专题08 三角函数与解直角三角形及其应用（3大考点，42题）（浙江专用）2026年中考数学一模分类汇编

专题08 三角函数与解直角三角形及其应用（3大考点，42题） 3大考点概览 考点01求正弦、余弦、正切的值 考点02解直角三角形 考点03解直角三角形的应用 求正弦、余弦、正切的值 考点1 一、单选题 1．（2026·浙江金华·一模）如图，在由大小相同的小正方形组成的的网格中，其顶点均在该网格的格点上．若，则顶点C的位置可以在点（    ）处． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设小正方形边长为，根据正切的定义，结合方格特点计算判断即可． 【详解】解：设小正方形边长为， 由图知，顶点C的位置在点处时，， 顶点C的位置在点处时，， 顶点C的位置在点处时，， 顶点C的位置在点处时，， 顶点C的位置可以在点处． 2．（2026·浙江丽水·一模）如图，在中，是斜边上的中线，已知，，则的值是（    ）．    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的性质、锐角三角函数定义的应用，解此题的关键是求出的长．根据直角三角形斜边上中线性质求出，根据锐角三角函数的定义得出，代入求出即可． 【详解】解：∵在中，是斜边上的中线，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 3．（2026·浙江台州·一模）如图，在中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（　　） A．c＝bsinB B．b＝csinB C．a＝btanB D．b＝ctanB 【答案】B 【分析】根据三角函数的定义进行判断，即可解决问题． 【详解】∵中，，、、所对的边分别为a、b、c ∴，即，则A选项不成立，B选项成立 ，即，则C、D选项均不成立 故选：B． 【点睛】本题考查了三角函数的定义，熟记定义是解题关键． 4．（2026·浙江温州·一模）如图，在△ABC中，AB=AC，BC=12，E为AC边的中点，线段BE的垂直平分线交边BC于点D．设BD=x，tan∠ACB=y，则(    ) A．x–y2=3 B．2x–y2=9 C．3x–y2=15 D．4x–y2=21 【答案】B 【分析】过A作AQ⊥BC于Q，过E作EM⊥BC于M，连接DE，根据线段垂直平分线求出DE=BD=x，根据等腰三角形求出BQ=CQ=6，求出CM=DM=3，解直角三角形求出EM=3y，AQ=6y，在Rt△DEM中，根据勾股定理即可得. 【详解】过A作AQ⊥BC于Q，过E作EM⊥BC于M，连接DE， ∵BE的垂直平分线交BC于D，BD=x， ∴BD=DE=x， ∵AB=AC，BC=12，tan∠ACB=y， ∴=y，BQ=CQ=6， ∴AQ=6y， ∵AQ⊥BC，EM⊥BC， ∴AQ∥EM， ∵E为AC中点， ∴CM=QM=CQ=3， ∴EM=3y， ∴DM=12-3-x=9-x， 在Rt△EDM中，由勾股定理得：x2=（3y）2+（9-x）2， 即2x-y2=9， 故选B． 二、填空题 5．（2026·浙江台州·一模）如图，在平行四边形中，过点作于点，连接．若，，则的值为______． 【答案】 【分析】过作于点，则，由四边形是平行四边形，得，，证明，所以，，然后代入即可求解． 【详解】解：如图，过作于点，则， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 6．（2026·浙江杭州·一模）如图，在菱形中，与交于点，，，则的值为___________． 【答案】 【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出、的长，在中，根据正切的定义求解即可． 【详解】解：四边形是菱形， 、、， ， ，， 、， 在中，． 7．（2026·浙江丽水·一模）如图，在矩形中，点E在边上，与关于直线对称，点B的对称点F在边上，G为中点，连结分别与交于M，N两点，若，，则的长为________，的值为__________． 【答案】 2 【分析】由与关于直线对称，矩形证明再证明 可得 再求解 即可得的长； 先证明 可得： 设 则 再列方程，求解 即可得到答案． 【详解】解： 与关于直线对称，矩形 矩形 为的中点， 如图， 四边形都是矩形， 设 则 解得： 经检验：是原方程的根，但不合题意，舍去， 故答案为： 【点睛】本题考查的是矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，分式方程的解法，掌握以上知识是解题的关键． 8．（2026·浙江嘉兴·一模）如图，已知在中，，，，则的值为___． 【答案】 【分析】先根据勾股定理得出，再求解即可． 【详解】∵在中，，，， ∴根据勾股定理，得， ∴根据余弦函数定义，得． 故答案为：． 【点睛】本题考查角的余弦，掌握余弦的定义是解题的关键． 三、解答题 9．（2025·浙江温州·一模）在中，，，是边上的中线，，是的高线． (1)求的值． (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解直角三角形，求余弦值，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先解直角三角形求出，然后勾股定理求出，然后根据余弦的定义求解即可； （2）首先解直角三角形求出，进而求解即可． 【详解】（1）∵，，， ∴． ∵是边上的中线， ∴，． 在中，， ∴； （2）∵是的高线， ∴在中，． ∴． 10．（2026·浙江金华·一模）某学习小组同学学习了九年级上册《4.2由平行线截得的比例线段》，提出了另一种通过构造矩形来等分线段的方法： ①以为边构造矩形，连结、交点为O； ②过O作于点，连结交于点； ③过作于点，连结交于点； ④过作于点，连结交于点； …… 则点、、即为线段的等分点； (1)求证：； (2)已知， ①求的正弦值； ②按上述方法继续画图得到点，若，则n的值为_____________． 【答案】(1)见解析 (2)①，② 【分析】（1）利用矩形性质证明，利用相似三角形性质推出，再证明，最后利用相似三角形性质分析求解，即可解题； （2）①先证明，推出，类比（1）同理证得，设，则，结合勾股定理推出，记到的距离为，利用等面积法求出，再根据正弦定义求解，即可解题； ②类比（1）同理证得，利用矩形性质推出，根据得到，再整理求解，即可解题． 解题的关键是根据相似三角形的性质和判定推理得到与的数量关系． 【详解】（1）证明：四边形为矩形，， ， ， ， ， ， ， 同理可证，， ， ， ； （2）解：①，， ， ，， ， ， ， ， 类比（1）同理可证， ， 设，则， ， ，， 记到的距离为， 则， 即， 解得， ； ②类比（1）同理证得， 四边形为矩形，， ， ， ， ， ， 解得． 11．（2026·浙江杭州·一模）如图，在中，连接，分别以点A，C为圆心，大于的相同长度为半径作弧，弧交于点M，N，连接分别交于点E、F、O，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若F为中点，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)48 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到，，，，再证明，继而得到四边相等，即可求证； （2）先求得，利用正弦函数的定义得到，再利用勾股定理求得，然后利用平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ，，，． 四边形为平行四边形， ， ，， ， ， ， 四边形为菱形； （2）解：∵F为中点， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴设，则， ∵， ∴， 解得（负值已舍去）， ∴， ∴的面积． 12．（2026·浙江舟山·一模）如图，在中，，点是边上的一点，过点作交延长线于点，连接，若，． (1)求证：； (2)求． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由，则，然后通过“”证明， （）由，则，又，则，通过勾股定理，所以，由线段和差得出，然后通过即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， （2）解：由（）得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 13（2026·浙江绍兴·一模）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3．求AC的长和sinA的值． 【答案】AC=4，sinA= 【分析】根据勾股定理求出AC，根据正弦的定义计算，得到答案． 【详解】解：∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝3， ∴． ． 【点睛】本题考查的是勾股定理、锐角三角函数的定义，掌握正弦的定义是解题的关键． 解直角三角形 考点2 一、单选题 14．（2026·浙江杭州·一模）图1为实时通讯的视频机器人，图2为其侧面示意图．机器人上半身与底座垂直，为屏幕支撑架，且．已知，当时，则支撑架到的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长交于点H，，利用锐角三角函数求出的长，再根据可知D到的距离为，从而得出答案． 【详解】解：如图，延长交于点H， 由已知， ， 在中，、， ， 、， 支撑架到的距离为． 15．（2026·浙江金华·一模）已知某仓储中心有一个斜坡，B，C在同一水平地面上，，其横截面如图．现有一个侧面图为正方形的正方体货柜，其中米，该货柜沿斜坡向下时，若点D的最大高度限制（即点D离所在水平面的高度的最大值）为米，则的长度应不超过（    ）米． A．6 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正方形的性质以及已知条件得到，再根据三角形内角和定理得到，根据余弦和正切的定义求出，然后根据线段的和差求出，再解直角三角形求出，最后求得即可． 【详解】解：正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 16．（2026·浙江温州·一模）如图，已知内接于，，交于点D，过点D作，垂足为H．若．则的长度为（    ） A． B．15 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，勾股定理，解直角三角形的相关运算，设，运用圆周角定理得，利用勾股定理表示出，故，同理得，结合圆周角性质和三角函数建立方程求解，即可作答． 【详解】解：设， ， ，， ， ， 由图可知共线且在上， 为直径， ， 在中，， 在中，， ① ， 在和中， ， 即 ② 将②代入①得：， 解得， 即， ∵弧弧 作于， ， 在中，， 在中， ， 即 ， ， ， ， 解得 ． 17．（2026·浙江杭州·一模）勾股定理的证明方法丰富多样，其中我国古代数学家赵爽利用“弦图”的证明简明、直观，是世界公认最巧妙的方法．“赵爽弦图”已成为我国古代数学成就的一个重要标志，千百年来备受人们的喜爱．小亮在如图所示的“赵爽弦图”中，连接并延长，交于点N，交于点M．若点M是的中点，则与的面积比为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长交于点，先求出，然后证明，再证明，则，最后证明，即可等量代换求解． 【详解】解：延长交于点， 由“赵爽弦图”可得，四边形为正方形， ∴，，，，， ∵点M是的中点， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 18．（2026·浙江杭州·一模）如图，正方形中，E为对角线上一点，连接，过点E作交的延长线于F，交于M，若，且，则线段的长为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】首先，添加辅助线，然后，证得四边形是矩形，四边形是正方形，再由，，，得，接着，证得，得，，最后，证得是的中位线，得，即． 【详解】解：如图，过点作于点，于点，于点， ∵四边形是正方形，E为对角线上一点， ∴，， ∵，，， ∴，，，即， ∴四边形是矩形，四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴． 【点睛】添加辅助线证得四边形是矩形，四边形是正方形，由，得到，再证得，得，是解决问题的关键． 19．（2026·浙江·一模）如图1，在中，D是边的中点．点E在斜边上，从点A出发，运动到点C时停止，设为，为．如图2，关于的函数图象与轴交于点，且经过和最高点两点．下列选项正确的是（   ） A． B． C． D．y的最小值为64 【答案】B 【分析】本题考查了动点问题、勾股定理、二次函数、解直角三角形，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 结合图象可求出的长，过点作交于点，由图2知，点为最高点，当点和点重合时，最大，根据三角函数和勾股定理可求出和，进而判断选项B和选项C；用的值可判断选项A；当，即点和点重合时，有最小值，进而判断选项D． 【详解】解：由图2可知，当时，，即， ∴， ∵D是边的中点， ∴； ∵， 即，，， 此时，， 如图，过点作交于点，则有为等腰三角形， ∴，； 由图2知，点为最高点， ∵当点和点重合时，最大， ∴，， ∴， ∴， 整理得， 解得或（负值舍去），故选项C错误； ∴，， ∴，，故选项B正确； ∴，故选项A错误； 由上图可知，当，即点和点重合时，有最小值，即最小， 此时， ∴， ∴的最小值为，故选项D错误． 故选：B ． 20．（2026·浙江宁波·一模）如图，中，，，垂足为点D，，，则的长为（    ）． A．7 B．8 C．9 D．12 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形，根据同角的余角相等，得到，进而得到，进而得到，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴； 故选C． 二、填空题 21．（2026·浙江杭州·一模）如图，为半圆的直径，弦，点在上，连接，．若，，则的值为___________． 【答案】 【分析】过点P作于点 H，连接，过点作于点，设半圆 O 的半径为 R，则圆心 O 到弦 CD 的距离为 h，易证明四边形是矩形，进而得到，由垂径定理得到、，根据勾股定理得到的长，在中，，在中，，进而得到关于的等式，利用、求解即可． 【详解】解：过点P作于点 H，连接，过点作于点，设半圆 O 的半径为 R，则圆心 O 到弦 CD 的距离为 h， 、， ， 四边形是矩形， ，，， 是半径的一部分， ， 在中，由勾股定理得：， ， 在中，， ， 在中，， 在中，， ， 即， 解得， ， ， ， 、， ． 22．（2026·浙江舟山·一模）如图，标号为①，②，③，④的四个直角三角形和标号为⑤的正方形恰好拼成对角互补的四边形，相邻图形之间互不重叠也无缝隙，①和②分别是等腰和等腰，③和④分别是和，⑤是正方形，直角顶点E，F，G，H分别在边上． （1）若，，则的长是_________ ． （2）若，则的值是_______． 【答案】 3 【分析】（1）首先得到，然后结合求出，进而求解即可； （2）由已知条件可以证明，从而得到，设，，，用x和k的式子表示出，再利用列方程，解出x，从而求出的值． 【详解】解：（1）∵和都是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴； （2）设， ∵， ∴可设，， ∵四边形是正方形， ∴， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ， ∵四边形对角互补， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 整理得：， 解得，（舍去）， ∴． 23．（2026·浙江宁波·一模）如图，点E在菱形的边上，将沿折叠，使点D的对应点F恰好落在边上．若，则的值是________． 【答案】 【分析】由菱形的性质可得，，， 由折叠的性质可得，，，从而得出，结合等边对等角得出，作，交的延长线于，在的延长线上取一点，使得，连接，则垂直平分，即可得出，证明，得出，由题意可得，设，则，，求出，即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，，， 由折叠的性质可得：，，， ∴， ∴， ∴， ∴如图，作，交的延长线于，在的延长线上取一点，使得，连接， ， 则垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了折叠的性质、菱形的性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 24．（2026·浙江杭州·一模）如图，在中，的平分线交边于点D，边上的高与交于点F，已知，，，则的长为________． 【答案】 【分析】首先根据高的定义得到，结合证明是等腰直角三角形，从而求出的长；然后在中，利用求出的长；最后根据角平分线定义得到，在中利用三角函数求出的长． 【详解】解：∵是高， ∴． ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵在中，， ∴， ∵平分， ∴， ∴在中，． 25．（2026·浙江金华·一模）如图，某活动小组利用无人机航拍校园，已知无人机的飞行速度为，从A处沿水平方向飞行至B处需，同时在地面C处分别测得A处的仰角为，B处的仰角为．则这架无人机的飞行高度大约是_______（，结果保留整数） 【答案】20 【分析】过点作于点，过点作水平线的垂线，垂足为点，先解直角三角形求出的长，从而可得，再根据直角三角形的性质求出的长即可得． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作水平线的垂线，垂足为点， 由题意得：，， ， 在中，，， 在中，， ， 在中，， 即这架无人机的飞行高度大约是， 故答案为：20． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，通过作辅助线，构造直角三角形是解题关键． 三、解答题 26．（2026·浙江嘉兴·一模）综合与实践： 【生活情境】如图1，要将一块形状为平行四边形的木板余料分割成相同的两部分，拼接成一块矩形木板，需要找到合适的分割线． 【数学问题】如图2，已知，，，．作一条直线，使直线，且将分成周长相等的两部分． 【实践操作】如图3，小嘉的作法：①连接，交于点；②以为直径作半圆交边于点；③连接，作的角平分线交半圆于点；④作直线分别交边，于点，，直线就是所求作的直线． 【解决问题】 (1)求的面积．（参考数据：，） (2)根据小嘉的作图过程，说明直线且将分成周长相等的两部分的理由． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）圆周角定理得到，解直角三角形，求出的长，再根据平行四边形的性质进行求解即可； （2）连接，根据角平分线的定义和圆周角定理以及弧，弦，角之间的关系，推出，进而得到，证明，得到，进而得到，根据周长公式即可得出结论． 【详解】（1）解：∵以为直径作圆交于点， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴的面积． （2）证明：连接，则， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴，即． ∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴且将分成周长相等的两部分． 27．（2026·浙江温州·一模）已知菱形的面积为，． (1)如图1，求菱形的边长． (2)如图2，若点E是射线上的一点（不与端点A，D重合），连接，．点A关于的对称点为点，交射线于点F． ①当点落在线段上时，求的长． ②的最大值为______． 【答案】(1)10 (2)①21；② 【分析】（1）过点作于点，根据设，则，，利用菱形的面积列方程求解即可； （2）①根据菱形和等腰三角形的性质易得到，过点作于点，则，根据求出，从而求出的长，进而求出的长，证明，求出的长，再根据线段的和差关系进行求解即可；②作，交于点，证明，得到，进而得到，，得到当最小时，的值最大，作交的延长线于点，在射线上取一点，使，连接，证明，得到，进而得到点在以为直径的圆上运动，取的中点，连接，得到，进而得到当三点共线时，的值最小，求出的最小值即可． 【详解】（1）解：如图1，过点作于点， ， 设，则，， 菱形的面积为， ， 解得或（舍去）， 菱形的边长为； （2）解：①点关于的对称点落在线段上， ，， 四边形为菱形， ，， ， ， ， 如图2，过点作于点，则， 由（1）知，，， ， ； ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②作，交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， 即：， ∴当最小时，的值最大， 作交的延长线于点，在射线上取一点，使，连接， 由（1）可知：， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点在以为直径的圆上运动， 取的中点，连接，则，， ∴当三点共线时，的值最小， 在中，由勾股定理，得， ∴的最小值为， ∴的最大值为． 28．（2026·浙江舟山·一模）如图，是的外接圆，点位于外一点，连接，，．交于点，连接．已知． (1)如图，求证：． (2)如图，经过圆心，，． ① 求的值；  ② 若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】（1）利用等腰三角形的性质和圆周角定理解答即可； （2）①连接，，利用全等三角形的判定与性质得到，利用圆的有关性质，等腰三角形的性质和平行线的性质得到，利用相似三角形的判定与性质得到，，直角三角形的边角关系定理解答即可得出结论； ②连接，，的延长线交于点，设的半径，则，利用（2）①的结论得到，利用三角形的中位线定理得到，再利用勾股定理列出关于的方程解答即可得出结论． 【详解】（1）证明：， ． ， ； （2）解：①连接，，如图， 在和中， ， ， ， ，， ，， ， ，， ，， ， ， ， ， ∴， ， ， ， ∵， ， 为圆的直径， ， ． ， ； ②连接，，延长交于点，如图， 设的半径为，则， 由（2）①知：， ， 由（2）①知：， ， ，， ， 为的中位线， ， ， ，， ， 解得， ， ． 答：的半径为． 29．（2026·浙江衢州·一模）如图，在中，，，，点在边上，，求长．（参考数据：，，）． 【答案】． 【分析】先证明是等腰直角三角形，求得，再在中，利用正切函数的定义求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 解直角三角形的应用 考点3 一、填空题 30．（2026·浙江温州·一模）如图,两幢楼间距为40米,某时太阳光线与水平线的夹角为,光线经过一号楼楼顶A照射在二号楼的一楼窗台上（窗台高1米）,则一号楼的高度为__________米．（参考数据：,,） 【答案】31 【详解】解：如图，过点C作于点，则，，， ∴, ∴（米）． 31．（2026·浙江湖州·一模）如图是某商场扶梯的示意图，扶梯所在的直线与水平方向的夹角为．已知．若小明从扶梯底端处乘扶梯，以的速度用时到达扶梯顶端处，则小明上升的垂直高度为__________． 【答案】 【分析】根据题意得，由，设，，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：根据题意得， ∵，， ∴， 设，， 由勾股定理得即， 解得或（舍去）， ∴小明上升的垂直高度为． 32．（2026·浙江·一模）如图，热气球探测器显示，从热气球A处测得一栋楼顶部C处的仰角是，测得这栋楼的底部B处的俯角是，热气球与这栋楼的水平距离是36米；那么这栋楼的高度是______米（精确到0.01米）．（参考数据：，，，） 【答案】89.28 【分析】本题考查解直角三角形的应用，作，分别解和，求出的长，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：作，由题意，米， 在中，米， 在中，米， ∴； 故这栋楼的高度是89.28米； 故答案为：89.28． 33．（2026·浙江温州·一模）如图，长尾夹的侧面是，当与张开到互相平行时，达到最大夹纸厚度，已知，，则这个长尾夹最大夹纸厚度为______（结果精确到）【参考数据：，，】 【答案】10 【分析】由题意可知，这个长尾夹最大夹纸厚度即为的长，作于点，则，只要求出的长就可求出的长，由得，则，其中，，所以可求出的长． 【详解】解：当与张开到互相平行时，达到最大夹纸厚度， 这个长尾夹最大夹纸厚度即为的长， 如图，作于点， ，， ， ， ， ， ， 这个长尾夹最大夹纸厚度为10， 故答案为：10． 【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质、锐角三角函数、解直角三角形等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 二、解答题 34．（2026·浙江舟山·一模）一酒精消毒瓶如图1，为喷嘴，为按压柄，为伸缩连杆，和为导管，其示意图如图2，．当按压柄按压到底时，转动到，此时（如图3）． (1)求点D转动到点的路径长； (2)求点D到直线EF的距离（结果精确到0.1cm）． （参考数据： ） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题目中的条件，首先由，求出，再继续求出，点D转动到点的路径长，是以为半径，B为圆心的圆的周长的一部分，根据占的比例来求出路径； （2）求点D到直线的距离，实际上是过点D作的垂线交于某点，连接两点所确定的距离即为所求，但这样做不好求解，于是把距离拆成两个部分，放在两个直角三角形中，分别利用直角三角形中锐角三角函数知识求出每段的距离，再求和即为所求． 【详解】（1）解：如图， ∵， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴点D转动到点的路径长为()． （2）解：如图， 过点D作于点G，过点E作于点H． 在中，， ∴． 在中，， ∴． ∴． 又∵， ∴点D到直线的距离约为． 35．（2026·浙江衢州·一模）如图是衢州石门山顶气象雷达站，某校数学兴趣小组开展综合实践活动，测量气象雷达站的高度．兴趣小组在海拔的A处，测得气象雷达站顶端B的仰角为，气象雷达站底端C的仰角为，已知气象雷达站顶端B点的海拔约为，求气象雷达站的高度．（参考数据：，，）． 【答案】 【分析】根据题意得，由得，再通过解可求出，进而可求出的高度． 【详解】解：根据题意得：， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 36．（2026·浙江舟山·一模）如图，某景区内两条互相垂直的道路，交于点，景点，在道路上，景点在道路上．为了进一步提升景区品质，景区管委会在道路上又开发了风景优美的景点．经测得景点位于景点的北偏东方向上，位于景点的北偏东方向上，景点位于景点的南偏西方向上．已知． (1)求的度数； (2)求景点与景点之间的距离．（结果保留根号） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平行线的性质可得出，的度数，再根据即可求解； （2）通过计算的度数，得到，由等角对等边可得，在中，解直角三角形求出，，从而求出，再根据，，求出，即可求解． 【详解】（1）解：如图，由题意可得，，，，． ，， ； （2）解：， ． 由（1）得， ． ． 在中，，， ， ， ． ，， ， ． 景点与景点之间的距离为． 37．（2026·浙江舟山·一模）某种水龙头关闭时如图1所示，将其简画成图2，三点共线，是水管，台面是开关，可整体绕点上下旋转，且，连接． (1)求的长度（结果保留整数）： (2)如图3，当开关开到最大时，旋转到的位置上，旋转角，求此时点到台面的距离（结果保留整数）．（参考数据：，，，取） 【答案】(1)的长度约为 (2)点到台面的距离约为 【分析】（1）在中，利用余弦的定义求解即可； （2）过点作，垂足为，交于点，在中，利用正弦的定义求的长度，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，在中，，， ， ∴． ∴的长度约为； （2）解：如图，过点作，垂足为，交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴点到台面的距离约为． 38．（2026·浙江杭州·一模）数学综合实践活动中，两个兴趣小组要合作测量楼房高度．如图，第一小组用无人机在离地面40米高的点D处，测得地面上一点A的俯角为45度，测得楼顶C处的俯角为30度（点A，B，C，D都在同一平面内，无人机在点A和楼房之间的点D处测量）；第二小组人工测量得到点A和大楼之间的水平距离米．请根据提供的数据，求出楼房高度．（结果精确到1米，参考数据：）． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确理解题意，构造直角三角形是解题的关键． 过点作于点，过点作于点，可得四边形为矩形，在中，，则，解，可得，再由即可求解． 【详解】解：过点作于点，过点作于点， 由题意得，， ∴，， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， 答：楼房高度约为． 39．（2026·浙江台州·一模）某校组织学生进行综合实践活动——测量太阳能路灯电池板的宽度．如图，太阳能电池板宽为，点O是的中点，是灯杆．地面上三点D，E与C在一条直线上，．该校学生在D处测得电池板边缘点B的仰角为，在E处测得电池板边缘点B的仰角为．此时点A、B与E在一条直线上． (1)求观测点E与电池板边缘点B之间的距离； (2)求太阳能电池板宽的长度．（结果精确到．参考数据：，，，） 【答案】(1)观测点E与电池板边缘点B之间的距离为 (2)太阳能电池板宽的长度约为 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形： （1）过点作，设，分别解，求出的长，根据的长，列出方程求出的值，进而求出的长； （2）过点作，易得：，进而求出的长，根据点O是的中点，求出的长即可． 【详解】（1）解：过点作，设，由题意，得：， 在中，， 在中，， ∵， ∴， ∴； 答：观测点E与电池板边缘点B之间的距离为； （2）过点作，则：四边形为矩形， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 由（1）可知：， ∴， ∴ 点为的中点， ， 答：太阳能电池板宽的长度约为． 40．（2026·浙江·一模）综合与实践 【活动主题】支持乡村振兴，班级同学在老师的带领下前往某养鱼场开展综合实践活动． 【项目背景】其中一个项目是测算养鱼场长度（如图所示）． 【工具准备】皮尺、测角仪、计算器等． 【测量过程】在点测得，，，，在点测得． 【数据信息】用计算器算得如下参考数据：，，，，，． 【完成任务】请你根据以上数据信息，求养鱼场长度． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形，利用锐角三角函数找边和角的关系．作于，于，则四边形为矩形，构造矩形和直角三角形，根据锐角三角函数可得，，从而可知，在中，根据，可得：，所以可得养鱼场长度约为． 【详解】解：如下图所示， 作于，于，则四边形为矩形， ， 在中，，， ，，， ，， ，， 在中，，， ， ， ， 即养鱼场长度约为． 41．（2026·浙江宁波·一模）如图，某型号订书机的主要部件托板与手柄的长度相等，均为，其中托板分为弹簧，长为的推动器和书钉三段，连杆的一端通过销子与手柄相连，另一端可在段滑动，当托板与手柄的夹角张开到一定大小时，连杆勾住推动器的一端并随着的增大拉动推动器向销子方向移动．现测得销子，之间的距离为，连杆与推动器的长度之和等于销子到手柄端点的距离． (1)如图①，当连杆勾住点时，若，求此时书钉的长度（结果精确到，参考数据：，）； (2)如图②，已知一条新书钉的长度为，当装好一条新书钉且连杆勾住点时，求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，添加辅助线构造直角三角形，是解题的关键： （1）勾股定理求出的长，再利用线段的和差关系求出的长即可； （2）过点作，设，求出的长，利用双勾股定理，列出方程求出的长，再利用余弦的定义，求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴， ∵， ∴， ∴； 答：此时书钉的长度为； （2）过点作， 由题意，得：， 设，则：， 在中，， 在中，， ∴， ∴，解得：， ∴， ∴． 42．（2026·浙江舟山·一模）宿迁市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中、都与地面l平行，车轮半径为，，，坐垫与点的距离为. （1）求坐垫到地面的距离； （2）根据经验，当坐垫到的距离调整为人体腿长的0.8时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为，现将坐垫调整至坐骑舒适高度位置，求的长． （结果精确到，参考数据：，，） 【答案】（1）99.5（2）3.9 【分析】（1）作于点，由可得答案； （2）作于点，先根据求得的长度，再根据可得答案 【详解】（1）如图1，过点E作于点， 由题意知、， ∴， 则单车车座到地面的高度为； （2）如图2所示，过点作于点， 由题意知， 则， ∴. 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，利用锐角三角函数进行解答． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 三角函数与解直角三角形及其应用（3大考点，42题） 3大考点概览 考点01求正弦、余弦、正切的值 考点02解直角三角形 考点03解直角三角形的应用 求正弦、余弦、正切的值 考点1 一、单选题 1．（2026·浙江金华·一模）如图，在由大小相同的小正方形组成的的网格中，其顶点均在该网格的格点上．若，则顶点C的位置可以在点（    ）处． A． B． C． D． 2．（2026·浙江丽水·一模）如图，在中，是斜边上的中线，已知，，则的值是（    ）．    A． B． C． D． 3．（2026·浙江台州·一模）如图，在中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（　　） A．c＝bsinB B．b＝csinB C．a＝btanB D．b＝ctanB 4．（2026·浙江温州·一模）如图，在△ABC中，AB=AC，BC=12，E为AC边的中点，线段BE的垂直平分线交边BC于点D．设BD=x，tan∠ACB=y，则(    ) A．x–y2=3 B．2x–y2=9 C．3x–y2=15 D．4x–y2=21 二、填空题 5．（2026·浙江台州·一模）如图，在平行四边形中，过点作于点，连接．若，，则的值为______． 6．（2026·浙江杭州·一模）如图，在菱形中，与交于点，，，则的值为___________． 7．（2026·浙江丽水·一模）如图，在矩形中，点E在边上，与关于直线对称，点B的对称点F在边上，G为中点，连结分别与交于M，N两点，若，，则的长为________，的值为__________． 8．（2026·浙江嘉兴·一模）如图，已知在中，，，，则的值为___． 三、解答题 9．（2025·浙江温州·一模）在中，，，是边上的中线，，是的高线． (1)求的值． (2)求的长． 10．（2026·浙江金华·一模）某学习小组同学学习了九年级上册《4.2由平行线截得的比例线段》，提出了另一种通过构造矩形来等分线段的方法： ①以为边构造矩形，连结、交点为O； ②过O作于点，连结交于点； ③过作于点，连结交于点； ④过作于点，连结交于点； …… 则点、、即为线段的等分点； (1)求证：； (2)已知， ①求的正弦值； ②按上述方法继续画图得到点，若，则n的值为_____________． 11．（2026·浙江杭州·一模）如图，在中，连接，分别以点A，C为圆心，大于的相同长度为半径作弧，弧交于点M，N，连接分别交于点E、F、O，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若F为中点，，，求的面积． 12．（2026·浙江舟山·一模）如图，在中，，点是边上的一点，过点作交延长线于点，连接，若，． (1)求证：； (2)求． 13（2026·浙江绍兴·一模）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3．求AC的长和sinA的值． 解直角三角形 考点2 一、单选题 14．（2026·浙江杭州·一模）图1为实时通讯的视频机器人，图2为其侧面示意图．机器人上半身与底座垂直，为屏幕支撑架，且．已知，当时，则支撑架到的距离为（   ） A． B． C． D． 15．（2026·浙江金华·一模）已知某仓储中心有一个斜坡，B，C在同一水平地面上，，其横截面如图．现有一个侧面图为正方形的正方体货柜，其中米，该货柜沿斜坡向下时，若点D的最大高度限制（即点D离所在水平面的高度的最大值）为米，则的长度应不超过（    ）米． A．6 B． C． D． 16．（2026·浙江温州·一模）如图，已知内接于，，交于点D，过点D作，垂足为H．若．则的长度为（    ） A． B．15 C． D． 17．（2026·浙江杭州·一模）勾股定理的证明方法丰富多样，其中我国古代数学家赵爽利用“弦图”的证明简明、直观，是世界公认最巧妙的方法．“赵爽弦图”已成为我国古代数学成就的一个重要标志，千百年来备受人们的喜爱．小亮在如图所示的“赵爽弦图”中，连接并延长，交于点N，交于点M．若点M是的中点，则与的面积比为（   ） A． B． C． D． 18．（2026·浙江杭州·一模）如图，正方形中，E为对角线上一点，连接，过点E作交的延长线于F，交于M，若，且，则线段的长为（   ） A．2 B． C．1 D． 19．（2026·浙江·一模）如图1，在中，D是边的中点．点E在斜边上，从点A出发，运动到点C时停止，设为，为．如图2，关于的函数图象与轴交于点，且经过和最高点两点．下列选项正确的是（   ） A． B． C． D．y的最小值为64 20．（2026·浙江宁波·一模）如图，中，，，垂足为点D，，，则的长为（    ）． A．7 B．8 C．9 D．12 二、填空题 21．（2026·浙江杭州·一模）如图，为半圆的直径，弦，点在上，连接，．若，，则的值为___________． 22．（2026·浙江舟山·一模）如图，标号为①，②，③，④的四个直角三角形和标号为⑤的正方形恰好拼成对角互补的四边形，相邻图形之间互不重叠也无缝隙，①和②分别是等腰和等腰，③和④分别是和，⑤是正方形，直角顶点E，F，G，H分别在边上． （1）若，，则的长是_________ ． （2）若，则的值是_______． 23．（2026·浙江宁波·一模）如图，点E在菱形的边上，将沿折叠，使点D的对应点F恰好落在边上．若，则的值是________． 24．（2026·浙江杭州·一模）如图，在中，的平分线交边于点D，边上的高与交于点F，已知，，，则的长为________． 25．（2026·浙江金华·一模）如图，某活动小组利用无人机航拍校园，已知无人机的飞行速度为，从A处沿水平方向飞行至B处需，同时在地面C处分别测得A处的仰角为，B处的仰角为．则这架无人机的飞行高度大约是_______（，结果保留整数） 三、解答题 26．（2026·浙江嘉兴·一模）综合与实践： 【生活情境】如图1，要将一块形状为平行四边形的木板余料分割成相同的两部分，拼接成一块矩形木板，需要找到合适的分割线． 【数学问题】如图2，已知，，，．作一条直线，使直线，且将分成周长相等的两部分． 【实践操作】如图3，小嘉的作法：①连接，交于点；②以为直径作半圆交边于点；③连接，作的角平分线交半圆于点；④作直线分别交边，于点，，直线就是所求作的直线． 【解决问题】 (1)求的面积．（参考数据：，） (2)根据小嘉的作图过程，说明直线且将分成周长相等的两部分的理由． 27．（2026·浙江温州·一模）已知菱形的面积为，． (1)如图1，求菱形的边长． (2)如图2，若点E是射线上的一点（不与端点A，D重合），连接，．点A关于的对称点为点，交射线于点F． ①当点落在线段上时，求的长． ②的最大值为______． 28．（2026·浙江舟山·一模）如图，是的外接圆，点位于外一点，连接，，．交于点，连接．已知． (1)如图，求证：． (2)如图，经过圆心，，． ① 求的值；  ② 若，求的半径． 29．（2026·浙江衢州·一模）如图，在中，，，，点在边上，，求长．（参考数据：，，）． 解直角三角形的应用 考点3 一、填空题 30．（2026·浙江温州·一模）如图,两幢楼间距为40米,某时太阳光线与水平线的夹角为,光线经过一号楼楼顶A照射在二号楼的一楼窗台上（窗台高1米）,则一号楼的高度为__________米．（参考数据：,,） 31．（2026·浙江湖州·一模）如图是某商场扶梯的示意图，扶梯所在的直线与水平方向的夹角为．已知．若小明从扶梯底端处乘扶梯，以的速度用时到达扶梯顶端处，则小明上升的垂直高度为__________． 32．（2026·浙江·一模）如图，热气球探测器显示，从热气球A处测得一栋楼顶部C处的仰角是，测得这栋楼的底部B处的俯角是，热气球与这栋楼的水平距离是36米；那么这栋楼的高度是______米（精确到0.01米）．（参考数据：，，，） 33．（2026·浙江温州·一模）如图，长尾夹的侧面是，当与张开到互相平行时，达到最大夹纸厚度，已知，，则这个长尾夹最大夹纸厚度为______（结果精确到）【参考数据：，，】 二、解答题 34．（2026·浙江舟山·一模）一酒精消毒瓶如图1，为喷嘴，为按压柄，为伸缩连杆，和为导管，其示意图如图2，．当按压柄按压到底时，转动到，此时（如图3）． (1)求点D转动到点的路径长； (2)求点D到直线EF的距离（结果精确到0.1cm）． （参考数据： ） 35．（2026·浙江衢州·一模）如图是衢州石门山顶气象雷达站，某校数学兴趣小组开展综合实践活动，测量气象雷达站的高度．兴趣小组在海拔的A处，测得气象雷达站顶端B的仰角为，气象雷达站底端C的仰角为，已知气象雷达站顶端B点的海拔约为，求气象雷达站的高度．（参考数据：，，）． 36．（2026·浙江舟山·一模）如图，某景区内两条互相垂直的道路，交于点，景点，在道路上，景点在道路上．为了进一步提升景区品质，景区管委会在道路上又开发了风景优美的景点．经测得景点位于景点的北偏东方向上，位于景点的北偏东方向上，景点位于景点的南偏西方向上．已知． (1)求的度数； (2)求景点与景点之间的距离．（结果保留根号） 37．（2026·浙江舟山·一模）某种水龙头关闭时如图1所示，将其简画成图2，三点共线，是水管，台面是开关，可整体绕点上下旋转，且，连接． (1)求的长度（结果保留整数）： (2)如图3，当开关开到最大时，旋转到的位置上，旋转角，求此时点到台面的距离（结果保留整数）．（参考数据：，，，取） 38．（2026·浙江杭州·一模）数学综合实践活动中，两个兴趣小组要合作测量楼房高度．如图，第一小组用无人机在离地面40米高的点D处，测得地面上一点A的俯角为45度，测得楼顶C处的俯角为30度（点A，B，C，D都在同一平面内，无人机在点A和楼房之间的点D处测量）；第二小组人工测量得到点A和大楼之间的水平距离米．请根据提供的数据，求出楼房高度．（结果精确到1米，参考数据：）． 39．（2026·浙江台州·一模）某校组织学生进行综合实践活动——测量太阳能路灯电池板的宽度．如图，太阳能电池板宽为，点O是的中点，是灯杆．地面上三点D，E与C在一条直线上，．该校学生在D处测得电池板边缘点B的仰角为，在E处测得电池板边缘点B的仰角为．此时点A、B与E在一条直线上． (1)求观测点E与电池板边缘点B之间的距离； (2)求太阳能电池板宽的长度．（结果精确到．参考数据：，，，） 40．（2026·浙江·一模）综合与实践 【活动主题】支持乡村振兴，班级同学在老师的带领下前往某养鱼场开展综合实践活动． 【项目背景】其中一个项目是测算养鱼场长度（如图所示）． 【工具准备】皮尺、测角仪、计算器等． 【测量过程】在点测得，，，，在点测得． 【数据信息】用计算器算得如下参考数据：，，，，，． 【完成任务】请你根据以上数据信息，求养鱼场长度． 41．（2026·浙江宁波·一模）如图，某型号订书机的主要部件托板与手柄的长度相等，均为，其中托板分为弹簧，长为的推动器和书钉三段，连杆的一端通过销子与手柄相连，另一端可在段滑动，当托板与手柄的夹角张开到一定大小时，连杆勾住推动器的一端并随着的增大拉动推动器向销子方向移动．现测得销子，之间的距离为，连杆与推动器的长度之和等于销子到手柄端点的距离． (1)如图①，当连杆勾住点时，若，求此时书钉的长度（结果精确到，参考数据：，）； (2)如图②，已知一条新书钉的长度为，当装好一条新书钉且连杆勾住点时，求． 42．（2026·浙江舟山·一模）宿迁市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中、都与地面l平行，车轮半径为，，，坐垫与点的距离为. （1）求坐垫到地面的距离； （2）根据经验，当坐垫到的距离调整为人体腿长的0.8时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为，现将坐垫调整至坐骑舒适高度位置，求的长． （结果精确到，参考数据：，，） / 学科网（北京）股份有限公司 $