精品解析：吉林通化市梅河口市第五中学2025-2026学年高二下学期数学期中考试

高二数学期中考试 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分. 1. 定义在R上的函数，若，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数的定义求解即可. 【详解】已知，由导数的定义可以知道， 设，当时，.且 所以 2. 已知正项数列为等比数列，且是与的等差中项，若，则该数列的前5项和为（ ） A. B. 31 C. D. 以上都不正确 【答案】B 【解析】 【分析】设的公比为，，由等差数列性质可得，进而可得，再由等比数列前项和公式计算即可. 【详解】设的公比为，， 由已知得， 即， 因为，所以． 解得或（舍去），则， 所以． 故选：B． 3. 将4个相同的商品放在，，，4个空货架上，则有且仅有2个货架上有商品的放法有（ ） A. 18种 B. 20种 C. 24种 D. 120种 【答案】A 【解析】 【分析】先将4个相同的商品分成两个组，再从4个货架上选两个放入这两组商品，利用分步计数原理求解即可. 【详解】将4个相同的商品分成两个组有两种不同的分法，即1，3分组或2，2分组， 当1，3分组时，因为4个商品相同，只有一种分法，再从4个货架上选两个放入这两组商品有， 当2，2分组时，因为4个商品相同，只有一种分法，再从4个货架上选两个放入这两组商品有， 故有且仅有2个货架上有商品的放法有. 故选：A. 4. 在数列中，若，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合递推关系和首项，求出数列得前几项，归纳出数列周期为4，结合周期性求解. 【详解】因为且， 所以， ， ， ， ， 所以是以4为周期的周期数列， 所以. 故选：A. 5. 已知函数和的导函数､图象分别如图所示，则关于函数的判断正确的是（ ） A. 有3个极大值点 B. 有3个极小值点 C. 有1个极大值点和2个极小值点 D. 有2个极大值点和1个极小值点 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题中图像可知，､的图像有三个不同交点，其交点横坐标按从小到大的顺序，依次记为､，，其中；结合题中函数图像，判定函数的单调性，进而可得极值点. 【详解】由题中图像可知，､的图像有三个不同交点，其交点横坐标按从小到大的顺序，依次记为､，，其中， 由图像可得，当时，，即，则函数单调递增； 当时，，即，则函数单调递减； 当时，，即，则函数单调递增； 当时，，即，则函数单调递减； 所以有两个极大值点和；有一个极小值点. 故选：D. 【点睛】本题主要考查导函数图像与原函数之间的关系，考查极值点个数的判定，属于基础题型. 6. 已知是函数的导函数，若，且在上的最大值为5，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的导函数，由求出的值，即可得到函数在上的单调性，从而求出的值. 【详解】因为，所以， 所以，解得，所以，则， 所以当时，所以在上单调递增， 所以，解得. 故选：D 7. 四面体中，，，，且，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合图形，根据向量的线性运算法则计算即得. 【详解】因为，， 所以， 所以， 故选：B. 8. 在直三棱柱中，，若该棱柱外接球的表面积为，则侧面绕直线旋转一周所得到的旋转体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由外接球表面积得到球的半径，进而求得，即可求解. 【详解】因直三棱柱中，， 则两个底面三角形的外接圆圆心分别为的中点， 如图所示，. 设棱柱的外接球的半径为，圆心为， 由，可得，由对称性知，O为中点， 由图，解得. 因侧面绕直线旋转一周后得到的几何体是底面半径为，高为2的圆柱， 其体积为. 故选：B 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知等差数列，则下列结论正确的是（ ） A. 等差数列的公差为 B. 等差数列的通项公式为 C. 等差数列是一个单调递增的数列 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】选项A，利用等差数列性质求出，进而求出公差；选项B，根据通项公式求出；选项C，根据公差的正负判断数列单调性；选项D，利用通项公式求解特定项的项数. 【详解】选项A，，则，所以，所以A正确； 选项B，，则通项公式为，所以B错误； 选项C，由选项A知，所以C正确； 选项D，由选项B知，则当时，解得，而，所以D错误. 故选：AC. 10. 已知函数，则（ ） A. 有两个零点 B. 的极大值与极小值异号 C. 的图象关于直线对称 D. 的导函数的图象关于点对称 【答案】ACD 【解析】 【分析】求导，利用导数可得到的单调性与极值，再结合零点存在定理可判断选项AB；对于C：验证，即可判断；对于D：验证，即可判断. 【详解】， 令，得或，所以在和上单调递减； 令，得，或，在和上单调递增， 列表如下： 0 0 0 极大值2 极小值 极大值2 因为，，所以在上有且只有一个零点， 又，，所以在上有且只有一个零点，又，故A正确； 由表格知，极大值和极小值同号，故B错误； 因为， 所以的图象关于直线对称，故C正确； 因为， ， 所以的图象关于对称，故D正确. 故选：ACD. 11. （改编自北师大必修一 P197例1）袋中有白球个（编号为、、）、黑球个（编号为、），这个球除颜色、编号外完全相同．现在从中不放回地依次摸取出个，每次摸个，记事件为“第一次取到的球编号为”，事件为“第一次取到的球是黑球”，事件为“取到的两个球都是白球”．则（ ） A. 与互斥 B. C. D. 与独立 【答案】BC 【解析】 【分析】利用互斥事件的定义可判断A选项；利用对立事件的概率公式可判断B选项；利用古典概型的概率公式可判断C选项；利用独立事件的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，事件“第一次摸到编号为的黑球”，故与不互斥，A错； 对于B选项，将个编号为、、的白球分别记为、、， 将个编号为、的黑球分别记为、，基本事件总数为， ， 所以，B对； 对于C选项，，所以，C对； 对于D选项，， ， ， 所以，，， 所以，故、不独立，D错. 故选：BC. 三、填空题（本题共3小题，12-13每题5分，14题第一空2分，第二空3分，共15分．） 12. 根据导数的几何意义，则函数在处的导数值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据导数的几何意义得函数在处的导数值为半圆在点处切线的斜率，利用即可求解. 【详解】由题意得，设，又，即， 所以函数表示以原点为圆心，半径为的半圆， 则函数在处的导数值为半圆在点处切线的斜率， 又，由，解得. 13. 已知等差数列的首项为，前项和为，若，且，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等差数列通项和前项和的函数性可证得数列为等差数列，结合已知等式可求得，由可构造不等式组求得结果. 【详解】设等差数列的公差为， ，， 数列是以为首项，为公差的等差数列， ，解得：； ，，解得：， 即的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】结论点睛：若数列为等差数列，公差为，为数列的前项和，则数列是以为首项，为公差的等差数列. 14. 已知数列满足，且是的等差中项，是数列的前项和，则__________，___________. 【答案】 ①. 171 ②. 【解析】 【分析】先求出，分和，求出通项公式，进而分组求和，得到答案. 【详解】由题知，解得， 当是偶数，是奇数，故， 所以，因为， 故是首项为，公比为2的等比数列， 故，. 所以当时，， 所以 ； . 故答案为：171； 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，） 15. 已知是首项为1的等比数列，数列满足． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件得到方程，求出公比，从而得到通项公式； （2）先得到，裂项得到，进而求和即可. 【小问1详解】 设的公比为，根据题意，当时，． 即，解得．所以． 【小问2详解】 因为，所以， 方程两边都除以得． 所以． 于是． 16. （1）已知函数，若曲线在处的切线也与的图象相切，求a的值． （2）过点作曲线的切线，若这样的切线有且仅有两条，求实数a的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）先求曲线在处的切线方程，再设切线方程与的图象相切于点，利用公切线即可求解； （2）设切点坐标为，利用斜率公式得，进而得，利用二次方程即可求解. 【详解】（1），，又， 曲线在处的切线方程为． 设直线与的图象相切于点， ，， 切线方程为，即， ，解得， 所以； （2）对求导得， 设切点坐标为，则过点的切线的斜率， 化简得， 依题知，关于的方程有两个不相等的实数根， ，解得或， 故实数a的取值范围是． 17. 一年之计在于春，一日之计在于晨，春天是播种的季节，是希望的开端.某种植户对一块地的个坑进行播种，每个坑播2粒种子，每粒种子发芽的概率均为，且每粒种子是否发芽相互独立.对每一个坑而言，如果全部的种子发芽，则不需要进行补播种，否则要补播种. （1）当时，用表示要补播种的坑的个数，求的分布列与数学期望. （2）当取何值时，有4个坑要补播种的概率最大？最大概率为多少？ 【答案】（1）分布列见解析， （2）， 【解析】 【分析】（1）先求出每个坑不需补播种和需要补播种的概率，再根据二项分布求出其分布列和期望即可； （2）求出有4个坑要补播种的概率，再依据二项分布的概率最值问题解不等式求出即可. 【小问1详解】 对于一个坑，不需要补播种的概率为，需要补播种的概率为， 由题意可知，的可能取值有，且， 则，， ，， 则的分布列如下： 则数学期望为； 【小问2详解】 由（1）可知，有4个坑要补播种的概率为， 由，得， 因为为正整数，所以， 则当时，有4个坑要补播种的概率最大，最大概率为. 18. 已知是等差数列，其前项和为是等比数列，已知，是和的等比中项． （1）求和的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）记，求证：． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由求出，利用又是和的等比中项、求出； （2）利用错位相减法求出； （3）利用放缩法和裂项相消法求和可得答案. 【小问1详解】 由题意， ， 又是和的等比中项，得， 又，解得， ； 【小问2详解】 由（1），设， 则， 将以上两式相减得 ， ； 【小问3详解】 ， ， ， . 结论得证. 19. 已知函数. （1）当时，求证：； （2）若对于恒成立，求的取值范围； （3）若存在，使得，求证：. 【答案】（1）由，得. 要证，只需证. 令，则. 当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增， 所以，故， 因此. （2） （3）由（2）知，设， 则在上单调递减，在上单调递增， 注意到， 故在上存在唯一的零点. 注意到，且在上单调递增. 要证明，只需证， 因为，所以只需证， 即证. 因为，即， 所以，只需证， 只需证（*） 由（1）得， 因此， 设， 则，所以在上单调递增， 所以， 从而，即，因此（*）得证， 从而. 【解析】 【分析】（1）由由，得，构造函数，求解单调性，证明结果; （2）求解令，则，分类讨论求解的范围; （3）由（2）知，设，判断单调性，，所以只需证，由，即，只需证 （*）进而证明结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 令，则 ①当时，由，得， 因此，满足题意. ②当时，由，得， 因此，则在上单调递增. 若，则， 则在上单调递增， 所以，满足题意； 若，则， 因此在存在唯一的零点，且， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以，不合题意. 综上，的取值范围为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学期中考试 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分. 1. 定义在R上的函数，若，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 2. 已知正项数列为等比数列，且是与的等差中项，若，则该数列的前5项和为（ ） A. B. 31 C. D. 以上都不正确 3. 将4个相同的商品放在，，，4个空货架上，则有且仅有2个货架上有商品的放法有（ ） A. 18种 B. 20种 C. 24种 D. 120种 4. 在数列中，若，则 （ ） A. B. C. D. 5. 已知函数和的导函数､图象分别如图所示，则关于函数的判断正确的是（ ） A. 有3个极大值点 B. 有3个极小值点 C. 有1个极大值点和2个极小值点 D. 有2个极大值点和1个极小值点 6. 已知是函数的导函数，若，且在上的最大值为5，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 7. 四面体中，，，，且，，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 在直三棱柱中，，若该棱柱外接球的表面积为，则侧面绕直线旋转一周所得到的旋转体的体积为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知等差数列，则下列结论正确的是（ ） A. 等差数列的公差为 B. 等差数列的通项公式为 C. 等差数列是一个单调递增的数列 D. 若，则 10. 已知函数，则（ ） A. 有两个零点 B. 的极大值与极小值异号 C. 的图象关于直线对称 D. 的导函数的图象关于点对称 11. （改编自北师大必修一 P197例1）袋中有白球个（编号为、、）、黑球个（编号为、），这个球除颜色、编号外完全相同．现在从中不放回地依次摸取出个，每次摸个，记事件为“第一次取到的球编号为”，事件为“第一次取到的球是黑球”，事件为“取到的两个球都是白球”．则（ ） A. 与互斥 B. C. D. 与独立 三、填空题（本题共3小题，12-13每题5分，14题第一空2分，第二空3分，共15分．） 12. 根据导数的几何意义，则函数在处的导数值为___________． 13. 已知等差数列的首项为，前项和为，若，且，则的取值范围为__________． 14. 已知数列满足，且是的等差中项，是数列的前项和，则__________，___________. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，） 15. 已知是首项为1的等比数列，数列满足． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 16. （1）已知函数，若曲线在处的切线也与的图象相切，求a的值． （2）过点作曲线的切线，若这样的切线有且仅有两条，求实数a的取值范围． 17. 一年之计在于春，一日之计在于晨，春天是播种的季节，是希望的开端.某种植户对一块地的个坑进行播种，每个坑播2粒种子，每粒种子发芽的概率均为，且每粒种子是否发芽相互独立.对每一个坑而言，如果全部的种子发芽，则不需要进行补播种，否则要补播种. （1）当时，用表示要补播种的坑的个数，求的分布列与数学期望. （2）当取何值时，有4个坑要补播种的概率最大？最大概率为多少？ 18. 已知是等差数列，其前项和为是等比数列，已知，是和的等比中项． （1）求和的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）记，求证：． 19. 已知函数. （1）当时，求证：； （2）若对于恒成立，求的取值范围； （3）若存在，使得，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $