专题3.4 概率初步章节复习培优讲义【知识梳理+15个考点讲练+真题演练+分层训练 共45题】-2025-2026学年北师大版数学七年级下册同步培优讲义

2025-2026学年北师大版（新教材）数学七年级下册重点难点同步培优【考点讲练】 专题3.4 概率初步『章节复习培优讲义』 （知识梳理+考点讲练+真题演练+分层训练 共45题） 〔解析版〕 知识梳理 技巧点拨 2 知识点一 确定事件与随机事件 2 知识点二 频率与概率的意义 2 知识点三 等可能事件的概率 2 知识点四 摸球类、抽卡类概率计算 2 知识点五 几何概型（面积型概率） 3 知识点六 游戏公平性判断 3 知识点七 概率的综合应用 3 重点难点 考点讲练 3 考点讲练一 事件的分类 3 考点讲练二 判断事件发生的可能性的大小 4 考点讲练三 求某事件的频率 5 考点讲练四 概率的意义理解 6 考点讲练五 关于频率与概率关系说法的正误 7 考点讲练六 由频率估计概率 9 考点讲练七 用频率估计概率的综合应用 10 考点讲练八 列举随机实验的所有可能结果 11 考点讲练九 列举法求概率 12 考点讲练十 根据概率公式计算概率 13 考点讲练十一 根据概率作判断 14 考点讲练十二 已知概率求数量 15 考点讲练十三 游戏的公平性 17 考点讲练十四 几何概率 19 考点讲练十五 概率的其他应用 20 中考真题 实战演练 21 难度分层 闯关训练 25 【基础夯实 能力提升】 25 【创新拓展 拔尖冲刺】 27 知识点一 确定事件与随机事件 1. 必然事件：一定发生的事件 2. 不可能事件：一定不发生的事件 3. 随机事件：可能发生也可能不发生的事件 必然事件与不可能事件统称为确定事件。 示例：太阳从东方升起 → 必然事件 - 掷一枚普通骰子，点数为7 → 不可能事件 - 明天会下雨 → 随机事件 易错点： 1. 把“很可能发生”当成必然事件，把“不太可能”当成不可能事件； 2. 忽略实际背景，仅凭感觉判断事件类型。 知识点二 频率与概率的意义 1. 试验次数很大时，频率会稳定在某个常数附近，这个常数叫做概率； 2. 频率是试验结果，概率是理论值； 3. 概率反映事件发生可能性的大小。 示例：抛硬币1000次，正面朝上约500次，频率接近0.5，因此概率为0.5。 易错点：1. 把频率直接当成概率，混淆试验值与理论值； 2. 认为试验次数少，频率就一定等于概率。 知识点三 等可能事件的概率 若试验所有可能结果是有限个、等可能，则P(A)=，概率范围：0≤P(A)≤1 示例：掷一枚骰子，点数为偶数的概率 P= = 易错点：1. 漏数或重复数结果总数； 2. 忽略“等可能”前提，直接套用公式。 知识点四 摸球类、抽卡类概率计算 从装有若干不同颜色球的袋子中随机摸球，直接用“符合条件的数量÷总数”计算。 示例：袋中有3红2白共5球，随机摸1个是红球的概率：P= 易错点：1. 未看清“有放回”还是“无放回”； 2. 第二次摸球时总数未减1。 知识点五 几何概型（面积型概率） 转转盘、涂色区域等几何图形问题：P= 示例：转盘平均分成8份，红色占3份，则指针停在红色区域概率：P= 易错点：1. 份数不均等时直接用份数比； 2. 面积计算错误导致概率错误。 知识点六 游戏公平性判断 双方获胜概率相等，则游戏公平；否则不公平。 示例：两人掷骰子，奇数甲赢，偶数乙赢，概率均为 ，游戏公平。 易错点：1. 只看结果多少，不计算概率是否相等； 2. 漏算某种情况导致判断错误。 知识点七 概率的综合应用 结合生活实际，用概率进行预测、决策、方案选择。 示例：某产品合格率98%，则1000件中大约980件合格。 易错点：1. 把概率当成精确数量； 2. 实际问题中忽略限制条件，直接套用公式。 考点讲练一 事件的分类 【典例精讲】（24-25七年级下·四川·期中）下列事件是必然事件的是（    ） A．明天会下雨 B．367人中至少有两人的生日在同一天 C．车辆随机到达一个路口遇到红灯 D．投掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 【答案】B 【思路点拨】本题考查了必然事件的概念。必然事件指在一定条件下一定发生的事件，据此逐项分析即可求解． 【规范解答】解：A. 明天会下雨，是随机事件，不合题意； B. ∵一年最多有366天（包括闰年），∴367人中至少有两人的生日在同一天，是必然事件，符合题意； C. 车辆随机到达一个路口遇到红灯，是随机事件，不合题意； D. 投掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上，是随机事件，不合题意． 故选：B 【变式训练】（24-25七年级下·湖北武汉·期末）经过有交通信号灯的路口，遇到红灯的事件为（      ） A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．确定性事件 【答案】C 【思路点拨】本题考查了事件的分类，理解随机事件的概念是解题的关键．根据事件类型的定义，遇到红灯可能发生也可能不发生，具有不确定性，因此属于随机事件． 【规范解答】解：∵ 交通信号灯的变化是随机的， ∴ 经过路口时可能遇到红灯，也可能遇到绿灯或其他信号， ∴ 该事件是随机事件． 故选：C． 考点讲练二 判断事件发生的可能性的大小 【典例精讲】（2025·浙江·二模）一个不透明的袋子中，装有除颜色外完全相同的2个红球和5个白球．从袋子中随机摸球，甲认为：若摸出1个球，则摸出白球的可能性大；乙认为：若摸出3个球，则至少有1个白球．以下判断正确的是（　　） A．甲乙都正确 B．甲正确，乙错误 C．甲错误，乙正确 D．甲乙都错误 【答案】A 【思路点拨】本题考查的是可能性的大小，熟记概率公式是解题的关键． 根据可能性大小的定义解答即可． 【规范解答】解：∵有2个红球和5个白球， ∴若摸出1个球，则摸出白球的可能性大，故甲正确；若摸出3个球，则至少有1个白球，故乙正确． 故选：A． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·课后作业）抛掷一枚质地均匀的骰子，对于事件①向上一面的数为偶数、②向上一面的数为1、③向上一面的数为3的倍数，将它们的序号按事件发生可能性从小到大的顺序排列： ． 【答案】②③① 【思路点拨】本题考查的是可能性的大小，先求出各自的可能性大小，再进行比较即可．解决这类题目要注意具体情况具体对待，最准确的方法是计算出事件发生的可能性大小进行比较．一般地必然事件的可能性大小为1，不可能事件发生的可能性大小为0，随机事件发生的可能性大小在0至1之间． 【规范解答】解：①骰子能掷出三面为偶数，故向上一面的数为偶数的可能性大小为； ②向上一面的数为1的可能性大小为； ③骰子能掷出两面为3的倍数，向上一面的数为3的倍数的可能性大小为； 它们的序号按事件发生可能性从小到大的顺序排列为②③①， 故答案为：②③①． 考点讲练三 求某事件的频率 【典例精讲】（24-25七年级下·四川成都·月考）篮球运动员为了评估自己的投篮命中率，通常会进行一系列的训练测试．下表是某篮球运动员在相同的训练条件下，得到的一组测试数据： 投篮的次数 10 50 200 300 400 500 命中的次数 7 40 81 163 249 326 命中的频率 0.70 0.80 0.81 0.82 0.82 0.83 (1)填空：______，______，______； (2)测试中，该运动员任意投出一球，估计能投中的概率是_____（精确到0.1）； (3)根据估计的概率，该运动员投篮150次，请通过计算估计他命中的次数． 【答案】(1)；； (2) (3)估计他命中的次数为次． 【思路点拨】本题考查利用频率估计概率，掌握概率是频率的稳定值，是解题的关键： （1）根据频数，总数和频率之间的关系，进行计算即可； （2）根据频率估算概率即可； （3）根据概率进行判断即可． 【规范解答】（1）解：，，； 故答案为：；；； （2）解：由表格可知，该运动员任意投出一球，能投中的概率是； 故答案为：； （3）解：由（2）可知，该运动员投中的概率为， ， 估计他命中的次数为次． 【变式训练】（24-25七年级下·陕西西安·期中）现对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频数表如下： 抽取件数（件） 50 100 150 200 500 800 1000 合格数 48 95 141 190 480 760 950 合格率 (1)求，的值； (2)估计任抽一件衬衣是合格品的概率． 【答案】(1)； (2) 【思路点拨】本题考查了求某事件的频率，利用频率估计概率，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据合格率合格数抽取件数计算即可； （2）根据7批次衬衫从50件增加到1000件时，衬衣的合格率趋近于0.95，所以估计衬衣合格的概率为0.95． 【规范解答】（1）解：根据题意，； ． 答：的值为，的值为． （2）抽取件数为1000时，合格的频率趋近于0.95， 估计任抽一件衬衣是合格品的概率为0.95． 考点讲练四 概率的意义理解 【典例精讲】（24-25七年级下·广东深圳·期中）下列说法正确的是（   ） A．“清明时节雨纷纷”所描述的事件，是随机事件 B．“若是实数，则”是不可能事件 C．小明进行掷硬币试验，扔了次，有次正面朝上，所以硬币正面朝上的概率为 D．若抽奖活动的中奖概率为，则抽奖次必中奖次 【答案】A 【思路点拨】本题考查了事件的分类，概率的意义，根据事件的分类，概率的意义逐一分析各选项即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】解：、“清明时节雨纷纷”描述的是可能发生也可能不发生的天气现象，属于随机事件，原选项正确，符合题意； 、实数的绝对值恒成立，是必然事件，而非不可能事件，原选项错误，不符合题意； 、概率是理论值，需通过大量试验趋近，次试验仅为频率，不能直接作为概率，原选项错误，不符合题意； 、中奖概率为，仅表示每次抽奖的可能性，次抽奖是独立事件，不保证必中奖，原选项错误，不符合题意； 故选：． 【变式训练】（24-25七年级下·江苏镇江·期中）下列说法，正确的是（   ） A．从1一5这五个自然数中随机抽取一个数，取得奇数的可能性较大 B．“抛一枚硬币，正面朝上的概率是”表示每抛2次就有一次正面朝上 C．“彩票中奖的概率是”表示买张彩票肯定会中奖 D．“明天降雨的概率是60%”表示明天有60%的时间在降雨 【答案】A 【思路点拨】根据概率的意义，反映的只是这一事件发生的可能性的大小，不一定发生也不一定不发生，依次分析可得答案． 题目主要考查概率的意义，反映的只是这一事件发生的可能性的大小，理解这一意义是解题关键． 【规范解答】解：A、从1-5这五个自然数中随机抽取一个数，取得奇数的可能性有3种，概率为，取得偶数的概率为， ∴取得奇数的可能性较大，选项正确，符合题意； B、“抛一枚硬币，正面朝上的概率是”表示每次抛硬币正面朝上的可能性都是，故其概率应在0到1之间，故错误； C、“彩票中奖的概率是”，表示每买一张彩票，中奖的可能性都是，选项错误，不符合题意； D、“明天降雨的概率是”表示明天有的可能会降雨，选项错误，不符合题意； 故选A． 考点讲练五 关于频率与概率关系说法的正误 【典例精讲】（2025·山东潍坊·一模）如图，用计算机模拟随机投掷一枚啤酒瓶盖的实验结果．下面是根据实验结果所作出的四个推断，其中合理的是（   ） A．当投掷次数是1000时，“凸面向上”的次数为443 B．当投掷第1000次时，“凸面向上”的概率是0.443 C．随着实验次数的增加，“凸面向上”的频率趋近于0.440，故可以估计其概率是0.440 D．若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“凸面向上”的频率一定是0.443 【答案】AC 【思路点拨】本题考查利用频率估计概率，根据图形和各选项的说法可以判断是否正确，从而可以解答本题． 【规范解答】解：A、当投掷次数是1000时，“凸面向上”的频数是0.443，则“凸面向上”的次数是正好是443，故正确，符合题意； B、当投掷第1000次时，“凸面向上”的频数是0.443，故错误，不符合题意； C、随着实验次数的增加，“凸面向上”的频率趋近于0.440，故可以估计其概率是0.440，正确，符合题意； D、若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“凸面向上”的频率不一定是0.443，故错误，不符合题意． 故选：AC． 【变式训练】（23-24七年级下·云南昆明·期末）下列说法正确的是（   ） A．“汽车累计行驶，从未出现故障”是不可能事件 B．“买中奖率为的奖券张，中奖”是必然事件 C．投掷一枚图钉，“钉尖朝上”的概率可以用列举法求得 D．通过大量重复试验，可以用频率估计概率 【答案】D 【思路点拨】本题考查了随机事件，利用频率估计概率等知识点，正确理解随机事件的概念是解题的关键． 根据随机事件的概念，利用频率估计概率的原理分别对每一项进行分析，即可得出答案． 【规范解答】解：A. “汽车累计行驶，从未出现故障”是随机事件，不是不可能事件，故选项不符合题意； B. “买中奖率为的奖券张，中奖”是随机事件，不是必然事件，故选项不符合题意； C. 投掷一枚图钉，由于“钉尖朝上”和“钉尖朝下”的可能性不是均等的，因此要获得“钉尖朝上”的概率不可以用列举法求得，可以利用实验的方法，故选项不符合题意； D. 通过大量重复试验，可以用频率估计概率，此说法正确，故选项符合题意； 故选：． 考点讲练六 由频率估计概率 【典例精讲】（24-25七年级下·陕西咸阳·月考）临潼石榴集中国石榴之优，位居中国五大名榴之冠，被列为果中珍品．某研究院跟踪调查了一批石榴树的移栽成活情况，得到如图所示的统计图，由此可估计这批石榴树移栽成活的概率约为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了由频率估计概率，由图可得，这批石榴树移栽成活的频率稳定在，由此即可得解． 【规范解答】解：由图可得，这批石榴树移栽成活的频率稳定在， 故这批石榴树移栽成活的概率约为， 故选：B ． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·期中）某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如表： 射击次数 100 200 300 400 500 800 1000 “射中九环以上”的次数 82 176 267 364 450 720 900 “射中九环以上”的频率 0.82 0.88 0.89 0.91 0.90 0.90 0.90 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率是（   ） A．0.82 B．0.88 C．0.89 D．0.90 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了用频率估计概率，大量反复试验下频率的稳定值即为概率值，据此求解即可． 【规范解答】解：由表格可知，随着射击次数的增加，该运动员“射中九环以上”的频率逐步稳定在0.90附近， ∴估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率是0.90， 故选：D． 考点讲练七 用频率估计概率的综合应用 【典例精讲】（24-25七年级下·福建宁德·期中）2月份，某工厂共生产了26000件工艺品，为了检测该产品的合格率，工厂质检员对产品进行抽检，统计合格的件数，得到如下表格： 抽取件数（件） 50 100 200 300 500 1000 合格频数 48 99 194 m 490 980 合格频率 0.96 0.99 0.97 0.98 0.98 n (1)表格中m的值为______，n的值为______； (2)估计随机抽取一件该产品是不合格品的概率； (3)若该工厂每生产一件不合格产品将损失20元，求2月份该工厂因不合格产品所造成的损失为多少元？ 【答案】(1)294，0.98 (2)任抽一件该产品是不合格品的概率为0.02 (3)该工厂因不合格产品所造成的损失10400元 【思路点拨】本题考查了用频率估计概率，掌握相关知识点是解题的关键． （）根据频数除以总数等于频率，列式计算即可求解； （）根据抽取件数为时，合格的频率趋近于，可得估计产品合格的概率为，进而即可求解； （）用乘以不合格品的概率再乘以20即可求解． 【规范解答】（1）解：由题意得，，； （2）解：∵抽取件数为时，合格的频率趋近于， ∴估计衬衣合格的概率为， ∴估计任抽一件该产品是不合格品的概率为； （3）解：（元）， 答：该工厂因不合格产品所造成的损失10400元． 【变式训练】（24-25七年级下·陕西榆林·期末）某植物研究院培育的新品植株的成活率约为，若在相同条件下培育50棵同种植株，则成活的植株约为（   ） A．45棵 B．5棵 C．20棵 D．40棵 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查百分率的知识．利用“总数×成活率=成活棵树”计算求解． 【规范解答】解：（棵）， 故选：A． 考点讲练八 列举随机实验的所有可能结果 【典例精讲】（2024七年级·全国·竞赛）在一个不透明的盒子中有20个不同颜色的玻璃球，其中白色玻璃球有9个，黑色玻璃球有6个，红色玻璃球有5个．现从中任取10个玻璃球，使得其中白色玻璃球不少于2个但不多于8个，黑色玻璃球至多3个，红色玻璃球不少于2个，那么上述取法共有（    ） A．19种 B．18种 C．17种 D．16种 【答案】D 【思路点拨】本题考查列举法（树状图法）．利用树状图法首先确定红球的个数，然后确定黑球的个数，最后确定对应的白球的个数即可． 【规范解答】解：画树状图如图所示： 则取法的种数是16． 故选：D． 【变式训练】（2023·湖北孝感·三模）把10个苹果分给3个小朋友，要求每个小朋友都有苹果，且分得苹果的数量各不相同，一共有 种不同的分法． 【答案】4 【思路点拨】首先把10拆成3个数，因为每个小朋友都有苹果，且分得苹果的数量各不相同，一一列举即可． 【规范解答】解：首先把10拆成3个数，，，，， 共有4种分法， 故答案为：4． 考点讲练九 列举法求概率 【典例精讲】（2025·河北邯郸·一模）如图，是化学元素周期表中原子序数为1~5的元素，从中随机选取两种元素，则这两种元素恰好都是金属元素的概率为（   ）（注：锂和铍为金属元素） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查概率，熟练掌握概率的求法是解题的关键；因此此题可根据列举法进行求解概率． 【规范解答】解：由题意得： 从这5种元素中任取两种元素的可能性有：（氢，氦），（氢，锂），（氢，铍），（氢，硼），（氦，锂），（氦，铍），（氦，硼），（锂，铍），（锂，硼），（铍，硼），其中两种元素都为金属元素的只有一种，故抽取到两种元素都为金属元素的概率为； 故选C． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·期中）在的中分别填上“”和“”，则该式能构成完全平方式的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了用列举法求概率，根据概率公式计算概率，完全平方式等知识点，熟练掌握列举法的概念以及用列举法求概率的基本步骤是解题的关键：1、列举法的概念：在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，那么我们可通过列举试验结果的方法，分析出随机事件发生的概率，这种方法称为列举法；2、用列举法求概率的基本步骤：列举出一次试验的所有可能结果，假设共种；数出满足要求的结果数，假设共种；根据概率公式计算概率：概率． 按照用列举法求概率的基本步骤求解即可． 【规范解答】解：在的中分别填上“”和“”，则所有可能的结果共有种，即： ，，，， 该式能构成完全平方式的结果共有种，即： ，， （该式能构成完全平方式）， 故选：． 考点讲练十 根据概率公式计算概率 【典例精讲】（24-25七年级下·陕西汉中·期末）今年五一西安被冲上热搜成为全国旅游网红城市，小红和妈妈也准备去西安旅游．去之前她们收集了自己感兴趣的景点名片，这些名片除文字外其余均相同，出发前一天她们以抽签的形式决定去哪个景点，请根据下列问题求出相应的概率． 市内景区：大雁塔、大唐芙蓉园、钟楼、明长城、曲江极地公园． 市外景区：秦岭野生动物园、朱雀国家森林公园、秦始皇兵马俑． (1)抽到去“大唐芙蓉园”的概率； (2)抽到去市内景区的概率； (3)抽到去公园的概率； 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】本题考查了概率公式，熟记概率公式是解题的关键． （1）直接由概率公式求解即可； （2）直接由概率公式求解即可； （3）直接由概率公式求解即可． 【规范解答】（1）解：由题意可知，抽到去“大唐芙蓉园”的概率为； （2）解：由题意可知，抽到去市内景区的概率为； （3）解：由题意可知，抽到去公园的概率为． 【变式训练】（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，现有一个转盘被平均分成六等份，分别标有1，2，3，4，5，6这六个数字，转动转盘，当转盘停止后，指针所指区域的数字即为转出的数字（若指针落在分割线上，则重新转动转盘，直到指针指向标有数字的区域为止）． (1)转出的数字为8是__________（填“不确定事件”“必然事件”或“不可能事件”）． (2)转动转盘，转出的数字不大于2的概率是多少？ 【答案】(1)“不可能事件” (2) 【思路点拨】本题考查事件的分类：必然事件、不可能事件和随机事件，求解一步概率问题，熟记必然事件、不可能事件和随机事件的定义，简单概率公式是解决问题的关键． （1）由各个事件的定义，在一定条件下，一定发生的事件叫必然事件；在一定条件下，一定不发生的事件叫不可能事件；在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件叫随机事件，根据三种事件的定义判断即可得到答案． （2）读懂题意，分别求出转动转盘所有等可能的结果及满足条件的结果数，再由简单概率公式代值求解即可得到答案． 【规范解答】（1）解：转盘被平均分成六等份，分别标有1，2，3，4，5，6这六个数字，则转出的数字为8是“不可能事件”， 故答案为：“不可能事件”； （2）解：转动转盘会有6种等可能的结果，其中转出的数字不大于2的结果有1，2两种结果， 转动转盘，转出的数字不大于2的概率是． 考点讲练十一 根据概率作判断 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·课后作业）一个不透明的箱子中放有红、黄、黑三种颜色的小球，这些小球除颜色外都相同．三个人先后去摸球，一人摸一次，一次摸出1个小球，摸出后放回，摸出黑色小球的人赢（可以所有人都赢）．这个游戏是（   ） A．对所有人都公平 B．先摸者赢的可能性大 C．后摸者赢的可能性大 D．无法判断是否公平 【答案】A 【思路点拨】此题考查游戏公平性，解题关键在于利用概率进行分析． 三个人摸到每种球的概率均相等，所以游戏公平． 【规范解答】解：∵一个箱子中放有红、黄、黑三种小球，三个人先后去摸球，一人摸一次，一次摸出一个小球，摸出后放回， ∴三个人摸到每种球的概率均相等， ∴这个游戏是公平的． 故选：A． 【变式训练】（24-25七年级下·陕西西安·期中）在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球．其中红球4个，白球6个，黑球5个． (1)求任意摸出一个球是黑球的概率； (2)要使摸到红球和白球的概率相等，白球的个数不变，红球需要增加几个？ 【答案】(1) (2)2个 【思路点拨】本题考查了简单事件的概率计算，熟练掌握该知识点是解题的关键． （1）根据简单事件的概率计算公式求解即可； （2）根据要使摸到红球和白球的概率相等，即红球的个数等于白球的个数，进行求解即可． 【规范解答】（1）解：因为红球4个，白球6个，黑球5个， 所以盒子中球的总数为：（个）， 所以任意摸出一个球是黑球的概率为． （2）解：因为要使摸到红球和白球的概率相等， 所以要使红球的个数等于白球的个数， 因为红球4个，白球6个，白球的个数不变， 所以红球需要增加（个）． 考点讲练十二 已知概率求数量 【典例精讲】（24-25七年级下·四川成都·期末）一个不透明的袋子中有红球、白球共30个，这些球除颜色外都相同．将袋子中的球搅拌均匀，从中随意摸出1个球，记下它的颜色后放回袋中．不断重复这个过程，共摸了100次球，其中有40次摸到红球，由此可以估计袋子中红球的个数约为（    ） A．8 B．12 C．15 D．18 【答案】B 【思路点拨】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．首先求出摸到红球的频率，用频率去估计概率即可求出袋子中红球约有多少个． 【规范解答】解：∵共摸了100次球，其中有40次摸到红球， ∴摸到红球的频率， ∴估计袋子中红球的数量为（个）． 故选：B． 【变式训练】（24-25七年级下·河北保定·期末）在一个不透明袋子中装有颜色不同的黑、白两种球共40个球，嘉嘉做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．如图是“摸到白球”的频率折线统计图． (1)根据统计图，估算盒子里黑、白两种颜色的球各多少个？ (2)如果要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？ 【答案】(1)白球20个，黑球20个 (2)10个 【思路点拨】本题考查了利用频率估计概率、概率公式的运用，大量反复试验下频率稳定值即概率． （1）由折线统计图知，当摸球次数很大时，摸到白球的概率将会接近，所以摸到白球的概率为，据此用球的总个数乘以白球概率可得白球数量，继而可得答案； （2）设需要往盒子里再放入x个白球，根据题意得出方程，解方程即可． 【规范解答】（1）解：白球的个数：， 黑球的个数：； （2）解：设需要往盒子里再放x个白球，由题意，得 解得， 答：需要再往盒子里放入10个白球． 考点讲练十三 游戏的公平性 【典例精讲】（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，一个均匀的转盘被平均分成12等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12这12个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字． (1)P（转出的数字是4的倍数）______；P（转出的数字不是4的倍数）______． (2)两人参与游戏：一人转动转盘，另一人猜数，若所猜数字与转出的数字相符，则猜数的人获胜，否则转动转盘的人获胜． ①猜“是奇数”或“是偶数”； ②猜“是大于8的数”或“不是大于8的数”．如果轮到你猜数，那么为了尽可能获胜，你将选择哪一种猜数方法？怎样猜？请说明理由． 【答案】(1)， (2)选择②，猜“不是大于8的数”，理由见解析 【思路点拨】（1）根据概率公式即可得到结论； （2）分别求出各种情况下获胜的概率，比较得出答案． 本题考查是游戏的公平性，随机事件发生的概率，理解概率的意义，掌握概率的计算方法是正确解答的前提． 【规范解答】（1）解：P（转出的数字是4的倍数）； P（转出的数字不是4的倍数）， 故答案为：，； （2）解：选择②，猜“不是大于8的数”，理由如下： ①“是奇数”或“是偶数“都是， ②“是大于8的数”的有4种，“不是大于8的数”的有8种，因此“是大于8的数”可能性是，“不是大于8的数”的可能性是， 因此，选择②，猜“不是大于8的数”，这样获胜的可能性为，获胜的可能性最大． 【变式训练】（24-25七年级下·河北保定·期末）小明和哥哥都很想去看足球比赛，爸爸只买到了一张门票，最后商定通过转盘游戏决定去观看比赛．游戏规则是：转动如图1所示的转盘，转盘停止后，若转盘指针指向红色小明去；若转盘指针指向蓝色或黄色，哥哥去；如果指针恰好指向白色或指向分割线，重新转动． (1)求小明去观看足球比赛的概率； (2)你认为这个游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计出一种公的游戏规则； (3)请你利用图2所示转盘，设计一个转盘游戏，使得小明去的概率为，并简要说明游戏规则． 【答案】(1) (2)游戏公平，理由见解析 (3)见解析 【思路点拨】本题考查几何概率模型求概率，读懂题意，搞懂相关事件所占的几何比例是解决问题的关键． （1）根据几何概率模型，由转盘中每一个扇形面积相同，共有9份，其中红色占4份；蓝色占3份；白色和黄色占1份；再结合如果指针恰好指向白色或指向分割线，则重新转动，从而由几何概率模型求概率的方法直接计算小明去观看足球比赛的概率即可得到答案； （2）根据几何概率模型，由转盘中每一个扇形面积相同，共有9份，其中红色占4份；蓝色占3份；白色和黄色占1份；再结合如果指针恰好指向白色或指向分割线，则重新转动，从而由几何概率模型求概率的方法直接计算小明或哥哥去观看成都蓉城足球比赛的概率，比较大小即可得到答案； （3）根据小明去的概率为，设计转盘即可． 【规范解答】（1）解：由题意可知，转盘中每一个扇形面积相同，共有9份，其中红色占4份；蓝色占3份；白色和黄色各占1份，再结合如果指针恰好指向白色或指向分割线，则重新转动， （小明去观看足球比赛）； （2）解：由题意可知，转盘中每一个扇形面积相同，共有9份，其中红色占4份；蓝色占3份；白色和黄色占1份，再结合如果指针恰好指向白色或指向分割线，则重新转动， （小明去观看足球比赛）； （哥哥去观看足球比赛）； （小明去观看足球比赛）（哥哥去观看足球比赛）， 游戏公平； （3）解：将转盘平均分为8个区域，其中红色占5份；白色占3份，如果指针转动转盘，转盘停止后，若转盘指针指向红色，小明去． 考点讲练十四 几何概率 【典例精讲】（24-25七年级下·山东威海·期末）如图，小明向由8个完全相同的小正方形组成的靶盘中随意投一枚飞镖，则飞镖落在阴影部分的概率是 ． 【答案】 【思路点拨】先计算阴影部分的面积，用阴影面积除以总面积即可． 本题考查了简单的概率公式应用，熟练掌握公式是解题的关键． 【规范解答】解：阴影面积为：，总面积为， 飞镖落在阴影部分的概率是：． 故答案为：． 【变式训练】（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在正方形中，取四条边的中点E，F，G，H，并依次连接形成四边形．若随机向正方形内投掷一枚小针，则针尖落在四边形内的概率为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了几何概率； 设正方形的边长为2，先求出正方形的面积和四边形的面积，再根据几何概率的意义计算即可． 【规范解答】解：设正方形的边长为2， ∵点E，F，G，H是四条边的中点， ∴， ∴， 同理：， ∵正方形的面积为， ∴四边形的面积为：， ∴针尖落在四边形内的概率为 故答案为：． 考点讲练十五 概率的其他应用 【典例精讲】（24-25七年级下·北京房山·期末）现有1，2，3，…，9九个数字，甲、乙轮流从中选出一个数字，从左至右依次填入下图所示的表格中（表中已出现的数字不再重复使用），每次填数时，甲会选择填入后使表中现有数据平均数最大的数字，乙会选择填入后使表中现有数据中位数最小的数字．如图，若表中第一个数字是4，甲先填，则满足条件的填法有 种，请你在表中空白处填出一种符合要求的填数结果． 4 【答案】6，9182 【思路点拨】根据填数时，甲会选择填入后使表中现有数据平均数最大的数字，可知，甲每次都会选最大的数字；再根据乙选择数字的方法判断满足条件的填法即可． 【规范解答】解：∵甲会选择填入后使表中现有数据平均数最大的数字，表中第一个数字是4，甲先填， ∴第二个数字为9，第四个数字为8， ∵乙会选择填入后使表中现有数据中位数最小的数字． ∴第三个数字可以为1，2，3，第五个数字可以为1,2，且不能与第三个数字相同，即第三个数字有3种选法，第五个数字有2种选法， ∴满足条件的填法有6种，表中空白处可以为9182． 故答案为：6，9182 【变式训练】（24-25七年级下·黑龙江大庆·期末）某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，并规定：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转动停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域，那么顾客就可以分别获得100元、50元、20元的购物券，凭购物券可以在该商场继续购物．如果顾客不愿意转转盘，那么可以直接获得购物券15元．转转盘和直接获得购物券，你认为哪种方式更合算？ 【答案】直接获得购物券更合算，理由见解析 【思路点拨】首先求得转转盘可能得到的购物券钱数，再和直接获得15元购物券作比较即可求得答案． 【规范解答】解：转转盘平均可获得（元）， 而直接获得购物券15元， ∴直接获得购物券更合算． 【真题演练1】（2024·全国·中考真题）下列说法正确的是（   ） A．“抛出的铅球会下落”是随机事件 B．“随机翻开一本日历，这一天正好是星期六”是必然事件 C．从一副扑克牌中任意抽取一张，它的花色为红桃的可能性大于花色为方块的可能性 D．任意买一张电影票，座位号是的倍数的可能性大于座位号是的倍数的可能性 【答案】D 【思路点拨】本题考查了事件的分类（必然事件、不可能事件以及随机事件），以及概率的基本概念，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据事件的分类以及概率的基本概念逐项判断即可． 【规范解答】解：A、“抛出的铅球会下落”是必然事件，故A选项错误； B、“随机翻开一本日历，这一天正好是星期六”是随机事件，故B选项错误； C、从一副扑克牌中任意抽取一张，它的花色为红桃的可能性等于花色为方块的可能性，故C选项错误； D、任意买一张电影票，座位号是的倍数的可能性大于座位号是的倍数的可能性，故D选项正确； 故选：D． 【真题演练2】（2024·安徽芜湖·中考真题）从1，2，3，4这4个数中一次随机地取2个数，则所取的2个数之和大于5的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查列表法或树状图法求概率．正确的列出表格或画出树状图表示出所有等可能的情况是解题关键． 根据题意列出表格表示出所有等可能的情况，再找出两数之和大于5的情况，最后根据概率公式计算即可． 【规范解答】解：根据题意可列表格如下， 1 2 3 4 1 3 4 5 2 3 5 6 3 4 5 7 4 5 6 7 由表格可知共有12种等可能的情况，其中两数之和大于5的情况有4种， ∴两数之和大于5的概率是． 故选：D． 【真题演练3】（2024·山东青岛·中考真题）综合实践课上，同学们利用一个口袋和6个除颜色外完全相同的球设计摸球游戏．若想使得摸到一个球是红球的概率是，则口袋中应放入 个红球． 【答案】2 【思路点拨】本题考查了简单的概率计算，熟练掌握概率公式是解题关键．设口袋中应放入个红球，根据摸到一个球是红球的概率是建立方程，解方程即可得． 【规范解答】解：设口袋中应放入个红球， 由题意得：， 解得， 故答案为：2． 【真题演练4】（2024·广东佛山·中考真题）如图，转盘中的各个扇形面积相等，任意转动转盘1次，指针落在阴影区域的概率是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查求几何概率．熟练掌握几何概率的计算方法，是解题的关键． 阴影区域的面积在整个面积中占的比例，即为指针落在阴影部分的概率． 【规范解答】解：∵圆被等分成份，其中阴影部分占份， ∴指针落在阴影部分的概率为， 故答案为： 【真题演练5】（2024·安徽宿州·中考真题）2025年3月1日是中国民间传统节日“龙抬头”，这一天寓意着万物复苏、生机勃发．在这个特殊的日子，“学好中国字 做好中国人”文化行动研讨会在吴东魁艺术馆隆重举行．如图，一个转盘被平均分成10等份，分别标有“学”“好”“中”“国”“字”“做”“好”“中”“国”“人”这10个汉字，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的汉字即为转出的汉字． (1)转动转盘，当转盘停止时，指针指向“国”的概率是________，指针指向汉字的笔画数是奇数的概率是________； (2)小明和小华利用该转盘做游戏，当转出的汉字笔画多于6画时小明获胜，否则小华获胜．请你判断这个游戏是否公平？并说明理由． 【答案】(1)， (2)游戏不公平，理由见解析 【思路点拨】本题考查的是游戏公平性的判断．实际考查概率的计算与游戏公平性的理解，用到的知识点为：概率为所求情况数与总情况数之比． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）分别计算出小明、小华获胜的概率，判断大小关系即可得出答案． 【规范解答】（1）解：转动转盘，当转盘停止时，指针指向“国”的概率是， 指针指向汉字的笔画数是偶数的有：“学”“好”“中”“国”“字”“好”“中”“国”“人”，有个，故指针指向汉字的笔画数是偶数的概率是， ∴指针指向汉字的笔画数是奇数的概率是； 故答案为：，； （2）解：游戏不公平，理由如下： 个汉字中笔画多于画的有：“学” ，“国” ，“国”， “做”， 个汉字中笔画不多于画的有： “好”“中” “字” “好”“中” “人”， 所以小明获胜的概率为，小华获胜的概率为，小明获胜的概率小华获胜的概率， 所以游戏不公平． 【基础夯实 能力提升】 1．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）某商场为促销商品进行了抽奖，通过后台的数据显示转盘指针落在“10元优惠券”区域的统计数据如下表： 转动转盘的次数 200 600 1000 1600 2000 落在“10元优惠券”区域的次数 64 186 300 479 602 落在“10元优惠券”区域的频率 0.320 0.310 0.300 0.299 0.301 估计随机转动转盘一次，得到“10元优惠券”的概率为（） A．0.28 B．0.30 C．0.32 D．0.33 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查概率；通过频率估计概率，取转动转盘2000次时试验的频率值进行精确处理． 【规范解答】解：∵概率可以通过大量重复试验的频率稳定值来估计， ∴由表可知，转动转盘2000次时，频率为0.301， 精确到0.01为0.30， ∴估计概率为0.30， 故选：B． 2．（24-25七年级下·四川达州·期末）下列所描述的事件中，属于不可能事件的是（   ） A．2025年是平年 B．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 C．投掷一枚六个面点数分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子，朝上面的点数为6 D．从只装有白球的袋中，摸出一个红球 【答案】D 【思路点拨】本题考查了必然事件，不可能事件，随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 根据事件发生的可能性大小判断即可． 【规范解答】解：A. 2025年是平年是必然事件，不符合题意； B. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件，不符合题意； C. 投掷一枚六个面点数分别为1、2、3、4、5、6的质地均匀的正方体骰子，朝上面的点数为6是随机事件，不符合题意； D. 从只装有白球的袋中，摸出一个红球是不可能事件，符合题意； 故选：D． 3．（24-25七年级下·陕西榆林·期末）如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖，（每次飞镖均落在游戏板上），则击中阴影区域的概率是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了几何概率的计算，计算击中阴影区域的概率，需要先计算飞镖游戏板的总面积和阴影区域的面积，再用阴影区域面积除以总面积得到概率． 【规范解答】解：设小正方形的面积为a， ∵飞镖游戏板由大小相等的9个小正方形格子构成， ∴飞镖游戏板的面积为，阴影区域的面积为， ∴随意投掷一个飞镖，击中阴影区域的概率为：． 故答案为：． 4．（24-25七年级下·福建漳州·期末）2025年是蛇年，现将背面完全一样，正面分别写有“巳”、“巳”、“如”、“意”的四张卡片，洗匀后背面朝上放在桌面上，同时抽取两张，则抽取的两张卡片上的文字恰好能组成“如意”的概率是 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了利用树状图或列表法求概率，根据题意，准确画出树状图或列出表格得到所有等可能结果是解题的关键． 分别记“巳”、“巳”、“如”、“意”为A，B，C，D，利用树状图的方法可得所有等可能结果；再找恰好组成“如意”字样的结果数，利用概率公式计算可得． 【规范解答】解：分别记“巳”、“巳”、“如”、“意”为A，B，C，D，画树状图如下： 由树状图知，共有12种等可能结果，其中恰好组成“如意”字样的结果数有2种结果， 所以抽取的两张卡片上的文字恰好组成“如意”字样的概率为：， 故答案为：． 5．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）一个不透明的口袋中装有个白球和个红球，这些球除颜色外完全相同，充分摇匀后随机摸出一球，发现是白球． (1)如果将这个白球放回，摇匀后再摸出一球是白球的概率是多少？ (2)如果将这个白球不放回，再加入个红球，将口袋摇匀后，摸出一球是白球的概率是多少？ 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题主要考查条件概率的理解与应用，重点在于分析不同操作(放回、不放回并加入球)后总球数和目标球数的变化． ()放回白球后，总球数和白球数均恢复初始状态，概率直接由初始比例确定； ()不放回且加入红球后，总球数和剩余白球数发生变化，需重新计算概率． 【规范解答】（1）解：放回白球：第一次摸出白球后放回，口袋中仍为个白球和个红球，总球数为， 概率计算：第二次摸球时，白球数量未变，因此概率为：； （2）不放回白球：第一次摸出白球后，剩余白球数为，红球数仍为， 加入个红球：总红球数变为， 总球数变为， 剩余白球数为，总球数为，因此概率为：． 【创新拓展 拔尖冲刺】 1．（24-25七年级下·广东梅州·月考）甲布袋装有 6 个红球和 4 个白球，随机从甲袋中摸出一个球，摸出红球的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键．根据概率公式进行计算即可． 【规范解答】解：由题意，摸出红球的概率， 故选D． 2．（24-25七年级下·湖北孝感·期末）下列事件中是必然事件的是（    ） A．抛掷一枚均匀的硬币100次，正面朝上的次数为50次 B．367个同学参加一个集会，他们中至少有两个同学的生日是同月同日 C．任意一个五边形的外角和等于 D．正月十五打雪灯 【答案】B 【思路点拨】本题考查了随机事件“在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件”、必然事件“必然事件发生的可能性为1”、不可能事件“不可能事件的发生的可能性为0”，熟练掌握各定义是解题关键．根据随机事件、必然事件和不可能事件的定义逐项判断即可得． 【规范解答】解：A、抛掷一枚均匀的硬币100次，正面朝上的次数为50次，是随机事件，则此项不符合题意； B、367个同学参加一个集会，他们中至少有两个同学的生日是同月同日，是必然事件，则此项符合题意； C、因为任意一个五边形的外角和等于，所以任意一个五边形的外角和等于，是不可能事件，则此项不符合题意； D、正月十五打雪灯，是随机事件，则此项不符合题意； 故选：B． 3．（24-25七年级下·四川德阳·期末）如图所示，在圆形转盘中，，拨动指针，指针指向区域a的概率为，在矩形转盘中，，，拨动指针，指针指向区域的概率为，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了利用几何图形求概率；由圆得圆中区域的圆心角为，可求出，由矩形的性质及等边三角形的判定及性质得，可得，可求出，即可求解；理解利用区域对应的角度进行求解是解题的关键． 【规范解答】解：由题意得 圆中区域的圆心角为， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ； 故答案为：． 4．（24-25七年级下·重庆·月考）3月14日是国际数学节，某学校在今年国际数学节策划了“竞速华容道”、“玩转幻方”、“益智九连环”和“巧解鲁班锁”四个挑战活动，如果小芳和小圆每人随机选择参加其中一个活动，则她们恰好选到同一个活动的概率是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查列表法与树状图法、概率公式，列表可得出所有等可能的结果数以及她们恰好选到同一个活动的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【规范解答】解：将“竞速华容道”、“玩转幻方”、“益智九连环”和“巧解鲁班锁”四个挑战活动分别记为A，B，C，D， 列表如下： A B C D A B C D 共有16种等可能的结果，其中她们恰好选到同一个活动的结果有4种， ∴她们恰好选到同一个活动的概率为． 故答案为：． 5．（2024·海南三亚·一模）为庆祝中国共青团成立100周年，某校开展四项活动：A项参观学习，B项团史宣讲，C项经典诵读，D项文学创作，要求每名学生在规定时间内必须且只能参加其中一项活动，该校从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们参加活动的意向，将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图． (1)本次调查采用的调查方式是______（填写“普查”或“抽样调查”）； (2)B项活动所在扇形的圆心角的大小是______；条形统计图中C项活动的人数是______； (3)已知选择A项的32名学生中有20名男生和12名女生．若从这32名学生中随机抽取1名学生座谈，且每名学生被抽到的可能性相同，则恰好抽到男生的概率是多少？ (4)若该校约有2000名学生，请估计其中意向参加“参观学习”活动的人数为多少？ 【答案】(1)抽样调查 (2)，20 (3) (4)估计其中意向参加“参观学习”活动的人数为800人 【思路点拨】本题考查条形图和扇形图的综合应用，求概率，利用样本估计总体，从统计图中有效地获取信息，是解题的关键； （1）根据调查方式进行作答即可； （2）用项的人数除以所占的百分比求出调查的总人数，用360度乘以项活动人数所占的比例求出圆心角的度数，用调查的总人数减去其它项目的人数，求出项的人数即可； （3）直接利用概率公式进行计算即可； （4）利用样本估计总体的思想，进行求解即可． 【规范解答】（1）解：由题意，本次调查采用的调查方式是抽样调查； 故答案为：抽样调查； （2）（人）； ； 项的人数； 故答案为：，20； （3）由题意，； （4）（人）； 答：估计其中意向参加“参观学习”活动的人数为800人． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年北师大版（新教材）数学七年级下册重点难点同步培优【考点讲练】 专题3.4 概率初步『章节复习培优讲义』 （知识梳理+考点讲练+真题演练+分层训练 共45题） 〔解析版〕 知识梳理 技巧点拨 2 知识点一 确定事件与随机事件 2 知识点二 频率与概率的意义 2 知识点三 等可能事件的概率 2 知识点四 摸球类、抽卡类概率计算 2 知识点五 几何概型（面积型概率） 3 知识点六 游戏公平性判断 3 知识点七 概率的综合应用 3 重点难点 考点讲练 3 考点讲练一 事件的分类 3 考点讲练二 判断事件发生的可能性的大小 3 考点讲练三 求某事件的频率 4 考点讲练四 概率的意义理解 4 考点讲练五 关于频率与概率关系说法的正误 5 考点讲练六 由频率估计概率 5 考点讲练七 用频率估计概率的综合应用 6 考点讲练八 列举随机实验的所有可能结果 6 考点讲练九 列举法求概率 7 考点讲练十 根据概率公式计算概率 7 考点讲练十一 根据概率作判断 8 考点讲练十二 已知概率求数量 8 考点讲练十三 游戏的公平性 9 考点讲练十四 几何概率 9 考点讲练十五 概率的其他应用 10 重点难点 实战演练 11 难度分层 闯关训练 12 【基础夯实 能力提升】 12 【创新拓展 拔尖冲刺】 13 知识点一 确定事件与随机事件 1. 必然事件：一定发生的事件 2. 不可能事件：一定不发生的事件 3. 随机事件：可能发生也可能不发生的事件 必然事件与不可能事件统称为确定事件。 示例：太阳从东方升起 → 必然事件 - 掷一枚普通骰子，点数为7 → 不可能事件 - 明天会下雨 → 随机事件 易错点： 1. 把“很可能发生”当成必然事件，把“不太可能”当成不可能事件； 2. 忽略实际背景，仅凭感觉判断事件类型。 知识点二 频率与概率的意义 1. 试验次数很大时，频率会稳定在某个常数附近，这个常数叫做概率； 2. 频率是试验结果，概率是理论值； 3. 概率反映事件发生可能性的大小。 示例：抛硬币1000次，正面朝上约500次，频率接近0.5，因此概率为0.5。 易错点：1. 把频率直接当成概率，混淆试验值与理论值； 2. 认为试验次数少，频率就一定等于概率。 知识点三 等可能事件的概率 若试验所有可能结果是有限个、等可能，则P(A)=，概率范围：0≤P(A)≤1 示例：掷一枚骰子，点数为偶数的概率 P= = 易错点：1. 漏数或重复数结果总数； 2. 忽略“等可能”前提，直接套用公式。 知识点四 摸球类、抽卡类概率计算 从装有若干不同颜色球的袋子中随机摸球，直接用“符合条件的数量÷总数”计算。 示例：袋中有3红2白共5球，随机摸1个是红球的概率：P= 易错点：1. 未看清“有放回”还是“无放回”； 2. 第二次摸球时总数未减1。 知识点五 几何概型（面积型概率） 转转盘、涂色区域等几何图形问题：P= 示例：转盘平均分成8份，红色占3份，则指针停在红色区域概率：P= 易错点：1. 份数不均等时直接用份数比； 2. 面积计算错误导致概率错误。 知识点六 游戏公平性判断 双方获胜概率相等，则游戏公平；否则不公平。 示例：两人掷骰子，奇数甲赢，偶数乙赢，概率均为 ，游戏公平。 易错点：1. 只看结果多少，不计算概率是否相等； 2. 漏算某种情况导致判断错误。 知识点七 概率的综合应用 结合生活实际，用概率进行预测、决策、方案选择。 示例：某产品合格率98%，则1000件中大约980件合格。 易错点：1. 把概率当成精确数量； 2. 实际问题中忽略限制条件，直接套用公式。 考点讲练一 事件的分类 【典例精讲】（24-25七年级下·四川·期中）下列事件是必然事件的是（    ） A．明天会下雨 B．367人中至少有两人的生日在同一天 C．车辆随机到达一个路口遇到红灯 D．投掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 【变式训练】（24-25七年级下·湖北武汉·期末）经过有交通信号灯的路口，遇到红灯的事件为（      ） A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．确定性事件 考点讲练二 判断事件发生的可能性的大小 【典例精讲】（2025·浙江·二模）一个不透明的袋子中，装有除颜色外完全相同的2个红球和5个白球．从袋子中随机摸球，甲认为：若摸出1个球，则摸出白球的可能性大；乙认为：若摸出3个球，则至少有1个白球．以下判断正确的是（　　） A．甲乙都正确 B．甲正确，乙错误 C．甲错误，乙正确 D．甲乙都错误 【变式训练】（24-25七年级下·全国·课后作业）抛掷一枚质地均匀的骰子，对于事件①向上一面的数为偶数、②向上一面的数为1、③向上一面的数为3的倍数，将它们的序号按事件发生可能性从小到大的顺序排列： ． 考点讲练三 求某事件的频率 【典例精讲】（24-25七年级下·四川成都·月考）篮球运动员为了评估自己的投篮命中率，通常会进行一系列的训练测试．下表是某篮球运动员在相同的训练条件下，得到的一组测试数据： 投篮的次数 10 50 200 300 400 500 命中的次数 7 40 81 163 249 326 命中的频率 0.70 0.80 0.81 0.82 0.82 0.83 (1)填空：______，______，______； (2)测试中，该运动员任意投出一球，估计能投中的概率是_____（精确到0.1）； (3)根据估计的概率，该运动员投篮150次，请通过计算估计他命中的次数． 【变式训练】（24-25七年级下·陕西西安·期中）现对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频数表如下： 抽取件数（件） 50 100 150 200 500 800 1000 合格数 48 95 141 190 480 760 950 合格率 (1)求，的值； (2)估计任抽一件衬衣是合格品的概率． 考点讲练四 概率的意义理解 【典例精讲】（24-25七年级下·广东深圳·期中）下列说法正确的是（   ） A．“清明时节雨纷纷”所描述的事件，是随机事件 B．“若是实数，则”是不可能事件 C．小明进行掷硬币试验，扔了次，有次正面朝上，所以硬币正面朝上的概率为 D．若抽奖活动的中奖概率为，则抽奖次必中奖次 【变式训练】（24-25七年级下·江苏镇江·期中）下列说法，正确的是（   ） A．从1一5这五个自然数中随机抽取一个数，取得奇数的可能性较大 B．“抛一枚硬币，正面朝上的概率是”表示每抛2次就有一次正面朝上 C．“彩票中奖的概率是”表示买张彩票肯定会中奖 D．“明天降雨的概率是60%”表示明天有60%的时间在降雨 考点讲练五 关于频率与概率关系说法的正误 【典例精讲】（2025·山东潍坊·一模）如图，用计算机模拟随机投掷一枚啤酒瓶盖的实验结果．下面是根据实验结果所作出的四个推断，其中合理的是（   ） A．当投掷次数是1000时，“凸面向上”的次数为443 B．当投掷第1000次时，“凸面向上”的概率是0.443 C．随着实验次数的增加，“凸面向上”的频率趋近于0.440，故可以估计其概率是0.440 D．若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“凸面向上”的频率一定是0.443 【变式训练】（23-24七年级下·云南昆明·期末）下列说法正确的是（   ） A．“汽车累计行驶，从未出现故障”是不可能事件 B．“买中奖率为的奖券张，中奖”是必然事件 C．投掷一枚图钉，“钉尖朝上”的概率可以用列举法求得 D．通过大量重复试验，可以用频率估计概率 考点讲练六 由频率估计概率 【典例精讲】（24-25七年级下·陕西咸阳·月考）临潼石榴集中国石榴之优，位居中国五大名榴之冠，被列为果中珍品．某研究院跟踪调查了一批石榴树的移栽成活情况，得到如图所示的统计图，由此可估计这批石榴树移栽成活的概率约为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·期中）某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如表： 射击次数 100 200 300 400 500 800 1000 “射中九环以上”的次数 82 176 267 364 450 720 900 “射中九环以上”的频率 0.82 0.88 0.89 0.91 0.90 0.90 0.90 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率是（   ） A．0.82 B．0.88 C．0.89 D．0.90 考点讲练七 用频率估计概率的综合应用 【典例精讲】（24-25七年级下·福建宁德·期中）2月份，某工厂共生产了26000件工艺品，为了检测该产品的合格率，工厂质检员对产品进行抽检，统计合格的件数，得到如下表格： 抽取件数（件） 50 100 200 300 500 1000 合格频数 48 99 194 m 490 980 合格频率 0.96 0.99 0.97 0.98 0.98 n (1)表格中m的值为______，n的值为______； (2)估计随机抽取一件该产品是不合格品的概率； (3)若该工厂每生产一件不合格产品将损失20元，求2月份该工厂因不合格产品所造成的损失为多少元？ 【变式训练】（24-25七年级下·陕西榆林·期末）某植物研究院培育的新品植株的成活率约为，若在相同条件下培育50棵同种植株，则成活的植株约为（   ） A．45棵 B．5棵 C．20棵 D．40棵 考点讲练八 列举随机实验的所有可能结果 【典例精讲】（2024七年级·全国·竞赛）在一个不透明的盒子中有20个不同颜色的玻璃球，其中白色玻璃球有9个，黑色玻璃球有6个，红色玻璃球有5个．现从中任取10个玻璃球，使得其中白色玻璃球不少于2个但不多于8个，黑色玻璃球至多3个，红色玻璃球不少于2个，那么上述取法共有（    ） A．19种 B．18种 C．17种 D．16种 【变式训练】（2023·湖北孝感·三模）把10个苹果分给3个小朋友，要求每个小朋友都有苹果，且分得苹果的数量各不相同，一共有 种不同的分法． 考点讲练九 列举法求概率 【典例精讲】（2025·河北邯郸·一模）如图，是化学元素周期表中原子序数为1~5的元素，从中随机选取两种元素，则这两种元素恰好都是金属元素的概率为（   ）（注：锂和铍为金属元素） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·期中）在的中分别填上“”和“”，则该式能构成完全平方式的概率是（   ） A． B． C． D． 考点讲练十 根据概率公式计算概率 【典例精讲】（24-25七年级下·陕西汉中·期末）今年五一西安被冲上热搜成为全国旅游网红城市，小红和妈妈也准备去西安旅游．去之前她们收集了自己感兴趣的景点名片，这些名片除文字外其余均相同，出发前一天她们以抽签的形式决定去哪个景点，请根据下列问题求出相应的概率． 市内景区：大雁塔、大唐芙蓉园、钟楼、明长城、曲江极地公园． 市外景区：秦岭野生动物园、朱雀国家森林公园、秦始皇兵马俑． (1)抽到去“大唐芙蓉园”的概率； (2)抽到去市内景区的概率； (3)抽到去公园的概率； 【变式训练】（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，现有一个转盘被平均分成六等份，分别标有1，2，3，4，5，6这六个数字，转动转盘，当转盘停止后，指针所指区域的数字即为转出的数字（若指针落在分割线上，则重新转动转盘，直到指针指向标有数字的区域为止）． (1)转出的数字为8是__________（填“不确定事件”“必然事件”或“不可能事件”）． (2)转动转盘，转出的数字不大于2的概率是多少？ 考点讲练十一 根据概率作判断 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·课后作业）一个不透明的箱子中放有红、黄、黑三种颜色的小球，这些小球除颜色外都相同．三个人先后去摸球，一人摸一次，一次摸出1个小球，摸出后放回，摸出黑色小球的人赢（可以所有人都赢）．这个游戏是（   ） A．对所有人都公平 B．先摸者赢的可能性大 C．后摸者赢的可能性大 D．无法判断是否公平 【变式训练】（24-25七年级下·陕西西安·期中）在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球．其中红球4个，白球6个，黑球5个． (1)求任意摸出一个球是黑球的概率； (2)要使摸到红球和白球的概率相等，白球的个数不变，红球需要增加几个？ 考点讲练十二 已知概率求数量 【典例精讲】（24-25七年级下·四川成都·期末）一个不透明的袋子中有红球、白球共30个，这些球除颜色外都相同．将袋子中的球搅拌均匀，从中随意摸出1个球，记下它的颜色后放回袋中．不断重复这个过程，共摸了100次球，其中有40次摸到红球，由此可以估计袋子中红球的个数约为（    ） A．8 B．12 C．15 D．18 【变式训练】（24-25七年级下·河北保定·期末）在一个不透明袋子中装有颜色不同的黑、白两种球共40个球，嘉嘉做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．如图是“摸到白球”的频率折线统计图． (1)根据统计图，估算盒子里黑、白两种颜色的球各多少个？ (2)如果要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？ 考点讲练十三 游戏的公平性 【典例精讲】（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，一个均匀的转盘被平均分成12等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12这12个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字． (1)P（转出的数字是4的倍数）______；P（转出的数字不是4的倍数）______． (2)两人参与游戏：一人转动转盘，另一人猜数，若所猜数字与转出的数字相符，则猜数的人获胜，否则转动转盘的人获胜． ①猜“是奇数”或“是偶数”； ②猜“是大于8的数”或“不是大于8的数”．如果轮到你猜数，那么为了尽可能获胜，你将选择哪一种猜数方法？怎样猜？请说明理由． 【变式训练】（24-25七年级下·河北保定·期末）小明和哥哥都很想去看足球比赛，爸爸只买到了一张门票，最后商定通过转盘游戏决定去观看比赛．游戏规则是：转动如图1所示的转盘，转盘停止后，若转盘指针指向红色小明去；若转盘指针指向蓝色或黄色，哥哥去；如果指针恰好指向白色或指向分割线，重新转动． (1)求小明去观看足球比赛的概率； (2)你认为这个游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计出一种公的游戏规则； (3)请你利用图2所示转盘，设计一个转盘游戏，使得小明去的概率为，并简要说明游戏规则． 考点讲练十四 几何概率 【典例精讲】（24-25七年级下·山东威海·期末）如图，小明向由8个完全相同的小正方形组成的靶盘中随意投一枚飞镖，则飞镖落在阴影部分的概率是 ． 【变式训练】（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在正方形中，取四条边的中点E，F，G，H，并依次连接形成四边形．若随机向正方形内投掷一枚小针，则针尖落在四边形内的概率为 ． 考点讲练十五 概率的其他应用 【典例精讲】（24-25七年级下·北京房山·期末）现有1，2，3，…，9九个数字，甲、乙轮流从中选出一个数字，从左至右依次填入下图所示的表格中（表中已出现的数字不再重复使用），每次填数时，甲会选择填入后使表中现有数据平均数最大的数字，乙会选择填入后使表中现有数据中位数最小的数字．如图，若表中第一个数字是4，甲先填，则满足条件的填法有 种，请你在表中空白处填出一种符合要求的填数结果． 4 【变式训练】（24-25七年级下·黑龙江大庆·期末）某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，并规定：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转动停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域，那么顾客就可以分别获得100元、50元、20元的购物券，凭购物券可以在该商场继续购物．如果顾客不愿意转转盘，那么可以直接获得购物券15元．转转盘和直接获得购物券，你认为哪种方式更合算？ 【真题演练1】（2024·全国·中考真题）下列说法正确的是（   ） A．“抛出的铅球会下落”是随机事件 B．“随机翻开一本日历，这一天正好是星期六”是必然事件 C．从一副扑克牌中任意抽取一张，它的花色为红桃的可能性大于花色为方块的可能性 D．任意买一张电影票，座位号是的倍数的可能性大于座位号是的倍数的可能性 【真题演练2】（2024·安徽芜湖·中考真题）从1，2，3，4这4个数中一次随机地取2个数，则所取的2个数之和大于5的概率是（   ） A． B． C． D． 【真题演练3】（2024·山东青岛·中考真题）综合实践课上，同学们利用一个口袋和6个除颜色外完全相同的球设计摸球游戏．若想使得摸到一个球是红球的概率是，则口袋中应放入 个红球． 【真题演练4】（2024·广东佛山·中考真题）如图，转盘中的各个扇形面积相等，任意转动转盘1次，指针落在阴影区域的概率是 ． 【真题演练5】（2024·安徽宿州·中考真题）2025年3月1日是中国民间传统节日“龙抬头”，这一天寓意着万物复苏、生机勃发．在这个特殊的日子，“学好中国字 做好中国人”文化行动研讨会在吴东魁艺术馆隆重举行．如图，一个转盘被平均分成10等份，分别标有“学”“好”“中”“国”“字”“做”“好”“中”“国”“人”这10个汉字，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的汉字即为转出的汉字． (1)转动转盘，当转盘停止时，指针指向“国”的概率是________，指针指向汉字的笔画数是奇数的概率是________； (2)小明和小华利用该转盘做游戏，当转出的汉字笔画多于6画时小明获胜，否则小华获胜．请你判断这个游戏是否公平？并说明理由． 【基础夯实 能力提升】 1．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）某商场为促销商品进行了抽奖，通过后台的数据显示转盘指针落在“10元优惠券”区域的统计数据如下表： 转动转盘的次数 200 600 1000 1600 2000 落在“10元优惠券”区域的次数 64 186 300 479 602 落在“10元优惠券”区域的频率 0.320 0.310 0.300 0.299 0.301 估计随机转动转盘一次，得到“10元优惠券”的概率为（） A．0.28 B．0.30 C．0.32 D．0.33 2．（24-25七年级下·四川达州·期末）下列所描述的事件中，属于不可能事件的是（   ） A．2025年是平年 B．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 C．投掷一枚六个面点数分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子，朝上面的点数为6 D．从只装有白球的袋中，摸出一个红球 3．（24-25七年级下·陕西榆林·期末）如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖，（每次飞镖均落在游戏板上），则击中阴影区域的概率是 ． 3. （24-25七年级下·福建漳州·期末）2025年是蛇年，现将背面完全一样，正面分别写有“巳”、“巳”、“如”、“意”的四张卡片，洗匀后背面朝上放在桌面上，同时抽取两张，则抽取的两张卡片上的文字恰好能组成“如意”的概率是 ． 5．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）一个不透明的口袋中装有个白球和个红球，这些球除颜色外完全相同，充分摇匀后随机摸出一球，发现是白球． (1)如果将这个白球放回，摇匀后再摸出一球是白球的概率是多少？ (2)如果将这个白球不放回，再加入个红球，将口袋摇匀后，摸出一球是白球的概率是多少？ 【创新拓展 拔尖冲刺】 1．（24-25七年级下·广东梅州·月考）甲布袋装有 6 个红球和 4 个白球，随机从甲袋中摸出一个球，摸出红球的概率是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·湖北孝感·期末）下列事件中是必然事件的是（    ） A．抛掷一枚均匀的硬币100次，正面朝上的次数为50次 B．367个同学参加一个集会，他们中至少有两个同学的生日是同月同日 C．任意一个五边形的外角和等于 D．正月十五打雪灯 3．（24-25七年级下·四川德阳·期末）如图所示，在圆形转盘中，，拨动指针，指针指向区域a的概率为，在矩形转盘中，，，拨动指针，指针指向区域的概率为，则 ． 4．（24-25七年级下·重庆·月考）3月14日是国际数学节，某学校在今年国际数学节策划了“竞速华容道”、“玩转幻方”、“益智九连环”和“巧解鲁班锁”四个挑战活动，如果小芳和小圆每人随机选择参加其中一个活动，则她们恰好选到同一个活动的概率是 ． 5．（2024·海南三亚·一模）为庆祝中国共青团成立100周年，某校开展四项活动：A项参观学习，B项团史宣讲，C项经典诵读，D项文学创作，要求每名学生在规定时间内必须且只能参加其中一项活动，该校从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们参加活动的意向，将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图． (1)本次调查采用的调查方式是______（填写“普查”或“抽样调查”）； (2)B项活动所在扇形的圆心角的大小是______；条形统计图中C项活动的人数是______； (3)已知选择A项的32名学生中有20名男生和12名女生．若从这32名学生中随机抽取1名学生座谈，且每名学生被抽到的可能性相同，则恰好抽到男生的概率是多少？ (4)若该校约有2000名学生，请估计其中意向参加“参观学习”活动的人数为多少？ 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $