角形 情况二：第三边长为9。此时三边长为4，9，9 根据三角形两边之和大于第三边的原则，检验：，，满足三角形三边关系，因此能构成三角形 综上所述，第三边的长只能是9． 故选：B． 【对点2】已知一个三角形的两边长是4和7，且周长为偶数，则第三条边的长度可以是___（写一个） 【答案】5（或7或9，答案不唯一） 【分析】根据三角形三边关系确定第三边的取值范围，再结合周长为偶数的条件确定第三边的奇偶性，即可得到符合要求的第三边长． 【详解】解：设三角形第三条边的长度为， 根据三角形三边关系可得：， ∴， ∵三角形的周长，且三角形周长为偶数， ∴为奇数， ∴范围内的奇数为，，，任选一个即可． 【对点3】等腰三角形的两边长为4，9，则它的周长为_____． 【答案】22 【分析】验证每种情况是否能构成等腰三角形，再计算求解． 【详解】解：当为腰长时，三角形三边长分别为，，， ，不满足三角形三边关系，不能组成三角形，此种情况舍去． 当为腰长时，三角形三边长分别为，，． ， ∴满足三角形三边关系，能组成三角形． ∴周长为． 考点05 三角形的高线、中线、角平分线 考点梳理 1、三角形的高线 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高. 三角形的三条高的特性： 名称 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 图示 高在三角形内部的数量 3 1 1 高之间是否相交 相交 相交 不相交 高所在的直线是否相交 相交 相交 相交 三条高所在直线的交点的位置 三角形内部 直角顶点 三角形外部 2、三角形的中线 在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线，三角形的三条中线相交于一点，三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.三角形的重心在三角形内部. 3、三角形的角平分线 三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段叫做三角形的角平分线.任意一个三角形都有三条角平分线，三条角平分线交于一点，且在三角形的内部. 典例引领 考向01 画三角形的高 【例1】下列说法中正确的是（   ） A．钝角三角形有两条高在三角形内部 B．三角形三条高至多有两条不在三角形内部 C．三角形三条高的交点不在三角形内部，就在三角形外部 D．钝角三角形三个内角的平分线的交点一定不在三角形内部 【答案】B 【分析】根据不同类型三角形的特征逐一判断选项即可． 【详解】解：∵钝角三角形只有1条高在三角形内部，2条高在三角形外部， ∴ A选项错误； ∵钝角三角形有2条高不在三角形内部，直角三角形有2条高在三角形边上（不在内部），锐角三角形3条高都在三角形内部，不存在3条高都不在三角形内部的情况， ∴三角形三条高至多有两条不在三角形内部，B选项正确； ∵直角三角形三条高的交点在直角顶点，即交点在三角形边上，既不在三角形内部，也不在三角形外部， ∴C选项错误； ∵任意三角形内角平分线的交点都在三角形内部， ∴ D选项错误． 考向02 三角形角平分线的定义 【例2】下列说法中，正确的有（   ） ①三角形的中线、角平分线、高都是线段； ②三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都在三角形内部； ③直角三角形只有一条高； ④三角形的三条角平分线交于一点，这个交点叫做重心． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据三角形中线、角平分线、高的定义，以及三角形相关交点的名称，逐一判断每个说法的正误，统计正确个数即可得到答案． 【详解】解：对四个说法逐一判断： ① 三角形的中线是连接三角形顶点和它对边中点的线段，角平分线是三角形内角平分线与对边相交，顶点到交点的线段，高是三角形顶点到对边所在直线的垂线段，因此三者都是线段，故①正确； ② ∵钝角三角形的两条高在三角形外部，直角三角形的两条高在三角形的边上，∴②错误； ③ ∵直角三角形有三条高，两条直角边本身就是两条高，还有一条斜边上的高，∴③错误； ④ ∵三角形三条中线的交点叫做重心，三条角平分线的交点不是重心是内心，∴④错误； 综上，只有1个说法正确，故选A． 考向03 与三角形的高有关的计算问题 【例3】如图，在中，，P为边上一动点（不与A，B重合），于E，于F，连接，则下列为定值的是（    ） A．线段的长 B．的大小 C．的周长 D．的面积 【答案】B 【分析】过B作，与的延长线交于D，连接，利用等积法即可得出结论． 【详解】解：过B作，与的延长线交于D，连接， 则：， ∵， ∴， ∴， ∴的大小为定值．其余选项均不能得到是定值. 考向04 利用网格求三角形面积 【例4】在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1．（请利用网格作图，画出的线请用铅笔描粗描黑） (1)过点C画的垂线，垂足为E； (2)过点C画的平行线，F在格点上 (3)连接，则三角形的面积为________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）取格点G，连接交于点E，则点E即为所求； （2）取格点F，连接，则即为所求； （3）利用割补法求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图所示，． 对点提升 【对点1】如图，，，，垂足分别为点、、，中边上的高是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴中边上的高是． 【对点2】如图，，若设，，平分，平分，平分，平分，可得，平分，平分，可得…，依次平分下去，则________． 【答案】 【分析】先分别过点、作直线，，然后利用平行线的性质、角平分线的定义，结合归纳推理思想即可解答． 【详解】解：如图，分别过点、作直线，， ． ， ， ， ． 平分，平分， ，， 同理可得，， 以此类推，，，，． 【对点3】如图，在四边形中，，点，分别在边，上，，，分别记四边形，四边形的面积为，．若，，则，的长分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】设梯形的高为h，根据梯形面积公式表示出和，利用建立关于和的方程，结合求解即可． 【详解】解：连接，，如图所示： 设四边形的高为h， ∵，， ∴，，，， ∵， ∴， ， ， ∴， ， ∵， ∴， 整理得：， 即， ∴， 又∵， ∴， 解得：， ∴． 【对点4】如图所示，在的正方形网格中，每个正方形的边长为1，的顶点都在小正方形的顶点上，这样的三角形中，则面积的最大值是（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】先确定点C的位置，再求出面积即可． 【详解】解：如图，此时面积最大， ， 故选：C． 考点06 三角形的重心 考点梳理 定义：三角形的三条中线交于一点。这个点称为三角形的重心. 典例引领 考向01 重心的概念 【例1】平面图形的重心是指这个平面图形形状的匀质薄板的重心．下列图形中重心不一定在直线上的是（    ） A． B． C．D． 【答案】B 【分析】本题考查重心． 根据重心的概念，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．由作图可知，为三角形的一条中线所在的直线，重心一定在直线上，不符合题意； B．为三角形的一条高所在的直线，重心不一定在直线上，符合题意； C．组合图形关于直线对称，重心一定在直线上，不符合题意； D．点为正方形的重心，点为长方形的重心，重心一定在直线上，不符合题意． 故选：B． 考向02 重心的有关性质 【例2】如图，G为的重心，连结并延长交于点D，若，则______． 【答案】9 【分析】本题考查了三角形的重心．熟记三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍是解题的关键． 根据三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍列式计算即可得解． 【详解】解：∵点G是的重心， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：9． 对点提升 【对点1】如图，用铅笔支起一块质地均匀的三角形薄板，使薄板保持平衡，关于这个平衡点位置的确定，下列说法正确的是（    ） A．画出三角形薄板的三条高，取其交点 B．画出三角形薄板的三条中线，取其交点 C．画出三角形薄板的三条角平分线，取其交点 D．过不同顶点画出三角形薄板的一条高，中线和角平分线，取其交点． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的重心的概念，掌握三角形的重心为三角形三边中线的交点是解题的关键． 根据题意得：支撑点应是三角形的重心，据此即可解答． 【详解】解：∵支撑点应是三角形的重心， ∴支撑点是三角形三边中线的交点． 故选：B． 【对点2】如图，点D，E分别是，中点，与交于点G．若，则_____． 【答案】3 【分析】本题考查了三角形重心的性质. 根据题意得到G点为的重心，再结合计算即可． 【详解】解：∵点D，E分别是，中点，与交于点G， ∴G点为的重心， ∴. 故答案为：3． 好 题 冲 关 能力提升 1、 选择题 1．如图，，将一副三角板放置在和之间，点G在上，点N在上，点G，F，M在一条直线上，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长交于点P，根据平行线的性质可求得，再根据外角的性质求解即可． 【详解】解：延长交于点P， ， ， ， ． 2．如图，已知等腰中，，是延长线上一点，作（、在直线的同侧），使得，则当逐渐增大时，的面积大小变化情况是（     ） A．一直变大 B．一直变小 C．先变小再变大 D．保持不变 【答案】D 【分析】设，，根据计算即可解答． 【详解】解：∵是等腰直角三角形， ∴设， 则， 设，则， ， ∴ ， ∴的面积大小不变． 3．已知各边长均为整数，且，，是唯一的最长边，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．5或6 【答案】D 【分析】利用三角形三边关系确定的取值范围，结合是唯一的最长边、边长为整数的条件求解． 【详解】根据三角形三边关系，得， ∵，， ∴， ∵是唯一的最长边，已知边中最大边长为， ∴， 因此， 又∵的长为整数， ∴或． 4．5张不同卡片分别写有数字，，，，，从中任意取出3张，则这三张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算从张卡片中任取张的总取法数，再利用三角形三边关系筛选出符合条件的取法数，最后根据概率公式计算概率． 【详解】解：∵ 从张不同卡片中任意取出张，总共有种不同的取法，所有取法为： ，，，，，，，，，， ∵三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，只需满足最小两边之和大于最大边即可构成三角形， ∴不能构成三角形的取法为，，， ∴其中符合条件的取法共种， ∴ 所求概率为 ． 5．如图，是内部的一条射线，已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由平行线的性质得到，结合三角形外角的性质，可推得，即可根据，得到结论． 【详解】解： ， ， ， ， ． 6．一等腰三角形的周长为20，两条边的比为，那么其底边长为（   ） A．10 B．4 C．4或10 D．5或8 【答案】B 【分析】分两种情况讨论等腰三角形底边与腰的比例，再结合三角形三边关系（两边之和大于第三边）舍去不符合的情况，即可得到底边长． 【详解】解：∵等腰三角形两条边的比为， ∴当底边长腰长时，设底边长为，则腰长为， ∵周长为20， ∴ 解得， 此时三边长为， ∵， ∴满足三角形三边关系，符合要求； 当腰长底边长时，设腰长为，则底边长为， ∵周长为20， ∴ 解得， 此时底边长， 此时三边长为， ∵，不满足三角形三边关系，舍去这种情况． ∴该等腰三角形底边长为4． 7．如图，为了估计池塘岸边，两点间的距离，小明同学在池塘一侧选取一点，测得，，则，间的距离不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此作答即可． 【详解】解：根据三角形三边关系可得，，， ∴，即， ∴，间的距离不可能是． 8．周长为的三角形中，最长边的取值范围是 (    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设三角形的三边分别为， ， ，其中为最长边，由三角形两边之和大于第三边得，由是最长边，得，即可得的取值范围． 【详解】解：设三角形的三边分别为， ， ，其中为最长边， ∵三角形两边之和大于第三边， ∴， ∵， ∴， 代入不等式得 ， 解得， ∵是三角形的最长边， ∴且， ∴， 即， 解得得， 当时，，此时三角形为等边三角形，满足最长边的限定条件， ∴最长边m的取值范围是． 故选：A． 9．设一个三角形的边长分别为，且，，为正整数，若，则的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】利用已知条件对式子变形，结合边长为正和三角形三边关系（两边之和大于第三边）得到的取值范围，逐一对比各选项用排除法选出答案即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 整理得，， ∵、是正数， ∴，即， 对于选项A，，不符合，排除选项A； 由， 将，代入得， ，即， 对于选项D，，不符合，排除选项D； ∵， ∴， ∵，， ∴，即，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即，，， 对于选项B，，不符合排除选项B； 综上，答案选C． 10．一副三角板按如图所示的位置放置，过点A 作直线，平分，、交于点F．已知，，，．则①；②平分；③；④．其中结论正确的有（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质及三角形的内角和定理是关键． 对于①，根据平行线的性质，可求得，即可判断； 对于②，根据角平分线的定义可求得，再证明，即可判断； 对于③，根据三角形内角和定理判断即可； 对于④，先求得，再证明即可． 【详解】解：对于①， ，， ， 即， 故①正确； 对于②， ，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 即平分， 故②正确； 对于③， ，， ， ， 故③正确； 对于④， ，， ， ，， ， ； 故④正确； 所以结论正确的有①②③④． 故选：D． 二、填空题 11．若一个三角形三边的长分别为4，7，x，则x的值可以为____．（只需写出满足要求的一种情况即可） 【答案】4（答案不唯一） 【分析】根据三角形的三边关系得出，即可求解． 【详解】解：依题意，． 解得：． ∴x的值可以为（答案不唯一）． 12．已知是等腰三角形，，则边_________． 【答案】8 【分析】本题根据等腰三角形的定义分类讨论的可能取值，再利用三角形三边关系验证能否构成三角形，舍去不符合条件的结果即可得到答案． 【详解】解：是等腰三角形，分两种情况讨论： ① 当时，三角形三边长为， ，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形，此情况舍去； ② 当时，三角形三边长为， ，满足三角形三边关系，可以构成三角形． 故． 13．小丽有两根长度分别为和的木棒，她想以这两根木棒为边做一个等腰三角形，还需再选用一根长度为_________的木棒． 【答案】9 【分析】本题考查等腰三角形的性质与三角形的三边关系，已知没有明确腰和底边时需分类讨论，再验证各情况能否构成三角形． 【详解】解：分两种情况讨论： 当为腰长时，三角形的三边长分别为，，， ，不符合三角形三边关系， 不能构成三角形； 当为底边时，三角形的三边长分别为，，， ，符合三角形三边关系， 能构成三角形，此时所需木棒长度为． 14．等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰的周长为10，其中一边长为4，则它的“优美比”为_____． 【答案】或 【分析】分腰长为4和底边长为4这两种情况，根据三角形的周长公式求出对应的底边长或腰长，结合三角形三边关系验证即可求解． 【详解】解：当为腰长时，等腰的周长为， 的底边长为， ∵， ∴此时能构成三角形， “优美比”为； 当为底边长时，等腰的周长为， ∴等腰的腰长为 ， ∵， ∴此时能构成三角形， “优美比”为； 综上所述，“优美比”为或． 15．在1~5这5个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于5，有____种不同取法；各边长都是整数，最大边长为51的三角形有____个． 【答案】 6 676 【分析】此题考查分类加法计数原理的运用及三角形三边关系的运用．第一部分通过列举所有两数之和大于5的组合得出结果；第二部分通过设最大边为51，利用三角形三边关系和整数对计数求解． 【详解】解：第一部分：从1~5中取两个不同数，和大于5的组合有、、、、、，共6种． 第二部分：设三角形三边为a、b、c，且为最大边， 则，且； 由，得， 又，，故当时无解； 当时，a从到b，个数为； b从26到51，有， 故，， ∴， 故有676个三角形， 故答案为：6，676． 三、解答题 16．已知的三边长分别为a，b，c． (1)若a，b，c满足，试判断的形状； (2)若，，且c为整数，求的周长； (3)直接写出化简结果：________． 【答案】(1)等边三角形 (2)11或12或13 (3) 【分析】（1）根据非负数的性质即可得出结论； （2）根据三角形的三边关系结合c是整数即可求解； （3）根据三角形的三边关系得出，，，然后化简绝对值，再去括号合并同类项即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形． （2）解：∵，， ∴，即， ∵c为整数， ∴， ∴当时，的周长， 当时，的周长， 当时，的周长， ∴的周长是11或12或13． （3）解：∵的三边长分别为a，b，c， ∴，，， ∴，，， ∴原式 ． 17．如图，在直角三角形中，，，，． (1)点到直线的距离是垂线段___________的长度，该长度是___________． (2)画出表示点到直线的距离的线段，并求这个距离． 【答案】(1)，3 (2)图见解析， 【分析】（1）根据点到直线的距离即可解答； （2）作于点，则垂线段的长度就是点到直线的距离，再利用等积法即可求出的长． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴点到直线的距离是垂线段的长度，该长度是； （2）解：如图，作于点，则垂线段的长度就是点到直线的距离， ∵， ∴． 18．如图，将四边形的四条边，，，分别延长两倍至点，，，，若四边形的面积为，则四边形的面积是多少？ 【答案】60 【分析】利用三角形的面积公式，找到三角形之间的关系，根据四边形的面积是5，只要求出，，和四个三角形的面积之和再减去四边形的面积，即可解决问题． 【详解】解：连接， ∵和的高相等，的底边是底边的2倍， ∴的面积是的面积的2倍， ∵和的高相等，的底边是底边的2倍， ∴的面积是面积的2倍， ∴的面积是面积的4倍， ∵和的高相等，的底边是底边的2倍， ∴的面积是面积的2倍， ∵和的高相等，的底边是底边的2倍， ∴的面积是面积的2倍，和底边的比是， ∴的面积是面积的3倍， ∵和的高相等，的底边是底边的2倍， ∴的面积是面积的2倍， ∴的面积是面积的6倍， ∴的面积是面积的9倍， 同理，得的面积是面积的4倍，的面积是面积的9倍， ∴ ，∴． 19．在平面直角坐标系中，对于不同的三点，若这三个点组成的三角形的面积等于，则称这个三角形为“青一三角形”，称其中一个点为另外两个点的“青一点”． (1)已知点，点，则下列为点和的“青一点”的有　　　　　　． ，，． (2)已知点，，，判断是否“青一三角形”，并说明理由． (3)已知点，，若点在轴上且是点和的“青一点”，求点的坐标． 【答案】(1) (2)是，理由见解析 (3)或 【分析】（1）在网格中标出点，分别求出，，的面积，根据“青一点”的定义求解即可； （2）将向左平移个单位长度得，用割补法计算的面积，可得的面积，根据“青一三角形”的定义求解即可； （3）根据题意可得的面积等于，设，按照点在的上方或下方进行分类讨论，列方程求解即可． 【详解】（1）解：如图， ， ， ， ， ∴点和的“青一点”的有，． （2）解：是“青一三角形”，理由如下： 将向左平移个单位长度得， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴是“青一三角形”． （3）解：∵点是点和的“青一点”， ∴的面积等于， 设， 当点在的上方时， ， 解得， 当点在在的下方时， ， 解得， ∴点的坐标为或． 20．阅读材料：若，求、的值． 解：∵， ∴ ， ∴且， ∴． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)，则________，________； (2)已知，求的值； (3)已知的三边长、、都是正整数，且满足，求的周长． 【答案】(1)1；0 (2) (3)11 【分析】（1）先根据例题凑成2个完全平方式的和等于0的形式，再根据非负数的性质求得a、b的值即可解答； （2）先根据例题凑成2个完全平方式的和等于0的形式，再根据非负数的性质求得x、y的值，最后代入即可解答； （3）根据配方法和非负数的性质求出a，b的值，根据三角形三边的关系得到c的范围，根据c是正整数得到c的值，从而得到周长的值． 【详解】（1）解：∵， ∴, ∴， ， ∴，； （2）解：∵， ∴， 即， 则，， 解得： ∴； （3）解：∵， ∴， ∴, 则，， 解得：，， ∵， 即，且是正整数， ∴， 即三角形三边的长分别为1，5，5， 所以，的周长为． 1 / 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