期中培优：几何法求二面角问题讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

期中培优：几何法求二面角问题讲义 期中培优：几何法求二面角问题讲义 知识点解析 一、解题原理 依据二面角平面角定义：在二面角的棱上取一点，于两个半平面内分别作棱的垂线，两垂线所成角即为二面角平面角。 借助线面垂直、三垂线定理、面面垂直等空间性质，将空间二面角转化为平面三角形内角，通过解三角形求角，同时结合图形判断二面角是锐角或钝角。 二、解题思路 1. 定棱：明确二面角的公共棱，找准两个面。 1. 作角（三种核心几何作法） · 定义法：棱上一点，两面内各作棱的垂线，直接构造平面角； · 三垂线法：过一面内一点向棱作垂线，再向另一面作垂线，连线构造平面角（最常用）； · 垂面法：作棱的垂面，垂面与两面的交线夹角即为二面角。 1. 算角：利用勾股定理、三角函数、正余弦定理，解含平面角的三角形。 1. 定号：观察图形，区分二面角为锐角/钝角，确定最终结果。 例题分析 例1．（25-26高二上·山东淄博·期末）在正三棱柱中，，则平面与平面夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取的中点，连接、、、，即可证明、，从而得到为平面与平面的夹角，利用锐角三角函数计算可得. 【详解】取的中点，连接、、、， 在正三棱柱中，，所以， 又平面，平面，所以，，， 不妨令，则，所以， 所以为平面与平面的夹角， 又， 所以，所以平面与平面夹角的余弦值为. 故选：A 例2．（24-25高一下·广东广州·月考）如图，点在二面角的棱上，分别在内引射线，使得,若，，则二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作，证得，得到，得出为二面角的平面角，设，求得，结合勾股定理得到，即可求解. 【详解】如图所示，过点作于点，连接， 因为，，且， 所以，所以，所以， 所以即为二面角的平面角， 设，在等腰直角和中，可得， 又因为，所以为等边三角形，所以， 所以，所以， 所以二面角的大小为. 例3．（24-25高一下·福建南平·期末）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，是的中点，过点作交于点． (1)若是的中点，过点作一个截面，使得该截面与平面平行，请画出截面，并写出作图过程（无需证明）； (2)证明：平面； (3)求二面角的余弦值． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 (3)． 【分析】（1）过点M，分别在平面PBC，平面PDC做EB，ED平行线，可得截面； （2）由平面，可得，结合，可得平面，据此可得，然后结合，可完成证明； （3）由（2）可得即为二面角的平面角，然后由题目信息结合余弦定理可得答案. 【详解】（1）如图，取的中点的中点，连接， 则截面与平面平行． （2）因为平面，平面，所以． 在矩形中，平面，平面， 故平面． 又平面，故． 在中，，是的中点，所以，又，平面，平面，故平面， 而平面，于是． 因为平面，平面， 所以平面； （3）由（2）知平面，于是， 所以即为二面角的平面角． 在中，，故，从而． 在中，，故，从而． 又在中，，故由余弦定理得， ， 所以二面角的余弦值为． 例4．（24-25高一下·安徽合肥·期末）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，平面，. (1)求证：平面； (2)求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先利用勾股定理的逆定理证明，再结合，利用线面垂直的判定定理可证平面. （2）根据平面，得到即为二面角的平面角，再在中，求的正弦. 【详解】（1）因为，，所以，. 又，，所以. 所以. 所以. 因为，即， 所以为直角三角形，且. 又平面，平面，所以. 平面，，所以平面. （2）因为平面，平面， 所以，. 所以即为二面角的平面角. 在中，，，，所以， 所以. 即二面角的正弦值为. 例5．（25-26高三上·山东德州·期中）在四面体中，底面、、分别是的中点，点在线段上，且． (1)求证：平面； (2)若三棱锥的体积为，求平面与平面的夹角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）利用平行线分线段成比例及中位线性质可得且，利用平行四边形得出线线平行，即可证明线面平行； （2）作辅助线，利用线面垂直得出线线垂直，证明即为二面角的平面角，再解直角三角形即可. 【详解】（1）取的中点为，在线段上取点， 使得，连接、、. 因为，所以， 所以，且. 因为和分别为和的中点， 所以，且 因此且， 所以四边形是平行四边形，因此． 又因为平面平面， 所以平面. （2）因为，所以． 因为底面，所以三棱锥的高为， 又因为 故. 连接． 因为分别是的中点， 所以，又因为平面 所以平面 过点作，垂足为点，连接 因为平面，且平面， 所以，又因为，且， 所以平面. 又因为平面，所以，又， 所以即为二面角的平面角, 因为平面，且平面，所以． 故为直角三角形． 在Rt中，，所以 所以平面与平面的夹角大小为. 例6．（24-25高二上·湖南长沙·月考）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F． (1)求证：PA∥平面EDB； (2)求证：PB⊥平面EFD； (3)求平面CPB与平面PBD的夹角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)． 【分析】（1）连接AC，交BD于O，连接EO，通过证明PA//EO 可证明结论； （2）通过证明DE平面PBC，可得，结合可得平面； （3）由题意易知是平面与平面的夹角，且，分别求出的值，利用，即可求出答案. 【详解】（1）连接AC，交BD于O，连接EO. 因O，E分别为中点，则， 又平面EDB，平面EDB， 则面； （2）因四边形ABCD是正方形，则BC， 又底面平面，则BC. 因平面，，则平面. 又平面，则， 因，E是PC的中点，则. 又平面，，则平面PBC， 因平面PBC，则，又，平面，， 则平面； （3）由（2）及平面可知， 故是平面与平面的夹角， 不妨设，∴， 在中，，，， 又面，∵面，∴, 在中，， ∴，故平面CPB与平面PBD的夹角的大小. 变式训练 变式1．（25-26高二上·北京·期末）如图，在正四棱锥中，若的面积与正四棱锥的侧面面积之和的比为，则侧面与底面所成的二面角为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正四棱锥的结构特征，作出侧面与底面所成的二面角的平面角，解直角三角形即可得答案. 【详解】如图，设正四棱锥底面对角线的交点为，的中点为， 连接、、，则底面， 则为在底面上的射影，且，， 故即为正四棱锥侧面与底面所成的二面角的平面角，    设正方形的边长为，高，， 则由的面积与正四棱锥的侧面面积之和的比为， 得，解得， 故在中，， 又因为为锐角，故， 即正四棱锥侧面与底面所成的二面角为. 故选：B. 变式2．（25-26高三上·山西晋中·月考）如图，已知四棱锥，平面平面，是边长为4的等边三角形，，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设的中点为，连接，，根据等腰三角形性质，可证，根据面面垂直的性质定理，可证平面，根据线面垂直的性质定理，可证，作于点，连接，可得是二面角的平面角，求得各个长度，根据余弦函数的定义，即可得答案. 【详解】如图，设的中点为，连接，， 在中，，，则， 且， ，为的中点，， 又平面平面，平面平面，平面， 平面， 平面，， 作于点，连接， ，平面，，平面， 平面，， 是二面角的平面角， 在中，，有，即， ， 在中，， 在中，， . 故选：B. 变式3．（24-25高一下·湖南长沙·期末）如图，在长方体中，，，为的中点． (1)求证：平面； (2)求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，设，连接得，由线面平行的判定定理可得答案； （2）与全等得，进而，，可得为二面角的平面角，在中计算可得答案. 【详解】（1）连接，设，连接，因为平面为正方形，所以为的中点， 在中，为的中点，所以， 又平面，平面， 所以平面. （2）因为， 所以与全等，所以，又， 取的中点为M，连接，则有，， 所以为二面角的平面角， 因为平面，平面，所以， 在中，， 所以， 所以， 所以二面角的正弦值为. 变式4．（25-26高二上·上海·月考）如图所示，四棱锥的底面是边长为1的菱形，，是的中点，底面，.    (1)证明：平面平面； (2)求二面角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据题意可证，，进而证明平面，即可得面面垂直； （2）分析可知是二面角的平面角，结合长度关系运算求解. 【详解】（1）如图所示，连接，    因为是菱形且知，则是等边三角形， 且是的中点，则， 又因为，所以， 因为平面，平面，则， 且，平面，则平面， 且平面，所以平面平面. （2）由（1）可知：平面，平面，则. 且，可知是二面角的平面角， 在中，，， 故二面角的大小为. 实战演练 1．（24-25高一下·安徽·月考）如图，四棱锥的底面为正方形，底面，E、F分别是AC、PB的中点．    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)若，求二面角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）连接BD，求证结合线面平行判定定理即可求证； （2）先求证平面结合面面垂直判定定理即可得证； （3）由二面角的平面角定义得出为所求二面角的平面角即可求解. 【详解】（1）证明：如图，连接BD，则E是BD的中点，    又F是PB的中点，∴． 又∵平面，平面PCD，∴平面． （2）证明：∵是正方形，∴， ∵平面，平面，∴， 又，PA，平面，∴平面． 又平面，故平面平面． （3）因为底面，平面，所以， 又∵，，平面， 所以平面，平面,故, ∴二面角的平面角为， ∵，∴，故． 2．（25-26高二上·广西桂林·期末）如图，在边长为2的等边三角形ABC中，D为AC的中点，将沿BD翻折至，使得平面与平面CBD垂直． (1)证明：； (2)求点D到平面的距离； (3)求平面与平面DBC的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定性质推理得证. （2）过作于，利用面面垂直的判定性质，结合点到平面距离的意义求解. （3）由（2）中信息，确定两个平面的夹角，再利用直角三角形边角关系求解. 【详解】（1）依题意，，而平面， 则平面，又平面， 所以. （2）由（1）知，，而平面平面，平面平面， 平面，则平面，又平面，则， 过作于，连接，由平面， 得平面，而平面，于是平面平面， 过在平面内作于，而平面平面，因此平面， 长即为点D到平面的距离，，， ，在中，，则， 所以点D到平面的距离. （3）由（2）得，则是平面与平面DBC的夹角， ， 所以平面与平面DBC的夹角的余弦值为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $期中培优：几何法求二面角问题讲义 期中培优：几何法求二面角问题讲义 知识点解析 一、 解题原理 依据二面角平面角定义：在二面角的棱上取一点，于两个半平面内分别作棱的垂线，两垂线所成角即为二面角 平面角。 借助线面垂直、三垂线定理、面面垂直等空间性质，将空间二面角转化为平面三角形内角，通过解三角形求角， 同时结合图形判断二面角是锐角或钝角。 二、解题思路 1.定棱：明确二面角的公共棱，找准两个面。 2.作角（三种核心几何作法） ·定义法：棱上一点，两面内各作棱的垂线，直接构造平面角； 。三垂线法：过一面内一点向棱作垂线，再向另一面作垂线，连线构造平面角（最常用）： ·垂面法：作棱的垂面，垂面与两面的交线夹角即为二面角。 3.算角：利用勾股定理、三角函数、正余弦定理，解含平面角的三角形。 4.定号：观察图形，区分二面角为锐角/钝角，确定最终结果。 例题分析 例1.(25-26高二上山东淄博期末)在正三棱柱ABC-A,B,C,中，AB=AA,则平面ABC与平面ABC夹角的余弦 值为() A.27 B. c.2 D.5 7 2 7 5 期中培优：几何法求二面角问题讲义 例2.(24-25高一下广东广州月考)如图，点P在二面角a-AB-B的棱AB上，分别在a,B内引射线PM,PN, 使得PM=PN,若∠BPM=∠BPN=45°，∠MPN=60°，则二面角a-AB-B的大小为() M A.45 B.60 C.90 D.120 例3.(24-25高一下·福建南平.期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD, PD=DC=2,AD=1,E是PC的中点，过点E作EF⊥PB交PB于点F. M y ⊙ (I)若M是CE的中点，过点M作一个截面，使得该截面与平面EDB平行，请画出截面，并写出作图过程（无需证 明)； (2)证明：PB⊥平面EFD; (3)求二面角C-PB-D的余弦值. 2 期中培优：几何法求二面角问题讲义 例4.(24-25高一下·安徽合肥期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC, AB⊥BC,AB=BC=1,AD=2,PA⊥平面ABCD,PA=2. >D C (I)求证：CD⊥平面PAC; (2)求二面角P-CD-A的正弦值 例5.(25-26高三上山东德州期中)在四面体P-ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2,PA⊥底面ABC,M、N、Q 分别是PB、PA、BN的中点，点E在线段PC上，且PE=3EC. D M B (I)求证：EQ/平面ABC; ②者三使筐P-48C的体积为手，求平面MAC与平面4C6的夹角的大小 3 期中培优：几何法求二面角问题讲义 例6.(24-25高二上·湖南长沙月考)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD, PD=DC,E是PC的中点，作EFLPB交PB于点F. (I)求证：PA‖平面EDB; (2)求证：PB⊥平面EFD (3)求平面CPB与平面PBD的夹角的大小. 期中培优：几何法求二面角问题讲义 变式训练 变式1.(25-26高二上·北京·期末)如图，在正四棱锥P-ABCD中，若aPAC的面积与正四棱锥的侧面面积之和的 比为1：4，则侧面与底面所成的二面角为() D A. 2 B c D. 罗 变式2.(25-26高三上山西晋中·月考)如图，已知四棱锥P-ABCD,平面PAD⊥平面ABCD,△ABD是边长为 4的等边三角形，PA=PD=6,则二面角A-PD-B的余弦值为() D B A. V65 B. 2√70 C.3v78 D.82 27 35 43 50 变式3.(24-25高一下·湖南长沙期末)如图，在长方体ABCD-A,BC,D,中，AB=AD=3,AA=6,E为AA,的 中点. C B D (1)求证：AC1I平面BDE; (2)求二面角A-DE-B的正弦值. 期中培优：几何法求二面角问题讲义 变式4.(25-26高二上·上海月考)如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60°， E是CD的中点，PA⊥底面ABCD,PA=√5 o B (I)证明：平面PBE⊥平面PAB; (2)求二面角A-BE-P的大小， 6 期中培优：几何法求二面角问题讲义 实战演练 1.(2425高一下·安徽·月考)如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD,E、F分别是AC 、PB的中点 (1)求证：EF/平面PCD; (2)求证：平面PBD⊥平面PAC; (3)若PA=AB,求二面角P-CD-A的大小. 2.(25-26高二上广西桂林·期末)如图，在边长为2的等边三角形ABC中，D为AC的中点，将△ABD沿BD翻 折至△A'BD,使得平面A'BD与平面CBD垂直. D A B (1)证明：A'C⊥BD; (2)求点D到平面A'BC的距离： (3)求平面A'BC与平面DBC的夹角的余弦值. >