专题04 二次函数（3大考点，38题）（浙江专用）2026年中考数学一模分类汇编

专题04 二次函数（3大考点，38题） 3大考点概览 考点01二次函数的图象与性质 考点02二次函数与实际问题 考点03二次函数的综合 二次函数的图象与性质 考点1 一、单选题 1．（2026·浙江温州·一模）如图1，在菱形中，，点P从点D出发，以每秒1个单位的速度沿向终点B运动，同时点Q从点B出发，沿折线向终点D匀速运动，两点同时到达终点．设运动时间为x秒，为y．如图2，y关于x的函数图象经过最低点．下列说法不正确的是（   ） A． B． C． D．点在该函数图象上 2．（2026·浙江舟山·一模）已知抛物线（，为常数且），当时．若抛物线与轴的交点位于最高位置时，则的图像可能正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·浙江杭州·一模）已知点，，均在抛物线的图象上，且，点和也在此抛物线上，则下列说法正确的是（   ） A．若恒成立，则 B．若恒成立，则 C．若恒成立，则 D．若恒成立，则 4．（2026·浙江舟山·一模）在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，抛物线的对称轴是直线，若，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2026·浙江杭州·一模）已知抛物线（为常数，）的图象与轴有两个交点，且这两个交点分别位于轴两侧，下列结论正确的是（　　） A．图象的开口向下 B．当时，随的增大而增大 C．函数的最小值小于 D．当时， 6．（2026·浙江舟山·一模）图，在四边形中，，，，点从点向点运动，连接，过点作交于点，连接，设，的面积为，则能反映与之间函数关系的图象是（    ） A． B． C． D． 7．（2026·浙江舟山·一模）如图，若，，，则抛物线的图象大致为（    ） A． B． C． D． 8．（2026·浙江温州·一模）在平面直角坐标系中，两点在抛物线上，则下列结论中正确的是（   ） A．若，且，则 B．若，则 C．若，且，则 D．若，则 9．（2026·浙江衢州·一模）已知是抛物线上的点，则（　　） A． B． C． D． 10．（2026·浙江温州·一模）在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数，其中． ①若这个函数的图象经过点，则函数必有最大值； ②若时，随的增大而减小，则必有； ③若这个函数的图象经过点，则不等式的解集为或； ④若方程有一根为，且，则必有． 上述四个结论中：所有正确的个数（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 11．（2026·浙江杭州·一模）若抛物线的顶点在直线上，则m的值为__________． 三、解答题 12．（2026·浙江金华·一模）我们知道，对于平移前后的两个图形，连结对应点所得线段的长度即为原图形的平移距离．已知点为平面直角坐标系内一点． (1)若将点先向左平移个单位，再向上平移个单位得到点，求点的平移距离的长度； (2)将直线平移得直线，设直线上任意一点平移后的对应点为．若直线的平移距离，且直线平行于第二、四象限的角平分线，求直线的函数表达式； (3)将抛物线沿着射线方向平移得到抛物线，当时，抛物线上的点到轴的距离都小于，求抛物线的平移距离的取值范围． 13．（2026·浙江宁波·一模）已知二次函数，m为实数． (1)若，求该函数图象的对称轴． (2)当时，函数y的最大值与最小值之差为8，求m的值． (3)若点，，且，，试比较与大小． 14．（2026·浙江温州·一模）已知抛物线（m为常数）经过点． (1)求抛物线的对称轴； (2)过点与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，且，求n的值； (3)设，抛物线的一段夹在两条均与x轴平行的直线，之间．若的最大值为6，求直线，之间的距离． 15．（2026·浙江丽水·一模）定义：若函数图象上存在点，，且满足，则称t为该函数的“域差值”．例如：函数，当时，；当时，则函数的“域差值”为2 (1)点在的图象上，“域差值”，求m的值； (2)已知函数，求证该函数的“域差值”； (3)点为函数图象上的一点，将函数的图象记为W1，将函数的图象沿直线翻折后的图象记为当两部分组成的图象上所有的点都满足“域差值”时，求a的取值范围．   解：∵点为函数图象上的一点， ， 16．（2026·浙江温州·一模）已知抛物线（b为常数）经过点,． (1)求抛物线的函数表达式． (2)当时,,求k的最大值． (3)过点B与x轴平行的直线交抛物线于点,若,求t的取值范围． 17．（2026·浙江嘉兴·一模）已知二次函数（为常数）． (1)求该二次函数图象的对称轴． (2)过点且与轴平行的直线交二次函数的图象于点，，． ①求的取值范围； ②若，且当时，二次函数的最小值为2，求的值． 18．（2026·浙江舟山·一模）某校计划举行“非遗进校园”活动，现要装饰如图①所示的舞台，在顶棚上悬挂电子屏幕．某一小组记录的调研报告如表所示． 调研主题 装饰舞台—安装电子屏幕 模型抽象 顶棚截面图如图所示，由两段形状相同的抛物线拼接而成，抛物线与抛物线关于点成中心对称，以点为原点，过点的水平直线为轴，过点且垂直于轴的竖直直线为轴建立平面直角坐标系．舞台平面与轴平行，交轴于点． 安装方式 矩形电子屏幕如图所示悬挂，右端固定在抛物线的顶点处，左端从抛物线上的点处拉一条绳索固定，轴，交轴于点，点、在边上，边与平行于轴． 任务目标 1．为保证表演者的安全，与舞台平面之间的距离要不小于米； 2．与轴之间的距离为，需要的绳索长度是多少？（打结处忽略不计） 数据采集 顶点F的坐标为，， (1)求抛物线的函数表达式； (2)通过计算说明与舞台平面l之间的距离是否符合要求？并求绳索的长度． 19．（2026·浙江台州·一模）已知点在二次函数（a为常数，且）的图象上． (1)求a的值． (2)点，均在二次函数的图象上． ①当点B与点A重合时，求点C的坐标； ②当时，函数值的范围是，求k的最大值． 20．（2026·浙江杭州·一模）在平面直角坐标系xOy中，点和在抛物线上，设抛物线的对称轴为直线． (1)当，时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值； (2)点在抛物线上，若，求的取值范围； (3)当2时，函数的最大值与最小值的差为，求的值． 21．（2026·浙江湖州·一模）已知二次函数（a为常数）． (1)当时，求该二次函数图象的顶点坐标； (2)与轴平行的直线交该二次函数图象于，两点，且点的横坐标为，求线段的长； (3)若，点，在该二次函数图象上，试说明． 22．（2026·浙江舟山·一模）设二次函数． (1)若该函数的对称轴为直线．求该函数的顶点坐标； (2)判断该函数是否存在最大值11，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)已知点，和在函数图象上，当时，都有，求的取值范围． 23．（2026·浙江衢州·一模）已知二次函数（常数）． (1)当时，求该二次函数图像的顶点坐标． (2)是否存在实数，使得对于任意实数，当取和时，对应的函数值始终相等？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)当时，若始终成立，求的取值范围． 24．（2026·浙江杭州·一模）已知关于x的二次函数． (1)当函数图象经过点时． ①求该二次函数的表达式． ②若将平面内一点向右平移个单位或向左平移个单位，都恰好落在函数的图象上，求的值． (2)设点，是该函数图象上的两点，且．求证：． 25．（2026·浙江温州·一模）已知二次函数的图象与轴交于两点（在的左侧），且，图象顶点的横坐标为4． (1)求两点的坐标． (2)求方程的解． (3)若，将此二次函数在轴下方的图象沿轴翻折得到新的函数图象，若直线与新图象有4个交点，从左至右依次为，当时，求的值． 26．（2026·浙江温州·一模）综合与实践 【探索发现】小温在探索“圆与相似三角形”相关知识时发现如下结论：如图1，在圆中，若弦与交于点，则有． (1)【猜想验证】请证明上述结论． (2)【实践应用】如图2，若，则的坐标为___________． (3)【综合拓展】如图3，已知二次函数的图象与轴交于两点（在轴左侧，在轴右侧），与轴负半轴交于点．经过三点的圆与轴正半轴交于点，求点的坐标． 27．（2026·浙江杭州·一模）已知二次函数的函数值和自变量的部分对应值如下表所示： … … … … (1)当时， 求该二次函数图象的顶点坐标； 若，求的取值范围； (2)求证：． 28．（2026·浙江·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线为．（为常数，） (1)当时，求抛物线的顶点坐标； (2)将抛物线向下平移个单位后与轴交于，两点，求的长． (3)当（）时，的最大值与最小值之差为，求的取值范围． 29．（2026·浙江舟山·一模）在平面直角坐标系中，已知二次函数（b，c为常数）的对称轴为直线，且过点． (1)求该二次函数的表达式； (2)若将该函数图象向上平移m个单位后，所得图象与x轴只有一个交点，求m的值； (3)当自变量x满足时，y的最大值为m，最小值为n，且，求t的值． 二次函数与实际问题 考点2 一、单选题 30．（2026·浙江温州·一模）如图，已知，，动点在线段上由向运动，连接，将绕点逆时针旋转得，连接．设，的面积为，关于的函数图象如图所示，最高点为．则的值为（    ） A． B． C． D．无法确定 31．（2026·浙江金华·一模）如图，游乐园里的原子滑车是很多人喜欢的项目，惊险刺激，原子滑车在轨道上运行的过程中有一段路线可以看作是抛物线的一部分，原子滑车运行的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系．下图记录了原子滑车在该路段运行的与的三组数据、、，根据上述函数模型和数据，可推断出，此原子滑车运行到最低点时，所对应的水平距离满足（    ） A． B． C． D． 二、解答题 32．（2026·浙江舟山·一模） 《观景拱桥的设计》 项目背景 某公园有一个抛物线形状的观景拱桥，其横截面如图所示： 任务1 建立模型 （1）在图中建立的直角坐标系中，抛物线过顶点，（长度单位：）．求出抛物线的解析式． 任务2 利用模型 （2）在拱桥加固维修时，搭建的“脚手架”为矩形（、分别在抛物线的左右侧上）．并铺设斜面．已知“脚手架”的三边所用钢材长度为（在地面，无需使用钢材），求“脚手架”打桩点与拱桥端点的距离． 任务3 分析计算 （3）在平面内，把一个图形上的任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值称为这两个图形的距离．为了美观，在距离点处米的地面、处安装射灯，射灯射出的光线与地面成角，如图所示，光线交汇点在拱桥的正上方，其中光线所在的直线解析式为，求光线与抛物线拱桥之间的距离．（忽略台阶的高度） 33．（2026·浙江舟山·一模）问题提出 (1)如图①，为上一点，连接、，当时，__________． 问题探究 (2)如图②，在边长为6的等边中，为的中点，为边上任意一点，连接，并作，使得的一边与交于点，试求出的最大值． 问题解决 (3)如图③，四边形为某美食商业区的平面示意图，其中，，，．经过一段时间的运营，为了更好地服务消费者，打造美食街区的独特风格．市场管理者计划在美食商业区规划一片三角形区域用于美食烹饪表演． 方案：在上选取一点M，上选取一点，连接、、，构造．已知点为美食商业区的出入口，，设． （i）求与之间的函数关系式． （ii）为了不影响其他商户的经营，同时确保表演区域足够集中，需要点与点的距离足够远，请你根据需求计算出当最大时的面积． 二次函数的综合 考点3 一、解答题 34．（2026·浙江杭州·一模）已知二次函数（为常数且）． (1)当点在该二次函数图象上时，求的值． (2)已知在该函数图象上． ①若时，有且，求证：． ②若，存在，求的取值范围． 35．（2026·浙江舟山·一模）已知抛物线，，为坐标原点，，为该抛物线上的两点，且． (1)已知点，求该抛物线与轴的另一交点坐标． (2)记抛物线的对称轴与轴的交点为，若点在轴正半轴上，满足，求的值． (3)若对于，都有，求的取值范围． 36．（2026·浙江丽水·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线 (1)求抛物线的顶点的坐标；（要有过程） (2)若直线与抛物线的一个交点的横坐标为4，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点． ①当时，求的长． ②当点在点的下方，且线段的长随的长的增大而减小时，求的取值范围． 37．（2026·浙江嘉兴·一模）在平面直角坐标系中，，是抛物线上不重合的两点． (1)当时，求抛物线的顶点坐标； (2)若，时，求的值； (3)若对于，都有，求的取值范围． 38．（2026·浙江金华·一模）如图，抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点C，直线过B、C两点，连接AC． （1）求抛物线的解析式； （2）求证：； （3）点是抛物线上的一点，点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作轴交直线BC于点E，点P为抛物线对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求的最小值． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 二次函数（3大考点，38题） 3大考点概览 考点01二次函数的图象与性质 考点02二次函数与实际问题 考点03二次函数的综合 二次函数的图象与性质 考点1 一、单选题 1．（2026·浙江温州·一模）如图1，在菱形中，，点P从点D出发，以每秒1个单位的速度沿向终点B运动，同时点Q从点B出发，沿折线向终点D匀速运动，两点同时到达终点．设运动时间为x秒，为y．如图2，y关于x的函数图象经过最低点．下列说法不正确的是（   ） A． B． C． D．点在该函数图象上 【答案】B 【分析】连接，交于点O，过点Q作于点H，结合菱形的性质得，，，进一步判定，有，根据题意可知点Q以每秒2个单位的速度沿折线向终点D匀速运动，图2的对称性可知，当点Q运动至点C、点P运动至点O时，，则，则和，结合图2可知点，此时点P与点B重合，点Q与点D重合，进而分：点Q在线段运动时，解得、和，利用勾股定理求得为，即可得到点E的信息；当点Q在线段运动时，同理可得，，，和，则，利用勾股定理求得，代入点即可． 【详解】解：连接，交于点O，过点Q作于点H，如图， ∵菱形中，， ∴，，，， ∴为等边三角形． 则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 则点Q以每秒2个单位的速度沿折线向终点D匀速运动， 由图2的对称性可知，当点Q运动至点C、点P运动至点O时，，则， 那么，，，由图2可知点，此时点P与点B重合，点Q与点D重合， 当点Q在线段运动时， ∴，，， ∴，解得，， 则， 那么，为 ， 当时即为图2的点E，， 当时，， 当点Q在线段运动时， 同理可得，，， ∴，， 则， 那么，为 ， 当时，， 故选∶B． 【点睛】本题主要考查菱形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理的应用和二次函数的应用，解题的关键是应用动态的思想找到菱形的边长． 2．（2026·浙江舟山·一模）已知抛物线（，为常数且），当时．若抛物线与轴的交点位于最高位置时，则的图像可能正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将抛物线的解析式化为顶点式，根据当时得到，借此判断抛物线的开口及最高点坐标即可得出结论. 【详解】解：∵， 又∵当时． ∴ ∵， 抛物线与轴的交点位于最高位置， ∴抛物线与轴交点坐标为且开口向下， 故选：A ． 3．（2026·浙江杭州·一模）已知点，，均在抛物线的图象上，且，点和也在此抛物线上，则下列说法正确的是（   ） A．若恒成立，则 B．若恒成立，则 C．若恒成立，则 D．若恒成立，则 【答案】D 【分析】先根据已知点坐标求出抛物线开口方向和对称轴的范围，再结合二次函数的增减性和恒成立条件判断选项． 【详解】解：把，代入得： 两式相减得，化简得. 把代入抛物线得，减去点的式子得， 把代入得，解得. ， ，即，抛物线开口向上， 对称轴为，结合的范围可得， 对于点和，开口向上时，等价于，平方化简得. 若恒成立，则对所有都满足， 因此， 解得. 同理，若恒成立， 可得， 所以选项D正确． 4．（2026·浙江舟山·一模）在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，抛物线的对称轴是直线，若，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先判断出抛物线开口向上，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小，抛物线与y轴交于点，然后分情况讨论求解即可． 【详解】解：∵ ∴抛物线开口向上 ∵抛物线的对称轴是直线， ∴当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小 ∵当时， ∴抛物线与y轴交于点 当时， ∵ ∴，不符合题意； 当当时， ∵ ∴对称轴到的距离小于对称轴到的距离 ∴，即； ∴； 当对称轴在点和点之间时，即当时， ∵ ∴对称轴到的距离小于对称轴到的距离 ∴，即 ∴ 当对称轴在点右边时，即当时， ∵ ∴，不符合题意； 综上所述，t的取值范围是． 5．（2026·浙江杭州·一模）已知抛物线（为常数，）的图象与轴有两个交点，且这两个交点分别位于轴两侧，下列结论正确的是（　　） A．图象的开口向下 B．当时，随的增大而增大 C．函数的最小值小于 D．当时， 【答案】D 【分析】先根据抛物线与x轴交点在y轴两侧的条件，求出a的取值范围，再结合二次函数的性质，逐一判断各选项即可． 【详解】首先对抛物线解析式配方： 由此可得，抛物线对称轴为直线，顶点坐标为. 当时，代入得. ∵抛物线与x轴的两个交点分别位于y轴两侧，∴与处的函数值异号，即. 解得. 对选项逐一判断： A. ∵，∴抛物线开口向上，A错误. B. ∵开口向上，对称轴为，∴当时随增大而增大，当时随增大而减小，B错误. C. ∵开口向上，顶点纵坐标为，∴函数的最小值为，不小于，C错误； D. 将代入解析式得：， ∵，∴，即，D正确． 6．（2026·浙江舟山·一模）图，在四边形中，，，，点从点向点运动，连接，过点作交于点，连接，设，的面积为，则能反映与之间函数关系的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作于，过点作，交延长线于，延长，交于，可证明四边形是正方形，是等腰直角三角形，，设，利用平角的定义及直角三角形两锐角互余得出，即可证明，根据相似三角形的性质得出，即可得出，，利用三角形面积公式得出，利用二次函数的性质即可判断与之间函数关系的图象． 【详解】解：过点作于，过点作，交延长线于，延长，交于， ∵， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴四边形是正方形，，， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，则， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， ∵，， ∴与之间函数关系的图象是开口向上的抛物线，且最大值为，与轴交点坐标为， ∴C选项符合题意． 【点睛】本题考查 动点问题的函数图象、相似三角形的判定与性质、二次函数的性质、等腰三角形的判定与性质，正确得出是解题关键． 7．（2026·浙江舟山·一模）如图，若，，，则抛物线的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由可以得出抛物线的开口向下，由得出抛物线与轴的交点在轴的负半轴上，由，可以得出抛物线的对称轴，即抛物线的对称轴在轴右侧，据此即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，故C选项错误； ∵， ∴抛物线与轴的交点在轴的负半轴上，故A选项错误； ∵，， 故抛物线的对称轴为， ∴抛物线的对称轴在轴右侧，故D选项错误． 8．（2026·浙江温州·一模）在平面直角坐标系中，两点在抛物线上，则下列结论中正确的是（   ） A．若，且，则 B．若，则 C．若，且，则 D．若，则 【答案】D 【分析】先求出抛物线对称轴，结合得到抛物线开口方向和增减性，再逐项判断即可． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向上， ∴当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；点距离对称轴越远，值越大； A：∵，， ∴，即， ∴点离对称轴更远， ∴，故该选项不合题意； B：∵，两点都在对称轴左侧，随增大而减小， ∴，故该选项不合题意； C：∵，，说明顶点纵坐标小于0， 将代入解析式得，可得，但不能推出，故该选项不合题意； D：∵，两点都在对称轴右侧，开口向上时随增大而增大， ∴，故该选项符合题意． 9．（2026·浙江衢州·一模）已知是抛物线上的点，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，求出抛物线的对称轴为直线然后根据二次函数的增减性和对称性解答即可．利用二次函数的增减性和对称性解题是关键． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， ∴关于对称轴的对称点为， ∵， ∴时，y随x的增大而增大， ∵， ∴． 故选：C． 10．（2026·浙江温州·一模）在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数，其中． ①若这个函数的图象经过点，则函数必有最大值； ②若时，随的增大而减小，则必有； ③若这个函数的图象经过点，则不等式的解集为或； ④若方程有一根为，且，则必有． 上述四个结论中：所有正确的个数（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质，包括最值、单调性、不等式解集及根的范围，灵活运用反例或结合性质找到a，b的范围，从而判断选项是否错误是解题关键． 结合条件，利用二次函数的性质逐一判断选项即可． 【详解】对于①：若经过点，则有，结合，可得，，∴，故函数必有最大值，选项正确； 对于②：可取反例，当时，，，此时当时，y随x的增大而减小，故原选项错误； 对于③：若经过点，则有，结合，可得，，∴， 令，解得，或，∵，结合图象可知，不等式的解集为或，选项正确； 对于④：由，即，可知二次函数经过定点，∴方程的其中一根为， 若，则有，，即，，解得，，故原选项错误， ∴①③正确，正确的个数为2个， 故选：B． 二、填空题 11．（2026·浙江杭州·一模）若抛物线的顶点在直线上，则m的值为__________． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标，一次函数的性质，公式法进行解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先整理得出顶点坐标为，再把代入，得出，运用公式法进行解一元二次方程，即可作答． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线， 把代入， 得， 即顶点坐标为， ∵抛物线的顶点在直线上， ∴， 整理得， 则， ∴， ∴ 故答案为：或． 三、解答题 12．（2026·浙江金华·一模）我们知道，对于平移前后的两个图形，连结对应点所得线段的长度即为原图形的平移距离．已知点为平面直角坐标系内一点． (1)若将点先向左平移个单位，再向上平移个单位得到点，求点的平移距离的长度； (2)将直线平移得直线，设直线上任意一点平移后的对应点为．若直线的平移距离，且直线平行于第二、四象限的角平分线，求直线的函数表达式； (3)将抛物线沿着射线方向平移得到抛物线，当时，抛物线上的点到轴的距离都小于，求抛物线的平移距离的取值范围． 【答案】(1) (2)直线的函数表达式为或 (3) 【分析】（1）根据平移的规律求出平移后点的坐标，再根据距离公式求解即可； （2）先确定平移方向，再结合平移距离求出平移的单位长度，最后根据直线平移规律求函数表达式； （3）设沿射线平移的距离为，可看成沿轴向右平移个单位，沿轴向上平移个单位，确定平移后抛物线的顶点，进而得到平移后抛物线的解析式，最后利用抛物线上的点到轴的距离都小于列不等式求解． 【详解】（1）解：∵点先向左平移个单位，再向上平移个单位得到点， ∴， ∴； （2）解：∵直线平行于第二、四象限的角平分线， ∴点沿直线的方向平移， ∴设点沿轴平移个单位，沿轴平移个单位， ∵， ∴， ∴直线沿直线方向平移个单位，相当于向左平移个单位，向上平移个单位，或向右平移个单位，向下平移个单位， ∴直线的函数表达式：或， 即：直线的函数表达式为或； （3）解：∵ ∴平移前顶点 设沿射线平移的距离为，可看成沿轴向右平移个单位，沿轴向上平移个单位， ∴， 解得：， ∴平移后顶点为， ∴平移后解析式：， 当时，， 当时，， 当时，抛物线上的点到轴的距离都小于， ∴ 由解得； 由解得或； 由解得； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴综上：． 13．（2026·浙江宁波·一模）已知二次函数，m为实数． (1)若，求该函数图象的对称轴． (2)当时，函数y的最大值与最小值之差为8，求m的值． (3)若点，，且，，试比较与大小． 【答案】(1)直线 (2)m的值为 (3)当时，；当时，；当时， 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）当时，二次函数的解析式为，再由对称轴公式计算即可得出结果； （2）先求出二次函数对称轴为直线，且二次函数的开口向上，由题意可得，从而得出在上，随着的增大而增大，由此计算即可得出结果； （3）由（2）可得二次函数对称轴为直线，且二次函数的开口向上，先求出、两点的中点坐标的横坐标为，再分情况讨论即可得出结果． 【详解】（1）解：当时，二次函数的解析式为， 故此时二次函数的对称轴为直线； （2）解：∵， ∴二次函数的对称轴为直线，且二次函数的开口向上， ∵， ∴， ∴， ∴， 故在上，随着的增大而增大， 故当时，取得最小值为， 当时，取得最大值为， ∵函数y的最大值与最小值之差为8， ∴， 解得：（不符合题意舍去），； 故m的值为； （3）解：由（2）可得二次函数对称轴为直线，且二次函数的开口向上， ∵点，，且，， ∴、两点的中点坐标的横坐标为：， 当，即时，、两点关于对称轴对称，此时， 当，即时，点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，此时， 当，即时，点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，此时， 综上所述，当时，；当时，；当时，． 14．（2026·浙江温州·一模）已知抛物线（m为常数）经过点． (1)求抛物线的对称轴； (2)过点与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，且，求n的值； (3)设，抛物线的一段夹在两条均与x轴平行的直线，之间．若的最大值为6，求直线，之间的距离． 【答案】(1) (2) (3)9 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数和几何图形，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． （1）将点代入解析式，求出解析式，根据顶点式即可求解； （2）根据几何图形得出，然后根据对称轴列出方程求解即可； （3）根据直线和抛物线的交点得出，为直线与抛物线的交点横坐标，根据的最大值为6和对称轴得出，然后求出两直线之间的距离即可． 【详解】（1）解：将点代入得， ， 解得， ∴； ∴抛物线的对称轴为直线； （2）解：由（1）知，， ∴抛物线与轴的交点坐标为， ①当时，结合对称轴为直线，无法满足； ②当时， ∵点在轴上，过点与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点， ∴关于对称轴对称，的纵坐标均为， 又∵， ∴， 由对称性得， 联立得， ∴， 把代入，得， ∴； （3）解：由得，顶点坐标为，对称轴为直线， ∵抛物线的一段夹在两条均与x轴平行的直线，之间， ∵要使的最大值为6，为直线与抛物线的交点横坐标，和关于对称轴对称， ∴其中一条直线经过顶点，不妨设直线经过顶点，即：时， 设最大时，另一条直线的解析式为， ∴，即 ∴和为方程的两根， ∴ ∴， 解得， ∴， ∴直线，之间的距离为9． 15．（2026·浙江丽水·一模）定义：若函数图象上存在点，，且满足，则称t为该函数的“域差值”．例如：函数，当时，；当时，则函数的“域差值”为2 (1)点在的图象上，“域差值”，求m的值； (2)已知函数，求证该函数的“域差值”； (3)点为函数图象上的一点，将函数的图象记为W1，将函数的图象沿直线翻折后的图象记为当两部分组成的图象上所有的点都满足“域差值”时，求a的取值范围． 【答案】(1)或 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由题意得到的值，再由，列方程解答，即可； （2）设函数图象上存在点，且满足，，可得，再利用不等式的性质即可得出，即； （3）当两部分组成的图象上所有的点满足“域差值”时，则，可得，对于函数的图象沿直线翻折后的图象即为：，利用对称性可得，即可解答． 【详解】（1）解：∵点，在的图象上， ∵“域差值”， ， 即， 整理，得：， 解得：，， 经检验，，均是方程的解， ∴m的值为或； （2）证明：设函数图象上存在点，且满足， 当时，， 当时，， ， ， ， ， 即， 故该函数的“域差值”； （3）   解：∵点为函数图象上的一点， ， 由（2）得：， 当两部分组成的图象上所有的点都满足“域差值”时， 则， 解得：， ∴如图，当时，函数的图象上所有的点都满足“域差值”． 对于函数的图象沿直线翻折后的图象记为， 可得：， ∴． 【点睛】本题是函数背景下新定义问题，主要考查二次函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质，数形结合思想，解题的关键是正确理解题意并运用新定义解决问题． 16．（2026·浙江温州·一模）已知抛物线（b为常数）经过点,． (1)求抛物线的函数表达式． (2)当时,,求k的最大值． (3)过点B与x轴平行的直线交抛物线于点,若,求t的取值范围． 【答案】(1) (2)2． (3)． 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可. （2）结合二次函数的图象和性质求解即可. （3）利用二次函数的对称性以及图象和性质求解即可. 【详解】（1）解：把代入,得,解得, ∴抛物线的函数表达式为． （2）解：∵,,对称轴为直线, ∴当时,；而当或2时,, ∴由图象可得,当时,, ∴k的最大值为2． （3）解：∵点和点关于对称轴为直线对称， ∴，即, ∵ , 即, ∴． ∵,且当时，y随x的增大而减小, ∴当时,；时,． ∴t的取值范围是． 17．（2026·浙江嘉兴·一模）已知二次函数（为常数）． (1)求该二次函数图象的对称轴． (2)过点且与轴平行的直线交二次函数的图象于点，，． ①求的取值范围； ②若，且当时，二次函数的最小值为2，求的值． 【答案】(1) (2)①，②的值为或． 【分析】（1）直接利用对称轴公式进行计算即可； （2）①求出时的的值，即可得出结果；②根据题意，易得点在二次函数的图象上，待定系数法求出函数解析式，再分和两种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：∵， ∴对称轴为直线． （2）解：①如图1，当时， 则二次函数的图象经过点， ∴， ∴当时，． ②如图2，∵，且二次函数图象的对称轴为直线， ∴点在二次函数的图象上， ∴，解得． ∴． （Ⅰ）当时，， ∴当时，二次函数的最小值为2， ∴，解得（舍去）或． （Ⅱ）当时，， ∴当时，二次函数的最小值为2， ∴，解得或（舍去）． 综上：的值为或． 18．（2026·浙江舟山·一模）某校计划举行“非遗进校园”活动，现要装饰如图①所示的舞台，在顶棚上悬挂电子屏幕．某一小组记录的调研报告如表所示． 调研主题 装饰舞台—安装电子屏幕 模型抽象 顶棚截面图如图所示，由两段形状相同的抛物线拼接而成，抛物线与抛物线关于点成中心对称，以点为原点，过点的水平直线为轴，过点且垂直于轴的竖直直线为轴建立平面直角坐标系．舞台平面与轴平行，交轴于点． 安装方式 矩形电子屏幕如图所示悬挂，右端固定在抛物线的顶点处，左端从抛物线上的点处拉一条绳索固定，轴，交轴于点，点、在边上，边与平行于轴． 任务目标 1．为保证表演者的安全，与舞台平面之间的距离要不小于米； 2．与轴之间的距离为，需要的绳索长度是多少？（打结处忽略不计） 数据采集 顶点F的坐标为，， (1)求抛物线的函数表达式； (2)通过计算说明与舞台平面l之间的距离是否符合要求？并求绳索的长度． 【答案】(1) (2)与舞台平面l之间的距离符合要求， 【分析】（1）由关于原点中心对称的点的坐标特征，可得抛物线的顶点坐标，根据待定系数法即可得抛物线的函数表达式； （2）由题意可得与舞台平面之间的距离，当时，，可得，结合已知即可得绳索的长度． 【详解】（1）解：∵抛物线与抛物线关于点成中心对称，顶点的坐标为， ∴抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为， 把点代入， 解得， ∴抛物线的函数表达式为． （2）解：由题意可得与舞台平面之间的距离为， 当时，， ∴， 由题可得的长度为， ∴， ∴与舞台平面之间的距离符合要求，绳索的长度为． 19．（2026·浙江台州·一模）已知点在二次函数（a为常数，且）的图象上． (1)求a的值． (2)点，均在二次函数的图象上． ①当点B与点A重合时，求点C的坐标； ②当时，函数值的范围是，求k的最大值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）把代入可求出； （2）①由点B与点A重合得，，表示出点C的坐标为，代入函数解析式可得，解方程求出的值，从而确定点C的坐标； ②求出抛物线的对称轴是直线，由当时，函数值的范围是得出，由，在图象上求出，从而可得出结论． 【详解】（1）解：把代入，得， 解得； （2）解：①∵， ∴； ∵点B与点A重合， ∴，， ∴点C的坐标为， ∴， 解得或， ∵， ∴， ∴点C的坐标为； ②∵ ∴抛物线的对称轴是直线， ∵当时，函数值的范围是， ∴； ∵，在图象上， ∴， 解得， ∴， ∴，即， 所以k的最大值为2．. 20．（2026·浙江杭州·一模）在平面直角坐标系xOy中，点和在抛物线上，设抛物线的对称轴为直线． (1)当，时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值； (2)点在抛物线上，若，求的取值范围； (3)当2时，函数的最大值与最小值的差为，求的值． 【答案】(1)抛物线与y轴交点的坐标为，； (2)的取值范围为； (3)． 【分析】（1）当时，，可得抛物线与轴交点的坐标；再根据题意可得点，关于对称轴为对称，可得的值； （2）抛物线与y轴交点关于对称轴的对称点坐标为，由抛物线的图象和性质，可得当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，分类讨论：当点，点，点均在对称轴的右侧时，，由函数值的大小关系，可得，无解；当点在对称轴的左侧，点，均在对称轴的右侧时，，由函数值的大小关系可得，且，可得的取值范围，由二次函数的图象和性质，可得，即可得的取值范围； （3）由抛物线的对称轴为直线，可得，由二次函数的图象和性质，可得当2时，函数的最大值为，函数的最小值为，根据题意可得，结合，，即可得的值． 【详解】（1）解：当时，， ∴当时，， ∴抛物线与y轴交点的坐标为； ∵， ∴点，关于对称轴对称， ∴． （2）解：当时，， ∴抛物线与y轴交点坐标为， ∴抛物线与轴交点关于对称轴的对称点坐标为， ∵， ∴当时，y随x的增大而减小，当时，随的增大而增大， 当点，点，均在对称轴的右侧时， ， ∵， ∴， 解得（不符合题意，舍去）， 当点在对称轴的左侧，点，均在对称轴的右侧时，点在对称轴的右侧，， ∵， ∴，且， 解得， ∵，，对称轴为， ∴， ∴， 解得， ∴的取值范围为． （3）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ，， ∵， ∴，， ∵， ∴当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， ∴当2时， 函数的最大值为， 函数的最小值为， ∵函数的最大值与最小值的差为， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴． 21．（2026·浙江湖州·一模）已知二次函数（a为常数）． (1)当时，求该二次函数图象的顶点坐标； (2)与轴平行的直线交该二次函数图象于，两点，且点的横坐标为，求线段的长； (3)若，点，在该二次函数图象上，试说明． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）把代入二次函数解析式得，然后配成顶点式即可求解； （2）由题意易得该二次函数与x轴的交点坐标为，则有该二次函数的对称轴为直线，然后根据二次函数的对称性可进行求解； （3）由题意易得，，则有，然后根据二次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：当时，则二次函数的解析式为， 化为顶点式为， ∴二次函数图象的顶点坐标为； （2）解：令，则有，解得， ∴该二次函数与x轴的交点坐标为， ∴该二次函数的对称轴为直线， 由与x轴平行的直线交该二次函数图象于A，B两点可知：二次函数图象上的A，B两点关于二次函数的对称轴对称， ∵点B的横坐标为， ∴点B到对称轴的距离为， 根据对称的性质可知：； （3）解：∵点，在该二次函数图象上， ∴， ， ∴ ， 当时，即， 解得：， ∵，且， ∴， 即． 22．（2026·浙江舟山·一模）设二次函数． (1)若该函数的对称轴为直线．求该函数的顶点坐标； (2)判断该函数是否存在最大值11，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)已知点，和在函数图象上，当时，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2)该函数存在最大值11，此时的值为或； (3)或． 【分析】（1）根据抛物线对称轴求出的值，再代入解析式化为顶点式，即可得解； （2）将解析式化为顶点式可得当时，该函数有最大值，再根据一元二次方程根的判别式求解即可； （3）将点代入函数解析式求出，从而判断函数图象开口向下，对称轴为直线，则，且，即可得解． 【详解】（1）解：二次函数的对称轴为直线， ， 解得：， ， 该函数的顶点坐标为； （2）解：， 若该函数存在最大值11， 则，整理得， ， 解得：，， 即该函数存在最大值11，此时的值为或； （3）解：点在函数图象上， ， 解得：， ， 函数图象开口向下，对称轴为直线， ，且， 和在函数图象上，且当时，都有， 或． 23．（2026·浙江衢州·一模）已知二次函数（常数）． (1)当时，求该二次函数图像的顶点坐标． (2)是否存在实数，使得对于任意实数，当取和时，对应的函数值始终相等？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)当时，若始终成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)存在， (3)，且 【分析】（1）利用顶点解析式求顶点坐标即可； （2）利用二次函数的对称轴进行求解； （3）根据题意列出，得出，然后利用二次函数的性质以及不等式进行求解． 【详解】（1）解：当时，， ∴顶点坐标为； （2）解：存在，，理由如下： 二次函数的对称轴为直线， ∵对于任意实数，当取和时，对应的函数值始终相等， ∴对称轴为直线， ∴， 解得； （3）解：根据题意得，， ， 当时，恒成立， 故， 当时，随的增大而增大， ∴， ∴， ∵当时，若始终成立， ∴，且． 24．（2026·浙江杭州·一模）已知关于x的二次函数． (1)当函数图象经过点时． ①求该二次函数的表达式． ②若将平面内一点向右平移个单位或向左平移个单位，都恰好落在函数的图象上，求的值． (2)设点，是该函数图象上的两点，且．求证：． 【答案】(1)①；② (2)证明见解析 【分析】（1）①把代入，得出关于的一元一次方程，解方程求出的值即可；②根据平移方式求出平移后的两点坐标，代入①中所求关系式，得出关于的一元一次方程，解方程求出的值即可； （2）把点，分别代入，结合得出，根据平方的非负数性质即可得出结论． 【详解】（1）解：①∵二次函数的图象经过点， ∴， 解得：， ∴该二次函数的表达式为． ②∵， ∴点向右平移个单位的坐标为，向左平移个单位的坐标为， ∵点向右平移个单位或向左平移个单位，都恰好落在函数的图象上， ∴， 解得：． （2）证明：∵， ∴， ∵点，是该函数图象上的两点， ∴， ， ∴ ， ∵， ∴． 25．（2026·浙江温州·一模）已知二次函数的图象与轴交于两点（在的左侧），且，图象顶点的横坐标为4． (1)求两点的坐标． (2)求方程的解． (3)若，将此二次函数在轴下方的图象沿轴翻折得到新的函数图象，若直线与新图象有4个交点，从左至右依次为，当时，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查二次函数的对称性； （1）先确定二次函数对称轴为直线，且两点关于对称，再根据，得到两点到的距离为，即可得到； （2）由利用交点式得到，即，代入方程求解即可； （3）先求出抛物线解析式为，翻折后，再画出图形，设，则，分别代入对应解析式，结合 ，得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴交于两点，图象顶点的横坐标为4． ∴二次函数对称轴为直线，且两点关于对称， ∵，在的左侧， ∴两点到的距离为， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴方程化简为：， ∴， 解得：； （3）解： ， 翻折后， 如图，直线与新图象有4个交点，从左至右依次为， ，对称轴为直线， 设，则， 分别代入对应解析式，得：， ， 即， 解得：， ． 26．（2026·浙江温州·一模）综合与实践 【探索发现】小温在探索“圆与相似三角形”相关知识时发现如下结论：如图1，在圆中，若弦与交于点，则有． (1)【猜想验证】请证明上述结论． (2)【实践应用】如图2，若，则的坐标为___________． (3)【综合拓展】如图3，已知二次函数的图象与轴交于两点（在轴左侧，在轴右侧），与轴负半轴交于点．经过三点的圆与轴正半轴交于点，求点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）结合圆周角定理，证明∽即可； （2）根据求值即可； （3）根据，结合根与系数的关系求解即可. 【详解】（1）证明：如图1，连接， ∵，， ∴∽， ∴， 即； （2）解：由（1）知，， ∵， ∴，，， ∴， 解得， ∴； （3）解：设，， ∵， 即， 当时，由韦达定理可得，， ， 则． 27．（2026·浙江杭州·一模）已知二次函数的函数值和自变量的部分对应值如下表所示： … … … … (1)当时， 求该二次函数图象的顶点坐标； 若，求的取值范围； (2)求证：． 【答案】(1)顶点坐标为； (2)见解析 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的对称性是解题的关键． （1）令，求得对应的值，然后根据二次函数的对称性即可确定顶点坐标；根据函数图象的对称性可得：离对称轴越远，函数值越大，得到对应的点比对应的点距离对称轴远，列不等式，解不等式即可得解； （2）令，得到，进而表示出，结合即可得证． 【详解】（1）解：当时， 当时，， 当时，， 由二次函数的对称性可知顶点坐标为． 二次函数图象的对称轴为直线，且，开口向上， 离对称轴越远，函数值越大， ， 对应的点比对应的点距离对称轴远， ，即， 或， 解得或， 观察表格可知，， ． （2）证明：当时，， ， ， ， ． 28．（2026·浙江·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线为．（为常数，） (1)当时，求抛物线的顶点坐标； (2)将抛物线向下平移个单位后与轴交于，两点，求的长． (3)当（）时，的最大值与最小值之差为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与坐标轴的交点问题，二次函数图象的平移，解题关键是掌握二次函数的图象与性质． （1）将代入抛物线解析式中，化为顶点式，即可得到顶点坐标； （2）根据平移的特征写出平移后的解析式，令，解方程即可求得抛物线与轴的交点坐标，即可得解； （3）将抛物线化为顶点式，得到对称轴，结合，，，可得到抛物线的最值情况，根据最大值与最小值之差为列式计算即可． 【详解】（1）解：当时，抛物线为. 抛物线的顶点坐标为； （2）解：抛物线向下平移个单位后为， 令，即， ， 解得或， 抛物线与轴的交点分别为，， ； （3）解：， 对称轴为直线， ， 抛物线开口向下， ，， 当时，取到最大值为， 当时，取到最小值，最小值为， 的最大值与最小值之差为， ， 化简得：，即， ， ， ， . 29．（2026·浙江舟山·一模）在平面直角坐标系中，已知二次函数（b，c为常数）的对称轴为直线，且过点． (1)求该二次函数的表达式； (2)若将该函数图象向上平移m个单位后，所得图象与x轴只有一个交点，求m的值； (3)当自变量x满足时，y的最大值为m，最小值为n，且，求t的值． 【答案】(1) (2)3 (3)3或 【分析】本题考查待定系数法求函数表达式、二次函数的图象与性质、函数图象的平移，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）利用函数图象平移的规则“左加右减，上加下减”得到平移后的函数表达式，再求得时的m值即可； （3）分，，三种情况，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数（b，c为常数）的对称轴为直线，且过点， ∴，，则， ∴该二次函数的表达式为； （2）解：将该函数图象向上平移m个单位后，所得函数表达为， ∵所得图象与x轴只有一个交点， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， 解得； （3）解：二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，， ∴抛物线上，横坐标为5的点的对称的点的横坐标为， ∴当时，最大值，最小值， 由得， 解得，（舍去）； 当时，最大值，最小值， ∴不满足，不符合题意； 当时，最大值为，最小值为， 由得， 解得，（舍去）， 综上，t的值为3或． 二次函数与实际问题 考点2 一、单选题 30．（2026·浙江温州·一模）如图，已知，，动点在线段上由向运动，连接，将绕点逆时针旋转得，连接．设，的面积为，关于的函数图象如图所示，最高点为．则的值为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用，旋转的性质，全等三角形的判定和性质等，过点作的延长线于点，过点作于点，可证，得到，设，则，可得，利用抛物线的对称轴可得，即得到，最后把代入计算即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作的延长线于点，过点作于点，则， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， 由图知，抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得， ∴， 当时，，即， 故选：． 31．（2026·浙江金华·一模）如图，游乐园里的原子滑车是很多人喜欢的项目，惊险刺激，原子滑车在轨道上运行的过程中有一段路线可以看作是抛物线的一部分，原子滑车运行的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系．下图记录了原子滑车在该路段运行的与的三组数据、、，根据上述函数模型和数据，可推断出，此原子滑车运行到最低点时，所对应的水平距离满足（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由图得A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求出该二次函数的解析式，再根据对称轴或者顶点可求出答案． 【详解】由图得A（0，2）、B（2，1）、C（4，4），代入解析式： ，解得，则， 当时，滑车运行到最低点，所以，即， 故选B． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法． 二、解答题 32．（2026·浙江舟山·一模） 《观景拱桥的设计》 项目背景 某公园有一个抛物线形状的观景拱桥，其横截面如图所示： 任务1 建立模型 （1）在图中建立的直角坐标系中，抛物线过顶点，（长度单位：）．求出抛物线的解析式． 任务2 利用模型 （2）在拱桥加固维修时，搭建的“脚手架”为矩形（、分别在抛物线的左右侧上）．并铺设斜面．已知“脚手架”的三边所用钢材长度为（在地面，无需使用钢材），求“脚手架”打桩点与拱桥端点的距离． 任务3 分析计算 （3）在平面内，把一个图形上的任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值称为这两个图形的距离．为了美观，在距离点处米的地面、处安装射灯，射灯射出的光线与地面成角，如图所示，光线交汇点在拱桥的正上方，其中光线所在的直线解析式为，求光线与抛物线拱桥之间的距离．（忽略台阶的高度） 【答案】（1）；（2）；（3）米 【分析】此题考查二次函数和三角函数的性质及其应用，要结合图形分析并解决问题是解题关键． （1）设抛物线的解析式为，运用待定系数法求解即可； （2）设点的坐标为，进而表示出，的长，由， 列方程求解可得，的长，进而根据线段之间的和差关系可求得的长； （3）作直线的平行线，使它与抛物线相切于点，分别交轴，轴于点，，过点作，垂足为，如图所示，根据平行可设直线的解析式为，联立直线与抛物线解析式，根据相切结合根的判别式列式计算，即可求得直线的解析式，进而可得点的坐标，即可求得的长，根据射灯射出的光线与地面成角，可得，解直角三角形即可求得的长． 【详解】解：（1）设抛物线的解析式为， 将点，代入得， ，解得， 抛物线的解析式为； （2）由（1）知，， 根据对称性可得， 设点的坐标为， 根据题意得，， ， ， 解得，（不合题意，舍去）， ，， ， ； （3）作直线的平行线，使它与抛物线相切于点，分别交轴，轴于点，，过点作，垂足为，如图所示， ，光线所在的直线解析式为， 设直线的解析式为， 联立， 整理得， 直线与抛物线相切， 方程只有一个根， ， 解得， 直线的解析式为， 令，则， ， ， 射灯射出的光线与地面成角， ， ，， ， 即光线与抛物线之间的距离为米． 33．（2026·浙江舟山·一模）问题提出 (1)如图①，为上一点，连接、，当时，__________． 问题探究 (2)如图②，在边长为6的等边中，为的中点，为边上任意一点，连接，并作，使得的一边与交于点，试求出的最大值． 问题解决 (3)如图③，四边形为某美食商业区的平面示意图，其中，，，．经过一段时间的运营，为了更好地服务消费者，打造美食街区的独特风格．市场管理者计划在美食商业区规划一片三角形区域用于美食烹饪表演． 方案：在上选取一点M，上选取一点，连接、、，构造．已知点为美食商业区的出入口，，设． （i）求与之间的函数关系式． （ii）为了不影响其他商户的经营，同时确保表演区域足够集中，需要点与点的距离足够远，请你根据需求计算出当最大时的面积． 【答案】(1)90 (2)3 (3)（i）；（ii） 【分析】（1）利用直角三角形两锐角互余即可求解； （2）证明，设，利用相似三角形对应边成比例可得，整理得，利用二次函数的性质求最值即可； （3）（i）延长至点，使得，连接，过点作， 根据题意可知，，利用直角三角形的性质得出，进而证明，设，利用相似三角形对应边成比例求解即可． （ii）过点作的垂线，与的延长线交于点，与交于点．根据（i）所得关系式可知，当时，有最大值为，根据的正切值，设，，结合勾股定理得出的长，从而得出和的长，进而求出、、、，即可得解． 【详解】（1）解：， ， ，， ， ， ， ． （2）解：是等边三角形，， ，．     ， ， ， ． 设，则， 为的中点， ， ，整理得， 当时，有最大值，最大值为3，即的最大值为3． （3）解：（i）如图，延长至点，使得，连接，过点作， 根据题意可知，， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ． 设． ， ， 整理得． （ii）如图，过点作的垂线，与的延长线交于点，与交于点． 由（i）可知，， 当时，取得最大值为， 即当时，有最大值为， ， 设，， ， ， ， ． ， ， ，，，， ， ∴当最大时，的面积为． 二次函数的综合 考点3 一、解答题 34．（2026·浙江杭州·一模）已知二次函数（为常数且）． (1)当点在该二次函数图象上时，求的值． (2)已知在该函数图象上． ①若时，有且，求证：． ②若，存在，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①见解析；② 【分析】（1）把点代入二次函数解析式即可解答； （2）①当时，抛物线开口向下，根据二次函数解析式可得对称轴为直线，根据题意推出到对称轴的距离比到对称轴的距离小即可解答； ②根据，可得或，代入不等式即可解答． 【详解】（1）解：把代入抛物线解析式， 得， 解得； （2）①证明：抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴， ， 为到抛物线对称轴直线的距离， 为到抛物线对称轴直线的距离， ， 抛物线上的点到对称轴的距离越小，则函数值越大， ； ②解： 或， 当时，， ， 解得， 解得， ∴不等式组无解； 当时，即， ， ， 解得， 解得， ∴不等式组的解集为， 综上，． 35．（2026·浙江舟山·一模）已知抛物线，，为坐标原点，，为该抛物线上的两点，且． (1)已知点，求该抛物线与轴的另一交点坐标． (2)记抛物线的对称轴与轴的交点为，若点在轴正半轴上，满足，求的值． (3)若对于，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把代入得出二次函数的解析式，然后令进行求解即可； （2）由题意易得，，然后把代入进行求解即可； （3）由题意易得，在直线左侧，则有对于，都有，则，然后问题可进行求解． 【详解】（1）解：把代入得：， 解得：或（舍）， ∴二次函数的解析式为， 令得，解得：， ∴该抛物线与轴的另一交点坐标为； （2）解：由可知：对称轴为直线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 代入得：， 解得：或（舍）， 所以； （3）解：因为抛物线开口向下，故当时，随的增大而增大， ∵， ∴，在直线左侧， 若对于，都有， 则， 因为，， 所以， 解得：． 36．（2026·浙江丽水·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线 (1)求抛物线的顶点的坐标；（要有过程） (2)若直线与抛物线的一个交点的横坐标为4，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点． ①当时，求的长． ②当点在点的下方，且线段的长随的长的增大而减小时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①10；② 【分析】（1）一般式化成顶点式，根据顶点式，直接写出顶点坐标即可； （2）①求出点坐标，进而求出抛物线的解析式，求出的坐标，进而求出的长即可；②根据点在点的下方，求出，根据，结合二次函数的增减性，进行求解即可． 【详解】（1）解： ； ∴顶点的坐标为； （2）解：①当时，， ∴， 把代入，得，解得， ∴， 由题意，，， 当时，，， ∴； ②由①知：，，抛物线的解析式为， 当时，解得或， ∵点在点的下方， ∴， ∴，， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∵线段的长随的长的增大而减小，即线段的长随的增大而减小，， ∴． 37．（2026·浙江嘉兴·一模）在平面直角坐标系中，，是抛物线上不重合的两点． (1)当时，求抛物线的顶点坐标； (2)若，时，求的值； (3)若对于，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2)0 (3)或 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，增减性，对称轴，掌握二次函数图象的性质是解题的关键； （1）将代入中，得，再将一般式化为顶点式，即可求得抛物线的顶点坐标； （2）由求出，，再根据得到，代入计算即可； （3）的对称轴为，根据二次函数的增减性判断即可，注意根据开口方向分类讨论． 【详解】（1）解：当时，抛物线， 配方，得， ∴当时，抛物线的顶点坐标为； （2）解：当时，，， 将代入得，，即， ∵， ∴， 将代入得，， 解得：或， ∵点、不重合， ∴； （3）解：∵的对称轴为， ∴关于对称轴对称的点坐标为， 当时，抛物线开口向上，在对称轴右边时，即当时，随增大而增大， ∴， ∵， ∴，都在对称轴右侧， ∵对于，都有， ∴，解得，此时； 当时，抛物线开口向下，在对称轴左边时，即当时，随增大而增大， ∴， ∵， ∴ ∴，都在对称轴的左侧， ∵对于，都有， ∴，解得，此时； 综上所述，的取值范围为或． 38．（2026·浙江金华·一模）如图，抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点C，直线过B、C两点，连接AC． （1）求抛物线的解析式； （2）求证：； （3）点是抛物线上的一点，点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作轴交直线BC于点E，点P为抛物线对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求的最小值． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】（1）先利用直线得到点B和点C的坐标，利用待定系数法求解； （2）根据解析式求得点A的坐标，求出两个三角形的边长，根据两组对应边成比例夹角相等求证； （3）设点D的坐标为，将线段DE的长用函数关系式表示为顶点式形式，利用函数的性质得到当时，线段DE的长度最大，得到点D的坐标，再利用轴对称及勾股定理求出答案即可． 【详解】（1）解：∵直线分别与轴和轴交于点B和点C， ∴点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，2）， 把，分别代入， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）∵抛物线与x轴交于点A， ∴， 解得，， ∴点A的坐标为， ∴，， 在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． （3）设点D的坐标为 则点E的坐标为 ∴ = ∵， ∴当时，线段DE的长度最大． 此时，点D的坐标为， ∵， ∴点C和点M关于对称轴对称， 连接CD交对称轴于点P，此时最小． 连接CM交直线DE于点F，则，点F的坐标为， ∴， ∵ ∴的最小值． ． 【点睛】此题考查的是二次函数的综合知识，利用待定系数法求函数解析式，函数图象与坐标轴的交点问题，函数的最值问题，轴对称的性质，勾股定理，证明两个三角形相似，熟练掌握各知识点是解题的关键． / 学科网（北京）股份有限公司 $