期中复习专题10 立体几何中夹角与距离问题【6大题型】讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

专题10 立体几何中夹角与距离问题 题型预览 题型一 线线角 题型二 线面角 题型三 二面角 题型四 点到面的距离 题型五 线到面的距离 题型六 面到面的距离 知识清单 空间等角定理 文字语言 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角 相等或互补 符号语言 OA∥O′A′，OB∥O′B′⇒∠AOB＝∠A′O′B′或∠AOB＋∠A′O′B′＝180° 图形语言 作用 判断或证明两个角相等或互补 【注意】如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等． 异面直线所成的角 (1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直 线a′与b′ 所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． (2)空间两条直线所成角α的取值范围是 0°≤α≤90° ． 【注意】(1)两条异面直线所成角的大小，是由这两条异面直线的相互位置决定的，与点O的位置选取无关． (2)找出两条异面直线所成的角，要作平行移动(作平行线)，把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角． 求异面直线所成角的一般步骤 (1)作：根据所成角的定义，用 平移 法作出异面直线所成的角． (2)证：证明作出的角就是要求的角，其实质是证明线线平行，并指出所作的角就是要求的角． (3)计算：求角的值，常利用解三角形得出． (4)结论：假如所构造的角的大小为α，若0°＜α≤90°，则α即为所求异面直线所成角的大小；若90°＜α＜180°，则 180°－α 即为所求． 可用“一作二证三计算四结论”来概括．同时注意异面直线所成角的范围是0°＜θ≤90°． 直线与平面所成的角 有关概念 对应图形 斜线 一条直线与一个平面 相交 ，但不与这个平面 垂直 ，这条直线叫做这个平面的斜线，如图中直线PA 斜足 斜线和平面的 交点 ，如图中点A 射影 过斜线上斜足以外的一点向平面引 垂线 ，过 垂足 和 斜足 的直线叫做斜线在这个平面上的射影，如图中斜线PA在平面α上的射影为直线AO 直线与平面所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，如图中∠PAO； 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是 90° ；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是 0° 取值范围 设直线与平面所成的角为θ，则 0°≤θ≤90° 【注意】直线与平面所成的角是这条直线与平面内任意直线所成的角中最小的角． 求直线与平面所成角的步骤 (1)作图：作(或找)出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的 垂线 ，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算． (2)证明：证明某平面角就是直线与平面所成的角． (3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的 直角三角形 中计算． 二面角的概念 1．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面． 2．画法： 3．记法：二面角α-l-β或二面角α-AB-β或二面角P-l-Q或二面角P-AB-Q． 4．二面角的平面角： (1)在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角，如图． (2)二面角的平面角α的取值范围是0°≤α≤180°．平面角是直角的二面角叫做直二面角． 【注意】1．二面角的大小与垂足O在l上的位置无关．一个二面角的平面角有无数个，它们的大小是相等的． 2．构成二面角的平面角的三要素：“棱上”“面内”“垂直”，即二面角的平面角的顶点必须在棱上，角的两边必须分别在两个半平面内，角的两边必须都与棱垂直，这三个条件缺一不可．这三个要素决定了二面角的平面角的大小的唯一性和平面角所在的平面与棱垂直． 求二面角的平面角的大小的步骤 (1)作：作出平面角，一般在交线上找一特殊点，分别在两个半平面内向交线作垂线． (2)证：证明所作的角满足定义，并指出二面角的平面角． (3)求：将作出的角放到三角形中，利用解三角形求出角的大小． (4)结论． 空间中的距离问题 1．过一点作 垂直 于已知平面的直线，则该点与 垂足 间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度 叫做这个点到该平面的距离． 2．一条直线与一个平面平行时，这条直线上 任意一点 到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离． 3．如果两个平面平行，那么其中一个平面内的 任意一点 到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离． 【注意】由直线到平面的距离与平行平面间的距离的定义知，它们都可以转化为点到平面的距离． 空间中距离的转化 (1)利用线面、面面平行转化：利用线面距离、面面距离的定义，转化为直线或平面上的另一点到平面的距离． (2)利用中点转化：如果条件中具有中点条件，将一个点到平面的距离，借助中点(等分点)，转化为另一点到平面的距离． (3)通过换底转化：一是直接换底，以方便求几何体的高；二是将底面扩展(分割)，以方便求底面积和高． 题型突破 题型一 线线角 1．（2026·陕西宝鸡·模拟预测）在正方体中，为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】连接，易证，只需解三角形，求出的余弦值即可得解. 【详解】 如图，正方体中，为线段的中点，连接，， 因为，，所以四边形是平行四边形，， 异面直线与所成角，即直线与所成角，为或其补角， 设正方体的棱长为2，则，， 在中，， ，即是直角三角形，， 即异面直线与所成角的余弦值为. 2．（25-26高三下·河南·月考）如图，在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，则直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过补形，得到正六棱柱，继而得到即为直线与所成的角或其补角．设，从而得到为正三角形，故，从而得到所求. 【详解】如图，将直四棱柱补成正六棱柱， 连接，，显然， 则即为直线与所成的角或其补角． 设，则， 又， 则， 解得， 又， ， 则为正三角形，从而， 则直线与所成的角为． 3．（25-26高一上·河北唐山·月考）在直三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长到点，使，连接,可得（或其补角）就是异面直线 与所成的角. 【详解】延长到点，使，连接, 因为 且 ​，所以四边形是平行四边形，因此 ​ 所以，（或其补角）就是异面直线 与所成的角, 在中，，，所以是等边三角形，, 直三棱柱中，，则：​ , 在中， 由余弦定理： , 所以 ​ 在 中， 由余弦定理： 4．（2026·辽宁大连·一模）在四面体ABCD中，，，E为CD的中点，则异面直线BE与AD所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出异面直线与所成角，利用余弦定理求得所成角的余弦值. 【详解】由于，所以， 设分别是的中点，连接，则， 所以异面直线BE与AD所成角为（或其补角）， 在中，， 所以， 所以异面直线BE与AD所成角的余弦值为. 5．（2027高三·全国·专题练习）如图所示，已知空间四边形中，与所成角为，且，，分别为，的中点，则________． 【答案】1或 【分析】取一边中点构造中位线，将已知的两条异面直线所成角转化为三角形中的角，再利用余弦定理分两种情况求出所求线段的长度. 【详解】如图，取的中点，连接，，由题可知，，， ，．因为与所成的角为， 所以或，当时，为等边三角形，所以； 当时，由余弦定理得，， 所以．综上，或． 故答案为：或. 6．（24-25高一下·江西南昌·期末）（多选）如图，四面体中，，，分别为的中点.若异面直线与所成角的大小为，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】利用异面直线所成角的定义和余弦定理求解可得. 【详解】取的中点为，连接，，如图：    在中，，且，在中，，且， 因为异面直线与所成角的大小为，所以直线PM，PN的夹角为，则或， 当时，由余弦定理得，，得. 当时，由余弦定理得，，得. 综上所述，或. 故选：CD 题型二 线面角 7．（2026·河北保定·二模）如图，在正三棱柱中，，D 为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，垂足为，由线面角的定义可得就是直线与平面所成的角，计算得解. 【详解】如图， 过点作，垂足为， 因为是的中点，所以，又平面，平面， 所以， 平面，，所以平面， 所以， 又平面，，所以平面， 连接，则就是直线与平面所成的角. 设，则，， 由，则，得， 在中，. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 8．（2026·上海静安·二模）在代表我国古代数学成就的经典著作《九章算术》中，称如下图中的多面体为“刍（chu）甍（meng）”．若底面是边长为4的正方形，，且，和是等腰直角三角形，，则与底面所成角的正弦值为______． 【答案】/ 【分析】设的中点为，在底面的投影为，则就是与底面所成角，再解三角形求正弦值即可． 【详解】设的中点为，在底面的投影为，如图， 由对称性可知在上， 就是与底面所成角， 又 ，， 又是等腰直角三角形，， ，， ． 9．（2026·河北沧州·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面，底面是边长为2的菱形，，点满足. (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求直线与底面所成角的正弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过平行线将异面直线的夹角转化为同一平面内相交直线的角，然后利用余弦定理求解即可； （2）根据向量关系得点P的位置，可得点到平面的距离为，利用余弦定理求得，然后根据线面角的定义求解即可. 【详解】（1）因为底面是边长为2的菱形，，所以， 因为底面，底面， 所以， 所以， 因为，所以异面直线与所成角为， 在中，， 所以， 即异面直线与所成角的余弦值为. （2）因为点满足，所以点为的四等分点且靠近点C， 所以点到平面的距离为， 在中，，又， 所以， 所以， 所以直线与底面所成角的正弦值为. 10．（25-26高二上·上海长宁·期末）已知三棱锥中，是等边三角形，，，与平面所成角的余弦值为，则______． 【答案】3 【分析】利用四面体的几何性质，结合等边、等腰三角形的性质，利用勾股定理计算相关边长，进而求解． 【详解】作的中点，连接，，是等边三角形， ，即为与平面所成角， 作为在平面内的投影，则在上，，， ，， ， ， 在直角中，， ． 故答案为：3． 11．（25-26高三上·上海宝山·期末）如图，点在圆柱的底面圆的圆周上，为圆的直径，与底面圆所成的角为，则异面直线与所成角的余弦值为___________．    【答案】/ 【分析】根据异面直线所成角的定义，结合线面角的定义、圆的性质、余弦定理进行求解即可. 【详解】在圆内，延长交圆上一点，连接， 因为是圆的直径， 所以，因此是异面直线与所成的角（或其补角）， 在圆中，因为， 所以， 由圆柱的性质可知：底面圆，与底面圆所成的角为， 所以，因为，所以， 因此有， ， 因为， 所以， 所以， 因为底面圆，底面圆， 所以， 因此， 在中，由余弦定理可知： ， 故答案为：    12．（25-26高三上·北京通州·期中）如图，某坡屋顶可视为一个五面体，底面为矩形，．若m，m，m，且与平面所成角的正弦值均为，则该五面体的体积为__________m3． 【答案】 【分析】由直线与平面夹角正弦值，可得直线与平面夹角正切值，结合题意可得几何体的高，再把几何体作如图分割，可得答案. 【详解】如图，做平面，取中点为， 则四点共线，，. 连接，则, , , 则， 则，如图作， 则，则五面体的体积为： m3. 故答案为： 题型三 二面角 13．（24-25高一下·河南信阳·月考）在中，，，，点为中点，连接，将沿折起，使点到达点的位置，且平面平面，则二面角的余弦值为____________ ． 【答案】/ 【分析】根据翻折后的立体图形，取中点为，过点作交于，连接，，先证平面，再证平面，得到就是二面角的平面角，在中求解即可. 【详解】取中点为，过点作交于，连接，， 在中，，，， 则，所以. 又点为中点，所以，即为等边三角形， 所以，，， 将沿折起，使点到达点的位置， 则为等边三角形，又为中点，所以， 又平面平面，平面平面， 所以平面. 又平面，所以. 又，，，平面， 所以平面. 因为平面，所以. 所以即为二面角的平面角， 在中，，， 所以， 则. 故二面角的余弦值为. 14．（2026·重庆渝中·二模）如图所示，二面角为，是边长为2的正三角形，若是三棱锥外接球的直径，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作辅助线，设，根据题意分析可知，，，结合余弦定理运算求解即可. 【详解】如图，设的中点为，连接，，则，， 因为是三棱锥外接球的直径，则， 且，，则，可得， 则，可知二面角的平面角为， 设，则，， 在中，由余弦定理得， 即，解得， 所以. 15．（湖北随州市2026届高三下学期考前模拟数学试题）在三棱锥中，平面平面，，. (1)证明：平面. (2)若，，求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据面面垂直的性质定理及线面垂直的判定定理求证即可； （2）取中点，过作，连接，证明为二面角的平面角，解直角三角形即可得解. 【详解】（1）因为平面平面，交线为，且平面，， 所以平面，又平面, 所以，又，平面， 所以平面. （2）取中点，过作，连接， 因为，所以， 因为平面平面，是交线，平面， 所以平面，又平面， 所以，又，，平面， 所以平面，又平面， 所以，所以为二面角的平面角， 在等腰直角三角形中，， 又在直角三角形中，， 所以，在直角三角形中，， 在直角三角形中，， 所以. 16．（四川内江市2026届高三适应性训练数学试题）如图，和都垂直于平面，且，是的中点. (1)求证：平面； (2)若是边长为2的等边三角形，求平面与平面所成夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）取的中点，利用线面垂直的性质、平行公理及线面平行的判定推理得证. （2）作出二面角的平面角，利用几何法求解. 【详解】（1）取的中点，连接，由是的中点，得， 由和都垂直于平面，得，又， 则，四边形为平行四边形，， 而平面，平面，所以平面. （2）延长交于点，连接，则平面平面， 由（1）得点是线段的中点，由是边长为2的等边三角形，得， 则，即，由平面平面，得， 而平面，则平面，又平面， 因此，是二面角的平面角， 在中，，则，， 所以平面与平面所成夹角的余弦值. 17．（25-26高二下·江苏苏州·期中）（多选）如图，在四面体中，二面角的大小为，且，，则（   ） A．无论为何值， B．当与平面所成角为时， C．当时，二面角大于 D．当时，二面角的正切值为 【答案】ABD 【分析】取中点，连接，证明平面可得A；作，垂足为，连接，作，垂足为，作，垂足为，连接AH，利用线面垂直和几何关系找到即为与平面所成角可得B；由即为二面角的平面角结合几何关系可得C；作，垂足为，作，垂足为，连接，由几何关系可得D. 【详解】选项A：如下图所示，取中点，连接， 因为，，平面，所以平面， 因为平面，所以； 选项B：如下图所示，作，垂足为，连接，作，垂足为，作，垂足为，连接AH， 由可得， 所以即为二面角的平面角， 因为平面，平面， 所以平面平面， 因为平面平面，平面， 所以即为与平面所成角， 因为，为等腰三角形， 所以，即； 选项C：若，则平面， 因为，所以即为二面角的平面角， 因为，可求得， 所以， 所以二面角小于； 选项D：如下图所示，作，垂足为，作，垂足为，连接， 因为，所以平面， 因为，所以，， 因为，所以，， 所以. 18．（2025高三·全国·专题练习）如图，在四边形中，，，对角线，是线段上除端点外任一点，将沿翻折成，使二面角的大小为，设异面直线和所成的角为，则的最小值是______． 【答案】 【分析】本题可先找出在平面上的射影，通过相关几何关系得到与平面所成角，再利用异面直线所成角与线面角的关系求解的最小值. 【详解】 过作平面，垂足为，过作于，连接. 二面角的大小为，. 在中，，，，则由余弦定理可得，所以. 设到的距离为，则由等面积法有，解得，则. 又，， 设与平面所成角为，则. 由最小角定理可知，与平面所成角即为异面直线和所成角的最小角，所以. 故答案为：. 题型四 点到面的距离 19．（25-26高一下·北京朝阳·期中）如图，棱长为4的正方体中，点C到平面的距离为________． 【答案】/ 【分析】利用等积法求解即可. 【详解】设点C到平面的距离为， 因为， 所以， 因为正方体棱长为， 所以， 所以是等边三角形， 所以， 又因为， 代入体积公式得. 20．（25-26高三下·湖南·月考）已知三棱锥的四个顶点在球O的表面上，，，，点 P 在底面的射影在直线上，则当球O的体积最小时，点 P 到底面距离的最大值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】根据球的性质，结合直角三角形的性质、勾股定理进行求解即可. 【详解】因为，，， 所以是直角三角形，斜边， 所以的外接圆的半径为， 因此球心O在平面的射影是的中点，设为， 设，球的半径为，于是有， 即， 要想球O的体积最小，只需，此时，O重合，， 因为点 P 在底面的射影在直线上， 所以设射影为，连接， 显然， 所以， 当最小时，有最大值， 显然当时，最小，因为，O是的中点 所以且， 所以的最大值为. 21．（2026·河北邢台·二模）如图，在棱长为2的正方体中，，分别是，的中点，平面经过直线且平行于直线，则点到平面的距离为______. 【答案】 【分析】如图，取的中点，连接，，，过作，垂足为点，可证平面，从而可求点到平面的距离. 【详解】如图，取的中点，连接，，，则，， 所以四边形是平行四边形，所以，同理. 又，所以，所以，确定一个平面，即为平面. 过作，垂足为点，因为平面，平面， 所以，又，平面, 所以平面，即. 在中， ，所以. 22．（2026·广东湛江·二模）已知长方体中，，，是的中点，点在线段上运动（含端点），则点到平面的距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】取的中点，过点作的垂线，垂足为，则， 又,平面，所以平面， 平面，故， 又，故平面， 所以点到平面的距离即为点到直线的距离即， 故当点与重合时，所求距离有最大值， ， 又， 解得，所以点到平面的距离的最大值为. 23．（20-21高二上·天津西青·月考）如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面四边形ABCD为直角梯形，，，，，M，N分别为PC，PB中点． (1)求证：． (2)求BD与平面ANMD所成角的余弦值． (3)求点C到平面PBD的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由平面PAB，证明，结合等腰三角形中，即可证明平面ANMD，由线面垂直性质得； （2）关键在于找到BD与平面ANMD所成的角，由（1）知平面ANMD，且，所以为BD与平面ANMD所成角，进而结合边长可求其余弦值； （3）C到平面PBD的距离就是三棱锥的高，使用等体积法将转化到，即可求解. 【详解】（1）因为平面ABCD，平面ABCD，所以， 又因为，，且两直线在平面内，所以平面PAB， 因为平面PAB，所以， 因为，且N为PB中点，所以， 又因为，所以平面ANMD， 又因为平面ANMD，所以． （2）连接DN，因为平面ANMD，，所以为BD与平面ANMD所成角， 又因为且，N为PB中点，所以， 所以，即， 又因为且，所以， 所以， 所以BD与平面ANMD所成角的余弦值为． （3）由已知得，，， ， 设点C到平面PBD的距离h， 则． 由，即，解得，即点C到平面PBD的距离为． 24．（2026高三上·安徽合肥·专题练习）如图，在三棱锥中，侧面是全等的直角三角形，是公共的斜边，且，另一个侧面是正三角形，下面结论正确的是（    ） A．为等腰三角形 B． C．与底面所成角的正弦值为 D．点到平面的距离为 【答案】ABD 【分析】对于A：根据题意求出、后，利用勾股定理逆定理判断即可；对于B：设点A在底面的投影为，可知四边形是边长为1的正方形，进而可证平面，即可得结果；对于C：可知与底面所成角为，进而求解；对于D：转换顶点结合等体积法求点到面的距离即可. 【详解】对于选项A：由侧面是全等的直角三角形，且是公共的斜边， 则，则， 故，故为等腰三角形，故A正确； 对于选项B： 设点A在底面的投影为，连接， 因为平面，平面，则， 且，，平面，则平面， 且平面，所以，同理可得：， 可知四边形是边长为1的正方形，则， 又因为平面，平面，则， 且，平面，则平面， 且平面，所以，故B正确； 对于选项C：因为，， 可知与底面所成角为， 其正弦值为，故C错误； 对于选项D：设点到平面的距离为， 因为，则，解得， 所以点到平面的距离为，故D正确； 题型五 线到面的距离 25．（2026高一·全国·专题练习）已知正方体的棱长为，则直线到平面的距离为______. 【答案】1 【详解】连接交于点E， 由四边形为正方形，得，且为中点， 由⊥底面，平面，得⊥， 而，平面，则平面， 因此AE的长即为点到平面的距离， 又正方体棱长为，则， 而平面，平面，则平面， 故直线到平面的距离，即点到平面的距离. 26．（2026高一·全国·专题练习）某景区一座仿古建筑的屋顶是中国传统建筑中常见的“庑殿顶”，其顶盖几何模型如图所示，平面ABCD，底面ABCD是边长为18的正方形，侧面ABFE与CDEF是全等的等腰梯形，侧面ADE与BCF是等腰直角三角形，若，则EF到平面ABCD的距离为______. 【答案】 【详解】如图，设AD与BC的中点分别为M，N，连接EM，MN，NF， 因为侧面是等腰直角三角形，所以， 又N为中点，所以，则， 因为平面，平面侧面，平面，则， 又底面是正方形，所以，则， 因为M，N分别为AD与BC的中点，所以，故四点共面， 又平面，则平面， 因为平面，所以平面与底面垂直， 作，垂足为G，则FG的长度就是EF与MN的距离，即EF与平面ABCD的距离， 由已知，可得，所以， 则EF到平面ABCD的距离为． 27．（25-26高二上·上海·月考）如图，在梯形中，，平面，且. (1)求直线到平面的距离； (2)求点到直线的距离； (3)在线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为. 【答案】(1) (2) (3)存在 【分析】（1）将直线到平面的距离转化为点到平面的距离，由线面垂直找到距离，解直角三角形求得距离； （2）利用垂直找到距离，解直角三角形求得距离； （3）设，由线面垂直得到距离，由距离为求得的值. 【详解】（1）作于，由平面，得， ，，平面，则， 又，平面，即的长为点到平面的距离， 也即直线到平面的距离，在等腰直角三角形中，， 直线到平面的距离为； （2） 作于，则的长即为点到的距离， 在中，，，， ， 即点到直线的距离为； （3） 在线段上存在一点，满足，使点到平面的距离为. 证明如下: 假设在线段上存在一点，使点到平面的距离为， 设， 过于，在中，， 可得，，则， 由（2）知，，若存在满足题意的，则只需平面即可， ，，在中，由余弦定理可得， 若，在中， 即，解得， 即在上存在一点，当时，， 又，，平面，得， 又，，平面， 即点到平面的距离为，满足条件. 故在线段上存在一点，满足，使点到平面的距离为. 28．（24-25高二上·上海·月考）如图，已知三棱锥中，平面为中点，为中点，为中点. (1)证明:平面平面 (2)求直线到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】(1)利用面面平行的判定定理直接证明即可； (2)根据线面间的距离转化为点面距离，即可得出答案. 【详解】（1）因为为中点，为中点，为中点. 所以，平面，平面， 所以平面，同理可证平面， 因为，平面 所以平面平面 （2）平面平面， 平面平面 所以，因为平面， 所以平面，由（1）可知平面 所以为直线到平面的距离， 因为为中点，则， 直线到平面的距离为. 题型六 面到面的距离 29．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，在长方体中，，，，求： (1)点到平面的距离； (2)直线与平面的距离； (3)平面与平面的距离． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据长方体的几何结构特征，结合点面距、线面距和面面的定义和求法，即可求解. 【详解】（1）在长方体中，可得， 因为且平面，所以平面， 所以点到平面的距离为. （2）在长方体中，可得， 因为且平面，所以平面， 又因为，且平面，平面， 所以平面， 所以直线与平面的距离等于点到平面的距离， 所以直线与平面的距离为. （3）在长方体中，可得平面平面， 因为，且，平面， 所以平面， 所以平面与平面的距离等于点到平面的距离， 所以平面与平面的距离为. 30．（2025高二上·上海·专题练习）如图，直角梯形与梯形全等，其中，，且ED⊥平面，点G是CD的中点． (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由面面平行的判定定理，需证明BF、BC均平行于平面AEG即可； （2）利用等体积法，令，即可求出距离． 【详解】（1）∵，是的中点，，即， ∴四边形为平行四边形，∴， 又∵平面，平面，∴平面， ∵直角梯形与梯形全等，，， ∴四边形为平行四边形，∴， 又∵平面，平面， ∴平面，∵平面， ∴平面平面； （2）设点到平面的距离为， 平面，平面，故, 知， 由于直角梯形与梯形全等，故， 由，得， 即， ∵平面平面，∴平面与平面间的距离等于点到平面的距离， 故平面与平面间的距离为． 31．（24-25高二·上海·课堂例题）如图，已知正方体的棱长为，求：    (1)点到直线的距离； (2)点到平面的距离； (3)到平面的距离； (4)平面到平面的距离． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）证明，根据距离的定义可得为所求，解三角形求结论； （2）由点面距离定义可得为所求，由此可得结论； （3）根据直线与平面的距离的定义可得为所求，由此可得结论； （4）根据平面与平面距离定义可得为所求，由此可得结论； 【详解】（1）由正方体性质可得，平面，平面， 所以，垂足为， 所以点到直线的距离为，又 所以点到直线的距离为；    （2）由正方体性质可得平面，垂足为， 所以点到平面的距离为，又， 所以点到平面的距离为， （3）由正方体性质可得，平面平面， 又平面，所以平面， 所以到平面的距离等于点到平面的距离， 又平面，垂足为， 所以点到平面的距离为，又， 故到平面的距离为， （4）由正方体性质可得平面平面， 所以平面到平面的距离等于点到平面的距离， 因为平面，垂足为， 所以点到平面的距离为，又， 所以平面到平面距离为. 强化训练 1．（24-25高一下·四川广安·月考）在空间四边形中，，且与所成的角为分别为的中点，则与所成角的大小是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】取的中点，连接，由线线角的定义找到与、与所成角的平面角，根据已知求与所成角的大小. 【详解】如图所示，取的中点，连接， 所以且，且， 综上，或其补角为与所成的角，或其补角为与所成的角. 与所成的角为，或， 由，知，则为等腰三角形， 当时，；当时，， 故与所成角的大小为或. 故选：C 2．（24-25高一下·山东聊城·期末）已知正四棱锥的所有棱长均相等，则直线与其它经过该四棱锥的两个顶点的直线所成的角不可能为（    ） A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】A 【分析】确定直线与其它经过该四棱锥的两个顶点的直线所成的角的大小，再进行判断即可. 【详解】如图： 因为四棱锥是正四棱锥，且所有棱长均相等. 所以，故C可能成立； 在中，，，所以BD可能成立； 与其余的棱或对角线都不能成，故A不可能成立. 故选：A 3．（25-26高二上·河北·月考）在空间四边形中，，，点，分别是线段，的中点，若异面直线与所成角为，则线段的长度为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】分别取，中点，，可证为平行四边形，结合异面直线夹角的平面角可得平行四边形的各顶角，结合余弦定理可得. 【详解】 如图所示，分别取，中点，，连接，，，，， 则，，，，且，， 所以四边形为平行四边形， 又异面直线，夹角为， 或， 当时，在中由余弦定理得 ， 即； 当时，在中由余弦定理得 ， 即， 故选：D. 4．（25-26高一下·全国·课后作业）已知正三棱柱的侧棱长与底面边长相等，则与侧面所成角的正弦值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 如图，取中点，连接， 由题知，又为中点，所以. 又因为侧棱垂直于上下底面，平面，所以， 又因为，且平面，所以平面. 则为与侧面所成的角， 令各棱长为1，则． 5．（25-26高三下·浙江·开学考试）已知正三棱柱存在内切球，则直线与平面所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设正三棱柱底面的边长为a，所以内切圆的半径， 因为正三棱柱存在内切球，所以正三棱柱的高． 取中点D，连接，，易证平面，所以为所求角． 在中，，，于是， 所以． 6．（24-25高一下·河南郑州·期末）（多选）如图，在四棱锥中，面，，，，，，点E满足，则下列结论正确的是（    ）． A．平面 B．平面 C．异面直线与所成的角为 D．点Q为底面内一动点，若与底面所成的角为，则点Q的轨迹长度为 【答案】BC 【分析】A应用反证思想，假设平面，得到，再由得到矛盾；B过作，得，结合线面平行的判定即可判断；C过作，则异面直线与所成角，即为与所成角，根据已知并利用余弦定理、向量数量积的运算律等求的大小即可；D首先确定的轨迹是平面内，以为圆心，为半径的圆弧上，进而求轨迹长，即可判断. 【详解】A：若平面，平面，则，又，故， 而面，面，则， 由于直线外一点与直线垂直的直线有且仅有一条，故有矛盾，错； B：过作，，则， 又，则，且，所以， 故为平行四边形，则，平面，平面， 所以平面，对； C：过作，则异面直线与所成角，即为与所成角， 面，面，则， 由题设为平行四边形，则，故，， 由，， 而，，故， 所以， 所以，则，对； D：若与底面所成的角为，面，，则的轨迹是平面内，以为圆心，为半径的圆弧上， 由上分析易知，，且到的距离， 故的轨迹与的交点为，则，所以， 所以，故，则轨迹长度在之间， 显然不在该范围内，错. 故选：BC 7．（24-25高一下·广东东莞·期中）（多选）如图，在棱长为4的正方体中，P是线段上的动点，则下列说法正确的是（   ） A．存在点P使得平面 B．存在点P使得平面 C．若P是的中点，则到平面的距离为 D．若直线与平面所成角的正弦值为，则 【答案】BC 【分析】A.根据正方体可知，与不垂直，即可判断A，B.根据线面平行的判断定理，即可判断B，C.利用等体积转化为点到平面的距离，D.首先设，利用等面积转化，以及根据几何关系，求点到直线的距离，再根据线面角的定义，即可判断. 【详解】A.在正方体中易知，与不垂直，故A不正确； B.因为，又平面并且平面，所以平面，故B正确； C.正方体中易知，，不在平面内，在平面内，所以平面， 所以到平面的距离即为到平面的距离， 在正方体中，易知平面平面，且相交于， 所以到平面的距离即为到的距离， 又因为点P是的中点，所以点到直线的距离等于点到直线的距离， 又，，解得，故C正确； D.设（），所以， 因为平面，且平面，所以平面平面， 且平面平面，所以点和到平面的距离就是到的距离， 计算可得， 所以， 可得，所以直线与平面所成角的正弦为，所以，故D错误. 故选：BC 8．（25-26高三下·福建厦门·月考）（多选）如图，圆台的上下底面半径分别为1和2，P，Q分别为上下底面圆周上的点，为圆台的轴截面且，则（ ） A．为母线 B． C． D．平面与平面的夹角等于60° 【答案】BC 【分析】根据圆台的基本概念，线面垂直的判定定理，二面角的平面角的概念，逐一判断各选项正误，求出结果. 【详解】由母线的概念可知，不是母线，所以A错误； 如图所示，作上底面圆心，下底面圆心，线段中点，连接， 可知，因为，所以， 因为为中点，为中点，所以，， 所以四边形为平行四边形， 因为平面，所以平面，所以， 因为为中点，所以，所以B正确； 因为平面，平面，所以， 又因为，面，面，， 所以平面，所以，所以C正确； 因为四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以面， 所以平行于平面与平面的交线， 因为平面，， 所以是平面与平面的夹角的平面角， 可知，所以D不正确. 9．（2026·贵州黔东南·模拟预测）（多选）正四棱锥的外接球的球心为O，半径为R，，，过的中点E作球O的截面，则（   ） A．直线与平面所成角的正切值为 B．平面与平面夹角的余弦值是 C． D．截面的面积的最小值是 【答案】ACD 【分析】作平面，则是直线与平面所成的角，在中求解判断A；取棱的中点F，连接，，，由正四棱锥的性质易证是平面与平面的夹角或其补角，求解判断B；根据题意得，求解判断C；连接，当截面垂直于时，截面的面积最小，求出半径，判断D. 【详解】如图，作平面，则H为线段的中点， 是直线与平面所成的角. 因为，，所以，， 所以，A正确. 取棱的中点F，连接，，. 由正棱锥的性质知点H在线段上，， 则. 由正四棱锥的性质易证是平面与平面的夹角或其补角， 则平面与平面夹角的余弦值是，B错误. 因为，，所以O在正四棱锥外部，连接， 则，解得，C正确. 连接，当截面垂直于时，截面的面积最小. 因为， 所以截面的面积的最小值为，D正确. 10．（25-26高一下·全国·期末）已知二面角为，动点，分别在平面，内，到的距离为，到的距离为，则，两点之间距离的最小值为____________，此时直线与平面所成的角为____________． 【答案】 / 【分析】分别作，，连接PC，，，连接BD，再利用勾股定理得到PQ的值，放缩后并验证最小值成立的条件即可，且根据此时空间的位置关系可直接得到直线与平面所成角的大小． 【详解】如图，分别作，，连接PC，，，连接BD， 则，因为，所以， 当点与点重合时，取最小值，又此时成立， 所以、两点之间距离的最小值是， 由于此时点与点重合，且，也即，所以PQ与平面所成的角为． 故答案为：；． 11．（2026·北京平谷·一模）如图在一个五面体中，其中面为矩形，平面，且与平面的距离为5，则该五面体的体积为______． 【答案】40 【分析】将多面体补形为三棱柱，过点F作平面，过作的平行线，交于点，交于点，利用，进行计算即可. 【详解】如图，可将多面体补形为三棱柱， 过点F作平面，为垂足， 过作的平行线，交于点，交于点， 因为平面，平面， 所以平面平面， 由题知， 因为平面，平面，所以， 又，，所以，，平面， 平面，∴， 连接，因为，，所以， 所以， ∴． 12．（2026·四川绵阳·模拟预测）在直三棱柱中，为的中点，若平面与平面的交线为，则点到直线的距离为_______________． 【答案】2 【分析】先将三棱柱补成一个四棱柱，进而可得两个平面的交线，并在直棱柱计算相关线段长度，最后在平行四边形中用等面积法可得距离. 【详解】如图：将三棱柱补成四棱柱，设N为棱的中点，连接. 因为在棱柱中，M，N分别是棱的中点，所以， 所以，所以四点共面，四点共面. 所以平面与平面的交线为即为，所以点到直线的距离即点到直线. 在底面四边形中，， 所以，即. 又在直棱柱中有，所以，即. 同理，即. 所以在平行四边形中，，， 所以， 由同角三角函数关系得. 设点到直线的距离为d，根据等面积法， 即，得. 故答案为：2. 13．（2025·辽宁·模拟预测）有一个圆柱形量筒（不计厚度），底面直径为8，高为，量筒中有适量水，缓慢倾斜量筒至水恰好溢出，此时量筒的母线与水平面的夹角为.继续缓慢倾斜量筒，停止倒水时量筒的母线与水平面的夹角为，则所倒出的水的体积为_____. 【答案】 【分析】根据题意，得到纵截面示意图，结合柱体的体积公式，即可求解. 【详解】由题意得，纵截面示意图，如图所示： 其中虚线部分为过实际水面中点垂直于母线的垂线为水平时的水位线， 则，且，所以体积为. 故答案为：    14．（2025·浙江·模拟预测）已知三棱锥的侧棱两两夹角都等于，三个侧面三角形的面积分别为，满足，则三棱锥的体积是__________. 【答案】 【分析】首先根据三角形面积公式求出三条侧棱的长，然后根据三棱锥体积公式可求出三棱锥的体积. 【详解】设三棱锥的三条侧棱长分别为. 根据三角形面积公式可得： ，所以①； ，所以②； ，所以③； ①②③相乘可得④，然后用④除以每个式子可求得： . ，解得，因为， 所以根据勾股定理，所以. 同理，又，所以平面. 又，根据勾股定理可得. 在三角形中，根据余弦定理，， 所以，解得. 所以在中，，所以中底边的高为. 所以. 所以. 故答案为：. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 立体几何中夹角与距离问题 题型预览 题型一 线线角 题型二 线面角 题型三 二面角 题型四 点到面的距离 题型五 线到面的距离 题型六 面到面的距离 知识清单 空间等角定理 文字语言 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角 相等或互补 符号语言 OA∥O′A′，OB∥O′B′⇒∠AOB＝∠A′O′B′或∠AOB＋∠A′O′B′＝180° 图形语言 作用 判断或证明两个角相等或互补 【注意】如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等． 异面直线所成的角 (1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直 线a′与b′ 所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． (2)空间两条直线所成角α的取值范围是 0°≤α≤90° ． 【注意】(1)两条异面直线所成角的大小，是由这两条异面直线的相互位置决定的，与点O的位置选取无关． (2)找出两条异面直线所成的角，要作平行移动(作平行线)，把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角． 求异面直线所成角的一般步骤 (1)作：根据所成角的定义，用 平移 法作出异面直线所成的角． (2)证：证明作出的角就是要求的角，其实质是证明线线平行，并指出所作的角就是要求的角． (3)计算：求角的值，常利用解三角形得出． (4)结论：假如所构造的角的大小为α，若0°＜α≤90°，则α即为所求异面直线所成角的大小；若90°＜α＜180°，则 180°－α 即为所求． 可用“一作二证三计算四结论”来概括．同时注意异面直线所成角的范围是0°＜θ≤90°． 直线与平面所成的角 有关概念 对应图形 斜线 一条直线与一个平面 相交 ，但不与这个平面 垂直 ，这条直线叫做这个平面的斜线，如图中直线PA 斜足 斜线和平面的 交点 ，如图中点A 射影 过斜线上斜足以外的一点向平面引 垂线 ，过 垂足 和 斜足 的直线叫做斜线在这个平面上的射影，如图中斜线PA在平面α上的射影为直线AO 直线与平面所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，如图中∠PAO； 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是 90° ；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是 0° 取值范围 设直线与平面所成的角为θ，则 0°≤θ≤90° 【注意】直线与平面所成的角是这条直线与平面内任意直线所成的角中最小的角． 求直线与平面所成角的步骤 (1)作图：作(或找)出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的 垂线 ，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算． (2)证明：证明某平面角就是直线与平面所成的角． (3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的 直角三角形 中计算． 二面角的概念 1．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面． 2．画法： 3．记法：二面角α-l-β或二面角α-AB-β或二面角P-l-Q或二面角P-AB-Q． 4．二面角的平面角： (1)在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角，如图． (2)二面角的平面角α的取值范围是0°≤α≤180°．平面角是直角的二面角叫做直二面角． 【注意】1．二面角的大小与垂足O在l上的位置无关．一个二面角的平面角有无数个，它们的大小是相等的． 2．构成二面角的平面角的三要素：“棱上”“面内”“垂直”，即二面角的平面角的顶点必须在棱上，角的两边必须分别在两个半平面内，角的两边必须都与棱垂直，这三个条件缺一不可．这三个要素决定了二面角的平面角的大小的唯一性和平面角所在的平面与棱垂直． 求二面角的平面角的大小的步骤 (1)作：作出平面角，一般在交线上找一特殊点，分别在两个半平面内向交线作垂线． (2)证：证明所作的角满足定义，并指出二面角的平面角． (3)求：将作出的角放到三角形中，利用解三角形求出角的大小． (4)结论． 空间中的距离问题 1．过一点作 垂直 于已知平面的直线，则该点与 垂足 间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度 叫做这个点到该平面的距离． 2．一条直线与一个平面平行时，这条直线上 任意一点 到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离． 3．如果两个平面平行，那么其中一个平面内的 任意一点 到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离． 【注意】由直线到平面的距离与平行平面间的距离的定义知，它们都可以转化为点到平面的距离． 空间中距离的转化 (1)利用线面、面面平行转化：利用线面距离、面面距离的定义，转化为直线或平面上的另一点到平面的距离． (2)利用中点转化：如果条件中具有中点条件，将一个点到平面的距离，借助中点(等分点)，转化为另一点到平面的距离． (3)通过换底转化：一是直接换底，以方便求几何体的高；二是将底面扩展(分割)，以方便求底面积和高． 题型突破 题型一 线线角 1．（2026·陕西宝鸡·模拟预测）在正方体中，为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D．0 2．（25-26高三下·河南·月考）如图，在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，则直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·河北唐山·月考）在直三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·辽宁大连·一模）在四面体ABCD中，，，E为CD的中点，则异面直线BE与AD所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 5．（2027高三·全国·专题练习）如图所示，已知空间四边形中，与所成角为，且，，分别为，的中点，则________． 6．（24-25高一下·江西南昌·期末）（多选）如图，四面体中，，，分别为的中点.若异面直线与所成角的大小为，则的长为（    ）    A． B． C． D． 题型二 线面角 7．（2026·河北保定·二模）如图，在正三棱柱中，，D 为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 8．（2026·上海静安·二模）在代表我国古代数学成就的经典著作《九章算术》中，称如下图中的多面体为“刍（chu）甍（meng）”．若底面是边长为4的正方形，，且，和是等腰直角三角形，，则与底面所成角的正弦值为______． 9．（2026·河北沧州·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面，底面是边长为2的菱形，，点满足. (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求直线与底面所成角的正弦值. 10．（25-26高二上·上海长宁·期末）已知三棱锥中，是等边三角形，，，与平面所成角的余弦值为，则______． 11．（25-26高三上·上海宝山·期末）如图，点在圆柱的底面圆的圆周上，为圆的直径，与底面圆所成的角为，则异面直线与所成角的余弦值为___________．    12．（25-26高三上·北京通州·期中）如图，某坡屋顶可视为一个五面体，底面为矩形，．若m，m，m，且与平面所成角的正弦值均为，则该五面体的体积为__________m3． 题型三 二面角 13．（24-25高一下·河南信阳·月考）在中，，，，点为中点，连接，将沿折起，使点到达点的位置，且平面平面，则二面角的余弦值为____________ ． 14．（2026·重庆渝中·二模）如图所示，二面角为，是边长为2的正三角形，若是三棱锥外接球的直径，则（   ） A． B． C． D． 15．（湖北随州市2026届高三下学期考前模拟数学试题）在三棱锥中，平面平面，，. (1)证明：平面. (2)若，，求二面角的余弦值. 16．（四川内江市2026届高三适应性训练数学试题）如图，和都垂直于平面，且，是的中点. (1)求证：平面； (2)若是边长为2的等边三角形，求平面与平面所成夹角的余弦值. 17．（25-26高二下·江苏苏州·期中）（多选）如图，在四面体中，二面角的大小为，且，，则（   ） A．无论为何值， B．当与平面所成角为时， C．当时，二面角大于 D．当时，二面角的正切值为 18．（2025高三·全国·专题练习）如图，在四边形中，，，对角线，是线段上除端点外任一点，将沿翻折成，使二面角的大小为，设异面直线和所成的角为，则的最小值是______． 题型四 点到面的距离 19．（25-26高一下·北京朝阳·期中）如图，棱长为4的正方体中，点C到平面的距离为________． 20．（25-26高三下·湖南·月考）已知三棱锥的四个顶点在球O的表面上，，，，点 P 在底面的射影在直线上，则当球O的体积最小时，点 P 到底面距离的最大值为（   ） A． B．1 C． D． 21．（2026·河北邢台·二模）如图，在棱长为2的正方体中，，分别是，的中点，平面经过直线且平行于直线，则点到平面的距离为______. 22．（2026·广东湛江·二模）已知长方体中，，，是的中点，点在线段上运动（含端点），则点到平面的距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 23．（20-21高二上·天津西青·月考）如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面四边形ABCD为直角梯形，，，，，M，N分别为PC，PB中点． (1)求证：． (2)求BD与平面ANMD所成角的余弦值． (3)求点C到平面PBD的距离． 24．（2026高三上·安徽合肥·专题练习）如图，在三棱锥中，侧面是全等的直角三角形，是公共的斜边，且，另一个侧面是正三角形，下面结论正确的是（    ） A．为等腰三角形 B． C．与底面所成角的正弦值为 D．点到平面的距离为 题型五 线到面的距离 25．（2026高一·全国·专题练习）已知正方体的棱长为，则直线到平面的距离为______. 26．（2026高一·全国·专题练习）某景区一座仿古建筑的屋顶是中国传统建筑中常见的“庑殿顶”，其顶盖几何模型如图所示，平面ABCD，底面ABCD是边长为18的正方形，侧面ABFE与CDEF是全等的等腰梯形，侧面ADE与BCF是等腰直角三角形，若，则EF到平面ABCD的距离为______. 27．（25-26高二上·上海·月考）如图，在梯形中，，平面，且. (1)求直线到平面的距离； (2)求点到直线的距离； (3)在线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为. 28．（24-25高二上·上海·月考）如图，已知三棱锥中，平面为中点，为中点，为中点. (1)证明:平面平面 (2)求直线到平面的距离. 题型六 面到面的距离 29．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，在长方体中，，，，求： (1)点到平面的距离； (2)直线与平面的距离； (3)平面与平面的距离． 30．（2025高二上·上海·专题练习）如图，直角梯形与梯形全等，其中，，且ED⊥平面，点G是CD的中点． (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面的距离． 31．（24-25高二·上海·课堂例题）如图，已知正方体的棱长为，求：    (1)点到直线的距离； (2)点到平面的距离； (3)到平面的距离； (4)平面到平面的距离． 强化训练 1．（24-25高一下·四川广安·月考）在空间四边形中，，且与所成的角为分别为的中点，则与所成角的大小是（    ） A． B． C．或 D． 2．（24-25高一下·山东聊城·期末）已知正四棱锥的所有棱长均相等，则直线与其它经过该四棱锥的两个顶点的直线所成的角不可能为（    ） A．30° B．45° C．60° D．90° 3．（25-26高二上·河北·月考）在空间四边形中，，，点，分别是线段，的中点，若异面直线与所成角为，则线段的长度为（    ） A． B． C． D．或 4．（25-26高一下·全国·课后作业）已知正三棱柱的侧棱长与底面边长相等，则与侧面所成角的正弦值等于（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高三下·浙江·开学考试）已知正三棱柱存在内切球，则直线与平面所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·河南郑州·期末）（多选）如图，在四棱锥中，面，，，，，，点E满足，则下列结论正确的是（    ）． A．平面 B．平面 C．异面直线与所成的角为 D．点Q为底面内一动点，若与底面所成的角为，则点Q的轨迹长度为 7．（24-25高一下·广东东莞·期中）（多选）如图，在棱长为4的正方体中，P是线段上的动点，则下列说法正确的是（   ） A．存在点P使得平面 B．存在点P使得平面 C．若P是的中点，则到平面的距离为 D．若直线与平面所成角的正弦值为，则 8．（25-26高三下·福建厦门·月考）（多选）如图，圆台的上下底面半径分别为1和2，P，Q分别为上下底面圆周上的点，为圆台的轴截面且，则（ ） A．为母线 B． C． D．平面与平面的夹角等于60° 9．（2026·贵州黔东南·模拟预测）（多选）正四棱锥的外接球的球心为O，半径为R，，，过的中点E作球O的截面，则（   ） A．直线与平面所成角的正切值为 B．平面与平面夹角的余弦值是 C． D．截面的面积的最小值是 10．（25-26高一下·全国·期末）已知二面角为，动点，分别在平面，内，到的距离为，到的距离为，则，两点之间距离的最小值为____________，此时直线与平面所成的角为____________． 11．（2026·北京平谷·一模）如图在一个五面体中，其中面为矩形，平面，且与平面的距离为5，则该五面体的体积为______． 12．（2026·四川绵阳·模拟预测）在直三棱柱中，为的中点，若平面与平面的交线为，则点到直线的距离为_______________． 13．（2025·辽宁·模拟预测）有一个圆柱形量筒（不计厚度），底面直径为8，高为，量筒中有适量水，缓慢倾斜量筒至水恰好溢出，此时量筒的母线与水平面的夹角为.继续缓慢倾斜量筒，停止倒水时量筒的母线与水平面的夹角为，则所倒出的水的体积为_____. 14．（2025·浙江·模拟预测）已知三棱锥的侧棱两两夹角都等于，三个侧面三角形的面积分别为，满足，则三棱锥的体积是__________. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $