第四章因式分解综合专练 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

第四章因式分解综合专练 1、 单选题(本大题共10小题.每小题3分.共计30分) 1．下列各式由左边到右边的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据因式分解的定义，判断变形是否将多项式转化为几个整式乘积的形式，即可得出答案． 【详解】选项A和选项C是整式乘法，最终结果是多项式的和，不符合因式分解定义， 选项D的结果是两个部分相加的形式，不是几个整式的积，不符合定义， 选项B将多项式化为两个整式的乘积，符合因式分解的定义， 故选：B． 【点睛】因式分解的定义为：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解． 2．下列多项式：①；②；③；④．其中能用公式法因式分解的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】检查每个多项式是否适用于平方差公式或完全平方公式进行因式分解； 本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解： ① = = = ，能用平方差公式分解； ② = = ，能用平方差公式分解； ③ = ，能用完全平方公式分解； ④ 无法用公式法分解； 能用公式法因式分解的有①、②、③，共3个． 故选：C． 3．若是完全平方式，则实数的值为（   ） A． B．或 C．5 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式的应用知识点，掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． 本题根据完全平方公式，分析多项式的结构，得出“中间项系数需满足与首项、末项的关系”的结论，进而通过解方程求出的值，即可解决根据完全平方式的结构特征求字母参数的问题． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， ∵， ∴， 即：， 当时，； 当时，， 综上：或． 故选 ：B． 4．所得的结果是（　　） A． B．2100 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，通过提取公因式，将原式化简为 ，然后利用负数的偶次幂为正的性质计算． 【详解】解：∵ 又∵（指数为偶数） ∴原式 故选A 5．已知，求的值．（   ） A． B．0 C．1 D． 【答案】D 【分析】此题考查的是因式分解，掌握利用提公因式法因式分解是解决此题的关键．先因式分解，然后利用整体代入法求值即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式 故选：D． 6．计算的值是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了利用平方差公式因式分解，能观察出算式中存在一系列的平方差公式是解题的关键． 先将每个括号中的算式依次用平方差公式因式分解，再先后进行约分化简即可． 【详解】解：原式 ． 7．若多项式可因式分解为，其中，均为整数，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了多项式的乘法运算、因式分解的意义以及解方程组，熟练掌握多项式乘法法则和对应项系数相等的方法是解题的关键．先将因式分解后的式子展开，再与原多项式的各项系数对应相等，列出方程组求出整数、的值，最后计算的值． 【详解】解：∵将展开得, 又∵, ∴, 由得, 将，代入得，符合条件, ∴, 故选：D． 8．若，则（    ） A． B．8 C． D．6 【答案】B 【分析】先求出的值，再代入求值即可． 【详解】 , 常数项相等：, . 项系数相等：, 代入, . 故选：B. 【点睛】本题考查了因式分解，解决本题的关键是掌握因式分解的方法.. 9．已知△ABC的三边长分别为a、b、c，且满足，则的形状是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的应用，将等式左边进行因式分解，得到两个完全平方的和为零，利用非负数的性质得出三边相等即可． 【详解】解：， ， 即， ， 且， 且， ， 是等边三角形． 故选：B． 10． 的值最接近（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查因式分解的应用，利用立方和与立方差公式化简计算，即可得出答案． 【详解】解：由立方和、立方差公式可得， ， ， ∴， ∴ 故选：B． 二、填空题(本大题共6小题.每小题3分.共计18分) 11．因式分解后，一个因式为，则另一个因式是______． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，根据一个因式为添加项凑即可得到答案； 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 12．分解因式： _____． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解．观察式子，发现可化为，从而提取公因式，再利用平方差公式分解，即可作答． 【详解】解： ， 故答案为：． 13．已知，则是的值是______． 【答案】 【分析】先利用提公因式法把进行因式分解，再代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ，， ∴ 【点睛】本题考查的是二次根式的混合运算，因式分解，代数式求值，解题的关键是灵活运用因式分解来简化计算． 14．若，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，公式法进行因式分解，正确计算是解题的关键． 根据非负数的性质，绝对值和算术平方根均为非负数，它们的和为零，则每个部分均为零，从而求出 m 和 n 的值，然后利用公式法进行因式分解，代入数据进行求值即可． 【详解】解：， 且，， ∴，， 解得：，， 则 当，时， 原式 故答案为： ． 15．如果，那么____，_____． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用，平方差公式，完全平方公式，将等式右边利用平方差公式，完全平方公式展开得到，然后与左边比较系数，即可求出和，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：右边：， 左边：， 比较系数可得：，， 故答案为：，． 16．定义运算“★”：对于任意实数，，都有．若，则的值为____________． 【答案】 【分析】先根据算术平方根与完全平方式的非负性求出x，y的值，再结合题目给出的新定义运算代入计算即可． 【详解】解：对因式分解得， 二次根式和完全平方式都具有非负性， ， 解得：，， 由新定义运算得： ． 2、 解答题(本大题共8小题.每题9分,共计72分) 17．因式分解 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： （2） （3） 18．利用因式分解计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 19．按要求完成下列计算： (1)因式分解：； (2)解不等式：； (3)解不等式组：. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先将式子变形，然后提取公因式进行因式分解； （2）根据解一元一次不等式的步骤，先去括号，再移项、合并同类项后，最后将系数化为1即可； （3）分别求解不等式组中的两个不等式，再取它们的公共部分得到不等式组的解集． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：， ， ， ， ． （3）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为． 20．因式分解： (1)． (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分组分解法和十字相乘法进行因式分解． （1）观察多项式结构，前两项含公因式x，后两项含公因式4，采用分组分解法，再分别提取各组公因式，得到，此时两组均含公因式，再次提取公因式完成分解； （2）先将原式展开为二次三项式，寻找两个数，使其乘积为常数项64，和为一次项系数，确定这两个数为和，将二次三项式分解为． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 21．按要求完成下列计算： (1)先分解因式，再求值：，其中，； (2)已知，，求的值． 【答案】(1)，3 (2)150 【分析】（1）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解，然后，代入数据计算即可求解； （2）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解，然后整体代入数据计算即可求解． 【详解】（1）解： ， 当，时，原式； （2）解：∵，， ∴ ． 22．如图，一块是边长为a的正方形，两块是边长为b的正方形，三块是长为a，宽为b的矩形（）．用这六块图形拼成一张大长方形，画出图形并由此写出一个多项式的因式分解． 【答案】图见解析， 【分析】计算拼接前后图形的面积，利用面积相等得到多项式的因式分解． 【详解】解：由题意得， 画出图形如图： 多项式的因式分解为：． 23．阅读下列材料： 已知多项式有一个因式是，求m的值． 解法：设（A为整式） ∵上式为恒等式，∴当时，， 即，解得：． 感悟上述材料，解答下列问题： 已知多项式含有因式和． (1)求、的值； (2)在（1）的条件下，将多项式因式分解，结果是 ．（直接写答案） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题干中的解法设，然后将和代入得到，，然后解方程组求出m和n的值； （2）设，根据多项式乘以多项式展开，比较系数，即可求解． 【详解】（1）解：∵多项式含有因式和， ∴设 ∵上式为恒等式， ∴当时，， 当时，， ∴联立①②解得 （2）解：∵含有因式和， 设 对比多项式的系数可知： ∴ 24．已知． (1)判断的大小关系． (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用作差法计算，通过配方将结果化为完全平方的形式，利用平方的非负性判断大小关系． （2）由（1）得：从而得到，利用平方和绝对值的非负性判断大小关系． 【详解】（1）解： ， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 由（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章因式分解综合专练 1、 单选题(本大题共10小题.每小题3分.共计30分) 1．下列各式由左边到右边的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．下列多项式：①；②；③；④．其中能用公式法因式分解的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．若是完全平方式，则实数的值为（   ） A． B．或 C．5 D．4 4．所得的结果是（　　） A． B．2100 C． D． 5．已知，求的值．（   ） A． B．0 C．1 D． 6．计算的值是（       ） A． B． C． D． 7．若多项式可因式分解为，其中，均为整数，则的值是（   ） A． B． C． D． 8．若，则（    ） A． B．8 C． D．6 9．已知△ABC的三边长分别为a、b、c，且满足，则的形状是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 10． 的值最接近（    ） A． B． C． D． 二、填空题(本大题共6小题.每小题3分.共计18分) 11．因式分解后，一个因式为，则另一个因式是______． 12．分解因式： _____． 13．已知，则是的值是______． 14．若，则_____． 15．如果，那么____，_____． 16．定义运算“★”：对于任意实数，，都有．若，则的值为____________． 2、 解答题(本大题共8小题.每题9分,共计72分) 17．因式分解 (1) (2) (3) 18．利用因式分解计算： (1)； (2)． 19．按要求完成下列计算： (1)因式分解：； (2)解不等式：； (3)解不等式组：. 20．因式分解： (1)． (2) 21．按要求完成下列计算： (1)先分解因式，再求值：，其中，； (2)已知，，求的值． 22．如图，一块是边长为a的正方形，两块是边长为b的正方形，三块是长为a，宽为b的矩形（）．用这六块图形拼成一张大长方形，画出图形并由此写出一个多项式的因式分解． 23．阅读下列材料： 已知多项式有一个因式是，求m的值． 解法：设（A为整式） ∵上式为恒等式，∴当时，， 即，解得：． 感悟上述材料，解答下列问题： 已知多项式含有因式和． (1)求、的值； (2)在（1）的条件下，将多项式因式分解，结果是 ．（直接写答案） 24．已知． (1)判断的大小关系． (2)若，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $