精品解析：山东滕州市第一中学2025-2026学年高一下学期4月月考数学试题

2025-2026学年山东省枣庄市滕州一中高一（下）月考数学试卷（4月份） 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分． 1. 复数的虚部为（   ） A. 1 B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由复数的除法结合虚部的概念可得. 【详解】， 所以虚部为3. 故选：C. 2. 在中，若，则的形状是（ ） A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰或直角三角形 D. 等边三角形 【答案】C 【解析】 【分析】用正、余弦定理进行边角互化解题即可. 【详解】解：，可得， 由余弦定理可得，整理可得：，即， 所以或，即或 ∴的形状是等腰或直角三角形. 故选：C 3. 如图，已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用基底表示即可求出. 【详解】因为，所以， 则， 因为，所以，即， 则. 故选：C 4. 在中，内角，，的对边分别为，，.若，，，则（ ） A. B. 20 C. 16 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦定理、余弦定理求解即可. 【详解】因为，，所以. 由正弦定理可知，，所以，， 又，所以，所以. 由余弦定理知，，所以，即. 又， 所以，所以. 故选：D. 5. 已知向量满足，且在上的投影向量为单位向量，则（ ） A. B. C. 3 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】将的两边同时平方得，根据在上的投影向量为单位向量得到一个关于的方程，解方程即可. 【详解】将的两边同时平方得，展开得， 整理得， 由在上的投影向量为单位向量，可知其模长为1，即， 即，解得． 故选：A. 6. 猫儿山位于广西桂林，是南岭山脉越城岭主峰、广西第一高峰，因峰顶巨石形似卧猫得名，它是漓江发源地，也是国家级自然保护区，生物多样性丰富，有“华南之巅”的美誉．如图，计划在猫儿山的两个山顶间架设一条索道．为测量间的距离，工作人员在同一水平面选取三个观测点，在处测得山顶的仰角分别为和，测得两个山顶的高分别为，且测得，则间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件先求出中的两边，再利用余弦定理求即可. 【详解】由题意，可得， 且，在中，可得， 在中，可得， 在中，由余弦定理得： 所以． 故选：D． 7. 已知i是虚数单位，则复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】先对分子进行化简，然后再利用复数的除法运算求解即可 【详解】解：因为， 所以复平面内对应的点为，位于第一象限 故选：A 【点睛】此题考查复数的运算，考查复数的几何意义，属于基础题 8. 在菱形中，，点是的中点，点在线段上（包含端点），则的取值范围为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，根据向量的线性运算及数量积可得，结合得到范围即可． 【详解】设，因为四边形是菱形， 所以， 由点是的中点，得， 由题意得，， 所以 ， 因为，所以的取值范围是． 故选：D． 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分． 9. 已知复数，，且，下列说法正确的是（ ） A. 是纯虚数 B. 是实数 C. 是虚数 D. 若，则是实数 【答案】AD 【解析】 【详解】A. 为纯虚数，故A正确； B.，只有时，才是实数，故B错误； C.，只有时为虚数，为实数，故C错误； D. 为实数，故D正确. 10. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. B. 与同向的单位向量为 C. 在上的投影向量为 D. 若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，利用向量的模的坐标公式计算即得；对于B，利用单位向量的定义计算可判断；对于C，利用向量投影向量的坐标公式求解判断；对于D，利用两向量夹角为锐角的充要条件列方程组求解可判断． 【详解】对于，故A正确； 对于B，与共线的单位向量，同向为，故B正确； 对于在上的投影向量为，故C错误； 对于D，因，则， 由与的夹角为锐角，可得：，解得且，故D错误． 故选：AB. 11. 已知的面积为，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，由二倍角公式结合题设可判断选项正误；对于C，由A分析可得，结合余弦定理可得，然后利用反证法可得，，据此可判断选项正误；对于BD，由C分析可得，然后由可得，，据此可判断选项正误． 【详解】对于A，由二倍角公式， ， 则，故A正确； 对于C，由A分析可得，下证. 因，则. 则，. 从而，由正弦定理边角互化可得. 若，则. 注意到，，则， 又三角形中至多1个钝角，则，均为锐角. 又，正弦函数在上单调递增， 则，. 从而，这与矛盾. 故.从而，,,， . 则，易得，不妨设，则. 从而，故C错误. 对于BD，因，则， 从而，则， 则，. 从而，故B错误，D正确. 故选：AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 方程在复数范围内的解为______. 【答案】 【解析】 【分析】将已知条件配方，结合虚数单位的定义即可求解. 【详解】由方程可得， 即， 所以 所以方程的根为， 故答案为：. 13. 如图，在中，为BC边上一点，且．过点的直线与直线相交于点，与直线AC相交于点（E，F两点不重合）．若，则的最小值为_______________． 【答案】4 【解析】 【分析】先用表示，代入表达式，结合三点共线可得，然后利用基本不等式可得答案. 【详解】在中，由， 又，所以， 所以 ， 又，所以， 所以 又D，E，F三点共线，且在直线外， 所以有：，且， 所以，， 当且仅当时，等式成立， 所以的最小值为4． 故答案为：4． 14. 在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用三角形面积相等，推得，再利用“乘1”法和基本不等式即可求得的最小值. 【详解】 如图，因，则可得， 即，化简得， 因，则， 当且仅当时，即时，取等号， 故的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，i为虚数单位． （1）求z的共轭复数； （2）若复数z是关于x的方程的一个根，求实数m，n的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据复数的运算可得，即可得共轭复数； （2）可知：、是方程的根，利用韦达定理即可得结果. 【小问1详解】 因为， 所以z的共轭复数. 【小问2详解】 由题意可知：、是方程的根， 则，即. 16. 已知向量与的夹角为，且，，若，. （1）当时，求实数的值； （2）求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，结合向量数量积的定义及运算律即可求解； （2）由，平方得到，通过配方法即可求解. 【小问1详解】 因为，所以，即， 所以， 因为向量与的夹角为，且，， 所以， 所以，所以. 【小问2详解】 因为， 所以， 由（1）知，且，， 所以， 则， 故当时，最小为. 17. 在中，角，，的对边分别为，，，且满足. （1）求的大小； （2）若外接圆的半径为，的面积为，求的周长. 【答案】（1） （2）9 【解析】 【分析】（1）根据题意，由余弦定理得，再由正弦定理得，即可求解； （2）由三角形的面积公式，求得，根据题意和余弦定理，化简求得的值，即可求解. 【小问1详解】 由余弦定理及，可得， 又由正弦定理，可得. 因为，所以，所以，所以. 又因为，所以. 【小问2详解】 由（1）可知，又知外接圆的半径为， 则由正弦定理得. 又由，可得， 根据余弦定理，得，所以，所以， 所以的周长为. 18. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 （1）求角C的值 （2）若，的面积为，求的周长． （3）若为锐角三角形，且，求的周长取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理和三角恒等变换求得以及的值； （2）由三角形的面积公式和余弦定理，即可求得的周长； （3）利用正弦定理和三角恒等变换，结合正弦函数的性质，即可求得周长的取值范围. 【小问1详解】 已知等式利用正弦定理化简得：， 整理得：，，， ，又，； 【小问2详解】 由余弦定理得，， ，，，， 的周长为 【小问3详解】 由正弦定理得，可得， ， 为锐角三角形，且， 则，，，， ，的周长取值范围是. 19. 在中，内角所对的边分别为，已知 （1）求角； （2）若为边上一点(不包含端点)，且满足， (i) 若，求的长； (ii) 求的取值范围. 【答案】（1） （2）(i) (ii) 【解析】 【分析】（1）由正弦定理化简等式，即可解得. （2）(i)由得，结合题意得，即可得到，由边角关系求得，即求得. (ii)由条件得到边的关系，以及角的取值范围.然后由正弦定理求得，然后由角的取值范围求得结果. 【小问1详解】 ∵， 由正弦定理可得， ∵，∴，∴， ∴，即，即， ∵，∴. 【小问2详解】 (i)∵，∴， ∴，∴，∴. ∴， ∴ ∴. (ii) ∵，∴，∴， ∵，∴， 由∵点在边上且不包含端点， ∴， 在中，， 在中由正弦定理可得，又∵， ∴， ∵，则，∴， ∴的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年山东省枣庄市滕州一中高一（下）月考数学试卷（4月份） 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分． 1. 复数的虚部为（   ） A. 1 B. C. 3 D. 2. 在中，若，则的形状是（ ） A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰或直角三角形 D. 等边三角形 3. 如图，已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 在中，内角，，的对边分别为，，.若，，，则（ ） A. B. 20 C. 16 D. 5. 已知向量满足，且在上的投影向量为单位向量，则（ ） A. B. C. 3 D. 2 6. 猫儿山位于广西桂林，是南岭山脉越城岭主峰、广西第一高峰，因峰顶巨石形似卧猫得名，它是漓江发源地，也是国家级自然保护区，生物多样性丰富，有“华南之巅”的美誉．如图，计划在猫儿山的两个山顶间架设一条索道．为测量间的距离，工作人员在同一水平面选取三个观测点，在处测得山顶的仰角分别为和，测得两个山顶的高分别为，且测得，则间的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 已知i是虚数单位，则复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 8. 在菱形中，，点是的中点，点在线段上（包含端点），则的取值范围为（） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分． 9. 已知复数，，且，下列说法正确的是（ ） A. 是纯虚数 B. 是实数 C. 是虚数 D. 若，则是实数 10. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. B. 与同向的单位向量为 C. 在上的投影向量为 D. 若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 11. 已知的面积为，若，，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 方程在复数范围内的解为______. 13. 如图，在中，为BC边上一点，且．过点的直线与直线相交于点，与直线AC相交于点（E，F两点不重合）．若，则的最小值为_______________． 14. 在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，i为虚数单位． （1）求z的共轭复数； （2）若复数z是关于x的方程的一个根，求实数m，n的值． 16. 已知向量与的夹角为，且，，若，. （1）当时，求实数的值； （2）求的最小值. 17. 在中，角，，的对边分别为，，，且满足. （1）求的大小； （2）若外接圆的半径为，的面积为，求的周长. 18. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 （1）求角C的值 （2）若，的面积为，求的周长． （3）若为锐角三角形，且，求的周长取值范围． 19. 在中，内角所对的边分别为，已知 （1）求角； （2）若为边上一点(不包含端点)，且满足， (i) 若，求的长； (ii) 求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $