专题3.3 等可能事件的概率讲义-2025-2026学年北师大版数学七年级下册

等可能事件的概率 知识归纳与题型总结 思 维 导 图 培 优 讲 练 考点01 等可能事件的概率 考点梳理 一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记作P（A）。 一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P（A）=。由m与n的含义可知0≤m≤n，因此0≤≤1，因此0≤P（A）≤1、 当A为必然事件时，P（A）=1；当A为不可能事件时，P（A）=0. 典例引领 考向01 列举随机实验的所有可能结果 【例1】飞行棋是一种玩法简单的竞技游戏，玩家投掷一个骰子得到正面朝上的点数，确定前进的步数，刚好走到终点则胜利；若所得点数超过到达终点所需的步数则需要往回走所超点数的步数．如图所示，在一次飞行棋游戏的最后阶段，如果小明投掷骰子的次数不超过两次就能刚好到达终点，则到达终点的方式有（   ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 【答案】C 【分析】根据题意列举即可． 【详解】解：根据题意，投掷一次6点， 投掷两次，， 综上共6种． 考向02 判断实验所得结果是否是等可能的 【例2】在抛掷一枚质地均匀的硬币的试验中，如果没有硬币，则下列不能作为替代物进行试验的是（   ） A．一枚均匀的正方体骰子 B．两张不同的扑克 C．两张不同的卡片 D．一枚图钉 【答案】D 【分析】替代物需要满足和原抛硬币试验一致，即能产生两种概率相等的结果，据此判断各选项即可． 【详解】原抛硬币试验中，有正面向上、反面向上两种等可能结果，每种结果发生的概率为，替代物需满足两种结果发生概率相等． 选项A，均匀正方体骰子，点数为奇数、偶数的结果各3种，概率均为，可分别对应硬币正反，能用作替代物； 选项B，两张不同扑克，任意抽取一张，抽到每张的概率均为，可对应硬币正反，能用作替代物； 选项C，两张不同卡片，任意抽取一张，抽到每张的概率均为，可对应硬币正反，能用作替代物； 选项D，抛掷图钉时，钉尖朝上与钉帽朝上的概率不相等，不满足两种结果等可能的要求，因此不能作为替代物． 对点提升 【对点1】小明参加浙江省城市篮球联赛（浙）丽水赛区赛后粉丝抽奖活动，活动规则如下：抽奖箱中有个红球和个黄球（除颜色外其余都相同），从中任意摸出一个球，记下颜色后不放回，再摸出一个球．若两次摸出的球颜色相同，则奖励篮球一个；若两次摸出的球颜色不同，则奖励球衣一件． (1)用适当的方法列举摸球所有可能的结果． (2)求出小明同学获得篮球的概率． 【答案】(1)种，列表见解析； (2)． 【分析】本题考查了列举随机试验的所有可能结果，概率公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （）直接用列表法列举出两次摸球可能出现的各种结果即可； （）由（）得，两次摸出的球颜色相同的结果有种，然后通过概率公式即可求解． 【详解】（1）解：（1）列表如下： 红 红 黄 黄 红 红红 红黄 红黄 红 红红 红黄 红黄 黄 黄红 黄红 黄黄 黄 黄红 黄红 黄黄 所以摸球所有可能的结果共有种； （2）解：由（）得，两次摸出的球颜色相同的结果有种， A． 所以小明同学获得篮球的概率． 【对点2】将一枚图钉抛起，落地后会出现“钉尖朝上”和“钉帽朝上”两种情况．有人认为这两种情况是等可能的，因此“钉尖朝上”的概率是．请判断该观点是否正确，并说明理由． 【答案】不正确，理由见解析 【分析】本题主要考查概率的意义，判断实验所得结果是不是等可能的，熟练掌握以上知识点是做题的关键．根据概率的意义及判断“钉尖朝上”和“钉帽朝上”所得结果不是等可能的进行解答即可． 【详解】解：该观点不正确，理由如下： 因为图钉的构造不是对称的，其重心偏向一侧，所以落地时“钉尖朝上”和“钉帽朝上”两种结果发生的可能性不相等，因此“钉尖朝上”的概率不是，故该观点不正确． 考点02 等可能性概率的计算方法 考点梳理 1、理论计算又分为如下两种情况： 第一种：只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如：根据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型进行的计算； 第二种：通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，如：配紫色，对游戏是否公平的计算． 2、实验估算又分为如下两种情况： 第一种：利用实验的方法进行概率估算．要知道当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的估计值，即大量实验频率稳定于理论概率； 第二种：利用模拟实验的方法进行概率估算．如，利用计算器产生随机数来模拟实验． 典例引领 考向01 列举法求概率 【例1】将分别标有“中”“华”“文”“化”汉字的4张卡片放在一个不透明盒子中，这些卡片除汉字不同外其余均无差别，随机抽出其中两张，抽出的卡片上汉字为“文”“化”的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先找出随机抽取两张卡片所有等可能的结果数，再找出抽出卡片为“文”“化”的结果数，根据概率公式计算即可． 【详解】解：将4张卡片分别记为中、华、文、化，列举随机抽取两张的所有等可能结果： (中，华)，(中，文)，(中，化)，(华，文)，(华，化)，(文，化)， ∴共有种等可能的结果，其中抽出卡片上汉字为“文”“化”的结果有种， ∴所求概率为． 考向02 根据概率公式计算概率 【例2】不透明袋子里装有9个球，其中有2个蓝球、3个黄球、4个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为________． 【答案】 【分析】根据概率的定义，绿球的数量与总球数的比值即为所求概率． 【详解】解：因为不透明袋子中装有9个球，其中绿球有4个， 所以从袋子中随机取出1个球是绿球的概率为． 考向03 根据概率作判断 【例3】在一个不透明的箱子中放有10张除地名外完全相同的卡片，卡片数量如表．从箱子中抽出一张卡片，卡片上的地名最有可能是_____． 地名 卡片数量 岳麓山 5张 铜官窑 2张 橘子洲头 3张 【答案】岳麓山 【分析】根据概率的定义，分别计算抽到各地名卡片的概率，比较概率大小，概率最大的就是最有可能抽出的地名. 【详解】解：总共有10张等可能的卡片， 抽到岳麓山的概率为， 抽到铜官窑的概率为， 抽到橘子洲头的概率为， 比较大小得，抽到岳麓山的概率最大，因此卡片上的地名最有可能是岳麓山. 考向04 已知概率求数量 【例4】一只不透明的袋子中，装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，如果搅匀后从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为，那么红球的个数是（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】设红球个数为，根据摸到白球的概率列方程求解即可． 【详解】解：设红球的个数为，则袋子中总球数为个， ∵摸到白球的概率等于白球个数除以总球数，已知摸到白球的概率为， ∴可得方程， 解得，经检验，是原方程的解， ∴红球的个数为2． 考向05 游戏的公平性 【例5】在某校七年级（1）班组织的“五四青年节”活动中，小丽和小芳都想当节目主持人，但现在只有一个名额，小芳想出了一个用游戏来选人的办法，她将一个转盘（均匀的）平均分成6份，如图所示．游戏规定：随意转动转盘，当转盘停止后，若指针指向偶数，则小丽去；反之，则小芳去． (1)求小丽获胜的概率是____________ (2)你认为这个游戏公平吗？若不公平，请说明理由． 【答案】(1) (2)不公平，理由见解析 【分析】（1）直接根据概率公式计算即可； （2）比较两人获胜概率可知不公平，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，P（偶数）， 即小丽获胜的概率是； （2）解：不公平，理由如下： ∵若指针指向偶数，则小丽去；反之，则小芳去，且由（1）得小丽获胜的概率是； ∴小芳获胜的概率是， ∵ ∴这个游戏不公平； 考向06 几何概率 【例6】在如图所示的图形中随机地撒一把豆子，计算落在，，三个区域中的豆子数的比．多次重复这个试验，把“在图形中随机撒豆子”作为试验，把“豆子落在中”记作事件，估计的概率的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的面积公式，分别计算出区域和整个图形的面积，利用几何概型，用区域面积与总面积的比值估计概率． 【详解】解：由图可知，区域是半径为的圆， 其面积为， 整个图形是半径为的圆， 其总面积为， ． 考向07 概率在转盘抽奖中的应用 【例7】如图是一个可以自由转动的转盘，且转盘被分成面积相等的十个扇形．小颖和同伴利用这个转盘做下面的游戏： ①自由转动转盘，每人分别将转出的数填入两个方格中的任意一个； ②继续转动转盘，每人再将转出的数字填入剩下的方格中； ③转动两次转盘后，每人得到一个“两位数”； ④比较两人得到的“两位数”大小，谁的大谁就获胜． 通过游戏经验的积累，小颖发现： (1)在一次游戏中，小颖第一次转出的数字是，求她下一次转出的数字大于的概率； (2)为了更有可能得到一个较大的两位数，你认为小颖应当把第一次转出的数字6放在______（填“十位”或“个位”）的方格中． 【答案】(1) (2)十位 【分析】（1）根据转盘上一共有个数字，其中大于的数字有个，可知小颖下一次转出的数大于的概率为； （2）根据转盘上小于的数字有个，所以小颖下一次转出的数字小于的概率为，所以小颖下一次转出的数字小于的概率大，因为在十位上应该填入一个较大的数，所以数字应该放在十位上． 【详解】（1）解：转盘上一共有个数字，其中大于的数字有个， 她下一次转出的数字大于的概率为； （2）解：由第一问可知，她下一次转出的数字大于的概率为， 转盘上小于的数字有个， 小颖下一次转出的数字小于的概率为， ， 小颖下一次转出的数字小于的概率大， 在十位上应该填入一个较大的数， 数字应该放在十位上． 考向08 概率在比赛中的应用 【例8】体育场内，所在的队伍与其他十六支队伍进行足球比赛，比赛采用晋级赛的形式（即共分为四轮比赛，每一轮比赛中，随机抽取一支队伍轮空直接晋级下一轮，非轮空的队伍之间两两进行比赛，胜者晋级下一轮．最后一轮结束时，由轮空队伍与该轮获胜队伍进行总决赛，总决赛胜者为冠军）假定每支队伍实力均等（即每场比赛双方的胜率均为），那么所在的队伍每一轮都被抽为轮空且最终在决赛赢得冠军的概率为（    ）．（已知：独立事件的联合概率等于各独立事件概率的乘积） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了概率的计算，根据题意，计算出每一轮比赛队伍的支数，然后求出每一轮抽到轮空概率，结合赢得总决赛的概率，算得答案即可． 【详解】解：∵所在的队伍与其他十六支队伍进行足球比赛，比赛采用晋级赛的形式， ∴第一轮共有17支队伍，第二轮共有9支队伍，第三轮共有5支队伍，第四轮共有3支队伍， ∴第一轮抽中轮空概率为，第二轮抽中轮空概率为，第三轮抽中轮空概率为，第四轮抽中轮空概率为， ∵赢得总决赛概率为， ∴那么所在的队伍每一轮都被抽为轮空且最终在决赛赢得冠军的概率为：． 故选：B． 考向09 概率的其他应用 【例9】有盲盒甲和盲盒乙，甲每次抽中的概率恒为，乙第一次抽中的概率为，随着次数的增加每次增加，则抽五次后恰好抽中一次概率更大的是___________．（选填“甲”或“乙”或“概率相同”）． 【答案】甲 【分析】分别计算甲五次内恰好抽中一次的概率与乙五次内恰好抽中一次的概率，比较两者大小即可得到结果． 【详解】解∶甲每次抽中概率为，每次抽不中概率为，根据独立重复试验概率公式得， 甲五次内恰好抽中一次的概率为； 乙五次抽中概率依次为，恰好抽中一次的概率为仅一次抽中其余四次不中的概率和， 乙五次内恰好抽中一次的概率为 ， ∴， 抽五次后抽中一次概率更大的是甲． 对点提升 【对点1】抽奖箱中有5张福卡：2张“马到成功”、1张“万事如意”、2张“平安喜乐”，随机抽取两张，抽到两张一样的福卡的概率是______． 【答案】 【分析】先确定随机抽取两张福卡的所有等可能结果数，再确定事件“抽到两张一样的福卡”包含的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】解：将2张“马到成功”分别记为，，1张“万事如意”记为，2张“平安喜乐”记为，， 随机抽取两张，所有等可能的结果为：，，，，，，，，，，共种， 其中抽到两张一样的福卡的结果有，，共种， 根据概率公式，其中为所有等可能结果数，为所求事件包含的结果数，可得：． 【对点2】现有五张质地、大小完全相同的卡片，分别写有“乐和乐都”、“茶山竹海”、“松溉古镇”、“永川博物馆”、“石笋山”五个地名．从中随机抽取一张，则抽到的卡片上含有“山”字的概率为______． 【答案】 【分析】确定所有等可能的结果总数，再找出符合“含有“山”字条件的结果数，根据概率公式计算即可． 【详解】解：根据题意，随机抽取一张卡片，所有等可能的结果共种，其中卡片上含有“山”字的结果共种， 所以抽到的卡片上含有“山”字的概率为． 【对点3】下列说法中正确的是（    ） A．抛掷质地均匀的硬币100次，必然有50次正面朝上 B．在不透明的口袋中装有1只红球、5只白球（除颜色外其余都相同）搅匀后从中任意摸出一个球，摸出的一定是白球 C．抛掷一枚质地均匀的骰子，朝上的点数为奇数与朝上的点数为偶数的概率相等 D．某种福利彩票中奖的概率是，买100张该种彩票一定能中奖 【答案】C 【分析】根据事件的类型及概率的意义找到正确选项即可． 【详解】A选项：不一定，属随机事件，不符合题意； B选项：不一定，摸出白球的概率为 ，不符合题意； C选项：朝上的点数为奇数与朝上的点数为偶数的概率相等，均为，符合题意； D选项：不一定，属随机事件，不符合题意． 【对点4】不透明袋子中有红球、绿球和蓝球共个，这些球除颜色外无其他差别，若从袋子中随机取出1个球，取出红球的概率是，取出绿球的概率是．嘉嘉从中拿出一个红球后，再从剩下的球中随机取出个球，这个球是蓝球的概率是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据概率公式求出三种颜色球的个数，再计算拿出1个红球后剩余球的总数和蓝球个数，最后根据概率公式求解取出蓝球的概率． 【详解】解：∵袋子中共有个球，取出红球的概率为，取出绿球的概率为， ∴红球个数为（个），绿球个数为（个）， ∴蓝球个数为（个）， ∵拿出个红球后，剩余球的总个数为（个），蓝球个数仍为个， ∴再随机取出个球是蓝球的概率为． 【对点5】近年来，在习近平总书记“既要金山银山，又要绿水青山”思想的指导下，我国持续的大面积雾霾天气得到了较大改善．为了调查学生对雾霾天气知识的了解程度，某校在学生中做了一次抽样调查，调查结果共分为四个等级：A．非常了解；B．比较了解；C．基本了解；D．不了解．根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整的统计图．请结合统计图，回答下列问题： (1)本次参与调查的学生共有______人，______； (2)根据调查结果，学校准备开展关于雾霾的知识竞赛，某班要从“非常了解”程度的小明和小刚中选一人参加．现设计了如下游戏来确定，具体规则是：把四个完全相同的乒乓球分别标上数字1，2，3，4，然后放到一个不透明的袋中充分摇匀，一个人先从袋中随机摸出一个球，另一人再从剩下的三个球中随机摸出一个球，若摸出的两个球上的数字和为奇数，选小明参加；否则，选小刚参加．请通过画树状图或列表的方法计算说明这个游戏规则是否公平？ 【答案】(1)400，45 (2)此游戏规则不公平． 【分析】（1）用B等级的人数除以它所占的百分比可得调查的总人数，再求解C等级的人数，据此计算即可； （2）通过树状图可确定12种等可能的结果，再找出和为奇数或偶数的结果，再确定出和为奇数或偶数的概率，最后比较即可解答． 【详解】（1）解：（人）， C等级人数：（人）， ， ∴； （2）解：根据题意画出树状图如下： 可发现共有12种等可能的结果，且和为奇数的结果有8种，和为偶数的结果有4种， ∴和为奇数的概率为，和为偶数的概率为， ∵， ∴此游戏规则不公平． 【对点6】综合实践 实践任务：如图所示，一张海报上有一个不规则的图案（图中画图部分） 实践方案设计：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地向长方形区域扔小球，并记录小球在不规则图案内的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），记录结果如下： 扔球的次数n 100 200 300 500 800 1000 小球落在不规则图案内次数m 24 51 76 b 201 250 小球落在不规则图案内频率（精确到0.001） 0.240 a 0.253 0.248 0.251 0.250 数据整理与计算 (1)_____，_____，画出小球落在不规则图案内频率的折线统计图； (2)随机扔一球，估计小球落在不规则图案内的概率约为_____；（精确到0.01） (3)估计此不规则图案的面积大约为_____． 【答案】(1)，，折线图见解析 (2)0.25 (3)3 【分析】（1）根据频率的公式计算，描点画折线图即可； （2）利用频率估计概率即可； （3）用长方形面积乘以概率即可． 【详解】（1）解：， 折线统计图如下： （2）解：由题可知，小球落在不规则图案内频率稳定在， 则随机扔一球，估计小球落在不规则图案内的概率约为； （3）解：长方形面积为， 则估计此不规则图案的面积大约为． 【对点7】某商场为了吸引顾客，打出这样一个广告：本商场为了感谢广大消费者的支持和厚爱，特举行购物抽奖活动，中奖率，最高奖为50元．具体规则是顾客购物每满100元，就能获得1次转动如下图所示的转盘的机会（转盘被等分成16份）．如果转盘停止后，指针正好对准黄色、红色、绿色、白色区域，那么顾客就可以分别获得50元、20元、10元、5元的购物券（若指针与边界线重合，则重转）．请根据以上信息，解答下列问题： (1)若小亮的妈妈购物满100元，她获得购物券的概率是多少？ (2)若小亮的妈妈购物满150元，她获得50元、5元购物券的概率分别是多少？ (3)若改变红色区域的份数，使得自由转动这个转盘，当它停止转动时，指针对准红色区域的概率是，请算出它的份数并在转盘的适当位置涂上颜色． 【答案】(1)1 (2)， (3)使转盘上共有6份为红色区域即可，见解析． 【分析】本题考查概率的求法与运用，概率公式，掌握如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率是解题的关键． （1）由中奖率，可得获得购物券的概率是； （2）由转盘共分为等份，获得元的购物券的只有种情况，获得元的购物券的只有种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案； （3）由指针落在红色区域的概率为，可得红色区域为块，继而求得答案． 【详解】（1）解：若小亮的妈妈购物满元，则有次转动转盘的机会，所以她获得购物券的概率是． （2）解：若小亮的妈妈购物满元，则有次转动转盘的机会． ∵转盘被等分成份，黄色区域占份，白色区域占份， ∴她获得元、元购物券的概率分别是，． （3）（份），要使指针对准红色区域的概率是，只要使转盘上共有份为红色区域即可． 如图所示： 【对点8】甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首次比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场比赛轮空，直至有一人被淘汰：当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束，经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空，设每场比赛双方获胜的概率都是，则甲最终获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题需枚举甲最终获胜的所有互斥路径，根据每场比赛胜率均为，利用独立事件概率乘法公式计算各路径概率，再求和得到甲最终获胜的概率． 【详解】解：设甲失败的事件为A，乙失败的事件为B，丙失败的事件为C，甲最终获胜的事件为N， 甲最终获胜的所有互斥路径及对应概率如下： ①路径：第一场甲胜乙，第二场甲胜丙，第三场甲胜乙（乙淘汰），第四场甲胜丙（丙淘汰），概率； ②其余7条路径（分别为、、、、、、）均为5场比赛结束，每条路径概率为 所以甲最终获胜的概率． 【对点9】如今我们生活在数字时代，很多场合都要用到二维码，小彤帮妈妈打印了一个收款二维码，如图所示，该二维码的面积为，他在该二维码内随机投点，经过大量的重复试验发现，点落在白色区域的频率稳定在左右，则据此估计该二维码中黑色区域的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查了用频率估计概率的应用，掌握概率的含义是解题的关键． 先求出点落在该二维码中黑色区域的频率稳定在，再用总面积乘以即可求解． 【详解】解：∵经过大量的重复试验发现，点落在白色区域的频率稳定在左右， ∴据此估计点落在该二维码中黑色区域的频率稳定在， ∴该二维码中黑色区域的面积为， 故答案为：． 好 题 冲 关 能力提升 1、 选择题 1．甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的试验中，统计了某一结果出现的频率，并绘出了如下折线统计图，则最有可能符合这一结果的试验的是（    ） A．掷一枚正方体的骰子，出现1点的概率 B．抛一枚硬币，出现正面朝上的概率 C．从一个装有4个黑球和2个白球的不透明口袋中任意摸出一球（小球除颜色外完全相同），摸到白球的概率 D．从一副去掉大小王的扑克牌中，任意抽取一张，抽到黑桃的概率 【答案】C 【分析】根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为0.33者即为正确答案． 【详解】解：A、掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率为，故此选项不符合题意； B、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为，故此选项不符合题意； C、从一个装有4个黑球和2个白球的不透明口袋中任意摸出一球（小球除颜色外完全相同），摸到白球的概率为，故此选项符合题意； D、从一副去掉大小王的扑克牌中，任意抽取一张，抽到黑桃的概率为；故此选项不符合题意． 2．如图是某通道的部分通行路线示意图，若从入口驾车进入，行至每个岔路口选择前方两条线路的可能性相同，则从口驶出的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据概率所求情况数与总情况数之比求解即可． 【详解】解：由图可知，在每个岔路口都有向左或向右两种可能，且可能性相等，赛车最终驶出的点共有、、、四个， 所以，最终从点H驶出的概率为． 3．班级举办抽奖活动，设置了A、B两个抽奖箱：A箱中有3张除数字外完全相同的奖券，数字分别为1、2、4；B箱中有2张除数字外完全相同的奖券，数字分别为4、6．从A箱中随机无放回抽取2张奖券，将数字之和记为十位数字；从B箱中随机抽取1张奖券，数字记为个位数字，组成一个两位数．若组成的两位数中至少包含一个数字“6”，则中奖．求一次抽奖中奖的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出所有等可能的两位数结果，再找出满足“至少包含一个数字6”的结果数，利用古典概型概率公式计算即可． 【详解】解：∵ 从A箱无放回抽取2张奖券，所有可能的数字和为：，，，共3种等可能的结果；从B箱抽取1张奖券，有，共2种等可能的结果； ∴ 组成两位数的所有结果是：，，，，，，即共有种等可能结果， 其中满足“至少包含一个数字6”的结果为：，，，，共4种， 则一次抽奖中奖的概率为：． 4．抛掷两枚骰子，用m和n分别表示两枚骰子朝上的点数，那么点数之差的绝对值可能取中的任何一个整数，记整数r的概率为，，则P取得最大值时对应的r值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．5 【答案】B 【分析】先确定抛掷两枚骰子的所有等可能结果总数，再分别统计不同对应的符合条件的结果数量，比较各对应的概率大小，即可得到概率最大时的值． 【详解】解：∵抛掷两枚骰子，所有等可能的结果总数为种． 分别计算不同对应的概率： 当时，满足的结果共种，； 当时，满足的结果共种，； 当时，满足的结果共种，； 当时，满足的结果共种，； 当时，满足的结果共种，； 当时，满足的结果共种，； ∵， ∴取得最大值时对应的值为． 5．电学是物理学中重要的组成部分．我们在学习物理时，会运用许多数学知识，例如在学习电学时可以运用到概率、反比例函数等．生活处处有数学．如图，随机地闭合开关中的三个，能够使灯泡同时发光的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意随机地闭合开关中的三个，共10种情况，能够使灯泡同时发光的情况有：，共2种，即可求解． 【详解】解：随机地闭合开关中的三个， 所有可能的情况有：，，，，，，，，，，共10种情况， 要使灯泡同时发光，电路必须为通路且不被短路， 在干路上， 必须闭合， 与串联后与并联， 要使发光，必须闭合，且必须断开（若闭合，会被短路）， 与并联在电路右侧， 与中至少有一个闭合，电路才能连通， 题目要求只闭合3个开关，且已确定闭合，断开， 剩下的一个闭合开关只能从中选取符合条件的情况有：，共2种， 能够使灯泡同时发光的概率． 6．某小区开展地震应急疏散演练，小广所住区域的逃生路线如图所示，他从入口出发前往避险点，行至每个岔路口选择前方两条线路的可能性相同，则小广到达避难点的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“在每个岔路口都有向左或向右两种可能，且可能性相等”可知在点H、G、E、F处都是等可能情况，从而得到在四个出口H、G、E、F也都是等可能情况，然后根据概率的意义列式即可得解． 【详解】解：由图可知，在每个岔路口都有向左或向右两种可能，且可能性相等，小广最终到达避难点的共有H、G、E、F四个， 所以，小广最终到达避难点的概率为． 7．“珠算”一词最早见于东汉徐岳所撰的《数术记遗》．其中有云：“珠算控带四时，经纬三才．”用如图所示的算盘表示数时，约定每档中有两粒算珠（上珠中最上面一粒和下珠中最下面一粒）不使用．如果一个数在算盘上能够用个位、十位和百位这三档中的2粒算珠表示，则这个数能够被5整除的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意列举出所有可能表示的数，再找到能被5整除的数，最后根据概率公式求解即可． 【详解】解：由题意得，所有可能的情况有： 两粒算珠在同一档： 百位：200,600；十位：20,60；个位：2,6； 两粒算珠在不同档： 十位、个位组合：， 百位、个位组合：， 百位、十位组合：， ∴一共可以表示个数，其中能被整除的数（个位为或）有：，共个， ∴这个数能够被5整除的概率是． 8．某疾病由病毒引起，在人群中的发病率（患病人数与总人数的比）为十万分之一，某检测病毒的仪器的准确率为（即如果一个人患病，若使用该仪器诊断此人，则该仪器概率输出阳性，概率输出阴性；反之，如果他没患病，则该仪器概率输出阴性，概率输出阳性），若用该仪器对甲进行诊断，结果显示为阳性，甲确实患这种疾病的概率大约为（    ） A．十万分之一 B．万分之一 C．十分之一 D． 【答案】B 【分析】本题考查条件概率的实际应用，根据患病人群和健康人群中出现阳性的情况，求出实际发病率，再结合发病率与仪器准确率以及概率公式求解即可． 【详解】解： ， ∴甲确实患这种疾病的概率大约为万分之一， 故选：B． 9．一枚质地均匀的硬币连续抛4次，其中没有两次连续正面向上的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了列举法求解概率，当第一次抛的结果是正面向上时，那么第二次抛的结果一定是反面向上，据此讨论第三次抛的结果，进而确定第四次抛的结果；当第一次抛的结果是反面向上时，那么第二次抛的结果可以是反面向上，也可以是正面向上，据此讨论第二次抛的结果，进而确定第三次，第四次抛的结果；最后根据概率公式求解即可． 【详解】解：∵一枚质地均匀的硬币连续抛4次，每次抛的结果都有两种， ∴抛4次一共有种结果， 当第一次抛的结果是正面向上时，那么第二次抛的结果一定是反面向上， 若第三次抛的结果为正面向上时，则第四次抛的结果一定是反面向上， 若第三次抛的结果为反面向上时，则第四次抛的结果可以是反面向上，也可以是正面向上， ∴当第一次抛的结果是正面向上，一共有3种结果； 当第一次抛的结果是反面向上时， 若第二次抛的结果是反面向上时，则同理可知此时有3种结果； 若第二次抛的结果为正面向上时，则第三次抛的结果一定是反面向上， 那么第四次抛的结果可以是反面向上，也可以是正面向上，即此时一共有2种结果； 综上所述，没有两次连续正面向上的结果数有种， ∴没有两次连续正面向上的概率为， 故选：C． 10．同一元素中质子数相同，中子数不同的各种原子互为同位素，如和．在一次制取的实验中，和的原子个数比为，和的原子个数比为，若制取的化学方程式为，实验反应恰好生成，则反应生成的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是同位素与概率的结合计算，关键是明确不同同位素原子的占比，再通过分步概率相乘得到目标分子的生成概率．先根据碳、氧同位素的原子个数比，算出和的原子占比，再结合的构成，用乘法计算生成的概率． 【详解】碳原子中的原子个数占比为，氧原子中的原子个数占比为， 生成的概率为． 故选：． 2、 填空题 11．在一个化学实验室里，有四瓶外观完全相同的密封且不透明的试剂瓶，分别装有稀硫酸、氧化钠、稀盐酸、碳酸钠四种溶液．已知只有酸性溶液（稀硫酸溶液、稀盐酸溶液）可以用来除铁锈，从中随机抽取两瓶，则这两瓶溶液都可以用于除铁锈的概率是__________． 【答案】 【分析】先根据题意列出所有的可能组合数，其中两瓶都是酸性溶液的只有一种组合，再利用概率公式计算即可． 【详解】解：从四瓶溶液中随机抽取两瓶，可能的组合为：（稀硫酸，氧化钠）、（稀硫酸，稀盐酸）、（稀硫酸，碳酸钠）、（氧化钠，稀盐酸）、（氧化钠，碳酸钠）、（稀盐酸，碳酸钠），则总共可能组合数有6种，其中，两瓶都是酸性溶液的只有一种组合，因此这两瓶溶液都可以用于除铁锈的概率是． 12．分别写有数字的五张卡片，除数字不同之外其他均相同，现从中任意抽取一张，则抽取到的卡片数字为非负数的概率是___________． 【答案】 【分析】先确定所有等可能的结果总数，再找出抽取到非负数的结果个数，根据概率公式计算即可得到结果． 【详解】解：根据题意，共有5张卡片，即共有5种等可能的抽取结果， 其中数字为非负数的是，，，共3种结果， 根据概率公式，可得抽取到卡片数字为非负数的概率为． 13．如图，一根均匀的木杆上每隔有一个挂钩（用表示），支柱左边挂钩处悬挂一个的物体，在，，，四个挂钩处分别悬挂，，，的物体．若从中随机选取两种情况，则两种情况都能使木杆保持平衡的概率是___________． 【答案】 【分析】根据杠杆原理可得在，挂钩处分别悬挂，的物体，木杆保持平衡，其余两处不平衡，从中选取两种情况，结果有，，，，，，其中两种情况都能使木杆保持平衡的为，最后再由概率公式计算即可得出结果． 【详解】解：根据杠杆原理可得，，即在，挂钩处分别悬挂，的物体，木杆保持平衡，其余两处不平衡， 从中选取两种情况，结果有，，，，，，其中两种情况都能使木杆保持平衡的为， 故从中随机选取两种情况，则两种情况都能使木杆保持平衡的概率是． 14．某市端午赛龙舟，“飞云”与“乘风”两队进行三局两胜的友谊赛．双方各有快、中、慢三种龙舟．同规格较量，“飞云”队皆占优；但“乘风”队的快速舟可胜“飞云”队的中速舟，中速舟可胜“飞云”队的慢速舟．若“飞云”队按快、中、慢顺序固定出场，“乘风”队随机安排顺序．则“乘风”队获胜的概率为_________． 【答案】 【分析】先列出“乘风”队所有等可能的出场顺序，再找出“乘风”队获胜的情况，根据概率公式计算结果即可。 【详解】解：“飞云”队出场顺序固定为快、中、慢，设“乘风”队的三种龙舟为快、中、慢，对“乘风”队出场顺序进行排列，共有快中慢、快慢中、慢快中、慢中快、中快慢、中慢快，所有等可能的结果共种， 根据规则，“乘风”队要获得三局两胜，必须满足：“乘风”队慢速舟对“飞云”队快速舟（输一局），“乘风”队快速舟对“飞云”队中速舟（赢一局），“乘风”队中速舟对“飞云”队慢速舟（赢一局），仅有一种排列顺序满足获胜条件，故“乘风”队获胜的概率为． 15．在信道内传输信号，信号的传输互不影响．发送时，收到的概率为，收到的概率为；发送时，收到的概率为，收到的概率为．三次传输是指每个信号重复发送次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到，则译码为）．现在采用三次传输方案，若发送，则译码为的概率为______． 【答案】 【分析】本题考查了概率，分收到个和个和收到个两种情况，分别求出译码为的概率，再相加即可求解，掌握相互独立事件的概率乘法公式是解题的关键 【详解】解：三次传输中，译码为的事件包含两个互斥事件： ①收到个和个：该事件包含种具体的接收结果，分别是、、，每种接收结果的概率为， ∴该事件的总概率为； ②收到个：根据相互独立事件的概率乘法公式，该事件的概率为； 将两个互斥事件的概率相加，可得译码为的概率为，即， 故答案为：． 3、 解答题 16．小明和小亮两位同学做掷骰子（质地均匀的正方体）游戏，他们共做了100次试验，结果如下： 朝上的点数 1 2 3 4 5 6 出现的次数 17 12 25 20 12 14 (1)计算“1点朝上”的频率和“6点朝上”的频率； (2)小明说：“根据试验，一次试验中出现了3点朝上的频率最大”，小亮说：“若投掷1000次，则出现4点朝上的次数正好是200次”小明和小亮的说法正确吗？为什么？ (3)小明将一枚骰子任意投掷一次，求朝上的点数大于4的概率． 【答案】(1)0.17；0.14 (2)两位同学的说法均错误，见解析 (3) 【分析】（1）结合表格中数据，根据“频率频数总数”即可求得； （2）根据频率估计概率的条件和事件发生的随机性判断正误； （3）运用概率的计算公式计算即可． 【详解】（1）解：“1点朝上”的频率为； “6点朝上”的频率为； （2）解：两位同学的说法均错误； 小明的说法错误，因为试验100次的次数较少，只有当试验的次数足够大时，该事件发生的频率稳定在事件发生的概率附近； 小亮的说法错误，因为事件发生具有随机性，若投掷1000次，则出现4点朝上的次数不一定正好是200次； （3）解：由题意可知，共有6种结果，每种结果出现的可能性相同，其中点数大于4的可能性有2种：5或6， ． 17．一只不透明的口袋里装有黑白两种颜色的20个小球，只有颜色不同．某学习小组做摸小球试验将球搅拌均匀后从中随机摸出一个球记下颜色，然后把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组数据． 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 59 96 116 290 b 601 摸到白球的频率 0.59 0.64 0.58 a 0.60 0.601 (1)上表中的_____；_____． (2)摸到白球的概率的估计值是____（精确到0.1）． (3)若摸到白球的概率是（2）中的情况时，再添加4个黑球，求此时摸到白球的概率． 【答案】(1) ， (2) (3) 【分析】（1）根据频率等于频数除以总数，计算得到a和b的值； （2）根据大量重复试验中，频率稳定在概率附近，用频率估计概率得到结果； （3）先求出原有白球的数量，再计算添加黑球后总球数，最后根据概率公式计算最终概率； 【详解】（1）解：已知摸球次数时，摸到白球的次数， ， 已知摸球次数时，摸到白球的频率为， ； （2） 解：观察表格可知，随着摸球次数增大，摸到白球的频率逐渐稳定在附近， 因此摸到白球的概率的估计值是； （3）解：原有小球总个数为，可得白球个数为（个）， 添加个黑球后，总球数为（个）， 此时摸到白球的概率为， 答：此时摸到白球的概率是． 18．如图，地面上有一个不规则的封闭图形，为求得它的面积，小明在此封闭图形内画出一个边长为的正方形后，在附近闭上眼睛向封闭图形内掷小石子（未掷在封闭图形内视为无效次数，可把小石子近似看成点）．将所掷小石子落在封闭图形内（含边界）的总次数与落在正方形内（含正方形边上）的次数记录如下： m 50 150 300 600 … n 10 35 77 149 … 0.200 0.233 0.257 0.248 … (1)根据表格，如果掷1次小石子，那么小石子落在正方形内(含正方形边上)的概率约为 （结果精确到0.01）． (2)当时，最可能为（） A．105   B．249   C．518   D．815 (3)请你利用（1）中所得概率，估计整个不规则封闭图形的面积． 【答案】(1)0.25 (2)B (3) 【分析】（1）观察数据，找到稳定值即可． （2）大量试验时，频率可估计概率，找最接近的值． （3）利用概率，用正方形面积∶封闭图形的面积=概率建立方程求解． 【详解】（1）解：观察表格得：随着投掷次数的增大，小石子落在正方形内(含正方形边上)的频率值稳定在0.25． （2）解：当掷小石子所落的总次数时， 小石子落在正方形内(含正方形边上)的次数n最可能为， 只有249比较接近，即最可能为249． （3）解：设整个不规则封闭图形的面积为． 根据题意，得，解得． 经检验，是原分式方程的根，且符合题意． 故估计整个不规则封闭图形的面积为． 19．某研究团队进行实验，实验者须从装有1个白球和3个红球的盒子中连续放回地取出2个小球（每个小球除颜色外完全相同），若这2个小球均为白色，则实验成功，反之则向盒子中再放入一个黄色小球，然后继续进行实验直到实验轮数大于n（n为正整数）时实验失败，第i轮实验实验成功的概率记为 (1)求，； (2)直接写出与i的关系（以最简形式）； (3)求证：． 【答案】(1)； (2) (3)见详解 【分析】本题考查了条件概率、递推归纳与裂项求和在复杂概率模型中的综合应用．掌握实验规则下条件概率的链式乘法计算、从特例归纳通项公式的能力，以及利用裂项技巧处理数列求和与不等式证明是解题的关键． （1）直接计算第一轮成功概率​；计算​时，需考虑第二轮实验进行的前提（第一轮失败）以及放入黄球后概率的变化，正确运用概率的乘法公式． （2）解题关键在于通过观察，，…的构成规律，归纳出一般表达式，并利用连乘积的技巧进行化简，最终得到最简分式形式． （3）本问基于第二问的通项公式进行证明，核心步骤是将​的表达式​裂项为，然后利用裂项相消法求和，化简后通过与​比较完成证明． 【详解】（1）解：第一轮开始时，盒中有1白3红，共4个球． ∵每次抽取是独立的，且每次抽到白球的概率为． ∴两次都抽到白球的概率为：． 故． 第二轮实验进行的前提是第一轮失败，第一轮失败的概率为 ​． ∵第一轮失败后，会放入一个黄球，此时盒中有1白、3红、1黄，共5个球． ∴在第二轮中，每次抽到白球的概率变为． ∴第二轮成功的概率为第一轮失败且第二轮两次抽中白球的概率： ． 故答案为：；． （2）解：∵， ， ， ， 故答案为：． （3）证明： ， ∵n为正整数， ∴， ∴， ∴． 20．A、B、C三人做掷石子的游戏，每人投5个石子，结果如图所示，这个游戏是以石子散落的距离小者为优胜，为确定谁是优胜者，试给出五种判别方法． 【答案】（1）含5点且以某些点为顶点的凸多边形面积；（2）含5点且以某些点为顶点的凸多边形周长；（3）含5点的最小圆半径；（4）从任意一点引向其余各点的长度之和最小者；（5）连接任意两点线段长度中的最小值 【分析】本题考查的是游戏规则的制定，只要符合石子散落的距离小的方案均可． 根据游戏要求，以石子散落的距离小者为优胜，制定游戏规则． 【详解】解：（1）含5点且以某些点为顶点的凸多边形面积； （2）含5点且以某些点为顶点的凸多边形周长； （3）含5点的最小圆半径； （4）从任意一点引向其余各点的长度之和最小者； （5）连接任意两点线段长度中的最小值．（答案不唯一） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 等可能事件的概率 知识归纳与题型总结 思 维 导 图 培 优 讲 练 考点01 等可能事件的概率 考点梳理 一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记作P（A）。 一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P（A）=。由m与n的含义可知0≤m≤n，因此0≤≤1，因此0≤P（A）≤1、 当A为必然事件时，P（A）=1；当A为不可能事件时，P（A）=0. 典例引领 考向01 列举随机实验的所有可能结果 【例1】飞行棋是一种玩法简单的竞技游戏，玩家投掷一个骰子得到正面朝上的点数，确定前进的步数，刚好走到终点则胜利；若所得点数超过到达终点所需的步数则需要往回走所超点数的步数．如图所示，在一次飞行棋游戏的最后阶段，如果小明投掷骰子的次数不超过两次就能刚好到达终点，则到达终点的方式有（   ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 考向02 判断实验所得结果是否是等可能的 【例2】在抛掷一枚质地均匀的硬币的试验中，如果没有硬币，则下列不能作为替代物进行试验的是（   ） A．一枚均匀的正方体骰子 B．两张不同的扑克 C．两张不同的卡片 D．一枚图钉 对点提升 【对点1】小明参加浙江省城市篮球联赛（浙）丽水赛区赛后粉丝抽奖活动，活动规则如下：抽奖箱中有个红球和个黄球（除颜色外其余都相同），从中任意摸出一个球，记下颜色后不放回，再摸出一个球．若两次摸出的球颜色相同，则奖励篮球一个；若两次摸出的球颜色不同，则奖励球衣一件． (1)用适当的方法列举摸球所有可能的结果． (2)求出小明同学获得篮球的概率． 红 红 黄 黄 红 红红 红黄 红黄 红 红红 红黄 红黄 黄 黄红 黄红 黄黄 黄 黄红 黄红 黄黄 A． 所以小明同学获得篮球的概率． 【对点2】将一枚图钉抛起，落地后会出现“钉尖朝上”和“钉帽朝上”两种情况．有人认为这两种情况是等可能的，因此“钉尖朝上”的概率是．请判断该观点是否正确，并说明理由． 考点02 等可能性概率的计算方法 考点梳理 1、理论计算又分为如下两种情况： 第一种：只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如：根据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型进行的计算； 第二种：通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，如：配紫色，对游戏是否公平的计算． 2、实验估算又分为如下两种情况： 第一种：利用实验的方法进行概率估算．要知道当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的估计值，即大量实验频率稳定于理论概率； 第二种：利用模拟实验的方法进行概率估算．如，利用计算器产生随机数来模拟实验． 典例引领 考向01 列举法求概率 【例1】将分别标有“中”“华”“文”“化”汉字的4张卡片放在一个不透明盒子中，这些卡片除汉字不同外其余均无差别，随机抽出其中两张，抽出的卡片上汉字为“文”“化”的概率为（　　） A． B． C． D． 考向02 根据概率公式计算概率 【例2】不透明袋子里装有9个球，其中有2个蓝球、3个黄球、4个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为________． 考向03 根据概率作判断 【例3】在一个不透明的箱子中放有10张除地名外完全相同的卡片，卡片数量如表．从箱子中抽出一张卡片，卡片上的地名最有可能是_____． 地名 卡片数量 岳麓山 5张 铜官窑 2张 橘子洲头 3张 考向04 已知概率求数量 【例4】一只不透明的袋子中，装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，如果搅匀后从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为，那么红球的个数是（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 考向05 游戏的公平性 【例5】在某校七年级（1）班组织的“五四青年节”活动中，小丽和小芳都想当节目主持人，但现在只有一个名额，小芳想出了一个用游戏来选人的办法，她将一个转盘（均匀的）平均分成6份，如图所示．游戏规定：随意转动转盘，当转盘停止后，若指针指向偶数，则小丽去；反之，则小芳去． (1)求小丽获胜的概率是____________ (2)你认为这个游戏公平吗？若不公平，请说明理由． 考向06 几何概率 【例6】在如图所示的图形中随机地撒一把豆子，计算落在，，三个区域中的豆子数的比．多次重复这个试验，把“在图形中随机撒豆子”作为试验，把“豆子落在中”记作事件，估计的概率的值为（   ） A． B． C． D． 考向07 概率在转盘抽奖中的应用 【例7】如图是一个可以自由转动的转盘，且转盘被分成面积相等的十个扇形．小颖和同伴利用这个转盘做下面的游戏： ①自由转动转盘，每人分别将转出的数填入两个方格中的任意一个； ②继续转动转盘，每人再将转出的数字填入剩下的方格中； ③转动两次转盘后，每人得到一个“两位数”； ④比较两人得到的“两位数”大小，谁的大谁就获胜． 通过游戏经验的积累，小颖发现： (1)在一次游戏中，小颖第一次转出的数字是，求她下一次转出的数字大于的概率； (2)为了更有可能得到一个较大的两位数，你认为小颖应当把第一次转出的数字6放在______（填“十位”或“个位”）的方格中． 考向08 概率在比赛中的应用 【例8】体育场内，所在的队伍与其他十六支队伍进行足球比赛，比赛采用晋级赛的形式（即共分为四轮比赛，每一轮比赛中，随机抽取一支队伍轮空直接晋级下一轮，非轮空的队伍之间两两进行比赛，胜者晋级下一轮．最后一轮结束时，由轮空队伍与该轮获胜队伍进行总决赛，总决赛胜者为冠军）假定每支队伍实力均等（即每场比赛双方的胜率均为），那么所在的队伍每一轮都被抽为轮空且最终在决赛赢得冠军的概率为（    ）．（已知：独立事件的联合概率等于各独立事件概率的乘积） A． B． C． D． 考向09 概率的其他应用 【例9】有盲盒甲和盲盒乙，甲每次抽中的概率恒为，乙第一次抽中的概率为，随着次数的增加每次增加，则抽五次后恰好抽中一次概率更大的是___________．（选填“甲”或“乙”或“概率相同”）． 对点提升 【对点1】抽奖箱中有5张福卡：2张“马到成功”、1张“万事如意”、2张“平安喜乐”，随机抽取两张，抽到两张一样的福卡的概率是______． 【对点2】现有五张质地、大小完全相同的卡片，分别写有“乐和乐都”、“茶山竹海”、“松溉古镇”、“永川博物馆”、“石笋山”五个地名．从中随机抽取一张，则抽到的卡片上含有“山”字的概率为______． 【对点3】下列说法中正确的是（    ） A．抛掷质地均匀的硬币100次，必然有50次正面朝上 B．在不透明的口袋中装有1只红球、5只白球（除颜色外其余都相同）搅匀后从中任意摸出一个球，摸出的一定是白球 C．抛掷一枚质地均匀的骰子，朝上的点数为奇数与朝上的点数为偶数的概率相等 D．某种福利彩票中奖的概率是，买100张该种彩票一定能中奖 【对点4】不透明袋子中有红球、绿球和蓝球共个，这些球除颜色外无其他差别，若从袋子中随机取出1个球，取出红球的概率是，取出绿球的概率是．嘉嘉从中拿出一个红球后，再从剩下的球中随机取出个球，这个球是蓝球的概率是（   ）． A． B． C． D． 【对点5】近年来，在习近平总书记“既要金山银山，又要绿水青山”思想的指导下，我国持续的大面积雾霾天气得到了较大改善．为了调查学生对雾霾天气知识的了解程度，某校在学生中做了一次抽样调查，调查结果共分为四个等级：A．非常了解；B．比较了解；C．基本了解；D．不了解．根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整的统计图．请结合统计图，回答下列问题： (1)本次参与调查的学生共有______人，______； (2)根据调查结果，学校准备开展关于雾霾的知识竞赛，某班要从“非常了解”程度的小明和小刚中选一人参加．现设计了如下游戏来确定，具体规则是：把四个完全相同的乒乓球分别标上数字1，2，3，4，然后放到一个不透明的袋中充分摇匀，一个人先从袋中随机摸出一个球，另一人再从剩下的三个球中随机摸出一个球，若摸出的两个球上的数字和为奇数，选小明参加；否则，选小刚参加．请通过画树状图或列表的方法计算说明这个游戏规则是否公平？ 【对点6】综合实践 实践任务：如图所示，一张海报上有一个不规则的图案（图中画图部分） 实践方案设计：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地向长方形区域扔小球，并记录小球在不规则图案内的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），记录结果如下： 扔球的次数n 100 200 300 500 800 1000 小球落在不规则图案内次数m 24 51 76 b 201 250 小球落在不规则图案内频率（精确到0.001） 0.240 a 0.253 0.248 0.251 0.250 数据整理与计算 (1)_____，_____，画出小球落在不规则图案内频率的折线统计图； (2)随机扔一球，估计小球落在不规则图案内的概率约为_____；（精确到0.01） (3)估计此不规则图案的面积大约为_____． 【对点7】某商场为了吸引顾客，打出这样一个广告：本商场为了感谢广大消费者的支持和厚爱，特举行购物抽奖活动，中奖率，最高奖为50元．具体规则是顾客购物每满100元，就能获得1次转动如下图所示的转盘的机会（转盘被等分成16份）．如果转盘停止后，指针正好对准黄色、红色、绿色、白色区域，那么顾客就可以分别获得50元、20元、10元、5元的购物券（若指针与边界线重合，则重转）．请根据以上信息，解答下列问题： (1)若小亮的妈妈购物满100元，她获得购物券的概率是多少？ (2)若小亮的妈妈购物满150元，她获得50元、5元购物券的概率分别是多少？ (3)若改变红色区域的份数，使得自由转动这个转盘，当它停止转动时，指针对准红色区域的概率是，请算出它的份数并在转盘的适当位置涂上颜色． 【对点8】甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首次比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场比赛轮空，直至有一人被淘汰：当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束，经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空，设每场比赛双方获胜的概率都是，则甲最终获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 【对点9】如今我们生活在数字时代，很多场合都要用到二维码，小彤帮妈妈打印了一个收款二维码，如图所示，该二维码的面积为，他在该二维码内随机投点，经过大量的重复试验发现，点落在白色区域的频率稳定在左右，则据此估计该二维码中黑色区域的面积为______． 好 题 冲 关 能力提升 1、 选择题 1．甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的试验中，统计了某一结果出现的频率，并绘出了如下折线统计图，则最有可能符合这一结果的试验的是（    ） A．掷一枚正方体的骰子，出现1点的概率 B．抛一枚硬币，出现正面朝上的概率 C．从一个装有4个黑球和2个白球的不透明口袋中任意摸出一球（小球除颜色外完全相同），摸到白球的概率 D．从一副去掉大小王的扑克牌中，任意抽取一张，抽到黑桃的概率 2．如图是某通道的部分通行路线示意图，若从入口驾车进入，行至每个岔路口选择前方两条线路的可能性相同，则从口驶出的概率是（    ） A． B． C． D． 3．班级举办抽奖活动，设置了A、B两个抽奖箱：A箱中有3张除数字外完全相同的奖券，数字分别为1、2、4；B箱中有2张除数字外完全相同的奖券，数字分别为4、6．从A箱中随机无放回抽取2张奖券，将数字之和记为十位数字；从B箱中随机抽取1张奖券，数字记为个位数字，组成一个两位数．若组成的两位数中至少包含一个数字“6”，则中奖．求一次抽奖中奖的概率为（   ） A． B． C． D． 4．抛掷两枚骰子，用m和n分别表示两枚骰子朝上的点数，那么点数之差的绝对值可能取中的任何一个整数，记整数r的概率为，，则P取得最大值时对应的r值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．5 5．电学是物理学中重要的组成部分．我们在学习物理时，会运用许多数学知识，例如在学习电学时可以运用到概率、反比例函数等．生活处处有数学．如图，随机地闭合开关中的三个，能够使灯泡同时发光的概率是（   ） A． B． C． D． 6．某小区开展地震应急疏散演练，小广所住区域的逃生路线如图所示，他从入口出发前往避险点，行至每个岔路口选择前方两条线路的可能性相同，则小广到达避难点的概率是（   ） A． B． C． D． 7．“珠算”一词最早见于东汉徐岳所撰的《数术记遗》．其中有云：“珠算控带四时，经纬三才．”用如图所示的算盘表示数时，约定每档中有两粒算珠（上珠中最上面一粒和下珠中最下面一粒）不使用．如果一个数在算盘上能够用个位、十位和百位这三档中的2粒算珠表示，则这个数能够被5整除的概率是（   ） A． B． C． D． 8．某疾病由病毒引起，在人群中的发病率（患病人数与总人数的比）为十万分之一，某检测病毒的仪器的准确率为（即如果一个人患病，若使用该仪器诊断此人，则该仪器概率输出阳性，概率输出阴性；反之，如果他没患病，则该仪器概率输出阴性，概率输出阳性），若用该仪器对甲进行诊断，结果显示为阳性，甲确实患这种疾病的概率大约为（    ） A．十万分之一 B．万分之一 C．十分之一 D． 9．一枚质地均匀的硬币连续抛4次，其中没有两次连续正面向上的概率为（    ） A． B． C． D． 10．同一元素中质子数相同，中子数不同的各种原子互为同位素，如和．在一次制取的实验中，和的原子个数比为，和的原子个数比为，若制取的化学方程式为，实验反应恰好生成，则反应生成的概率为（    ） A． B． C． D． 2、 填空题 11．在一个化学实验室里，有四瓶外观完全相同的密封且不透明的试剂瓶，分别装有稀硫酸、氧化钠、稀盐酸、碳酸钠四种溶液．已知只有酸性溶液（稀硫酸溶液、稀盐酸溶液）可以用来除铁锈，从中随机抽取两瓶，则这两瓶溶液都可以用于除铁锈的概率是__________． 12．分别写有数字的五张卡片，除数字不同之外其他均相同，现从中任意抽取一张，则抽取到的卡片数字为非负数的概率是___________． 13．如图，一根均匀的木杆上每隔有一个挂钩（用表示），支柱左边挂钩处悬挂一个的物体，在，，，四个挂钩处分别悬挂，，，的物体．若从中随机选取两种情况，则两种情况都能使木杆保持平衡的概率是___________． 14．某市端午赛龙舟，“飞云”与“乘风”两队进行三局两胜的友谊赛．双方各有快、中、慢三种龙舟．同规格较量，“飞云”队皆占优；但“乘风”队的快速舟可胜“飞云”队的中速舟，中速舟可胜“飞云”队的慢速舟．若“飞云”队按快、中、慢顺序固定出场，“乘风”队随机安排顺序．则“乘风”队获胜的概率为_________． 15．在信道内传输信号，信号的传输互不影响．发送时，收到的概率为，收到的概率为；发送时，收到的概率为，收到的概率为．三次传输是指每个信号重复发送次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到，则译码为）．现在采用三次传输方案，若发送，则译码为的概率为______． 3、 解答题 16．小明和小亮两位同学做掷骰子（质地均匀的正方体）游戏，他们共做了100次试验，结果如下： 朝上的点数 1 2 3 4 5 6 出现的次数 17 12 25 20 12 14 (1)计算“1点朝上”的频率和“6点朝上”的频率； (2)小明说：“根据试验，一次试验中出现了3点朝上的频率最大”，小亮说：“若投掷1000次，则出现4点朝上的次数正好是200次”小明和小亮的说法正确吗？为什么？ (3)小明将一枚骰子任意投掷一次，求朝上的点数大于4的概率． 17．一只不透明的口袋里装有黑白两种颜色的20个小球，只有颜色不同．某学习小组做摸小球试验将球搅拌均匀后从中随机摸出一个球记下颜色，然后把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组数据． 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 59 96 116 290 b 601 摸到白球的频率 0.59 0.64 0.58 a 0.60 0.601 (1)上表中的_____；_____． (2)摸到白球的概率的估计值是____（精确到0.1）． (3)若摸到白球的概率是（2）中的情况时，再添加4个黑球，求此时摸到白球的概率． 18．如图，地面上有一个不规则的封闭图形，为求得它的面积，小明在此封闭图形内画出一个边长为的正方形后，在附近闭上眼睛向封闭图形内掷小石子（未掷在封闭图形内视为无效次数，可把小石子近似看成点）．将所掷小石子落在封闭图形内（含边界）的总次数与落在正方形内（含正方形边上）的次数记录如下： m 50 150 300 600 … n 10 35 77 149 … 0.200 0.233 0.257 0.248 … (1)根据表格，如果掷1次小石子，那么小石子落在正方形内(含正方形边上)的概率约为 （结果精确到0.01）． (2)当时，最可能为（） A．105   B．249   C．518   D．815 (3)请你利用（1）中所得概率，估计整个不规则封闭图形的面积． 19．某研究团队进行实验，实验者须从装有1个白球和3个红球的盒子中连续放回地取出2个小球（每个小球除颜色外完全相同），若这2个小球均为白色，则实验成功，反之则向盒子中再放入一个黄色小球，然后继续进行实验直到实验轮数大于n（n为正整数）时实验失败，第i轮实验实验成功的概率记为 (1)求，； (2)直接写出与i的关系（以最简形式）； (3)求证：． 20．A、B、C三人做掷石子的游戏，每人投5个石子，结果如图所示，这个游戏是以石子散落的距离小者为优胜，为确定谁是优胜者，试给出五种判别方法． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $