专题3.3 等可能事件的概率重难点题型专训（1个知识点+10大题型+2大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（北师大版）

专题3.3 等可能事件的概率重难点题型专训 （1个知识点+10大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 列举随机试验所有可能结果 题型二 判断试验所得结果是否等可能的 题型三 列举法求概率 题型四 根据概率公式计算概率 题型五 根据概率作判断 题型六 已知概率求数量 题型七 游戏公平性 题型八 几何概率 题型九 概率在转盘抽奖中的应用 题型十 概率的其他应用 拓展训练一 概率计算综合题 拓展训练二 概率在游戏与生活中的应用 知识点一：概率的定义及计算公式 1. 概率的定义 一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记为P(A)． 2. 概率的计算公式 一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P(A)＝． 3. 概率的取值 （1）当事件A是必然事件时，P(A)＝1； （2）当事件A是不可能事件时，P(A)＝0； （3）当事件A是随机事件时，P(A)满足0＜P(A)＜1． 【即时训练】 1．（2026七年级下·北京西城·专题练习）从本语文教材、本数学教材、本英语教材中随机取出一本书，若选取每本教材的可能性相等，选取的书不是数学教材的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出所有教材的总数量，再求出不是数学教材的数量，根据概率公式计算结果即可． 【详解】解：总教材数量为本，其中不是数学教材的数量为本， 选取的书不是数学教材的概率为． 2．（25-26七年级下·河南濮阳·专项练习）将事件“从装有个红球、个白球的口袋中随机取出一个球，该球恰好为红球（这些球除颜色外完全相同）”发生的概率标注在下图正确位置的是_____（填写对应的字母）． 【答案】D 【分析】本题考查了简单事件的概率，关键是熟练应用知识点解题；根据概率公式进行计算即可． 【详解】解：∵一共有个球，其中有个红球， ∴从中任意取一个球是红球的概率为 ， ∴应该标在处． 故答案为：D ． 【经典例题一 列举随机试验所有可能结果】 【例1】（2022·七年级下 福建厦门）某种型号的变速自行车的主动轴上有三个齿轮，齿数分别是，，；后轴上有四个齿轮，齿数分别是，，，，则这种变速车共有多少档不同的车速（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据求得齿轮数的比值，比值等于1，则车速相等，进而即可求解． 【详解】解：∵主动轴上有三个齿轮，齿数分别是48，36，24； ∴主动轴上可以有3个变速， ∵后轴上有四个齿轮，齿数分别是36，24，16，12， ∴后轴上可以有4个变速， ∵变速比为2，1.5，1，3的有两组， 又∵前后齿轮数之比如果一致，则速度会相等， ∴共有3×4-4=8种变速， 故选：B． 【点睛】本题考查了列举法求可能性，解决本题的关键是找到两次实验中每次可能出现的结果次数． 【例2】（2025·七年级下 贵州遵义）在一次数学活动课上，李老师带学生做一个数学游戏，伸出右手，张开5指，然后任意弯曲两指，问同学们一共有多少种弯曲方式？同学们通过讨论，得出共有10种弯曲方式．接下来，李老师又说，伸出左手，握成拳头，然后任意张开三指，请问一共有________种张开方式． 【答案】10 【分析】此题考查了列举法求可能的情况，设5指分别为1，2，3，4，5，根据题意列举出所有可能得情况即可求解． 【详解】解：设5指分别为1，2，3，4，5 根据题意得，可能的情况有： ①1，2，3；②1，2，4；③1，2，5；④1，3，4；⑤1，3，5；⑥1，4，5； ⑦2，3，4；⑧2，3，5；⑨2，4，5；⑩3，4，5． ∴一共有10种张开方式． 故答案为：10． 1．（25-26七年级下·福建厦门·月考）飞行棋是一种玩法简单的竞技游戏，玩家投掷一个骰子得到正面朝上的点数，确定前进的步数，刚好走到终点则胜利；若所得点数超过到达终点所需的步数则需要往回走所超点数的步数．如图所示，在一次飞行棋游戏的最后阶段，如果小明投掷骰子的次数不超过两次就能刚好到达终点，则到达终点的方式有（   ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 【答案】C 【分析】根据题意列举即可． 【详解】解：根据题意，投掷一次6点， 投掷两次，， 综上共6种． 2．（24-25七年级下·江苏苏州·自主招生）众所周知，八纲辩证是我国中医诊断学基础，八纲分别为阴阳、表里、寒热、虚实，每纲对应病症不同，则共有多少种病症．（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查事件发生可能性的数量，解题的关键是根据八纲的意义可知每纲为二元对立且每纲独立，利用乘法即可得出病症的种类． 【详解】解：∵八纲分别为阴阳、表里、寒热、虚实，即每组包含两种对立状态， ∴每纲有种可能， ∴病症的种类共有：（种）， 即共有种病症． 故选：B． 3．（2025·七年级下 北京）某企业研发并生产了一种新设备，计划分配给A，B，C，D四家经销商销售．当一家经销商将分配到的n台设备全部售出后，企业从该经销商处获得的利润（单位：万元）与n的对应关系如下： … A 40 60 B 30 55 75 90 100 105 C 20 40 60 70 80 90 … D 14 38 62 86 110 134 … （1）如果企业将5台设备分配给这四家经销商销售，且每家经销商至少分配到1台设备，为使5台设备都售出后企业获得的总利润最大，应向经销商_______分配2台设备（填“A”“B”“C”或“D”）； （2）如果企业将6台设备分配给这四家经销商中的一家或多家销售，那么6台设备都售出后，企业可获得的总利润的最大值为_______万元． 【答案】 【分析】本题考查列举等可能的结果，根据表格列举出增长量的变化是解题关键． （1）分别计算各经销商销售完第2台比第1台的利润的增长量，比较即可得答案； （2）分别求出一家分配时、四家分配时、三家分配时、两家分配时的最大利润，比较即可得答案． 【详解】解：（1）当时， 经销商的利润为，比时增加（万元）， 经销商的利润为，比时增加（万元）， 经销商的利润为，比时增加（万元）， 经销商的利润为，比时增加（万元）， ∵， ∴应向经销商分配2台设备． （2）当给这四家经销商中的一家分配时，最大利润为经销商的万元， 当分配给多家销售时： 当分配四家时，最大利润为（万元）， 当分配给三家时，最大利润为（万元）， 当分配给两家时，最大利润为（万元）或（万元）， 综上所述：企业可获得的总利润的最大值为万元． 故答案为：， 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）求解下列问题： （1）在1～10这10个自然数中，每次取两个数，使得所取两数之和大于10，共有多少种取法？ （2）在1～100这100个自然数中，每次取两个数，使得所取两数之和大于100，共有多少种取法？ （3）你还能提出什么问题？ （4）各边长度都是整数、最大边长为11的三角形有多少个？本题与上述哪个问题有联系？它们的区别是什么？ 【答案】（1）；（2）；（3）见解析；（4）36，见解析 【分析】（1）仔细分析题意，可先取出一个数，根据取出的这个数来确定另一个数的可能取值，取第一个数为10，则第二个数可以为1，2,……，9,同理第一个数取9，可以发现若第一个数为10，则可能的取法有9种，若第一个数取9，则可能的取法有7种，若第一个数取8，可能的取法有5种，……，将所有类别的取法相加，即可求得结果； （2）利用类似于（1）的方法进行分析即可解答； （3）提一个类似于（1）（2）的问题即可； （4）结合（1）、（2）的方法，注意要考虑两边相等的情况 【详解】（1）根据题意每次取的两个数之和大于10，可能取法为： 10+1、10+2、10+3、…10+9，共9种 9+2、 9+3、 9+4、 …9+8，共7种 8+3、8+4、8+5、8+6、8+7，共5种 7+4、7+5、7+6，共3种 6+5，共1种 所以可能的取法共有9+7+5+3+1=（种） （2）同理可得可能的取法的种数为=2500（种） （3）（答案不唯一）在1到21这21个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于21，有多少种不同的取法？ （4）根据题意得：①每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于11，有10+8+6+4+2=30种不同的取法； ②若另两个数相同，则6+6，7+7，…，11+11，共6种不同的取法；所以各边长都是整数，最大边长为11的三角形有：30+6=36（个）． 它与上述两个问题都类似，区别这个问题要考虑两个数相同时的情况． 【点睛】此题考查分类加法计数原理的运用.分类加法计数原理：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有m1+m2+……+mn种不同的方法.注意分类后，寻找规律，避免大量运算，其次注意分类讨论要不重不漏． 【经典例题二 判断试验结果是否等可能】 【例1】（23-24七年级下·山东济南·专项练习）下列说法正确的是（    ） A．天气预报说章丘区明天降水概率非常大，则明天章丘区会下雨是必然事件 B．某彩票中奖率为5%，小明买了4张这种彩票，前3张都没有中奖，则最后一张中奖的概率仍为5% C．任意抛掷一枚图钉10次，针尖全都向上，则抛掷一枚图钉针尖向上为必然事件 D．射击运动员射击一次只有2种可能的结果：中靶或脱靶，所以他中靶的概率为 【答案】B 【分析】根据概率和事件的分类进行逐项分析即可． 【详解】解：A、天气预报说章丘区明天降水概率非常大，则明天章丘区会下雨是随机事件，只是可能性较大，非必然事件，原说法错误，不符合题意； B、某彩票中奖率为5%，即为每张彩票的中奖率均为5%，则最后一张中奖的概率仍为5%，原说法正确，符合题意； C、任意抛掷一枚图钉10次，不能代表全部情况，则抛掷一枚图钉针尖向上不是必然事件，原说法错误，不符合题意； D、射击运动员射击一次只有2种可能的结果：中靶或脱靶，但是这两种情况不是等可能的情况，所以中靶的概率不为，原说法错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查概率的定义，等可能情况的理解，事件的分类等，理解基本定义是解题关键． 【例2】（23-24七年级下·河北衡水·期中）在一次数学活动课上，某数学老师将1~10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下），他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：7；乙：12；丙：17；丁：3；戊：16根据以上信息，下列判断正确的是（    ） A．戊同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7 B．丙同学手里拿的两张卡片上的数字是9和8 C．乙同学手里拿的两张卡片上的数字是4和8 D．甲同学手里拿的两张卡片上的数字是2和5 【答案】B 【分析】正确的推理判断即可求解． 【详解】解：因为丁同学手里拿的两张卡片上的数字之和是3，所以丁拿的卡片只能是1和2，则甲同学手里拿的就只能是3和4． 如果戊同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7， 则乙同学拿的就是6和6，因为不能重复，所以A是错误的； 如果丙同学拿的是9和8，则乙同学拿的是5和7，戊同学拿的就是10和6，符合数学的演绎推理，是正确的． 根据数学选择题的四选一原则，就选B． 故选：B． 【点睛】本题考查数学演绎推理，结合数学知识，进行正确的演绎推理是解决本题的关键 1．（25-26七年级下·山东德州·期中）下列随机事件属于“等可能性事件”的是（   ） A．交通信号灯出现红色、绿色、黄色 B．掷一枚图钉，落地后钉尖“朝上”或“朝下” C．小明用随机抽签的方式选择、、三种答案，分别选中、、 D．小亮在沿着“直角三角形”的小路散步，他出现在各边上 【答案】C 【分析】本题主要考查了等可能性事件， 等可能性事件需每个结果概率相等，再逐项判断即可． 【详解】解：∵交通信号灯红、绿、黄灯时间通常不相等， ∴概率不相等，A不是等可能性事件； ∵图钉结构不对称，钉尖朝上和朝下概率不相等， ∴B不是等可能性事件； ∵随机抽签方式选择A、B、C，每个被选中的概率均为， ∴C是等可能性事件； ∵直角三角形三边长度可能不相等，出现在各边上的概率不相等， ∴D不是等可能性事件． 故选：C． 2．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）小梅随机选择在下周一至周五的某一天去打新冠疫苗，则她选择在周二去打疫苗的概率为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意中从下周一至周五的某一天去打新冠疫苗，共有5种情况，且每种情况的可能性相同，即可得出选择周二打疫苗的概率． 【详解】解：小梅选择周一到周五共有5种情况，且每种情况的可能性相同，均为， ∴选择周二打疫苗的概率为：， 故选：B． 【点睛】题目主要考查简单概率的计算，理解题意是解题关键． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）将一枚图钉抛起，落地后会出现“钉尖朝上”和“钉帽朝上”两种情况．有人认为这两种情况是等可能的，因此“钉尖朝上”的概率是．请判断该观点是否正确，并说明理由． 【答案】不正确，理由见解析 【分析】本题主要考查概率的意义，判断实验所得结果是不是等可能的，熟练掌握以上知识点是做题的关键．根据概率的意义及判断“钉尖朝上”和“钉帽朝上”所得结果不是等可能的进行解答即可． 【详解】解：该观点不正确，理由如下： 因为图钉的构造不是对称的，其重心偏向一侧，所以落地时“钉尖朝上”和“钉帽朝上”两种结果发生的可能性不相等，因此“钉尖朝上”的概率不是，故该观点不正确． 4．（2024·七年级下 福建福州）一个不透明的袋中有个球，分别标有，，，，这五个号码，这些球除号码外都相同，搅匀后任意摸出一个球． (1)会出现哪些可能的结果？ (2)每个结果出现的可能性相同吗？猜猜它们的概率分别是多少？ 【答案】(1)摸到号球或号球或号球或号球或号球 (2)可能性相同，它们的概率分别是 【分析】本题主要考查了列举随机实验的所有可能结果，判断实验所得结果是否是等可能的，判断事件的概率等知识点，深刻理解随机事件的概念是解题的关键． （1）列举出所有可能的结果即可； （2）判断每个结果出现的可能性是否相同，并估计它们的概率分别是多少． 【详解】（1）解：搅匀后任意摸出一个球，可能的结果有种：摸到号球或号球或号球或号球或号球； 答：会出现的可能结果有：摸到号球或号球或号球或号球或号球； （2）解：∵这些球除号码外都相同，搅匀后任意摸出一个球， ∴每个结果出现的可能性相同，它们的概率分别是， 答：每个结果出现的可能性相同，它们的概率分别是． 【经典例题三 列举法求概率】 【例1】（2026·七年级下 安徽阜阳）酱香拿铁咖啡为了促进消费，在一箱6瓶的酱香拿铁咖啡中设置2瓶有奖，在该瓶的瓶盖内印有“奖”字，明明买了一箱，连续打开2瓶均未能中奖，如果在剩下的咖啡中任意拿出2瓶，那么他拿出的2瓶都中奖的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查等可能事件的概率计算，先确定剩余咖啡的总数和其中有奖咖啡的数量，再列举出所有等可能的结果，找出符合要求的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】解：∵一箱共6瓶咖啡，原本有2瓶有奖，明明连续打开2瓶均未中奖， ∴剩余咖啡数量为瓶，剩余咖啡中有奖咖啡仍为2瓶，未中奖咖啡为2瓶， 将剩余4瓶编号：有奖两瓶记为、，未中奖两瓶记为、， 从4瓶中任意拿2瓶，所有等可能的情况有：，，，，，，共6种， 其中2瓶都中奖的情况只有这1种， ∴所求概率为， 故选：D． 【例2】（2026·七年级下 安徽铜陵）某校文学社开展了关于中国古代四大名著的专题阅读活动，小轩同学通过抽签的方式从这四部名著中随机抽取两部进行深度研读，则他抽取的两部名著恰好是《西游记》和《红楼梦》的概率是______． 【答案】 【分析】本题考查用列举法求概率，先确定所有等可能的抽取结果总数，再找出所求事件包含的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】解：将四部名著分别记为A：《西游记》，B：《红楼梦》，C，D， 所有等可能的结果为：，共6种等可能的结果， 其中抽取的两部恰好是《西游记》和《红楼梦》的结果有1种， ∴所求概率为． 1．（23-24七年级下·浙江绍兴·自主招生）第届亚运会将于年9月在中国杭州举行．近期，组委会将组织名测试员对个不同场馆的运行状态进行测试，现要求每名测试员都参与测试且只测试一个场馆，每个场馆至少安排一名测试员，问共有多少种不同的安排方案（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查列举法解决问题；分类加法计数原理：将所有安排方案按 “哪个场馆分人”分为类(甲场馆、乙 场馆、丙场馆)，最后将每类的方案数相加，得到总方案数，这是对该原理的直接应用；分步乘法计数原理：在每一类情况中 (如甲场馆分人)，先选人去该场 馆，再分剩下的人到另外两个场馆，两步方法数相乘得到该类总方案数，体现分步计算的逻辑；有序列举与逻辑分类能力：需要明确“不同场馆”和“人员分组”的区别，按固定标准(指定分人的场馆)有序列举所有可能，避免重复或遗漏，考察逻辑严谨性． 【详解】解：假设名测试员叫，个不同 场馆为甲、乙、丙(需先明确：有个场馆分人，另外个场馆各分人)，分类情况列举； 甲场馆分人，乙、丙各分人 ·甲选：乙→、丙→；乙→、丙→ (种) ； 甲选：乙→、丙→；乙→、丙→ (种) ；甲选：乙→、丙→；乙→、丙→(种) ；甲选：乙→、丙→；乙→、丙→ (种) ；甲选：乙→、丙→；乙→、丙→ (种) ；甲选：乙→、丙→；乙→、丙→ (种) 本情况共：组种种； 同理可得：乙场馆分人，本情况共：组种种； 丙场馆分人，本情况共：组种种； 类情况相加：种， 即共有种不同安排方案． 故选：B． 2．（2024七年级下·全国）有一个掷骰子的游戏，第一个人将一颗骰子抛掷一次，第二个人将一颗骰子抛掷2次，第三个人将一颗骰子抛掷3次……第个人将一颗骰子抛掷次，记表示“第个人次抛掷骰子时朝上的面上的点数之和大于”．现有下列结论：①是必然事件；②发生的概率为；③可能发生；④发生的概率大于0．其中正确结论的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查概率的应用，抛掷骰子时，骰子朝上的面上的点数可能为1，2，3，4，5，6中的任何一个，由此判断第n个人次抛掷骰子时朝上的面上的点数之和与的大小关系，即可求解．注意列举法的应用是解题的关键． 【详解】解：第一个人将一颗骰子抛掷一次，骰子朝上的面上的点数大于或等于1，因而一定大于，可知是必然事件，故①正确； 第二个人将一颗骰子抛掷2次，抛掷结果有种，每种结果出现的可能性相等，36种结果中，两次得到的点数之和小于的情况有1种，即，大于的情况有35种，因而发生的概率为，故②正确； 第四个人将一颗骰子抛掷4次，4次得到的点数之和可能为，，因而可能发生，故③正确； 第五个人将一颗骰子抛掷5次，5次得到的点数之和最大为，，因而发生的概率为0，故④错误； 综上可知，正确的有①②③，共3个， 故选B． 3．（25-26七年级下·江西景德镇·期中）物理老师在复习《物质的形态及其变化》这一章内容时，将写有“汽化”“液化”“熔化”“升华”字样的卡片背面朝上吸附在黑板上（背面完全一样），小明和小颖先后抽取一张卡片（不放回），则抽到的卡片内容对应的物态变化过程都是要吸热的概率是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了列举法和概率公式，熟练掌握列举法是解题的关键．首先确定吸热的物态变化过程为汽化、熔化和升华，共3张卡片，放热的为液化，1张卡片；再列举小明和小颖先后抽取不放回时，两人抽到卡片的所有情况，利用概率公式计算即可； 【详解】解：总共有4张卡片，小明先抽一张，小颖再抽一张，不放回，因此总共有种可能的结果：汽化和熔化，汽化和升华，汽化和液化，熔化和汽化，熔化和升华，熔化和液化，升华和汽化，升华和熔化，升华和液化，液化和汽化，液化和熔化，液化和升华； ∵吸热的物态变化过程有汽化、熔化和升华，共3张卡片， ∴两人都抽到吸热卡片的情况有种， ∴两人都抽到吸热卡片的概率为． 故答案为：． 4．（2024·七年级下 江苏南京）现有五种纯净物，分别为：，根据化学知识，依据金属活动性的不同，部分金属单质不能与反应．（金属活动性顺序表：钾 钙 钠 镁 铝 锌 铁 锡 铅 （氢） 铜 汞 银 铂 金） (1)任意选出两种纯净物，其中有的概率为多少？ (2)任意选出三种纯净物，能发生反应的概率为__________． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了运用列举法求概率，正确进行列举是解题的关键． （1）先分别列举出两种纯净物的所有可能情况数以及含铁的情况数，然后运用概况公式求解即可； （2）先分别列举出三种纯净物的所有可能情况数以及能发生化学反应的情况数，然后运用概况公式求解即可． 【详解】（1）解：列举如下：共8种等可能结果，其中含铁的有4种，则其中有的概率为为． （2）解：列举如下：共10种等可能结果，其中含铁的有5种，则其中有的概率为为． 【经典例题四 概率公式计算概率】 【例1】（25-26七年级下·河南鹤壁·月考）河南地处中原，物产丰饶，许多特产闻名全国，灵宝苹果、新郑红枣、信阳毛尖、焦作山药，就是其中的优秀代表．小明同学参加学校“我为家乡代言”活动，打算从以上四种特产中选择两种拍摄宣传短片．若将这四种特产的名字分别写在四张完全相同的卡片上（每张卡片只写一种特产），洗匀后背面朝上放在桌面上，随机抽取两张卡片，则恰好抽到写着灵宝苹果和信阳毛尖的卡片的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题为概率计算题，使用列举法即可求解，先找出所有等可能的抽取结果，再确定符合要求的结果数，代入概率公式计算即可得到答案． 【详解】解：将四种特产依次标记为 ：灵宝苹果，新郑红枣，信阳毛尖，焦作山药， 随机抽取两张卡片，所有等可能的结果为：，，，，，，共 种， ∵ 恰好抽到灵宝苹果和信阳毛尖的结果只有 种， ∴ 所求概率 ． 故选：C． 【例2】（2026·七年级下 安徽阜阳）某生态农场里有番茄苗（生长周期天）、黄瓜苗（生长周期天）、辣椒苗（生长周期天）、茄子苗（生长周期天）四种菜苗．农民想选两种菜苗搭配种植，生长周期总和为天的组合更利于轮作，随机选两种菜苗，生长周期和刚好为天的概率为________． 【答案】 【分析】先确定从四种菜苗中随机选两种的所有等可能结果数，再找出生长周期和为天的结果数，利用概率公式计算即可得到结果. 【详解】解：将四种菜苗的生长周期分别记为，，，， 从四种菜苗中随机选两种，所有等可能的组合为： ，，，，，， 共有种等可能的结果. 其中生长周期和刚好为天的组合为，，共种符合条件的结果. 根据概率公式可得： . 1．（25-26七年级下·湖南衡阳·自主招生）“珠算”一词最早见于东汉徐岳所撰的《数术记遗》．其中有云：“珠算控带四时，经纬三才．”用如图所示的算盘表示数时，约定每档中有两粒算珠（上珠中最上面一粒和下珠中最下面一粒）不使用．如果一个数在算盘上能够用个位、十位和百位这三档中的2粒算珠表示，则这个数能够被5整除的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意列举出所有可能表示的数，再找到能被5整除的数，最后根据概率公式求解即可． 【详解】解：由题意得，所有可能的情况有： 十位、个位组合：， 百位、个位组合：， 百位、十位组合：， ∴一共可以表示个数，其中能被整除的数（个位为或）有：，共个， ∴这个数能够被5整除的概率是． 2．（25-26七年级下·四川达州·期中）某商场迎新促销活动，设置了一个转盘，转盘平均分成五部分．规定购买物品金额每超过200元就可以抽一次奖．当转盘停在红色区域则可以获得奖品．小明购买 405元的物品，他获得奖品的概率 P（获得奖品）（ ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查列表法与树状图法、概率公式等知识点，根据题意列表得出所有等可能结果以及满足题意的结果数是解题的关键． 将5个扇形分别记作A、B、C、D、E，其中红色区域分别记作A、B，列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：将5个扇形分别记作A、B、C、D、E，其中红色区域分别记作A、B，列表如下： A B C D E A （A，A） （B，A） （C，A） （D，A） （E，A） B （A，B） （B，B） （C，B） （D，B） （E，B） C （A，C） （B，C） （C，C） （D，C） （E，C） D （A，D） （B，D） （C，D） （D，D） （E，D） E （A，E） （B，E） （C，E） （D，E） （E，E） 由表知，共有25种等可能结果，其中他获得奖品的有16种结果， 所以他获得奖品的概率为． 故选：C． 3．（25-26七年级下·四川成都·月考）小航和小珂玩猜数字游戏时，把小航猜的数字记为x，小珂猜的数字记为y，且x，y是，1，2，4四个数其中的某一个，若在平面直角坐标系中，点恰好落在直线上，则称小航和小珂“心有灵犀”，则小航和小珂“心有灵犀”的概率为______． 【答案】 【分析】本题考查概率．通过列举所有可能的点，并检查哪些点满足直线方程，从而确定符合条件的情况数，再计算概率． 【详解】解：由题意，和均从集合中取值，因此所有可能的点共有种情况． 点在直线上，需满足． 分别代入的值计算： 当时，，但6不在集合中，不符合； 当时，，4在集合中，符合； 当时，，3不在集合中，不符合； 当时，，1在集合中，符合． 因此，符合条件的点有和，共2种情况． ∴概率为． 故答案为：． 4．（25-26七年级下·河南安阳·月考）有甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有2个黄球和6个红球，乙口袋中装有4个黄球和12个红球，每个口袋中的小球除颜色外完全相同，现分别从两个口袋中摸出1个球． 小明说：“因为乙口袋中黄球比甲口袋中黄球多，所以从乙口袋中摸到黄球的概率大于从甲口袋中摸到黄球的概率．” 小丽说：“因为甲口袋中红球比黄球多4个，乙口袋中红球比黄球多8个，所以从甲口袋中摸到黄球的概率大于从乙口袋中摸到黄球的概率．” 你认为谁的说法正确，说明理由． 【答案】小明和小丽的说法都是错误的，理由见解析 【分析】根据古典概型概率公式：，分别求出从甲、乙口袋中摸到黄球的概率，比较所求概率的大小后判断说法的正误即可． 【详解】解：∵甲口袋中装有2个黄球和6个红球， ∴P（甲口袋中摸到黄球）， ∵乙口袋中装有4个黄球和12个红球， ∴P（乙口袋中摸到黄球）， ∵， ∴从甲口袋中摸到黄球的概率等于从乙口袋中摸到黄球的概率， 故小明和小丽的说法都是错误的． 【经典例题五 根据概率作判断】 【例1】（25-26七年级下·全国·课后作业）某班共有学生36人，其中男生20人，女生16人，今从中选一名班长，任何人都有同样的当选机会，下列叙述正确的是（    ） A．男生当选与女生当选的可能性相等 B．男生当选的可能性大于女生当选的可能性 C．男生当选的可能性小于女生当选的可能性 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据简单的概率公式解题． 【详解】男生当选的可能性为，女生当选的可能性为， 男生当选的可能性大于女生当选的可能性， 故选：． 【点睛】本题考查简单的概率公式，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 【例2】（2026七年级下·广西·专题练习）抛掷一个质地均匀的正方体木块（6个面上分别标有1，2，3中的一个数字），若向上一面出现数字1的概率为，出现数字2的概率为，则该木块不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接由概率公式求解即可． 【详解】解：∵向上一面出现数字的概率为，出现数字的概率为， ∴个面中要有个面标有，有个面标有， ∴只能有个面标有， ∴该木块不可能是选项A． 故选：A． 【点睛】此题考查了概率公式以及概率的意义，概率所求情况数与总情况数之比．劳记概率公式是解题的关键． 1．（25-26七年级下·江苏苏州·月考）下列说法中正确的是（    ） A．抛掷质地均匀的硬币100次，必然有50次正面朝上 B．在不透明的口袋中装有1只红球、5只白球（除颜色外其余都相同）搅匀后从中任意摸出一个球，摸出的一定是白球 C．抛掷一枚质地均匀的骰子，朝上的点数为奇数与朝上的点数为偶数的概率相等 D．某种福利彩票中奖的概率是，买100张该种彩票一定能中奖 【答案】C 【分析】根据事件的类型及概率的意义找到正确选项即可． 【详解】A选项：不一定，属随机事件，不符合题意； B选项：不一定，摸出白球的概率为 ，不符合题意； C选项：朝上的点数为奇数与朝上的点数为偶数的概率相等，均为，符合题意； D选项：不一定，属随机事件，不符合题意． 2．（23-24七年级下·重庆渝中·专项练习）将个硬币分别单独放在桌面上，其中有个硬币反面朝上，其余硬币正面朝上．规定一次操作必须同时翻转4个不同的硬币，次操作的目标是使所有的硬币都正面朝上． ①如果，而，那么不能实现目标 ②如果，而，那么最小等于 ③如果且（为正整数），若，那么不能实现目标 以上判断正确的个数有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据题意，设正面朝上记为，反面朝上记为，根据其和的奇偶性，以及每次同时翻转个不同的硬币，每次不改变和的奇偶性，根据所有的硬币都正面朝上，其和的奇偶性进行判断即可求解． 【详解】解：①如果，而， 则, ∵一次操作必须同时翻转个不同的硬币， ∴每次都改变硬币的正反，不论怎么操作总有个硬币反面朝上或朝下， ∴不能实现目标；故①正确 ②如果，而， 设正面朝上记为，反面朝上记为， 则有个和个，其和为奇数， ∵一次操作必须同时翻转个不同的硬币， ∴每次操作改变个数，其和仍然为奇数， ∴不能实现目标； 故②不正确； ③如果且（为正整数），若， 同②可知，设正面朝上记为，反面朝上记为， 则有个和个，其和为，是奇数， ∵一次操作必须同时翻转个不同的硬币，次操作的目标是使所有的硬币都正面朝上． ∴每次操作改变个数，其和仍然为奇数，而目标的结果为偶数， ∴不能实现目标； 故③正确， 故选：C． 【点睛】本题考查了逻辑推理，概率，能够将问题转化是解题的关键． 3．（25-26七年级下·全国·周测）某农科所在相同条件下做某作物种子发芽率的试验，结果如下表所示： 种子粒数 200 300 500 700 800 900 1000 发芽种子粒数 187 282 435 624 718 814 901 种子发芽率 0.935 0.940 0.870 0.891 0.898 0.904 0.901 下面有四个说法： ①种子粒数是700时，发芽种子的粒数是624，所以种子发芽的概率是0.91； ②随着试验的种子数量的增加，发芽种子的频率在0.9附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计种子发芽的概率约为0.9； ③试验的种子粒数最多的那次试验得到的种子发芽的频率一定是该作物种子发芽的概率； ④若用频率估计种子发芽的概率约为0.9，则可以估计种子中大约有的种子不能发芽． 其中合理的是____________（填序号）． 【答案】②④ 【分析】本题考查了用频率估计概率的知识点，掌握大量重复试验中频率稳定值可估计概率是解题的关键． 根据频率与概率的关系，大量重复试验中频率稳定值可估计概率，但单次试验频率不一定等于概率． 【详解】解：①错误，当种子粒数为700时，发芽的频率为；且用频率估计概率需要大量重复试验，单次试验的结果具有偶然性，不能代表一般情况，故该说法错误，不符合题意； ②正确，因为随着试验种子数量的增加，发芽频率在0.9附近摆动，显示出稳定性，可估计概率约为0.9，符合题意； ③错误，频率与概率不一定相等，不符合题意； ④正确，用概率0.9估计，不能发芽的概率约为0.1，1000kg种子中不能发芽的种子约为100kg，符合题意． 故答案为：②④． 4．（24-25七年级下·广东佛山·专项练习）某商家“幸运抽奖”活动规则：参与者可从数字1-9中任选一个翻牌，有机会赢取礼品．牌的正、反面（部分）内容如图所示，其中为石湾公仔，为佛山剪纸，为盲公饼，为木版年画，为谢谢参与． (1)事件“随机翻一个牌，赢取礼品是木版年画”是什么事件？ (2)若“②奖牌反面”中出现的次数是的2倍，则（抽到）________； (3)请在“③奖牌反面”中重新设计奖牌反面的内容，须同时满足以下条件： *包含“”； *（抽到）（抽到）（抽到）（抽到）． 【答案】(1)随机事件； (2)； (3)详见解答． 【分析】本题考查概率公式，随机事件． （1）根据随机事件的定义进行判断即可； （2）根据题意得到“A出现2次，B出现1次”，再根据概率的定义进行计算即可； （3）根据“格子的总数”，包含“A、B、C、E”，且（抽到）（抽到）（抽到）（抽到）调查答案即可． 【详解】（1）解：事件“随机翻一个牌，赢取礼品是木版年画”是随机事件； （2）若“②奖牌反面”中A出现的次数是B的2倍，根据图②奖牌反面的分布情况可知，A出现2次，B出现1次， 所以P（抽到A） ， 故答案为：； （3）由于一共是9个格，包含“A、B、C、E”，且（抽到）（抽到）（抽到）（抽到）． 所以C和E各占一格，还剩7格，B占4格，A占3格即可．（答案不唯一） 【经典例题六 已知概率求数量】 【例1】（25-26七年级下·重庆·月考）一个不透明的盒子中装有20个除颜色不同外其他都相同的乒乓球，将其摇匀，从中随机摸出一个乒乓球并记录颜色，记录后放回．通过多次重复试验后发现摸到黄球的频率为，估计盒子中黄球的个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】多次重复试验中，频率稳定后可用来估计概率，再结合概率公式计算即可得到黄球的估计个数． 【详解】解：∵多次重复试验后摸到黄球的频率为， ∴估计摸到黄球的概率是， ∵盒子中总共有20个乒乓球， ∴估计盒子中黄球的个数为（个）． 【例2】（2022·七年级下 辽宁辽阳）在一个不透明的盒子中装有m张看上去无差别的卡片，其中两面均为蓝色的卡片只有4张．搅匀后，从盒子中任意抽出1张卡片检查并记录卡片的类型，再放回盒子中．通过大量重复抽取卡片实验，发现抽到两面均为蓝色卡片的频率稳定在0.2附近，则的值约为___________． 【答案】20 【分析】根据大量重复试验中频率的稳定值得到事件发生的概率，再结合概率公式列方程求解的值即可． 【详解】解：∵通过大量重复抽取卡片实验，抽到两面均为蓝色卡片的频率稳定在附近． ∴估计抽到两面均为蓝色卡片的概率为， 由题意可知，两面均为蓝色的卡片共张，总卡片数为张 ． 1．（25-26七年级下·浙江杭州·专项练习）1777年，法国数学家布丰做过一个投针试验：把画有等距平行线的白纸平铺在桌面上，将长度为该平行线间距一半的小针，随机投掷到该白纸上．记录针与直线相交的情况，得到部分数据，如表： 抛掷次数 1000 2000 3000 4000 5000 “针与直线相交”的频数 314 620 945 1257 1570 若投掷的次数为8000，则“针与直线相交”的频数可能最接近（    ） A．2000 B．2500 C．3500 D．4000 【答案】B 【分析】本题考查利用频率估计概率，先计算已知数据中“针与直线相交”的频率，观察频率的稳定值，再用该稳定值乘以投掷次数，估算频数． 【详解】解：计算各组“针与直线相交”的频率： 频率稳定在0.314附近， 当投掷次数为时，频数， 最接近选项中的． 故选B． 2．（25-26七年级下·四川成都·专项练习）在一个不透明的口袋中装有若干个白球和3个红球，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀．从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，发现摸到红球的频率稳定在左右，则白球的个数约为（   ） A．9 B．12 C．15 D．18 【答案】B 【分析】本题主要考查了概率和频率的关系，通过概率求频数，解题的关键是掌握简单概率公式． 利用频率估计概率的知识，设白球个数为x个，根据红球个数与总球数的比值等于摸到红球的稳定频率列方程求解即可． 【详解】解：设白球的个数为x个． ∵摸到红球的频率稳定在左右， ∴摸到红球的概率约为． ∵红球有3个，总球数为个， ∴． 解得． 经检验：是原方程的解． ∴白球的个数约为12个． 故选：B． 3．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，有一张平整的银杏叶平铺在的地面上，小惠同学为了了解该银杏叶的面积，进行了以下试验操作：先用一个边长为的正方形，将银杏叶围在其中；然后在正方形区域内随机投掷小针，记录小针投中银杏叶的次数（小针投在正方形区域外或投在边界上，则不计试验结果，重新投掷），随着试验次数增加，发现小针投中银杏叶的频率稳定在左右，根据以上试验结果，估计该银杏叶的面积为____． 【答案】 【分析】本题考查了用频率来估计概率，解一元一次方程，先计算正方形的面积，再建立方程求解即可，解题关键是理解频率与概率的关系与概率计算公式，明确题中银杏叶的面积与正方形的面积比等于概率是解题的关键． 【详解】解：正方形面积为：， 设该银杏叶的面积为，依题意得： ， 解得：， ∴估计该银杏叶的面积为， 故答案为：． 4．（25-26七年级下·贵州黔西南·专项练习）黔西南州某中学为丰富学生课余生活，举办了“校园文化艺术节”，其中书法比赛设置一、二、三等奖若干名．已知获得一等奖的概率为0.1，获得二等奖的概率为0.2，获得三等奖的概率为0.3． (1)求未获奖的概率； (2)若该校有200名学生参加书法比赛，求获得一等奖的学生人数； (3)某班从甲、乙、丙、丁四位同学中随机选取2人参加此次书法比赛，求刚好选中甲和丙两位同学的概率． 【答案】(1)0.4 (2)20 (3) 【分析】本题主要考查的是用概率公式求概率，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． （1）用减去获得一、二、三等奖的概率即可得出结果； （2）用乘以获得一等奖的概率即可得出结果； （3）列举得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：∵获得一等奖的概率为0.1，获得二等奖的概率为0.2，获得三等奖的概率为0.3， ∴未获奖的概率为； （2）解：∵获得一等奖的概率为0.1， ∴（人）， 故获得一等奖的学生人数为人； （3）解：由题意可得：从四位同学中随机选取人，所有等可能的结果有：（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（乙，丙），（乙，丁），（丙，丁），共种，其中刚好选中甲和丙两位同学的情况有1种， 故刚好选中甲和丙两位同学的概率为． 【经典例题七 游戏公平性判断】 【例1】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，若干名同学玩扔石子进筐游戏，图①、图②分别是两种游戏方式．关于这两种方式的“公平性”有下列4种说法，其中正确的是（    ） A．两种均公平 B．两种均不公平 C．仅图①公平 D．仅图②公平 【答案】D 【分析】此题考查了游戏公平性，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平． 对图①、图②分别是两种站立方式分别进行判断即可． 【详解】解：图①中，若干名同学到筐的距离不相等，则图①不公平； 图②中，若干名同学到筐的距离相等，则图②公平； 故选：D． 【例2】（25-26七年级下·安徽芜湖·开学考试）盒子里装有个球，分别写着各数．小红和小明进行摸球游戏，摸到质数，小红赢；摸到合数，小明赢（摸到1，则此局为平局）．( )赢的可能性大． 【答案】小明 【分析】本题考查了简单事件发生的可能性，游戏规则的公平性，质数和合数的概念，正确掌握相关知识是解题的关键．先列出中质数和合数，再分别算出小红赢的可能性和小明赢的可能性，再比较大小，即可作答． 【详解】解：中质数有、、、、、，共个数； 合数有、、、、、、、，共个数； 小红赢的可能性为， 小明赢的可能性为， ， 小明赢的可能性大． 故答案为：小明 ． 1．（25-26七年级下·浙江台州·专项练习）在一个不透明的袋子中装有1个红球与3个黄球，四个球除颜色外，其它均相同．规则是：小丁同学摸一个球，不放回；小王同学再摸一个球，不放回；小林同学再摸一个球，不放回；小陈同学最后摸走剩余的球．摸到红球的人，可获得电影票一张． 小陈说：我最后一个摸球，获得电影票的概率最小，应该4人同时摸球才公平． 小林说：如果前面3人都没摸到红球，小陈肯定获得电影票，因此小陈获得电影票的概率最大． 小王说：不论同时摸球还是按顺序摸球，每人获得电影票的概率都是． 小丁说：先摸与后摸，获得红球的概率都是，因此这个规则是公平的． 以上4位同学的说法，正确的是（   ） A．小陈与小林 B．小林与小丁 C．小林与小王 D．小王与小丁 【答案】D 【分析】本题考查概率的应用，熟练掌握概率公式是解题的关键． 计算四人依次不放回摸球时每人摸到红球的概率，据此解答即可． 【详解】解：总球数4个，红球1个， 则小丁摸到红球的概率为， 小王摸到红球的概率为， 小林摸到红球的概率为 小陈摸到红球的概率为 因此，每人摸到红球概率均为，小王与小丁的说法正确， 故选：D． 2．（2022·七年级下 湖北武汉）甲、乙两人玩“石头，剪刀，布”的游戏，约定只玩一局，描述错误的是（    ） A．甲，乙获胜的概率均低于0.5 B．甲，乙获胜的概率相同 C．甲，乙获胜的概率均高于0.5 D．游戏公平 【答案】C 【分析】根据游戏结局共有三种情形，其中甲、乙获胜的概率都为，即可求解． 【详解】解：甲、乙两人玩“石头，剪刀，布”的游戏，约定只玩一局，结局有甲获胜（乙输）、平局、乙获胜（甲输），三种结局，其中，甲、乙获胜的概率都为，则A，B，D，选项正确，C选项错误． 故选C 【点睛】本题考查了概率公式求概率，游戏的公平性，求得概率是解题的关键． 3．（23-24七年级下·贵州六盘水·期中）小李和小王在拼图游戏中，从如图三张纸片中任取两张，如拼成房子，则小李赢；否则，小王赢．你认为这个游戏公平吗？_____（填“公平”或“不公平”）．    【答案】不公平 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与拼成房子的情况，再利用概率公式求解即可求得小李赢与小王赢的概率，比较概率大小，即可知这个游戏是否公平． 【详解】解：设三张纸片分别用A，B，C表示 画树状图得：   共有6种等可能的结果，能拼成房子的有4种情况 ， 这个游戏不公平 故答案为：不公平 【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断，解题关键是掌握判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平． 4．（24-25七年级下·上海·月考）小明发现路边一游戏摊在掷正方体骰子，规则是出现点获元，掷一次付元，小明记录如下： 游客 投掷次数 中奖次数 试通过运算揭示该游戏中骰子是否均匀？对游客来说是骗局吗？ 【答案】摆摊人所用的骰子质量分布不均匀，对游客来说是骗局． 【分析】本题考查了通过概率反映出游戏的公平性，先根据正方体骰子的特点计算出出现的概率，再与小明实际记录的中奖次数相比较即可得出结论，解题的关键是理解概率所求情况数与总情况数之比大量实验得到的频率接近于概率． 【详解】解：对于一个普通的正方体骰子，点出现的概率应为， 由小明记录的抛掷次数为次，中奖的次数应为次左右， 而实际中奖次数只有次， ∴摆摊人所用的骰子质量分布不均匀，对游客来说是骗局． 【经典例题八 几何概率计算】 【例1】（25-26七年级下·全国·单元测试）教室地面的瓷砖如图所示，一把钥匙被藏在某种颜色的一块瓷砖下面，则下列判断中，正确的是（   ） A．被藏在白色瓷砖下的概率大 B．被藏在灰色瓷砖下的概率大 C．被藏在两种瓷砖下的概率一样大 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了几何概率，解答此题的关键是分别计算出灰白瓷砖的块数，用到的知识点为：概率相应的面积与总面积之比． 先求出教室地面的瓷砖的总块数，再分别求出灰、白瓷砖的块数，根据概率公式解答即可． 【详解】解：教室地面的瓷砖共有（块）， 其中白色瓷砖有块，概率为， 灰色瓷砖有块，概率为， 故被藏在白色瓷砖下的概率大． 故选：A． 【例2】（25-26七年级下·广东中山·专项练习）用一张正方形纸板依据图1进行折叠、剪切，可以制作出图2所示的七巧板，在该七巧板上随机钉一枚图钉，则图钉的钉尖恰好落在区域①这块三角板的概率是_______． 【答案】 【分析】本题考查了几何概率，掌握几何概率即面积比是解题的关键． 观察图形，得到区域①的面积与正方形面积的比，即可得出答案． 【详解】解：由图可知，区域①的面积为正方形面积的， ∴图钉的钉尖恰好落在区域①这块三角板的概率是． 故答案为：． 1．（2026七年级下·黑龙江齐齐哈尔·专题练习）从正方形四个顶点及其中心这五个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查古典概型的概率计算，先求出任取个点的总情况数，再找出满足距离条件的情况数，代入概率公式计算即可． 【详解】解：设正方形的四个顶点为，中心为， 从这个点中任取个点，一共有种不同的取法：， 其中这个点的距离不小于该正方形边长的取法共有种： 所求概率 ． 故选：A． 2．（24-25七年级下·山东济南·期中）如图所示，在两个全等的正方形纸片上，分别绘有大小不等的圆，其中正方形甲中圆的直径与正方形的边长相等，正方形乙中的四个圆互不重叠，其直径均为正方形边长的一半，所有圆均在相应正方形的内部．若向每个正方形中随机投掷一个点，在甲、乙两个正方形中点落在阴影部分的概率分别为、，则（     ） A． B． C． D．与正方形的边长有关，无法判断 【答案】C 【分析】本题考查概率问题，熟练掌握面积型几何概率问题是解题的关键，分别求出甲、乙两个图形中圆的面积，比较后即可得到答案． 【详解】解：∵甲中圆的直径与正方形的边长相等， ∴甲中圆的面积为：， ∵乙中圆的直径为正方形边长的一半， ∴乙中圆的面积为：， ∴， ∴， 故选：C． 3．（23-24七年级下·河南郑州·专项练习）张老师把边长为4的正方形厚纸板分成七部分，如图1所示，然后将它割开，制成七巧板．用自制的七巧板在一个大矩形中拼出如图2所示的图案，如果小球在如图2所示的大矩形中自由地滚动，那么它最终停留在阴影区域的概率是________．      【答案】 【分析】本题考查随机事件的概率，关键在利用七巧板的性质进行正方形面积的求解． 分别求出图1和图2的面积，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：根据题意可得：七巧板的面积之和=边长为4的正方形面积， ∵图1为正方形， ∴①的面积=②的面积， ∴A的面积=B的面积， ∴图2的面积， ∴最终停留在阴影区域的概率， 故答案为：．    4．（25-26七年级下·全国·单元测试）按要求完成题目： (1)如图①．在正方形内，有一个内切圆．利用电脑设计程序：在正方形内随机产生一些点，当点数很多时，电脑自动统计正方形内的点数为，圆内的点数为（在正方形边上和圆上的点不统计）．根据用频率估计概率的思想，推得的大小（用含，的式子表示）； (2)如图②所示的是一个可以自由转动的质地均匀的转盘，任意转动转盘，当转盘停止时，计算指针落在蓝色区域的概率； (3)有一个小球在如图③所示的地板上自由滚动，地板上的每个小格子都是边长为1的正方形．求小球最终停留在阴影区域的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查几何概率，熟练掌握概率公式是解题的关键． （1）根据圆的面积与正方形的面积的比等于落在相应位置的点数的比列式求解即可； （2）用蓝色区域的圆心角度数除以度即可； （3）分别求出地板面积和阴影区域的面积，然后用阴影区域的面积除以地板面积即可求出小球最终停留在阴影区域的概率． 【详解】（1）解：设圆的半径为，则正方形的边长为． 根据题意，得， 所以． （2）解：如题图②，指针落在蓝色区域的概率为． 答：指针落在蓝色区域的概率为． （3）解：如题图③，地板面积为， 阴影区域的面积为， 则小球最终停留在阴影区域的概率为． 答：小球最终停留在阴影区域的概率为． 【经典例题九 转盘抽奖概率应用】 【例1】（25-26七年级下·广东清远·专项练习）学校科技节设置转盘抽奖活动，转盘上有六个全等的区域，颜色分布如图(黄、蓝、蓝、红、蓝、红)．若指针固定不动，转动转盘，当转盘停止后，指针对准红色区域即可获奖，则获奖的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等可能事件的概率计算，关键是确定总等可能结果数与符合获奖条件的结果数，再根据概率公式计算概率． 【详解】解：∵转盘上有6个全等的区域，转动转盘后每个区域被指到的可能性相等，其中红色区域有2个， ∴获奖的概率为； 故选：B． 【例2】（25-26七年级下·广东汕头·专项练习）某超市的抽奖活动转盘，一等奖、二等奖、三等奖区域的面积比为，则一名顾客转动一次转盘，获奖可能性最大的奖项是_________． 【答案】三等奖 【分析】本题考查概率在转盘抽奖中的应用，由奖项比例计算各奖项概率，比较大小即可． 【详解】一等奖、二等奖、三等奖的比为，总比例为， 获一等奖的概率为，获二等奖的概率为，获三等奖的概率为， 由于，则获奖可能性最大的奖项是三等奖． 故答案为三等奖． 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，转盘被划分成六个相同大小的扇形，并分别标上这六个数字转动转盘，当转盘停止后，观察指针停在哪个扇形区域，四位同学发表了下列见解： 甲：如果指针前三次都停在了3号区域，那么下次就一定不会停在3号区域； 乙：只要指针连续转6次，一定会有一次停在6号区域； 丙：指针停在奇数号区域的可能性与停在偶数号区域的可能性一样； 丁：只要在转动前默默想好让指针停在6号区域，指针停在6号区域的可能性就会加大． 其中，见解正确的为（    ）． A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】本题考查了概率和随机事件的概论，根据已知条件，结合指针停在每个扇形的可能性相同，指针停在哪个扇形区域都是随机事件，即可求解． 【详解】解：甲：如果指针前三次都停在了3号扇形，下次也有可能停在3号，故见解错误； 乙：只要指针连续转六次，不一定会有一次停在6号扇形，故见解错误； 丙：指针停在奇数号扇形的概率与停在偶数号扇形的概率相等，故见解正确； 丁：运气好的时候，只要在转动前默默想好让指针停在6号扇形，指针停在6号扇形的可能性都一样大，故见解错误． 综上所述，正确的见解只有丙． 故选：C． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）在转盘游戏中，如果转出的第一个数是9，为使四位数最大，应将它填在（    ） A．第一格 B．第二格 C．第三格 D．第四格 【答案】A 【分析】填在最高位即可． 【详解】解：转盘中共有1至9位数，9在第一位时，数最大．故选． 【点睛】解决本题的关键是理解最高位上的数越大，得到的数越大． 3．（2023·七年级下 山东青岛）小明参加了一个抽奖游戏：一个不透明的布袋里装有1个红球，2个蓝球，4个黄球，8个白球，这些小球除颜色外完全相同．从布袋里摸出1球，摸到红球、蓝球、黄球、白球可分别得到奖金30元、20元、5元和0元，则小明摸一次球得到的平均收益是________元． 【答案】6 【分析】求出任摸一球，摸到红球、黄球、绿球和白球的概率，那么获奖的平均收益可以用加权平均数的方法求得． 【详解】解： =2+4 =6（元） 故答案为6 【点睛】此题主要考查了考查概率的计算和加权平均数的计算方法，理解获奖平均收益实际就是求各种奖项的加权平均数． 4．（23-24七年级下·陕西榆林·专项练习）某班在爱心义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘（转盘被分成面积相等的小扇形），如图所示，同时规定：顾客购物满20元就能获得一次转动转盘的机会，下表是活动中的统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 300 400 500 指针落在“谢谢参与”区域的次数m 29 60 93 122 b 指针落在“谢谢参与”区域的频率 0.29 0.3 0.31 0.296 (1)填空：________________，__________________； (2)当转动转盘的次数n很大时，估计转动转盘一次，转盘停止后指针落在“谢谢参与”区域的概率；（结果精确到0.1）； (3)若顾客转动转盘一次，得到奖品“盲盒”的概率记为，得到奖品“贴纸”的概率记为比较与的大小． 【答案】(1)0.305，148 (2)当转动转盘的次数n很大时，估计转动转盘一次，转盘停止后指针落在“谢谢参与”区域的概率为0.3； (3) 【分析】本题考查了利用频率估计概率及概率公式的应用． （1）根据频率的计算公式即可得出结果； （2）由大量重复试验中频率稳定值估计概率，根据前面统计的数据可知，当n很大时，指针落在“谢谢参与”区域的频率将会接近0.3，即转动一次转到“谢谢参与”的概率约是0.3； （3）根据概率公式分别计算和然后进行大小比较即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：0.305，148． （2）解：当转动转盘的次数n很大时，落在“谢谢参与”区域的频率将会接近0.3，转动转盘一次，转盘停止后指针落在“谢谢参与”区域的概率为0.3． （3）解：观察转盘可知转盘被分成10等份，其中奖品“盲盒”有2份，奖品“贴纸”有5份， ∴，， ∴． 【经典例题十 概率综合实际应用】 【例1】（2024·七年级下 湖南长沙）“交通文明，让长沙与我一起白头偕老”．自长沙开展“文明城市创建”以来，我市学生更加自觉遵守交通规则．某校学生小明每天骑自行车上学时都要经过一个路口，该路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到绿灯的概率为，遇到黄灯的概率为，那么他遇到红灯的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了概率的应用．掌握事件的所有情况的概率之和为1成为解题的关键． 根据事件的所有情况的概率之和为1解答即可． 【详解】解：∵他在路口遇到绿灯的概率为，遇到黄灯的概率为， ∴他遇到绿灯的概率是：． 故选：C． 【例2】（25-26七年级下·山西运城·专项练习）如今我们生活在数字时代，很多场合都要用到二维码，小彤帮妈妈打印了一个收款二维码，如图所示，该二维码的面积为，他在该二维码内随机投点，经过大量的重复试验发现，点落在白色区域的频率稳定在左右，则据此估计该二维码中黑色区域的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查了用频率估计概率的应用，掌握概率的含义是解题的关键． 先求出点落在该二维码中黑色区域的频率稳定在，再用总面积乘以即可求解． 【详解】解：∵经过大量的重复试验发现，点落在白色区域的频率稳定在左右， ∴据此估计点落在该二维码中黑色区域的频率稳定在， ∴该二维码中黑色区域的面积为， 故答案为：． 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）在三行三列的方格棋盘上沿骰子的某条棱翻动骰子（相对面上分别标有1点和6点，2点和5点，3点和4点）．开始时，骰子如图（1）所示摆放，朝上的点数是2，最后翻动到如图（2）所示位置．现要求翻动次数最少，则最后骰子朝上的点数为2的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意模拟骰子的翻动过程，可以得到最后骰子朝上的点数所有的可能性和点数为2的基本事件的个数，代入概率公式即可． 【详解】设三行三列的方格棋盘的格子坐标为，其中开始时骰子所处的位置为，则图题（2）所示的位置为，则从到且次数翻动最少，共有6种走法，最后骰子朝上的点数分别为2，5，1，5，3，2，故最后骰子朝上的点数为2的概率为，故选C． 【点睛】本题主要考查概率，根据已知条件计算出骰子朝上的点数所有的基本事件和满足条件的基本事件个数是关键． 2．（2023七年级下·湖北随州）取一根长为米的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不少于米的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得出只能在中间1m的绳子上剪断，剪得两段的长都不少于1米，从而找出中间1m处的两个界点，即可得出答案． 【详解】解：记“剪得两段的长都不少于1米”为事件A， 则只能在中间1m的绳子上剪断，剪得两段的长都不少于1米， ∴事件A发生的概率为P（A）=； 故选：A． 【点睛】本题考查了概率公式；找出中间1m处的两个界点是解题的关键． 3．（2025·七年级下 河南濮阳）某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如图所示的折线统计图，由该图可估计移植这种树苗2000棵，成活的大约有______________棵． 【答案】1600 【分析】本题考查折线统计图，频率估计概率，利用样本的概率估计总体数量，正确记忆相关知识点是解题关键． 根据图形可以发现，频率在0.8附近波动，从而可以估计这种树苗移植成活的概率，再根据成活概率估算总体数量即可． 【详解】解：由图可得这种树苗成活的频率约为0.8， ∴这种树苗成活的概率为0.8， ∴这种树苗移植2000棵，成活的大约有：（棵）， 故答案为：1600． 4．（25-26七年级下·贵州六盘水·专项练习）“一岁一端午，一年一安康．”端午节期间，某商场的打折销售活动规定：凡在本商场购物满180元，可转动转盘一次（若指针指向两个扇形的交线，则重新转动转盘），并根据所转结果付账，转盘如图所示． (1)分别求出打七五折，打五折的概率； (2)小红和小明分别购买了价值200元的商品，活动后一共付账300元，求他俩获得优惠的所有情况． 【答案】(1)打七五折的概率为，打五折的概率为 (2)见解析 【分析】本题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）根据概率的计算方法，可得答案； （2）根据已知条件他俩获得优惠的情况分为两种情况，于是得到结论． 【详解】（1）解：打七五折的概率为，打五折的概率为； （2）解：第一种情况：小红和小明都按七五折付账：（元）． 第二种情况：小红按五折付账，小明按不打折付账：（元） （或小红按不打折付账，小明按打五折付账） 【拓展训练一 概率计算综合题】 【例1】（2026·七年级下 河北沧州）如图是某通道的部分通行路线示意图，若从入口驾车进入，行至每个岔路口选择前方两条线路的可能性相同，则从口驶出的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据概率所求情况数与总情况数之比求解即可． 【详解】解：由图可知，在每个岔路口都有向左或向右两种可能，且可能性相等，赛车最终驶出的点共有、、、四个， 所以，最终从点H驶出的概率为． 【例2】（2025·七年级下 宁夏银川）如图为我市科技馆“科技与生活”和“挑战与未来”两个展厅的路线图．嘉嘉同学通过入口后，随机选择一条道路前进．每个路口再任选一条道路，最终到达任意一展厅后停止前进，则嘉嘉最后进入“科技与生活”展厅的概率是________． 【答案】 【详解】解：根据题意，通过入口后，有3条通道，其中能到达“科技与生活”展厅的有2条通道， ∴嘉嘉最后进入“科技与生活”展厅的概率是 ． 1．（2023·七年级下 山东）桌上共有3只茶杯，杯口均朝上，现翻转茶杯7次，每次翻转1只，翻转后杯口朝下的个数为奇数的概率为（    ） A． B． C．1 D．0 【答案】C 【分析】先得出翻转奇数次杯口朝下，翻转偶数次杯口朝上，然后根据三个数的和为7，这三个数必须是三个奇数或两个偶数，一个奇数，得出将3个茶杯，总共翻转7次，三个茶杯可能都翻转奇数次或两个茶杯翻转偶数次，一个茶杯翻转奇数次，从而得出答案． 【详解】解：一只茶杯杯口朝上，翻转1次杯口朝下，翻转2次杯口朝上，翻转3次杯口朝下，翻转4次杯口朝上……，即翻转奇数次杯口朝下，翻转偶数次杯口朝上； 因为三个数相加要使和为奇数必须使三个数都是奇数或两个偶数与一个奇数相加，所以三个数的和为7，这三个数必须是三个奇数或两个偶数，一个奇数，因此将3个茶杯，总共翻转7次，三个茶杯可能都翻转奇数次或两个茶杯翻转偶数次，一个茶杯翻转奇数次，所以三个茶杯都杯口朝下或两个茶杯杯口朝上，一个茶杯杯口朝下，即，翻转后杯口朝下的个数都是奇数，所以翻转后杯口朝下的个数为奇数的概率为1． 2．（23-24七年级下·湖北十堰·自主招生）东风高中举办校庆活动需要一批志愿者，高一、高二、高三这三个年级报名参加志愿活动的学生人数比例为，学校从每个年级报名人数中按照高一，高二，高三的比率选出一批学生成为志愿者．从所有被选出的志愿者中随机抽取一人，则该生来自高一年级的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查概率的计算，熟练掌握概率的计算公式是解题的关键．设报名总人数为，根据报名人数比例和选拔比例，计算各年级志愿者人数和总志愿者人数，然后根据概率公式即可求解． 【详解】解：设报名总人数为，则高一、高二、高三报名人数分别为. ∴ 高一志愿者人数为, 高二志愿者人数为, 高三志愿者人数为, ∴ 总志愿者人数为. ∴ 从所有被选出的志愿者中随机抽取一人，则该生来自高一年级的概率为． 故选：D． 3．（2026·七年级下 广东深圳）某校准备结合中国传统节日进行诗词创作活动．若从以下传统节日中选一个：春节（农历正月初一）、元宵节（农历正月十五）、端午节（农历五月初五）、中秋节（农历八月十五）、重阳节（农历九月初九），则抽到的节日在农历正月的概率为________． 【答案】/ 【分析】根据一共有个传统节日，其中有个传统节日在正月，利用概率公式即可得到抽到的节日在农历正月的概率． 【详解】解：一共有个传统节日，其中有个传统节日在正月， 抽到的节日在农历正月的概率为. 4．（25-26七年级下·浙江丽水·专项练习）小明参加浙江省城市篮球联赛（浙）丽水赛区赛后粉丝抽奖活动，活动规则如下：抽奖箱中有个红球和个黄球（除颜色外其余都相同），从中任意摸出一个球，记下颜色后不放回，再摸出一个球．若两次摸出的球颜色相同，则奖励篮球一个；若两次摸出的球颜色不同，则奖励球衣一件． (1)用适当的方法列举摸球所有可能的结果． (2)求出小明同学获得篮球的概率． 【答案】(1)种，列表见解析； (2)． 【分析】本题考查了列举随机试验的所有可能结果，概率公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （）直接用列表法列举出两次摸球可能出现的各种结果即可； （）由（）得，两次摸出的球颜色相同的结果有种，然后通过概率公式即可求解． 【详解】（1）解：（1）列表如下： 红 红 黄 黄 红 红红 红黄 红黄 红 红红 红黄 红黄 黄 黄红 黄红 黄黄 黄 黄红 黄红 黄黄 所以摸球所有可能的结果共有种； （2）解：由（）得，两次摸出的球颜色相同的结果有种， 所以小明同学获得篮球的概率． 【拓展训练二 概率在游戏与生活中的应用】 【例1】（2024·七年级下 浙江）在一次摸球游戏中，规定：连续摸到2个相同颜色的小球即为胜利，且每人只有一次挑战机会．小金和小华一起参加游戏，两人轮流从不透明的箱子里摸出一个小球，小金先摸．现已知箱子里有4个红球和2个白球，则下列推断正确的是（   ） A．一定是小金获胜 B．一定是小华获胜 C．若第一轮两人都摸到了白球，则一定是小金获胜 D．若第一轮两人都摸到了红球，则一定是小金获胜 【答案】C 【分析】本题考查了随机事件，列举法等知识，利用排除法求解即可． 【详解】解：假设两人第一次都摸到红球，若第二次小金摸到红球，小华摸到白球，则小金获胜；若第二次小金摸到白球，小华摸到红球，则小华获胜； 故A、B都不正确； 若第一轮两人都摸到了白球，剩下只能是红球，因为小金先摸球，则小金先摸到2个红球，所以一定是小金获胜， 故C正确； 若第一轮两人都摸到了红球，剩下4球为两个红球，两个白球，假设两人第三次都摸到红球，若第四次小金摸到红球，小华摸到白球，则小金获胜；若第四次小金摸到白球，小华摸到红球，则小华获胜； 故D不正确． 故选：C． 【例2】（2023·七年级下 江苏盐城）如图，一个转盘被分为了A，B，C三个区域，自由转动转盘一次，当转盘停止时，指针指向A区域的概率是______． 【答案】 【分析】根据概率的求法，找准两点： ①全部情况的总数； ②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．依此即可求解． 【详解】解：∵A区域扇形的圆心角为90°， ∴自由转动转盘一次，当转盘停止时，指针指向A区域的概率是， 故答案为：． 【点睛】此题考查了概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）． 1．（2025七年级下·山西晋中·专题练习）足球比赛前，裁判通常要掷一枚硬币来决定比赛双方的场地与首发球者，其主要原因是（   ） A．让比赛更富有情趣 B．让比赛更具有神秘色彩 C．体现比赛的公平性 D．不知道什么原因 【答案】C 【分析】本题考查的简单随机事件的概率，掷硬币是一种随机事件，正面和反面出现的概率相等，均为，从而确保双方机会均等，体现公平性． 【详解】∵抛掷一枚硬币，正面朝上与反面朝上的可能性相同，概率均为， ∴这种方法使比赛双方在场地和发球权的选择上具有同等机会，因此主要原因是体现比赛的公平性． 故选：C． 2．（25-26七年级下·湖北武汉·月考）动物学家通过大量的调查估计：某种动物活到岁的概率为，活到岁的概率为，活到岁的概率为，现在有一只岁的动物，它活到岁的概率是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先设出所有动物的只数，根据动物活到各年龄阶段的概率求出相应的只数，再根据概率公式解答即可． 【详解】解：设共有这种动物x只，则活到20岁的只数为0.8x，活到30岁的只数为0.3x， 故现年20岁到这种动物活到30岁的概率为=． 故选：B． 【点睛】本题考查概率的简单应用，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 3．（2023七年级下·湖南邵阳·竞赛）甲、乙两位棋手棋艺相当，他们在一项奖金为10000元的比赛中相遇，比赛为七局四胜制（无平局）．已经进行了五局的比赛，结果为甲三胜二负．现在因故要停止比赛，问应该如何分配这10000元比赛奖金才算合理？ 答：甲得_______元；乙得_______元． 【答案】 【分析】本题考查了列举法求概率． 列出取胜情况，则可求得甲、乙胜的概率，继而求得答案． 【详解】解：第6局、第7局的取胜情况有（甲，甲），（甲，乙），（乙，乙），（乙，甲）4种情况， ∵甲三胜二负， ∴（甲，甲），（甲，乙），（乙，甲）均为甲胜，（乙，乙）为乙胜， ∴甲胜的概率为，乙胜的概率为， ∴甲得元、乙得元． 故答案为：， 4．（24-25七年级下·广东深圳·期中）小明和小亮利用质地均匀的骰子做游戏，规则如下： ●两人同时做游戏，各自掷一枚骰子，每人可以只掷一次骰子，也可以连续地掷几次骰子． ●当一人掷出的点数和不超过10时，如果决定停止掷，那么此人的得分就是他所掷出的点数之和；当一人掷出的点数和超过10时，必须停止掷，并且得分为0． ●比较两人的得分，谁的得分高谁就获胜． 根据下面这个表格中的数据记录回答： 游戏次序 游戏者 第1次点数 第2次点数 第3次点数 得分 第一次 小明 2 3 2 小亮 3 4 6 第二次 小明 4 1 小亮 3 5 (1)在第一次游戏中，小明的最终得分是________分，小亮的最终得分是________分，所以获胜的是________（填小明或小亮）； (2)在第二次游戏中，如果小明继续掷第三次，试计算他最终得分为0的概率； (3)在第二次游戏中，如果你是小亮，在不知道小明最终得分的情况下，你会继续掷第三次吗？请说明你的理由． 【答案】(1)7，0，小明 (2) (3)不会，理由见解析 【分析】本题考查概率的实际应用，熟练掌握概率公式，是解题的关键： （1）根据规则，进行求和计算即可； （2）先求出小明第三次投掷的点数与前两次的点数之和超过10的结果，再利用概率公式进行计算即可； （3）求出小亮第三次投掷和不超过10和超过10的概率，进行判断即可． 【详解】（1）解：小明得分：（分）； 小亮投掷的点数之和为：， ∴小亮得分为0分； ∴小明赢； 故答案为：7，0，小明； （2）小明前两次投掷的点数和为：， ∴当小明第三次投掷的点数为时，最终得分为0分， ∴； （3）不会，理由如下： 小亮前两次投掷的点数和为：， ∴当小亮第三次投掷的点数，即为：3，4，5，6时，小亮的得分为0分，概率为：，小亮第三次投掷的点数为1，2时，小亮得分不为0，概率为， ∵， ∴不会投掷第三次． 1．（25-26七年级下·山西晋城·专项练习）如图，若随机闭合开关，，中的两个，则能让灯泡发光的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查等可能事件概率的计算与电路通路的判断，关键是先确定所有闭合两个开关的等可能情况，再筛选出能使发光的情况，最后利用概率公式计算． 【详解】解：随机闭合开关，，中的两个，所有等可能的情况为：、、，共3种，其中能让灯泡发光的情况只有， ∴能让灯泡发光的概率为． 故选：A． 2．（25-26七年级下·陕西·开学考试）下列说法正确的是（    ） A．做3次掷图钉试验，发现2次钉尖朝上，因此钉尖朝上的概率是 B．某彩票的中奖概率是5%，那么如果买100张彩票一定会有5张中奖 C．射击运动员射击一次只有两种结果：中靶与不中靶，所以它们发生的概率都是 D．小达做了20次抛掷均匀硬币的试验，其中有5次正面朝上，15次正面朝下，他认为再做一次，正面朝上的概率是二分之一 【答案】D 【分析】根据各个选项的说法可以判断是否正确，进而可以解答． 【详解】A.做3次掷图钉试验，发现2次钉尖朝上，但是试验次数少，因此不能确定钉尖朝上的概率，所以A选项不正确，不符合题意； B.某彩票的中奖概率是5%，那么如果买100张彩票不一定会有5张中奖，所以B选项不正确，不符合题意； C.射击运动员射击一次中靶与不中靶不是等可能事件，一般情况下，还有脱靶的可能，所以C选项不正确，不符合题意； D.抛硬币正面朝上和反面朝上是等可能事件，再抛一次正面朝上的概率是二分之一，所以D选项正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了概率的意义，属于基础题，解决本题的关键是掌握概率的意义． 3．（2026·七年级下 广东东莞）如图是一枚中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年双色铜合金纪念币，该纪念币质地均匀，正面图案为中华人民共和国国徽，背面主景图案为中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年纪念活动标识．若先后两次抛掷该纪念币，那么两次正面向上的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】列举所有可能，即可得两次正面向上的概率． 【详解】解：先后两次抛掷该纪念币，所有可能结果为：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）， ∴两次正面向上的概率是． 4．（2026七年级下·广东深圳·专题练习）如图，是某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制的折线图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（    ） A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” B．不透明袋中有3个除颜色外均相同的小球，其中有2个红球，随机摸出一个红球 C．掷一枚质地均匀的硬币，落地时正面朝上 D．掷一枚质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6 【答案】D 【分析】先判断出试验结果的概率，再逐一分析即可． 【详解】解：由图知，试验结果在附近波动，即其概率． A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为，故本选项不符合题意； B．不透明袋中有3个除颜色外均相同的小球，其中有2个红球，随机摸出一个红球的概率为，故本选项不符合题意； C．掷一枚质地均匀的硬币，落地时正面向上的概率是，故本选项不符合题意； D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6的概率为，故本选项符合题意． 5．（25-26七年级下·河北保定·专项练习）不透明袋子中有若干个白球（）和灰球（），这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，灰球出现的频率如图所示，则该不透明袋子不可能是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查用频率估算概率，概率的计算公式，熟练掌握频率与概率的关系是关键． 当试验次数足够多时，频率会趋近于概率，由此判断选项． 【详解】解：由图可知，试验次数足够多时，频率在附近波动， ∴抽取一个球是灰球的概率为， ∴袋中白球与灰球的数量相等，只有选项C不符合． 故选：C． 6．（25-26七年级下·山东青岛·专项练习）某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能是（    ） A．掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是2 B．从一个装有1个红球和2个白球的袋子中，随机摸出一个球，摸到红球 C．转动一个分为4等份且分别标有1，2，3，4的转盘，指针指向奇数 D．从一副去掉大小王的扑克牌中，随机抽取一张，抽到黑桃 【答案】B 【分析】本题考查的是求频率； 先分别求解各选项事件出现的频率，再结合题干信息可得答案． 【详解】解：A、掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是2的频率为； B、从一个装有1个红球和2个白球的袋子中，随机摸出一个球，摸到红球的频率为； C、转动一个分为4等份且分别标有1，2，3，4的转盘，指针指向奇数的频率为； D、从一副去掉大小王的扑克牌中，随机抽取一张，抽到黑桃的频率为； 由图可知当试验次数很多时，频率稳定在， ∴B符合题意， 故选：B． 7．（25-26七年级下·河北沧州·专项练习）一个不透明的袋子中装有除颜色外其余均相同的个红球和个黄球，从中随机摸出一个，要使摸到红球的概率是，需要向袋子中加入除颜色外其余均相同的小球，则下列方案不正确的是（    ） A．添加黄球个 B．添加红球个 C．添加红球个，黄球4个 D．添加红球个，黄球个 【答案】B 【分析】本题主要考查了已知概率求数量，熟知摸到红球的概率等于红球的个数除以球的总数是解题的关键．要使摸到红球的概率为，需添加后袋子中红球总数等于黄球总数，据此验证各选项即可． 【详解】要使摸到红球的概率为，需满足添加后红球总数等于黄球总数 ∵原袋中有个红球，个黄球 ∴逐一验证选项： A、添加个黄球后，黄球数为，与红球数相等，符合要求，故不符合题意； B、添加个红球后，红球数为，黄球数为，，不符合要求，故符合题意； C、添加个红球、个黄球后，红球数为，黄球数为，两者相等，符合要求，故不符合题意； D、添加个红球、个黄球后，红球数为，黄球数为，两者相等，符合要求，故不符合题意． 故选：B． 8．（25-26七年级下·四川达州·月考）如图1，一个长，宽的矩形内部有一不规则图案（阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积，进行了模拟试验，通过计算机向这个矩形内部随机投放一个点，并记录该点落在不规则图案上的次数，整理得到如图2所示的折线统计图，由此可估计该不规则图案的面积大约为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了几何概率以及用频率估计概率，根据折线统计图知，当实验的次数逐渐增加时，样本的频率稳定在0.4，因此用频率估计概率，再根据几何概率知，不规则图案的面积与矩形面积的比为0.4，即可求得不规则图案的面积． 【详解】解：由折线统计图知，随着实验次数的增加，点落在不规则图案上的频率稳定在0.4，于是把0.4作为概率． 设不规则图案的面积为，则有 ， 解得：， 即不规则图案的面积为． 故选：A． 9．（25-26七年级下·江苏南京·月考）体育场内，所在的队伍与其他十六支队伍进行足球比赛，比赛采用晋级赛的形式（即共分为四轮比赛，每一轮比赛中，随机抽取一支队伍轮空直接晋级下一轮，非轮空的队伍之间两两进行比赛，胜者晋级下一轮．最后一轮结束时，由轮空队伍与该轮获胜队伍进行总决赛，总决赛胜者为冠军）假定每支队伍实力均等（即每场比赛双方的胜率均为），那么所在的队伍每一轮都被抽为轮空且最终在决赛赢得冠军的概率为（    ）．（已知：独立事件的联合概率等于各独立事件概率的乘积） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了概率的计算，根据题意，计算出每一轮比赛队伍的支数，然后求出每一轮抽到轮空概率，结合赢得总决赛的概率，算得答案即可． 【详解】解：∵所在的队伍与其他十六支队伍进行足球比赛，比赛采用晋级赛的形式， ∴第一轮共有17支队伍，第二轮共有9支队伍，第三轮共有5支队伍，第四轮共有3支队伍， ∴第一轮抽中轮空概率为，第二轮抽中轮空概率为，第三轮抽中轮空概率为，第四轮抽中轮空概率为， ∵赢得总决赛概率为， ∴那么所在的队伍每一轮都被抽为轮空且最终在决赛赢得冠军的概率为：． 故选：B． 10．（2023七年级下·广东深圳·竞赛）的矩形被分为6个的区域，现在有6种颜色供选择，要求每个区域染一种颜色，并且相邻区域颜色不同，则一共有（   ）种染色方案？ A．13230 B．27000 C．12300 D．14400 【答案】A 【分析】本题考查了概率的应用，固定一个区域，分与其相邻的区域颜色相同或不同找出各染色方案的种数是解题的关键． 给各区域标上字母，先从区域染色，分，，颜色相同、，颜色相同且颜色不同、，颜色相同且颜色不同、，颜色相同且颜色不同及，，颜色各不相同五种情况考虑，求出各情况下染色方案的种数，再将其相加，即可求出结论． 【详解】解：给各区域标上字母，如图所示． 先从区域染色，分，，颜色相同、，颜色相同且颜色不同、，颜色相同且颜色不同、，颜色相同且颜色不同及，，颜色各不相同五种情况考虑． 当，，颜色相同时，有6种颜色可选，有5种颜色可选，有5种颜色可选，有5种颜色可选， ∴（种）； 当，颜色相同且颜色不同时，有6种颜色可选，有5种颜色可选，有4种颜色可选，有4种颜色可选，有4种颜色可选， ∴（种）； 当，颜色相同且颜色不同时，有6种颜色可选，有5种颜色可选，有4种颜色可选，有5种颜色可选，有4种颜色可选， ∴（种）； 当，颜色相同且颜色不同时，有6种颜色可选，有5种颜色可选，有4种颜色可选，有4种颜色可选，有5种颜色可选， ∴（种）； 当，，颜色各不相同时，有6种颜色可选，有5种颜色可选，有4种颜色可选，有3种颜色可选，有4种颜色可选，有4种颜色可选， ∴（种）． ∴共有（种）． 故选：A ． 11．（2024七年级下·江苏南通·专题练习）第19届亚运会将于今年9月23日到10月08日在杭州举行．其吉祥物是一组名为“江南忆”的机器人．三个吉祥物分别取名“琮琮”、“莲莲”和“宸宸”，分别代表世界遗产“良渚古城遗址”、“西湖”、“京杭大运河”．某校开展了一系列的“迎亚运”活动，其中一项是由志愿者扮演吉祥物和同学们合影留念．甲乙两位同学和三个吉祥物一起合影，站成一行，要求甲乙不相邻，且甲乙均不站在两端，则不同的站法种数为__________ ． 【答案】12 【分析】本题考查列举法所有等可能情况，把三个吉祥物“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”分别标记为，共有六种站法，再利用插空法即可求解，掌握例举法是解题的关键． 【详解】解：把三个吉祥物“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”分别标记为， 则将三个吉祥物进行排列，有： ，，，，，， 共种站法， 再将甲乙进行插空，因为甲乙不相邻，且甲乙均不站在两端，则有： ，，，，， 共有种不同的站法， 故答案为：12． 12．（25-26七年级下·北京·月考）不透明袋子中有1个黑球，2个红球，3个白球和4个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个球，放回并摇匀后重复操作，某一颜色的球出现的频率如图所示，则此球的颜色最有可能是___________． 【答案】红球 【分析】根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到抽到该球的概率为，再分别计算出抽到四种颜色的球的概率即可得到答案． 【详解】解：观察统计图可知：该球的频率稳定在左右， 即抽到该球的概率为， 球的总个数为：（个）， 抽到黑球的概率为， 抽到红球的概率为， 抽到白球的概率为， 抽到黄球的概率为， 所以此球的颜色最有可能是红球． 13．（2022·七年级下 北京海淀）一个袋中装有偶数个球，其中红球个数恰好是黑球的2倍，甲、乙、丙是三个空盒．小邱每次从袋中任意取出两个球，先将一个球放入甲盒，如果先放入甲盒的球是红球，则另一个球放入乙盒：如果先放入甲盒的球是黑球，则另一个球放入丙盒，重复上述过程，直到袋中所有的球都被放入盒中． （1）某次从袋中任意取出两个球，若取出的球都没有放入丙盒，则先放入甲盒的球的颜色是________； （2）若乙盒中最终有5个红球，3个黑球，则袋中原来最少有________个球． 【答案】 红色 24 【分析】（1）根据放球规则，可知若取出的球都没有放入丙盒，则放入了乙盒，由此得出先放入甲盒的球的颜色是红色； （2）由题意可知取两个球共有四种情况：①红红，②黑黑，③红黑，④黑红．那么，每次乙盒中得一个红球，甲盒最少得到1个红球，以及红球数黑球数的2倍，且球的个数为偶数，即可求解． 【详解】（1）某次从袋中任意取出两个球，若取出的球都没有放入丙盒， 放入了乙盒， 先放入甲盒的球的颜色是红色． 故答案为：红色； （2）由题意，可知取两个球共有四种情况： ①红红，则乙盒中红球数加1， ②黑黑，则丙盒中黑球数加1， ③红黑（红球放入甲盒），则乙盒中黑球数加1， ④黑红（黑球放入甲盒），则丙盒中红球数加1． 那么，每次乙盒中得一个红球，甲盒最少得到1个红球， 乙盒中最终有5个红球时，甲盒最少有5个红球， 乙盒中得到1个黑球，甲盒中最少得到1个红球 乙盒中最终有3个黑球时，甲盒最少有3个红球， 甲盒中至少有8个红球，乙盒中有5个红球和3个黑球， 至少有13个红球和3个黑球， 红球数是黑球数的2倍，且球的个数为偶数， 此时明显不满足条件， 红球至少16个，黑球至少有8个， 袋中原来最少有个球． 故答案为：24． 【点睛】本题考查了推理与论证，训练了学生的逻辑思维能力，有一定难度．根据题意得出取两个球共有四种情况，进而分析得到结论是解题的关键． 14．（25-26七年级下·北京顺义·专项练习）如图，有8张标记数字1-8的卡片．甲、乙两人玩一个游戏，规则是：甲、乙两人轮流从中取走卡片；每次可以取1张，也可以取2张，还可以取3张卡片（取2张或3张卡片时，卡片上标记的数字必须连续）；最后一个将卡片取完的人获胜． 若甲先取走标记2，3的卡片，乙又取走标记7，8的卡片，接着甲取走两张卡片，则________（填“甲”或“乙”）一定获胜；若甲首次取走标记数字1，2，3的卡片，乙要保证一定获胜，则乙首次取卡片的方案是________．（只填一种方案即可） 【答案】 甲 取走标记5，6，7的卡片（答案不唯一） 【分析】由游戏规则分析判断即可作出结论． 【详解】解：若甲先取走标记2，3的卡片，乙又取走标记7，8的卡片，接着甲取走两张卡片，为4，5或5，6，则剩余的卡片为1，6或1，4，然后乙只能取走一张卡片，最后甲将一张卡片取完，则甲一定获胜； 若甲首次取走标记数字1，2，3的卡片，乙要保证一定获胜，则乙首次取卡片的方案5，6，7，理由如下： 乙取走5，6，7，则甲再取走4和8中的一个，最后乙取走剩下的一个，则乙一定获胜， 故答案为：甲；5，6，7（答案不唯一）． 【点睛】本题考查游戏公平性，理解游戏规则是解答的关键． 15．（25-26七年级下·北京·月考）一个袋中装有偶数个球，其中黑球、白球各占一半，甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，先随机将其中一个球放入甲盒．如果先放入甲盒的球是黑球，则另一个球放入乙盒；如果先放入甲盒的球是白球，则另一个球放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有的球都被放入盒中． （1）某次从袋中任意取出两个球，若取出的球都没有放入丙盒，则先放入甲盒的球的颜色是__________． （2）若乙盒中最终有6个黑球，则袋中原来最少有__________个球． 【答案】 黑 【分析】本题主要考查了推理与论证，训练了学生的逻辑思维能力，有一定难度．根据题意得出取两个球共有四种情况，进而分析得到结论是解题的关键． （1）由题意可知若取出的球都没有放入丙盒，则先放入甲盒的是黑球，由此可得答案； （2）根据题意列出所有取两个球往盒子中放入的情况，然后对每种情况分析即可． 【详解】解：（1）依题意得，若先放入甲盒的球是白球，则另一个球放入丙盒．但取出的球都没有放入丙盒，因此先放入甲盒的球不能是白球，只能是黑球． 故答案为黑． （2）由题意得，可知取两个球共有四种情况： ①黑+黑，则乙盒中黑球数加1， ②白+白，则丙盒中白球数加1， ③黑+白（黑球放入甲盒），则乙盒中白球数加1， ④白+黑（白球放入甲盒），则丙盒中黑球数加1． 分析可知，只有当从袋中取出的两个球都是黑球时，乙盒中才会增加一个黑球． 因此，乙盒中最终有6个黑球，说明取出两个黑球的操作发生了6次． 该操作共用去黑球(个)． 因为袋中黑球、白球各占一半， 所以袋中原来最少有个黑球和个白球． 故袋中原来最少有(个)球． 故答案为：． 16．（25-26七年级下·四川绵阳·专项练习）同时抛掷两枚质地均匀，大小、颜色完全相同的骰子，每个骰子的六个面依次标记着数字1，2，3，4，5，6，记下向上的点数． (1)列举出所有可能出现的结果，并计数一共有多少种？ (2)求两枚骰子向上的点数均为奇数的概率． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查古典概型概率计算相关知识，熟练掌握古典概型概率的计算是解题的关键． （1）通过列表法列举出所有情况； （2）结合古典概型的概率公式求解即可． 【详解】（1）解：共有种情况 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 （2）解：满足两枚骰子向上的点数均为奇数的结果有9个， 故两枚骰子向上的点数均为奇数的概率． 17．（25-26七年级下·北京·专项练习）临近元旦节，小雪家从网上购买了4箱“库尔勒”香梨，但开箱验货后，发现其中混入了若干“红酥梨”．统计后发现每箱中最多混入了2个“红酥梨”，具体数据见表： 每箱混入“红酥梨”个数/个 0 1 2 箱数/箱 1 m n 若事件“每箱中混入1个红酥梨”的概率为 (1)求m和n的值； (2)小雪准备将其中两箱送给舅舅，她从4箱中随机挑选了两箱，用列举法求两箱中一共混入了1个“红酥梨”的概率． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查概率，熟练掌握概率的求法是解题的关键； （1）由概率公式求出，即可得出； （2）列举法得出共有6种等可能的结果，其中两箱中一共混入了1个“红酥梨”的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：∵事件“每箱中混入1个红酥梨”的概率为， ∴， ∴， ∴； （2）解：把没有“红酥梨”的1箱记为A，混入了1个“红酥梨”的记为、，混入了2个“红酥梨”的记为C，从4箱中随机挑选两箱的情况有、、、、、，共6种等可能的结果，其中两箱中一共混入了1个“红酥梨”的结果有，共2种， ∴两箱中一共混入了1个“红酥梨”的概率为． 18．（2025·七年级下 江苏泰州）泰州是个好地方，素有“早上皮包水，晚上水包皮”生活习惯，泰州早茶更是闻名遐迩，某天甲、乙两人来泰州旅游，到某茶社吃早茶，他们点一笼杂笼包子，共4个，外形、大小均相同，只是其中的馅不同，2个是肉馅，另2个是秧草馅， (1)若甲先用筷子随机夹了1个，咬开后发现是肉馅的，随后乙用筷子在剩下的3个中随机夹1个，则乙夹的包子是秧草馅的概率为 ； (2)请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人各吃的2个包子的馅均为1个肉馅1个秧草馅的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了概率的计算，熟练掌握概率公式以及用列表法或树状图法求概率是解题的关键． （1）先确定甲夹走一个肉馅后剩下包子的情况，再根据概率公式计算乙夹到秧草馅的概率． （2）通过列表法列出所有可能的结果，再找出符合条件的结果数，最后根据概率公式计算概率． 【详解】（1）解：甲夹走一个肉馅后，剩下个肉馅，个秧草馅，共个包子． 所以乙夹的包子是秧草馅的概率为． （2）解：将个肉馅包子记为、，个秧草馅包子记为、，列表如下： 甲 乙 结果 共有种等可能的结果，其中甲、乙两人各吃的个包子的馅均为个肉馅个秧草馅的结果有种． 所以甲、乙两人各吃的个包子的馅均为个肉馅个秧草馅的概率为． 19．（25-26七年级下·江苏南京·期中）图、、是正方形的网格纸板，现进行投针试验，分别随意向三个纸板上投一针． (1)分别求出投中纸板、上的阴影部分的概率． (2)请在图中选取部分方格涂上阴影，使得投中阴影部分的概率等于（1）中求得的概率． (3)如果把纸板上的虚线去掉，（1）、（2）中求得的概率发生变化吗？你能总结出投中阴影部分概率的公式吗？ 【答案】(1)， (2)见解析 (3)概率不发生变化，阴影部分概率的公式为 【分析】本题主要考查了几何概率的求法，解题的关键是掌握简单概率公式． （1）利用简单概率公式求解即可； （2）根据概率公式画出图形即可； （3）根据简单概率公式判断即可． 【详解】（1）解：大正方形包含的小正方形个数为（个） 图①阴影部分的正方形个数为8个， 投中纸板上阴影部分的概率为； 图②阴影部分可以看作是矩形的对角线和小正方形的对角线构成的三角形， 每一个阴影三角形的面积等于的矩形面积的一半，即为2个小正方形的面积， 图②阴影部分的正方形个数为个， 投中纸板上阴影部分的概率为； （2）解：涂色如下： （3）解：概率不发生变化， 阴影部分概率的公式为． 20．（2023七年级下·全国）一场数学游戏在两个非常聪明的学生甲、乙之间进行，裁判在黑板上写出正整数2，3，4，…，2006，然后随意擦去一个数，接下来由甲、乙两人轮流擦去其中一个数（即乙先擦去其中一个数，然后甲再擦去一个数）．如此下去，若最后剩下的两个数互素，则判甲胜；否则，判乙胜，按照这种游戏规则，求甲获胜的概率（用具体数字作答）． 【答案】 【详解】解  获胜的关键，要看裁判擦去的是奇数还是偶数，注意到2，3，4，…，2006中有1003个偶数，1002个奇数． （1）若裁判擦去的是奇数，则乙一定获胜． 乙不管甲擦去什么数，只要有奇数，乙就擦去奇数（没有奇数时才擦去偶数）这样最后两个数一定都是偶数，它们不互素，故乙胜． （2）若裁判擦去的是偶数，则所剩的2004个数可配成1002对，每对中两个数互补：，，…，，，…， 这样不管乙擦去哪个数，甲都擦去所配对中另一个数，最后剩下的两数必然是配成一对的两个数，它们互素，故甲胜． 所以，甲获胜的概率为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.3 等可能事件的概率重难点题型专训 （1个知识点+10大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 列举随机试验所有可能结果 题型二 判断试验所得结果是否等可能的 题型三 列举法求概率 题型四 根据概率公式计算概率 题型五 根据概率作判断 题型六 已知概率求数量 题型七 游戏公平性 题型八 几何概率 题型九 概率在转盘抽奖中的应用 题型十 概率的其他应用 拓展训练一 概率计算综合题 拓展训练二 概率在游戏与生活中的应用 知识点一：概率的定义及计算公式 1. 概率的定义 一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记为P(A)． 2. 概率的计算公式 一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P(A)＝． 3. 概率的取值 （1）当事件A是必然事件时，P(A)＝1； （2）当事件A是不可能事件时，P(A)＝0； （3）当事件A是随机事件时，P(A)满足0＜P(A)＜1． 【即时训练】 1．（2026七年级下·北京西城·专题练习）从本语文教材、本数学教材、本英语教材中随机取出一本书，若选取每本教材的可能性相等，选取的书不是数学教材的概率是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·河南濮阳·专项练习）将事件“从装有个红球、个白球的口袋中随机取出一个球，该球恰好为红球（这些球除颜色外完全相同）”发生的概率标注在下图正确位置的是_____（填写对应的字母）． 【经典例题一 列举随机试验所有可能结果】 【例1】（2022·七年级下 福建厦门）某种型号的变速自行车的主动轴上有三个齿轮，齿数分别是，，；后轴上有四个齿轮，齿数分别是，，，，则这种变速车共有多少档不同的车速（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025·七年级下 贵州遵义）在一次数学活动课上，李老师带学生做一个数学游戏，伸出右手，张开5指，然后任意弯曲两指，问同学们一共有多少种弯曲方式？同学们通过讨论，得出共有10种弯曲方式．接下来，李老师又说，伸出左手，握成拳头，然后任意张开三指，请问一共有________种张开方式． 1．（25-26七年级下·福建厦门·月考）飞行棋是一种玩法简单的竞技游戏，玩家投掷一个骰子得到正面朝上的点数，确定前进的步数，刚好走到终点则胜利；若所得点数超过到达终点所需的步数则需要往回走所超点数的步数．如图所示，在一次飞行棋游戏的最后阶段，如果小明投掷骰子的次数不超过两次就能刚好到达终点，则到达终点的方式有（   ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 2．（24-25七年级下·江苏苏州·自主招生）众所周知，八纲辩证是我国中医诊断学基础，八纲分别为阴阳、表里、寒热、虚实，每纲对应病症不同，则共有多少种病症．（　　） A． B． C． D． 3．（2025·七年级下 北京）某企业研发并生产了一种新设备，计划分配给A，B，C，D四家经销商销售．当一家经销商将分配到的n台设备全部售出后，企业从该经销商处获得的利润（单位：万元）与n的对应关系如下： … A 40 60 B 30 55 75 90 100 105 C 20 40 60 70 80 90 … D 14 38 62 86 110 134 … （1）如果企业将5台设备分配给这四家经销商销售，且每家经销商至少分配到1台设备，为使5台设备都售出后企业获得的总利润最大，应向经销商_______分配2台设备（填“A”“B”“C”或“D”）； （2）如果企业将6台设备分配给这四家经销商中的一家或多家销售，那么6台设备都售出后，企业可获得的总利润的最大值为_______万元． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）求解下列问题： （1）在1～10这10个自然数中，每次取两个数，使得所取两数之和大于10，共有多少种取法？ （2）在1～100这100个自然数中，每次取两个数，使得所取两数之和大于100，共有多少种取法？ （3）你还能提出什么问题？ （4）各边长度都是整数、最大边长为11的三角形有多少个？本题与上述哪个问题有联系？它们的区别是什么？ 【经典例题二 判断试验结果是否等可能】 【例1】（23-24七年级下·山东济南·专项练习）下列说法正确的是（    ） A．天气预报说章丘区明天降水概率非常大，则明天章丘区会下雨是必然事件 B．某彩票中奖率为5%，小明买了4张这种彩票，前3张都没有中奖，则最后一张中奖的概率仍为5% C．任意抛掷一枚图钉10次，针尖全都向上，则抛掷一枚图钉针尖向上为必然事件 D．射击运动员射击一次只有2种可能的结果：中靶或脱靶，所以他中靶的概率为 【例2】（23-24七年级下·河北衡水·期中）在一次数学活动课上，某数学老师将1~10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下），他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：7；乙：12；丙：17；丁：3；戊：16根据以上信息，下列判断正确的是（    ） A．戊同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7 B．丙同学手里拿的两张卡片上的数字是9和8 C．乙同学手里拿的两张卡片上的数字是4和8 D．甲同学手里拿的两张卡片上的数字是2和5 1．（25-26七年级下·山东德州·期中）下列随机事件属于“等可能性事件”的是（   ） A．交通信号灯出现红色、绿色、黄色 B．掷一枚图钉，落地后钉尖“朝上”或“朝下” C．小明用随机抽签的方式选择、、三种答案，分别选中、、 D．小亮在沿着“直角三角形”的小路散步，他出现在各边上 2．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）小梅随机选择在下周一至周五的某一天去打新冠疫苗，则她选择在周二去打疫苗的概率为（    ） A．1 B． C． D． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）将一枚图钉抛起，落地后会出现“钉尖朝上”和“钉帽朝上”两种情况．有人认为这两种情况是等可能的，因此“钉尖朝上”的概率是．请判断该观点是否正确，并说明理由． 4．（2024·七年级下 福建福州）一个不透明的袋中有个球，分别标有，，，，这五个号码，这些球除号码外都相同，搅匀后任意摸出一个球． (1)会出现哪些可能的结果？ (2)每个结果出现的可能性相同吗？猜猜它们的概率分别是多少？ 【经典例题三 列举法求概率】 【例1】（2026·七年级下 安徽阜阳）酱香拿铁咖啡为了促进消费，在一箱6瓶的酱香拿铁咖啡中设置2瓶有奖，在该瓶的瓶盖内印有“奖”字，明明买了一箱，连续打开2瓶均未能中奖，如果在剩下的咖啡中任意拿出2瓶，那么他拿出的2瓶都中奖的概率是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2026·七年级下 安徽铜陵）某校文学社开展了关于中国古代四大名著的专题阅读活动，小轩同学通过抽签的方式从这四部名著中随机抽取两部进行深度研读，则他抽取的两部名著恰好是《西游记》和《红楼梦》的概率是______． 1．（23-24七年级下·浙江绍兴·自主招生）第届亚运会将于年9月在中国杭州举行．近期，组委会将组织名测试员对个不同场馆的运行状态进行测试，现要求每名测试员都参与测试且只测试一个场馆，每个场馆至少安排一名测试员，问共有多少种不同的安排方案（　　） A． B． C． D． 2．（2024七年级下·全国）有一个掷骰子的游戏，第一个人将一颗骰子抛掷一次，第二个人将一颗骰子抛掷2次，第三个人将一颗骰子抛掷3次……第个人将一颗骰子抛掷次，记表示“第个人次抛掷骰子时朝上的面上的点数之和大于”．现有下列结论：①是必然事件；②发生的概率为；③可能发生；④发生的概率大于0．其中正确结论的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．（25-26七年级下·江西景德镇·期中）物理老师在复习《物质的形态及其变化》这一章内容时，将写有“汽化”“液化”“熔化”“升华”字样的卡片背面朝上吸附在黑板上（背面完全一样），小明和小颖先后抽取一张卡片（不放回），则抽到的卡片内容对应的物态变化过程都是要吸热的概率是______． 4．（2024·七年级下 江苏南京）现有五种纯净物，分别为：，根据化学知识，依据金属活动性的不同，部分金属单质不能与反应．（金属活动性顺序表：钾 钙 钠 镁 铝 锌 铁 锡 铅 （氢） 铜 汞 银 铂 金） (1)任意选出两种纯净物，其中有的概率为多少？ (2)任意选出三种纯净物，能发生反应的概率为__________． 【经典例题四 概率公式计算概率】 【例1】（25-26七年级下·河南鹤壁·月考）河南地处中原，物产丰饶，许多特产闻名全国，灵宝苹果、新郑红枣、信阳毛尖、焦作山药，就是其中的优秀代表．小明同学参加学校“我为家乡代言”活动，打算从以上四种特产中选择两种拍摄宣传短片．若将这四种特产的名字分别写在四张完全相同的卡片上（每张卡片只写一种特产），洗匀后背面朝上放在桌面上，随机抽取两张卡片，则恰好抽到写着灵宝苹果和信阳毛尖的卡片的概率是（     ） A． B． C． D． 【例2】（2026·七年级下 安徽阜阳）某生态农场里有番茄苗（生长周期天）、黄瓜苗（生长周期天）、辣椒苗（生长周期天）、茄子苗（生长周期天）四种菜苗．农民想选两种菜苗搭配种植，生长周期总和为天的组合更利于轮作，随机选两种菜苗，生长周期和刚好为天的概率为________． 1．（25-26七年级下·湖南衡阳·自主招生）“珠算”一词最早见于东汉徐岳所撰的《数术记遗》．其中有云：“珠算控带四时，经纬三才．”用如图所示的算盘表示数时，约定每档中有两粒算珠（上珠中最上面一粒和下珠中最下面一粒）不使用．如果一个数在算盘上能够用个位、十位和百位这三档中的2粒算珠表示，则这个数能够被5整除的概率是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·四川达州·期中）某商场迎新促销活动，设置了一个转盘，转盘平均分成五部分．规定购买物品金额每超过200元就可以抽一次奖．当转盘停在红色区域则可以获得奖品．小明购买 405元的物品，他获得奖品的概率 P（获得奖品）（ ） A．1 B． C． D． 3．（25-26七年级下·四川成都·月考）小航和小珂玩猜数字游戏时，把小航猜的数字记为x，小珂猜的数字记为y，且x，y是，1，2，4四个数其中的某一个，若在平面直角坐标系中，点恰好落在直线上，则称小航和小珂“心有灵犀”，则小航和小珂“心有灵犀”的概率为______． 4．（25-26七年级下·河南安阳·月考）有甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有2个黄球和6个红球，乙口袋中装有4个黄球和12个红球，每个口袋中的小球除颜色外完全相同，现分别从两个口袋中摸出1个球． 小明说：“因为乙口袋中黄球比甲口袋中黄球多，所以从乙口袋中摸到黄球的概率大于从甲口袋中摸到黄球的概率．” 小丽说：“因为甲口袋中红球比黄球多4个，乙口袋中红球比黄球多8个，所以从甲口袋中摸到黄球的概率大于从乙口袋中摸到黄球的概率．” 你认为谁的说法正确，说明理由． 【经典例题五 根据概率作判断】 【例1】（25-26七年级下·全国·课后作业）某班共有学生36人，其中男生20人，女生16人，今从中选一名班长，任何人都有同样的当选机会，下列叙述正确的是（    ） A．男生当选与女生当选的可能性相等 B．男生当选的可能性大于女生当选的可能性 C．男生当选的可能性小于女生当选的可能性 D．无法确定 【例2】（2026七年级下·广西·专题练习）抛掷一个质地均匀的正方体木块（6个面上分别标有1，2，3中的一个数字），若向上一面出现数字1的概率为，出现数字2的概率为，则该木块不可能是（    ） A． B． C． D． 1．（25-26七年级下·江苏苏州·月考）下列说法中正确的是（    ） A．抛掷质地均匀的硬币100次，必然有50次正面朝上 B．在不透明的口袋中装有1只红球、5只白球（除颜色外其余都相同）搅匀后从中任意摸出一个球，摸出的一定是白球 C．抛掷一枚质地均匀的骰子，朝上的点数为奇数与朝上的点数为偶数的概率相等 D．某种福利彩票中奖的概率是，买100张该种彩票一定能中奖 2．（23-24七年级下·重庆渝中·专项练习）将个硬币分别单独放在桌面上，其中有个硬币反面朝上，其余硬币正面朝上．规定一次操作必须同时翻转4个不同的硬币，次操作的目标是使所有的硬币都正面朝上． ①如果，而，那么不能实现目标 ②如果，而，那么最小等于 ③如果且（为正整数），若，那么不能实现目标 以上判断正确的个数有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．（25-26七年级下·全国·周测）某农科所在相同条件下做某作物种子发芽率的试验，结果如下表所示： 种子粒数 200 300 500 700 800 900 1000 发芽种子粒数 187 282 435 624 718 814 901 种子发芽率 0.935 0.940 0.870 0.891 0.898 0.904 0.901 下面有四个说法： ①种子粒数是700时，发芽种子的粒数是624，所以种子发芽的概率是0.91； ②随着试验的种子数量的增加，发芽种子的频率在0.9附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计种子发芽的概率约为0.9； ③试验的种子粒数最多的那次试验得到的种子发芽的频率一定是该作物种子发芽的概率； ④若用频率估计种子发芽的概率约为0.9，则可以估计种子中大约有的种子不能发芽． 其中合理的是____________（填序号）． 4．（24-25七年级下·广东佛山·专项练习）某商家“幸运抽奖”活动规则：参与者可从数字1-9中任选一个翻牌，有机会赢取礼品．牌的正、反面（部分）内容如图所示，其中为石湾公仔，为佛山剪纸，为盲公饼，为木版年画，为谢谢参与． (1)事件“随机翻一个牌，赢取礼品是木版年画”是什么事件？ (2)若“②奖牌反面”中出现的次数是的2倍，则（抽到）________； (3)请在“③奖牌反面”中重新设计奖牌反面的内容，须同时满足以下条件： *包含“”； *（抽到）（抽到）（抽到）（抽到）． 【经典例题六 已知概率求数量】 【例1】（25-26七年级下·重庆·月考）一个不透明的盒子中装有20个除颜色不同外其他都相同的乒乓球，将其摇匀，从中随机摸出一个乒乓球并记录颜色，记录后放回．通过多次重复试验后发现摸到黄球的频率为，估计盒子中黄球的个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【例2】（2022·七年级下 辽宁辽阳）在一个不透明的盒子中装有m张看上去无差别的卡片，其中两面均为蓝色的卡片只有4张．搅匀后，从盒子中任意抽出1张卡片检查并记录卡片的类型，再放回盒子中．通过大量重复抽取卡片实验，发现抽到两面均为蓝色卡片的频率稳定在0.2附近，则的值约为___________． 1．（25-26七年级下·浙江杭州·专项练习）1777年，法国数学家布丰做过一个投针试验：把画有等距平行线的白纸平铺在桌面上，将长度为该平行线间距一半的小针，随机投掷到该白纸上．记录针与直线相交的情况，得到部分数据，如表： 抛掷次数 1000 2000 3000 4000 5000 “针与直线相交”的频数 314 620 945 1257 1570 若投掷的次数为8000，则“针与直线相交”的频数可能最接近（    ） A．2000 B．2500 C．3500 D．4000 2．（25-26七年级下·四川成都·专项练习）在一个不透明的口袋中装有若干个白球和3个红球，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀．从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，发现摸到红球的频率稳定在左右，则白球的个数约为（   ） A．9 B．12 C．15 D．18 3．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，有一张平整的银杏叶平铺在的地面上，小惠同学为了了解该银杏叶的面积，进行了以下试验操作：先用一个边长为的正方形，将银杏叶围在其中；然后在正方形区域内随机投掷小针，记录小针投中银杏叶的次数（小针投在正方形区域外或投在边界上，则不计试验结果，重新投掷），随着试验次数增加，发现小针投中银杏叶的频率稳定在左右，根据以上试验结果，估计该银杏叶的面积为____． 4．（25-26七年级下·贵州黔西南·专项练习）黔西南州某中学为丰富学生课余生活，举办了“校园文化艺术节”，其中书法比赛设置一、二、三等奖若干名．已知获得一等奖的概率为0.1，获得二等奖的概率为0.2，获得三等奖的概率为0.3． (1)求未获奖的概率； (2)若该校有200名学生参加书法比赛，求获得一等奖的学生人数； (3)某班从甲、乙、丙、丁四位同学中随机选取2人参加此次书法比赛，求刚好选中甲和丙两位同学的概率． 【经典例题七 游戏公平性判断】 【例1】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，若干名同学玩扔石子进筐游戏，图①、图②分别是两种游戏方式．关于这两种方式的“公平性”有下列4种说法，其中正确的是（    ） A．两种均公平 B．两种均不公平 C．仅图①公平 D．仅图②公平 【例2】（25-26七年级下·安徽芜湖·开学考试）盒子里装有个球，分别写着各数．小红和小明进行摸球游戏，摸到质数，小红赢；摸到合数，小明赢（摸到1，则此局为平局）．( )赢的可能性大． 1．（25-26七年级下·浙江台州·专项练习）在一个不透明的袋子中装有1个红球与3个黄球，四个球除颜色外，其它均相同．规则是：小丁同学摸一个球，不放回；小王同学再摸一个球，不放回；小林同学再摸一个球，不放回；小陈同学最后摸走剩余的球．摸到红球的人，可获得电影票一张． 小陈说：我最后一个摸球，获得电影票的概率最小，应该4人同时摸球才公平． 小林说：如果前面3人都没摸到红球，小陈肯定获得电影票，因此小陈获得电影票的概率最大． 小王说：不论同时摸球还是按顺序摸球，每人获得电影票的概率都是． 小丁说：先摸与后摸，获得红球的概率都是，因此这个规则是公平的． 以上4位同学的说法，正确的是（   ） A．小陈与小林 B．小林与小丁 C．小林与小王 D．小王与小丁 2．（2022·七年级下 湖北武汉）甲、乙两人玩“石头，剪刀，布”的游戏，约定只玩一局，描述错误的是（    ） A．甲，乙获胜的概率均低于0.5 B．甲，乙获胜的概率相同 C．甲，乙获胜的概率均高于0.5 D．游戏公平 3．（23-24七年级下·贵州六盘水·期中）小李和小王在拼图游戏中，从如图三张纸片中任取两张，如拼成房子，则小李赢；否则，小王赢．你认为这个游戏公平吗？_____（填“公平”或“不公平”）．    4．（24-25七年级下·上海·月考）小明发现路边一游戏摊在掷正方体骰子，规则是出现点获元，掷一次付元，小明记录如下： 游客 投掷次数 中奖次数 试通过运算揭示该游戏中骰子是否均匀？对游客来说是骗局吗？ 【经典例题八 几何概率计算】 【例1】（25-26七年级下·全国·单元测试）教室地面的瓷砖如图所示，一把钥匙被藏在某种颜色的一块瓷砖下面，则下列判断中，正确的是（   ） A．被藏在白色瓷砖下的概率大 B．被藏在灰色瓷砖下的概率大 C．被藏在两种瓷砖下的概率一样大 D．无法确定 【例2】（25-26七年级下·广东中山·专项练习）用一张正方形纸板依据图1进行折叠、剪切，可以制作出图2所示的七巧板，在该七巧板上随机钉一枚图钉，则图钉的钉尖恰好落在区域①这块三角板的概率是_______． 1．（2026七年级下·黑龙江齐齐哈尔·专题练习）从正方形四个顶点及其中心这五个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·山东济南·期中）如图所示，在两个全等的正方形纸片上，分别绘有大小不等的圆，其中正方形甲中圆的直径与正方形的边长相等，正方形乙中的四个圆互不重叠，其直径均为正方形边长的一半，所有圆均在相应正方形的内部．若向每个正方形中随机投掷一个点，在甲、乙两个正方形中点落在阴影部分的概率分别为、，则（     ） A． B． C． D．与正方形的边长有关，无法判断 3．（23-24七年级下·河南郑州·专项练习）张老师把边长为4的正方形厚纸板分成七部分，如图1所示，然后将它割开，制成七巧板．用自制的七巧板在一个大矩形中拼出如图2所示的图案，如果小球在如图2所示的大矩形中自由地滚动，那么它最终停留在阴影区域的概率是________．      4．（25-26七年级下·全国·单元测试）按要求完成题目： (1)如图①．在正方形内，有一个内切圆．利用电脑设计程序：在正方形内随机产生一些点，当点数很多时，电脑自动统计正方形内的点数为，圆内的点数为（在正方形边上和圆上的点不统计）．根据用频率估计概率的思想，推得的大小（用含，的式子表示）； (2)如图②所示的是一个可以自由转动的质地均匀的转盘，任意转动转盘，当转盘停止时，计算指针落在蓝色区域的概率； (3)有一个小球在如图③所示的地板上自由滚动，地板上的每个小格子都是边长为1的正方形．求小球最终停留在阴影区域的概率． 【经典例题九 转盘抽奖概率应用】 【例1】（25-26七年级下·广东清远·专项练习）学校科技节设置转盘抽奖活动，转盘上有六个全等的区域，颜色分布如图(黄、蓝、蓝、红、蓝、红)．若指针固定不动，转动转盘，当转盘停止后，指针对准红色区域即可获奖，则获奖的概率是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·广东汕头·专项练习）某超市的抽奖活动转盘，一等奖、二等奖、三等奖区域的面积比为，则一名顾客转动一次转盘，获奖可能性最大的奖项是_________． 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，转盘被划分成六个相同大小的扇形，并分别标上这六个数字转动转盘，当转盘停止后，观察指针停在哪个扇形区域，四位同学发表了下列见解： 甲：如果指针前三次都停在了3号区域，那么下次就一定不会停在3号区域； 乙：只要指针连续转6次，一定会有一次停在6号区域； 丙：指针停在奇数号区域的可能性与停在偶数号区域的可能性一样； 丁：只要在转动前默默想好让指针停在6号区域，指针停在6号区域的可能性就会加大． 其中，见解正确的为（    ）． A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）在转盘游戏中，如果转出的第一个数是9，为使四位数最大，应将它填在（    ） A．第一格 B．第二格 C．第三格 D．第四格 3．（2023·七年级下 山东青岛）小明参加了一个抽奖游戏：一个不透明的布袋里装有1个红球，2个蓝球，4个黄球，8个白球，这些小球除颜色外完全相同．从布袋里摸出1球，摸到红球、蓝球、黄球、白球可分别得到奖金30元、20元、5元和0元，则小明摸一次球得到的平均收益是________元． 4．（23-24七年级下·陕西榆林·专项练习）某班在爱心义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘（转盘被分成面积相等的小扇形），如图所示，同时规定：顾客购物满20元就能获得一次转动转盘的机会，下表是活动中的统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 300 400 500 指针落在“谢谢参与”区域的次数m 29 60 93 122 b 指针落在“谢谢参与”区域的频率 0.29 0.3 0.31 0.296 (1)填空：________________，__________________； (2)当转动转盘的次数n很大时，估计转动转盘一次，转盘停止后指针落在“谢谢参与”区域的概率；（结果精确到0.1）； (3)若顾客转动转盘一次，得到奖品“盲盒”的概率记为，得到奖品“贴纸”的概率记为比较与的大小． 【经典例题十 概率综合实际应用】 【例1】（2024·七年级下 湖南长沙）“交通文明，让长沙与我一起白头偕老”．自长沙开展“文明城市创建”以来，我市学生更加自觉遵守交通规则．某校学生小明每天骑自行车上学时都要经过一个路口，该路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到绿灯的概率为，遇到黄灯的概率为，那么他遇到红灯的概率为（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·山西运城·专项练习）如今我们生活在数字时代，很多场合都要用到二维码，小彤帮妈妈打印了一个收款二维码，如图所示，该二维码的面积为，他在该二维码内随机投点，经过大量的重复试验发现，点落在白色区域的频率稳定在左右，则据此估计该二维码中黑色区域的面积为______． 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）在三行三列的方格棋盘上沿骰子的某条棱翻动骰子（相对面上分别标有1点和6点，2点和5点，3点和4点）．开始时，骰子如图（1）所示摆放，朝上的点数是2，最后翻动到如图（2）所示位置．现要求翻动次数最少，则最后骰子朝上的点数为2的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（2023七年级下·湖北随州）取一根长为米的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不少于米的概率是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·七年级下 河南濮阳）某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如图所示的折线统计图，由该图可估计移植这种树苗2000棵，成活的大约有______________棵． 4．（25-26七年级下·贵州六盘水·专项练习）“一岁一端午，一年一安康．”端午节期间，某商场的打折销售活动规定：凡在本商场购物满180元，可转动转盘一次（若指针指向两个扇形的交线，则重新转动转盘），并根据所转结果付账，转盘如图所示． (1)分别求出打七五折，打五折的概率； (2)小红和小明分别购买了价值200元的商品，活动后一共付账300元，求他俩获得优惠的所有情况． 【拓展训练一 概率计算综合题】 【例1】（2026·七年级下 河北沧州）如图是某通道的部分通行路线示意图，若从入口驾车进入，行至每个岔路口选择前方两条线路的可能性相同，则从口驶出的概率是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025·七年级下 宁夏银川）如图为我市科技馆“科技与生活”和“挑战与未来”两个展厅的路线图．嘉嘉同学通过入口后，随机选择一条道路前进．每个路口再任选一条道路，最终到达任意一展厅后停止前进，则嘉嘉最后进入“科技与生活”展厅的概率是________． 1．（2023·七年级下 山东）桌上共有3只茶杯，杯口均朝上，现翻转茶杯7次，每次翻转1只，翻转后杯口朝下的个数为奇数的概率为（    ） A． B． C．1 D．0 2．（23-24七年级下·湖北十堰·自主招生）东风高中举办校庆活动需要一批志愿者，高一、高二、高三这三个年级报名参加志愿活动的学生人数比例为，学校从每个年级报名人数中按照高一，高二，高三的比率选出一批学生成为志愿者．从所有被选出的志愿者中随机抽取一人，则该生来自高一年级的概率为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·七年级下 广东深圳）某校准备结合中国传统节日进行诗词创作活动．若从以下传统节日中选一个：春节（农历正月初一）、元宵节（农历正月十五）、端午节（农历五月初五）、中秋节（农历八月十五）、重阳节（农历九月初九），则抽到的节日在农历正月的概率为________． 4．（25-26七年级下·浙江丽水·专项练习）小明参加浙江省城市篮球联赛（浙）丽水赛区赛后粉丝抽奖活动，活动规则如下：抽奖箱中有个红球和个黄球（除颜色外其余都相同），从中任意摸出一个球，记下颜色后不放回，再摸出一个球．若两次摸出的球颜色相同，则奖励篮球一个；若两次摸出的球颜色不同，则奖励球衣一件． (1)用适当的方法列举摸球所有可能的结果． (2)求出小明同学获得篮球的概率． 红 红 黄 黄 红 红红 红黄 红黄 红 红红 红黄 红黄 黄 黄红 黄红 黄黄 黄 黄红 黄红 黄黄 【拓展训练二 概率在游戏与生活中的应用】 【例1】（2024·七年级下 浙江）在一次摸球游戏中，规定：连续摸到2个相同颜色的小球即为胜利，且每人只有一次挑战机会．小金和小华一起参加游戏，两人轮流从不透明的箱子里摸出一个小球，小金先摸．现已知箱子里有4个红球和2个白球，则下列推断正确的是（   ） A．一定是小金获胜 B．一定是小华获胜 C．若第一轮两人都摸到了白球，则一定是小金获胜 D．若第一轮两人都摸到了红球，则一定是小金获胜 【例2】（2023·七年级下 江苏盐城）如图，一个转盘被分为了A，B，C三个区域，自由转动转盘一次，当转盘停止时，指针指向A区域的概率是______． 1．（2025七年级下·山西晋中·专题练习）足球比赛前，裁判通常要掷一枚硬币来决定比赛双方的场地与首发球者，其主要原因是（   ） A．让比赛更富有情趣 B．让比赛更具有神秘色彩 C．体现比赛的公平性 D．不知道什么原因 2．（25-26七年级下·湖北武汉·月考）动物学家通过大量的调查估计：某种动物活到岁的概率为，活到岁的概率为，活到岁的概率为，现在有一只岁的动物，它活到岁的概率是(　　) A． B． C． D． 3．（2023七年级下·湖南邵阳·竞赛）甲、乙两位棋手棋艺相当，他们在一项奖金为10000元的比赛中相遇，比赛为七局四胜制（无平局）．已经进行了五局的比赛，结果为甲三胜二负．现在因故要停止比赛，问应该如何分配这10000元比赛奖金才算合理？ 答：甲得_______元；乙得_______元． 4．（24-25七年级下·广东深圳·期中）小明和小亮利用质地均匀的骰子做游戏，规则如下： ●两人同时做游戏，各自掷一枚骰子，每人可以只掷一次骰子，也可以连续地掷几次骰子． ●当一人掷出的点数和不超过10时，如果决定停止掷，那么此人的得分就是他所掷出的点数之和；当一人掷出的点数和超过10时，必须停止掷，并且得分为0． ●比较两人的得分，谁的得分高谁就获胜． 根据下面这个表格中的数据记录回答： 游戏次序 游戏者 第1次点数 第2次点数 第3次点数 得分 第一次 小明 2 3 2 小亮 3 4 6 第二次 小明 4 1 小亮 3 5 (1)在第一次游戏中，小明的最终得分是________分，小亮的最终得分是________分，所以获胜的是________（填小明或小亮）； (2)在第二次游戏中，如果小明继续掷第三次，试计算他最终得分为0的概率； (3)在第二次游戏中，如果你是小亮，在不知道小明最终得分的情况下，你会继续掷第三次吗？请说明你的理由． 1．（25-26七年级下·山西晋城·专项练习）如图，若随机闭合开关，，中的两个，则能让灯泡发光的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·陕西·开学考试）下列说法正确的是（    ） A．做3次掷图钉试验，发现2次钉尖朝上，因此钉尖朝上的概率是 B．某彩票的中奖概率是5%，那么如果买100张彩票一定会有5张中奖 C．射击运动员射击一次只有两种结果：中靶与不中靶，所以它们发生的概率都是 D．小达做了20次抛掷均匀硬币的试验，其中有5次正面朝上，15次正面朝下，他认为再做一次，正面朝上的概率是二分之一 3．（2026·七年级下 广东东莞）如图是一枚中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年双色铜合金纪念币，该纪念币质地均匀，正面图案为中华人民共和国国徽，背面主景图案为中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年纪念活动标识．若先后两次抛掷该纪念币，那么两次正面向上的概率是（   ） A． B． C． D． 4．（2026七年级下·广东深圳·专题练习）如图，是某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制的折线图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（    ） A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” B．不透明袋中有3个除颜色外均相同的小球，其中有2个红球，随机摸出一个红球 C．掷一枚质地均匀的硬币，落地时正面朝上 D．掷一枚质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6 5．（25-26七年级下·河北保定·专项练习）不透明袋子中有若干个白球（）和灰球（），这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，灰球出现的频率如图所示，则该不透明袋子不可能是（   ）． A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·山东青岛·专项练习）某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能是（    ） A．掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是2 B．从一个装有1个红球和2个白球的袋子中，随机摸出一个球，摸到红球 C．转动一个分为4等份且分别标有1，2，3，4的转盘，指针指向奇数 D．从一副去掉大小王的扑克牌中，随机抽取一张，抽到黑桃 7．（25-26七年级下·河北沧州·专项练习）一个不透明的袋子中装有除颜色外其余均相同的个红球和个黄球，从中随机摸出一个，要使摸到红球的概率是，需要向袋子中加入除颜色外其余均相同的小球，则下列方案不正确的是（    ） A．添加黄球个 B．添加红球个 C．添加红球个，黄球4个 D．添加红球个，黄球个 8．（25-26七年级下·四川达州·月考）如图1，一个长，宽的矩形内部有一不规则图案（阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积，进行了模拟试验，通过计算机向这个矩形内部随机投放一个点，并记录该点落在不规则图案上的次数，整理得到如图2所示的折线统计图，由此可估计该不规则图案的面积大约为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26七年级下·江苏南京·月考）体育场内，所在的队伍与其他十六支队伍进行足球比赛，比赛采用晋级赛的形式（即共分为四轮比赛，每一轮比赛中，随机抽取一支队伍轮空直接晋级下一轮，非轮空的队伍之间两两进行比赛，胜者晋级下一轮．最后一轮结束时，由轮空队伍与该轮获胜队伍进行总决赛，总决赛胜者为冠军）假定每支队伍实力均等（即每场比赛双方的胜率均为），那么所在的队伍每一轮都被抽为轮空且最终在决赛赢得冠军的概率为（    ）．（已知：独立事件的联合概率等于各独立事件概率的乘积） A． B． C． D． 10．（2023七年级下·广东深圳·竞赛）的矩形被分为6个的区域，现在有6种颜色供选择，要求每个区域染一种颜色，并且相邻区域颜色不同，则一共有（   ）种染色方案？ A．13230 B．27000 C．12300 D．14400 11．（2024七年级下·江苏南通·专题练习）第19届亚运会将于今年9月23日到10月08日在杭州举行．其吉祥物是一组名为“江南忆”的机器人．三个吉祥物分别取名“琮琮”、“莲莲”和“宸宸”，分别代表世界遗产“良渚古城遗址”、“西湖”、“京杭大运河”．某校开展了一系列的“迎亚运”活动，其中一项是由志愿者扮演吉祥物和同学们合影留念．甲乙两位同学和三个吉祥物一起合影，站成一行，要求甲乙不相邻，且甲乙均不站在两端，则不同的站法种数为__________ ． 12．（25-26七年级下·北京·月考）不透明袋子中有1个黑球，2个红球，3个白球和4个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个球，放回并摇匀后重复操作，某一颜色的球出现的频率如图所示，则此球的颜色最有可能是___________． 13．（2022·七年级下 北京海淀）一个袋中装有偶数个球，其中红球个数恰好是黑球的2倍，甲、乙、丙是三个空盒．小邱每次从袋中任意取出两个球，先将一个球放入甲盒，如果先放入甲盒的球是红球，则另一个球放入乙盒：如果先放入甲盒的球是黑球，则另一个球放入丙盒，重复上述过程，直到袋中所有的球都被放入盒中． （1）某次从袋中任意取出两个球，若取出的球都没有放入丙盒，则先放入甲盒的球的颜色是________； （2）若乙盒中最终有5个红球，3个黑球，则袋中原来最少有________个球． 14．（25-26七年级下·北京顺义·专项练习）如图，有8张标记数字1-8的卡片．甲、乙两人玩一个游戏，规则是：甲、乙两人轮流从中取走卡片；每次可以取1张，也可以取2张，还可以取3张卡片（取2张或3张卡片时，卡片上标记的数字必须连续）；最后一个将卡片取完的人获胜． 若甲先取走标记2，3的卡片，乙又取走标记7，8的卡片，接着甲取走两张卡片，则________（填“甲”或“乙”）一定获胜；若甲首次取走标记数字1，2，3的卡片，乙要保证一定获胜，则乙首次取卡片的方案是________．（只填一种方案即可） 15．（25-26七年级下·北京·月考）一个袋中装有偶数个球，其中黑球、白球各占一半，甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，先随机将其中一个球放入甲盒．如果先放入甲盒的球是黑球，则另一个球放入乙盒；如果先放入甲盒的球是白球，则另一个球放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有的球都被放入盒中． （1）某次从袋中任意取出两个球，若取出的球都没有放入丙盒，则先放入甲盒的球的颜色是__________． （2）若乙盒中最终有6个黑球，则袋中原来最少有__________个球． 16．（25-26七年级下·四川绵阳·专项练习）同时抛掷两枚质地均匀，大小、颜色完全相同的骰子，每个骰子的六个面依次标记着数字1，2，3，4，5，6，记下向上的点数． (1)列举出所有可能出现的结果，并计数一共有多少种？ (2)求两枚骰子向上的点数均为奇数的概率． 17．（25-26七年级下·北京·专项练习）临近元旦节，小雪家从网上购买了4箱“库尔勒”香梨，但开箱验货后，发现其中混入了若干“红酥梨”．统计后发现每箱中最多混入了2个“红酥梨”，具体数据见表： 每箱混入“红酥梨”个数/个 0 1 2 箱数/箱 1 m n 若事件“每箱中混入1个红酥梨”的概率为 (1)求m和n的值； (2)小雪准备将其中两箱送给舅舅，她从4箱中随机挑选了两箱，用列举法求两箱中一共混入了1个“红酥梨”的概率． 18．（2025·七年级下 江苏泰州）泰州是个好地方，素有“早上皮包水，晚上水包皮”生活习惯，泰州早茶更是闻名遐迩，某天甲、乙两人来泰州旅游，到某茶社吃早茶，他们点一笼杂笼包子，共4个，外形、大小均相同，只是其中的馅不同，2个是肉馅，另2个是秧草馅， (1)若甲先用筷子随机夹了1个，咬开后发现是肉馅的，随后乙用筷子在剩下的3个中随机夹1个，则乙夹的包子是秧草馅的概率为 ； (2)请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人各吃的2个包子的馅均为1个肉馅1个秧草馅的概率． 19．（25-26七年级下·江苏南京·期中）图、、是正方形的网格纸板，现进行投针试验，分别随意向三个纸板上投一针． (1)分别求出投中纸板、上的阴影部分的概率． (2)请在图中选取部分方格涂上阴影，使得投中阴影部分的概率等于（1）中求得的概率． (3)如果把纸板上的虚线去掉，（1）、（2）中求得的概率发生变化吗？你能总结出投中阴影部分概率的公式吗？ 20．（2023七年级下·全国）一场数学游戏在两个非常聪明的学生甲、乙之间进行，裁判在黑板上写出正整数2，3，4，…，2006，然后随意擦去一个数，接下来由甲、乙两人轮流擦去其中一个数（即乙先擦去其中一个数，然后甲再擦去一个数）．如此下去，若最后剩下的两个数互素，则判甲胜；否则，判乙胜，按照这种游戏规则，求甲获胜的概率（用具体数字作答）． 学科网（北京）股份有限公司 $