专题 23.3 一次函数与方程（组）、不等式（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2025-2026学年人教版八年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 23.3 一次函数与方程（组）、不等式（知识梳理+题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】一次函数与一元一次方程关系 1 【题型 1】已知直线与坐标轴交点，求一元一次方程的解 1 【题型 2】由一元一次方程的解判断直线与坐标轴交点坐标 4 【知识点二】一次函数与一次不等式的关系 6 【题型 3】由直线与坐标轴交点，求一元一次不等式的解集 6 【题型 4】由两条直线交点，求一元一次不等式组的解集 9 【知识点三】一次函数与二元一次方程（组）的关系 12 【题型 5】两条直线的交点与二元一次方程的解 13 【题型 6】图象法解一元一次方程和二元一次方程组 16 【题型 7】求直线围成的图形面积 19 二.同步检测 22 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 22 （二） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 28 （三） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 33 一.知识梳理与基础题型精析 【知识点一】一次函数与一元一次方程关系 从数的角度：解方程等价于一次函数的函数值为0时，自变量的值。 从形的角度：解方程等价于一次函数的图象与轴交点的横坐标。 【题型 1】已知直线与坐标轴交点，求一元一次方程的解 【例题1】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知一次函数的图象如图所示，利用图象解决下列问题： （1）关于x的方程的解是_______． （2）关于x的方程的解是_______． （3）关于x的方程的解是_______． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是能利用图象解决问题． （1）（2）（3）都可利用函数图象直接得到答案． 解：（1）解：由图象知，一次函数的图象过点， ∴是方程的解， 故答案为：． （2）由图象知，一次函数的图象过点， ∴是方程的解， 故答案为：． （3）由图象知，一次函数的图象过点， ∴是方程的解， 故答案为：． 【变式1】（2026·安徽滁州·一模）一次函数的图象如图所示，则关于的方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将点代入一次函数解析式中，得到与的关系式，再将所求方程进行变形，求解即可． 解：观察图象可知，一次函数的图象经过点， ， ， 关于的方程可变形为：， 即， ， ． 【变式2】（25-26八年级上·贵州·期末）如图，直线与x轴的交点是，则关于x的方程的解是______． 【答案】1 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系：一次函数与x轴交点的横坐标即为一元一次方程的解．据此即可求解． 解：∵直线与x轴的交点是， ∴关于x的方程的解是 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级上·安徽阜阳·月考）如图，一次函数的图象为直线，求关于的方程的解．    【答案】关于x的方程的解为． 【分析】根据一次函数图象可得一次函数的图象经过点，，利用待定系数法即可求得m、n的值，从而得到方程，解方程即可． 解：∵一次函数的图象经过点，， ∴，解得， ∴关于x的方程为， ∴， 故关于x的方程的解为． 【点拨】本题考查了一次函数的图象与性质，待定系数法求一次函数的解析式，解一元一次方程，求得m、n的值是解题的关键． 【题型 2】由一元一次方程的解判断直线与坐标轴交点坐标 【例题2】（24-25八年级上·四川绵阳·期末）一次函数的图象经过点和点． （1）求出该一次函数的解析式； （2）并求该图象与x轴的交点A的坐标，与y轴的交点B的坐标． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，掌握待定系数法是解决本题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）令，得到，令得到，即可求解． 解：（1）解：∵一次函数的图象经过点和点， 则有， 解得， ∴一次函数的解析式为； （2）解：对于直线，令，得到，令得到， ∴； 【变式1】（25-26八年级上·广西崇左·月考）若是关于x的方程的解，则一次函数的图象与轴的交点坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系．任何一元一次方程都可以转化为 （a，b为常数，的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线确定它与轴的交点的横坐标的值． 由方程的解可得与的关系，再令一次函数求解，即可得交点坐标． 解：∵是方程的解， ∴，即． 令，即， 代入，得， ∴， ∵， ∴，解得． ∴交点坐标为． 故选：D． 【变式2】（24-25八年级上·陕西·期中）已知关于x的方程的解为，则一次函数的图象与x轴的交点坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数和一元一次方程的关系，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 根据方程解的定义求得a的值，再令，即可求得一次函数与x轴的交点坐标． 解：∵关关于x的方程的解为， ∴， 解得：． ∴一次函数为， 令，得． 解得：， ∴一次函数与x轴交点的坐标为． 故答案为． 【变式3】（24-25八年级下·湖南株洲·期末）已知一次函数与x轴的交点为A，与y轴的交点为B． （1）求出点A和点B的坐标？ （2）求出的面积？ 【答案】（1）；（2）4 【分析】（1）根据一次函数与方程的联系求解； （2）根据三角形面积公式求解． 解：（1）由，，则，得，； 时， ，； （2）； 【点拨】本题考查一次函数与方程的联系，理解函数与方程的联系是解题的关键． 【知识点二】一次函数与一次不等式的关系 从数的角度：解方程等价于一次函数的函数值大于0（或小于0）时，求自变量的取值范围。 从形的角度：解不等式等价于一次函数的图象在轴上方（下方）时，对应点横坐标的取值范围。 【题型 3】由直线与坐标轴交点，求一元一次不等式的解集 【例题1】（2025八年级上·全国·专题练习）画出函数的图像，并根据图像回答下列问题： （1）函数图像与x轴、y轴的交点坐标分别是什么？ （2）当x取何值时，？ 【答案】（1）与x轴交点坐标为，与y轴交点坐标为；（2）当时， 【分析】本题考查一次函数图像的绘制及其性质的应用．首先根据函数表达式确定直线在坐标系中的位置，找出与坐标轴的交点；然后结合图像分析函数值的符号情况．由于该函数为一次函数，图像为一条直线，其与轴交点即为时的解，与轴交点为时的函数值．通过画出图像或代数计算可快速得出结果． 解：（1）    时， 解得： 所以，函数图像与x轴的交点坐标为． 时，代入得： 所以，函数图像与y轴的交点坐标为． （2）由函数，这是一个斜率为正的一次函数，随着x增大，y也增大． 当时，． 当时，． 所以，当时，函数值大于0． 【变式1】（25-26八年级下·陕西宝鸡·月考）一次函数的图象如图所示，当时，x的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据函数的图象，找到当时对应的的取值范围即可得出结论． 解：由图可知，当时，x的取值范围是． 【变式2】（24-25八年级下·河南商丘·月考）如图，一次函数解析式交x轴于点A，交y轴于点B． （1）求A、B两点坐标； （2）求的面积； （3）根据图象直接写出当时，x的取值范围． 【答案】（1）；（2）4；（3） 【分析】（1）分别将、代入计算即可； （2）先求出，，再根据三角形面积公式计算即可； （3）直接根据函数图象及A点坐标作答即可． 解：（1）解：将代入得； 将代入得， 得：； （2）解：∵， ∴，， ∴； （3）解：由函数图象知，当时，x的取值范围为：． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，若一次函数的图象与两坐标轴分别交于、两点，点的坐标为，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点的坐标求出直线解析式，然后求出点坐标，根据直线与横轴的交点坐标即可得出不等式的解集． 解：一次函数的图象经过点， ， ∴函数表达式为． 当时，， 解得， ， 由题图得，关于的不等式的解集为． 【点拨】重点掌握待定系数法和数形结合的思想． 【题型 4】由两条直线交点，求一元一次不等式组的解集 【例题2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线：交于点． （1）求直线的解析式； （2）当取何值时，． 【答案】（1）；（2）当时， 【分析】（1）将点、点的坐标代入，解方程组求出、的值，即可求出函数解析式； （2）把代入，求出的值，根据图像即可得出答案． 解：（1）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点， ∴， 解得， ∴直线的解析式为． （2）解：∵直线过点， ∴， 解得：， ∴由图象可知，当时，． 【变式1】（25-26八年级下·山西太原·期中）已知在平面直角坐标系中，一次函数与图象的交点坐标为．若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一次函数图象在一次函数图象的下方对应的的取值范围即为所求． 解：∵一次函数与图象的交点坐标为， ∴由图象可知，若，则． 故选：B． 【变式2】（25-26九年级下·四川成都·月考）如图，已知一次函数的图象与x轴相交于点，若正比例函数的图象与一次函数的图象相交于点P，且点P的横坐标为1，则关于x的不等式组的解集为________________________． 【答案】 【分析】先把代入可得，则化为，解得，再利用正比例函数性质，解得，从而确定关于x的不等式组的解集． 解：把代入得， ， 化为， 由图可知， ， 解得， 得， 关于x的不等式组的解集为 【变式3】（25-26八年级下·江西抚州·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴的交点为，与轴的交点为点，且与正比例函数的图象交于点． （1）求的值及一次函数的表达式； （2）结合图象直接写出：的解集． 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）首先利用待定系数法把代入正比例函数中，计算出的值，进而得到点的坐标，再用待定系数法把两点坐标代入一次函数中，计算出的值，进而得到一次函数解析式； （2）根据图象即可得到答案． 解：（1）解：∵点在正比例函数图象上， ， ，        即点坐标为， ∵一次函数经过、点， ， 解得：， ∴一次函数的表达式为：； （2）解：由图象可得不等式的解为：． 【知识点三】一次函数与二元一次方程（组）的关系 1、一次函数与二元一次方程的对应关系 任意二元一次方程都可变形为的形式，每个二元一次方程都对应一个一次函数，也对应一条直线； 直线上的每一个点坐标，都是对应二元一次方程的解；反之，二元一次方程的每一组解为坐标的点，都在对应的直线上。 2、一次函数与二元一次方程组的对应关系 二元一次方程组对应两个一次函数和，也对应两条直线。 从数的角度，解方程组，等价于当自变量为何值时，两个函数的函数值相等，以及这个相等的函数值是多少。 从形的角度，解方程组，等价于确定两条直线交点的坐标（交点的横、纵坐标即为方程组的解）。 【题型 5】两条直线的交点与二元一次方程的解 【例题5】（25-26七年级下·山东淄博·月考）如图，直线与直线相交于点． （1）求p的值； （2）直接写出关于x，y的二元一次方程组的解； （3）若直线与x轴交于点，求m和n的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）直接将点M代入，解出p即可； （2）根据图象即可知方程组的解为M点的坐标； （3）将M点和B点代入直线，进行求解即可． 解：（1）解：∵直线经过点， ∴， ∴； （2）解：由（1）得，直线与直线相交于点， ∴关于x，y的二元一次方程组的解为； （3）解：∵，， ∴， 解得． 【变式1】（北京市房山区2025-2026学年下学期八年级期中数学试题）已知函数的图象如图所示，则方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数与二元一次方程组的关系，交点坐标即为方程组的解． 解：由图可知，函数的交点坐标为， ∴方程组的解是． 【变式2】（25-26八年级下·全国·单元测试）如图，已知函数和图象交于点，点的横坐标为1，则关于，的方程组的解是___________． 【答案】 【分析】将代入求得，将代入，求得，将代入解方程组即可． 解：∵当时，， ∴， 将代入，得，解得， ∴ 得解得， 将代入②得，解得， ∴方程组的解是． 【变式3】（2026·河北石家庄·一模）如图，直线经过点，，直线：与x轴交于点C，与直线交于点P． （1）求直线的表达式，判断点是否在直线上，并说明理由； （2）求的面积． 【答案】（1），点不在直线上，理由见分析；（2） 【分析】（1）设直线的表达式为，将点，代入，即可求得表达式，将代入表达式进行判断即可； （2）设与轴交于点，则点，点，由题意得，求出，即可得到答案． 解：（1）解：设直线的表达式为， 将点，代入， 得， 解得 直线的表达式为， 当时，， 点不在直线上； （2）解：设与轴交于点，则点，点， ， 由题意得， 解得， 点， ． 【题型 6】图象法解一元一次方程和二元一次方程组 【例题6】（2025八年级下·全国·专题练习）（1）在如图所示的平面直角坐标系中，用图象法求二元一次方程组，的解； （2）求（1）中图象与x轴所围成的三角形的面积．    【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组），三角形面积公式，掌握相关知识是解题的关键． （1）作出函数和函数的图象，由二元一次方程组，的解即函数和函数的图象的交点的横、纵坐标即可求解； （2）分别由图象得出两函数与轴的交点坐标，代入三角形面积公式即可． 解：（1）在平面直角坐标系中作出函数和函数的图象：    ∵二元一次方程组，的解即函数和函数的图象的交点的横、纵坐标， ∵由图象知：函数和函数的图象的交点坐标为， ∴二元一次方程组的解为； （2）由图象知：函数与轴的交点坐标为， 当时，即， ∴， ∴函数的图象与轴的交点坐标， ∴（1）中图象与轴所围成的三角形的面积为：． 【变式1】（25-26八年级下·山东潍坊·期中）已知点在直线上，则关于x的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数与一元一次方程的关系，点在直线上则点的坐标满足直线解析式，据此可直接得到方程的解． 解：∵ 点在直线上． ∴ 将代入，得 ． 又∵ 待求解方程为． ∴ 方程的解为． 【变式2】（24-25八年级上·贵州贵阳·月考）已知关于x，y的二元一次方程组无解，则k的值为_____． 【答案】2 【分析】本题考查了二元一次方程组与一次函数的综合问题． 二元一次方程组无解的条件是两条直线平行，即x的系数相等但b不等，通过令k相等求解k的值． 解：由方程组无解，得直线与直线平行，故x的系数相等，即 ． 解方程： ， 移项得： ， 即：， 解得：． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·陕西宝鸡·期中）已知一次函数． （1）补充完整下列表格，并画出这个函数的图象． … 0 1 … … … （2）结合函数图象，方程的解为___________． 【答案】（1）填表见分析，图见分析；（2） 【分析】本题考查画一次函数的图象，图象法求方程的解，正确的画出函数图象，是解题关键： （1）把自变量的值代入函数解析式，求出相应的函数值，描点，连线画出函数图象即可； （2）直接利用图象法求出方程的解即可． 解：（1）解：当时，； 当时，； 填表如下： … 0 1 … … 3 1 … 描点，连线，画出图象如图： （2）由图象可知，方程的解为； 故答案为：． 【题型 7】求直线围成的图形面积 【例题7】（25-26八年级下·河南周口·月考）已知一次函数的图像经过点和． （1）求这个一次函数的解析式； （2）若该函数图像与x轴交于点A，与y轴交于点B，求的面积． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）将点和代入解析式进行求解即可； （2）先求出点A坐标，进而即可求出的面积． 解：（1）解：把，代入，得 解得， ∴解析式为； （2）解：令，得，即， 由题意得，， ∴． 【变式1】（2026·陕西西安·一模）将直线向上平移个单位长度得到的直线与坐标轴围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】灵活运用“上加下减”的平移规律求出平移后的直线解析式是解题的关键．根据平移规律得到平移后直线的解析式，进而求出该直线与坐标轴的交点坐标，再利用三角形面积公式求出与坐标轴围成的三角形的面积． 解：将直线向上平移时，解析式遵循“上加下减”的规律，原直线解析式为，向上平移个单位长度， 平移后直线解析式为， 当时，，即平移后直线与轴交点为； 当时，，解得，即平移后直线与轴交点为， 直线与坐标轴围成的三角形的两条直角边长分别为和， 三角形面积为． 【变式2】（25-26九年级上·安徽马鞍山·期末）已知关于x的一次函数与． （1）这两个函数图象的交点坐标是__________； （2）若这两个函数图象与x轴围成的三角形的面积是2，则___________． 【答案】 2或 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，解题的关键是掌握一次函数的图象和性质进行解答． （1）通过联立两个一次函数解析式，解方程得到交点坐标； （2）先求两个函数与轴的交点坐标，再以这两个交点的距离为底边、两函数交点的纵坐标为高表示三角形面积，根据面积等于列方程求解． 解：（1）解：联立与， 得， 整理得， 由，解得， 代入得， 故交点坐标为． （2）解：函数与轴交于点， 函数与轴交于点， 两函数交于点． 三角形面积， 由，得， 简化得， 即或， 解得或， 均满足， 故或． 故答案为：；2或． 【变式3】（25-26八年级上·安徽安庆·月考）如图，已知一次函数的图象与正比例函数的图象交于点，经过点，与轴、轴分别交于点． （1）求点的坐标； （2）求的面积． 【答案】（1）；（2）3 【分析】（1）把代入，可求出，得，把，代入，求出的值，得出相应的解析式，再令，得出的值，可得点的坐标； （2）求出点的坐标，再根据三角形面积公式解答即可． 解：（1）解：把代入，得：， 解得：， ∴， 把，代入，得：， 解得， ∴一次函数解析式为， 当时，， ∴； （2）解：对于，当时，，解得：， ∴, ∴． 二.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（24-25八年级上·广西·期中）若关于x的方程的解为，则直线一定经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一元一次方程的关系式解题的关键．根据方程可知时，，即直线过点． 解：∵关于的方程的解为， ∴直线一定经过某点的坐标为， 故选A． 2．（25-26八年级下·上海·月考）已知一次函数的图像如图所示，那么下列说法错误的是（    ） A． B． C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】通过观察函数图象经过的坐标点以及图象的升降趋势，结合一次函数中、的几何意义进行判断即可． 解：由图象可知，直线经过点和，且随的增大而减小， ，故A选项说法正确； 图象与轴交于点， ，故B选项说法正确； 观察图象可知，当时，图象位于轴下方，即，故C选项说法错误； 当时，图象位于轴左侧，即，故D选项说法正确． 3．（25-26八年级下·山东青岛·期中）如图，一次函数与的图象交于点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先把点的坐标代入求出的值，确定交点坐标，再将不等式变形为，结合图象找出直线在直线上方时对应的的取值范围即可． 解：点在一次函数的图象上， ， 解得， 交点的坐标为. 不等式可变形为，即， 由图象可知，当时，直线在直线的上方， 不等式的解集为． 4．（25-26八年级下·河南驻马店·月考）如图，直线与直线相交于点，则关于，的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先把代入直线求出的值，从而得到点坐标，再根据“两函数图像的交点就是两函数组成的二元一次方程组的解”可得答案． 解：∵直线与直线相交于点， ∴， ∴， ∴关于，的方程组的解是． 5．（2021·广东广州·二模）用图象法解某二元一次方程组时，在同一平面直角坐标系中作出相应的两个一次函数图象，如图，则所解的二元一次方程组为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用待定系数法求出两个一次函数的解析式即可得． 解：设其中一个一次函数的解析式为， 将点代入得：，解得， 则这个一次函数的解析式为， 同理可得：另一个一次函数的解析式为， 则所解的二元一次方程组为， 故选：A． 【点拨】本题考查了利用待定系数法求一次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题关键． 6．（25-26八年级上·浙江台州·月考）如图，直线与x轴，y轴分别相交于A，B两点，点C的坐标为，则等于（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先求出两点的坐标，得到，结合题意得到，进而求出，由即可得出结果． 解：∵直线与x轴，y轴分别相交于A，B两点， 则时，，时，，即， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴． 7．（24-25八年级下·江苏南通·期中）若点、、．当的值最小时，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由点的坐标特征确定其在直线上，为使最小，作点关于直线的对称点，根据轴对称性质将转化为，则的最小值为的长度，此时点为直线与直线的交点；再通过直线与坐标轴的交点及轴对称性质求出的坐标，用待定系数法求得直线的解析式，最后联立直线与的方程，解方程组得到点的坐标． 解：∵点的坐标满足， ∴点在直线上． 如图，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为所求的点，此时，为最小值． 设直线与轴交于点，与轴交于点，则，为等腰直角三角形，． 点与点关于直线对称， ，，，． ，即轴， ，即轴， ． 设直线的解析式为， 将、代入：，解得， ∴直线的解析式为． 联立直线与直线的方程：，解得， ∴点的坐标为． 8．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）通过课本数学活动--二元一次方程的“图象”的探究，我们学习到：一般的，以一个二元一次方程的解为坐标的点的全体叫作这个方程的图象，二元一次方程的图象是直线，根据以上信息，解决如下问题：在平面直角坐标系中，关于的二元一次方程的图象和关于的二元一次方程的图象的交点坐标为，则关于的方程组的解为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查换元法求方程组的解，根据交点坐标，得到方程组的解为：，通过对方程组进行变量替换，将原方程的解转换为新方程的解． 解：由题意，方程组的解为：， ∵， ∴， ∴的解为：， ∴； 故选B． （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（25-26八年级·上海·寒假作业）已知一次函数的图象经过点和点，那么关于的方程的解为 __________ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数和一元一次方程的关系，解题的关键是掌握数形结合的思想． 根据一次函数与一元一次方程的关系，方程的解即为函数图象与轴交点的横坐标． 解：∵一次函数的图象经过点，该点是函数图象与轴的交点， ∴关于的方程的解为， 故答案为：． 10．（25-26八年级上·宁夏银川·期中）直线上有一点的坐标是，则关于的方程的解是_______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，根据一次函数与一元一次方程的关系即可求解，熟练掌握两者之间的关系是解题的关键． 解：∵直线上有一点的坐标是， ∴当时，， ∴方程的解是， 故答案为：． 11．（25-26八年级下·江苏南京·开学考试）若一次函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为 _________ ． 【答案】 【分析】由函数图象可知当时，，所以关于的不等式的解集为． 解：由一次函数的图象可知: 当时，， 当时，， 关于的不等式的解集为． 12．（25-26八年级下·福建三明·月考）如图，直线与相交于点，则关于的不等式的解集为______． 【答案】 【分析】利用图象法求解即可． 解：∵直线与相交于点， ∴根据图象得：关于的不等式的解集为． 13．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，直线是一次函数的图象，与两坐标轴所围成的三角形的面积为___________． 【答案】/ 【分析】本题考查的是一次函数图象上点坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．先根据待定系数法求出直线解析式，进而求出直线与坐标轴的交点，再根据三角形的面积公式求解即可． 解：由题意，；，， ∴ 解得： ∴， 把代入得：，解得： ∴直线与坐标轴的交点分别为，， ∴函数与两坐标轴围成三角形的面积为：． 故答案为：． 14．（25-26七年级上·山东烟台·期末）若关于x的方程的解为，直线与坐标轴交于A、B两点，则线段的长度是_____ ． 【答案】2 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，涉及一次函数与方程的解的关系，两点间距离公式． 根据方程的解求出参数b，再求直线与坐标轴的交点坐标，最后利用两点间距离公式计算线段的长度． 解：关于x的方程的解为， ∴直线与轴的交点为 ∴将代入，则， 解得， 因此直线表达式， 当时，， 故与y轴交于点； ∴， 故答案为：2． 15．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）直线与轴、轴分别相交于点、，直线与轴、轴分别相交于点、，两直线交点为． （1）如图，当时，点的坐标为________； （2）若两点之间距离为2，则________． 【答案】 或 【分析】本题考查的是一次函数的图象与性质，求解一次函数的解析式以及交点坐标，当时，求解，结合可得，可得直线为，再求解交点坐标即可；求解，，，，利用，，再建立方程组求解即可． 解：（1）当时，直线为：， 当时，， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴直线为， ∴， 解得：， ∴； 故答案为：； （2）∵直线：，直线：， 同理可得：，，，， ∵，， ∴， 解得：或； 故答案为：或． 16．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，一束光线从点O射出，照在镜面上的点P处，经过镜面反射后，反射光线射到镜面上的点Q处，经过镜面反射后的光线恰好经过点M，则点P的坐标为________． 【答案】 【分析】此题考查了轴对称的性质，一次函数表达式交点问题，解题的关键是求出一次函数表达式． 如图所示，作点O关于的对称点，点M关于y轴的对称点，然后求出所在直线的表达式为，所在直线的表达式为，然后联立求解即可． 解：如图所示，作点O关于的对称点，点M关于y轴的对称点 ∵，， ∴， 设所在直线的表达式为 ∴ ∴所在直线的表达式为 同理可得，所在直线的表达式为 根据对称可得，直线和的交点即为点P， 联立得， 解得 ∴点P的坐标为． 故答案为：． （3） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）一次函数的图象经过点和两点． （1）求出该一次函数的表达式； （2）若直线AB与x轴交于点C，求的面积． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）先求出点C的坐标，再根据三角形的面积公式求解． 解：（1）设一次函数解析式为， ∵图象经过，两点， ∴     解得：，     ∴一次函数解析式为； （2）当时，， ∴， ∴     ∴， 答：的面积为5． 【点拨】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，以及三角形的面积，熟练掌握待定系数法是解答本题的关键． 18．（2025八年级上·山东青岛·专题练习）在平面直角坐标系中有两条直线，和它们的交点为P，与x轴交点分别为A、B． （1）点A、B的坐标分别为_________ （2）求点P的坐标 （3）以P、A、B为顶点的三角形的面积为_________ 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了求直线围成的图形面积，两直线的交点与二元一次方程组的解，一次函数图象与坐标轴的交点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，令，分别算出和对应的x的值，即可得出； （2）理解题意，得出，故，然后把代入，得，即可作答． （3）理解题意，得出，再把数值代入进行计算，即可作答． 解：（1）解：和与x轴交点分别为A、B， ∴令，则 解得， 故 令，则 解得， 故； （2）解：∵和它们的交点为P， ∴， 解得， 把代入，得， ∴； （3）解：由（1）得， 由（2）得， ∴， ∴． 19．（25-26八年级下·河北秦皇岛·月考）如图，直线与x轴交于点，直线与y轴交于点B，与直线交于点C． （1）求k，b的值； （2）关于x，y的方程组的解为____；当时，x的取值范围为____； （3）将直线沿y轴正方向向上平移t个单位长度（）得到，若与x轴交于点D，当时，求t的值． 【答案】（1），；（2），；（3） 【分析】（1） 利用待定系数法，将已知点坐标代入直线方程求和． （2） 联立方程组求解，利用函数图象性质解不等式． （3） 根据平移规律写出的解析式，求与轴交点，利用距离公式求． 解：（1）解：直线与轴交于点， ， 解得：， 直线与轴交于点， ， 解得：． （2）解：联立， 得：， ， 解得：， ， 方程组的解为， 当时，即， 由函数图象可知， 解得：． （3）解：直线沿轴正方向平移个单位， 得， 令，得， 解得：， ， ， ， 由得： ， 解得：． 20．（25-26九年级下·陕西西安·月考）近年来，智能化和新能源越来越受到人们的追捧．为了解某新能源汽车的充电速度，某校数学兴趣小组经调查研究发现：如图，用快速充电器时，汽车电池电量（单位：）与充电时间x（单位：h）的函数图象是折线；用普通充电器时，汽车电池电量（单位：）与充电时间x（单位：h）的函数图象是线段．根据以上信息，回答下列问题： （1）普通充电器对该汽车每小时的充电量为_______，的解析式为_________； （2）求的解析式； （3）若将该汽车电池电量从充至，快速充电器比普通充电器少用多长时间？ 【答案】（1）30，；（2）；（3）小时 【分析】本题考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数是解题的关键． （1）利用小时所充的电池电量除以即可求解；利用待定系数法求解即可； （2）利用待定系数法求解即可； （3）将代入两个函数解析式中，计算差值即可． 解：（1）解：， 设函数解析式为， 将代入， ， 解得， ； （2）解：设（） 过点和 ， ； （3）解：将代入中得， 将代入中得， ． 答：快速充电器比普通充电器少用时间为小时． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 23.3 一次函数与方程（组）、不等式（知识梳理+题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】一次函数与一元一次方程关系 1 【题型 1】已知直线与坐标轴交点，求一元一次方程的解 1 【题型 2】由一元一次方程的解判断直线与坐标轴交点坐标 3 【知识点二】一次函数与一次不等式的关系 3 【题型 3】由直线与坐标轴交点，求一元一次不等式的解集 3 【题型 4】由两条直线交点，求一元一次不等式组的解集 4 【知识点三】一次函数与二元一次方程（组）的关系 6 【题型 5】两条直线的交点与二元一次方程的解 6 【题型 6】图象法解一元一次方程和二元一次方程组 8 【题型 7】求直线围成的图形面积 9 二.同步检测 9 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 9 （二） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 11 （三） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 13 一.知识梳理与基础题型精析 【知识点一】一次函数与一元一次方程关系 从数的角度：解方程等价于一次函数的函数值为0时，自变量的值。 从形的角度：解方程等价于一次函数的图象与轴交点的横坐标。 【题型 1】已知直线与坐标轴交点，求一元一次方程的解 【例题1】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知一次函数的图象如图所示，利用图象解决下列问题： （1）关于x的方程的解是_______． （2）关于x的方程的解是_______． （3）关于x的方程的解是_______． 【变式1】（2026·安徽滁州·一模）一次函数的图象如图所示，则关于的方程的解为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·贵州·期末）如图，直线与x轴的交点是，则关于x的方程的解是______． 【变式3】（24-25八年级上·安徽阜阳·月考）如图，一次函数的图象为直线，求关于的方程的解．    【题型 2】由一元一次方程的解判断直线与坐标轴交点坐标 【例题2】（24-25八年级上·四川绵阳·期末）一次函数的图象经过点和点． （1）求出该一次函数的解析式； （2）并求该图象与x轴的交点A的坐标，与y轴的交点B的坐标． 【变式1】（25-26八年级上·广西崇左·月考）若是关于x的方程的解，则一次函数的图象与轴的交点坐标是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·陕西·期中）已知关于x的方程的解为，则一次函数的图象与x轴的交点坐标为______． 【变式3】（24-25八年级下·湖南株洲·期末）已知一次函数与x轴的交点为A，与y轴的交点为B． （1） 求出点A和点B的坐标？ （2）求出的面积？ 【知识点二】一次函数与一次不等式的关系 从数的角度：解方程等价于一次函数的函数值大于0（或小于0）时，求自变量的取值范围。 从形的角度：解不等式等价于一次函数的图象在轴上方（下方）时，对应点横坐标的取值范围。 【题型 3】由直线与坐标轴交点，求一元一次不等式的解集 【例题1】（2025八年级上·全国·专题练习）画出函数的图像，并根据图像回答下列问题： （1）函数图像与x轴、y轴的交点坐标分别是什么？ （2）当x取何值时，？ 【变式1】（25-26八年级下·陕西宝鸡·月考）一次函数的图象如图所示，当时，x的取值范围是______． 【变式2】（24-25八年级下·河南商丘·月考）如图，一次函数解析式交x轴于点A，交y轴于点B． （1）求A、B两点坐标； （2）求的面积； （3）根据图象直接写出当时，x的取值范围． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，若一次函数的图象与两坐标轴分别交于、两点，点的坐标为，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【题型 4】由两条直线交点，求一元一次不等式组的解集 【例题2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线：交于点． （1）求直线的解析式； （2）当取何值时，． 【变式1】（25-26八年级下·山西太原·期中）已知在平面直角坐标系中，一次函数与图象的交点坐标为．若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级下·四川成都·月考）如图，已知一次函数的图象与x轴相交于点，若正比例函数的图象与一次函数的图象相交于点P，且点P的横坐标为1，则关于x的不等式组的解集为________________________． 【变式3】（25-26八年级下·江西抚州·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴的交点为，与轴的交点为点，且与正比例函数的图象交于点． （1）求的值及一次函数的表达式； （2）结合图象直接写出：的解集． 【知识点三】一次函数与二元一次方程（组）的关系 1、一次函数与二元一次方程的对应关系 任意二元一次方程都可变形为的形式，每个二元一次方程都对应一个一次函数，也对应一条直线； 直线上的每一个点坐标，都是对应二元一次方程的解；反之，二元一次方程的每一组解为坐标的点，都在对应的直线上。 2、一次函数与二元一次方程组的对应关系 二元一次方程组对应两个一次函数和，也对应两条直线。 从数的角度，解方程组，等价于当自变量为何值时，两个函数的函数值相等，以及这个相等的函数值是多少。 从形的角度，解方程组，等价于确定两条直线交点的坐标（交点的横、纵坐标即为方程组的解）。 【题型 5】两条直线的交点与二元一次方程的解 【例题5】（25-26七年级下·山东淄博·月考）如图，直线与直线相交于点． （1）求p的值； （2）直接写出关于x，y的二元一次方程组的解； （3）若直线与x轴交于点，求m和n的值． 【变式1】（北京市房山区2025-2026学年下学期八年级期中数学试题）已知函数的图象如图所示，则方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·全国·单元测试）如图，已知函数和图象交于点，点的横坐标为1，则关于，的方程组的解是___________． 【变式3】（2026·河北石家庄·一模）如图，直线经过点，，直线：与x轴交于点C，与直线交于点P． （1）求直线的表达式，判断点是否在直线上，并说明理由； （2）求的面积． 【题型 6】图象法解一元一次方程和二元一次方程组 【例题6】（2025八年级下·全国·专题练习）（1）在如图所示的平面直角坐标系中，用图象法求二元一次方程组的解； （2）求（1）中图象与x轴所围成的三角形的面积．    【变式1】（25-26八年级下·山东潍坊·期中）已知点在直线上，则关于x的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·贵州贵阳·月考）已知关于x，y的二元一次方程组无解，则k的值为_____． 【变式3】（25-26八年级上·陕西宝鸡·期中）已知一次函数． （1）补充完整下列表格，并画出这个函数的图象． … 0 1 … … … （2）结合函数图象，方程的解为___________． 【题型 7】求直线围成的图形面积 【例题7】（25-26八年级下·河南周口·月考）已知一次函数的图像经过点和． （1）求这个一次函数的解析式； （2）若该函数图像与x轴交于点A，与y轴交于点B，求的面积． 【变式1】（2026·陕西西安·一模）将直线向上平移个单位长度得到的直线与坐标轴围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·安徽马鞍山·期末）已知关于x的一次函数与． （1）这两个函数图象的交点坐标是__________； （2）若这两个函数图象与x轴围成的三角形的面积是2，则___________． 【变式3】（25-26八年级上·安徽安庆·月考）如图，已知一次函数的图象与正比例函数的图象交于点，经过点，与轴、轴分别交于点． （1）求点的坐标； （2）求的面积． 二.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（24-25八年级上·广西·期中）若关于x的方程的解为，则直线一定经过点（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·上海·月考）已知一次函数的图像如图所示，那么下列说法错误的是（    ） A． B． C．当时， D．当时， 3．（25-26八年级下·山东青岛·期中）如图，一次函数与的图象交于点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·河南驻马店·月考）如图，直线与直线相交于点，则关于，的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 5．（2021·广东广州·二模）用图象法解某二元一次方程组时，在同一平面直角坐标系中作出相应的两个一次函数图象，如图，则所解的二元一次方程组为（    ）． A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·浙江台州·月考）如图，直线与x轴，y轴分别相交于A，B两点，点C的坐标为，则等于（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（24-25八年级下·江苏南通·期中）若点、、．当的值最小时，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）通过课本数学活动--二元一次方程的“图象”的探究，我们学习到：一般的，以一个二元一次方程的解为坐标的点的全体叫作这个方程的图象，二元一次方程的图象是直线，根据以上信息，解决如下问题：在平面直角坐标系中，关于的二元一次方程的图象和关于的二元一次方程的图象的交点坐标为，则关于的方程组的解为（　　） A． B． C． D． （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（25-26八年级·上海·寒假作业）已知一次函数的图象经过点和点，那么关于的方程的解为 __________ ． 10．（25-26八年级上·宁夏银川·期中）直线上有一点的坐标是，则关于的方程的解是_______． 11．（25-26八年级下·江苏南京·开学考试）若一次函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为 _________ ． 12．（25-26八年级下·福建三明·月考）如图，直线与相交于点，则关于的不等式的解集为______． 13．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，直线是一次函数的图象，与两坐标轴所围成的三角形的面积为___________． 14．（25-26七年级上·山东烟台·期末）若关于x的方程的解为，直线与坐标轴交于A、B两点，则线段的长度是_____ ． 15．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）直线与轴、轴分别相交于点、，直线与轴、轴分别相交于点、，两直线交点为． （1）如图，当时，点的坐标为________； （2）若两点之间距离为2，则________． 16．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，一束光线从点O射出，照在镜面上的点P处，经过镜面反射后，反射光线射到镜面上的点Q处，经过镜面反射后的光线恰好经过点M，则点P的坐标为________． （3） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）一次函数的图象经过点和两点． （1）求出该一次函数的表达式； （2）若直线AB与x轴交于点C，求的面积． 18．（2025八年级上·山东青岛·专题练习）在平面直角坐标系中有两条直线，和它们的交点为P，与x轴交点分别为A、B． （1）点A、B的坐标分别为_________ （2）求点P的坐标 （3）以P、A、B为顶点的三角形的面积为_________ 19．（25-26八年级下·河北秦皇岛·月考）如图，直线与x轴交于点，直线与y轴交于点B，与直线交于点C． （1）求k，b的值； （2）关于x，y的方程组的解为____；当时，x的取值范围为____； （3）将直线沿y轴正方向向上平移t个单位长度（）得到，若与x轴交于点D，当时，求t的值． 20．（25-26九年级下·陕西西安·月考）近年来，智能化和新能源越来越受到人们的追捧．为了解某新能源汽车的充电速度，某校数学兴趣小组经调查研究发现：如图，用快速充电器时，汽车电池电量（单位：）与充电时间x（单位：h）的函数图象是折线；用普通充电器时，汽车电池电量（单位：）与充电时间x（单位：h）的函数图象是线段．根据以上信息，回答下列问题： （1）普通充电器对该汽车每小时的充电量为_______，的解析式为_________； （2）求的解析式； （3）若将该汽车电池电量从充至，快速充电器比普通充电器少用多长时间？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $