期中专题02 解三角形应用 讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

专题02 解三角形应用 题型预览 题型一 解三角形中的中线与角平分线问题 题型二 解三角形中的边长或周长的最值或范围 题型三 解三角形面积的最值或范围 题型四 几何图形中的计算 题型五 正余弦定理与三角函数性质的结合应用 题型六 证明三角形中的恒等式或不等式 知识清单 1.射影定理 在△ABC中，若将a，b，c分别记作角A，B，C的对边，则有a=bcos C+ccos B；b=acos C+ccos A；c=acos B+bcos A. 2.中线定理 在△ABC中，AD为BC边上的中线，则AB2+AC2=2(AD2+DC2). 3.角平分线定理 在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，D在BC上， 则=.进而得到 (1)AD2=AB·AC-BD·CD. 4.张角定理 在△ABC中，D为BC边上的一点，连接AD，若∠BAD=α，∠CAD=β，则+=. 题型突破 题型一 解三角形中的中线与角平分线问题 1．（25-26高一下·宁夏银川·月考）在中，内角A、、所对的边分别为、、，满足. (1)求角的大小； (2)若，边上的中线的长为2，求的面积； 2．（24-25高一下·新疆·期中）在中，角，，的对边分别为，，，已知． (1)求角； (2)若，且边的中线的长为，求的面积； (3)若是锐角三角形，求的范围． 3．（25-26高一下·安徽阜阳·月考）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求角C的大小 (2)若，边AB的中点为D，求中线CD的长度的取值范围. 4．（25-26高一下·四川眉山·月考）在中，角所对的边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若，求的周长的范围； (3)设是边上一点，为角平分线且，求的值. 5．（24-25高一下·广西南宁·期末）已知的内角A，B，C的对边为a，b，c，且 (1)求角A； (2)若的面积为. ①已知E为BC的中点，且，求中线AE的长； ②求内角A的角平分线AD长的最大值. 6．（25-26高三上·广东·月考）中、角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知． (1)求的值； (2)B的角平分线BD交AC于D， （i）证明：； （ii）若，求的最大值． 题型二 解三角形中的边长或周长的最值或范围 7．（25-26高一下·湖北武汉·期中）已知中，角所对的边分别为，且． (1)求角的大小； (2)若为锐角三角形，求的取值范围． 8．（25-26高一下·江苏常州·期中）已知锐角中，角所对的边分别为，且， (1)求证：； (2)求的取值范围． 9．（25-26高三下·云南楚雄·月考）在锐角中，内角，，所对的边分别是，，，且. (1)求的大小； (2)若，求的范围. 10．（25-26高一下·山东济南·月考）在中，角所对的边分别为，已知． (1)求； (2)若，且，求的周长． 11．（25-26高一下·湖北武汉·月考）在锐角中，角、、所对应的边分别为、、．已知，． (1)若，求的面积； (2)求的周长的取值范围． 12．（25-26高二上·山东青岛·期中）记锐角的内角、、所对的边分别为、、，已知． (1)求B； (2)若，求的取值范围． 题型三 解三角形面积的最值或范围 13．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知分别是锐角三个内角的对边，且，． (1)求的值； (2)求面积的取值范围． 14．（24-25高一下·重庆·月考）已知a，b，c分别为锐角三个内角A，B，C的对边，且. (1)求A； (2)若，D为BC边的中点，求AD长的最大值； (3)若，求面积的取值范围. 15．（25-26高一下·浙江杭州·月考）在中，角的对边分别为，满足. (1)若，求周长的最小值； (2)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围. 16．（25-26高三上·河南信阳·期末）设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. (1)求角A的大小； (2)若边上的中线的长度为，求面积的最大值. 17．（25-26高三上·宁夏·月考）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 (1)求角的大小； (2)若为的角平分线，且，，求角平分线的长度； (3)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 18．（25-26高一上·湖南衡阳·期末）已知锐角三角形中，角、、的对边分别为、、，且满足，. (1)求证：； (2)求的取值范围； (3)若，求三角形面积的取值范围． 题型四 几何图形中的计算 19．（2026·河南郑州·二模）如图，在中，为边上的一点，满足，且． (1)求； (2)若，求的值． 20．（25-26高一下·江苏宿迁·期中）在平面凸四边形中，． (1)若． ①求的长； ②求四边形的面积； (2)若，求的长． 21．（2026·四川成都·二模）如图，正方形的边长为1，P，Q分别为边，上的点． (1)若，，求； (2)当的周长为2时，求的大小． 22．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，一艘船向正东航行，顺次经过观测点B，M，N，C，船航行到B处，在B处观测灯塔A在船的北偏东的方向上，船航行到C处，在C处观测灯塔在船的北偏西的方向上，已知B，C相距6海里，．    (1)若，求的距离； (2)求面积的最小值． 23．（25-26高三上·江西·月考）已知平面四边形如图所示，其中，，. (1)若，，求的面积； (2)求的取值范围. 24．（25-26高三上·上海徐汇·期中）如图，平面凸四边形中，，且是边长为2的等边三角形.    (1)若，求. (2)若线段（不含端点）上存在动点，满足，记，求关于的函数. 题型五 正余弦定理与三角函数性质的结合应用 25．（25-26高二上·河北邢台·开学考试）已知，，，设的内角所对的边分别为，，，且． (1)若，，为角A的平分线，且交于点，求的长； (2)若的面积为，为的中点，求长的最小值； (3)若，求周长的取值范围． 26．（25-26高三上·陕西榆林·月考）在中，内角，，的对边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求的周长； (3)若为锐角三角形，求的取值范围. 27．（24-25高三上·湖北荆州·月考）已知的内角，，的对边分别为，，，若． (1)求的值； (2)若的面积为，求周长的取值范围． 28．（25-26高一下·天津西青·期中）在面积为S的中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，且. (1)求角C的大小； (2)若，，求的周长； (3)若为锐角三角形，且AB边上的高h为2，求面积的取值范围. 题型六 证明三角形中的恒等式或不等式 29．（2025·甘肃武威·模拟预测）记的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)证明：； (2)求的最大值. 30．（25-26高三下·河南周口·月考）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)证明：. (2)若，，D，E是边上的两个点，且，求的面积的最小值. 31．（25-26高一下·河南平顶山·月考）在中，角，，的对边分别是，，，且. (1)证明：. (2)若，，求的值. 32．（24-25高一下·辽宁大连·期末）已知平面内一三角形，点为其外心. (1)点为边的中点，，，求的值； (2)若过点的直线分别交边、于点，证明：. 强化训练 1．（25-26高一下·安徽滁州·月考）已知是锐角三角形，内角的对边分别为，且. (1)求； (2)求的取值范围； (3)若，求边上的中线的取值范围. 2．（2025高三·全国·专题练习）在中，角，，所对的边分别为，，，. (1)求； (2)若的面积为，内角的角平分线交边于，，求的长； (3)若，边上的中线，设点为的外接圆圆心，求的值. 3．（25-26高三下·甘肃金昌·月考）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求B； (2)若，求的周长的取值范围. 4．（25-26高一下·黑龙江大庆·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． (1)求角A的大小； (2)若D为边BC上一点，满足，且，求的面积最大值； (3)若D为边BC上一点，AD为角A的平分线，且，求的最小值． 5．（25-26高一下·安徽淮南·期中）在中，角的对边分别为．且满足. (1)求角的大小； (2)若的面积，内切圆的半径为，求； (3)若的平分线交于，且，求的面积的最小值． 6．（2026·北京·模拟预测）在中，角，，所对的边分别，，，．函数的图象关于点对称． (1)当时，求的值域； (2)若，求的面积最大值． 7．（25-26高一下·江苏扬州·期中）已知的面积为. (1)求的大小； (2)若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围； (3)如图，以的边作形成凸四边形，记的面积为，若，，，且，的值. 8．（25-26高一下·浙江·期中）在中，角所对的边分别是，且. (1)求； (2)若是边上靠近的三等分点，，，求的面积； (3)若是的角平分线，，，求的长. 9．（25-26高三上·安徽·月考）在锐角中，内角所对的边分别为．在下面所给的三个条件中任选一个完成题目的解答： ①；②；③． (1)求的值； (2)若为延长线上一点，且，求的取值范围． 注：若多选，则按所选第一个计分． 10．（2025·湖南益阳·模拟预测）已知的内角所对的边分别为，且. (1)求； (2)若，求的取值范围. 11．（25-26高一下·吉林长春·月考）已知直角中，，射线AD，AC三等分，分别交BC于点D、C，且． (1)若，求的值； (2)求证：； (3)求的最小值． 12．（25-26高一下·江苏宿迁·月考）三角形的布洛卡点是法国数学家、数学教育学家克洛尔于1816年首次发现的，但他的发现并未被当时的人们所注意．1875年，布洛卡点被一个数学爱好者布洛卡重新发现，并用他的名字命名．若内一点满足，则称点为的布洛卡点，角为布洛卡角．如图，在中，角所对的边分别为，点为的布洛卡点，其布洛卡角为． (1)若，求证： ①为的面积）； ②为等边三角形； (2)若，求证： 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 解三角形应用 题型预览 题型一 解三角形中的中线与角平分线问题 题型二 解三角形中的边长或周长的最值或范围 题型三 解三角形面积的最值或范围 题型四 几何图形中的计算 题型五 正余弦定理与三角函数性质的结合应用 题型六 证明三角形中的恒等式或不等式 知识清单 1.射影定理 在△ABC中，若将a，b，c分别记作角A，B，C的对边，则有a=bcos C+ccos B；b=acos C+ccos A；c=acos B+bcos A. 2.中线定理 在△ABC中，AD为BC边上的中线，则AB2+AC2=2(AD2+DC2). 3.角平分线定理 在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，D在BC上， 则=.进而得到 (1)AD2=AB·AC-BD·CD. 4.张角定理 在△ABC中，D为BC边上的一点，连接AD，若∠BAD=α，∠CAD=β，则+=. 题型突破 题型一 解三角形中的中线与角平分线问题 1．（25-26高一下·宁夏银川·月考）在中，内角A、、所对的边分别为、、，满足. (1)求角的大小； (2)若，边上的中线的长为2，求的面积； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理结合两角和的正弦公式化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值. （2）解法一：利用余弦定理以及，可得出关于，的方程组，解出的值，结合三角形的面积公式可求得的面积. 【详解】（1）由及正弦定理， 因为、，所以，则，故. （2）解法一：因为，为中点，则， 由余弦定理得，得， 在中，， 在中， 因为，所以， 所以，，解得：， 故的面积为； 解法二：因为为的中点，则， 所以，，即， 由余弦定理可得，即，所以， 故的面积为. 2．（24-25高一下·新疆·期中）在中，角，，的对边分别为，，，已知． (1)求角； (2)若，且边的中线的长为，求的面积； (3)若是锐角三角形，求的范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，结合三角恒等变换可得得解； （2）根据余弦定理可得，利用向量的中线公式及数量积的运算，可得，再利用面积公式，即可求解； （3）根据正弦定理边角化以及三角恒等变换可得，再根据角的范围，结合三角函数的性质即可求解． 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 所以， 得到，即， 又，，所以， 又因为，可得. （2）因为，且， 所以由，可得，解得， 由题意， 两边平方，可得， 因为，所以，解得或（舍）， 则的面积为. （3）因为 ， 由题知，，解得， 因为， 所以，可得， 可得， 所以． 3．（25-26高一下·安徽阜阳·月考）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求角C的大小 (2)若，边AB的中点为D，求中线CD的长度的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式，可得，根据角C的范围，即可得答案. （2）由题意得，两边同时平方，化简整理，结合余弦定理，可得，根据正弦定理、两角差的正弦公式、辅助角公式，可得的表达式，根据条件，可得角A的范围，结合正弦型三角函数的性质，即可得答案. 【详解】（1）因为，所以由正弦定理得， 因为，所以， 则， 因为，所以， 所以，即， 因为，所以. （2）由余弦定理可得， 又， 则 ， 由正弦定理可得， 所以， 所以 ， 因为锐角，所以，解得，则， 所以， 则， 则， 故中线CD的长度的取值范围为. 4．（25-26高一下·四川眉山·月考）在中，角所对的边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若，求的周长的范围； (3)设是边上一点，为角平分线且，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理结合三角变换公式化简题设条件可得，从而可求； （2）利用正弦定理可得，再利用三角变换公式化简后可求的取值范围，从而可得周长的取值范围； （3）由角平分线的性质可得，两次利用余弦定理可求的值. 【详解】（1）由和正弦定理， 可得， 因， 代入可得， 因，则，故， 又因，故； （2）由正弦定理有， 所以，而， 所以 因为，故，故， 故，即周长的取值范围为. （3） 如图，因平分，且， 由角平分线的性质可得，即， 在中，由余弦定理，， 即得，则， 故. 5．（24-25高一下·广西南宁·期末）已知的内角A，B，C的对边为a，b，c，且 (1)求角A； (2)若的面积为. ①已知E为BC的中点，且，求中线AE的长； ②求内角A的角平分线AD长的最大值. 【答案】(1) (2)①，② 【分析】（1）由正弦定理和余弦定理得到，求出； （2）①由三角形面积求出，从而得到，或，，根据中线得到，两边平方，结合向量数量积运算法则求出；②根据求出，由基本不等式求出长的最大值. 【详解】（1）由正弦定理得，即. 由余弦定理得. 因为，所以. （2）①，. 且，解得，或，. 由于， 所以， ； ②由， 得. 解得， 由于，当且仅当时，取等号， 故,当且仅当时，取等号，即的最大值为. 6．（25-26高三上·广东·月考）中、角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知． (1)求的值； (2)B的角平分线BD交AC于D， （i）证明：； （ii）若，求的最大值． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）由正弦定理边化角结合两角和与差的正弦公式即可计算求解； （2）（i）先分别在和中利用正弦定理结合和比例的性质得和，接着在和中利用余弦定理结合即可分析计算求解； （ii）先由（1）得，进而得到，，接着由题设结合（i）得，再结合基本不等式即可求解． 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理得 ， 因为A，，所以，，故； （2）（i）证明：中，由正弦定理得①，    同理在中，②， BD是的角平分线，则，则， 故得， 由比例的性质得，即， 同理得，即， 在中，由余弦定理得③， 中，由余弦定理得④， 又，故，， 由得 ， 则， 即； （ii）因为，故， 则，则，， 由以及（i）知， 即，则， 当且仅当，结合，即，时等号成立， 故的最大值为． 题型二 解三角形中的边长或周长的最值或范围 7．（25-26高一下·湖北武汉·期中）已知中，角所对的边分别为，且． (1)求角的大小； (2)若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理化简计算求解； （2）由正弦定理可得，结合三角恒等变换可得，结合题意可得，根据正切函数性质计算求解. 【详解】（1）可化为， 由余弦定理可得， 因为，所以. （2）由正弦定理可得，即， 因为，所以， 所以， 因为为锐角三角形，所以，解得， 所以，， 所以，即的取值范围为. 8．（25-26高一下·江苏常州·期中）已知锐角中，角所对的边分别为，且， (1)求证：； (2)求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】(1)利用正弦定理将边化成角，再结合三角恒等变换进行推导. (2)利用正弦定理将表达式化为关于角的函数，再根据三角函数单调性求函数值域. 【详解】（1）证明：因为，所以由正弦定理可得， 又 ，即， 解得或(舍去)，所以. （2）因为，由正弦定理可得 ， 因为是锐角三角形，所以， ，所以， 因为在上单调递增，，， 所以. 9．（25-26高三下·云南楚雄·月考）在锐角中，内角，，所对的边分别是，，，且. (1)求的大小； (2)若，求的范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理和诱导公式求解； （2）由正弦定理得到，，由诱导公式得到.则，利用两角和差的正弦公式和辅助角公式化简，由为锐角三角形得到的范围，利用正弦函数的图像和性质得到的范围. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得. 即， 因为在中，， 所以， 又，所以. （2）因为，，结合正弦定理，得. 所以，. 在中，. 所以. 因为为锐角三角形， 所以，解得. 则. 所以. 所以. 10．（25-26高一下·山东济南·月考）在中，角所对的边分别为，已知． (1)求； (2)若，且，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理得，再根据三角恒等变形化简求解即可； （2）利用的和角公式，结合及，可得，利用正弦定理得，再根据余弦定理求出即可． 【详解】（1）解：由正弦定理得， ， ， ， 因为，所以，解得： 又因为，所以； （2）由（1）知，则， ， ，， 解得：， 由正弦定理得， 由余弦定理得， 即，解得：， 故的周长． 11．（25-26高一下·湖北武汉·月考）在锐角中，角、、所对应的边分别为、、．已知，． (1)若，求的面积； (2)求的周长的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由正弦定理及已知条件可得，然后结合恒等变换公式化简即可得到，即可得到为等边三角形，从而得到结果； （2）由正弦定理可得，结合三角恒等变换公式化简，再由正切函数的值域即可得到结果. 【详解】（1），， 由正弦定理可得，即， 因为，所以， 又，即， 展开可得， 即，即 所以，且， 所以为等边三角形， 则． （2） 因为为锐角三角形，则，解得，则， 其中， 由正弦定理可得 , 所以, 所以的周长． 12．（25-26高二上·山东青岛·期中）记锐角的内角、、所对的边分别为、、，已知． (1)求B； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角形的面积公式以及余弦定理化简可得出的值，结合角为锐角可得出角的值； （2）利用正弦定理结合三角恒等变换得出，根据为锐角三角形可求出角的取值范围，再利用正弦型函数的基本性质可求得的取值范围. 【详解】（1）因为，即， 因为为锐角，故，所以， 由余弦定理可得，故. （2）因为，由正弦定理可得， 所以，， 所以 ， 因为为锐角三角形，则，解得， 所以，则， 所以，即的取值范围是. 题型三 解三角形面积的最值或范围 13．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知分别是锐角三个内角的对边，且，． (1)求的值； (2)求面积的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据正弦定理和辅助角公式求出，再由已知条件结合正弦定理求得； （2）先根据正弦定理求出的关系式，然后根据的范围求出的范围，最后利用三角形面积公式即可求得其面积的范围. 【详解】（1）在锐角中，由正弦定理得， 又， ∵， 所以， 则， 在锐角中，， ，即. ， （2）由（1）得， 由正弦定理：，得 因为为锐角三角形，所以，所以， 所以，所以， 所以， 故面积的取值范围为． 14．（24-25高一下·重庆·月考）已知a，b，c分别为锐角三个内角A，B，C的对边，且. (1)求A； (2)若，D为BC边的中点，求AD长的最大值； (3)若，求面积的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）由正弦边角关系及和角正弦公式化简整理得，结合三角形内角性质求角的大小； （2）由余弦定理、基本不等式可得，再由及数量积的运算律求模长，即可得； （3）由正弦定理及三角形面积公式、三角恒等变换可得，结合求范围. 【详解】（1）由题设及正弦边角关系知， 所以， 由，则，且，可得； （2）由（1）及余弦定理有， 所以，当且仅当时取等号， D为BC边的中点，则， 所以， 综上，AD长的最大值； （3）由，， 由（1）易知，则， 由为锐角三角形，则，则， 所以. 15．（25-26高一下·浙江杭州·月考）在中，角的对边分别为，满足. (1)若，求周长的最小值； (2)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对进行变形，结合基本不等式进行求解即可； （2）先使用余弦定理把角C计算出来，再运用正弦定理把锐角三角形面积表示成关于角A的三角函数, 通过是锐角三角形计算角A的取值范围再计算面积的取值范围. 【详解】（1）解：因为, ， 由基本不等式可知,当且仅当时等号成立, 所以,，,即, , 所以,当时，周长有最小值为； （2）因为，所以， 由余弦定理可得， 因为，所以， 由正弦定理可得，所以，， 因为，所以， 则 ， 因为是锐角三角形，有，即， 所以，，， 因为， 所以，即面积的取值范围是. 16．（25-26高三上·河南信阳·期末）设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. (1)求角A的大小； (2)若边上的中线的长度为，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式计算可得； （2）依题意可得，根据数量积的运算律得到，再由均值不等式求出的最大值，即可得解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 则， 即， ， ，，则， ，. （2）因为是中点，所以. 两边平方得 . 所以，即， 又由均值不等式得， 当且仅当时等号成立，所以， 所以，即面积的最大值为. 17．（25-26高三上·宁夏·月考）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 (1)求角的大小； (2)若为的角平分线，且，，求角平分线的长度； (3)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理角化边，结合余弦定理求出，然后可得角； （2）根据给定条件，利用三角形面积公式建立方程求解； （3）利用正弦定理，结合角的范围求出的范围，然后由面积公式可得. 【详解】（1），， ，， 由余弦定理得， 又，； （2）由的角平分线将的面积分为两部分， 则，， 于是， 即，解得， 所以的长为； （3）由三角形面积公式得， 由正弦定理得 ， 三角形为锐角三角形，，得，， ，，，. 18．（25-26高一上·湖南衡阳·期末）已知锐角三角形中，角、、的对边分别为、、，且满足，. (1)求证：； (2)求的取值范围； (3)若，求三角形面积的取值范围． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理结合两角和与差的正弦公式化简得出，结合正弦函数的单调性可证得结论成立； （2）由正弦定理及三角恒等变换化简得出，根据已知条件求出角的取值范围，结合余弦函数的基本性质和对勾函数的单调性可得出的取值范围； （3）利用正弦定理、三角形的面积公式结合三角恒等变换化简得出，结合正切函数和反比例函数的基本性质可求得面积的取值范围. 【详解】（1）由及正弦定理可得，即， 因为，则，所以，即， 由余弦定理可得，所以， 所以，由正弦定理可得 ， 因为为锐角三角形，故，，所以， 又函数在上单调递增，且，故，即. （2） ， 因为为锐角三角形，故，解得， 又因为，可得，故角的取值范围是， 所以，故， 令，， 任取、且， 则 ， 因为，所以，则，所以， 所以函数在上为增函数，故， 故的取值范围是. （3）由正弦定理可得，所以，， 所以 ， 因为，所以， 令，函数、在上均为减函数， 故函数在上为减函数，所以，即， 因此，即面积的取值范围是. 题型四 几何图形中的计算 19．（2026·河南郑州·二模）如图，在中，为边上的一点，满足，且． (1)求； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助正弦定理可得、，由可得，再结合即可得的值； （2）设，利用余弦定理可表示出、，再利用（1）中所得即可得解. 【详解】（1）在中，由正弦定理可得，则， 在中，由正弦定理可得，则， 故， 由，则， 则，故； （2）设，则，， 在中，由余弦定理可得 ， 在中，由余弦定理可得 ， 由（1）知，则， 故， 解得. 20．（25-26高一下·江苏宿迁·期中）在平面凸四边形中，． (1)若． ①求的长； ②求四边形的面积； (2)若，求的长． 【答案】(1)①  ② (2) 【分析】（1）第①小问用两次余弦定理即可，第②小问直接用面积公式即可. （2）设，用表示各边，再对用余弦定理即可. 【详解】（1）①，，即 由余弦定理得， 代入得：， 化简得：，解得. ②设四边形的面积为，， . （2）如下图，过点作垂线交于，设， ， 四边形是矩形，， 对用勾股定理得：， 对用勾股定理得：， 对用余弦定理得：， 即，化简得 两边平方得：， 再化简得：， 解得或4，，或2， 又是锐角三角形，， 即，得，. 21．（2026·四川成都·二模）如图，正方形的边长为1，P，Q分别为边，上的点． (1)若，，求； (2)当的周长为2时，求的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别求出的值，进而得到的值，再利用勾股定理即可求出； （2）设，，，，利用的周长为2求出的值，再结合的范围求出的值，即可得解. 【详解】（1）由题意知，则， 所以； （2） 设，，，，则，． 由的周长为2可得，即， 两边同时平方可得，化简得． 所以 ． 又因为，所以． 所以． 22．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，一艘船向正东航行，顺次经过观测点B，M，N，C，船航行到B处，在B处观测灯塔A在船的北偏东的方向上，船航行到C处，在C处观测灯塔在船的北偏西的方向上，已知B，C相距6海里，．    (1)若，求的距离； (2)求面积的最小值． 【答案】(1)（海里） (2)（平方海里）． 【分析】（1）在和中反复使用正弦定理，用角度表示边长、、、，代入求值即可； （2）将面积表达式化简为关于的三角函数，利用和角公式、二倍角公式进行变形，通过三角函数的范围求解面积的最小值. 【详解】（1）因为，，所以， 又因为，所以，， 又，设， ∴，，． 在和中由正弦定理可得， ， 即，， ， ． 当时，则，， ∴，， ∴（海里）． （2） 令 ， ∴． 因为，∴，∴， 所以当时，（平方海里）． 23．（25-26高三上·江西·月考）已知平面四边形如图所示，其中，，. (1)若，，求的面积； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)由余弦定理可求； (2)利用正弦定理及几何关系，将表示为某个角度的关系，分析角度的取值范围，得到结果. 【详解】（1）在中，由余弦定理可得： ，所以, 所以或，因为，所以 所以. 即的面积为. （2）设， 在中，，所以， 由正弦定理：，即， 所以， 在中，,, 由正弦定理，所以， 所以， 所以，化简得， 所以， 因为，所以 ， 在中， , 所以，即， 所以，所以， 所以， 因为，所以， 又因为，所以， 所以，所以，所以， 所以的取值范围为，即. 所以的取值范围为. 24．（25-26高三上·上海徐汇·期中）如图，平面凸四边形中，，且是边长为2的等边三角形.    (1)若，求. (2)若线段（不含端点）上存在动点，满足，记，求关于的函数. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理求出的长，再根据正弦定理即可求得结果； （2）利用余弦定理求得，根据动点的位置得出自变量的取值范围，可求得. 【详解】（1）由，，可知， 因此， 所以， 由正弦定理可得， 由可得. （2）如下图：    由题可知，又， 在中，由余弦定理可知， 因此可得，又在线段（不含端点）上，所以， 所以. 题型五 正余弦定理与三角函数性质的结合应用 25．（25-26高二上·河北邢台·开学考试）已知，，，设的内角所对的边分别为，，，且． (1)若，，为角A的平分线，且交于点，求的长； (2)若的面积为，为的中点，求长的最小值； (3)若，求周长的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用平面向量数量积的坐标运算及三角恒等变换先计算A，再根据三角形面积公式、等面积法计算即可； （2）利用三角形面积公式确定，再利用中线的向量性质，平方结合基本不等式计算最小值即可； （3）利用正弦定理化边为角，再由辅助角公式结合角的范围、正弦函数的性质计算即可. 【详解】（1），     由， 由， 因此有， 由已知得， 且为角A的平分线，所以， 因为， 则， 即，解得． （2）由已知，又的面积为， 则，解得，     又， 则 当且仅当时，等号取到，所以； 即边上中线长的最小值为． （3）由正弦定理可知：，     因此有 ， 因为，所以 因此周长的取值范围为． 26．（25-26高三上·陕西榆林·月考）在中，内角，，的对边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求的周长； (3)若为锐角三角形，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先利用正弦定理得到，再利用余弦定理求角. （2）利用余弦定理和三角形的面积公式，可求，进而得到三角形的周长. （3）先根据为锐角三角形，确定角的取值范围，再将化成的形式求值域. 【详解】（1）由正弦定理，， 所以. 由余弦定理，，且为三角形内角，所以. （2）由余弦定理，. 又. 所以， . 所以的周长为. （3）因为为锐角三角形，且，所以，且， 所以 . 因为，所以，所以， 所以. 27．（24-25高三上·湖北荆州·月考）已知的内角，，的对边分别为，，，若． (1)求的值； (2)若的面积为，求周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，代入已知等式，利用正弦定理和余弦定理角化边，可求的值； （2）已知条件结合三角形面积公式化简求出，由正弦定理结合两角和与差的正弦公式得，由，得，可求周长的取值范围． 【详解】（1）∵， 由正弦定理可得：， 由余弦定理知：，， 可得， 则有，由，解得. （2） 中由余弦定理知，又在中有， ∴，化简得， ∵，∴. 又，由正弦定理得：，， ， 因在中，，，， 所以，当时，等号成立， ∴周长的取值范围是． 28．（25-26高一下·天津西青·期中）在面积为S的中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，且. (1)求角C的大小； (2)若，，求的周长； (3)若为锐角三角形，且AB边上的高h为2，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据向量共线的坐标关系，结合正余弦定理边角互化即可求解， （2）由余弦定理以及面积公式即可求解得解， （3）根据正弦定理得，进而根据面积公式可得，由三角恒等变换，化简可得，即可根据三角函数的性质求解. 【详解】（1）若，则, 由正弦定理可得，故， 因此, . （2）由（1）可得，又,故， 因此，故， 因此周长为 （3）由于，故， 由正弦定理可得， 故， 因为，所以， 所以， 故, 由于三角形为锐角三角形，故,解得， 因此，故，则， 因此. 题型六 证明三角形中的恒等式或不等式 29．（2025·甘肃武威·模拟预测）记的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)证明：； (2)求的最大值. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据正弦定理边化角，再结合两角和差公式，即可证明； （2）首先根据正弦定理边化角，再结合（1）的结论，以及三角恒等变换，化简，再结合基本不等式求最值. 【详解】（1）由正弦定理可知，， 得，且， 即，整理为， 即； （2）， 由（1）可知，，且， 所以，上下同时除以， ， 因为，得， 所以，当时等号成立， 所以， 所以的最大值为. 30．（25-26高三下·河南周口·月考）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)证明：. (2)若，，D，E是边上的两个点，且，求的面积的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由余弦二倍角公式可得，根据正弦定理及两角和差正弦公式化简即可得证； （2）设，由正弦定理可得，，由三角形面积公式可得，令，化简可得最大值为，进而可计算面积最小值. 【详解】（1）因为， 所以，即， 由正弦定理可得， 因为，即，所以， 所以，化简可得， 则，即， 所以或（舍去） 故成立； （2）若，则，， 因为，所以，， 设，则， 在中，，由正弦定理可得： ，即， 在中，，由正弦定理可得： ，即， 所以的面积为， 令， 则 因为，所以， 由余弦函数性质可知， 当，即时，有最大值为， 此时的面积有最小值为. 31．（25-26高一下·河南平顶山·月考）在中，角，，的对边分别是，，，且. (1)证明：. (2)若，，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)14 【详解】（1）解法一：因为， 所以，     即，     所以，即. 解法二：因为， 所以. 因为，所以，     所以，由正弦定理可得， 再利用余弦定理得， 所以，即. （2）由余弦定理可得，则. 由（1）可知，即，则. 因为，     所以. 32．（24-25高一下·辽宁大连·期末）已知平面内一三角形，点为其外心. (1)点为边的中点，，，求的值； (2)若过点的直线分别交边、于点，证明： . 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由题可得，然后由数量积几何意义可得答案； （2）设三角形外接圆半径为R，用两种办法表示，可得，及，据此可完成证明. 【详解】（1）， 由数量积几何意义可得：， 同理得. 则； （2）证明：设三角形外接圆半径为R， ，. 因，所以. 同理，所以， 又，，. 则. 故  ① ∵点O为三角形ABC的外心，， ，， 同理，. 则. 代入上式①中，结合，可得： ， 所以，原命题得证 强化训练 1．（25-26高一下·安徽滁州·月考）已知是锐角三角形，内角的对边分别为，且. (1)求； (2)求的取值范围； (3)若，求边上的中线的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再根据三角形内角和定理及三角恒等变换化简即可得解； （2）根据三角形内角和定理及三角恒等变换化简，再结合三角函数的性质即可得解； （3）易得，两边同时平方将用表示，再利用正弦定理求出，再根据三角函数的性质即可得解. 【详解】（1）由及正弦定理得， ， 因为，所以， 即， 所以，即， 因为，所以， 因为，所以； （2） ， 因为是锐角三角形，且， 所以，所以， 所以， 所以的取值范围为； （3）由余弦定理得，，即， 由边上的中线为，得， 两边平方得， 由正弦定理可知，， 所以， 所以 ， 由（2）知， 所以， 即，则. 2．（2025高三·全国·专题练习）在中，角，，所对的边分别为，，，. (1)求； (2)若的面积为，内角的角平分线交边于，，求的长； (3)若，边上的中线，设点为的外接圆圆心，求的值. 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再求出，即可得解； （2）使用“拆面积法”，即，由此求解即可； （3）由题意，两边平方得，结合余弦定理可求出，再根据数量积的几何意义即可得. 【详解】（1）由及正弦边角关系，得， 因为，即， 则有 ， 由，因此， 则， 由，得，解得， 又，所以； （2） 由，得，，则， 又， 因为内角的角平分线交边于，所以， ∴， ∴； （3）在中，由余弦定理，得， 由边上的中线，又因为， 两边平方得， 则，即， 解得， 令边的中点分别为，由点为的外接圆圆心， 得，， ， ， 所以. 3．（25-26高三下·甘肃金昌·月考）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求B； (2)若，求的周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理将边的关系转化为角的关系，再结合同角三角函数的关系求解角B; （2）先利用正弦定理将a、c用角A、C表示，再结合三角形内角和定理将周长转化为关于单一角的函数，最后利用三角函数的性质求解取值范围. 【详解】（1）由和余弦定理，得， 则，显然，所以， 又，故. （2）因为，所以，， 又，所以，， 所以， 又，则，所以 ，所以， 所以，故的周长的取值范围为. 4．（25-26高一下·黑龙江大庆·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． (1)求角A的大小； (2)若D为边BC上一点，满足，且，求的面积最大值； (3)若D为边BC上一点，AD为角A的平分线，且，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）借助正弦定理将边化为角后，利用三角形内角和及两角和的正弦公式化简计算即可得； （2）借助向量线性运算、模长与数量积的关系及基本不等式可得的最大值，再利用面积公式计算即可得解； （3）借助等面积法及基本不等式计算即可得. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 又因为，可得， 所以， 所以， 因为，所以，可得，所以， 又因为，故； （2）因为D为边BC上，满足， 所以，所以，所以， 所以， 即有， 即， 所以，所以，即， 当且仅当时，即时，取等号， 所以， 即的面积最大值为； （3）由， 则， 可得，则， 故， 当且仅当，即时，等号成立， 即的最小值为. 5．（25-26高一下·安徽淮南·期中）在中，角的对边分别为．且满足. (1)求角的大小； (2)若的面积，内切圆的半径为，求； (3)若的平分线交于，且，求的面积的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理结合三角恒等变换运算求解即可； （2）由面积可得，由内切圆半径可得，结合余弦定理可得答案； （3）由等面积法可得，结合由基本不等式可得，即可得面积最小值. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 因为，则，可得， 又因为，则，， 可得，即， 可得，所以. （2）由（1）知， 则的面积，即， 又因为内切圆的半径为，则， 可得，即， 由余弦定理可得， 即，解得. （3）因为的平分线交于，由（1）知， 则， 又， 可得， 又， 则， 则，可得， 当且仅当时，等号成立， 所以的面积最小值为. 6．（2026·北京·模拟预测）在中，角，，所对的边分别，，，．函数的图象关于点对称． (1)当时，求的值域； (2)若，求的面积最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由得角A，进而化简，再由的范围即可求解； （2）由余弦定理求出的最大值即可由求解. 【详解】（1）由题可得 ， 所以，因为，所以， 所以 ， 因为，则，所以， 所以的值域为； （2）由（1）得，又，所以， 即， 当且仅当时等号成立， 所以的最大值为， 所以，即的面积最大值为. 7．（25-26高一下·江苏扬州·期中）已知的面积为. (1)求的大小； (2)若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围； (3)如图，以的边作形成凸四边形，记的面积为，若，，，且，的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）结合三角形的面积公式和余弦定理求解即可； （2）由正弦定理可得，由为锐角三角形，可得，从而可得范围，根据三角形的面积公式求解即可； （3）根据四边形的内角和为，可得，设，在，中，结合正弦定理可得，代入，可求得，求出两三角形的面积即可得答案. 【详解】（1）因为， 所以， 整理得， 又， 所以 （2）在中，由正弦定理知，， 所以 ， 若为锐角三角形， 则, 解得， 所以，， 所以， 所以的面积， 故的面积的取值范围为. （3）因为四边形的内角和为， 所以， 设，则， 又， 在中，由正弦定理知，， 即， 在中，由正弦定理知，， 即， 两式作商得，， 又， 则， 整理得，即， 所以， 因为，所以， 所以，即， 所以，， 而， 所以． 8．（25-26高一下·浙江·期中）在中，角所对的边分别是，且. (1)求； (2)若是边上靠近的三等分点，，，求的面积； (3)若是的角平分线，，，求的长. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正弦定理边化角，结合三角恒等变换得，再根据三角函数性质即可求得； （2）由题意，进而根据向量模的关系求得，再计算面积即可； （3）根据题意，结合得，再根据余弦定理求解即可. 【详解】（1）解：因为， 由正弦定理可得， 所以， 所以， 又因为，所以， 所以，又因为，所以， 所以，故； （2）解：因为是边上靠近的三等分点， 所以， 所以， 又因为，，， 所以，化简得， 即，解得或（舍去）， 所以； （3）解：已知平分，且，故， 由 得； 将 ，代入得 ，解得 ∵ ∴ 9．（25-26高三上·安徽·月考）在锐角中，内角所对的边分别为．在下面所给的三个条件中任选一个完成题目的解答： ①；②；③． (1)求的值； (2)若为延长线上一点，且，求的取值范围． 注：若多选，则按所选第一个计分． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）选①，由正弦定理及二倍角公式，可得，即可得答案；选②，由正弦定理及两角和差公式可得，即可得答案；选③，由正弦定理、两角和差公式及诱导公式可得，即可得答案； （2）由题意可得，在和中，由正弦定理及，从而可得，求出的范围，即可得答案. 【详解】（1）若选①，因为； 由正弦定理得， 又， 所以， 因为， 所以； 若选②，因为， 由正弦定理得， 又， 所以， 又， 所以， 因为， 所以； 若选③，， 由正弦定理可得， 因为， 所以， 又因为， 所以， 所以， 即 因为，所以， 因为， 故， 所以. （2）在中，， 由正弦定理可得， 所以， 在中，， 所以， 所以， 则， 因为为锐角三角形，， 所以， 即，解得， 所以， 从而， 所以， 所以的取值范围是. 10．（2025·湖南益阳·模拟预测）已知的内角所对的边分别为，且. (1)求； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意利用正弦定理结合三角恒等变换可得，即可得角C； （2）利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得，再根据正弦函数有界性运算求解. 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 化简得， 又因为，则，可得，即， 且，所以. （2）因为，，由正弦定理得， 则，， 可得， 因为，则， 可得，所以. 11．（25-26高一下·吉林长春·月考）已知直角中，，射线AD，AC三等分，分别交BC于点D、C，且． (1)若，求的值； (2)求证：； (3)求的最小值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由，结合向量数量积运算律即可求解； （2）由正弦定理可得，，利用三角恒等变换化简即可证明： （3）由（2）可知，根据基本不等式“1”的妙用计算即可求解. 【详解】（1）因为，由题意可知， 所以 ； （2）设，在中， 由正弦定理可得，即， 在中，，即， 所以等式左边， 等式右边 因为， 所以， 即成立； （3）由（2）可知， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 12．（25-26高一下·江苏宿迁·月考）三角形的布洛卡点是法国数学家、数学教育学家克洛尔于1816年首次发现的，但他的发现并未被当时的人们所注意．1875年，布洛卡点被一个数学爱好者布洛卡重新发现，并用他的名字命名．若内一点满足，则称点为的布洛卡点，角为布洛卡角．如图，在中，角所对的边分别为，点为的布洛卡点，其布洛卡角为． (1)若，求证： ①为的面积）； ②为等边三角形； (2)若，求证： 【答案】(1)①证明见解析；②证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）①先根据表示出三角形的面积，再在中，由余弦定理相加，再化简整理，即可得证；②先利用作差法证明，并求出取等号的条件，再结合即可得证； （2）方法一：根据（1）得出与的等量关系，再利用余弦定理和三角形的面积公式，化简整理即可得证；方法二：在和中，分别利用正弦定理即可得证； 【详解】（1）①若，则 ， 所以． 在中，分别应用余弦定理，得 三式相加并整理，得， 即，所以； ②在中，由余弦定理可得， 则 ， 当且仅当且时取等号， 因为，所以， 所以，所以， 即当且仅当且时，即当且仅当为等边三角形时，， 又由①知， 所以为等边三角形； （2）方法一：由（1）得， 所以． 又， 所以， 又由余弦定理可得， 所以， 所以，所以， 由正弦定理可得，故得证． 方法二：因为，所以， ，在中，， 即，在中，， 即，所以， 即，所以即. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $