专题07 相似三角形与位似（3大考点，51题）（浙江专用）2026年中考数学一模分类汇编

专题07 相似三角形与位似（3大考点，51题） 3大考点概览 考点01相似的性质与判定 考点02相似三角形的判定与性质综合 考点03位似 相似的性质与判定 考点1 一、单选题 1．（2026·浙江杭州·一模）我们知道“若，则”，下列生活场景可以用这个知识解释最贴切的是（   ） A．小明买了2支钢笔花了16元，买5支同样的钢笔花了40元，计算每支钢笔的单价 B．配制一种盐水，盐和水的质量比是，现在往盐水中再加入1克盐和8克水，判断新盐水的浓度是否不变 C．一辆汽车3小时行驶180千米，照这样的速度，计算行驶300千米需要的时间 D．一个长方形的长和宽的比是，若长增加2厘米、宽增加3厘米，判断新长方形的长和宽的比是否不变 【答案】B 【分析】结合各选项的实际场景，判断哪一场景符合题中给出的性质即可． 【详解】解：题中给出性质：若，则，即两个比值相等时，前项和与后项和的比值仍等于原比值，据此分析各选项： ∵ 选项A是计算单价，通过总价除以数量得到结果，没有用到上述性质，不符合题意； 选项B中，设原盐水中盐质量为，水质量为，得，新加入盐，水，得，满足，根据性质得，盐和水的比不变，因此浓度不变，完全符合题中知识，符合题意； 选项C是根据速度不变列比例求时间，没有用到上述合比性质，不符合题意； 选项D中，原长宽比，增加的长和宽的比是，不满足的前提，不符合题意． 2．（2026·浙江衢州·一模）如图，在四边形中，，，，点H，F分别在边上移动（不与端点重合），连接，则下列为定值的是（    ） A．的大小 B．四边形的周长 C．线段的长 D．四边形的面积 【答案】D 【分析】如图所示，设梯形的高为h，连接，过点H作，过点F作，首先得到，然后利用四边形的面积求解即可. 【详解】解：如图所示，设梯形的高为h，连接，过点H作，过点F作， ∵， ∴， ∴四边形的面积． ∴四边形的面积为定值. 3．（2026·浙江舟山·一模）如图，矩形和正方形面积相等，点B在边上，点G在上，交于M点，，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】证明得，，．由矩形和正方形面积相等，得，结合可得，证明，求出，再证明，利用相似形的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴ ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，，． ∵矩形和正方形面积相等， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 同理可证，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴． 4．（2026·浙江舟山·一模）如图，和是以点O为位似中心的位似图形．若的面积为，则的面积为（    ） A．20 B． C．30 D． 【答案】A 【分析】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的判定和性质，根据位似图形的性质得到，由相似三角形的性质得到，相似三角形的面积比等于相似的平方，代入计算即可求解． 【详解】解：∵和是以点O为位似中心的位似图形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A ． 二、填空题 5．（2026·浙江金华·一模）如图，在边长为2的正六边形中，点G为的中点，连接交于点H，则四边形的周长为_____________． 【答案】 【分析】如图，连接，交于点O，连接，由正六边形性质得到点O在上，，，证明出，，是等边三角形，得到，然后利用勾股定理求出，证明出，得到，代数求出，，进而求解即可． 【详解】解：如图，连接，交于点O，连接 ∵正六边形的边长为2 ∴点O在上，，， ∴，，是等边三角形 ∴ ∴ ∵正六边形 ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵点G为的中点 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴，即 ∴， ∴四边形的周长为． 6．（2026·浙江温州·一模）如图，已知在中，，是上的高线，点是上的一点，交于点．过点作交于，连接，若，的面积为，则的面积为______． 【答案】 【分析】根据等腰三角形三线合一可得平分，， 根据平行线的性质结合角平分线的性质等量代换即可证得，设，则， 证明，根据相似三角形的对应边成比例可得的长，进而可得，的长，过点作交于点， 利用平行线分线段成比例定理求出的值，最后利用面积公式求解即可． 【详解】解：，是边上的高线，的面积为， 平分，， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ，即 整理得， ，， ， ，， 如图，过点作交于点， 是的中点， 是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ． 三、解答题 7．（2026·浙江台州·一模）如图，抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点C，直线过B、C两点，连接AC． （1）求抛物线的解析式； （2）求证：； （3）点是抛物线上的一点，点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作轴交直线BC于点E，点P为抛物线对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求的最小值． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】（1）先利用直线得到点B和点C的坐标，利用待定系数法求解； （2）根据解析式求得点A的坐标，求出两个三角形的边长，根据两组对应边成比例夹角相等求证； （3）设点D的坐标为，将线段DE的长用函数关系式表示为顶点式形式，利用函数的性质得到当时，线段DE的长度最大，得到点D的坐标，再利用轴对称及勾股定理求出答案即可． 【详解】（1）解：∵直线分别与轴和轴交于点B和点C， ∴点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，2）， 把，分别代入， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）∵抛物线与x轴交于点A， ∴， 解得，， ∴点A的坐标为， ∴，， 在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． （3）设点D的坐标为 则点E的坐标为 ∴ = ∵， ∴当时，线段DE的长度最大． 此时，点D的坐标为， ∵， ∴点C和点M关于对称轴对称， 连接CD交对称轴于点P，此时最小． 连接CM交直线DE于点F，则，点F的坐标为， ∴， ∵ ∴的最小值． ． 【点睛】此题考查的是二次函数的综合知识，利用待定系数法求函数解析式，函数图象与坐标轴的交点问题，函数的最值问题，轴对称的性质，勾股定理，证明两个三角形相似，熟练掌握各知识点是解题的关键． 8．（2026·浙江衢州·一模）如图，在中，，以为直径作，交于点D，过点D作，垂足为E． (1)求证：是的切线； (2)若，． ①求的长； ②点P为上一点，连接，是否有最小值？若有，请直接写出这个最小值；若没有，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)①；②的最小值为． 【分析】本题考查与圆的性质概念，与圆有关的位置关系，相似三角形的判定和性质，熟练掌握以上性质并正确作出辅助线是解题关键． （1）连接、，由“直径所对的圆周角是直角”得，即有，由已知、根据“等腰三角形三线合一”得，从而得出：是△ABC的中位线，由三角形中位线定理得，由已知、“一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条得，根据切线的判定定理得证； （2）①由题意证明，求出，从而得出结论； ②在中，由边角关系可以求出，从而得出：，，过点P作于点G，则由“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”得，延长到点F，使，则由线段垂直平分线的性质可知：上任意一点P到点A与点F的距离都相等，即总有，由“两点之间，线段最短”可知：当点F在直线上时，的长最小，从而的长最小，最小值为线段的长，此时，在中，由边角关系即可求出最小值． 【详解】（1）证明：连接、，如图： ∵是的直径， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线． （2）解：①若，，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的长为． ②点P为上一点，连接，有最小值， 在中，，， ∴， ∴， ∴， 过点P作于点G，则， 延长到点F，使，则上任意一点P到点A与点F的距离都相等，即总有， 由两点之间，线段最短可知：当点F在直线上时，的长最小，从而的长最小，最小值为线段的长， 此时，在中，， ， 即的最小值为． 9．（2026·浙江湖州·一模）如图，在中，，点是边上一点，以点为圆心，为半径的半圆交边于点，与相切于点，连接，． (1)求证：平分； (2)若，求该圆的直径． 【答案】(1)见详解； (2) 【分析】（1）根据相切的性质，平行线的性质，圆心角等于圆周角的一半即可求证； （2）设半径，证，根据相似比求解即可． 【详解】（1）证明：∵与半圆相切于点， ∴， ∵， ∴， ∵是所对的圆心角，是所对的圆周角， ∴， ∴， ∴平分． （2）解：设半径， ∵以点为圆心，为半径的半圆交边于点， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， 即直径． 相似三角形的判定与性质综合 考点2 一、单选题 10．（2026·浙江嘉兴·一模）如图，在直角坐标系中，是原点，点在反比例函数（为常数，，）的图象上，点在轴上，且，延长交反比例函数（）的图象于点，记点，的横坐标分别为，．当，的值变化时，下列代数式的值不变的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】易得，，作轴于点，作轴于点，推出 ，得到，进而得到，即可得出结果． 【详解】解：由题意，，， 作轴于点，作轴于点，则，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴，为定值． 11．（2026·浙江杭州·一模）如图，五边形与五边形是位似图形，为位似中心．若，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据位似图形的性质得到，，，且三点共线，三点共线，证明推出，同理可证明，得到，据此逐一判断即可． 【详解】解：∵五边形与五边形是位似图形， ∴，，，且三点共线，三点共线， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可证明， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四个选项中，A、B、C选项错误，不符合题意，只有D选项中的结论错误，符合题意． 12．（2026·浙江杭州·一模）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，直线交正方形的两边于点E，F，若，，则用含a，b的式子表示的值是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查似三角形判定与性质、赵爽弦图性质，解题关键是作辅助线构造相似三角形，结合弦图全等关系转化线段求解． 本题解题思路为：作构造相似三角形，利用赵爽弦图中全等三角形性质得线段相等关系，再借相似三角形对应边成比例，结合已知线段表示出的值． 【详解】解：作，交的延长线于点， ， ， ∵由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形， ∴， ， ， ， ， ， 故选：C． 13．（2026·浙江金华·一模）如图，点为的重心，当动点从点出发沿的边逆时针运动一周，设点的运动路程为，为，关于函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D．的面积为 【答案】C 【分析】根据图可知，当时，，当时，点运动到点；当时，此时，利用勾股定理求出、，取的中点，连接，过点作于点，证明，进而得到，，利用勾股定理求出，最后再利用进行判断即可． 【详解】解：由图可知：当时，，即， 或（舍去）， 当时，达到最大值，且为第一段图象的终点，说明点运动到点， ，此时， 当时，即，取得最小值，此时， 在中，由勾股定理得：， ，故选项错误； ，， ， 在中，由勾股定理得：， ，故选项错误； 取的中点，连接， ∵点为的重心， ∴点在中线上，且 ， ，， ， 过点作于点， ， ， ， ， ，， ， ， 在中，由勾股定理得：，故选项正确； ∵，， ∴，故选项错误． 14．（2026·浙江台州·一模）如图，在圆内接四边形中，是圆的直径，过点C作于点E，连接．若，，，则的面积为（   ） A．16 B．15 C．12 D．10 【答案】B 【分析】过点作，交的延长线于点，证明，求出，分别证明，得出，，得出，根据三角形面积公式可求出． 【详解】解：过点作，交的延长线于点，如图， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴（负值舍去）， ∵， ∴， ∵，， ∴； 在和中， ， ∴， ∴； 在和中， ， ∴ ∴， ∴， ∴． 15．（2026·浙江湖州·一模）如图，矩形中，对角线，交于点，点是点关于直线的对称点．连接交，于点，连接．若，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由矩形的性质和平行线的性质得到，再由轴对称的性质可得，则可证明得到，据此可证明；求出，；证明，得到，设，则，由勾股定理得；证明，得到，即，则． 【详解】解：∵在矩形中，对角线，交于点， ∴； ∴， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得； ∵，， ∴， ∴，即， ∴． 16．（2026·浙江舟山·一模）如图，是的直径，是的弦，，垂足为，连接并延长，与过点的切线相交于点，连接．若的半径为，，则的长是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查垂径定理、圆的切线的性质、相似三角形的性质及判定圆周角定理的推论等，根据垂径定理容易求，然后证明，可求得． 【详解】如图所示，连接． 因为是的直径，， 所以垂直平分线段，． 所以，． 所以． 因为是的切线， 所以． 所以． 又因为． 所以． 所以． 所以． 故选：C 17．（2026·浙江杭州·一模）如图，在菱形中，与相交于点O，，垂足为点M，交于点N，若，，则的长为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】C 【分析】根据菱形的性质可得，，通过互余关系证明，进而证得，利用相似比求出的长，最后在中利用勾股定理求出的长． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴在中，． 18．（2026·浙江舟山·一模）如图，在矩形中，，，点E是的中点，连接，交于点O，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】勾股定理求出，证明，列出比例式，进行求解即可. 【详解】解：∵矩形，，， ∴， ∴，， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∴. 19．（2026·浙江温州·一模）如图，在菱形中，对角线，相交于点，点为上一点，连接，将沿翻折得到交于点，连接．当四边形为平行四边形时，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，由菱形的性质和得，由折叠得,由勾股定理得,，证明四边形是平行四边形，得，，再证明，根据相似三角形的性质可得结论． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，，且， ∵， ∴, 设，则， 由折叠得, 在中，； ∴， 又四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 20．（2026·浙江宁波·一模）如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为12，则C点坐标为（　　） A．（6，4） B．（6，2） C．（4，4） D．（8，4） 【答案】A 【分析】直接利用位似图形的性质结合相似比得出AD的长，进而得出△OAD∽△OBG，进而得出AO的长，即可得出答案． 【详解】∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为 ， ∴， ∵BG＝12， ∴AD＝BC＝4， ∵AD∥BG， ∴△OAD∽△OBG， ∴ ∴ 解得：OA＝2， ∴OB＝6， ∴C点坐标为：（6，4）， 故选A． 【点睛】此题主要考查了位似变换以及相似三角形的判定与性质，正确得出AO的长是解题关键． 二、填空题 21．（2026·浙江温州·一模）如图，在中，，点分别在边上，连接，作于点，连接．若垂直平分，，，则的长为__________． 【答案】 【分析】连接，先求出，，再证出四边形是平行四边形，则，然后求出的长，则可得的长，最后证出，则可得的长，由此即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵垂直平分，且， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴在中，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 22．（2026·浙江丽水·一模）如图，在矩形中，，是边上的一点，，以为圆心，为半径的圆弧交于点，交于点．若是弧的中点，则_____ ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质、圆的性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理，连接，过点作于点，先利用矩形、弧中点和平行线的性质，推导出角相等，证明，从而求出，设，用表示出相关线段，再根据勾股定理，结合建立方程，解出的值，最后代入计算出和的长度，得到它们的比值． 【详解】解：连接，过点作于点， ∵四边形为矩形，， ，，， ， 平行于， ， 是弧的中点， ∴弧弧， ，， ， ，， ， ， 又， ， ， ，， ， ， 设， ，，， 在中， 由勾股定理得：， 在中， 由勾股定理得：， ， ， 解得：， ，， ． 23．（2026·浙江舟山·一模）如图，在中，点是上一点，且，若，，则________． 【答案】 【分析】利用两组角相等得到，进而利用求解即可. 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴即：， ∴. 24．（2026·浙江·一模）如图，四边形内接于，，连结，若与的面积相等，则的长为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，同弧或等弧对的圆周角相等，全等三角形的判定和性质．分别过A，C作，垂足分别为E，F，设交于点G，则，与的面积相等，可得，证明，可得，再证明，即可求解． 【详解】解：如图，分别过A，C作，垂足分别为E，F，设交于点G，则， ∵与的面积相等， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 故答案为：． 25．（2026·浙江金华·一模）如图，在菱形中，点E在上，连结，作点A关于直线的对称点，连结交于点F，若点恰为的中点，则与的面积比为_____________． 【答案】/0.4 【分析】延长交延长线于点，取中点，连接，连接，先证明，则，，然后证明，则，求出，可得为中位线，则可证明，则，再将共高三角形面积比化为底之比求解即可． 【详解】解：延长交延长线于点，取中点，连接，连接， 设菱形的边长为，， 则由菱形可得，， ∴，，， ∵点为的中点， ∴， ∴ ∴，， ∵对称， ∴，， ∴， ∴ ∴ 解得 ∵点为的中点，点为中点， ∴ ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 26．（2026·浙江湖州·一模）如图，已知点为的直径上一点，且．为上一点，满足：连接并延长交圆于点．连接，过点作，若，则的长为__________ 【答案】 【分析】连接，过点B作于点G，设，则，，证明，可得，再由，可得， 从而得到，，在中， 根据勾股定理可得，，在中，，再由，可得，在中，可得 ，联立解方程组，即可求解． 【详解】解：连接，过点B作于点G， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， ∴，， 在中， ， ∴， 在中，， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 联立得：， 解得：， ∴． 27．（2026·浙江杭州·一模）某中学数学社团开展折纸活动，如图，在一张宽为，长度足够的矩形纸条中剪取矩形纸片（）．先将纸片折出折痕，再在边上取点P，将沿折叠得．记与的交点为Q，在折纸过程中，当点Q平分线段时，恰好平分，则长度应取________． 【答案】7 【分析】延长交于点，过点作于点，通过翻折的性质和角平分线的性质得出相等的边和角，证明，得出相等的边，结合矩形的性质证明，得出相似比，设，表示出相关线段的长度，然后利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：如图所示，延长交BC于点E，过点P作于点F， ， 四边形为矩形， ，， 四边形为矩形， ， 根据折叠可得，，， 平分， ， 又， ， ， 点Q平分线段， ， ， ， ， ， 设， 则，， 由勾股定理得， ， 由勾股定理得， 即， 解得（负值已舍）， ． 28．（2026·浙江杭州·一模）如图，在中，，，点E是边上的中点，将沿翻折得，连接，点B，F，E恰好在同一直线上，延长交于点G．则与四边形的面积比为________ ． 【答案】 【分析】延长，与的延长线交于点，证明，可推出，，证明，可得，，进而可得，，，证明，得， 设的边上的高为，则的边上的高为，的底边上的高为，则与四边形的面积比可求． 【详解】解：延长，与的延长线交于点， 在中，，， ，， ，， ，，，， 将沿翻折得，点B，F，E恰好在同一直线上， ，，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 点是边上的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设边的上的高为，则的边上的高为，的底边上的高为， 则与四边形的面积比为． 29．（2026·浙江台州·一模）如图是笔直杠杆的示意图．已知，支点离水平地面的高度为．当杠杆的端点落到地面时，端点离地面的高度为，则的长度为_______． 【答案】120 【分析】利用相似三角形的判定和性质计算即可． 【详解】解：如图，作水平地面于点， ， ， ， ， ，，， ， ． 三、解答题 30．（2026·浙江杭州·一模）如图，在中，以为直径作，交于点，，交于点．过点作于点，交于点，连接，交于点． (1)如图1，若，． ①求的度数． ②求证：． (2)如图2，，点为中点，若，，求的长． 【答案】(1)①；②见解析 (2) 【分析】（1）①根据圆周角定理得到、，进而得到，从而求出，利用圆周角定理得到，据此求解即可； ②连接、、、、，根据平行四边形和垂径定理易得到，进而得到，证得是等边三角形，根据圆周角定理得到，根据垂径定理得到，易证明，在中，，从而得出结论； （2）连接、、，易证四边形是平行四边形、四边形是菱形，进而得到、，根据，设、，证明，进而得到、及，利用勾股定理求出的值，根据证得，进而得到，利用求解即可． 【详解】（1）①解：连接、、， ，， 、， ， 即， ， ， ， ； ②证明：连接、、、、， ， ， 为的直径， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 在中，， 是等腰三角形， ， 由①知，， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ； （2）解：连接、、、， 四边形是平行四边形， 、， 为的中点、为的中点， 、， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 四边形是菱形， 、， ， ， 、， ， ， ， ， ， ， ， 、， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 设、， ， ， 在和中， ， ， 、， ， 、， 在中，， ， 解得， 、、， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， ， ， ， 即， 解得， ． 【点睛】本题考查圆周角定理、平行四边形与菱形的判定与性质、垂径定理、全等三角形和相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理，数形结合的思想方法的运用是解题的关键． 31．（2026·浙江杭州·一模）如图，内接于，，连结并延长交于点E，交于点D．连结，，． (1)求证：． (2)若，求的度数． (3)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）得出，即可； （2）连接，根据圆周角定理求出的度数，再根据等腰三角形的性质求解即可； （3）延长，交于点，连接，先证出，则，再设，则，，，证出，求出的长，则可得的长，然后在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 由圆周角定理得：， ∴． （2）解：如图，连接， ∵，， ∴， 由圆周角定理得：， ∵， ∴． （3）解：如图，延长，交于点，连接， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得（负值已舍）， 设，则， ∴， ∴，， 由圆周角定理得：， ∴，即， 又∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 解得（负值已舍）， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴在中，，即， 解得或（舍去）， ∴． 【点睛】根据两个三角形的面积之比联想到相似三角形，再结合圆周角定理解答． 32．（2026·浙江嘉兴·一模）如图，在等边中，是边上的动点，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，，交边于点． (1)求的度数． (2)若的面积为，，求的长． (3)若，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3)的最大值为 【分析】（1）根据等边三角形的性质结合旋转的性质证明，即可解得； （2）作于点，解直角三角形求出，根据的面积为，得到．证明是等边三角形，再证明，推出，即可求解； （3）先求出，当最小时，最大，即当时，最小，此时，证明，求出，即可求解． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴，， 由旋转的性质得，， ∴， ∴， ∴． （2）解：作于点， ∵， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴． 由旋转的性质得， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：∵， ∴， ∵， ∴当最小时，最大， ∵是等边三角形，要使最小，只需满足最短， ∴当时，最小，此时， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为． 33．（2026·浙江舟山·一模）如图1，在菱形中，，是对角线上一点，连接，设，将沿折叠得到，连接并延长交于点． (1)用含的代数式表示． (2)求证： ①； ②． (3)如图2，当时，求的值． 【答案】(1) (2)①见解析；②见解析 (3) 【分析】（1）根据菱形的性质得到，根据折叠的性质得到，进而可求； （2）①根据等边对等角及三角形内角和得到，根据等边三角形的判定和性质证明即可； ②根据菱形的性质得到，根据等边三角形的性质得到，证明，即可证明； （3）连接，延长交于，作于，根据等边三角形的判定和性质得到，证明，得到，设，根据角的性质得到，根据勾股定理得到，，求出，即可求出的值． 【详解】（1）解：∵菱形， ∴， ∵折叠， ∴， ∴； （2）证明：①∵菱形， ∴， 由折叠可知，， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵菱形， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图，连接，延长交于，作于． 由（2）得，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， 则，． 在中， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 34．（2026·浙江舟山·一模）在矩形中，，点E是对角线上任意一点，过点E作的垂线分别交于点F，G，作平行交于点H． (1)证明：． (2)连结交于点K，若，求的值． (3)作的外接圆，且． ①若与矩形的边相切时，求的长． ②作点E关于的对称点，当落在上时，直接写出的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)①或或；② 【分析】（1）证明四边形为平行四边形，即可求证； （2）过点K作于点M，则，由题意易得，然后可得，则有，进而问题可求解； （3）①由题意可分当与边相切时，当与边相切时，当与边相切时，进而分类进行求解即可； ②连接，过点H作于点R，由折叠的性质可知：，然后可得，则有，进而问题可求解． 【详解】（1）证明：在矩形中，， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴； （2）解：如图，过点K作于点M，则， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：①根据题意得：，， 当与边相切时，此时点H为切点， 如图，设与交于点G、R，连接，，则， ∵， ∴为的直径， ∴点O，F，R共线，且， ∵，， ∴， ∴， ∴； 当与边相切时，则与边也相切，此时 F，G 为切点，为直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴，，即， ∵， ∴， ∴， ∴； 当与边相切时，设与边的另一个交点为点Q，设切点为点N，连接，则， ∵， ∴为直径， ∴， 同理， ∴， ∵， ∴，即， ∴，， ∴， 根据题意得：， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ， ∴， ∴， 在中，， 解得：或（舍去），即； 综上所述，的长为或或； ②由题意可得如下图，连接，过点H作于点R， 由折叠的性质可知：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 35．（2026·浙江金华·一模）如图，在矩形中，以为直径的交于点E，F，连接，过点O作交于点G，过点G作于点H，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)若是的切线，求证：． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）根据圆周角定理得出，根据直角三角形两锐角互余得出，证明，根据等角对等边即可证明结论； （2）延长交于点M，过E作于点N，证明四边形为矩形，得出，，说明四边形为矩形，得出，，证明，得出，根据勾股定理求出，即可得出答案； （3）设，，根据解析（2）得出，，，证明，得出，求出，得出，再求出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：延长交于点M，过E作于点N，如图所示： ∵四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， 同理可得：四边形为矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，根据勾股定理得： ， ∴； （3）解：设，， 则根据解析（2）可得： ，，， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 36．（2026·浙江舟山·一模）周末，小明，小亮和小红去游乐园玩，他们分别排队去坐摩天轮，如图，地面PQ切摩天轮于点A，小明在摩天轮上M处时发现，小亮在A处正准备登上摩天轮，而小红在小明正下方的地面B处排队，若为摩天轮的直径，请解决以下问题． (1)求证：平分； (2)若摩天轮的直径为，且小明到地面的高度为，求小亮与小明之间的距离是多少？ 【答案】(1)见解析 (2)60米 【分析】本题主要考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质： （1）连接，结合切线的性质可得，从而得到，再由，可得，即可求证； （2）证明，即可解答． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵切于， ∴． 由题意得，， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴平分； （2）解：∵直径， ∴． 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， 答：小亮与小明之间的距离是60米． 37．（2026·浙江湖州·一模）【问题背景】如图所示，某兴趣小组将矩形纸片沿对角线剪开，再把沿着方向平移，得到，交于点，交于点． 【数学理解】 (1)在平移过程中，线段的长始终与相等，请说明理由； (2)已知，在平移过程中，当两个三角形的重叠部分为菱形时，求移动的距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明四边形是平行四边形即可得的长始终与相等； （2）由勾股定理可求得，根据四边形为菱形，可得，，则，可得，可得，，再由，即可求解出． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴由平移可得，，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． （2）解：∵矩形中，， ∴，， ∴， 由平移可得，， 设，则， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∵，即， 解得， ∴移动的距离． 38．（2026·浙江杭州·一模）（1）如图1，在△ABC中，，CD平分，交AB于点D，//，交BC于点E． ①若，，求BC的长； ②试探究是否为定值．如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． （2）如图2，和是△ABC的2个外角，，CD平分，交AB的延长线于点D，//，交CB的延长线于点E．记△ACD的面积为，△CDE的面积为，△BDE的面积为．若，求的值． 【答案】（1）①；②是定值，定值为1；（2） 【分析】（1）①证明，根据相似三角形的性质求解即可； ②由，可得，由①同理可得，计算； （2）根据平行线的性质、相似三角形的性质可得，又，则，可得，设，则．证明，可得，过点D作于H．分别求得，进而根据余弦的定义即可求解． 【详解】（1）①∵CD平分， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ②∵， ∴． 由①可得， ∴． ∴． ∴是定值，定值为1． （2）∵， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴． 设，则． ∵CD平分， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 如图，过点D作于H． ∵， ∴． ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，求余弦，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 位似 考点3 一、单选题 39．（2026·浙江嘉兴·一模）如图，在直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或．根据求出相似比，再根据位似变换的性质计算即可． 【详解】解：∵与是以原点为位似中心的位似图形，且点的对应点为， 与的位似比为， B点坐标为， 点的对应点的坐标为即． 40．（2026·浙江温州·一模）如图，与是以点为位似中心的位似图形．若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据位似图形的对应线段成比例列式计算可得的长，再根据平行四边形的性质即可得解． 【详解】解：与是以点为位似中心的位似图形，，， ，即， ， ，解得， ， 四边形是平行四边形， ． 41．（2026·浙江舟山·一模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点为，，．以点为位似中心，在第三象限内作与的位似比为的位似图形，则点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因为与的位似比为，所以点与点的坐标之比为，又因为点在第三象限，所以点的横、纵坐标为负数． 【详解】解：与的位似比为，点的坐标为， 点的横坐标为，纵坐标为， 点的坐标为． 42．（2026·浙江湖州·一模）如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形，，点坐标为，则点的坐标为（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由可知与的位似比为，且图形位于原点两侧，故对应点坐标互为相反数且倍数关系为． 【详解】解：∵与是以原点为位似中心的位似图形，， ∴与的相似比为，由图可知，与关于原点对称 ∴点与点是对应点，且点的横、纵坐标分别是点横、纵坐标的倍， 设点的坐标为，则点的坐标为， ∵点的坐标为， ∴， 解得， ∴点的坐标为． 43．（2026·浙江杭州·一模）已知在平面直角坐标系中，的顶点分别为，，，若以原点O为位似中心，相似比为2，将放大，则点A的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】由以原点为位似中心的位似变换性质，需分位似图形与原图形在原点同侧和异侧两种情况求解对应点坐标． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，以原点为位似中心的位似变换，若相似比为，则位似图形对应点的坐标为原坐标乘或． 已知点坐标为，本题相似比为． ∴当对应点与在原点同侧时，对应点坐标为，即． 当对应点与在原点异侧时，对应点坐标为，即． 因此点的对应点坐标为或． 44．（2026·浙江温州·一模）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了位似变换，根据点、的坐标可得到位似比，再根据位似比即可求解，掌握位似变换的性质是解题的关键． 【详解】解：∵与是位似图形，且点的对应点为， ∴与位似比为， ∴点的对应点的坐标为． 45．（2026·浙江丽水·一模）如图，与关于点P位似，其中，，则与的面积之比是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了两点之间的距离及位似三角形的性质．根据两点之间的距离，得出和的长，再根据三角形位似，得出相似比，再根据面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵与关于点P位似，且相似比为， ∴与的面积比为， 故选：C． 46．（2026·浙江宁波·一模）如图，在平面直角坐标系中与是位似图形，以原点O为位似中心，若，B点坐标为，则点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求位似图形的对应坐标，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据位似变换的性质计算，得到答案． 【详解】解：∵， ∴与的位似比为， ∵B点坐标为， ∴点D的坐标为， 故选：C． 47．（2026·浙江温州·一模）如图，与是以坐标原点O为位似中心的位似图形，若点A、的坐标分别为、，的面积是6，则的面积为（    ）    A．18 B．12 C．24 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了位似变换的性质，坐标与图形的性质，由题意可知，与是位似比为的位似图形，则根据面积比等于位似比的平方即可求解． 【详解】解：∵与是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点A、的坐标分别为、， ∴且相似比为， ∴的面积的面积， ∵的面积是6，， ∴的面积为24， 故选：C 48．（2026·浙江杭州·一模）如图，在直角坐标系中，与是位似图形，则它们位似中心的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别连接、、，其所在直线交于点，即可得到答案． 【详解】如图，分别连接、、，其所在直线交于点 则点G为所求的位似中心， 故选：C． 【点睛】本题考查了确定位似中心，即延长对应点的连线，其交点即为位似中心，熟练掌握知识点是解题的关键． 二、填空题 49．（2026·浙江金华·一模）古书《墨子·天文志》中记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，以面积为4的正方形对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则，C两点之间的距离为_____________． 【答案】 【分析】连接，，记正方形对角线的交点为，由题意可知三点在同一直线上，先根据正方形的面积求出其边长，进而推出，再利用位似性质求出，即可解题． 解题的关键在于灵活运用位似图形的性质． 【详解】解：连接，，记正方形对角线的交点为， 由题意可知三点在同一直线上， 正方形的面积为4， ， ， ， ， ， ， ． 50．（2026·浙江绍兴·一模）如图，在平面直角坐标系中，和是以O为位似中心的位似图形，A，B两点的坐标分别为，．点A的对应点C的坐标是，则点D的坐标是__． 【答案】 【分析】本题考查的是位似变换的性质，根据位似变换的性质计算，得到答案． 【详解】解：∵和是以O为位似中心的位似图形，A点的坐标为，点A的对应点C的坐标是， ∴． ∴相似比为． ∵B点的坐标为， ∴，． ∴点D的坐标为． 故答案为：． 51．（2026·浙江宁波·一模）如图，和是以点O为位似中心的位似图形，若，则与的面积比是______． 【答案】 【分析】本题考查位似变换，熟练掌握位似的性质、相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．由题意可得，，再结合相似三角形的性质可得答案． 【详解】解：和是以点为位似中心的位似图形， ，， ，， ， ， 与的面积比是． 故答案为：． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 相似三角形与位似（3大考点，51题） 3大考点概览 考点01相似的性质与判定 考点02相似三角形的判定与性质综合 考点03位似 相似的性质与判定 考点1 一、单选题 1．（2026·浙江杭州·一模）我们知道“若，则”，下列生活场景可以用这个知识解释最贴切的是（   ） A．小明买了2支钢笔花了16元，买5支同样的钢笔花了40元，计算每支钢笔的单价 B．配制一种盐水，盐和水的质量比是，现在往盐水中再加入1克盐和8克水，判断新盐水的浓度是否不变 C．一辆汽车3小时行驶180千米，照这样的速度，计算行驶300千米需要的时间 D．一个长方形的长和宽的比是，若长增加2厘米、宽增加3厘米，判断新长方形的长和宽的比是否不变 2．（2026·浙江衢州·一模）如图，在四边形中，，，，点H，F分别在边上移动（不与端点重合），连接，则下列为定值的是（    ） A．的大小 B．四边形的周长 C．线段的长 D．四边形的面积 3．（2026·浙江舟山·一模）如图，矩形和正方形面积相等，点B在边上，点G在上，交于M点，，，若，则（   ） A． B． C． D． 4．（2026·浙江舟山·一模）如图，和是以点O为位似中心的位似图形．若的面积为，则的面积为（    ） A．20 B． C．30 D． 二、填空题 5．（2026·浙江金华·一模）如图，在边长为2的正六边形中，点G为的中点，连接交于点H，则四边形的周长为_____________． 6．（2026·浙江温州·一模）如图，已知在中，，是上的高线，点是上的一点，交于点．过点作交于，连接，若，的面积为，则的面积为______． 三、解答题 7．（2026·浙江台州·一模）如图，抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点C，直线过B、C两点，连接AC． （1）求抛物线的解析式； （2）求证：； （3）点是抛物线上的一点，点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作轴交直线BC于点E，点P为抛物线对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求的最小值． 8．（2026·浙江衢州·一模）如图，在中，，以为直径作，交于点D，过点D作，垂足为E． (1)求证：是的切线； (2)若，． ①求的长； ②点P为上一点，连接，是否有最小值？若有，请直接写出这个最小值；若没有，请说明理由． 9．（2026·浙江湖州·一模）如图，在中，，点是边上一点，以点为圆心，为半径的半圆交边于点，与相切于点，连接，． (1)求证：平分； (2)若，求该圆的直径． 相似三角形的判定与性质综合 考点2 一、单选题 10．（2026·浙江嘉兴·一模）如图，在直角坐标系中，是原点，点在反比例函数（为常数，，）的图象上，点在轴上，且，延长交反比例函数（）的图象于点，记点，的横坐标分别为，．当，的值变化时，下列代数式的值不变的是（   ） A． B． C． D． 11．（2026·浙江杭州·一模）如图，五边形与五边形是位似图形，为位似中心．若，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 12．（2026·浙江杭州·一模）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，直线交正方形的两边于点E，F，若，，则用含a，b的式子表示的值是（） A． B． C． D． 13．（2026·浙江金华·一模）如图，点为的重心，当动点从点出发沿的边逆时针运动一周，设点的运动路程为，为，关于函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D．的面积为 14．（2026·浙江台州·一模）如图，在圆内接四边形中，是圆的直径，过点C作于点E，连接．若，，，则的面积为（   ） A．16 B．15 C．12 D．10 15．（2026·浙江湖州·一模）如图，矩形中，对角线，交于点，点是点关于直线的对称点．连接交，于点，连接．若，则的长度为（    ） A． B． C． D． 16．（2026·浙江舟山·一模）如图，是的直径，是的弦，，垂足为，连接并延长，与过点的切线相交于点，连接．若的半径为，，则的长是（       ） A． B． C． D． 17．（2026·浙江杭州·一模）如图，在菱形中，与相交于点O，，垂足为点M，交于点N，若，，则的长为（    ） A． B．5 C． D． 18．（2026·浙江舟山·一模）如图，在矩形中，，，点E是的中点，连接，交于点O，则的长度为（   ） A． B． C． D． 19．（2026·浙江温州·一模）如图，在菱形中，对角线，相交于点，点为上一点，连接，将沿翻折得到交于点，连接．当四边形为平行四边形时，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 20．（2026·浙江宁波·一模）如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为12，则C点坐标为（　　） A．（6，4） B．（6，2） C．（4，4） D．（8，4） 二、填空题 21．（2026·浙江温州·一模）如图，在中，，点分别在边上，连接，作于点，连接．若垂直平分，，，则的长为__________． 22．（2026·浙江丽水·一模）如图，在矩形中，，是边上的一点，，以为圆心，为半径的圆弧交于点，交于点．若是弧的中点，则_____ ． 23．（2026·浙江舟山·一模）如图，在中，点是上一点，且，若，，则________． 24．（2026·浙江·一模）如图，四边形内接于，，连结，若与的面积相等，则的长为__________． 25．（2026·浙江金华·一模）如图，在菱形中，点E在上，连结，作点A关于直线的对称点，连结交于点F，若点恰为的中点，则与的面积比为_____________． 26．（2026·浙江湖州·一模）如图，已知点为的直径上一点，且．为上一点，满足：连接并延长交圆于点．连接，过点作，若，则的长为__________ 27．（2026·浙江杭州·一模）某中学数学社团开展折纸活动，如图，在一张宽为，长度足够的矩形纸条中剪取矩形纸片（）．先将纸片折出折痕，再在边上取点P，将沿折叠得．记与的交点为Q，在折纸过程中，当点Q平分线段时，恰好平分，则长度应取________． 28．（2026·浙江杭州·一模）如图，在中，，，点E是边上的中点，将沿翻折得，连接，点B，F，E恰好在同一直线上，延长交于点G．则与四边形的面积比为________ ． 29．（2026·浙江台州·一模）如图是笔直杠杆的示意图．已知，支点离水平地面的高度为．当杠杆的端点落到地面时，端点离地面的高度为，则的长度为_______． 三、解答题 30．（2026·浙江杭州·一模）如图，在中，以为直径作，交于点，，交于点．过点作于点，交于点，连接，交于点． (1)如图1，若，． ①求的度数． ②求证：． (2)如图2，，点为中点，若，，求的长． 31．（2026·浙江杭州·一模）如图，内接于，，连结并延长交于点E，交于点D．连结，，． (1)求证：． (2)若，求的度数． (3)若，，求的长． 32．（2026·浙江嘉兴·一模）如图，在等边中，是边上的动点，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，，交边于点． (1)求的度数． (2)若的面积为，，求的长． (3)若，求的最大值． 33．（2026·浙江舟山·一模）如图1，在菱形中，，是对角线上一点，连接，设，将沿折叠得到，连接并延长交于点． (1)用含的代数式表示． (2)求证： ①； ②． (3)如图2，当时，求的值． 34．（2026·浙江舟山·一模）在矩形中，，点E是对角线上任意一点，过点E作的垂线分别交于点F，G，作平行交于点H． (1)证明：． (2)连结交于点K，若，求的值． (3)作的外接圆，且． ①若与矩形的边相切时，求的长． ②作点E关于的对称点，当落在上时，直接写出的面积． 35．（2026·浙江金华·一模）如图，在矩形中，以为直径的交于点E，F，连接，过点O作交于点G，过点G作于点H，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)若是的切线，求证：． 36．（2026·浙江舟山·一模）周末，小明，小亮和小红去游乐园玩，他们分别排队去坐摩天轮，如图，地面PQ切摩天轮于点A，小明在摩天轮上M处时发现，小亮在A处正准备登上摩天轮，而小红在小明正下方的地面B处排队，若为摩天轮的直径，请解决以下问题． (1)求证：平分； (2)若摩天轮的直径为，且小明到地面的高度为，求小亮与小明之间的距离是多少？ 37．（2026·浙江湖州·一模）【问题背景】如图所示，某兴趣小组将矩形纸片沿对角线剪开，再把沿着方向平移，得到，交于点，交于点． 【数学理解】 (1)在平移过程中，线段的长始终与相等，请说明理由； (2)已知，在平移过程中，当两个三角形的重叠部分为菱形时，求移动的距离． 38．（2026·浙江杭州·一模）（1）如图1，在△ABC中，，CD平分，交AB于点D，//，交BC于点E． ①若，，求BC的长； ②试探究是否为定值．如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． （2）如图2，和是△ABC的2个外角，，CD平分，交AB的延长线于点D，//，交CB的延长线于点E．记△ACD的面积为，△CDE的面积为，△BDE的面积为．若，求的值． 位似 考点3 一、单选题 39．（2026·浙江嘉兴·一模）如图，在直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 40．（2026·浙江温州·一模）如图，与是以点为位似中心的位似图形．若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 41．（2026·浙江舟山·一模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点为，，．以点为位似中心，在第三象限内作与的位似比为的位似图形，则点坐标为（   ） A． B． C． D． 42．（2026·浙江湖州·一模）如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形，，点坐标为，则点的坐标为（        ） A． B． C． D． 43．（2026·浙江杭州·一模）已知在平面直角坐标系中，的顶点分别为，，，若以原点O为位似中心，相似比为2，将放大，则点A的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D．或 44．（2026·浙江温州·一模）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 45．（2026·浙江丽水·一模）如图，与关于点P位似，其中，，则与的面积之比是（   ） A． B． C． D． 46．（2026·浙江宁波·一模）如图，在平面直角坐标系中与是位似图形，以原点O为位似中心，若，B点坐标为，则点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 47．（2026·浙江温州·一模）如图，与是以坐标原点O为位似中心的位似图形，若点A、的坐标分别为、，的面积是6，则的面积为（    ）    A．18 B．12 C．24 D．9 48．（2026·浙江杭州·一模）如图，在直角坐标系中，与是位似图形，则它们位似中心的坐标是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 49．（2026·浙江金华·一模）古书《墨子·天文志》中记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，以面积为4的正方形对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则，C两点之间的距离为_____________． 50．（2026·浙江绍兴·一模）如图，在平面直角坐标系中，和是以O为位似中心的位似图形，A，B两点的坐标分别为，．点A的对应点C的坐标是，则点D的坐标是__． 51．（2026·浙江宁波·一模）如图，和是以点O为位似中心的位似图形，若，则与的面积比是______． / 学科网（北京）股份有限公司 $