专题4.1 认识三角形（举一反三讲义）数学新教材北师大版七年级下册

本讲义聚焦三角形核心知识，系统梳理三角形概念、内角和定理、分类、直角三角形性质、三边关系、中线、角平分线、高及重心等知识点，从基础要素到性质应用，构建递进式学习支架，覆盖三角形的定义、性质及综合运用。 资料设计19类典型题型，含例题与变式题，通过几何直观（如三角形概念辨析）、推理能力（如内角和证明）、模型意识（如三边关系求参数范围）培养核心素养。课中辅助教师分层教学，课后助力学生通过变式练习查漏补缺，提升知识应用能力。

专题4.1 认识三角形（举一反三讲义） 【新教材北师大版】 【题型1 三角形的相关概念】 2 【题型2 三角形的内角和为180°的简单运用】 4 【题型3 三角形的分类】 8 【题型4 角三角形的两个锐角互余】 10 【题型5 利用三边关系判断能否组成三角形】 13 【题型6 利用三边关系求参数范围】 15 【题型7 利用三边关系化简】 17 【题型8 利用三边关系求最值】 19 【题型9 利用三边关系取舍值】 22 【题型10 利用三边关系证明线段的不等关系】 24 【题型11 三边关系的应用】 27 【题型12 中线、角平分线、高概念辨析】 30 【题型13 利用三角形的中线求长度】 33 【题型14 利用三角形的中线求面积】 36 【题型15 依据高的位置分类讨论求角度】 41 【题型16 等积法求值】 44 【题型17 与角平分线有关的求值】 48 【题型18 与角平分线有关的证明】 51 【题型19 三角形的重心】 55 知识点1 三角形的有关概念 1.三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 2.三角形的三要素 3.三角形的表示：三角形用符号“△”表示，三角形ABC用符号表示为△ABC. 【题型1 三角形的相关概念】 【例1】（24-25八年级上·浙江金华·期中）如图，图中的三角形共有（    ）个． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图形及三角形的定义查找即可，注意以一条边为基础依次查找． 【详解】根据图形依次查找可得：△ABE、△ABC、△BCE、△BCD、△DCE，共5个三角形， 故选：C． 【点睛】本题考查三角形的定义，由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的图形叫做三角形；熟练掌握定义是解题关键． 【变式1-1】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）一位同学用三根木棒两两相交拼成如下图形，则其中符合三角形概念的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、三条线段没有首尾顺次相接，不合题意； B、三条线段没有首尾顺次相接，不合题意； C、三条线段没有首尾顺次相接，不合题意； D、不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接，是三角形，符合题意； 故选：D 【点睛】本题主要考查三角形图形的知识，根据三角形的概念：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。判断是否三条线段首尾顺次相接是解决本题的关键。 【变式1-2】（24-25八年级上·广西·期中）已知：如图，试回答下列问题： （1）图中有_______个三角形，其中直角三角形是______． （2）以线段AC为公共边的三角形是___________． （3）线段CD所在的三角形是_______，BD边所对的角是________． 【答案】 6 ，， ，， 【分析】（1）直接观察图形可找出三角形的直角三角形； （2）观察图形可找到以线段AC为公共边的三角形； （3）观察图形可知线段CD所在的三角形以及BD边所对的角； 【详解】（1）由图可知， 图中三角形有△ABC、△ADB、△AEB、△ACD、△ACE、△ADE， 所以图中有6个三角形， 由图可知，直角三角形有，，； （2）由图可知， 以线段AC为公共边的三角形是，，； （3）由图可知， 线段CD所在的三角形是， BD边所对的角是； 【点睛】本题主要考查三角形的识别． 【变式1-3】（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，以点A、B、C、D、E中的任意3点为顶点的三角形共有几个，请在图中画出这些三角形. 【答案】9个，图见解析. 【分析】)根据三角形的定义,即不在同一直线上的三点首尾顺次连接即可得到一个三角形,即可得出答案. 【详解】解：以点A、B、C、D、E中的任意3点为顶点的三角形共有9个，分别是： △ABD，△ABE，△ACD，△ACE，△BCE，△BCD，△DEA，△DEB，△DEC. 如图所示： 【点睛】此题考查了三角形的定义,关键是根据题意画出图形,数出三角形的个数,不要漏数三角形的个数. 知识点2 三角形内角和定理 定义：三角形三个内角的和等于180°. 如图所示，在△ABC 中，∠A+∠B+∠C=180°. 图 (1) 图 (2) 【题型2 三角形的内角和为180°的简单运用】 【例2】（24-25七年级下·山东泰安·期中）在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（   ） A．如图①所示，过三角形一边上点D作 B．如图②所示，过三角形内部一点P作 C．如图③所示，过点C作于点D D．如图④所示，过三角形外部一点P作 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的证明，平行线的性质，由平行线的性质可得，，则，由平角的定义得到，则，据此可判断A；由平行线的性质可得，同理可得，据此可判断B；设交于O，根据平行线的性质可得，，，， ，再由，即可判断D；C中根据现有条件无法证明． 【详解】解：A、因为， 所以，， 所以， 因为， 所以，故A不符合题意； B、因为 所以， 因为， 所以同A选项中的证明方法可得， 所以，故B不符合题意； C、根据现有条件无法证明，故C符合题意； D、设交于O， 因为， 所以， 因为， 所以，，， 因为， 所以， 因为， 所以，故D不符合题意； 故选；C． 【变式2-1】（24-25七年级下·上海·期中）在中，若，则此三角形按角分类是 三角形． 【答案】锐角 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形的分类，根据已知条件和三角形内角和定理求出这个三角形三个内角的度数即可得到答案． 【详解】解：因为在中，，， 所以， 所以， 所以， 所以该三角形是锐角三角形， 故答案为：锐角． 【变式2-2】如图,将铅笔放置在三角形 ABC 的边 AB 上，笔尖方向为点 A 到点 B 的方向，把铅笔依次绕点 A、点 C、点 B 按逆时针方向旋转∠A、∠C、∠B 的度数，观察笔尖方向的变化，该操作说明了 ． 【答案】三角形内角和等于180° 【分析】根据旋转后反方向说明旋转度数等于180°解答． 【详解】解：笔尖方向发生了由点B到点A的方向， 因为铅笔依次绕点A、点C、点B按逆时针方向旋转∠A、∠C、∠B的度数， 所以旋转角度之和为∠A＋∠B＋∠C， 因为笔尖方向变为点B到点A的方向， 所以旋转角度之和为180°， 所以这种变化说明三角形内角和等于180°． 故答案为：三角形内角和等于180°． 【点睛】本题考查了平角的性质，三角形的内角和定理，理解旋转度数之和与三角形的内角和的关系是解题的关键． 【变式2-3】（24-25七年级下·江西吉安·阶段练习）定义：当三角形中其中一个内角是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“倍角三角形”．若一个“倍角三角形”的其中一个内角为，则这个三角形中最大的内角度数为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查三角形内角和定理．掌握三角形的内角和为，是解决问题的关键． 根据三角形内角和等于，如果一个“倍角三角形”有一个角为，可得另两个角的和为，根据由三角形中一个内角是另一个内角的2倍分类讨论，可以分别求得三角形的内角，由此比较得出答案即可． 【详解】解：当的角是另一个内角的2倍时， 三个角分别为：，，；　 当一个内角是的角的2倍时，三个角分别为：，，； 当另外两个角是两倍关系时， 设这两个角分别是，， 则， 解得， 所以， 所以三个角分别为：，， ； 因此，这个三角形中最大的内角度数为或或． 故答案为：或或． 知识点3 三角形的分类 1.等腰三角形的定义 三边都相等的三角形叫做等边三角形；有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. 在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰 ,另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹角叫做底角. 2.三角形的分类 （1）按边分类 【题型3 三角形的分类】 【例3】（24-25八年级上·陕西渭南·阶段练习）关于三角形的分类，有如图所示的甲、乙两种分法，则（    ） A．甲、乙两种分法均正确 B．甲、乙两种分法均错误 C．甲的分法错误，乙的分法正确 D．甲的分法正确，乙的分法错误 【答案】D 【分析】三角形的分类：按边分有普通三角形(三条边都不相等)，等腰三角(腰与底不等的等腰三角形、腰与底相等的等腰三角形即等边三角形)；按角分有直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等，其中锐角三角形和钝角三角形统称斜三角形.据此判断即可. 【详解】解：甲分法正确，乙正确的分类应该为： 故选：D． 【点睛】本题考查三角形的分类，解答的关键是熟知三角形的分类标准，易忽略等腰三角形包含等边三角形. 【变式3-1】（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）如图，被木条遮住了一部分，只露出，则与可能是（    ） A．一个直角，一个锐角 B．两个钝角 C．一个钝角，一个锐角 D．两个锐角 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的分类，理解并掌握三角形的分类是解题的关键． 三角形根据角度分为：锐角三角形，直角三角形，钝角三角形，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，是钝角， 所以与可能是两个锐角， 故选：D ． 【变式3-2】如图，在中，，．动点P从点C出发，沿边，向点A运动．在点P运动过程中，可能成为的特殊三角形依次是（    ） A．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等边三角形→直角三角形 B．等腰三角形→直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形 C．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形 D．等腰直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形 【答案】C 【分析】本题考查动点问题，掌握三角形的分类是解题的关键． 【详解】解：在点P运动过程中，可能成为的特殊三角形依次是直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形， 故选C． 【变式3-3】（24-25七年级下·重庆·期中）设M表示直角三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形，Q表示等腰直角三角形．下列四个图中，能正确表示它们之间关系的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据各类三角形的概念即可解答. 【详解】解：根据各类三角形的概念可知，C可以表示它们彼此之间的包含关系． 故选C． 【点睛】本题考查各种三角形的定义，要明白等边三角形一定是等腰三角形，等腰直角三角形既是直角三角形，又是等腰三角形. 知识点4 直角三角形的性质 直角三角形的两个锐角互余. 【题型4 角三角形的两个锐角互余】 【例4】（24-25八年级上·安徽淮北·期中）直角三角形中，，是斜边上的高，，请求出图中所有锐角的值，并找出其中所有相等的锐角。 【答案】 ；相等的锐角有： 【分析】本题主要考查直角三角形两锐角互余，直接根据直角三角形两锐角互余进行解答即可． 【详解】解：在中，， 所以， 因为， 所以； 在中，因为，即， 所以， 因为， 所以； 在中，因为，即， 所以， 因为， 所以； 所以相等的锐角有： ． 【变式4-1】（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）如图，将直尺与30°角的三角尺叠放在一起，若，则的大小是 °． 【答案】55 【分析】本题主要考查了平行线的性质，由三角尺可知，由平角可求，再根据平行线的性质可知． 【详解】解：如图： 由的三角尺可知， 所以． 由平行线的性质可知． 故答案为：55． 【变式4-2】（24-25七年级下·全国·期末）如图，中，是上的高，平分，，则 度． 【答案】10 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，三角形的角平分线的定义，三角形高的含义．先由三角形的内角和定理求解的大小，再由角平分线的性质求解的大小，再利用直角三角形的两锐角互余求出，最后利用角的和差关系可得答案． 【详解】解：在中，， 所以， 因为平分， 所以．， 因为是上的高， 所以， 所以， 所以． 故答案为：10． 【变式4-3】（24-25七年级下·河南平顶山·期中）如图，知，，，．则下列结论：①；②平分；③；④．正确结论的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了垂直的定义，平行线的判定和性质，直角三角形两锐角互余等知识的判定，掌握以上知识是关键．根据垂线的定义，平行线的判定和性质，结合图形判定即可． 【详解】解：因为， 所以，故①正确； 因为， 所以， 因为与的数量无法确定，即与不一定相等， 所以不能判定平分，故②错误； 因为， 所以， 因为， 所以，故③正确； 因为， 所以， 因为， 所以， 所以，故④正确； 综上所述，正确的有①③④，共3个， 故选：B． 知识点5 三角形的三边关系 1.定义：三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边. 2.判断三条线段能否组成三角形：若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形. 【题型5 利用三边关系判断能否组成三角形】 【例5】（24-25七年级下·广东揭阳·阶段练习）现有长度分别为2cm，3cm，4cm，5cm，6cm的五条线段，以其中的三条线段为边组成三角形，最多可以组成 个． 【答案】7 【分析】本题考查三角形三边关系（三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边 ），解题的关键是逐一判断五条线段中任取三条的组合是否满足三边关系． 从五条线段中任取三条，根据三角形三边关系判断能否组成三角形，统计满足条件的组合数． 【详解】以其中的三条线段为边组成三角形的有： ； ； ； ； ； ； ． 共有 7 种情况． 故答案为： 7 ． 【变式5-1】（2025·河北邯郸·二模）如图，有甲、乙两根小棒，现用剪刀把其中一根小棒剪开，若得到的两根小棒与另一根小棒能组成三角形，则剪开的小棒是(   ) A．甲 B．乙 C．甲或乙 D．甲或乙均不可以 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形三边关系，即三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．通过分别假设剪开甲、乙小棒，分析所得到的线段长度与另一根小棒长度之间是否满足三边关系来确定正确答案． 【详解】解：假设剪开乙小棒，设乙小棒长度为，剪成两段长度分别为、，甲小棒长度为． 因为乙小棒的长度大于甲小棒，即 所以 所以剪开乙小棒得到的两根小棒与另一根小棒能组成三角形； 假设剪开甲小棒， 因为乙小棒的长度大于甲小棒， 所以同理可得，甲小棒减成的两根小棒的和小于乙小棒，故围不成三角形，不符合题意． 综上所述，剪开的小棒是乙． 故选：B． 【变式5-2】（24-25八年级上·浙江台州·期中）用13根等长火柴棒拼成一个三角形，火柴棒不允许剩余、重叠和折断，则能摆出不同的三角形个数是（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是三角形三边的关系，若三条线段能够构成三角形需满足：任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.熟记定理是解题的关键. 可以把三角形的周长看作13，再根据三角形三边的关系应满足：任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，从一条边有1根开始，逐渐增多即可得出结论. 【详解】解：因为三角形两边之和大于第三边， 所以只能有5种答案，即①1、6、6；②2、5、6；③3、5、5；④4、4、5；④3、4、6． 故选：C． 【变式5-3】（24-25八年级上·河北沧州·期末）某同学用5cm、7cm、9cm、13cm的四根小木棒摆出不同形状的三角形的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】从4条线段里任取3条线段组合，可有4种情况，看哪种情况不符合三角形三边关系，舍去即可． 【详解】解：四条木棒的所有组合：5，7，9和5，9，13和5，7，13和7，9，13； 只有5，7，9和5，9，13和7，9，13能组成三角形． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形三边关系，三角形的三边关系：任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边；注意情况的多解和取舍． 【题型6 利用三边关系求参数范围】 【例6】（24-25七年级下·江苏无锡·期末）已知一个三角形中两条边的长分别是 a、b，且 a＞b，那么这个三角形的周长 L的取值范围是（    ） A．3b＜L＜3a B．2a＜L＜2（a+b） C．a+2b＜L＜2a+b D．3a﹣b＜L＜3a+b 【答案】B 【详解】分析：先根据三角形的三边关系求得第三边的取值范围，再确定这个三角形的周长l的取值范围即可． 详解：设第三边长x． 根据三角形的三边关系，得a-b＜x＜a+b． 所以这个三角形的周长m的取值范围是a-b+a+b＜L＜a+b+a+b，即2a＜L＜2a+2b． 故选B． 点睛：考查三角形的三边关系，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 【变式6-1】（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）三角形的三边长分别为2，5，，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据三角形三边的关系即可列出一元一次不等式组，求出不等式组的解集即可． 【详解】根据题意可得不等式组 ， 所以，即． 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形三边的关系以及解不等式组．解题的关键在于利用三角形三边的关系列出一元一次不等式组． 【变式6-2】（24-25八年级上·湖北黄冈·阶段练习）等腰三角形周长是，腰长为，则x的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的定义，三角形的三边关系，求不等式组的解集，由题意可得等腰三角形的底边长为，然后根据三角形的三边关系可得关于的不等式组，解不等式组即可求出答案． 【详解】解：等腰三角形的周长为，腰长为，则底边长为， 根据三边关系可得，，解得，； ，解得，， 的取值范围是． 故答案为：． 【变式6-3】（24-25七年级下·江苏无锡·期末）一个三角形的3边长分别是、，，它的周长不超过39cm．则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形三边关系和周长不超过39cm可列出不等式组求解即可． 【详解】解：根据题意，可得， 所以． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系和解不等式组，根据条件列出不等式组求解是解题的关键． 【题型7 利用三边关系化简】 【例7】（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）设a，b，c是的三边， (1)化简 (2)若b，c满足，且a为方程的解，判断的形状并说明理由． 【答案】(1) (2)等腰三角形，理由见解析 【分析】（1）根据三角形的三边关系得出，，再利用绝对值的性质化简即可； （2）根据非负数的性质得出，，再解绝对值方程，求出a值，根据三角形三边关系取舍，最后即可判断的形状． 【详解】（1）解：因为a，b，c是的三边， 所以， 所以，， 所以 ； （2）解：因为， 所以且， 所以，， 因为a为方程的解， 所以， 所以或， 所以或， 当时，，不能构成三角形，不符合题意； 当时，，能构成三角形； 所以， 所以是等腰三角形． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，化简绝对值，等腰三角形的定义，非负数的性质，解题的关键是利用三角形三边关系得出式子的符号． 【变式7-1】（24-25八年级上·安徽安庆·期中）若一个三角形的三边长分别为2，x，7，化简的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了绝对值的化简，三角形的三边关系，整式的加减等知识点，首先根据三角形的三边关系确定的取值范围，再去绝对值计算即可解答，熟练掌握三角形的三边关系并能正确得出是解决此题的关键． 【详解】解：因为一个三角形的三边长分别为2，x，7， 所以， 所以 ， 故选：． 【变式7-2】（24-25八年级上·云南曲靖·期中）已知一个三角形的三边长分别为2，4，m．化简：． 【答案】 【分析】本题考查三角形的三边关系，绝对值的化简．先由三角形的三边关系得到，进而可对绝对值进行化简． 【详解】解：因为三角形的三边长分别为2，4，m， 所以， 即， 所以，，， 所以 ． 【变式7-3】（24-25八年级上·四川凉山·阶段练习）已知，，为三角形的三边长，化简：=（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形的三边关系及化简绝对值，先根据三角形的三边关系得到式子的正负，再化简绝对值即可得到答案． 【详解】解：因为，，为三角形的三边长， 所以，， 所以，，， 所以原式 ， 故选：A． 【题型8 利用三边关系求最值】 【例8】（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，，，P是上的一个动点（不与点B重合）.点B与点关于直线对称，连接，，，则线段的最小值是 . 【答案】3 【分析】根据题意，得，结合，判定当三点共线时，线段取得最小值，解答即可. 本题考查了三角形不等式求最值，构造正确的三角形不等式存在的基础三角形是解题的关键. 【详解】解：根据题意，得， 因为， 所以当三点共线时，线段取得最小值 因为， 所以， 故答案为：3. 【变式8-1】（24-25七年级下·江苏镇江·期中）如图，在中，，将平移5个单位到，则的最大值等于 ． 【答案】8． 【分析】根据平移的性质和三角形的三边关系即可得到结论． 【详解】解：如图示：连接， 因为将平移5个单位到， 所以， 又， 所以， 所以在中， 即： 所以 所以的最大值等于8， 故答案是：8． 【点睛】本题考查了平移的性质，三角形的三边关系，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 【变式8-2】（24-25八年级上·广东湛江·阶段练习）如图，在中，，，，D为边上一动点，将沿翻折得到，点B的对应点为点P，连接，则的最小值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用．由折叠的性质知，在中，由三角形三边关系得，当D在边上运动时，总有，据此求解即可． 【详解】解：由折叠的性质知， 在中，由三角形三边关系得， 当点落在边上时，， 所以当D在边上运动时，总有， 所以的最小值为， 故答案为：2． 【变式8-3】（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，，，，点D是平面内一点，且满足，则的最小值是 ． 【答案】16 【分析】本题考查线段之和最小值问题，将转化为求的最小值，当B、C、D在同一直线上时，最小值为． 【详解】解：因为， 所以， 所以， 所以当B、C、D在同一直线上时，有最小值，最小值为，， 所以的最小值为， 故答案为：16． 【题型9 利用三边关系取舍值】 【例9】（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）用一条长41cm的细绳围成一个三角形，已知此三角形的第一条边为xcm，第二条边是第一条边的3倍少4cm． (1)请用含x的式子表示第三条边的长度． (2)若此三角形恰好是一个等腰三角形，求这个等腰三角形的三边长． 【答案】(1)cm (2)7cm，17cm，17cm 【分析】（1）依据三角形的第一条边为，第二条边是第一条边的3倍少，即可用含的式子表示第三条边的长度． （2）依据三角形恰好是一个等腰三角形，分三种情况讨论，即可得到这个等腰三角形的三边长． 【详解】（1）解：因为三角形的第一条边长为xcm，第二条边长比第一条边长的3倍少4cm， 所以第二条边长为cm． 所以第三条边长为cm． （2）解：若x＝3x-4，则x＝2，此时三边长分别为2cm，2cm和37cm， 根据三角形三边关系可知，2，2，37不能组成三角形； 若x＝45-4x，则x＝9，此时三边长分别为9cm，9cm和23cm， 根据三角形三边关系可知，9，9，23不能组成三角形； 若3x-4＝45-4x，则x＝7，此时三边长分别为7cm，17cm，17cm， 根据三角形三边关系可知，7，17，17可以组成三角形． 所以这个等腰三角形的三边长分别为7cm，17cm，17cm． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，解题的关键是根据三角形的三边关系进行判断． 【变式9-1】（24-25七年级下·河北保定·期中）等腰三角形的两边满足，则该等腰三角形的周长是（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，非负数的性质，三角形的三边关系，由非负数的性质得，，进而根据三角形的三边关系得是等腰三角形的底，是等腰三角形的腰，即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：因为， 所以，， 所以，， 因为， 所以是等腰三角形的底，是等腰三角形的腰， 所以该等腰三角形的周长为， 故选：． 【变式9-2】（24-25八年级上·山东德州·期末）用一条长为的细绳围成一个等腰三角形，使其一边的长度为，另外两边的长为 ． 【答案】， 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形三边之间的关系，熟练掌握以上知识，并且分类讨论是解题的关键． 分两种情况进行讨论：①若的边为底边，②若的边为腰．分别求出另外两边长，再根据三角形三边之间的关系判断能否组成三角形进行取舍． 【详解】解：①若的边为底边，则腰长为：， ， 所以此时能构成三角形， 所以另两边的长度分别是，； ②若的边为腰，则另一腰也为，则底边长为：， ，不满足三角形三边之间的关系，因此的边不能为腰． 综上，另两边的长度分别是，． 故答案为：，． 【变式9-3】（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）等腰三角形底边长为，一腰上的中线把这个三角形的周长分为两部分，其差为，则该等腰三角形的腰长为（　　） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，设腰长为x，得出方程或，求出x后根据三角形三边关系进行验证即可． 【详解】解：如图， 设腰长为，一腰的中线为， 则或， 解得：， 所以或1， ①三边长为9、9、1，符合三角形三边关系定理； ②三边是1、1、9，，不符合三角形三边关系定理； 所以，该等腰三角形的腰长为， 故选：C． 【题型10 利用三边关系证明线段的不等关系】 【例10】（2025八年级上·江苏苏州·专题练习）如图，在中，点在上，点在上．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，不等式的性质，掌握三角形的任意两边之和大于第三边吗，任意两边之差小于第三边是解题关键．延长交于点，由三角形的三边关系可得，，进而得到，，即可证明结论． 【详解】证明：延长交于点，如图． 在中，， ， 即． 在中，， ， 即， ． 【变式10-1】（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，D为的边上一点，试判断与的周长之间的大小关系，并加以证明． 【答案】，见解析 【分析】根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，即可得出答案． 【详解】证明：因为在中，， 在中，， 所以， 即， 所以 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，熟记其三边关系是解题的关键． 【变式10-2】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，，是四边形的对角线，且，相交于点O．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）在和中，利用三角形三边关系即可求证结论． （2）由（1）得，，在和中，利用三角形三边关系可得，利用等量关系即可求证结论． 【详解】（1）证明：因为在和中，，， 所以，即． （2）由（1）得，， 同理可得，， 所以， 即． 【点睛】本题考查了三角形三边关系，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键． 【变式10-3】（24-25八年级上·安徽安庆·期中）已知：如图，点D是△ABC内一点．求证：    (1)BD＋CD＜AB＋AC； (2)AD＋BD＋CD＜AB＋BC＋AC． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）延长BD交AC于E，从而找到BD＋CD与AB＋AC的中间量BE+CE，再利用不等式的传递性(若a<b，b<c，则a<c．)得出BD＋CD＜AB＋AC ； （2）同理可得AD+CD<AB+BC，BD+AD<BC+AC，与（1）结论左边加左边，右边加右边，再两边除以2即可． 【详解】（1）证明：延长BD交AC于E，    在△ABE中，有AB+AE＞BE， 所以AB＋AC=AB+AE+CE＞BE+CE， 在△EDC中，有DE+CE＞CD， 所以BE+CE= BD+DE+CE＞BD+CD， 所以AB＋AC＞BE+CE＞BD+CD， 所以BD＋CD＜AB＋AC； （2）解：由（1）同理可得： BD＋CD＜AB＋AC①， AD＋CD＜AB＋BC②， BD＋AD＜BC＋AC③， ①+②+③得：2（AD+BD+CD）<2（AB+BC+AC）， 所以AD+BD+CD<AB+BC+AC． 【点睛】本题考查三角形的三边关系，不等式的性质，能否根据题意添加辅助线和利用不等式的性质是解题的关键． 【题型11 三边关系的应用】 【例11】（2025·江苏无锡·三模）小毛在滑雪场沿着不同路径滑冰．如图中的灰色线条表示4条不同路径，分别标记为P、Q、R、S．请问这4条路径从最短到最长的正确排列顺序是（    ） A．P，Q，R，S B．P，R，S，Q C．Q，S，P，R D．R，P，S，Q 【答案】D 【分析】本题考查线段的性质，三角形的三边关系，根据两点之间线段最短，三角形的任意两边之和大于第三边，进行判断即可． 【详解】解：由图，根据两点之间线段最短，可知：的路径长小于的路径长，的路径长小于的路径长； 根据三角形的三边关系，可知：的路径长小于的路径长； 综上：4条路径从最短到最长的正确排列顺序R，P，S，Q； 故选：D． 【变式11-1】（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，、为池塘岸边两点，小明在池塘的一侧取一点，测得米，米，、间的距离可能是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求出的取值范围即可求解，掌握三角形的三边关系是解题的关键． 【详解】解：因为米，米， 所以， 即， 所以， 所以、间的距离可能是米， 故选：． 【变式11-2】（2025·河北唐山·二模）三根底端对齐的小棒中有一根被挡板遮住了，它们的长度如图所示．若三根小棒可以围成三角形，则第三根小棒的长度可以是（   ） A．2 B．3 C．4或5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查三角形三边关系，设第三根小棒的长度是，根据题意，可得，再由图中挡板高度进一步确定，结合选项即可得到答案．熟记三角形三边关系是解决问题的关键． 【详解】解：有图可知，一根小棒的长度为，一根小棒的长度为， 设第三根小棒的长度是，若三根小棒可以围成三角形， 则由三角形三边关系可知， 即， 再由图中挡板高度为，则， 结合四个选项可知，第三根小棒的长度可以是4或5， 故选：C． 【变式11-3】（24-25八年级上·山西长治·期末）如图，数学活动课上，一数学小组的同学把纸条等分成14份，如果第一次在剪刀处剪断，想再剪一刀，使三段能构成等腰三角形，那么第二次可以在 处剪断．（多选，填写序号） 【答案】②或③ 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系，分4厘米为等腰三角形的腰和底讨论即可． 【详解】解：当4为腰时，则底为，此时能组成三角形， 所以第二次可以在②处剪断， 当4为底时，则腰为，此时能组成三角形， 所以第二次可以在③处剪断， 在①处剪断时，三段的长分别为、、，不能组成三角形， 在④处剪断时，三段的长分别为、、，不能组成三角形， 综上，第二次可以在②或③处剪断， 故答案为：②或③． 知识点6 三角形的中线 在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线，三角形的三条中线相交于一点，三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.三角形的重心在三角形内部. 知识点7 三角形的角平分线 三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段叫做三角形的角平分线.任意一个三角形都有三条角平分线，三条角平分线交于一点，且在三角形的内部. 知识点8 三角形的高 1.从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高. 2.三角形的三条高的特性 名称 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 图示 高在三角形内部的数量 3 1 1 高之间是否相交 相交 相交 不相交 高所在的直线是否相交 相交 相交 相交 三条高所在直线的交点的位置 三角形内部 直角顶点 三角形外部 【题型12 中线、角平分线、高概念辨析】 【例12】（24-25七年级下·四川甘孜·期中）如图，在中，关于高的说法正确的是（　　） A．线段是边上的高 B．线段是边上的高 C．线段是边上的高 D．线段是边上的高 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的角平分线、中线、高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，是基础题，熟记概念是解题的关键．根据三角形的一个顶点到对边的垂线段叫做三角形的高对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：因为于点， 所以中，是边上的高，故A不符合题意， 因为，线段是边上的高，B选项符合题意； 因为于点， 所以是边上的高，故C选项不符合题意，D选项不符合题意． 故选：B． 【变式12-1】（24-25七年级下·上海青浦·阶段练习）下列说法中，正确的是（　　） A．三角形的高、中线是线段，角平分线是射线 B．三角形的三条高中，至少有一条在三角形的内部 C．钝角三角形的三条角平分线在三角形的外部 D．在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的直线叫作三角形的中线 【答案】B 【分析】本题考查与三角形有关的线段，解题的关键是理解三角形的高、中线、角平分线的定义，据此分析即可． 【详解】解：A．三角形的高、中线、角平分线都是线段，故此选项不符合题意； B．三角形的三条高中，至少有一条在三角形的内部，故引选项符合题意； C．钝角三角形的三条角平分线都在三角形的内部，故此选项不符合题意； D．在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线，故此选项不符合题意． 故选：B． 【变式12-2】（2025·吉林长春·二模）如图，根据下列图形折叠后的情况，可以判定是的角平分线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的角平分线和翻折的性质，解题的关键在于观察图形，根据是的角平分线，可推出是 的角平分线，再根据翻折可知道 与 是对称点，即可求出答案． 【详解】解：由图形可知，若是的角平分线，根据折叠关系可得 ，选项中符合这一条件只有B． 故选：B． 【变式12-3】（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，，且，，分别是的高线，中线和角平分线，且与相交于点，下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的角平分线、中线和高，三角形的面积，三角形内角和定理，利用高线的定义得出，得出，再结合，即可判断选项A；利用角平分线的定义判断选项B；利用中线定义得出，即可判断选项C；无法得出选项D． 【详解】解：A、因为是的高线， 所以， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以结论A正确，故该选项不符合题意； B、因为是的角平分线， 所以， 因为， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以结论B正确，故该选项不符合题意； C、因为是的中线， 所以， 所以， 即， 所以结论C正确，故该选项不符合题意； D、因为，但不一定小于， 故选项D错误，符合题意， 故选：D． 【题型13 利用三角形的中线求长度】 【例13】（24-25七年级下·重庆·期中）在中，边上的中线把的周长分成24和12的两部分，则的长是（   ） A．16 B．8 C．16或8 D．8或4 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、中线的定义、三角形的三边关系等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 设，，则，再分且和且两种情况分别列出一元一次方程求解并运用三角形的三边关系判断即可解答． 【详解】解：设，则， 当且时，即，解得：， 所以，， 因为， 所以能组成三角形，即符合题意； 当且时，即，解得：； 所以，， 因为， 所以三边不能组成三角形，即不符合题意； 综上，的长是16． 故选A． 【变式13-1】（24-25八年级上·陕西渭南·阶段练习）如图，是的中线，是的中线，若，则 ．    【答案】12 【分析】根据是的中线，是的中线，得到，再根据，即可得到答案． 【详解】解：因为是的中线，是的中线， 所以， 所以． 因为， 所以 故答案为：12． 【点睛】本题考查中线的性质，解题的关键是熟练掌握中线的相关知识． 【变式13-2】（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，中，，为边上的中线，若的周长为22，则的周长是 ． 【答案】24 【分析】本题考查的是三角形的中线，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．根据三角形的中线的概念得到，再根据三角形周长公式计算即可． 【详解】解：因为为边上的中线， 所以， 因为的周长为22， 所以， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以的周长， 故答案为：24． 【变式13-3】（24-25八年级上·广西·期中）如图①是一张三角形纸片，将对折使点C与点B重合，如图②所示，折痕与的交点记为D． (1)请在图②中画出边上的中线； (2)若，，求与的周长差． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查的是翻折的性质，由翻折的性质得到是解题的关键． （1）由翻折的性质可知，然后连接即可； （2）由可知与的周长差等于与的差． 【详解】（1）解：连接，如图所示，边上的中线为所求； （2）解：因为周长等于，周长等于， 由题意得， 与的周长差等于 所以与的周长差． 【题型14 利用三角形的中线求面积】 【例14】（24-25八年级上·浙江金华·期中）如图，已知的面积为，点分别在边，上，且，，与相交于点F，若的面积为3，则图中阴影部分的面积为（   ） A．7 B．8 C．9 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形面积的计算，和三角形中线的性质，作出正确的辅助线是解此题的关键．连接，由与等高，，可得到．又因为与等底等高，故可得，从而，又与等底等高，即可得出阴影部分的面积． 【详解】连接， 因为 ，的面积为3 所以 ， 因为 ，的面积为， 所以 ， 所以 ， 因为 与等底等高， 所以 ， 所以图中阴影部分的面积为9， 故选：C． 【变式14-1】（24-25八年级上·云南昆明·期中）如图所示，是的中线，是的中线． (1)在中作边上的高； (2)若的面积为36，，则点到边的距离是多少？ 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题主要考查了作三角形的高，三角形中线的性质： （1）根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法作图即可； （2）首先根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分可得出，再利用三角形的面积公式进而得到点到边的距离． 【详解】（1）解：如图所示，为边上的高； （2）解：因为是的中线，是的中线， 所以，， 所以， 因为的面积为36，， 所以， 解得， 即点到边的距离为3． 【变式14-2】（24-25八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，的面积为S，作的中线，取的中点，连接得到第一个；作的中线，取的中点，连接得到第一个…；重复这样的操作，则第2024个的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的中线的性质，熟练掌握三角形中线平分三角形面积是关键．由三角形的中线平分三角形的面积得：的面积，同理中线得：的面积，重复这样的过程，可得结论． 【详解】解：因为的面积为，边中线， 所以的面积， 因为取的中点， 所以 的面积， 同理得的面积， 则个三角形的面积为； 故答案为：． 【变式14-3】（24-25八年级上·安徽蚌埠·期中）【问题呈现】三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分． 已知：如图1，在中，点D是边上的中点，连接．求证： ． 证明：过点A作于E， 因为点D是边上的中点， 所以， 因为， 所以． 【拓展探究】 （1）如图2，在中，点D是边上的中点，若，则_____； （2）如图3，在中，点D是边上的点，且，求的值； 【问题解决】 （3）现在有一块四边形土地，如图4，甲、乙两人要均分这块土地，请通过作图均分四边形的面积． （要求：用不超过三条的线段画出平分方法，并对作法进行说明，可利用带刻度的直尺．） 【答案】（1）3；（2），理由见解析；（3）见解析． 【分析】本题考查了三角形中线的性质：三角形中线平分三角形的面积； （1）根据即可求解； （2）取中点E，连接，则，从而得，由此可求得结果； （3）连接，取中点E，连接，则，从而均分了四边形． 【详解】解：（1）因为点D是边上的中点， 所以， 所以； 故答案为：3； （2）取中点E，连接，则， 所以； 因为， 所以， 所以， 所以， 所以； （3）连接，取中点E，连接， 则， 所以， 即， 所以四边形被平均分． 【题型15 依据高的位置分类讨论求角度】 【例15】（24-25七年级下·河北保定·期末）有一道题目“在中，是边上的高，的平分线与边交于点F．若，，求的度数．”对于其答案．甲答：．乙答：．丙答：．则正确的是（    ） A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．只有乙 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形内角和，高的性质以及角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质即可得到答案．根据题意画出图形进行计算即可． 【详解】解：①因为 ， 是边上的高，的平分线与边交于点F， 所以 因为 所以 所以，乙同学正确， ②因为 ， 是边上的高，的平分线与边交于点F， 所以 因为 所以 所以 所以，丙同学正确． 故选B． 【变式15-1】（24-25八年级上·辽宁盘锦·期中）已知AD是△ABC的高，∠BAD＝70°，∠CAD＝20°，求∠BAC的度数． 【答案】90°或50° 【分析】分高AD在△ABC的内部和外部两种情况讨论求解即可． 【详解】当高AD在△ABC的内部时，如图1， 因为∠BAD＝70°，∠CAD＝20°， 所以∠BAC=∠BAD+∠CAD=70°+20°=90°； 当高AD在△ABC的外部时，如图2， ∠BAC=∠BAD-∠CAD=70°﹣20°=50°， 综上，∠BAC的度数为90°或50°． 【点睛】本题考查了三角形的高，分三角形的高在三角形的外部还是内部时解答的关键． 【变式15-2】（24-25七年级下·北京·阶段练习）在中，，是边上的高且，则的度数是 【答案】或 【分析】此题考查了三角形内角和，三角形的高的含义.根据题意分两种情况：高在内部和高在外部，然后根据三角形的内角和，结合角的和差求解即可． 【详解】解：如图所示，当高在内部时，    因为是边上的高， 所以， 所以， 因为，， 所以． 如图所示，当高在外部时，    因为是边上的高， 所以， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以. 综上所述，或． 故答案为：或． 【变式15-3】（24-25八年级上·四川南充·阶段练习）已知：是的高，直线相交所成的角中有一个角为，则的度数为 ．（提示：四边形内角和为360°） 【答案】或 【分析】本题考查了三角形高的定义、四边形的内角和等知识，正确分类并画出图形是解题的关键； 分两种情况：为锐角与为钝角，分别画出图形，利用四边形的内角和求解即可． 【详解】解：当为锐角时，如图，设三角形的两条高交于点O， 则，， 所以， 所以； 当为钝角时，如图，设三角形的两条高所在的直线交于点O， 则，， 所以； 故答案为：或． 【题型16 等积法求值】 【例16】（24-25七年级上·四川宜宾·期末）如图，直角三角形中，，，，，点D是边上一动点，作直线经过点C、点D，分别过点A，B作与垂直，与垂直，垂足分别为点F，E．设线段，的长度分别为，，则的最大值为 ． 【答案】10 【分析】此题考查了三角形面积的求解，垂线段最短，解题的关键是得出，确定取最大值时，取最小值，并掌握垂线段最短的性质． 根据，即得到，则的最大值就是的最小值，由垂线段最短可得当时，最小，即可求解． 【详解】解：由题意可得：，即 化简可得： 解得， 则取最大值时，取最小值， 由垂线段最短可得当时，最小， 由可得， 所以的最大值为． 故答案为：10． 【变式16-1】（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，，垂足为，，，．是线段上的任意一点，连接，的长不可能是（   ） A．11 B．12 C．13 D．16 【答案】A 【分析】本题考查了垂线段的性质，三角形中的等面积法，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据垂线段最短可知，当时，取得最小值，利用等面积法求出的最小值，即可从选项中找出答案． 【详解】解：作于点， 如图， 因为 ，垂足为，，，， 所以，即， 所以， 因为 是线段上的任意一点，连接， 所以当点与点重叠时取得最小值，最小值为12， 所以的长不可能是11， 故选：A． 【变式16-2】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，在中，，点D，P分别在边，上，且，，，垂足分别为点E．F．若，，则的值 ．    【答案】6 【分析】本题主要考查了三角形的面积．根据三角形面积公式得出，再根据，得出，即可得出． 【详解】解：因为，，， 所以，， 所以， 所以， 因为，， 所以， 因为， 所以， 所以，则， 故答案为：6． 【变式16-3】（24-25八年级上·广西南宁·期中）如图，在中，，D为中点，过点D作，，E为上一点，过点E作，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了与三角形的高有关的面积计算，添加适当的辅助线，根据题意得出是解此题的关键．连接，，根据D为中点，得出，从而得出，根据三角形面积得出，从而得出，代入数据计算即可． 【详解】解：如图，连接，， 因为D为中点， 所以， 所以， 因为，， 所以， 所以， 因为，， 所以， 解得：． 故答案为：． 【题型17 与角平分线有关的求值】 【例17】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，，则是的（   ） A．高线 B．角平分线 C．中线 D．以上都不是 【答案】B 【分析】该题考查了三角形的角平分线，根据题意得出，即可解答． 【详解】解：因为， 所以， 所以， 所以是的角平分线． 故选：B． 【变式17-1】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图△中，已知，平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的角平分线，三角形其中一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线． 根据三角形角平分线的定义求解即可． 【详解】解：因为，平分， 所以． 故选：B． 【变式17-2】（24-25七年级下·重庆巫溪·阶段练习）填写下列证明过程中的推理根据：已知：如图所示，相交于，平分与相交于，平分与相交于，． 求证：． 证明：因为（          ）， 所以（          ）， 所以（          ）， 因为分别是和的平分线， 所以，，（                    ） 所以（          ）， 即． 【答案】已知；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；角平分线的定义；等量代换 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，由可得，即得，再根据角平分线的定义即可求证，掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【详解】证明：因为（已知）， 所以（内错角相等，两直线平行）， 所以（两直线平行，内错角相等）， 因为分别是和的平分线， 所以，，（角平分线的定义） 所以（等量代换）， 即， 故答案为：已知；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；角平分线的定义；等量代换． 【变式17-3】（24-25七年级下·重庆·期中）如图，在中，点为和的角平分线的交点，连接，作的一条角平分线．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义等知识，根据角平分线定义可得，，从而可求出． 【详解】解：因为， 所以， 因为是的平分线，是的平分线， 所以， 所以， 因为， 所以， 因为是和平分线， 所以， 因为是的平分线， 所以， 所以, 故选：A． 【题型18 与角平分线有关的证明】 【例18】（24-25八年级上·福建龙岩·期末）如图，中，是角平分线，，垂足为． (1)已知，，求的度数； (2)若，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了三角形内角和、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由三角形内角和得出，由角平分线的定义得出，最后再由，进行计算即可得出答案； （2）设，则，由三角形内角和得出，再由角平分线的定义得出，计算出，，即可得证． 【详解】（1）解：因为，， 所以， 因为是角平分线， 所以， 所以； （2）证明：设，则， 所以， 因为是角平分线， 所以， 又因为， 所以， 所以， 所以， ． 【变式18-1】（24-25八年级上·河北保定·期末）如图，在中，，，平分交于点，点是边上一点，若，求证：．    【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形内角和、角平分线的定义、平行线的判定，由三角形内角和得出，由角平分线的定义得出，从而得出，即可得证． 【详解】证明：因为在中，，， 所以． 因为平分， 所以． 因为． 所以． 【变式18-2】（24-25八年级上·贵州黔南·期中）在中，，于，是的平分线，交于，交于，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了三角形的角平分线，余角性质，由，可得，，进而由角平分线的定义和余角性质可得，再根据对顶角相等即可求证，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】证明：因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 因为是的平分线， 所以， 所以， 因为， 所以． 【变式18-3】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）【感知】（1）如图①，，，，求的度数．小乐想到了以下方法，请帮忙完成推理过程． 解：如图①，过点作． 【探究】（2）如图②，，，，求的度数； 【应用】（3）如图③，在（2）条件下，的平分线和的平分线交于点，求的度数． 【答案】（1），过程见解析；（2）；（3） 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，平行公理及推论，角平分线的性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质与判定进行证明即可； （2）过点作，根据平行的性质进行计算即可； （3）在（2）条件下，根据的平分线和的平分线交于点，即可求出答案． 【详解】解（1）如图①，过点作， 所以， 因为 所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 即； （2）过点作， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以； （3）因为 的平分线和的平分线交于点， 所以， ， 过点作， 所以， 因为， 所以， 所以， ． 知识点9 三角形的重心 定义：三三角形的三条中线交于一点。这个点称为三角形的重心. 【题型19 三角形的重心】 【例19】（25-26八年级上·河北邯郸·期末）如图，在正方形网格图中，均为格点，则的重心在（   ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 【答案】B 【分析】本题主要考查了重心的概念．根据三角形的重心是三角形中线的交点即可判断重心的位置． 【详解】解：因为， 所以是的中线， 因为三角形的重心是三角形中线的交点， 所以它的重心在线段上． 故选：B． 【变式19-1】（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）如图，用铅笔支起一块质地均匀的三角形薄板，使薄板保持平衡，关于这个平衡点位置的确定，下列说法正确的是（    ） A．画出三角形薄板的三条高，取其交点 B．画出三角形薄板的三条中线，取其交点 C．画出三角形薄板的三条角平分线，取其交点 D．过不同顶点画出三角形薄板的一条高，中线和角平分线，取其交点． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的重心的概念，掌握三角形的重心为三角形三边中线的交点是解题的关键． 根据题意得：支撑点应是三角形的重心，据此即可解答． 【详解】解：因为支撑点应是三角形的重心， 所以支撑点是三角形三边中线的交点． 故选：B． 【变式19-2】（25-26八年级上·广西崇左·期末）在中，是的重心，连接并延长交于点，若，则______． 【答案】6 【分析】本题主要考查了三角形重心的性质，熟练掌握三角形的重心是三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点距离的倍，以及中线将对边平分的性质是解题的关键．根据三角形重心的性质，重心是三条中线的交点，因此点是边的中点，再利用中点的定义即可求出的长度． 【详解】解：因为是的重心， 所以是的中线， 所以是的中点， 因为， 所以， 故答案为：． 【变式19-3】（25-26八年级上·云南昆明·期末）数学兴趣小组的同学用一个支点顶住一个三角形均质薄板（如图1），慢慢调整薄板，使其能够在支点上保持平衡，标记这个位置即薄板与支点的接触点为，则点是薄板的重心．小组成员把三角形薄板取下来，标记为（如图2），连接，延长交于点D，则_______（填“>”“=”或“<”）． 【答案】＝ 【分析】本题考查重心的定义，三角形中线的性质．根据点O是的重心可得是中线，根据三角形的中线将三角形分为两个面积相等的小三角形即可解答． 【详解】解：因为点O是的重心， 所以是的中线， 所以． 故答案为：＝． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.1 认识三角形（举一反三讲义） 【新教材北师大版】 【题型1 三角形的相关概念】 2 【题型2 三角形的内角和为180°的简单运用】 3 【题型3 三角形的分类】 4 【题型4 角三角形的两个锐角互余】 5 【题型5 利用三边关系判断能否组成三角形】 6 【题型6 利用三边关系求参数范围】 7 【题型7 利用三边关系化简】 7 【题型8 利用三边关系求最值】 8 【题型9 利用三边关系取舍值】 9 【题型10 利用三边关系证明线段的不等关系】 9 【题型11 三边关系的应用】 10 【题型12 中线、角平分线、高概念辨析】 12 【题型13 利用三角形的中线求长度】 13 【题型14 利用三角形的中线求面积】 14 【题型15 依据高的位置分类讨论求角度】 15 【题型16 等积法求值】 16 【题型17 与角平分线有关的求值】 17 【题型18 与角平分线有关的证明】 18 【题型19 三角形的重心】 19 知识点1 三角形的有关概念 1.三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 2.三角形的三要素 3.三角形的表示：三角形用符号“△”表示，三角形ABC用符号表示为△ABC. 【题型1 三角形的相关概念】 【例1】（24-25八年级上·浙江金华·期中）如图，图中的三角形共有（    ）个． A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）一位同学用三根木棒两两相交拼成如下图形，则其中符合三角形概念的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25八年级上·广西·期中）已知：如图，试回答下列问题： （1）图中有_______个三角形，其中直角三角形是______． （2）以线段AC为公共边的三角形是___________． （3）线段CD所在的三角形是_______，BD边所对的角是________． 【变式1-3】（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，以点A、B、C、D、E中的任意3点为顶点的三角形共有几个，请在图中画出这些三角形. 知识点2 三角形内角和定理 定义：三角形三个内角的和等于180°. 如图所示，在△ABC 中，∠A+∠B+∠C=180°. 图 (1) 图 (2) 【题型2 三角形的内角和为180°的简单运用】 【例2】（24-25七年级下·山东泰安·期中）在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（   ） A．如图①所示，过三角形一边上点D作 B．如图②所示，过三角形内部一点P作 C．如图③所示，过点C作于点D D．如图④所示，过三角形外部一点P作 【变式2-1】（24-25七年级下·上海·期中）在中，若，则此三角形按角分类是 三角形． 【变式2-2】如图,将铅笔放置在三角形 ABC 的边 AB 上，笔尖方向为点 A 到点 B 的方向，把铅笔依次绕点 A、点 C、点 B 按逆时针方向旋转∠A、∠C、∠B 的度数，观察笔尖方向的变化，该操作说明了 ． 【变式2-3】（24-25七年级下·江西吉安·阶段练习）定义：当三角形中其中一个内角是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“倍角三角形”．若一个“倍角三角形”的其中一个内角为，则这个三角形中最大的内角度数为 ． 知识点3 三角形的分类 1.等腰三角形的定义 三边都相等的三角形叫做等边三角形；有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. 在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰 ,另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹角叫做底角. 2.三角形的分类 （1）按边分类 【题型3 三角形的分类】 【例3】（24-25八年级上·陕西渭南·阶段练习）关于三角形的分类，有如图所示的甲、乙两种分法，则（    ） A．甲、乙两种分法均正确 B．甲、乙两种分法均错误 C．甲的分法错误，乙的分法正确 D．甲的分法正确，乙的分法错误 【变式3-1】（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）如图，被木条遮住了一部分，只露出，则与可能是（    ） A．一个直角，一个锐角 B．两个钝角 C．一个钝角，一个锐角 D．两个锐角 【变式3-2】如图，在中，，．动点P从点C出发，沿边，向点A运动．在点P运动过程中，可能成为的特殊三角形依次是（    ） A．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等边三角形→直角三角形 B．等腰三角形→直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形 C．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形 D．等腰直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形 【变式3-3】（24-25七年级下·重庆·期中）设M表示直角三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形，Q表示等腰直角三角形．下列四个图中，能正确表示它们之间关系的是（　　） A． B． C． D． 知识点4 直角三角形的性质 直角三角形的两个锐角互余. 【题型4 角三角形的两个锐角互余】 【例4】（24-25八年级上·安徽淮北·期中）直角三角形中，，是斜边上的高，，请求出图中所有锐角的值，并找出其中所有相等的锐角。 【变式4-1】（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）如图，将直尺与30°角的三角尺叠放在一起，若，则的大小是 °． 【变式4-2】（24-25七年级下·全国·期末）如图，中，是上的高，平分，，则 度． 【变式4-3】（24-25七年级下·河南平顶山·期中）如图，知，，，．则下列结论：①；②平分；③；④．正确结论的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 知识点5 三角形的三边关系 1.定义：三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边. 2.判断三条线段能否组成三角形：若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形. 【题型5 利用三边关系判断能否组成三角形】 【例5】（24-25七年级下·广东揭阳·阶段练习）现有长度分别为2cm，3cm，4cm，5cm，6cm的五条线段，以其中的三条线段为边组成三角形，最多可以组成 个． 【变式5-1】（2025·河北邯郸·二模）如图，有甲、乙两根小棒，现用剪刀把其中一根小棒剪开，若得到的两根小棒与另一根小棒能组成三角形，则剪开的小棒是(   ) A．甲 B．乙 C．甲或乙 D．甲或乙均不可以 【变式5-2】（24-25八年级上·浙江台州·期中）用13根等长火柴棒拼成一个三角形，火柴棒不允许剩余、重叠和折断，则能摆出不同的三角形个数是（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式5-3】（24-25八年级上·河北沧州·期末）某同学用5cm、7cm、9cm、13cm的四根小木棒摆出不同形状的三角形的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型6 利用三边关系求参数范围】 【例6】（24-25七年级下·江苏无锡·期末）已知一个三角形中两条边的长分别是 a、b，且 a＞b，那么这个三角形的周长 L的取值范围是（    ） A．3b＜L＜3a B．2a＜L＜2（a+b） C．a+2b＜L＜2a+b D．3a﹣b＜L＜3a+b 【变式6-1】（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）三角形的三边长分别为2，5，，则x的取值范围是 ． 【变式6-2】（24-25八年级上·湖北黄冈·阶段练习）等腰三角形周长是，腰长为，则x的取值范围为 ． 【变式6-3】（24-25七年级下·江苏无锡·期末）一个三角形的3边长分别是、，，它的周长不超过39cm．则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型7 利用三边关系化简】 【例7】（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）设a，b，c是的三边， (1)化简 (2)若b，c满足，且a为方程的解，判断的形状并说明理由． 【变式7-1】（24-25八年级上·安徽安庆·期中）若一个三角形的三边长分别为2，x，7，化简的结果是（　　） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25八年级上·云南曲靖·期中）已知一个三角形的三边长分别为2，4，m．化简：． 【变式7-3】（24-25八年级上·四川凉山·阶段练习）已知，，为三角形的三边长，化简：=（   ） A． B． C． D． 【题型8 利用三边关系求最值】 【例8】（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，，，P是上的一个动点（不与点B重合）.点B与点关于直线对称，连接，，，则线段的最小值是 . 【变式8-1】（24-25七年级下·江苏镇江·期中）如图，在中，，将平移5个单位到，则的最大值等于 ． 【变式8-2】（24-25八年级上·广东湛江·阶段练习）如图，在中，，，，D为边上一动点，将沿翻折得到，点B的对应点为点P，连接，则的最小值为 ． 【变式8-3】（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，，，，点D是平面内一点，且满足，则的最小值是 ． 【题型9 利用三边关系取舍值】 【例9】（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）用一条长41cm的细绳围成一个三角形，已知此三角形的第一条边为xcm，第二条边是第一条边的3倍少4cm． (1)请用含x的式子表示第三条边的长度． (2)若此三角形恰好是一个等腰三角形，求这个等腰三角形的三边长． 【变式9-1】（24-25七年级下·河北保定·期中）等腰三角形的两边满足，则该等腰三角形的周长是（   ） A． B． C． D．或 【变式9-2】（24-25八年级上·山东德州·期末）用一条长为的细绳围成一个等腰三角形，使其一边的长度为，另外两边的长为 ． 【变式9-3】（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）等腰三角形底边长为，一腰上的中线把这个三角形的周长分为两部分，其差为，则该等腰三角形的腰长为（　　） A． B． C． D．或 【题型10 利用三边关系证明线段的不等关系】 【例10】（2025八年级上·江苏苏州·专题练习）如图，在中，点在上，点在上．求证：． 【变式10-1】（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，D为的边上一点，试判断与的周长之间的大小关系，并加以证明． 【变式10-2】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，，是四边形的对角线，且，相交于点O．求证： (1)； (2)． 【变式10-3】（24-25八年级上·安徽安庆·期中）已知：如图，点D是△ABC内一点．求证：    (1)BD＋CD＜AB＋AC； (2)AD＋BD＋CD＜AB＋BC＋AC． 【题型11 三边关系的应用】 【例11】（2025·江苏无锡·三模）小毛在滑雪场沿着不同路径滑冰．如图中的灰色线条表示4条不同路径，分别标记为P、Q、R、S．请问这4条路径从最短到最长的正确排列顺序是（    ） A．P，Q，R，S B．P，R，S，Q C．Q，S，P，R D．R，P，S，Q 【变式11-1】（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，、为池塘岸边两点，小明在池塘的一侧取一点，测得米，米，、间的距离可能是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式11-2】（2025·河北唐山·二模）三根底端对齐的小棒中有一根被挡板遮住了，它们的长度如图所示．若三根小棒可以围成三角形，则第三根小棒的长度可以是（   ） A．2 B．3 C．4或5 D．6 【变式11-3】（24-25八年级上·山西长治·期末）如图，数学活动课上，一数学小组的同学把纸条等分成14份，如果第一次在剪刀处剪断，想再剪一刀，使三段能构成等腰三角形，那么第二次可以在 处剪断．（多选，填写序号） 知识点6 三角形的中线 在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线，三角形的三条中线相交于一点，三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.三角形的重心在三角形内部. 知识点7 三角形的角平分线 三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段叫做三角形的角平分线.任意一个三角形都有三条角平分线，三条角平分线交于一点，且在三角形的内部. 知识点8 三角形的高 1.从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高. 2.三角形的三条高的特性 名称 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 图示 高在三角形内部的数量 3 1 1 高之间是否相交 相交 相交 不相交 高所在的直线是否相交 相交 相交 相交 三条高所在直线的交点的位置 三角形内部 直角顶点 三角形外部 【题型12 中线、角平分线、高概念辨析】 【例12】（24-25七年级下·四川甘孜·期中）如图，在中，关于高的说法正确的是（　　） A．线段是边上的高 B．线段是边上的高 C．线段是边上的高 D．线段是边上的高 【变式12-1】（24-25七年级下·上海青浦·阶段练习）下列说法中，正确的是（　　） A．三角形的高、中线是线段，角平分线是射线 B．三角形的三条高中，至少有一条在三角形的内部 C．钝角三角形的三条角平分线在三角形的外部 D．在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的直线叫作三角形的中线 【变式12-2】（2025·吉林长春·二模）如图，根据下列图形折叠后的情况，可以判定是的角平分线的是（    ） A． B． C． D． 【变式12-3】（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，，且，，分别是的高线，中线和角平分线，且与相交于点，下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型13 利用三角形的中线求长度】 【例13】（24-25七年级下·重庆·期中）在中，边上的中线把的周长分成24和12的两部分，则的长是（   ） A．16 B．8 C．16或8 D．8或4 【变式13-1】（24-25八年级上·陕西渭南·阶段练习）如图，是的中线，是的中线，若，则 ．    【变式13-2】（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，中，，为边上的中线，若的周长为22，则的周长是 ． 【变式13-3】（24-25八年级上·广西·期中）如图①是一张三角形纸片，将对折使点C与点B重合，如图②所示，折痕与的交点记为D． (1)请在图②中画出边上的中线； (2)若，，求与的周长差． 【题型14 利用三角形的中线求面积】 【例14】（24-25八年级上·浙江金华·期中）如图，已知的面积为，点分别在边，上，且，，与相交于点F，若的面积为3，则图中阴影部分的面积为（   ） A．7 B．8 C．9 D． 【变式14-1】（24-25八年级上·云南昆明·期中）如图所示，是的中线，是的中线． (1)在中作边上的高； (2)若的面积为36，，则点到边的距离是多少？ 【变式14-2】（24-25八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，的面积为S，作的中线，取的中点，连接得到第一个；作的中线，取的中点，连接得到第一个…；重复这样的操作，则第2024个的面积为 ． 【变式14-3】（24-25八年级上·安徽蚌埠·期中）【问题呈现】三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分． 已知：如图1，在中，点D是边上的中点，连接．求证： ． 证明：过点A作于E， 因为点D是边上的中点， 所以， 因为， 所以． 【拓展探究】 （1）如图2，在中，点D是边上的中点，若，则_____； （2）如图3，在中，点D是边上的点，且，求的值； 【问题解决】 （3）现在有一块四边形土地，如图4，甲、乙两人要均分这块土地，请通过作图均分四边形的面积． （要求：用不超过三条的线段画出平分方法，并对作法进行说明，可利用带刻度的直尺．） 【题型15 依据高的位置分类讨论求角度】 【例15】（24-25七年级下·河北保定·期末）有一道题目“在中，是边上的高，的平分线与边交于点F．若，，求的度数．”对于其答案．甲答：．乙答：．丙答：．则正确的是（    ） A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．只有乙 【变式15-1】（24-25八年级上·辽宁盘锦·期中）已知AD是△ABC的高，∠BAD＝70°，∠CAD＝20°，求∠BAC的度数． 【变式15-2】（24-25七年级下·北京·阶段练习）在中，，是边上的高且，则的度数是 【变式15-3】（24-25八年级上·四川南充·阶段练习）已知：是的高，直线相交所成的角中有一个角为，则的度数为 ．（提示：四边形内角和为360°） 【题型16 等积法求值】 【例16】（24-25七年级上·四川宜宾·期末）如图，直角三角形中，，，，，点D是边上一动点，作直线经过点C、点D，分别过点A，B作与垂直，与垂直，垂足分别为点F，E．设线段，的长度分别为，，则的最大值为 ． 【变式16-1】（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，，垂足为，，，．是线段上的任意一点，连接，的长不可能是（   ） A．11 B．12 C．13 D．16 【变式16-2】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，在中，，点D，P分别在边，上，且，，，垂足分别为点E．F．若，，则的值 ．    【变式16-3】（24-25八年级上·广西南宁·期中）如图，在中，，D为中点，过点D作，，E为上一点，过点E作，，，则 ． 【题型17 与角平分线有关的求值】 【例17】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，，则是的（   ） A．高线 B．角平分线 C．中线 D．以上都不是 【变式17-1】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图△中，已知，平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式17-2】（24-25七年级下·重庆巫溪·阶段练习）填写下列证明过程中的推理根据：已知：如图所示，相交于，平分与相交于，平分与相交于，． 求证：． 证明：因为（          ）， 所以（          ）， 所以（          ）， 因为分别是和的平分线， 所以，，（                    ） 所以（          ）， 即． 【变式17-3】（24-25七年级下·重庆·期中）如图，在中，点为和的角平分线的交点，连接，作的一条角平分线．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【题型18 与角平分线有关的证明】 【例18】（24-25八年级上·福建龙岩·期末）如图，中，是角平分线，，垂足为． (1)已知，，求的度数； (2)若，求证：． 【变式18-1】（24-25八年级上·河北保定·期末）如图，在中，，，平分交于点，点是边上一点，若，求证：．    【变式18-2】（24-25八年级上·贵州黔南·期中）在中，，于，是的平分线，交于，交于，求证：． 【变式18-3】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）【感知】（1）如图①，，，，求的度数．小乐想到了以下方法，请帮忙完成推理过程． 解：如图①，过点作． 【探究】（2）如图②，，，，求的度数； 【应用】（3）如图③，在（2）条件下，的平分线和的平分线交于点，求的度数． 知识点9 三角形的重心 定义：三三角形的三条中线交于一点。这个点称为三角形的重心. 【题型19 三角形的重心】 【例19】（25-26八年级上·河北邯郸·期末）如图，在正方形网格图中，均为格点，则的重心在（   ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 【变式19-1】（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）如图，用铅笔支起一块质地均匀的三角形薄板，使薄板保持平衡，关于这个平衡点位置的确定，下列说法正确的是（    ） A．画出三角形薄板的三条高，取其交点 B．画出三角形薄板的三条中线，取其交点 C．画出三角形薄板的三条角平分线，取其交点 D．过不同顶点画出三角形薄板的一条高，中线和角平分线，取其交点． 【变式19-2】（25-26八年级上·广西崇左·期末）在中，是的重心，连接并延长交于点，若，则______． 【变式19-3】（25-26八年级上·云南昆明·期末）数学兴趣小组的同学用一个支点顶住一个三角形均质薄板（如图1），慢慢调整薄板，使其能够在支点上保持平衡，标记这个位置即薄板与支点的接触点为，则点是薄板的重心．小组成员把三角形薄板取下来，标记为（如图2），连接，延长交于点D，则_______（填“>”“=”或“<”）． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $