期中专题训练09 正余弦定理的综合应用（4大考点）-2025-2026学年高一下学期人教B版必修第四册

专题09 正余弦定理的综合应用 4大考点汇总 考点01三角形中的边长或周长的最值或范围 考点02三角形面积的最值或范围 考点03几何图形中的计算 考点04正余弦定理与三角函数性质的结合 题型专练 考点01三角形中的边长或周长的最值或范围 1．（25-26高三下·辽宁抚顺·月考）已知 的内角 的对边分别为，，点 D 满足 若 则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设由余弦定理得 ，利用换元法结合三角函数的性质求解即可. 【详解】如图，由题可得,设 在中由余弦定理得 ， 在中由余弦定理可得 故 ，设 则 当且仅当 时取等号，此时 2．（24-25高一下·内蒙古锡林郭勒·期中）锐角三角形的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求的周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到求解； （2）由正弦定理和三角恒等变换公式，有，根据为锐角三角形，求得的范围，结合三角函数的性质求解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 又因为，所以， 所以， 因为为锐角三角形，可得，所以， 所以，可得. （2）由正弦定理可得， 所以， 则 ， 因为为锐角三角形，可得，解得， 可得，所以，则， 即，所以的周长， 所以的周长的取值范围为. 3．（25-26高三上·湖北·月考）在中，内角的对边分别为，且． (1)求的大小； (2)为边的中点，且，求的长． 【答案】(1); (2). 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再结合两角和正弦公式即可求解； （2）利用中线向量公式，结合向量的数量积运算即可求解. 【详解】（1）由正弦定理边化角可得：， 再利用三角形内角和可知：， 所以有， 整理得：，在三角形中， 所以有， 又因为，所以； （2） 由中线向量可得：， 则， 所以. 4．（24-25高一下·辽宁丹东·期末）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则周长的取值范围是______. 【答案】 【分析】由正弦定理边角互化结合余弦定理可得，则，然后由和差化积公式结合三角函数性质可得答案. 【详解】因为，所以， 由正弦定理得, 则由余弦定理得，又，所以. 则. 因，则，由和差化积公式得： . 因，则，. 从而，则. 故答案为：. 5．（24-25高一下·河南·月考）在中，内角的对边分别是，记的面积为，且. (1)求角的大小； (2)若，，分别为的中线和角平分线. （i）若的面积为，求的长； （ii）求长的最大值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据三角形的面积公式结合余弦定理即可得解； （2）（i）先根据三角形的面积公式求出，再利用余弦定理求出，再向量化求解即可； （ii）利用等面积法将用表示出来，再利用余弦定理结合基本不等式求出的最大值，进而可得出答案. 【详解】（1）因为， 所以， 所以， 又因为，所以； （2）（i）由，得， 由余弦定理得， 所以， 因为为的中线， 所以， 则， 所以； （ii）由余弦定理得， 所以， 因为为的角平分线，所以， 由，得， 所以， 因为， 所以，当且仅当时取等号， 因为函数在上都是增函数， 所以函数在上是增函数， 所以当时，取得最大值， 即长的最大值为. 6．（2025·广东·模拟预测）在中，角的对边分别是，且． (1)证明：． (2)若是锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）由正弦边角关系及和差角正弦公式得到，结合三角形内角性质即可证结论； （2）由题设得，应用正弦边角关系、倍角正弦公式有，即可求范围. 【详解】（1）由题设， 所以， 则，即， 又，则，且， 所以，得证. （2）由题设，即，得， 由，而，故. 7．（24-25高一下·内蒙古赤峰·月考）已知的内角的对边分别为，且． (1)求； (2)若为锐角三角形，且，求周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理及三角变换公式可得，从而可求的值. （2）利用正弦定理及三角变换公式可得，结合的范围可求其取值范围，从而可求周长的取值范围. 【详解】（1）由及正弦定理得， 故， 在中，，，所以， 可得，而，故即. （2）由正弦定理的得，， 因为，则， 所以， 因为为锐角三角形，则，，，故， 所以周长的取值范围. 8．（24-25高三下·辽宁锦州·开学考试）若锐角的内角，，所对的边分别为，，，其外接圆的半径为，且． (1)求角的大小； (2)求的取值范围 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理可将化简为，再次化简得，从而求得，从而可求解. （2）由的外接圆半径为，从而得，从而可得，由为锐角三角形可得，再构造函数，结合对勾函数的性质从而可求解. 【详解】（1）因为， 所以， 即，由正弦定理得， 显然，，所以，所以， 因为，所以． （2）因为外接圆的半径为，所以，所以，， 所以， 因为为锐角三角形，所以，即，即． 令，，根据对勾函数的性质可知函数在上单调递减， 在上单调递增，且，，， 所以，即， 所以，即的取值范围为. 9．（25-26高二上·辽宁·月考）在中，内角、、的对边分别为、、，若. (1)求角的大小； (2)若，的平分线交于点，求线段长度的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系、正弦定理以及余弦定理求出的值，结合角的取值范围可求得角的值； （2）利用余弦定理结合基本不等式可求得的最大值，再利用，由三角形的面积公式与基本不等式可求得线段长度的最大值. 【详解】（1）解：因为， 所以：， 即， 由正弦定理得，即， 由余弦定理得， 又，所以. （2）解：由余弦定理得，即， 所以，即， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因为， 所以，解得， 因为，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立， 所以，线段长度的最大值为. 10．（24-25高一下·贵州六盘水·月考）在中，角的对边分别为. (1)证明：； (2)求； (3)若，边上的中线，求边的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)或 【分析】（1）利用正弦定理将角转化为边即可得证； （2）利用余弦定理即可求解； （3）在和中有，利用余弦定理即可求解. 【详解】（1）证明：由正弦定理得：， 即. （2）因为， 即. 则， 因为， 所以. （3）因为，由余弦定理知：， ， 即， ， 故， 解得：或. 考点02三角形面积的最值或范围 11．（25-26高三上·辽宁·期中）在中，分别为内角的对边，且. (1)若，求的面积； (2)若在边上且，求证：； (3)求面积的最大值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由余弦定理求得，由三角形的面积公式即可求得结果； （2）由三个三角形面积关系建立等式，然后化简即可得证； （3）由余弦定理求得，然后得到三角形的面积，令函数，由三角函数辅助角公式化简得，由三角函数的最值得到不等式，从而求得的范围，即求出三角形的面积的最大值. 【详解】（1）， 由余弦定理：， 可得，； 而. （2）， 即：， 化简得：. （3）由余弦定理：且， 可得，， 而， 令，则，即， 可得，，其中，的终边经过点， 因此，取为锐角，所以，解得. 最大值为. 12．（24-25高一下·吉林长春·期中）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求C； (2)若，求的面积S的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由三角恒等变换将式子变形即可求解； （2）由正弦定理可得，根据面积公式结合角的范围即可求解. 【详解】（1）因为 ， 所以，所以，因为为锐角三角形，所以； （2）因为，，所以， 由正弦定理得， 所以， 所以， 由可得，所以，所以， 所以，即. 13．（24-25高二下·辽宁本溪·开学考试）在①；②；③；这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题（其中S为的面积）. 问题：在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且______. (1)求角B的大小； (2)AC边上的中线，求的面积的最大值. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）若选①：根据正弦定理，化简得到，再由余弦定理得到，即可求解； 若选②：由三角形的面积公式和向量的数量积的运算公式，化简得到，得到，即可求解； 若选③：由正弦定理化简可得到，求得，即可求解. （2）根据向量的运算法则和基本不等式，化简得到，结合面积公式，即可求解. 【详解】（1）解：若选①：在中，因为， 由， 可得， 由正弦定理得，即， 则， 又因为，故. 若选②：由，可得，所以， 因为，所以. 若选③：因为， 正弦定理得， 又因为，所以， 即， 因为，，所以， 又因为，可得； 综上所述：选择①②③，都有. （2）解：由，可得， 所以，可得，当且仅当时取等号，   则，当且仅当时取等号， 则的面积的最大值为. 14．（24-25高三上·辽宁·期末）的内角的对边分别为，，.设. (1)求A； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理得到，结合，求出； （2）由正弦定理得到，表达出，利用为锐角三角形，求出，从而得到，. 【详解】（1）变形为， 由正弦定理得：， 由余弦定理得：， 因为，所以； （2）由正弦定理得：， 故， 故 ， 因为为锐角三角形，所以，， 解得：， 故，， 则. 15．（25-26高一下·浙江杭州·月考）在中，角的对边分别为，满足. (1)若，求周长的最小值； (2)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对进行变形，结合基本不等式进行求解即可； （2）先使用余弦定理把角C计算出来，再运用正弦定理把锐角三角形面积表示成关于角A的三角函数, 通过是锐角三角形计算角A的取值范围再计算面积的取值范围. 【详解】（1）解：因为, ， 由基本不等式可知,当且仅当时等号成立, 所以,，,即, , 所以,当时，周长有最小值为； （2）因为，所以， 由余弦定理可得， 因为，所以， 由正弦定理可得，所以，， 因为，所以， 则 ， 因为是锐角三角形，有，即， 所以，，， 因为， 所以，即面积的取值范围是. 16．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知分别是锐角三个内角的对边，且，． (1)求的值； (2)求面积的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据正弦定理和辅助角公式求出，再由已知条件结合正弦定理求得； （2）先根据正弦定理求出的关系式，然后根据的范围求出的范围，最后利用三角形面积公式即可求得其面积的范围. 【详解】（1）在锐角中，由正弦定理得， 又， ∵， 所以， 则， 在锐角中，， ，即. ， （2）由（1）得， 由正弦定理：，得 因为为锐角三角形，所以，所以， 所以，所以， 所以， 故面积的取值范围为． 17．（25-26高三上·广东深圳·月考）在中，内角、、的对边分别是、、，，平分交于，. （1）求面积的最小值； （2）已知，求面积. 【答案】（1）最小值为；（2）. 【分析】（1）利用等面积法可得出，利用基本不等式可求得的最小值，结合三角形的面积公式即可得解； （2）利用余弦定理结合可得出关于的二次方程，求出的值，利用三角形的面积公式可求得结果. 【详解】（1），即， 整理可得，由基本不等式可得，所以， 当且仅当时，等号成立， 所以，； （2）由余弦定理得， 由（1）可知，所以，，即， ，解得，因此. 18．（25-26高三上·安徽六安·月考）在中，角的对边分别为，已知，且的取值范围是，则面积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件可得，然后由三角函数和差化积公式可得， 然后可得，然后结合三角形的正弦定理和面积公式可得答案. 【详解】的内角，，满足， ， ， ， ， 化为， ． 设外接圆的半径为， 由正弦定理可得：， 由可得：， 则，即，则 由，及正弦定理得， 即， 面积满足， 故选：A 考点03几何图形中的计算 19．（2026·河南郑州·二模）如图，在中，为边上的一点，满足，且． (1)求； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助正弦定理可得、，由可得，再结合即可得的值； （2）设，利用余弦定理可表示出、，再利用（1）中所得即可得解. 【详解】（1）在中，由正弦定理可得，则， 在中，由正弦定理可得，则， 故， 由，则， 则，故； （2）设，则，， 在中，由余弦定理可得 ， 在中，由余弦定理可得 ， 由（1）知，则， 故， 解得. 20．（25-26高一下·江苏宿迁·期中）在平面凸四边形中，． (1)若． ①求的长； ②求四边形的面积； (2)若，求的长． 【答案】(1)①  ② (2) 【分析】（1）第①小问用两次余弦定理即可，第②小问直接用面积公式即可. （2）设，用表示各边，再对用余弦定理即可. 【详解】（1）①，，即 由余弦定理得， 代入得：， 化简得：，解得. ②设四边形的面积为，， . （2）如下图，过点作垂线交于，设， ， 四边形是矩形，， 对用勾股定理得：， 对用勾股定理得：， 对用余弦定理得：， 即，化简得 两边平方得：， 再化简得：， 解得或4，，或2， 又是锐角三角形，， 即，得，. 21．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，在四边形中，，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，则，，在中，利用正弦定理可得出，然后在中应用余弦定理可求出的值，由此可求得的长. 【详解】因为，，则， 设，则，， 在中，，，故， 由正弦定理可得，则， 在中，由余弦定理可得， 即，解得，故. 故选：C. 22．（24-25高一下·广东清远·期中）如图，在平面四边形中，，，，，则_________. 【答案】/ 【分析】设，由正弦定理得，，两式相除即可求出. 【详解】设，在中，由正弦定理可得①， 由可得，则，， 在中，由正弦定理可得②， ①②两式相除，得，即， 整理得，故. 故答案为： 23．（2026·四川成都·二模）如图，正方形的边长为1，P，Q分别为边，上的点． (1)若，，求； (2)当的周长为2时，求的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别求出的值，进而得到的值，再利用勾股定理即可求出； （2）设，，，，利用的周长为2求出的值，再结合的范围求出的值，即可得解. 【详解】（1）由题意知，则， 所以； （2） 设，，，，则，． 由的周长为2可得，即， 两边同时平方可得，化简得． 所以 ． 又因为，所以． 所以． 24．（2026高一·全国·专题练习）在中，为上的中线，，，，则________，________． 【答案】 【分析】由已知在中，利用正弦定理可得，进而可求的值，在中，由余弦定理解得，可求，由余弦定理可得的值. 【详解】因为，，，所以在中， 由正弦定理可得：， 所以． 因为在中，由余弦定理，， 可得：，即：， 所以解得：或（舍去）， 所以,由余弦定理可得：, . 故答案为：①;②． 25．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，一艘船向正东航行，顺次经过观测点B，M，N，C，船航行到B处，在B处观测灯塔A在船的北偏东的方向上，船航行到C处，在C处观测灯塔在船的北偏西的方向上，已知B，C相距6海里，．    (1)若，求的距离； (2)求面积的最小值． 【答案】(1)（海里） (2)（平方海里）． 【分析】（1）在和中反复使用正弦定理，用角度表示边长、、、，代入求值即可； （2）将面积表达式化简为关于的三角函数，利用和角公式、二倍角公式进行变形，通过三角函数的范围求解面积的最小值. 【详解】（1）因为，，所以， 又因为，所以，， 又，设， ∴，，． 在和中由正弦定理可得， ， 即，， ， ． 当时，则，， ∴，， ∴（海里）． （2） 令 ， ∴． 因为，∴，∴， 所以当时，（平方海里）． 26．（25-26高三上·江西南昌·月考）如图，在中，，，点在上，， . (1)求； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用两角和差余弦公式可求得，根据余弦定理可求得结果； （2）利用两角和差正弦公式可求得，采用面积桥，结合三角形面积公式可构造方程求得结果. 【详解】（1），，， ， . （2）由（1）得：； ，， 即，解得：. 考点04正余弦定理与三角函数性质的结合 27．（25-26高三上·陕西榆林·月考）在中，内角，，的对边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求的周长； (3)若为锐角三角形，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先利用正弦定理得到，再利用余弦定理求角. （2）利用余弦定理和三角形的面积公式，可求，进而得到三角形的周长. （3）先根据为锐角三角形，确定角的取值范围，再将化成的形式求值域. 【详解】（1）由正弦定理，， 所以. 由余弦定理，，且为三角形内角，所以. （2）由余弦定理，. 又. 所以， . 所以的周长为. （3）因为为锐角三角形，且，所以，且， 所以 . 因为，所以，所以， 所以. 28．（25-26高二上·河北邢台·开学考试）已知，，，设的内角所对的边分别为，，，且． (1)若，，为角A的平分线，且交于点，求的长； (2)若的面积为，为的中点，求长的最小值； (3)若，求周长的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用平面向量数量积的坐标运算及三角恒等变换先计算A，再根据三角形面积公式、等面积法计算即可； （2）利用三角形面积公式确定，再利用中线的向量性质，平方结合基本不等式计算最小值即可； （3）利用正弦定理化边为角，再由辅助角公式结合角的范围、正弦函数的性质计算即可. 【详解】（1），     由， 由， 因此有， 由已知得， 且为角A的平分线，所以， 因为， 则， 即，解得． （2）由已知，又的面积为， 则，解得，     又， 则 当且仅当时，等号取到，所以； 即边上中线长的最小值为． （3）由正弦定理可知：，     因此有 ， 因为，所以 因此周长的取值范围为． 29．（24-25高一下·海南·月考）已知函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式及对称中心； (2)在锐角中，角的对边分别为，若，求周长的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由的图象，求得，得到，得到，再由，即，求得，即可函数的解析式及对称中心； （2）由，求得，由正弦定理得，得到，化简得到的周长为，结合为锐角三角形，得到，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：由函数的图象，可得， 可得，所以，所以， 又由，即， 解得，即， 因为，所以， 所以函数的解析式为； 令，可得， 所以的对称中心为. （2）解：因为，可得，即， 因为，可得，所以，所以， 又因为，由正弦定理可得，则， 所以的周长为 因为，可得， 所以， 因为为锐角三角形，可得，可得，可得， 则，可得， 所以的周长为. 30．（24-25高一下·河北石家庄·月考）在中，角所对的边分别为，已知且． (1)求角的大小． (2)若的面积为，求的周长． (3)若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）由正弦边角关系及和角正弦公式得，再由三角形内角的性质及辅助角公式得，即可得； （2）由三角形面积公式得，再应用余弦定理求边长，即可得； （3）由题设得、，再应用三角恒等变换有，最后由正弦型函数的性质求范围. 【详解】（1）由题设及正弦边角关系，知， 又， 所以，又， 则，即， 因为，所以，所以，即； （2）由题设，则， 所以， 所以三角形周长为； （3）由（1）知，则，而，得， 所以， 而，故，则的范围为. 31．（24-25高一下·浙江·月考）在中，角的对边分别为，已知. (1)若，且边的中线长为，求的面积； (2)若是锐角三角形，求的范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理得，求得，再由，联立方程组，求得，因为为边中线，得到，列出方程，求得，结合三角形的面积公式，即可求解； （2）由正弦定理，化简得到，再由是锐角三角形，求得，结合正切函数的性质，进而求得的取值范围. 【详解】（1）解：在中，因为， 由余弦定理可得，即， 整理得，所以， 因为，所以， 又因为， 联立方程组，解得，所以， 因为为边中线，则， 所以， 可得，解得或（舍去）， 所以的面积为. （2）解：由正弦定理，可得 . 因为是锐角三角形，则，可得，所以， 因为，所以，则， 所以，所以. 32．（24-25高三上·云南·月考）在中，分别为角的对边，且. (1)求角的大小； (2)若，设角的大小为，的周长为，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由正弦定理和两角和的正弦公式，化简得到，进而得到，求得，即可求得的大小； （2）根据题意，由正弦定理得到，结合三角恒等变换的公式，化简得到的周长，再由，利用三角函数的性质，即可求得周长的最大值. 【详解】（1）解：在中，因为， 由正弦定理可得， 即， 可得, 因为，所以，可得， 所以， 又因为，所以，所以， 因为，所以. （2）解：由题意知：，，且，则， 根据正弦定理得，可得， 所以的周长 ， 因为，所以当，即时，取得最大值， 此时，即周长的最大值为. 33．（24-25高二上·贵州遵义·期末）已知锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，向量，，. (1)求； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助向量平行的坐标运算计算并结合三角恒等变换公式化简后即可得； （2）借助正弦定理可得，再利用锐角三角形性质得到的范围即可得. 【详解】（1）由，则有， 即 ， 由为锐角三角形，故、，故， 则有，即，即； （2）由正弦定理可得 ， 由为锐角三角形，故，解得， 故，则，则. 34．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求角A的大小； (2)若为锐角三角形，点F为的垂心，，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理及余弦定理可得的值，再由角的范围，可得角的大小； （2）设，分别在两个三角形中，由正弦定理可得，的表达式，由辅助角公式可得的取值范围． 【详解】（1）因为， 所以， 所以， 由正弦定理可得， 由余弦定理可得，， 可得； （2）延长交于，延长交于，延长交于，， 根据题意可得，，因为，所以， 设，，在中，由正弦定理可得， 即，可得， 同理在中，可得， 所以 ， 因为，所以， 所以， 所以． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 正余弦定理的综合应用 4大考点汇总 考点01三角形中的边长或周长的最值或范围 考点02三角形面积的最值或范围 考点03几何图形中的计算 考点04正余弦定理与三角函数性质的结合 题型专练 考点01三角形中的边长或周长的最值或范围 1．（25-26高三下·辽宁抚顺·月考）已知 的内角 的对边分别为，，点 D 满足 若 则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·内蒙古锡林郭勒·期中）锐角三角形的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求的周长的取值范围. 3．（25-26高三上·湖北·月考）在中，内角的对边分别为，且． (1)求的大小； (2)为边的中点，且，求的长． 4．（24-25高一下·辽宁丹东·期末）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则周长的取值范围是______. 5．（24-25高一下·河南·月考）在中，内角的对边分别是，记的面积为，且. (1)求角的大小； (2)若，，分别为的中线和角平分线. （i）若的面积为，求的长； （ii）求长的最大值. 6．（2025·广东·模拟预测）在中，角的对边分别是，且． (1)证明：． (2)若是锐角三角形，求的取值范围． 7．（24-25高一下·内蒙古赤峰·月考）已知的内角的对边分别为，且． (1)求； (2)若为锐角三角形，且，求周长的取值范围． 8．（24-25高三下·辽宁锦州·开学考试）若锐角的内角，，所对的边分别为，，，其外接圆的半径为，且． (1)求角的大小； (2)求的取值范围 9．（25-26高二上·辽宁·月考）在中，内角、、的对边分别为、、，若. (1)求角的大小； (2)若，的平分线交于点，求线段长度的最大值. 10．（24-25高一下·贵州六盘水·月考）在中，角的对边分别为. (1)证明：； (2)求； (3)若，边上的中线，求边的长. 考点02三角形面积的最值或范围 11．（25-26高三上·辽宁·期中）在中，分别为内角的对边，且. (1)若，求的面积； (2)若在边上且，求证：； (3)求面积的最大值. 12．（24-25高一下·吉林长春·期中）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求C； (2)若，求的面积S的取值范围． 13．（24-25高二下·辽宁本溪·开学考试）在①；②；③；这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题（其中S为的面积）. 问题：在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且______. (1)求角B的大小； (2)AC边上的中线，求的面积的最大值. 14．（24-25高三上·辽宁·期末）的内角的对边分别为，，.设. (1)求A； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 15．（25-26高一下·浙江杭州·月考）在中，角的对边分别为，满足. (1)若，求周长的最小值； (2)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围. 16．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知分别是锐角三个内角的对边，且，． (1)求的值； (2)求面积的取值范围． 17．（25-26高三上·广东深圳·月考）在中，内角、、的对边分别是、、，，平分交于，. （1）求面积的最小值； （2）已知，求面积. 18．（25-26高三上·安徽六安·月考）在中，角的对边分别为，已知，且的取值范围是，则面积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点03几何图形中的计算 19．（2026·河南郑州·二模）如图，在中，为边上的一点，满足，且． (1)求； (2)若，求的值． 20．（25-26高一下·江苏宿迁·期中）在平面凸四边形中，． (1)若． ①求的长； ②求四边形的面积； (2)若，求的长． 21．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，在四边形中，，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 22．（24-25高一下·广东清远·期中）如图，在平面四边形中，，，，，则_________. 23．（2026·四川成都·二模）如图，正方形的边长为1，P，Q分别为边，上的点． (1)若，，求； (2)当的周长为2时，求的大小． 24．（2026高一·全国·专题练习）在中，为上的中线，，，，则________，________． 25．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，一艘船向正东航行，顺次经过观测点B，M，N，C，船航行到B处，在B处观测灯塔A在船的北偏东的方向上，船航行到C处，在C处观测灯塔在船的北偏西的方向上，已知B，C相距6海里，．    (1)若，求的距离； (2)求面积的最小值． 26．（25-26高三上·江西南昌·月考）如图，在中，，，点在上，， . (1)求； (2)求. 考点04正余弦定理与三角函数性质的结合 27．（25-26高三上·陕西榆林·月考）在中，内角，，的对边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求的周长； (3)若为锐角三角形，求的取值范围. 28．（25-26高二上·河北邢台·开学考试）已知，，，设的内角所对的边分别为，，，且． (1)若，，为角A的平分线，且交于点，求的长； (2)若的面积为，为的中点，求长的最小值； (3)若，求周长的取值范围． 29．（24-25高一下·海南·月考）已知函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式及对称中心； (2)在锐角中，角的对边分别为，若，求周长的取值范围． 30．（24-25高一下·河北石家庄·月考）在中，角所对的边分别为，已知且． (1)求角的大小． (2)若的面积为，求的周长． (3)若为锐角三角形，求的取值范围． 31．（24-25高一下·浙江·月考）在中，角的对边分别为，已知. (1)若，且边的中线长为，求的面积； (2)若是锐角三角形，求的范围. 32．（24-25高三上·云南·月考）在中，分别为角的对边，且. (1)求角的大小； (2)若，设角的大小为，的周长为，求的最大值. 33．（24-25高二上·贵州遵义·期末）已知锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，向量，，. (1)求； (2)求的取值范围. 34．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求角A的大小； (2)若为锐角三角形，点F为的垂心，，求的取值范围. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $