基本功专练(4) 解分式方程(周测小卷)-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）贵州专版

基本功专练（四 (时间：40分钟 1.(56分)解下列方程： (1)1=4 xx+3i 》+0, (2)2 (3) 43 x2十xx2-x =0; ④)二+3 2 3-x9 ·2 解分式方程 满分：100分) x十19 (6)—13 ”x+1x2-7=1; (7)2x+9-4x7+2: 3x-9x-3 (8)21=-+4 4 3· 2.8分》若分式“与的值程等，求x4.12分)尼知分式方程名十产=口有 的值。 解，其中“口”表示一个常数。 (1)若“☐”表示的数为4，求分式方程的解； (2)小马虎回忆说：由于抄题时等号右边的 数值抄错，导致找不到原题目，但可以肯 定的是“口”是一1或0，试确定“☐”表示 的常数。 3.(10分)小星解分式方程2十3=号的 过程如下： 解：因为分式中分母不能为零，所以x≠2。 方程的两边都乘x-2,得1十3.x-6=x-1。 …………………………… 第一步 解这个方程，得x=2。 第二步 5.14分)已知关于x的分式方程吕3十 经检验，x=2是原方程的增根。…第三步 mx 5 x2-9x+31 所以，原方程无解。… 第四步 (1)若这个方程的解是正数，求m的取值范围； 小星的解题过程从第 步开始出现 (2)若这个方程无解，求的值。 错误，并写出正确的解答过程。 ·24·基本功专练（三）因式分解及其应用 1.解：(1)原式=-(a2+ab)=-a(a十b)。(2)原式=(2a十3b)(2a-3b)。(3)原式=x2+2 ·x·√2+(W2)2=(x十√2)。(4)原式=x(1-2x十x)=x(1-x)。(5)原式=x2十6x十5 +4=x2+6x+9=(x+3)2。(6)原式=[(a+2b+2)+(a-2b十2)][(a+2b+2) (a-2b+2)]=4b(2a+4)=8b(a+2)。(7)原式=x2(m-2)-y2(m-2)=(m-2)(x2-y2) =(m-2(+wx-).(8)原式=(x+)(r-)=(x+6)(+)(: ）(9)原式=[3(2x-D]-232x-1D1+1=[3(2x-)-1=(6x4)=43 -2)2。(10)原式=(am十an)+(bm十bn)=a(m十n)十b(m十n)=(m十n)(a十b)。(11)原 式=(4x2)2-2·4x2·y2+(y2)2=(4x2-y2)2=[(2x十y)(2x-y)]2=(2x+y)2(2x y)2。(12)原式=(x2-x+1-x)(x2-x-1十x)=(x2-2x十1)(x2-1)=(x-1)2(x+ 1)(x-1)=(x-1)3(x十1)。2.解：(1)原式=(a-3)(2a-6-a)=(a-3)(a-6)。当a =2时，原式=(2-3)×(2-6)=4。(2)原式=3xy(x2-2xy十y)=3xy(x-y)2。因为x y=2,xy=3,所以原式=3X3X2=36.3,解：D原式=89X825X日=8×(89 -25)=日×64=8，(2)原式-(202+54)X(202-54)+256X352=256×148+256X352 =256×(148+352)=256×500=128000。(3)原式=1022+2×102×98+982=(102+ 98)2=2002=40000。(4)原式=3020×(3020十1)-3021=3020×3021-30212 3021×(3020-3021)=3021×(-1)=-3021.4.解：原式=(n+7+n-5)(n+7-n 十5)=(2n十2)×12=24(n十1)。因为n为正整数，所以24(n十1)能被24整除。所以当n 为任意正整数时，(n十7)2一(n一5)2能被24整除。 阶段微测试（七） 1.D2.A3.A4.D5.D6.B7.-4a(2a-b)8.ax2+4a.x十4a(答案不唯一) 9.x十y-110.411.解：(1)原式=-(2x2-18xy十4xy2)=-2x(x-9xy十2y2)。(2) 原式=-(x2+2xy十y2)=-(x十y)2。(3)原式=a2(x-y)-16(x-y)=(x-y)(a2-16) =(x-y)(a+4)(a-4)。(4)原式=(x2十y-2xy)(x2+y2+2xy)=(x-y)2(x十y)2。 12.解：(1)原式=100-(252十248)(252-248)=10000-500×4=8000。(2)原式= (39.8-49.8)2=(-10)2=100.13.解：该桩管的横截面面积为πR2-π2=3.14×1.15 -3.14×0.852=3.14×(1.15+0.85)×(1.15-0.85)=3.14×2×0.3=1.884(m2)。答： 该桩管的横截面面积约为1.884m2.14.解：(1)由题意，得m十4|十(n-2十1)=0，即 |m十4十(n一1)2=0。因为m十4|≥0，(n-1)2≥0，所以m十4=0，n-1=0,解得m= -4,n=1。(2)原式=x2+4y2+4xy-1=(x2+4xy+4y2)-1=(x+2y)2-1=(x+2y十 1)(x十2y-1)。15.解：(1)原式=x+4xy2+4y-4x2y2=(x2+2y2)2-4xy2=(x2+ 2y2)2-(2xy)2=(x2+2y2+2xy)(x2+2y2-2xy)。(2)原式=x2-2ax十a2-a2-b2-2ab =x2-2ax+a2-(a2+b+2ab)=(x-a)2-(a+b)2=(x-a十a十b)(x-a-a-b)=(x+ b)(x-2a-b)。 阶段微测试（八） 1C2,A3B4A5.A6B7.-18.6a-b)a+b9a钟D10.-是 46 山解答浆不唯-，如：证A,B组成分式-22-2。 3a(a+2) 3a9 2a a-b 2a-a+b 12.解：(1)原式=(a+ba-D-a十a-6=a十0（a-6=。-6°(2)原式= 2(x+2)-(x-1) x=2)(x+2=2红+4-x+1·x一2)x+2=+5 x+2 (x十5) x十2 (x十5)2 x+2 (x-2)(x十2)_x-2 17 (x十5)2 x+5 1解：原武-[a”]a-2)+a-(品 a-—2）·(a-2)+a=a一2(a-2)十a=1十a。心任意报一个a的值，小明都可以用这个 数加上1，马上说出这个代数式的值。14.解：(1)由题意，得长途客运车原来所花的时间 是兰h,新修的高速公路开通后所花的时间是a十50一zh),则兰÷，立 1,5工=1,5。答：长途客运车原来所花的时间是新修的高速公路开通后所花的时间的1.5 5 倍，（②）兰=-量器-会，答渐整的商速公路开酒后所花时间比原来 缩短了会h。15.解：由京x百=合，知x≠0，中=5，即x-3+=5。 1 =8.+=+1+2=(+)-1=8-1=63。小+开品 x 1 x 基本功专练（四）解分式方程 1.解：(1)因为分式中分母不能为零，所以x≠0，且x≠一3。方程的两边都乘x(x十3)，得 x十3=4x。解这个方程，得x=1。经检验，x=1是原方程的根。(2)因为分式中分母不能 为零，所以x≠2。方程的两边都乘x一2，得2十x一1=0。解这个方程，得x=一1。经检 验，x=一1是原方程的根。(3)因为分式中分母不能为零，所以x≠0，且x≠士1。方程的两 边都乘x(x十1)(x-1),得4(x一1)一3(x十1)=0。解这个方程，得x=7。经检验，x=7是 第40页（共48页） 原方程的根。(4)因为分式中分母不能为零，所以x≠3。方程的两边都乘x一3，得2一x十 3(x一3)=一2解这个方程，得x=号。经检验x=号是原方程的根。(6)因为分式中分母 不能为零，所以x≠1，且x≠一1。方程的两边都乘(x十1)(x一1)，得2x(x十1)一2(x十 1)(x一1)=x一1。解这个方程，得x=一3。经检验，x=一3是原方程的根。(6)因为分式中 分母不能为零，所以x≠1，且x≠一1。方程的两边都乘(x十1)(x-1),得(x-1)一3= (x十1D(x一1D,解这个方程，得x=一号。经检验，=一号是原方程的根。(7)因为分式中 分母不能为零，所以x≠3。方程的两边都乘3(x一3)，得2x十9=3(4x-7)十6(x一3)。解 这个方程，得x=3。经检验，x=3是原方程的增根。所以，原方程无解。(8)因为分式中分 母不能为零，所以x≠2。方程的两边都乘(x一2)2，得x(x一2)一(x一2)2=4。解这个方 图，得1=4，经检验=4是原方程的根。2解：根据酒意，得二-解得 1 8。经检验，x=8是原方程的根。x的值是8.3，解：一正确的解答过程如下：因 为分式中分母不能为零，所以x≠2。方程的两边都乘x一2，得1十3x一6=1一x。解这个方 程，得=号。经检验=号是原方程的根。4解：1)根据题意，得名十千=4，解 得一号。经检验，x=号是原方程的根。(2)分两种情况讨论：①当“口”表示的常数是一1 2 =一1，此时方程无解：②当“口”表示的常数是0时，x气十广x=0,解得 x=2。经检验，x=2是原方程的根。.“☐”表示的常数是0.5.解：(1)因为分式中分母 不能为零，所以x≠3，且x≠一3。方程的两边都乘(x十3)(x一3)，得2(x十3)十x=5(x 21 3)。解这个方程，得3-m·由题意，得之0， 3一m ,21≠士3，解得m<3且m≠-4。 3一m （2)由1D,得（3-mx=21。:分式方程无解，∴3-m=0或写2m=士3。解得m=3或m =10或m=一4。∴.m的值为3或10或一4。 阶段微测试（九） B2.B3.D4.B5.A6.D7.x=-28.29,20010,x=a,2=4 1山.解：1)因为分式中分母不能为零，所以x≠3。方程的两边都乘2(3x一1)，得4一2(3x 一1)=3。解这个方程，得x=之。经检验，x=之是原方程的根。(2)因为分式中分母不能 为零，所以x≠2，且x≠-2。方程的两边都乘2(2x+1)(2x一1)，得2(x+1)=6(2 1)一4(2x十1)。解这个方程，得x=6。经检验，x=6是原方程的根。12.解：(1)分式的 基本性质(2)因为分式中分母不能为零，所以x≠2。方程的两边都乘x一2，得2x=x一1 5 (x一2)。解这个方程，得x三4。经检验，x三÷是原方程的根。13.解：设今 的平均亩产量是xkg。根裙题意，得60-180，解得x=30。经检验，=300是原方 x 程的根。答：今年龙虾的平均亩产量是300kg。14.解：(1)由题意，得x=一1是整式方 程x一3十6=m的解，加=-1一3十6=2。(2)由1)知m=2,则原分式方程为二十6- 2 ,2,解得x三号。经检验，x号是原方程的根。15.解：Q)设原计划每天铺设窄 3000 ,则实际每天铺设管道①十25%)xm。根据题意，得十25十15=，解得x 40。经检验，x=40是原方程的根。.(1十25%)x=50。答：原计划每天铺设管道40m,实 际每天铺设管道50m。(2)3000÷40=75(天)。设该公司原计划应安排y名工人施工。 根据题意，得300×75y≤180000，解得y≤8。答：该公司原计划最多应安排8名工人施工。 基本功专练（五）与平行四边形性质、判定有关的计算或证明 1.解：四边形ABCD是平行四边形，.AB∥CD,∠B=∠D。.∠BAE=∠F=62°。 AB=BE,∠BEA=∠BAE=62°。.∠B=180°-∠BAE-∠BEA=56°。∠D= 56°。2.证明：：四边形ABCD为平行四边形，AO=CO。:EF⊥AC,∴.EF垂直平分 AC。∴.EA=EC。3.证明：BC=4,OA=OC=5,∠CBD=90°，.BO=VOC-BC= /52-42=3。.BD=6,,.DO=BD-BO=6-3=3。.BO=DO。.AO=CO,.四边形 ABCD为平行四边形。4.证明：AB∥CD,.∠BAE=∠DCF。AF=CE,.AF-EF I∠BAE=∠DCF, =CE-EF。.AE=CF。在△ABE和△CDF中，∠ABE=∠CDF,∴.△ABE≌△CDF AE=CF, (AAS)。.AB=CD。:AB∥CD,∴.四边形ABCD为平行四边形。5.证明：AB⊥ BD,CDL BD,·∠ABD=∠CDB=90。在Rt△ABD和Rt△CDB中，AP=B, ∴.Rt△ABD≌Rt△CDB(HL)。∴.AB=CD。又，AD=BC,∴.四边形ABCD是平行四边 形。 6.(1)证明：.AD∥BC,.∠BAD十∠ABC=180°。∠BAD=∠BCD,∴.∠BCD 第41页（共48页） 十∠ABC=180°。.AB∥CD。∴.四边形ABCD是平行四边形。(2)解：四边形ABCD 是平行四边形，.CO=号AC,BD=2BO,AD=BC=3。AC⊥BC,∴∠ACB=90°。∴AC =√AB-BC=4。CO= 2AC=2。·B0=V√BC+CO=VI3。·BD=2B0= 2√3.7.(1)证明：连接BD,交AC于点O。:四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC, OB=OD。AE=CF,OA=OC,.OA-AE=OC-CF,即OE=OF。又OB=OD,.四 边形BEDF是平行四边形。(2)解：①.AB⊥BF,∴.∠ABF=90°。.AF=WAB十BF =/4+32=5。AC=8,∴.CF=AC-AF=8-5=3。.AE=3。.∴.EF=AF-AE=5 3=2。@由①可知，EF=2,AF=5,又“Sas=号AB·BF=号X4X3=6,S△Er= 号Sa=号×6=号.：因边形BEDF是平行四边形，∴Sam=2Sg-号。 阶段微测试（十） 1.A2.C3.D4.B5.B6.D7.AD=BC(答案不唯一)8.4√39.310.36° 11.证明：四边形ABCD是平行四边形，.AB=CD,∠B=∠D。又∠AEC=∠AFC ∴.180°-∠AEC=180°-∠AFC,即∠AEB=∠CFD。∴.△AEB≌△CFD(AAS)。.BE= DF。12.证明：连接AF,CE。四边形ABCD是平行四边形，.AB∥CD,AB=CD ,BE=DF,.AB+BE=CD十DF,即AE=CF。AB∥CD,.AE∥CF。.四边形 AECF是平行四边形。.OE=OF。13.解：(1)①③：③④：①④：②④。(2)答案不唯一， 如选择①④证明。：∠B十∠C=180°，∴.AB∥DC。又：AD∥BC,∴四边形ABCD是平 行四边形。14.(1)证明：：AF=CD,∴.AF+CF=CD+CF,即AC=DF。在Rt△ABC R△DEF中，(BC二DR,Rt△ABC2Rt△DEF(H)。·∠A=∠D,AB=DE (AB=DE, △ABF和△DEC中，∠A=∠D,∴.△ABF≌△DEC(SAS)。(2)解：.CE=CD AF=DC, .∠CED=∠D。.'∠DEF=90°，.∠D+∠EFD=90°，∠DEC+∠CEF=90°。.∠EFD =∠CEF。.CE=CF=CD=AF。:'△ABC≌△DEF,.∠ACB=∠EFD。.BC∥EF。 :BC=EF,∴四边形BFEC是平行四边形。∴.GF=GC,BG=GE。:SAABC=24,∴S△F =号Saw=2Smc=12.∴Samr=合Sm=12. 阶段微测试（十一） 1.B2.B3.D4.B5.C6.C7.88.199.810.111.解：(1)如图， D ESAE即为∠DAB的平分线。(2)：AE为∠DAB的平分线，∴∠DAE= B ∠BAE。.四边形ABCD是平行四边形，∴.AD=BC=3,DC=AB=5,CD∥AB。 .∠BAE=∠DEA。.∠DAE=∠DEA。.DE=AD=3。.CE=DC-DE=2.12.证 明：.四边形ABCD是平行四边形，.AB=CD,∠ABC=∠ADC,AB∥CD。.∠BAE= ∠DCF.:BE平分∠ABC,DF平分∠ADC,∠ABE=合∠ABC,∠CDF=号∠ADC .∠ABE=∠CDF。∴.△BAE≌△DCF(ASA)。∴BE=DF,∠AEB=∠DFC。∴.180° ∠AEB=180°-∠DFC。即∠BEF=∠DFE。∴.BE∥DF。∴.四边形DEBF是平行四边 形。13.解：(1)E,F分别是AD,AB边的中点，.EF是△ABD的中位线。.EF∥ DB。∴.∠ABD=∠AFE=56°。：AD=AB,∴.∠ADB=∠ABD=56°。：∠ADC=146°， .∠BDC=∠ADC-∠ADB=146°-56°=90°。(2)由(1)，得∠BDC=90°，在Rt△BDC 中，BD=VBC-CD=I3-可=12。：EF是△ABD的中位线，EF=合BD=合× 12=6.14.(1)证明：.四边形ABCD是平行四边形，.DC∥AB,∠DCB=∠DAB= 60°。∠ADE=∠CBF=60°。：AE=AD,CF=CB,∴.△AED,△CFB是等边三角形。 .∠E=∠BCF=60°。.∠FCE=∠BCF+∠DCB=120°。..∠E+∠FCE=180°。.AE ∥CF。∴.四边形AFCE是平行四边形。(2)解：成立。证明如下：：四边形ABCD是平行 四边形，.DC∥AB,∠CDA=∠CBA,∠DCB=∠DAB。.∠E十∠EAF=180°，∠ADE= ∠CBF。AE=AD,CF=CB,∴.∠E=∠ADE,∠F=∠CBF。∴.∠E=∠F。∴.∠F+ ∠EAF=180°。∴.AE∥CF。.四边形AFCE是平行四边形。 新趋势题型拉分练（一）过程、依据补充题 1.①角平分线的定义②直角三角形的两锐角互余③∠FAD十∠AFD=90°④等角的 余角相等⑤对顶角相等⑥等量代换⑦等角对等边2.解：(1)a2一=(a十b)(a一b) (2)一括号前是负号，去括号时十2xy没有变号(3)原式=(2x十y+x十y)(2x十y一x y)=x(3x十2y)。3.解：(1)任务一：①不等式的基本性质2：不等式的两边都乘（或除以） 同一个正数，不等号的方向不变②一任务二：x≥1任务三：在解一元一次不等式时， 不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变（答案不唯一）(2)解不等式①， 得x<1。解不等式②，得x≥一1。在同一条数轴上表示不等式①②的解集，如图所示。 2.2宁因此.原不等式组的解集为1<1<1.4.解：)①化筒分式的基 第42页（共48页）