数学（江苏镇江卷）学易金卷：2026年中考考前预测卷

2026年中考考前预测卷 数学·参考答案 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A D B C A C D C A D 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11． 12．2m（2m+3） 13．1 14．5 15． 16．或 三、解答题（本大题共10个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（5分） 【解析】解： (2分) (4分) ＝0．(5分) 18．（5分） 【解析】解：原方程去分母可得： （x+2）﹣3x＝0， (2分) 2﹣2x＝0， ﹣2x＝﹣2， x＝1， (4分) 经检验，原方程的解为x＝1．(5分) 19．（6分） 【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC，∠A＝∠C， ∵AE＝CF， ∴△ABE≌△CBF（SAS）；(3分) （2）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC，AB＝CD＝BC＝4， ∵AE＝CF＝3， ∴DF＝CD﹣CF＝1， ∵AD∥BC， ∴△DGF∽△CBF，(5分) ∴， ∴， ∴．(6分) 20．（6分） 【解析】解：（1）∵一只不透明的袋子中装有标号分别为﹣1，1，2，3的4个小球，这些小球除标号外其它都相同， ∴从中任意摸出一个小球，该小球标号为负数的概率为，(2分) 故答案为：； （2）画树状图如下： (4分) 共有12种等可能的结果，其中摸到的两个小球标号之和为正数的结果有10种，(5分) ∴摸到的两个小球标号之和为正数的概率为．(6分) 21．（8分） 【解析】解：（1）5÷5%＝100，(1分) ，(2分) 故答案为：100，90； （2）C组人数：100﹣20﹣25﹣30﹣5＝20（人）， 补全条形统计图为： (4分) （3）若该校九年级共有600名学生，请计算该校九年级学生中睡眠时间在8小时以上（含8小时）的学生为： （人），(6分) 答：该校九年级学生中睡眠时间在8小时以上（含8小时）的学生约有210人． 22．（6分） 【解析】解：（1）如图：作CK⊥BF，垂足为K， ∵DG⊥AK，CK⊥AK， ∴CK∥DG， 又∵CD⊥KG， ∴四边形CKGD为矩形，(1分) ∴CK＝DG＝66（m）， ∴，(2分) ∴， ∴，，(3分) ∴CD＝KG＝BG﹣BK＝187.5（m）；(4分) （2）方案一造价：10×（BC+CD）＝10×（440+187.5）＝6275（万元）， 方案二造价：10×1.1×BD＝10×1.1×660＝7260（万元），(5分) ∵6275＜7260， ∴方案一的造价更便宜．(6分) 23．（6分） 【解析】解：（1）点A（1，3）在这个函数的图象上， 理由：把x＝1代入y得y＝3， 故点A（1，3）在这个函数的图象上；(1分) （2）设P（a，b）， ∵点P在该函数图象上， ∴ab＝3， ①将线段OP沿着x轴翻折得到线段OM， ∴M（a，﹣b），(2分) 设经过点M的双曲线的表达式为y， ∴m＝﹣ab＝﹣3， ∴经过点M的双曲线的表达式为y；(3分) ②∵将线段OP绕点O逆时针旋转90°得到线段ON， ∴∠PON＝90°，ON＝OP， ∴∠NOE+∠POE＝∠POE+∠POF＝90°， ∴∠NOE＝∠POF，(4分) 过P作PF⊥x轴于F，过N作NE⊥y轴于E， ∴∠NEO＝∠OFP＝90°， ∴△NOE≌△POF（AAS），(5分) ∴NE＝PF＝b，OE＝OF＝a， ∴N（﹣b，a）， 设经过点N的双曲线的表达式为y， ∴n＝﹣ab＝﹣3， ∴经过点N的双曲线的表达式为y．(6分) 24．（10分） 【解析】（1）证明：△ABC内接于⊙O，AB是直径，切线PC切⊙O于C，交BA的延长线于点P，连接OC， 由题意可得：∠FCO＝90°， ∵OF∥BC， ∴∠B＝∠AOF，∠OCB＝∠COF，(2分) ∵OB＝OC， ∴∠B＝∠OCB， ∴∠COF＝∠AOF，(3分) ∵OC＝OA，OF＝OF， ∴△COF≌△∠AOF（SAS），(4分) ∴∠FAO＝∠FCO＝90°， ∴AF是⊙O的切线；(5分) （2）解：由（1）知，∠COF＝∠AOF＝∠B， ∵∠B＝30°， ∴∠AOC＝∠COF+∠AOF＝2∠B＝60°，(6分) ∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°，(7分) ∴AB＝2AC＝16， ∴OC＝OA＝8，(8分) 在Rt△PCO中，， ∴阴影部分的面积．(10分) 25．（10分） 【解析】解：（1）由题意，∵抛物线y＝ax2﹣4ax+3的图象过（1，0）， ∴0＝a﹣4a+3， ∴a＝1． ∴y＝x2﹣4x+3；(2分) （2）由题意得，y＝ax2﹣4ax+3＝ax（x﹣4）+3， ∴令x（x﹣4）＝0，即x＝0或x＝4时，则y＝3， ∴抛物线过点（0，3）和（4，3）．(3分) 又∵y＝ax2﹣4ax+3＝a（x﹣2）2﹣4a+3 ∴对称轴为直线x＝2，顶点为（2，﹣4a+3） ∵抛物线与线段MN有且只有一个公共点， ∴可分两种情形分析． ①当a＞0时，抛物线开口向上， 当抛物线的顶点在线段MN上时，符合条件， 则﹣4a+3＝1解得；(4分) 当抛物线过点N时，MN与抛物线有两个交点， ∴根据函数的对称性，只要x＝3时，y＜1，即符合条件，如图所示， 当x＝3时，y＝9a﹣12a+3＜1，解得；(5分) ②当a＜0时，抛物线开口向下， 当抛物线经过点N（3，1）时，1＝a×32﹣4a×3+3 解得 ∴当时，抛物线在x＝3处的函数值小于1，在x＝﹣1处的函数值大于1， ∴当抛物线与线段MN有且只有一个公共点时，；(5分) 当a＜0，抛物线开口向下， 根据函数的对称性，只要x＝﹣1时，y≤1，即符合条件，如图所示， 当x＝﹣1时，y＝a+4a+3≤1，解得； 综上，或或；(6分) （3）∵直线y＝kx+3﹣4a与抛物线交于点A，B两点， 设， ∴联立得，， 整理得，ax2﹣（4a+k）x+4a＝0， ∴，，(7分) ∵抛物线顶点C（2，﹣4a+3），直线CA的解析式为y1＝k1x+b1， ∴， ∴， ∴k1＝a（x1﹣2）， 同理可得，k2＝a（x2﹣2），(8分) ∴k1+k2＝a（x1﹣2）+a（x2﹣2） ＝a（x1+x2）﹣4a ＝k； ∴k1•k2＝a（x1﹣2）•a（x2﹣2） ＝a2（x1﹣2）（x2﹣2） ＝a2[x1x2﹣2（x1+x2）+4] ＝﹣2ak，(9分) ∴ ∴k1k2＝﹣2a（k1+k2）．(10分) 26．（12分） 【解析】（1）解：如图，作∠BDE＝∠C，与AB交于点E，点E即为所求． (2分) （2）证明：如图，过点D作DE∥AC交AB于点E，过点D′作D′E∥A′C′交A′B′于点E′． ∵DE∥AC，D′E′∥A′C′， ∴∠CAD＝∠ADE，∠C′A′D′＝∠A′D′E′，(3分) ∵∠CAD＝∠C′A′D′， ∴∠ADE＝∠A′D′E， 又∵∠BAD＝∠B′A′D′， ∴△ADE∽△A′D′E′，(4分) ∴， ∵， ∴， ∵DE∥AC，D′E∥A′C′， ∴，， ∴， 即，(5分) ∵DE∥AC，D′E′∥A′C′， ∴△BDE∽△BCA，△B′D′E′∽△B′C′A′， ∴，， ∴， 即， ∴，(6分) 又∵∠BAD＝∠B′A′D′，∠CAD＝∠C′A′D′， ∴∠BAD+∠CAD＝∠B'A'D'+∠C'A'D'， 即∠BAC＝∠B'A'C'， ∴△ABC∽△A'B'C'．(7分) （3）解：①如图，△A′B′C′即为所求； 作法：第1步：作直线l分别交l1，l2，l3于点M，N，P； 第2步：过点A作一条射线l′，在l′上截取AE＝MN，EF＝PN； 第3步：连接CF，过点E作 EQ∥FC交AC于点Q，连接BQ； 第4步：在l2任取一点B′，作∠D′B′A′＝∠QBA交l1于点A′； 第5步：作∠D′B′C′＝∠QBC交l3于点C′，则△A′B′C即为求．(9分) ②如①右图，延长A′B′交l3于点Q，则∠C′B′Q＝60°， ∵l2∥l3， ∴△A′D′B′∽△A′C′Q， ∴， ∴B′D′C′Q， ∴求出C′Qmin即可求得B′D′min， 当△B′C′Q为等边三角形时，C′Q取得最小值，(10分) 过点B′作B′H⊥C′Q于点H， ∵l2，l3之间的距离为4， ∴B′H＝4， ∴C′Qmin， ∴B′D′min，(12分) 故答案为：． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $2026年中考考前预测卷 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 口 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 口 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×]【1【/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1[AJ[B][C][D] 5[A][B][C][D] 9[AJ[BJ[C][D] 2[AJ[BJ[C][D] 6[A]IB][C][D] 10.[AJ[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7AJIBIIC]ID] 4[AJ[B]IC][D] 8.[A][B1[CI[D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 12 13 1 15 16. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 三、（本大题共10个小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.(5分) 18.(5分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(6分) ED G F 20.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(6分) 平均每天睡眠时长条形统计图 平均每天睡眠时长扇形统计图 学生人数 B 2 A D E5% 50 A BCD E组别 22.(6分) C D E A G 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(6分) y ◇ 0 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(10分) E B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26.(10分) A B D C B D B D ① ② B 1 ③ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2026年中考考前预测卷 数学·全解全析 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．计算﹣7+2的结果是（　　） A．﹣5 B．﹣9 C．5 D．9 【答案】A 【分析】根据有理数的加法，即可解答． 【解析】解：﹣7+2＝﹣5， 故选：A． 2．下列计算正确的是（　　） A．a4•a2＝a8 B．a4+a2＝a6 C．（2a3）4＝8a7 D．a4÷a3＝a 【答案】D 【分析】根据同底数幂的运算法则，对所给选项依次进行判断即可． 【解析】解：由题知， 因为a4•a2＝a4+2＝a6≠a8， 所以A选项不符合题意； 因为a4与a2不是同类项，不能合并， 所以B选项不符合题意； 因为（2a3）4＝24•（a3）4＝16a12≠8a7， 所以C选项不符合题意； 因为a4÷a3＝a4﹣3＝a， 所以D选项符合题意． 故选：D． 3．（新情境）周口店北京人遗址位于北京市房山区，是中国首批列入《世界遗产名录》的世界文化遗产，为研究东亚地区人类起源与演化提供了不可替代的珍贵实物证据．考古研究证实，“北京人”在该遗址生活的年代最早距今约700000年，最晚距今约200000年．则“北京人”在周口店遗址生活的时间跨度用科学记数法表示约为（　　） A．7×105年 B．5×105年 C．2×105年 D．0.5×106年 【答案】B 【分析】科学记数法是把一个数用a×10n（1≤|a|＜10，n为整数）的形式表示，据此表示8871.58万，根据选项作相应的四舍五入即可． 【解析】解：700000﹣200000＝500000＝5×105． 故选：B． 4．一组数据11，12，13，13，15，16，17的中位数和众数分别为（　　） A．15，13 B．13，14 C．13，13 D．14，13 【答案】C 【分析】依据中位数和众数的定义可得答案． 【解析】解：数据13出现了2次，最多，位于中间位置的数是13， 所以这组数据的中位数为13，众数为13， 故选：C． 5．（文化背景）《孙子算经》中记载了一道有趣的题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．问：木长几何？”大意是：现在有一根木头，不知道有多长，用一段绳子去测量，拉直后绳子还多四尺五寸；将绳子对折后去量木头，木头还剩一尺，问木头多长？（一尺等于十寸），设木头长x尺，绳子长y尺，根据题意可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意两侧二元一次方程组即可． 【解析】解：根据题意可列方程组为． 故选：A． 6．如图，直线AB、CD被直线EF所截，AB∥CD，若∠1＝50°，则∠2的度数为（　　） A．140° B．130° C．50° D．40° 【答案】C 【分析】由两直线平行，同位角相等可得∠3＝∠1＝50°，再根据对顶角相等求解即可． 【解析】解：∵AB∥CD，∠1＝50°， ∴∠3＝∠1＝50°（两直线平行，同位角相等）， ∴∠2＝∠3＝50°（对顶角相等）， 故选：C． 7．如图所示几何体的主视图是图中的（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】主视图是从物体的正面看得到的视图．找到从正面所得到的图形即可． 【解析】解：几何体的主视图是． 故选：D． 8．如图，要测量湘江两岸相对的两点P，A的距离，可以在河边取PA的垂线PB上的一点C，测得PC＝200米，∠PCA＝40°，则河宽PA为（　　） A．200sin40°米 B．200cos40°米 C．200tan40°米 D．200tan50°米 【答案】C 【分析】根据正切函数可求河宽PA的长度． 【解析】解：根据题意可知PA⊥PB， ∴∠APC＝90°， 由题意可得： ∴PA＝200tan∠PCA＝200tan40°（米）． 故选：C． 9．如图，线段AB的两端点分别在x轴正半轴和y轴负半轴上，且△ABO的面积为6，若双曲线恰好经过线段AB的中点M，则k的值为（　　） A．﹣3 B．﹣4 C．﹣5 D．﹣6 【答案】A 【分析】设点A（a，0）（a＞0），B（0，b）（b＜0），从而得到线段AB的中点，根据点M在双曲线上得到，再结合△ABO的面积为6求出ab的值即可得解． 【解析】解：由条件可设点A（a，0）（a＞0），B（0，b）（b＜0）， 则线段AB的中点， ∵双曲线恰好经过点M， ∴， ∵△ABO的面积为6， ∴，即， ∴ab＝﹣12， ∴，A选项符合题意． 故选：A． 10．如图，矩形ABCD的边CD在直线l上，已知AB＝4，BC＝3，若矩形ABCD每次都以右下角的顶点为中心在直线l上顺时针旋转90°．如第1次旋转以C为中心，旋转后点D、A、B分别旋转到点D1、A1、B1位置；如第2次旋转以B1为中心，旋转后点C、D1、A1分别旋转到点C2、D2、A2位置；以此类推，则第2026次旋转后点D运动的总路程为（　　） A．3038π B． C．3040π D． 【答案】D 【分析】根据所给旋转方式，依次求出每次旋转时点D运动的路程，发现规律即可解决问题． 【解析】解：如图所示， 第1次旋转后点D运动的路程为， 因为矩形的对角线长为， 则第2次旋转后点D运动的路程为， 第3次旋转后点D运动的路程为， 第4次旋转后点D运动的路程为0． 由所给翻转方式可知，每四次旋转，点D运动的路程长度循环． 因为2026÷4＝506余2， 则506×（）， 即第2026次旋转后点D运动的总路程为． 故选：D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11．如图，三角形飞镖盘是由16个全等的等边三角形构成，假设飞镖击中飞盘的每一处是等可能的，任意投掷飞镖一次（击中阴影部分边界或没有击中飞镖盘，则重投掷一次），飞镖击中阴影部分的概率是　　 ． 【答案】． 【分析】利用概率公式即可得出结论． 【解析】解：由题意知，飞镖击中阴影部分的概率是， 故答案为：． 12．因式分解：4m2+6m＝　2m（2m+3）　 ． 【答案】2m（2m+3）． 【分析】根据提取公因式法分解因式即可． 【解析】解：4m2+6m＝2m（2m+3）． 故答案为：2m（2m+3）． 13．若关于x的一元二次方程x2+ax+a＝0有两个相等的实数根，其中a为实数，则a2+1﹣4a＝　1　 ． 【答案】1． 【分析】根据方程有两个相等的实数根可得根的判别式为0，由此得到a2﹣4a的值，整体代入所求代数式计算即可． 【解析】解：由关于x的一元二次方程x2+ax+a＝0有两个相等的实数根， 则Δ＝a2﹣4×1×a＝0，即a2﹣4a＝0， 故原式＝a2+1﹣4a＝0+1＝1． 故答案为：1． 14．妈妈的生日前夕，芳芳用一张圆心角为150°，半径为12cm的扇形卡纸制作一个圆锥形的生日帽，则这个圆锥的底面半径为　5　 cm． 【答案】5． 【分析】圆锥侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，先计算扇形弧长，再利用圆的周长公式求解底面半径． 【解析】解：设圆锥的底面半径为rcm， 根据弧长公式，可得扇形弧长为：， 根据题意得，2πr＝10π， 解得r＝5， 则这个圆锥的底面半径为5cm， 故答案为：5． 15．如图，AB＝AC，∠A＝40°，BC＝6，∠ABD＝20°，则AD＝　　 ． 【答案】． 【分析】过点A作AE⊥BC交BC于点E，交BD于点F，过点A作AK⊥BD交BD延长线于点K，由等腰三角形的性质得∠BAF＝∠ABD＝20°，易证得AF＝BF，再证明△BFE≌△AFK（AAS），得AK＝BE，进而证明∠DAK＝30°，则AD＝2DK，然后由勾股定理求出DK的长度，即可解决问题． 【解析】解：如图，过点A作AE⊥BC交BC于点E，交BD于点F，过点A作AK⊥BD交BD延长线于点K， ∵AB＝AC，AE⊥BC，∠A＝40°，BC＝4， ∴AE平分∠BAC，且E为BC中点， ∴，BE＝EC＝2， ∴∠BAF＝∠ABD＝20°． ∴AF＝BF， ∵∠FEB＝∠FKA＝90°，∠BFE＝∠AFK， ∴△BFE≌△AFK（AAS）， ∴AK＝BE＝2， ∵∠ADK＝∠ABD+∠BAD＝60°， ∴∠DAK＝30°， ∴AD＝2DK， 由勾股定理得：AK2+DK2＝AD2， 即22+DK2＝（2DK）2， 解得：DK， ∴AD， 故答案为：． 16．已知二次函数y＝ax2+2ax+a2+2（a≠0），若a＝2，当t﹣1≤x≤t（t＞0）时，8≤y≤n，当x＝x0时，总有y≥n，则实数x0的取值范围是　或　 ． 【答案】或． 【分析】根据题意，确定二次函数图象的开口，对称轴直线，根据自变量取值范围得到对应函数值的取值范围，，即对应点的坐标为，根据y≥n，函数图象的对称性即可求解． 【解析】解：由题意，∵a＝2， ∴二次函数为y＝2x2+4x+6＝2（x+1）2+4， ∴函数图象开口向上，对称轴且直线为线x＝﹣1， ∵t＞0， ∴t﹣1＞﹣1， ∴当x在t﹣1≤x≤t范围时，y随x的增大而增大；当x＝t﹣1时，得：y＝2（t﹣1+1）2+4＝2t2+4；当x＝t时，得：y＝2（t+1）2+4＝2t2+4t+6， ∵当t﹣1≤x≤t（t＞0）时，8≤y≤n， ∴当y＝8时，得：2t2+4＝8， ∴（负值舍去）， ∴， ∵当x＝x0时，总有y≥n；当x≥t时，y随x的增大而增大， ∴x0≥t，即， ∵点关于对称轴线x＝﹣1的对称点为， ∴当时，y≥n， 综上所述，实数x0的取值范围为或． 故答案为：或． 三、解答题（本大题共10个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（5分）计算：． 【答案】0． 【分析】根据零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，化简绝对值，算术平方根进行计算即可求解． 【解析】解： (2分) (4分) ＝0．(5分) 18．（5分）解分式方程：． 【答案】x＝1． 【分析】根据解分式方程的步骤解答即可． 【解析】解：原方程去分母可得： （x+2）﹣3x＝0， (2分) 2﹣2x＝0， ﹣2x＝﹣2， x＝1， (4分) 经检验，原方程的解为x＝1．(5分) 19．（6分）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AD、CD上，且AE＝CF．连接BE、BF，延长BF交AD的延长线于点G． （1）求证：△ABE≌△CBF； （2）若AB＝4，AE＝3，求DG的长． 【答案】（1）见解析； （2）． 【分析】（1）根据菱形的性质，结合SAS证明即可； （2）先证明△DGF∽△CBF，进而即可求解． 【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC，∠A＝∠C， ∵AE＝CF， ∴△ABE≌△CBF（SAS）；(3分) （2）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC，AB＝CD＝BC＝4， ∵AE＝CF＝3， ∴DF＝CD﹣CF＝1， ∵AD∥BC， ∴△DGF∽△CBF，(5分) ∴， ∴， ∴．(6分) 20．（6分）一只不透明的袋子中装有标号分别为﹣1，1，2，3的4个小球，这些小球除标号外其它都相同． （1）将小球搅匀，从中任意摸出一个小球，该小球标号为负数的概率为　　 ； （2）将小球搅匀，从中任意摸出一个小球，记录标号后不放回，再从袋中任意摸出一个小球，记录标号，求摸到的两个小球标号之和为正数的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中摸到的两个小球标号之和为正数的结果有10种，再由概率公式求解即可． 【解析】解：（1）∵一只不透明的袋子中装有标号分别为﹣1，1，2，3的4个小球，这些小球除标号外其它都相同， ∴从中任意摸出一个小球，该小球标号为负数的概率为，(2分) 故答案为：； （2）画树状图如下： (4分) 共有12种等可能的结果，其中摸到的两个小球标号之和为正数的结果有10种，(5分) ∴摸到的两个小球标号之和为正数的概率为．(6分) 21．（6分）双减政策实施后，某校为了解九年级学生每天的睡眠时间的情况，随机抽取了九年级部分学生进行调查．将调查数据分成五组：A组（x＜6小时），B组（6≤x＜7小时），C组（7≤x＜8小时），D组（8≤x＜9小时），E组（x≥9小时）．整理后制成如下两幅不完整的统计图： 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次共调查了　100　 名学生，B组所对的扇形圆心角的度数为　90　 °； （2）请补全条形统计图； （3）若该校九年级共有600名学生，请计算该校九年级学生中睡眠时间在8小时以上（含8小时）的学生约有多少人？ 【答案】（1）100，90； （2）见解析； （3）210人． 【分析】（1）由E组的人数除以占比求解调查的学生数，再由360°乘以B组的占比求解圆心角度数； （2）用总人数减去A、B、D、E组的人数求出C组的人数，即可补全条形统计图； （3）用样本估计总体的方法求解即可． 【解析】解：（1）5÷5%＝100，(1分) ，(2分) 故答案为：100，90； （2）C组人数：100﹣20﹣25﹣30﹣5＝20（人）， 补全条形统计图为： (4分) （3）若该校九年级共有600名学生，请计算该校九年级学生中睡眠时间在8小时以上（含8小时）的学生为： （人），(6分) 答：该校九年级学生中睡眠时间在8小时以上（含8小时）的学生约有210人． 22．（6分）中国高铁是“中国速度”的闪亮名片，其基础造价为每米10万元．为保障列车运行安全，高铁线路的拐角设计通常控制在10°以内，某高铁线路需避开山体，在B点处规划两处绕行方案：方案一：设计9°的拐角，即∠CBF＝9°，在C点处再设计一个拐角使得路线恢复方向，即CE∥BF；方案二：设计6°的拐角，即∠DBF＝6°，在D点处再设计一个拐角使得路线与方案一的路线重合，但这样路线BD会经过一片沙地（即BD为沙地），使每米的造价比基础造价增加10%． （1）若DE与BF的距离DG为66米，求线段BD、BC、CD的长． （2）在（1）的条件下，方案一和方案二哪一个造价更便宜？并说明理由．（参考数据：sin6°≈0.10，tan6°≈0.11，sin9°≈0.15，tan9°≈0.16） 【答案】（1）BC＝440m，BD＝660m，CD＝187.5m； （2）方案一的造价更便宜，方案一造价：10×（BC+CD）＝10×（440+187.5）＝6275（万元）， 方案二造价：10×1.1×BD＝10×1.1×660＝7260（万元）， ∵6275＜7260， ∴方案一的造价更便宜． 【分析】（1）作CK⊥BF，垂足为K，由已知可得CKGD为矩形，则CK＝DG＝66（m），解直角三角形分别求出BC、BD、BK、BG，再根据CD＝KG＝BG﹣BK，即可得解； （2）分别求出方案一和方案二的造价，再比较即可得出结论． 【解析】解：（1）如图：作CK⊥BF，垂足为K， ∵DG⊥AK，CK⊥AK， ∴CK∥DG， 又∵CD⊥KG， ∴四边形CKGD为矩形，(1分) ∴CK＝DG＝66（m）， ∴，(2分) ∴， ∴，，(3分) ∴CD＝KG＝BG﹣BK＝187.5（m）；(4分) （2）方案一造价：10×（BC+CD）＝10×（440+187.5）＝6275（万元）， 方案二造价：10×1.1×BD＝10×1.1×660＝7260（万元），(5分) ∵6275＜7260， ∴方案一的造价更便宜．(6分) 23．（6分）如图，双曲线y（x＞0）． （1）点A（1，3）在这个函数的图象上吗？请说明理由； （2）点P在该函数图象上，连结OP． ①若将线段OP沿着x轴翻折得到线段OM，求经过点M的双曲线的表达式； ②若将线段OP绕点O逆时针旋转90°得到线段ON，求经过点N的双曲线的表达式． 【分析】（1）把x＝1代入y，y的值是否为3即可； （2）设P（a，b），可得ab＝3．①根据M和P关于x轴对称求出M点的坐标，即可得到经过点M的双曲线的表达式； ②过P，N分别作PM⊥x轴，EN⊥x轴，利用AAS得到两三角形全等，由全等三角形对应边相等及反比例函数k的几何意义确定出所求即可． 【解析】解：（1）点A（1，3）在这个函数的图象上， 理由：把x＝1代入y得y＝3， 故点A（1，3）在这个函数的图象上；(1分) （2）设P（a，b）， ∵点P在该函数图象上， ∴ab＝3， ①将线段OP沿着x轴翻折得到线段OM， ∴M（a，﹣b），(2分) 设经过点M的双曲线的表达式为y， ∴m＝﹣ab＝﹣3， ∴经过点M的双曲线的表达式为y；(3分) ②∵将线段OP绕点O逆时针旋转90°得到线段ON， ∴∠PON＝90°，ON＝OP， ∴∠NOE+∠POE＝∠POE+∠POF＝90°， ∴∠NOE＝∠POF，(4分) 过P作PF⊥x轴于F，过N作NE⊥y轴于E， ∴∠NEO＝∠OFP＝90°， ∴△NOE≌△POF（AAS），(5分) ∴NE＝PF＝b，OE＝OF＝a， ∴N（﹣b，a）， 设经过点N的双曲线的表达式为y， ∴n＝﹣ab＝﹣3， ∴经过点N的双曲线的表达式为y．(6分) 24．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，切线PC切⊙O于C，交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于点E，交PC于点F． （1）求证：AF是⊙O的切线； （2）若AC＝8，∠B＝30°，求阴影部分的面积． 【分析】（1）连接OC，先根据切线的性质得到∠FCO＝90°，再证明△COF≌△∠AOF，可得∠FAO＝∠FCO＝90°，即可根据切线的判定证明结论； （2）先求出∠AOC＝60°，OA＝8，，再根据S△PCO﹣S扇形OAC计算，即可得到答案． 【解析】（1）证明：△ABC内接于⊙O，AB是直径，切线PC切⊙O于C，交BA的延长线于点P，连接OC， 由题意可得：∠FCO＝90°， ∵OF∥BC， ∴∠B＝∠AOF，∠OCB＝∠COF，(2分) ∵OB＝OC， ∴∠B＝∠OCB， ∴∠COF＝∠AOF，(3分) ∵OC＝OA，OF＝OF， ∴△COF≌△∠AOF（SAS），(4分) ∴∠FAO＝∠FCO＝90°， ∴AF是⊙O的切线；(5分) （2）解：由（1）知，∠COF＝∠AOF＝∠B， ∵∠B＝30°， ∴∠AOC＝∠COF+∠AOF＝2∠B＝60°，(6分) ∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°，(7分) ∴AB＝2AC＝16， ∴OC＝OA＝8，(8分) 在Rt△PCO中，， ∴阴影部分的面积．(10分) 25．（10分）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2﹣4ax+3（a≠0）． （1）当点（1，0）在该抛物线上时，求抛物线的解析式； （2）已知点M（﹣1，1），点N（3，1），若抛物线与线段MN有且只有一个公共点时，求a的取值范围； （3）若直线y＝kx+3﹣4a与抛物线交于点A，B两点，点C是抛物线的顶点，设直线CA，CB的解析式分别为y1＝k1x+b1与y2＝k2x+b2，求k1，k2之间的数量关系．（用只含a的代数式表示） 【答案】（1）y＝x2﹣4x+3； （2）或或； （3）k1k2＝﹣2a（k1+k2）． 【分析】（1）将（1，0）代入y＝ax2﹣4ax+3（a≠0）求解； （2）首先求出抛物线经过点（0，3）和（4，3），对称轴为直线x＝2，顶点为（2，﹣4a+3），然后分两种情况讨论求解即可； （3）设，，将直线y＝kx+3﹣4a和抛物线联立得到ax2﹣（4a+k）x+4a＝0，利用韦达定理得到，，然后将C（2，﹣4a+3）和代入直线y1＝k1x+b1得到k1＝a（x1﹣2），同理可得，k2＝a（x2﹣2），然后表示出k1+k2和k1•k2，进而求解即可． 【解析】解：（1）由题意，∵抛物线y＝ax2﹣4ax+3的图象过（1，0）， ∴0＝a﹣4a+3， ∴a＝1． ∴y＝x2﹣4x+3；(2分) （2）由题意得，y＝ax2﹣4ax+3＝ax（x﹣4）+3， ∴令x（x﹣4）＝0，即x＝0或x＝4时，则y＝3， ∴抛物线过点（0，3）和（4，3）．(3分) 又∵y＝ax2﹣4ax+3＝a（x﹣2）2﹣4a+3 ∴对称轴为直线x＝2，顶点为（2，﹣4a+3） ∵抛物线与线段MN有且只有一个公共点， ∴可分两种情形分析． ①当a＞0时，抛物线开口向上， 当抛物线的顶点在线段MN上时，符合条件， 则﹣4a+3＝1解得；(4分) 当抛物线过点N时，MN与抛物线有两个交点， ∴根据函数的对称性，只要x＝3时，y＜1，即符合条件，如图所示， 当x＝3时，y＝9a﹣12a+3＜1，解得；(5分) ②当a＜0时，抛物线开口向下， 当抛物线经过点N（3，1）时，1＝a×32﹣4a×3+3 解得 ∴当时，抛物线在x＝3处的函数值小于1，在x＝﹣1处的函数值大于1， ∴当抛物线与线段MN有且只有一个公共点时，；(5分) 当a＜0，抛物线开口向下， 根据函数的对称性，只要x＝﹣1时，y≤1，即符合条件，如图所示， 当x＝﹣1时，y＝a+4a+3≤1，解得； 综上，或或；(6分) （3）∵直线y＝kx+3﹣4a与抛物线交于点A，B两点， 设， ∴联立得，， 整理得，ax2﹣（4a+k）x+4a＝0， ∴，，(7分) ∵抛物线顶点C（2，﹣4a+3），直线CA的解析式为y1＝k1x+b1， ∴， ∴， ∴k1＝a（x1﹣2）， 同理可得，k2＝a（x2﹣2），(8分) ∴k1+k2＝a（x1﹣2）+a（x2﹣2） ＝a（x1+x2）﹣4a ＝k； ∴k1•k2＝a（x1﹣2）•a（x2﹣2） ＝a2（x1﹣2）（x2﹣2） ＝a2[x1x2﹣2（x1+x2）+4] ＝﹣2ak，(9分) ∴ ∴k1k2＝﹣2a（k1+k2）．(10分) 26．（12分）平行线是研究三角形相似的基本工具． 【初步尝试】 （1）如图①，在△ABC中，点D在BC边上，，在AB边上求作点E，使．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要文字说明．） 【深入研究】 （2）如图②，在△ABC和△A′B′C′中，D，D′分别边BC，B′C′上一点，∠BAD＝∠B'A'D'，∠CAD＝∠C′A′D′，，求证△ABC∽△A′B′C′． 【应用拓展】 （3）如图③，已知△ABC，直线l1∥l2∥l3． ①在图③中，求作△A′B′C′，使点A′，B′，C′分别在l1，l2，l3上，且△A′B′C′∽△ABC．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要文字说明．） ②设在①中所作的△A'B'C'的边A'C'与l2交于点D′，发现随着△ABC形状的变化，B′D′的长度也随之变化．若∠ABC＝120°，l1，l2之间的距离为2，l2，l3之间的距离为4，则B′D′的最小值是 　　 ． 【分析】（1）作∠BDE＝∠C，与AB交于点E，点E即为所求； （2）过点D作DE∥AC交AB于点E，过点D′作D′E∥A′C′交A′B′于点E′，证明△ADE∽△A′D′E′，△BDE∽△BCA，△B′D′E′∽△B′C′A′，列出对应的比例式，得到，根据角的等量代换得到∠BAC＝∠B'A'C'，即可得证； （3）①作直线l分别交l1，l2，l3于点M，N，P；过点A作一条射线l′，在l′上截取AE＝MN，EF＝PN；连接CF，过点E作 EQ∥FC交AC于点Q，连接BQ；在l2任取一点B′，作∠D′B′A′＝∠QBA交l1于点A′；作∠D′B′C′＝∠QBC交l3于点C′，则△A′B′C即为求． ②延长A′B′交l3于点Q，则∠C′B′Q＝60°，根据题意得到△A′D′B′∽△A′C′Q，进而B′D′C′Q，则求出C′Qmin即可求得B′D′min，当△B′C′Q为等边三角形时，C′Q取得最小值，过点B′作B′H⊥C′Q于点H，解三角形即可解答． 【解析】（1）解：如图，作∠BDE＝∠C，与AB交于点E，点E即为所求． (2分) （2）证明：如图，过点D作DE∥AC交AB于点E，过点D′作D′E∥A′C′交A′B′于点E′． ∵DE∥AC，D′E′∥A′C′， ∴∠CAD＝∠ADE，∠C′A′D′＝∠A′D′E′，(3分) ∵∠CAD＝∠C′A′D′， ∴∠ADE＝∠A′D′E， 又∵∠BAD＝∠B′A′D′， ∴△ADE∽△A′D′E′，(4分) ∴， ∵， ∴， ∵DE∥AC，D′E∥A′C′， ∴，， ∴， 即，(5分) ∵DE∥AC，D′E′∥A′C′， ∴△BDE∽△BCA，△B′D′E′∽△B′C′A′， ∴，， ∴， 即， ∴，(6分) 又∵∠BAD＝∠B′A′D′，∠CAD＝∠C′A′D′， ∴∠BAD+∠CAD＝∠B'A'D'+∠C'A'D'， 即∠BAC＝∠B'A'C'， ∴△ABC∽△A'B'C'．(7分) （3）解：①如图，△A′B′C′即为所求； 作法：第1步：作直线l分别交l1，l2，l3于点M，N，P； 第2步：过点A作一条射线l′，在l′上截取AE＝MN，EF＝PN； 第3步：连接CF，过点E作 EQ∥FC交AC于点Q，连接BQ； 第4步：在l2任取一点B′，作∠D′B′A′＝∠QBA交l1于点A′； 第5步：作∠D′B′C′＝∠QBC交l3于点C′，则△A′B′C即为求．(9分) ②如①右图，延长A′B′交l3于点Q，则∠C′B′Q＝60°， ∵l2∥l3， ∴△A′D′B′∽△A′C′Q， ∴， ∴B′D′C′Q， ∴求出C′Qmin即可求得B′D′min， 当△B′C′Q为等边三角形时，C′Q取得最小值，(10分) 过点B′作B′H⊥C′Q于点H， ∵l2，l3之间的距离为4， ∴B′H＝4， ∴C′Qmin， ∴B′D′min，(12分) 故答案为：． / 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年中考考前预测卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．计算﹣7+2的结果是（　　） A．﹣5 B．﹣9 C．5 D．9 2．下列计算正确的是（　　） A．a4•a2＝a8 B．a4+a2＝a6 C．（2a3）4＝8a7 D．a4÷a3＝a 3．（新情境）周口店北京人遗址位于北京市房山区，是中国首批列入《世界遗产名录》的世界文化遗产，为研究东亚地区人类起源与演化提供了不可替代的珍贵实物证据．考古研究证实，“北京人”在该遗址生活的年代最早距今约700000年，最晚距今约200000年．则“北京人”在周口店遗址生活的时间跨度用科学记数法表示约为（　　） A．7×105年 B．5×105年 C．2×105年 D．0.5×106年 4．一组数据11，12，13，13，15，16，17的中位数和众数分别为（　　） A．15，13 B．13，14 C．13，13 D．14，13 5．（文化背景）《孙子算经》中记载了一道有趣的题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．问：木长几何？”大意是：现在有一根木头，不知道有多长，用一段绳子去测量，拉直后绳子还多四尺五寸；将绳子对折后去量木头，木头还剩一尺，问木头多长？（一尺等于十寸），设木头长x尺，绳子长y尺，根据题意可列方程组为（　　） A． B． C． D． 6．如图，直线AB、CD被直线EF所截，AB∥CD，若∠1＝50°，则∠2的度数为（　　） A．140° B．130° C．50° D．40° 7．如图所示几何体的主视图是图中的（　　） A． B． C． D． 8．如图，要测量湘江两岸相对的两点P，A的距离，可以在河边取PA的垂线PB上的一点C，测得PC＝200米，∠PCA＝40°，则河宽PA为（　　） A．200sin40°米 B．200cos40°米 C．200tan40°米 D．200tan50°米 9．如图，线段AB的两端点分别在x轴正半轴和y轴负半轴上，且△ABO的面积为6，若双曲线恰好经过线段AB的中点M，则k的值为（　　） A．﹣3 B．﹣4 C．﹣5 D．﹣6 10．如图，矩形ABCD的边CD在直线l上，已知AB＝4，BC＝3，若矩形ABCD每次都以右下角的顶点为中心在直线l上顺时针旋转90°．如第1次旋转以C为中心，旋转后点D、A、B分别旋转到点D1、A1、B1位置；如第2次旋转以B1为中心，旋转后点C、D1、A1分别旋转到点C2、D2、A2位置；以此类推，则第2026次旋转后点D运动的总路程为（　　） A．3038π B． C．3040π D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11．如图，三角形飞镖盘是由16个全等的等边三角形构成，假设飞镖击中飞盘的每一处是等可能的，任意投掷飞镖一次（击中阴影部分边界或没有击中飞镖盘，则重投掷一次），飞镖击中阴影部分的概率是　　 ． 12．因式分解：4m2+6m＝　　 ． 13．若关于x的一元二次方程x2+ax+a＝0有两个相等的实数根，其中a为实数，则a2+1﹣4a＝　 　 ． 14．妈妈的生日前夕，芳芳用一张圆心角为150°，半径为12cm的扇形卡纸制作一个圆锥形的生日帽，则这个圆锥的底面半径为　 　 cm． 15．如图，AB＝AC，∠A＝40°，BC＝6，∠ABD＝20°，则AD＝　　 ． 16．已知二次函数y＝ax2+2ax+a2+2（a≠0），若a＝2，当t﹣1≤x≤t（t＞0）时，8≤y≤n，当x＝x0时，总有y≥n，则实数x0的取值范围是　　 ． 三、解答题（本大题共10个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（5分）计算：． 18．（5分）解分式方程：． 19．（6分）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AD、CD上，且AE＝CF．连接BE、BF，延长BF交AD的延长线于点G． （1）求证：△ABE≌△CBF； （2）若AB＝4，AE＝3，求DG的长． 20．（6分）一只不透明的袋子中装有标号分别为﹣1，1，2，3的4个小球，这些小球除标号外其它都相同． （1）将小球搅匀，从中任意摸出一个小球，该小球标号为负数的概率为　　 ； （2）将小球搅匀，从中任意摸出一个小球，记录标号后不放回，再从袋中任意摸出一个小球，记录标号，求摸到的两个小球标号之和为正数的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 21．（6分）双减政策实施后，某校为了解九年级学生每天的睡眠时间的情况，随机抽取了九年级部分学生进行调查．将调查数据分成五组：A组（x＜6小时），B组（6≤x＜7小时），C组（7≤x＜8小时），D组（8≤x＜9小时），E组（x≥9小时）．整理后制成如下两幅不完整的统计图： 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次共调查了　 　 名学生，B组所对的扇形圆心角的度数为　 　 °； （2）请补全条形统计图； （3）若该校九年级共有600名学生，请计算该校九年级学生中睡眠时间在8小时以上（含8小时）的学生约有多少人？ 22．（6分）中国高铁是“中国速度”的闪亮名片，其基础造价为每米10万元．为保障列车运行安全，高铁线路的拐角设计通常控制在10°以内，某高铁线路需避开山体，在B点处规划两处绕行方案：方案一：设计9°的拐角，即∠CBF＝9°，在C点处再设计一个拐角使得路线恢复方向，即CE∥BF；方案二：设计6°的拐角，即∠DBF＝6°，在D点处再设计一个拐角使得路线与方案一的路线重合，但这样路线BD会经过一片沙地（即BD为沙地），使每米的造价比基础造价增加10%． （1）若DE与BF的距离DG为66米，求线段BD、BC、CD的长． （2）在（1）的条件下，方案一和方案二哪一个造价更便宜？并说明理由．（参考数据：sin6°≈0.10，tan6°≈0.11，sin9°≈0.15，tan9°≈0.16） 23．（6分）如图，双曲线y（x＞0）． （1）点A（1，3）在这个函数的图象上吗？请说明理由； （2）点P在该函数图象上，连结OP． ①若将线段OP沿着x轴翻折得到线段OM，求经过点M的双曲线的表达式； ②若将线段OP绕点O逆时针旋转90°得到线段ON，求经过点N的双曲线的表达式． 24．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，切线PC切⊙O于C，交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于点E，交PC于点F． （1）求证：AF是⊙O的切线； （2）若AC＝8，∠B＝30°，求阴影部分的面积． 25．（10分）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2﹣4ax+3（a≠0）． （1）当点（1，0）在该抛物线上时，求抛物线的解析式； （2）已知点M（﹣1，1），点N（3，1），若抛物线与线段MN有且只有一个公共点时，求a的取值范围； （3）若直线y＝kx+3﹣4a与抛物线交于点A，B两点，点C是抛物线的顶点，设直线CA，CB的解析式分别为y1＝k1x+b1与y2＝k2x+b2，求k1，k2之间的数量关系．（用只含a的代数式表示） 26．（12分）平行线是研究三角形相似的基本工具． 【初步尝试】 （1）如图①，在△ABC中，点D在BC边上，，在AB边上求作点E，使．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要文字说明．） 【深入研究】 （2）如图②，在△ABC和△A′B′C′中，D，D′分别边BC，B′C′上一点，∠BAD＝∠B'A'D'，∠CAD＝∠C′A′D′，，求证△ABC∽△A′B′C′． 【应用拓展】 （3）如图③，已知△ABC，直线l1∥l2∥l3． ①在图③中，求作△A′B′C′，使点A′，B′，C′分别在l1，l2，l3上，且△A′B′C′∽△ABC．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要文字说明．） ②设在①中所作的△A'B'C'的边A'C'与l2交于点D′，发现随着△ABC形状的变化，B′D′的长度也随之变化．若∠ABC＝120°，l1，l2之间的距离为2，l2，l3之间的距离为4，则B′D′的最小值是　 ． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考考前预测卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．计算﹣7+2的结果是（　　） A．﹣5 B．﹣9 C．5 D．9 2．下列计算正确的是（　　） A．a4•a2＝a8 B．a4+a2＝a6 C．（2a3）4＝8a7 D．a4÷a3＝a 3．（新情境）周口店北京人遗址位于北京市房山区，是中国首批列入《世界遗产名录》的世界文化遗产，为研究东亚地区人类起源与演化提供了不可替代的珍贵实物证据．考古研究证实，“北京人”在该遗址生活的年代最早距今约700000年，最晚距今约200000年．则“北京人”在周口店遗址生活的时间跨度用科学记数法表示约为（　　） A．7×105年 B．5×105年 C．2×105年 D．0.5×106年 4．一组数据11，12，13，13，15，16，17的中位数和众数分别为（　　） A．15，13 B．13，14 C．13，13 D．14，13 5．（文化背景）《孙子算经》中记载了一道有趣的题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．问：木长几何？”大意是：现在有一根木头，不知道有多长，用一段绳子去测量，拉直后绳子还多四尺五寸；将绳子对折后去量木头，木头还剩一尺，问木头多长？（一尺等于十寸），设木头长x尺，绳子长y尺，根据题意可列方程组为（　　） A． B． C． D． 6．如图，直线AB、CD被直线EF所截，AB∥CD，若∠1＝50°，则∠2的度数为（　　） A．140° B．130° C．50° D．40° 7．如图所示几何体的主视图是图中的（　　） A． B． C． D． 8．如图，要测量湘江两岸相对的两点P，A的距离，可以在河边取PA的垂线PB上的一点C，测得PC＝200米，∠PCA＝40°，则河宽PA为（　　） A．200sin40°米 B．200cos40°米 C．200tan40°米 D．200tan50°米 9．如图，线段AB的两端点分别在x轴正半轴和y轴负半轴上，且△ABO的面积为6，若双曲线恰好经过线段AB的中点M，则k的值为（　　） A．﹣3 B．﹣4 C．﹣5 D．﹣6 10．如图，矩形ABCD的边CD在直线l上，已知AB＝4，BC＝3，若矩形ABCD每次都以右下角的顶点为中心在直线l上顺时针旋转90°．如第1次旋转以C为中心，旋转后点D、A、B分别旋转到点D1、A1、B1位置；如第2次旋转以B1为中心，旋转后点C、D1、A1分别旋转到点C2、D2、A2位置；以此类推，则第2026次旋转后点D运动的总路程为（　　） A．3038π B． C．3040π D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11．如图，三角形飞镖盘是由16个全等的等边三角形构成，假设飞镖击中飞盘的每一处是等可能的，任意投掷飞镖一次（击中阴影部分边界或没有击中飞镖盘，则重投掷一次），飞镖击中阴影部分的概率是　　 ． 12．因式分解：4m2+6m＝　　 ． 13．若关于x的一元二次方程x2+ax+a＝0有两个相等的实数根，其中a为实数，则a2+1﹣4a＝　 　 ． 14．妈妈的生日前夕，芳芳用一张圆心角为150°，半径为12cm的扇形卡纸制作一个圆锥形的生日帽，则这个圆锥的底面半径为　 　 cm． 15．如图，AB＝AC，∠A＝40°，BC＝6，∠ABD＝20°，则AD＝　　 ． 16．已知二次函数y＝ax2+2ax+a2+2（a≠0），若a＝2，当t﹣1≤x≤t（t＞0）时，8≤y≤n，当x＝x0时，总有y≥n，则实数x0的取值范围是　　 ． 三、解答题（本大题共10个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（5分）计算：． 18．（5分）解分式方程：． 19．（6分）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AD、CD上，且AE＝CF．连接BE、BF，延长BF交AD的延长线于点G． （1）求证：△ABE≌△CBF； （2）若AB＝4，AE＝3，求DG的长． 20．（6分）一只不透明的袋子中装有标号分别为﹣1，1，2，3的4个小球，这些小球除标号外其它都相同． （1）将小球搅匀，从中任意摸出一个小球，该小球标号为负数的概率为　　 ； （2）将小球搅匀，从中任意摸出一个小球，记录标号后不放回，再从袋中任意摸出一个小球，记录标号，求摸到的两个小球标号之和为正数的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 21．（6分）双减政策实施后，某校为了解九年级学生每天的睡眠时间的情况，随机抽取了九年级部分学生进行调查．将调查数据分成五组：A组（x＜6小时），B组（6≤x＜7小时），C组（7≤x＜8小时），D组（8≤x＜9小时），E组（x≥9小时）．整理后制成如下两幅不完整的统计图： 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次共调查了　 　 名学生，B组所对的扇形圆心角的度数为　 　 °； （2）请补全条形统计图； （3）若该校九年级共有600名学生，请计算该校九年级学生中睡眠时间在8小时以上（含8小时）的学生约有多少人？ 22．（6分）中国高铁是“中国速度”的闪亮名片，其基础造价为每米10万元．为保障列车运行安全，高铁线路的拐角设计通常控制在10°以内，某高铁线路需避开山体，在B点处规划两处绕行方案：方案一：设计9°的拐角，即∠CBF＝9°，在C点处再设计一个拐角使得路线恢复方向，即CE∥BF；方案二：设计6°的拐角，即∠DBF＝6°，在D点处再设计一个拐角使得路线与方案一的路线重合，但这样路线BD会经过一片沙地（即BD为沙地），使每米的造价比基础造价增加10%． （1）若DE与BF的距离DG为66米，求线段BD、BC、CD的长． （2）在（1）的条件下，方案一和方案二哪一个造价更便宜？并说明理由．（参考数据：sin6°≈0.10，tan6°≈0.11，sin9°≈0.15，tan9°≈0.16） 23．（6分）如图，双曲线y（x＞0）． （1）点A（1，3）在这个函数的图象上吗？请说明理由； （2）点P在该函数图象上，连结OP． ①若将线段OP沿着x轴翻折得到线段OM，求经过点M的双曲线的表达式； ②若将线段OP绕点O逆时针旋转90°得到线段ON，求经过点N的双曲线的表达式． 24．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，切线PC切⊙O于C，交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于点E，交PC于点F． （1）求证：AF是⊙O的切线； （2）若AC＝8，∠B＝30°，求阴影部分的面积． 25．（10分）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2﹣4ax+3（a≠0）． （1）当点（1，0）在该抛物线上时，求抛物线的解析式； （2）已知点M（﹣1，1），点N（3，1），若抛物线与线段MN有且只有一个公共点时，求a的取值范围； （3）若直线y＝kx+3﹣4a与抛物线交于点A，B两点，点C是抛物线的顶点，设直线CA，CB的解析式分别为y1＝k1x+b1与y2＝k2x+b2，求k1，k2之间的数量关系．（用只含a的代数式表示） 26．（12分）平行线是研究三角形相似的基本工具． 【初步尝试】 （1）如图①，在△ABC中，点D在BC边上，，在AB边上求作点E，使．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要文字说明．） 【深入研究】 （2）如图②，在△ABC和△A′B′C′中，D，D′分别边BC，B′C′上一点，∠BAD＝∠B'A'D'，∠CAD＝∠C′A′D′，，求证△ABC∽△A′B′C′． 【应用拓展】 （3）如图③，已知△ABC，直线l1∥l2∥l3． ①在图③中，求作△A′B′C′，使点A′，B′，C′分别在l1，l2，l3上，且△A′B′C′∽△ABC．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要文字说明．） ②设在①中所作的△A'B'C'的边A'C'与l2交于点D′，发现随着△ABC形状的变化，B′D′的长度也随之变化．若∠ABC＝120°，l1，l2之间的距离为2，l2，l3之间的距离为4，则B′D′的最小值是 　 　 ． / 学科网（北京）股份有限公司 $2026年中考考前预测卷 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 ==▣===-====。。=-。====-。一=▣。■ 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×][1【/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1[A][B][C][D] 5.[A][B][C][D1 9.[A1[B][CI1[D1 2.[A][B][C][D] 6.[A][BJ[C1[D1 10.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7.A][B1[CI[D1 4.A][B1[CI[D] 8.[A][B[C][DJ 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共18分） 12. 13 15」 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共10个小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.(5分) 18.(5分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(6分) A ED G B 20.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(6分) 平均每天睡眠时长条形统计图 平均每天睡眠时长扇形统计图 学生人数 名 B A 20 15 0 E5% 1 5 A B C D E组别 22.(6分) C D E A B G F 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(6分) y本 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(10分) C B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26.(10分) A B D B D B D ① ② B 11 A C 13 ③ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！