第一章三角形的证明及其应用综合专练 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

第一章三角形的证明及其应用综合专练 一、单选题（本大题共10小题.每小题3分.共计30分） 1.下列命题中，原命题与逆命题均为真命题的是() A.全等三角形的对应角相等 B.直角三角形的两个锐角互余 C.若a=b,则a=bl D.若ab=0,则a=0 2.下列命题，逆命题成立的是() A.对顶角相等 B.等边三角形的三边都相等 C.若x=y,则x2=y2 D.全等三角形的对应角相等 3.在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学作了如图所示的四种辅助 线，其中能证明“ABC的内角和是180°”的有() E---- --…E ①过点C作EF∥AB ②延长AC到点F,过点C作CE∥AB ③作CD⊥AB于点D ④过AB上一点D作DE∥BC,DF∥AC A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.如图，连接正八边形ABCDEFGH的两条对角线AF,AC,则∠FAC=() H D A.67.5° B.45 C.53° D.52.5 5.如图，AD是ABC的角平分线，DE⊥AB于点E,S△ABC=7,DE=2,AB=4,则 AC的长是() 试卷第1页，共3页 E D C A.3 B.4 C.6 D.5 6.如图，在四边形ABCD中，∠A+∠D=a,∠ABC与∠BCD的外角平分线交于点P,则 ∠P=() A A.180°-70 B.180+20 C.ja D.360°-a 7.如图，在ABC中，AB=AC=4,∠BAC=60°，AD⊥BC于点D,E是AB的中点，P 是AD上的一个动点，则PB+PE的最小值是() E B D A.2 B.3 C.25 D.35 8.如图，已知在等边ABC中，AD⊥BC,AD=83,若点P在线段AD上运动，当 上AP+BP有最小值时，最小值为（） B A.45 B.83 C.10 D.12 9.如图，直线a,b相交于点0，∠1=50°，点A在直线a上，直线b上存在点B,使以点 O,A,B为顶点的三角形是等腰三角形，则点B的个数是() 试卷第1页，共3页 A A.2 B.3 C.4 D.5 1O.如图，点E在BA的延长线上，EC与AD交于点F,且LE=LDCE,∠B=∠D, ∠EFA是∠FCB的余角的5倍，点M是线段CB上的一动点，点N是线段MB上一点且满足 ∠MNF=∠MFN,FK平分∠EFM.下列结论：①BE‖CD;②AD‖CB;③FN平分 ∠AFM;④∠D+∠E=105°；⑤∠KFN=30°.其中结论正确的个数是() E A D K B MC A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 二、填空题（本大题共6小题.每小题3分.共计18分） I1.如图，CE是ABC的外角∠ACD的平分线，CE交BA的延长线于点E,已知 ∠BAC-∠B=56°，则∠E的度数是 E B D 12.若一个正多边形的每个内角比每个外角的2倍还大45°，则该正多边形的边数为 13.如图，在ABC中，∠B=∠C,AD是ABC的高，请你再添加一个条件使得 AB=2BD,这个条件可以是 试卷第1页，共3页 B D 14.如图，在ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB,PS⊥AC,垂足分别 是R、S,若AQ=PQ,PR=PS,下列结论：①AS=AR;②PQ∥AR;③ △BRP≌△CSP;④PQ=PB时，∠BAC+∠BPQ=180°，其中正确的是 R S 15.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=3,D为边BC上一动点，连接 AD.当AD+二BD取最小值时，BD的长为 B 16.如图，点O是等边ABC内一点，∠A0B=110°，∠BOC等于a,点D是等边ABC外 一点，∠OCD=60°，OC=CD,连接0D、AD.则当C的度数为 时，△AOD是等 腰三角形. 三、解答题（本大题共8小题.每题9分，共计72分） 17.【问题情景】我们知道，多边形内角的一边与另一边的反向延长线组成的角，叫作多边 形的外角 如图1所示，∠CBD、∠BAF、∠ACE是ABC的三个外角，下面我们来探究LCBD、 试卷第1页，共3页 ∠BAF、∠ACE和ABC三内角之间的数量关系， 【方法感悟】解：因为在ABC中，∠ABC+LBAC+∠ACB=I80°，所以 ∠BAC+∠ACB=180°-∠ABC.因为LABC+∠CBD=180°，所以∠CBD=180°-LABC.所以 ∠CBD=∠BAC+∠ACB,同理可得：∠BAF=∠ABC+∠ACB,∠ACE=∠BAC+∠ABC, 因此，我们得到一个重要的结论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 【解决问题】 图1 图2 图3 (1)已知：如图2，∠FDC与∠ECD分别为△ADC的两个外角，请直接利用上述结论，试探 究LFDC+LECD与∠A的数量关系. (2)已知：如图3，在△ADC中，DP,CP分别平分∠ADC和LACD,试探究∠P与∠A的 数量关系。 18.如图，是两个长度相同的梯子BC与EF靠在一面竖直墙上的示意图，已知左边梯子的 高度AC与右边梯子水平方向的长度DF相等. (I)ABC与△DEF全等吗？请说明理由 (2)若DF=3m,DE=6m,AD=2.6m,求线段BF的长度. 19.如图，在ABC中，AB=AC,∠A=42°. I)作AC边的垂直平分线，交AB于点D,交AC于点E,过点D作直线DF⊥BC于点F; (要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) (2)∠EDF的度数为 20.如图，正五边形ABCDE,BG平分∠ABC,DG平分正五边形的外角∠EDF,求∠G的 度数. 试卷第1页，共3页 A G C D F 21.如图，在ABC中，∠ACB、∠ABC的平分线相交于点O. (1)求证：点O在∠BAC的平分线上； (2)连接OA,若AB=AC=5,B0=4,A0=2,则点0到三角形三条边的距离是 22.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm,AC=6cm,动点P从点B出发沿射线 BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t秒. B B 备用图 (1)BC= cm; (2)若点P运动到BC的中点时，求t的值； (3)当△ABP为等腰三角形时，直接写出t的值. 23.如图，海中有一小岛A,它周围10.5海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行.在 B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30° 方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，那么渔船还需航行多少海里有触礁的危险？请 经过计算进行判断， NA 0 24.如图△ABD,△ACE都是等边三角形，BE,CD交于点F,连接AF. 试卷第1页，共3页 D (1)求证：BE=CD: (2)求∠BFC的度数； (3)求证：AF+BF=FD. 试卷第1页，共3页 第一章三角形的证明及其应用综合专练 1、 单选题(本大题共10小题.每小题3分.共计30分) 1．下列命题中，原命题与逆命题均为真命题的是（   ） A．全等三角形的对应角相等 B．直角三角形的两个锐角互余 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查原命题与逆命题的真假判断，先写出每个选项的逆命题，再结合初中知识分别判断原命题和逆命题的真假即可得到结果. 【详解】解：选项A：原命题全等三角形的对应角相等是真命题， 逆命题为对应角相等的三角形是全等三角形，是假命题，不符合要求； 选项B：原命题直角三角形的两个锐角互余是真命题， 逆命题为两个锐角互余的三角形是直角三角形， ∵三角形内角和为，两个锐角互余即和为， ∴第三个角为=， ∴该三角形是直角三角形，逆命题是真命题，符合要求； 选项C：原命题若，则是真命题， 逆命题为若，则，是假命题， 例如时但，不符合要求； 选项D：原命题若，则是假命题，时也可以是，不符合要求； 故选B 2．下列命题，逆命题成立的是（    ） A．对顶角相等 B．等边三角形的三边都相等 C．若，则 D．全等三角形的对应角相等 【答案】B 【分析】本题考查逆命题，将原命题的条件和结论互换，写出逆命题，再判断命题的真假即可． 【详解】解：A、逆命题为：相等的角是对顶角，相等的角不一定是对顶角，故逆命题不成立，不符合题意； B、逆命题为：三边都相等的三角形是等边三角形，成立，符合题意； C、逆命题为：若，则，当时，，故逆命题不成立，不符合题意； D、逆命题为：对应角相等的两个三角形为全等三角形，逆命题不成立，不符合题意； 故选B． 3．在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如图所示的四种辅助线，其中能证明“的内角和是”的有（    ）    ①过点C作 ②延长到点F，过点C作 ③作于点D ④过上一点D作， A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义解决此题． 【详解】解：①．由，则，．由，得． ②．由，则，．由，得． ③．由于，则，无法证得三角形内角和是． ④．由，得，．由，得，，那么．由，得． ∴能证明的内角和是的有3个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查三角形内角和的定理的证明，熟练掌握转化的思想以及平角的定义是解决本题的关键． 4．如图，连接正八边形的两条对角线，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出，然后根据得到，再求出的度数，最后由求解即可． 【详解】解：∵八边形是正八边形， ∴，， ∴， ∵正八边形是轴对称图形， ∴， ∴． 5．如图，是的角平分线，于点，，，，则的长是（    ） A．3 B．4 C．6 D．5 【答案】A 【分析】作，交于点，由角平分线的性质定理可得，再根据计算即可得出结果． 【详解】解：如图，作，交于点， ∵是的角平分线，于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 6．如图，在四边形中，，与的外角平分线交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了四边形的内角和，角平分线的定义，三角形的内角和，解答本题的关键是掌握三角形的内角和定理． 先通过邻补角的定义，四边形的内角和为，得到；再通过角平分线的定义结合三角形内角和为即可求出． 【详解】解：如图， ,， ． 又， ． 与的外角平分线交于点， ，． ． ． 故选：A． 7．如图，在中，，，于点，是的中点，是上的一个动点，则的最小值是（　　） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】 如图，连接，，根据等腰三角形三线合一性质推出是的垂直平分线，得，继而得到当点、、三点共线时，的最小值是的长，证明是等边三角形，再结合线段的中点可推出，，最后根据勾股定理得即可． 【详解】解：如图，连接，， ∵，， ∴是边上的中线， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴当点、、三点共线时，的最小值是的长， ∵在中，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵是的中点， ∴，即， ∴． 8．如图，已知在等边中，， ，若点P在线段上运动，当有最小值时，最小值为（   ） A． B． C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查等边三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质、点到直线的距离垂线段最短等知识点，过作，根据等边三角形的性质得，有，那么，结合点到直线的距离垂线段最短，过B作交于一点即为最小距离点，最短距离为，再次利用等边三角形的性质得到即可． 【详解】解：过作，如图， ∵是等边三角形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵点到直线的距离垂线段最短， ∴过B作交于一点即为最小距离点，最短距离为的长， ∵是等边三角形，，，， ∴， ∴， 即的最小值为， 故选：B． 9．如图，直线，相交于点，，点在直线上，直线上存在点，使以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，则点的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】分AO=AB，BO=BA，OB=OA三种情况讨论． 【详解】∵直线，相交于点，，点在直线上，直线上存在点， ∴当OB=OA时，有两个B点是B1、B2，OB1=OA时，∠OB1A=∠OAB1= ∠1=25°，OB2=OA时，∠OB2A=∠OAB2= （180°-∠1）=65°； 当AO=AB时，有一个B点是B3，即AO=AB3，∠AB3O=∠1=50°； 当BO=BA时，有一个B点是B4，即B4O=B4A,∠OAB4=∠1=50°． ∴使以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，点的个数是4个． 故选C． 【点睛】本题考查了因动点产生的等腰三角形问题，解决问题的关键是三角形的三边两两相等都有可能，有三种可能情况，分类讨论． 10．如图，点在的延长线上，与交于点，且，，是的余角的倍，点是线段上的一动点，点是线段上一点且满足，平分．下列结论：；；平分；；．其中结论正确的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的性质，根据内错角相等，两直线平行，可得，故正确；根据同旁内角互补，两直线平行，可得，故正确；根据两直线平行，内错角相等，可得：，又因为，等量代换可得：，故正确；根据两直线平行，内错角相等，可得：，根据两直线平行，内错角相等，可得：，又因为是的余角的倍，可以求出，从而可得：，故正确；根据角平分线的定义可得：，，从而可得：，故错误． 【详解】解：和是、被直线所截形成的内错角，且， ， 故正确； ， ， 又， ， ， 故正确； ， ， ， ， 平分， 故正确； ， ， ， ， 设， 是的余角的倍， ， 解得：， ， 在中，， ， ， 故正确； 平分， ， 由可知平分， ， ， 故错误； 综上所述，结论正确的个数是. 故选：C． 二、填空题(本大题共6小题.每小题3分.共计18分) 11．如图，是的外角的平分线，交的延长线于点E，已知，则的度数是__________． 【答案】/28度 【分析】先求出，再根据角平分线的定义求出，最后根据三角形的外角定理，即可解答． 【详解】解：∵，平分， ∴， ∴． 12．若一个正多边形的每个内角比每个外角的2倍还大，则该正多边形的边数为________． 【答案】 【分析】本题主要考查正多边形的内角与外角的关系以及多边形外角和定理，设该正多边形的每个外角为，可得方程，再根据多边形外角和为，计算得到正多边形的边数． 【详解】设该正多边形的每个外角为，则每个内角为. 由邻补角的性质，可得 解得 因为任意多边形的外角和为， 所以该正多边形的边数． 13．如图，在中，，是的高，请你再添加一个条件使得，这个条件可以是___________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，掌握相关性质是解题的关键．根据等腰三角形的判定与性质得到，，添加，证明为等边三角形得到，进而可得结论． 【详解】解：，是的高， 我，， 添加，可得为等边三角形， ， ， 故答案为：（答案不唯一）． 14．如图，在中，分别是上的点，作，，垂足分别是．若，，下列结论：①；②；③；④时，，其中正确的是______ 【答案】①②④ 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，四边形的内角和，证明，可得，即可判定①；由全等三角形的性质和等腰三角形的性质可得，得到，即可判定②；在和中，仅知，无法判定，即可判定③；证明，可得，进而得到，再根据四边形的内角和可得，即可判定④，综上即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； 在和中，仅知， ∴无法判定，故③错误； 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴，故④正确； 综上，正确的是①②④， 故答案为：①②④． 15．如图，在中，，，，为边上一动点，连接．当取最小值时，的长为______． 【答案】 【分析】延长到点，使得，连接，过点作于点，过点作于点，交于点，连接，如图所示，得到，由垂线段最短得出当点与重合时，的值最小，由此可得结论． 【详解】解：延长到点，使得，连接，过点作于点，过点作于点，交于点，连接，如图所示： ， ∴， ， 即垂直平分线段， ，， ∴， 由垂线段最短可知，当点与重合时，的值最小，为线段， 设此时， ， ， ∵， ， ， ， ， ， 则， ， 解得， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查求线段长，涉及含的直角三角形性质、垂直平分线的判定与性质、垂线段最短、直角三角形两锐角互余、解方程等知识，解题的关键是依据动点最值问题的解法结合题意作出相应辅助线构造解决问题的几何图形． 16．如图，点是等边内一点，，等于，点是等边外一点，，，连接．则当的度数为_______时，是等腰三角形． 【答案】 或或 【分析】先证和为等边三角形，用证，推导出的三个内角，再分三种等腰情况列方程，求出的度数为、或． 【详解】解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴ 即：， 在和中， ∴， ∴， ∵ ∴， ， 由三角形内角和得： 等腰三角形，分三种情况： 若：则，即，解得； 若：则，即，解得； 若：则，即，解得 综上，的度数为、或． 三、解答题(本大题共8小题.每题9分,共计72分) 17．【问题情景】我们知道，多边形内角的一边与另一边的反向延长线组成的角，叫作多边形的外角． 如图1所示，、、是的三个外角，下面我们来探究、、和三内角之间的数量关系． 【方法感悟】解：因为在中，，所以．因为，所以．所以．同理可得：，． 因此，我们得到一个重要的结论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 【解决问题】 (1)已知：如图2，与分别为的两个外角，请直接利用上述结论，试探究与的数量关系． (2)已知：如图3，在中，，分别平分和，试探究与的数量关系． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由外角的性质可得，，相加并结合三角形的内角和定理即可得到结论； （2）由角平分线的性质可得，，，则，结合三角形的内角和定理可得． 【详解】（1）解：根据题意可得，，， ∴； （2）解：∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴． 18．如图，是两个长度相同的梯子与靠在一面竖直墙上的示意图，已知左边梯子的高度与右边梯子水平方向的长度相等． (1)与全等吗？请说明理由． (2)若，，，求线段的长度． 【答案】(1)全等，理由见详解 (2) 【分析】（1）由两个直角三角形全等的判定定理判定即可； （2）由全等的性质得到长，数形结合表示出求解即可． 【详解】（1）解：全等，理由如下： 由题意可知，，，， 在和中， ， ； （2）解：由（1）知， ， ，， 线段． 19．如图，在中，． (1)作边的垂直平分线，交于点，交于点，过点作直线于点； （要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)的度数为___________． 【答案】(1)作图见解析 (2)111 【分析】（1）分别以A、C为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧交于两点，过两点作直线，交于D，交于E．以D为圆心，适当长度为半径画弧，交于两点，再分别以这两点为圆心，大于两点间距离一半的长度为半径画弧，两弧交于一点，过D和该点作直线，交于F． （2）根据等腰三角形的性质先求底角，然后根据垂直平分线的性质，得；再根据得，最后用四边形内角和计算出答案即可． 【详解】（1）解：如图所示， （2）解：∵，， ∴是等腰三角形，   ， ∵是的垂直平分线， ∴，即， ∵， ∴． 在四边形中，内角和为， ∴ ． 20．如图，正五边形，平分，平分正五边形的外角，求的度数． 【答案】 【分析】先根据多边形内角和定理求出，则，再由角平分线的定义得到，接着利用四边形内角和为360度求出，则，据此利用三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：如图：设交于点P， ∵五边形是正五边形， ∴， ∴， ∵平分，平分正五边形的外角， ∴， ∴， ∴， ∴． 21．如图，在中，、的平分线相交于点． (1)求证：点在的平分线上； (2)连接，若，，，则点到三角形三条边的距离是________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据角平分线的性质，易证，再根据角平分线的判定，即可求证； （2）根据等腰三角形的性质，可得，再根据勾股定理，列方程求解即可． 【详解】（1）证明：过点作于点，于点，于点， ，的平分线相交于点， ， ， 又于点，于点， 点在的平分线上； （2）解：延长交于， ，点在的平分线上， ， ，，， ， 在中，， 在中，， ，解得， 由（1）可知，点到三角形三条边的距离相等，即的长， 点到三角形三条边的距离是． 22．如图，在中，，，，动点从点出发沿射线以的速度运动，设运动时间为秒． (1)______cm； (2)若点运动到的中点时，求的值； (3)当为等腰三角形时，直接写出的值． 【答案】(1)8 (2)的值为 (3)的值为5或8或 【分析】（1）根据勾股定理求解即可； （2）由（1）知，点运动到的中点时，得到的长度，进而求出的值； （3）分三种情况讨论：①当、②、③时，分别求出的长度，进而求出的值． 【详解】（1）解：在中，，， 由勾股定理得， 故答案为：8； （2）解：由（1）知，点运动到的中点时，， 动点从点出发沿射线以的速度运动， 则； （3）解：根据题意得，，为等腰三角形如图： ①当时，， 解得； ②当时， ， ， ， 解得； ③当时，，、， 在中，， 解得， 综上所述，当为等腰三角形时，的值为5或8或． 23．如图，海中有一小岛，它周围10.5海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行．在点测得小岛在北偏东方向上，航行12海里到达点，这时测得小岛在北偏东方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，那么渔船还需航行多少海里有触礁的危险？请经过计算进行判断． 【答案】4.5海里 【分析】如解图，过点A作于点C，求出，得到海里，海里，然后利用勾股定理求解． 【详解】解：如解图，过点A作于点C，假设当渔船到达点E时，开始有触礁危险， ∵，， ∴，， ∴， ∴海里， ∵，， ∴海里， 由勾股定理得：， ∵点E在点C的左侧，， ∴， ∴（海里）． 答：渔船还需航行4.5海里有触礁的危险． 24．如图，都是等边三角形，，交于点，连接． (1)求证：； (2)求的度数； (3)求证：． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质详解； （2）利用，得到，进而得到； （3）在上截取，连接，通过证明，则，，再证是等边三角形即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴，， ∴，即， ∵和都是等边三角形， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴； （2）解：令、交于点，、交于点，如下图所示： 由（1）知，， ∴， ∴， ∴； （3）证明：在上截取，连接， 由（1）知：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，作辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $