专题03 一次函数与反比例函数（6大考点，44题）（浙江专用）2026年中考数学一模分类汇编

专题03 一次函数与反比例函数（6大考点，44题） 6大考点概览 考点01一次函数的图象与性质 考点02一次函数的实际应用 考点03反比例函数的性质 考点04反比例函数与实际应用 考点05反比例函数与几何综合 考点06反比例函数与一次函数的交点问题 一次函数的图象与性质 考点1 一、单选题 1．（2026·浙江舟山·一模）已知一次函数（a为常数）的图象过第一、三、四象限，则a的值可以是（   ） A．8 B．5 C．3 D．0 2．（2026·浙江杭州·一模）已知两个一次函数和的图象交于点，对于一次函数，下列结论正确的是（    ） A．随的增大而减小 B．图象经过第一、二、三象限 C．图象与轴的交点的坐标为 D．图象经过点 3．（2026·浙江舟山·一模）在平面直角坐标系中，四个点的坐标分别为，，，．若一次函数的图象经过上述四个点中的三个点，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·浙江温州·一模）已知函数，（，均为常数）的图象都经过点，当时，的取值范围是（   ） A． B．或 C． D．或 二、填空题 5．（2026·浙江嘉兴·一模）在直角坐标系中，点，，在同一条直线上，则的值为______． 一次函数的实际应用 考点2 一、单选题 6．（2026·浙江温州·一模）《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某实验小组仿制了一套浮箭漏，并进行了测试．下表是实验小组从上午时开始记录的数据，根据此规律，若箭尺的示数为，估计此时的时间为（    ） 时间 箭尺示数 A．上午 B．上午 C．上午 D．上午 二、解答题 7．（2026·浙江台州·一模）为顺利完成某条直道上的光缆铺设工程，甲、乙两个工程队计划分别以直道两端为开工起点，各自以预定速度同时相向铺设光缆，直至工程完工．开工几天后，甲队有若干名工人因故离队，造成施工速度下降，导致整个工程工期延长．设铺设光缆时间为x（单位：天），此时，工程队铺设光缆的地点到甲队开工起点的距离为y（单位：米），甲、乙两队y关于x的函数关系分别如图所示． (1)完成这个光缆铺设工程用了多少天? (2)求乙队y关于x的函数关系式． (3)甲队若干名工人离队导致工期比原计划延长了多少天? 8．（2026·浙江衢州·一模）如图1，为的直径，的周长为厘米．动点从点出发，在圆周上按顺时针方向作匀速运动，速度为厘米/秒，点出发后，动点也从点出发，以厘米/秒的速度在圆周上按顺时针方向作匀速运动，设动点运动（秒）时，点，与点之间较短的弧长分别为，．，与的函数图象如图2所示． (1)求的值． (2)当时，求关于的一次函数表达式． (3)若点为图中两个函数图象的交点，求点的坐标，并求出此时点，点之间的劣弧长． 9．（2026·浙江舟山·一模）甲、乙两辆满载水果的运输车同时从A地出发前往B地，甲车匀速行驶至距离A地的地时发生故障原地维修，后维修完毕，于是甲车匀速行驶到达B地．乙车匀速行驶到达距离A地的地，接着花费卸载水果，然后立即原路匀速返回A地，结果乙车回到A地时恰好甲车到达B地．在两车行驶的过程中，甲、乙两车距离A地的距离（单位：）与它们离开A地的时间（单位：）之间的函数图象如图所示． 请结合图象信息，解答下列问题： (1)填表： 甲车离开A地的时间（单位：） 1 4 6.4 8 甲车离A地的距离（单位：） ______ 160 ______ ______ (2)请直接写出乙车行驶的全过程中与的函数关系式； (3)①图中的值为___________； ②在整个行驶过程中，求出当甲、乙两车相距时的值． 甲车离开A地的时间（单位：） 1 4 6.4 8 甲车离A地的距离（单位：） 40 160 160 240 10．（2026·浙江杭州·一模）2025两会期间，国家卫健委启动“体重管理年”行动．为了响应国家号召，小明和小丽骑行去山庄游玩，小明比小丽晚出发小时，追上小丽后休息了一段时间，继续以相同的速度骑行，他们离出发点的路程关于时间的变化情况如图所示． (1)分别求出小丽和小明骑行的速度． (2)求线段所在直线的函数表达式． (3)求小明第二次追上小丽时，他们距离山庄的路程． 11．（2026·浙江舟山·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求上述反比例函数和一次函数的解析式； (2)求的面积． (3)根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围． 12．（2026·浙江衢州·一模）如图，的周长为4厘米，为的直径．动点从点出发，在圆周上按顺时针方向作匀速运动，速度为1厘米/秒，点出发1秒后，动点也从点出发，以厘米/秒的速度在圆周上按顺时针方向作匀速运动，设动点运动秒时，点，与点间的劣弧（或半圆）长分别记为，，则，关于的函数图象如图2所示． (1)试确定动点的速度． (2)当时，求关于的一次函数表达式，并求出当时，的值． (3)若图2中的点为两个函数图象的交点，求点的坐标，并求此时点，点间的劣弧长． 反比例函数的性质 考点3 一、单选题 13．（2026·浙江舟山·一模）已知点，在反比例函数的图象上．若，则（   ） A． B． C． D． 14．（2026·浙江台州·一模）已知点，在反比例函数的图象上，且，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 15．（2026·浙江温州·一模）关于反比例函数，下列说法中错误的是（    ） A．它的图象分布在一、三象限 B．若点在它的图象上，则也在图象上 C．当时，y的值随x的增大而减小 D．当时， 16．（2026·浙江湖州·一模）已知反比例函数上有两点，当满足下列什么条件时，一定有（   ） A． B． C． D． 17．（2026·浙江杭州·一模）已知反比例函数，点和是反比例函数图象上的两点，若对于，，都有，则a的取值范围是（   ） A．或 B． C． D．或 18．（2026·浙江舟山·一模）如图，平行于轴的直线交反比例函数的图象于点．当时，的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 19．（2026·浙江宁波·一模）数学兴趣小组借助绘图软件探究函数的图象．现输入一组m，n的值，得到的函数图象如图所示，由此可以推断输入的m，n的值满足（    ） A．， B．， C．， D．， 20．（2026·浙江宁波·一模）已知 是反比例函数 图象上的三个点，若 ，则 的大小关系为（   ） A． B． C． D． 21．（2026·浙江杭州·一模）已知反比例函数y=（k≠0），且在各自象限内，y随x的增大而增大，则下列点可能在这个函数图象上的为（   ） A．（2，3） B．（-2，3） C．（3，0） D．（-3，0） 二、填空题 22．（2026·浙江杭州·一模）已知反比例函数的两点，，若，则m的取值范围为_________． 23．（2026·浙江衢州·一模）已知点，都在双曲线上，且，若，则的取值范围是__________． 反比例函数与实际应用 考点4 一、填空题 24．（2026·浙江金华·一模）某蓄电池的电压为定值．使用此电源时，用电器的电流I（A）．与电阻R（Ω）之间的函数关系为，则电流Ⅰ的值随电阻R值的增大而________（填“增大”或“减小”）． 25．（2026·浙江温州·一模）如图，该款载物机器狗的最快移动速度v（）与载重后总质量M （）成反比例．已知该款机器狗载重后总质量M为时，它的最快移动速度v为7；若其最快移动速度v大于14，则其载重后总质量M的取值范围是______kg． 二、解答题 26．（2026·浙江舟山·一模） 项目式学习 问题发现：同学们对路边的路灯很感兴趣，于是邀请你一起参与综合探究活动． 【实地勘察】同学们到达一个公园．如图所示，在一天中同一时刻，路灯的影子为，小明（）站在路灯旁边，影子为．经测量，长2米，长0.5米，小明的身高为1.5米．    【进一步发现】同学们发现马路边有高大的路灯．如图所示，在一天中某一时刻，小明站在G点处，其影子顶部与路灯的影子重合，测得小明的影子的长为4.5米．小明从点G出发，前行12米走到E点，此时他正好可以在平面镜上的C点看到路灯的顶端A点，测得小明到平面镜上C点的距离为1米，小明的身高为1.5米．（忽略小明眼睛到头顶的距离）    【归纳探究】同学们在经过计算和讨论后，得出了同一种路灯的高度、照明亮度、照明范围的几组数据，整理如下： 高度/米 4 6 8 10 照明亮度的平方/勒克斯 450 300 225 180 照明范围/平方米 （假设整个照明范围内的照明亮度相等） 同学们搜集了一则材料： 根据中国《城市道路照明设计标准》规定，对于普通道路，路面的亮度要求在10勒克斯－20勒克斯之间． 【问题探究】 （1）在【实地勘察】中，根据提供的信息直接写出路灯的高度：____________________． （2）在【进一步发现】中，根据提供的信息求路灯的高度． （3）在【归纳探究】中，求高度（设为x）与照明亮度的平方（设为y）的关系式． （4）在【归纳探究】中，一段200米的道路选用这种路灯，道路宽度忽略不计，那么在符合相关规定的条件下，至少要在这一段路上建造___________________个路灯． 27．（2026·浙江湖州·一模）为探究绕中心轴匀速转动时机械臂展开半径对转动速度的影响，某数学兴趣小组开展了机械双臂旋转实验【机械臂档案】如图1，机械双臂质量均匀分布，对称展开可绕中心轴自转．上臂，下臂长均为．双臂对称张开时，始终保持水平，即． 【资料链接】该机械双臂近似满足：匀速绕轴旋转时的半径r与转动速度v的乘积为定值，即，k为常数（图1中，r为最远点C到中心轴的垂直距离，v为最远点C的旋转速度，中心轴粗细忽略不计） 【实验数据】经测试，机械臂的旋转半径r与转动速度v部分数据如下表： 旋转半径r（） 30 40 50 转动速度v（） 200 150 120 (1)请根据以上信息，求k的值（单位：）． (2)为确保测试实验不失控，机械臂的转动速度不能超过，则旋转半径r至少为多少? (3)某动作设计需要机械双臂的转动速度v为，工程师调整机械臂夹角，以改变旋转半径r．求满足设计要求时，上臂与中心轴夹角的正弦值． 28．（2026·浙江丽水·一模）制作某种金属工具要进行煅烧和锻造两个工序，即将材料由烧到后立即开始锻造操作，当材料温度低于时，须停止锻造并立即进行再次煅烧．每次煅烧温度上升的速度相同，煅烧过程温度与时间成一次函数关系，第一次锻造造时温度与时间成反比例函数关系，开始制作后第8分钟材料的温度为． (1)求第一次锻造操作的时长； (2)求第二次开始锻造的时间． 29．（2026·浙江杭州·一模）数学应用：电子托盘秤工作原理 素材1：图1为某款电子托盘秤，图2为其对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过所称物体质量调节可变电阻的大小，从而改变电路中的电流，最终通过显示器显示物体质量．电流与总电阻（单位：）成反比例，其中，已知． 素材2：可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间的关系如图3所示．当放置物体质量为时，电流表显示为． (1)当放置物体质量为时，求总电阻的值； (2)求关于总电阻的函数表达式； (3)为保证电子秤电路安全，现将电流范围设定为（单位：），求该电子秤所称物品质量的最大值． 30．（2026·浙江杭州·一模）小王家饮水机中原有水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温与开机时间（分）满足一次函数关系，当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温与开机时间（分）成反比例关系，当水温降至时，饮水机又自动开始加热…，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答问题： (1)当时，求水温与开机时间（分）的函数关系式； (2)求图中t的值； (3)若小王在通电开机后即外出散步，分钟后回家，要使得回家时饮水机内温度不低于，求t的取值范围． 31．（2026·浙江温州·一模）如图，小明设计了一个探索杠杆平衡条件的装置，在左边固定的托盘A中放置一个质量固定的重物，在右边可左右移动的托盘中放置一定质量的砝码，可使仪器水平平衡平衡时遵循杠杆平衡条件，改变托盘B与点O之间的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到如下表格： 托盘与点的距离 托盘中的砝码质量 (1)与x之间的函数表达式为______； (2)当砝码的质量为时，求托盘B与O点之间的距离； (3)当托盘B向右移动时，应往托盘中添加砝码还是减少砝码？并说明理由． 反比例函数与几何综合 考点5 一、单选题 32．（2026·浙江杭州·一模）如图，的两点在反比例函数的图象上，过作轴于点，交于点．若为的中点，则的面积是（   ） A． B． C．6 D．5 33．（2026·浙江衢州·一模）如图，在直角坐标系中，，点B的坐标是．若反比例函数的图象经过点A，C，且点A的横坐标是1，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 34．（2026·浙江舟山·一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数的图象经过顶点D，分别与对角线，边交于点E，F，连接，．若点E为的中点，的面积为2，则k的值为（   ） A． B．3 C．4 D．6 35．（2026·浙江嘉兴·一模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，其两个锐角的外角平分线相交于点P，若点P恰好在反比例函数的图象上，则的面积是（    ） A．30 B．24 C．18 D．15 36．（2026·浙江金华·一模）如图，矩形的面积为，点的坐标为，轴，轴，若反比例函数的图象过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 37．（2026·浙江丽水·一模）如图，以菱形的顶点O为原点，边所在直线为x轴建立平面直角坐标系，，，过C点的反比例函数部分图像交于点D，则的值为_________． 38．（2026·浙江台州·一模）如图，在中，轴，点，，，反比例函数的图象在第一象限内经过点，且与交于点．则点的横坐标为_____． 39．（2026·浙江温州·一模）如图，点A，B在反比例函数的图象上，轴于点M，交线段于点C，连结．已知点A，B的横坐标分别为6，4．则的值为______． 40．（2026·浙江绍兴·一模）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边与反比例函数（为常数，的图象交于两点，且与轴正半轴交于点，点在反比例函数的图象上，若点是的中点，则的值为___________． 反比例函数与一次函数的交点问题 考点6 一、填空题 41．（2026·浙江温州·一模）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于两点，点的横坐标为，点的横坐标为，当时，则的取值范围是______． 42．（2026·浙江杭州·一模）已知：点在直线上，也在双曲线上，则的值为________． 二、解答题 43．（2026·浙江杭州·一模）在直角坐标系中，设函数与函数（，，是常数，）的图象交于点，． (1)求函数，的表达式． (2)当时，比较与的大小．（直接写出结果） (3)若点在函数的图象上，将点先向左平移1个单位，再向下平移6个单位得点，点恰好落在函数的图象上，求点的坐标． 44．（2026·浙江·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点， (1)求和的值． (2)横坐标为的点是反比例函数图象上的一点．现将点向下平移．当点落在一次函数图象上时，求向下平移的距离． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 一次函数与反比例函数（6大考点，44题） 6大考点概览 考点01一次函数的图象与性质 考点02一次函数的实际应用 考点03反比例函数的性质 考点04反比例函数与实际应用 考点05反比例函数与几何综合 考点06反比例函数与一次函数的交点问题 一次函数的图象与性质 考点1 一、单选题 1．（2026·浙江舟山·一模）已知一次函数（a为常数）的图象过第一、三、四象限，则a的值可以是（   ） A．8 B．5 C．3 D．0 【答案】D 【分析】根据一次函数中，当，时，图象经过一、三、四象限，据此解答即可． 【详解】解：∵ 一次函数的图象过第一、三、四象限， ∴，即， 观察选项，只有选项D中的0满足． 2．（2026·浙江杭州·一模）已知两个一次函数和的图象交于点，对于一次函数，下列结论正确的是（    ） A．随的增大而减小 B．图象经过第一、二、三象限 C．图象与轴的交点的坐标为 D．图象经过点 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数的增减性，一次函数的图象经过的象限，求一次函数的函数值或自变量的值，把点的坐标代入中求出点的坐标，再把点的坐标代入中求出k的值，然后根据一次函数的性质逐一判断即可． 【详解】解：在中，当时，，解得， ∴， 把代入得， ∴， ∴一次函数的解析式为， ∴在中，随的增大而减小，的图象经过一、二、四象限，故A结论正确，B结论错误； 在中，当时，，当时，， ∴的图象与轴的交点的坐标为，且不经过点，故C和D的结论都错误； 故选：A． 3．（2026·浙江舟山·一模）在平面直角坐标系中，四个点的坐标分别为，，，．若一次函数的图象经过上述四个点中的三个点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是根据一次函数的定义求参数，解题关键是利用分类讨论思想求解． 分四种情况讨论：假设，，三点共线；，，三点共线；，，三点共线；，，三点共线，将共线三点代入一次函数解析式，推导得出的值． 【详解】解：设，，三点共线， 代入一次函数中可得， 将分别代入、可解得， 值不相等， ，，三点不共线，不符合题意； 设，，三点共线， 代入一次函数中可得， 将分别代入、可解得， 值不相等， ，，三点不共线，不符合题意； 设，，三点共线， 代入一次函数中可得， 、得， 值相等， ，，三点共线，符合题意； 设，，三点共线， 代入一次函数中可得， 将分别代入、可解得， 值不相等， ，，三点不共线，不符合题意； 综上，，，三点共线，此时， 则， 即， ． 故选：． 4．（2026·浙江温州·一模）已知函数，（，均为常数）的图象都经过点，当时，的取值范围是（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】先确定和，再根据对称性确定两函数的另一交点坐标，然后结合函数图象，写出反比例函数的图象位于正比例函数图象的上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：函数，的图象都经过点， ，， 正比例函数与反比例函数都关于原点对称， 两函数的另一交点为，如图所示， 由图象可知，当或时，反比例函数的图象位于正比例函数图象的上方，即， 当时，的取值范围是或． 二、填空题 5．（2026·浙江嘉兴·一模）在直角坐标系中，点，，在同一条直线上，则的值为______． 【答案】11 【分析】利用待定系数法求出直线的一次函数解析式，再将点的坐标代入解析式，即可求出的值. 【详解】解：设直线的解析式为， 把，代入得， ， 解得， 直线的解析式为， 点，，在同一条直线上，即点在直线上， 把代入得：， 的值为. 一次函数的实际应用 考点2 一、单选题 6．（2026·浙江温州·一模）《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某实验小组仿制了一套浮箭漏，并进行了测试．下表是实验小组从上午时开始记录的数据，根据此规律，若箭尺的示数为，估计此时的时间为（    ） 时间 箭尺示数 A．上午 B．上午 C．上午 D．上午 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的应用，由表格可知供水时间与箭尺示数是一次函数关系，设供水时间为分钟，箭尺示数为，则，然后由当供水时间为分钟时，；当供水时间为分钟时，，得出，从而得出，当时，，求出的值即可，读懂题意，列出函数关系式是解题的关键． 【详解】解：由表格可知供水时间与箭尺示数是一次函数关系， 设供水时间为分钟，箭尺示数为，则， 则当供水时间为分钟时，；当供水时间为分钟时，， ∴，解得， ∴， 当时，， 解得：， ∴此时的时间为分钟， 故选：． 二、解答题 7．（2026·浙江台州·一模）为顺利完成某条直道上的光缆铺设工程，甲、乙两个工程队计划分别以直道两端为开工起点，各自以预定速度同时相向铺设光缆，直至工程完工．开工几天后，甲队有若干名工人因故离队，造成施工速度下降，导致整个工程工期延长．设铺设光缆时间为x（单位：天），此时，工程队铺设光缆的地点到甲队开工起点的距离为y（单位：米），甲、乙两队y关于x的函数关系分别如图所示． (1)完成这个光缆铺设工程用了多少天? (2)求乙队y关于x的函数关系式． (3)甲队若干名工人离队导致工期比原计划延长了多少天? 【答案】(1)14天 (2) (3)2天 【分析】（1）由函数图象即可得到答案； （2）用待定系数法求函数解析式即可； （3）由原计划甲队y关于x的函数解析式，得到，求出，计算即可得到答案． 【详解】（1）解：由图象得完成这个光缆铺设工程用了天； （2）解：设乙队y关于x的函数关系式为， 把，代入得， 解得， 则乙队y关于x的函数解析式； （3）解：， 原计划甲队y关于x的函数解析式， 甲、乙两队完成光缆工程需满足， 解得， （天）， 答：甲队工人离队导致工期比原计划延长了2天． 8．（2026·浙江衢州·一模）如图1，为的直径，的周长为厘米．动点从点出发，在圆周上按顺时针方向作匀速运动，速度为厘米/秒，点出发后，动点也从点出发，以厘米/秒的速度在圆周上按顺时针方向作匀速运动，设动点运动（秒）时，点，与点之间较短的弧长分别为，．，与的函数图象如图2所示． (1)求的值． (2)当时，求关于的一次函数表达式． (3)若点为图中两个函数图象的交点，求点的坐标，并求出此时点，点之间的劣弧长． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题主要考查一次函数的图象和性质： （1）根据函数图象可知，动点圆周上运动一周所用的时间为秒； （2）采用待定系数法求解即可； （3）容易求得关于的一次函数表达式为，结合题意可得，求解即可得到答案． 【详解】（1）根据函数图象可知，动点圆周上运动一周所用的时间为秒，所以 ． （2）根据函数图象可知，当时，可设关于的一次函数表达式为 因为一次函数图象经过点和，可得 解得 所以关于的一次函数表达式为 （3）设当时，关于的一次函数表达式为． 因为函数图象经过和（，可得 解得 ， 所以关于的一次函数表达式为． 根据题意，可得 解得 所以点C的坐标为． ． 9．（2026·浙江舟山·一模）甲、乙两辆满载水果的运输车同时从A地出发前往B地，甲车匀速行驶至距离A地的地时发生故障原地维修，后维修完毕，于是甲车匀速行驶到达B地．乙车匀速行驶到达距离A地的地，接着花费卸载水果，然后立即原路匀速返回A地，结果乙车回到A地时恰好甲车到达B地．在两车行驶的过程中，甲、乙两车距离A地的距离（单位：）与它们离开A地的时间（单位：）之间的函数图象如图所示． 请结合图象信息，解答下列问题： (1)填表： 甲车离开A地的时间（单位：） 1 4 6.4 8 甲车离A地的距离（单位：） ______ 160 ______ ______ (2)请直接写出乙车行驶的全过程中与的函数关系式； (3)①图中的值为___________； ②在整个行驶过程中，求出当甲、乙两车相距时的值． 【答案】(1)40；160；240 (2) (3)①144；②或或 【分析】（1）根据题意，结合图象先计算当时，甲车的速度，即可得到对应的路程，其余两空可直接由图象获取数据； （2）利用待定系数法，分，，时，分别求解即可； （3）先求得乙车的时，，然后分，，，时，根据两车的距离列出方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，当时，甲车的速度为， ∴甲车离开A地时，离A地的距离为， 由图象可知，甲车离开A地和时，离A地的距离分别为和； ∴填表如下： 甲车离开A地的时间（单位：） 1 4 6.4 8 甲车离A地的距离（单位：） 40 160 160 240 （2）解：当时，设乙车的与的函数关系式为， 代入，得，则； ∵， 则当时，此时； 当，设乙车的与的函数关系式为， 代入和，得， 解得， 综上，乙车行驶的全过程中与的函数关系式为； （3）解：①由（2）可知，； ②令， 解得， 当时，两车相遇， 当时，甲车的速度为， 根据题意得：， 解得： 当时，甲、乙两车相距； 当时， 根据题意得：， 解得； 当时， 根据题意得：， 解得 综上所述，当或或时，两车相距． 10．（2026·浙江杭州·一模）2025两会期间，国家卫健委启动“体重管理年”行动．为了响应国家号召，小明和小丽骑行去山庄游玩，小明比小丽晚出发小时，追上小丽后休息了一段时间，继续以相同的速度骑行，他们离出发点的路程关于时间的变化情况如图所示． (1)分别求出小丽和小明骑行的速度． (2)求线段所在直线的函数表达式． (3)求小明第二次追上小丽时，他们距离山庄的路程． 【答案】(1)小丽，小明 (2) (3)8 【分析】本题考查了一次函数在行程问题中的应用，函数的图象，待定系数法求函数解析式．理解横轴和纵轴表示的实际意义是解题的关键． （1）结合函数图象，根据速度=路程÷时间，求解即可； （2）先求出B点坐标，再用待定系数法求解即可； （3）用待定系数法求出小丽的函数解析式，再联立两函数解析式，求出交点坐标，即可求解． 【详解】（1）解：小丽的速度： 小丽到达点A的时间为， 小明到达点A的时间为：， 小明的速度：； （2）解：点B到点C所用时间为， 则点B的时间为， 点 设线段的函数表达式为 把和代入， 得 解得，， 则线段的函数表达式为； （3）解：设小丽的函数解析式为， 把点代入，得， ， ， 解得，代入， ∴， 离山庄的路程为． 11．（2026·浙江舟山·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求上述反比例函数和一次函数的解析式； (2)求的面积． (3)根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求两函数的解析式的应用． （1）将点的坐标代入反比例函数 ，求出，将点的坐标代入反比例函数求出，利用待定系数法确定一次函数解析式； （2）设与轴交于点，根据一次函数解析式得出，进而根据，进行计算即可． （3）找到一次函数图象在反比例函数图象之上的的取值范围即可． 【详解】（1）解：将点代入，得：， 解得：， 则反比例函数解析式为：； 将点代入，得：，则 将点的坐标代入一次函数解析式，得： ，解得：， 故一次函数解析式为：． （2）解：设与轴交于点， 一次函数解析式为：， 令，则， ∴点的坐标为， ， ． （3）解：根据函数图象可知，一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围为：或． 12．（2026·浙江衢州·一模）如图，的周长为4厘米，为的直径．动点从点出发，在圆周上按顺时针方向作匀速运动，速度为1厘米/秒，点出发1秒后，动点也从点出发，以厘米/秒的速度在圆周上按顺时针方向作匀速运动，设动点运动秒时，点，与点间的劣弧（或半圆）长分别记为，，则，关于的函数图象如图2所示． (1)试确定动点的速度． (2)当时，求关于的一次函数表达式，并求出当时，的值． (3)若图2中的点为两个函数图象的交点，求点的坐标，并求此时点，点间的劣弧长． 【答案】(1)厘米/秒 (2)，当秒时， (3)点，点间的劣弧长为厘米 【分析】本题主要考查一次函数的运用， （1）根据图2可知，当秒时，厘米，由此即可求解； （2）根据图2信息，运用待定系数法得到函数解析式，令代入函数解析式即可求解； （3）运用待定系数法得到的解析式，联立方程组求解得到点C的坐标，结合点C得到点，点间的劣弧长． 【详解】（1）解：点与点间的劣弧（或半圆）长分别记为， 根据图2可知，当秒时，厘米， ∴厘米/秒； （2）解：当秒时，厘米，当秒时，厘米， ∴设， ∴， 解得，， ∴， 当秒时，； （3）解：设， 由图2可知，当秒时，厘米，当秒时，厘米， ∴， 解得，， ∴， ∴当时，联立方程组得， 解得，， ∴， 当秒时，点从点A顺时针旋转到点B下方，路程为（厘米），此时点P距点A的距离为（厘米）， 点从点A顺时针旋转到直径上方，路程为厘米， ∴此时点，点间的劣弧长为（厘米）． 反比例函数的性质 考点3 一、单选题 13．（2026·浙江舟山·一模）已知点，在反比例函数的图象上．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据比例系数的符号判断函数图象所在象限及增减性，再结合已知的范围比较的大小. 【详解】解：∵ 反比例函数 的比例系数 ， ∴ 函数图像位于第一、三象限，且在每个象限内， 随 的增大而减小， ∵ ， ∴  . 14．（2026·浙江台州·一模）已知点，在反比例函数的图象上，且，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数的性质逐项判断即可． 【详解】解：，在反比例函数的图象上，且， ，符号相同， ，符号相同， ． 15．（2026·浙江温州·一模）关于反比例函数，下列说法中错误的是（    ） A．它的图象分布在一、三象限 B．若点在它的图象上，则也在图象上 C．当时，y的值随x的增大而减小 D．当时， 【答案】D 【分析】根据反比例函数的解析式和性质，逐一判断各选项的说法，即可找出错误结论． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴它的图象分布在一、三象限，选项A说法正确； 若点在它的图象上，则满足，可得，因此点也满足函数解析式，故选项B说法正确； ∵， ∴当时，的值随的增大而减小，选项C说法正确； 对于选项D，当时，，当时，， 因此当时，不是所有都满足，选项D说法错误． 16．（2026·浙江湖州·一模）已知反比例函数上有两点，当满足下列什么条件时，一定有（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据反比例函数解析式表示出两点的纵坐标，再根据列出不等式，化简后求解的范围即可，用到分式不等式的化简规则． 【详解】∵在反比例函数上 ∴， 要求，代入得： ∵， ∴不等式变形为： 移项得 ∵分子， ∴分母 解得． 17．（2026·浙江杭州·一模）已知反比例函数，点和是反比例函数图象上的两点，若对于，，都有，则a的取值范围是（   ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题利用反比例函数的增减性，根据系数的正负分情况讨论，结合对任意都有的条件，列不等式求解的取值范围即可． 【详解】解：设，反比例函数为，分两种情况讨论： 情况1：，即，得，此时反比例函数的图象在每个象限内随增大而减小． ∵对任意，都有， ∴小于的最小值，的最小值为， 又∵，可得， ∵， ∴． 当时，左边，不等式恒成立，符合条件， 当时，两边同乘，得， 又∵， ∴； 情况2：，即，得，此时反比例函数的图象在每个象限内随增大而增大， ∵对任意，都有， ∴小于的最小值，代入，得， ∵， ∴， ∵，两边同乘，得，与矛盾， ∴此情况无解． 综上，的取值范围是或． 18．（2026·浙江舟山·一模）如图，平行于轴的直线交反比例函数的图象于点．当时，的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据反比例函数的性质解答即可． 【详解】解：∵平行于轴的直线交反比例函数的图象于点， ∴反比例函数的图象在一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， 在第一象限时，当时，， 在第三象限时，恒成立，符合题意， ∴当时，的取值范围是或． 19．（2026·浙江宁波·一模）数学兴趣小组借助绘图软件探究函数的图象．现输入一组m，n的值，得到的函数图象如图所示，由此可以推断输入的m，n的值满足（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质，是解题的关键．由两支曲线的分界线在y轴左侧可以判断m的正负，由时的函数图象判断n的正负． 【详解】解：∵， ∴x的取值范围是， 由图可知，两支曲线的分界线位于y轴的右侧， ∴， 由图可知，当时的函数图象位于x轴的下方， ∴当时，， 又∵当时，， ∴， 故选：D． 20．（2026·浙江宁波·一模）已知 是反比例函数 图象上的三个点，若 ，则 的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．注意是在每个象限内，随的增大而减小．不能直接根据的大小关系确定的大小关系． 先判断出函数图象在二，四象限，在每个象限内，随的增大而增大，再根据，判断出的大小． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴该反比例函数的图象在第二，四象限，在这两个象限内，随的增大而增大， 又 ∵， ， 故选：D． 21．（2026·浙江杭州·一模）已知反比例函数y=（k≠0），且在各自象限内，y随x的增大而增大，则下列点可能在这个函数图象上的为（   ） A．（2，3） B．（-2，3） C．（3，0） D．（-3，0） 【答案】B 【分析】根据反比例函数性质求出k<0，再根据k=xy，逐项判定即可． 【详解】解：∵反比例函数y=（k≠0），且在各自象限内，y随x的增大而增大，, ∴k=xy<0， A、∵2×3>0，∴点（2，3）不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意； B、∵-2×3<0，∴点（2，3）可能在这个函数图象上，故此选项符合题意； C、∵3×0=0，∴点（2，3）不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意； D、∵-3×0=0，∴点（2，3）不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 二、填空题 22．（2026·浙江杭州·一模）已知反比例函数的两点，，若，则m的取值范围为_________． 【答案】 或 【分析】根据反比例函数的比例系数判断函数增减性，再结合的条件，分两点在不同象限、同一象限两种情况，列不等式组求解，最后合并得到的取值范围. 【详解】解：反比例函数中，，根据反比例函数的性质，函数图象位于第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小. 分两种情况讨论: 情况1：点在不同象限 若，则在第一象限，在第三象限，可得不等式组 解得，即该情况解集为； 情况2：点在同一象限 若，结合反比例函数增减性，得，且两点横坐标同号，即， 解得， 解得， 所以. 综上，的取值范围是 或 . 23．（2026·浙江衢州·一模）已知点，都在双曲线上，且，若，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据反比例函数的性质列出不等式组求解． 【详解】解：由得，，且， 根据反比例函数的性质得，双曲线在每个象限内，随的增大而增大， ∵，， ∴， 即， 解得． 反比例函数与实际应用 考点4 一、填空题 24．（2026·浙江金华·一模）某蓄电池的电压为定值．使用此电源时，用电器的电流I（A）．与电阻R（Ω）之间的函数关系为，则电流Ⅰ的值随电阻R值的增大而________（填“增大”或“减小”）． 【答案】减小 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，根据反比例函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴电流与电阻成反比， ∴电流Ⅰ的值随电阻R值的增大而减小； 故答案为：减小 25．（2026·浙江温州·一模）如图，该款载物机器狗的最快移动速度v（）与载重后总质量M （）成反比例．已知该款机器狗载重后总质量M为时，它的最快移动速度v为7；若其最快移动速度v大于14，则其载重后总质量M的取值范围是______kg． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，待定系数法求反比例函数解析式是解答本题的关键．利用待定系数法求出反比例函数解析式，后再将当代入计算即可． 【详解】解：设反比例函数解析式为， ∵机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度； ∴， ∴反比例函数解析式为， 当时，， ∴M的取值范围是， 故答案为：． 二、解答题 26．（2026·浙江舟山·一模） 项目式学习 问题发现：同学们对路边的路灯很感兴趣，于是邀请你一起参与综合探究活动． 【实地勘察】同学们到达一个公园．如图所示，在一天中同一时刻，路灯的影子为，小明（）站在路灯旁边，影子为．经测量，长2米，长0.5米，小明的身高为1.5米．    【进一步发现】同学们发现马路边有高大的路灯．如图所示，在一天中某一时刻，小明站在G点处，其影子顶部与路灯的影子重合，测得小明的影子的长为4.5米．小明从点G出发，前行12米走到E点，此时他正好可以在平面镜上的C点看到路灯的顶端A点，测得小明到平面镜上C点的距离为1米，小明的身高为1.5米．（忽略小明眼睛到头顶的距离）    【归纳探究】同学们在经过计算和讨论后，得出了同一种路灯的高度、照明亮度、照明范围的几组数据，整理如下： 高度/米 4 6 8 10 照明亮度的平方/勒克斯 450 300 225 180 照明范围/平方米 （假设整个照明范围内的照明亮度相等） 同学们搜集了一则材料： 根据中国《城市道路照明设计标准》规定，对于普通道路，路面的亮度要求在10勒克斯－20勒克斯之间． 【问题探究】 （1）在【实地勘察】中，根据提供的信息直接写出路灯的高度：____________________． （2）在【进一步发现】中，根据提供的信息求路灯的高度． （3）在【归纳探究】中，求高度（设为x）与照明亮度的平方（设为y）的关系式． （4）在【归纳探究】中，一段200米的道路选用这种路灯，道路宽度忽略不计，那么在符合相关规定的条件下，至少要在这一段路上建造___________________个路灯． 【答案】（1）米；（2）路灯的高度为米；（3）；（4） 【分析】本题考查相似三角形的应用举例，反比例函数的实际应用， （1）根据题意易证，得到，由此即可得到答案； （2）证明，得到，由题意可得米，米，米，求出，再证明，推出，得到，进而得到，即可求解； （3）根据表格数据可得，即可解答； （4）先求出符合《城市道路照明设计标准》规定的路灯的高度，再求出此路灯高度下所照明范围的半径，即可求解． 【详解】解：（1）由题意得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵米，米，米， ∴， ∴米， 故答案为：米； （2）∵， ∴， ∴， 由题意可得米，米，米， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴米， 答：路灯的高度为米； （3）由表格数据得， ∴， ∴路灯高度（x）与照明亮度的平方（y）的关系式为； （4）∵， ∴高度为米，米，米的路灯都符合《城市道路照明设计标准》规定， ∵， ∴高度为米的路灯照明范围最大，且照明范围的直径长为（米）， ，则至少需要个路灯． 故答案为：． 27．（2026·浙江湖州·一模）为探究绕中心轴匀速转动时机械臂展开半径对转动速度的影响，某数学兴趣小组开展了机械双臂旋转实验【机械臂档案】如图1，机械双臂质量均匀分布，对称展开可绕中心轴自转．上臂，下臂长均为．双臂对称张开时，始终保持水平，即． 【资料链接】该机械双臂近似满足：匀速绕轴旋转时的半径r与转动速度v的乘积为定值，即，k为常数（图1中，r为最远点C到中心轴的垂直距离，v为最远点C的旋转速度，中心轴粗细忽略不计） 【实验数据】经测试，机械臂的旋转半径r与转动速度v部分数据如下表： 旋转半径r（） 30 40 50 转动速度v（） 200 150 120 (1)请根据以上信息，求k的值（单位：）． (2)为确保测试实验不失控，机械臂的转动速度不能超过，则旋转半径r至少为多少? (3)某动作设计需要机械双臂的转动速度v为，工程师调整机械臂夹角，以改变旋转半径r．求满足设计要求时，上臂与中心轴夹角的正弦值． 【答案】(1) (2)旋转半径r至少为 (3) 【分析】（1）根据，结合表格信息代入计算即可； （2）当时，，结合反比例函数图象的性质求解即可； （3）根据题意，过点B作于点E，作于点F，，得四边形为矩形，，再根据正弦值的计算即可求解． 【详解】（1）解：． （2）解：当时，， 因为反比例函数在的范围内，v随着r的增大而减小， 所以当时，， 即旋转半径r至少为． （3）解：当时，，即， 如图，过点B作于点E，作于点F， 因为， 所以， 因为四边形为矩形， 所以， 所以． 28．（2026·浙江丽水·一模）制作某种金属工具要进行煅烧和锻造两个工序，即将材料由烧到后立即开始锻造操作，当材料温度低于时，须停止锻造并立即进行再次煅烧．每次煅烧温度上升的速度相同，煅烧过程温度与时间成一次函数关系，第一次锻造造时温度与时间成反比例函数关系，开始制作后第8分钟材料的温度为． (1)求第一次锻造操作的时长； (2)求第二次开始锻造的时间． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是求出反比例函数的解析式． （1）先求出反比例函数的解析式，再求出当和时x的值，即可得答案； （2）先求出煅烧温度上升的速度，再求出第二次煅烧时需要的时间，即可得答案． 【详解】（1）解：材料锻造时，设， 由题意得，解得， ， 当时，，解得：， 当时，，解得：， ， 所以第一次锻造操作的时长是； （2），所以煅烧时温度每分钟上升， ，所以第二次煅烧需要， ，所以第二次开始锻造的时间是第． 29．（2026·浙江杭州·一模）数学应用：电子托盘秤工作原理 素材1：图1为某款电子托盘秤，图2为其对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过所称物体质量调节可变电阻的大小，从而改变电路中的电流，最终通过显示器显示物体质量．电流与总电阻（单位：）成反比例，其中，已知． 素材2：可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间的关系如图3所示．当放置物体质量为时，电流表显示为． (1)当放置物体质量为时，求总电阻的值； (2)求关于总电阻的函数表达式； (3)为保证电子秤电路安全，现将电流范围设定为（单位：），求该电子秤所称物品质量的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的实际应用，解题的关键是求出一次函数与反比例函数的解析式． （1）设，利用待定系数法求出解析式，进而求出时的值，根据即可求出总电阻的值； （2）由（1）知时，，利用待定系数法求解即可； （3）当时，取最小值，取最小值，由随x的增大而减小，可得取最小值时，x取最大值，由此可解． 【详解】（1）解：由图3可知可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间的关系为一次函数关系式， 设， 将，代入解析式，得：， 解得， ， 当时，， 此时， 即总电阻的值为； （2）解：设电流与总电阻（单位：）的函数解析式为， 由（1）知时，， ， 关于总电阻的函数表达式为； （3）解：， ， 随的增大而减小， ， 当时，取最小值，最小值为：， 此时取最小值，最小值为：， ， 随x的增大而减小， 取最小值2时，x取最大值， 令，解得， 即该电子秤所称物品质量的最大值为． 30．（2026·浙江杭州·一模）小王家饮水机中原有水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温与开机时间（分）满足一次函数关系，当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温与开机时间（分）成反比例关系，当水温降至时，饮水机又自动开始加热…，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答问题： (1)当时，求水温与开机时间（分）的函数关系式； (2)求图中t的值； (3)若小王在通电开机后即外出散步，分钟后回家，要使得回家时饮水机内温度不低于，求t的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查反比例函数的应用，掌握待定系数法求反比例函数的关系式是解题的关键． （1）待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）利用待定系数法求出下降过程中水温与开机时间（分）的函数关系式并将坐标代入，求出t即可； （3）分别求出加热和放热过程中温度为时对应的时间，即水温从加热到需要的时间，继续加热到再降到需要的时间，从而计算当时，加热过程中水温为时对应的时间和放热过程中水温为时对应的时间，再根据图象直接写出这个时间段内饮水机内温度不低于时t的取值范围即可． 【详解】（1）解：当时，设水温与开机时间（分）的函数关系为：， 依据题意，得， 解得：， 此函数解析式为：； （2）解：当，设水温与开机时间（分）的函数关系式为：， 依据题意，得：， 即， 故， 当时，， 解得：； （3）解：当时： 当时，解得， 当时，解得， ∴水温从加热到需要分钟，继续加热到再降到需要20分钟， ∴当时，加热过程中水温为时对应的时间为（分），放热过程中水温为时对应的时间为（分）， 根据图象，要使得回家时饮水机内温度不低于，t的取值范围为． 31．（2026·浙江温州·一模）如图，小明设计了一个探索杠杆平衡条件的装置，在左边固定的托盘A中放置一个质量固定的重物，在右边可左右移动的托盘中放置一定质量的砝码，可使仪器水平平衡平衡时遵循杠杆平衡条件，改变托盘B与点O之间的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到如下表格： 托盘与点的距离 托盘中的砝码质量 (1)与x之间的函数表达式为______； (2)当砝码的质量为时，求托盘B与O点之间的距离； (3)当托盘B向右移动时，应往托盘中添加砝码还是减少砝码？并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)减少，理由见解析 【分析】本题考查反比例函数的应用，根据表格中变量的变化规律写出y与x之间的函数表达式，掌握反比例函数的增减性是解题的关键． （1）根据表格中变量的变化规律解答即可； （2）当时，求出对应x的值即可； （3）根据反比例函数的增减性判断即可． 【详解】（1）解：由表格可知，， 与x之间的函数表达式为 故答案为：； （2）解：当时，得， 解得， 当砝码的质量为时，托盘B与O点之间的距离为； （3）解：托盘中应减少砝码．理由如下： ，， 随x的增大而减小， 当托盘B向右移动时x增大， 托盘中的砝码质量y应该减小， 托盘中应减少砝码． 反比例函数与几何综合 考点5 一、单选题 32．（2026·浙江杭州·一模）如图，的两点在反比例函数的图象上，过作轴于点，交于点．若为的中点，则的面积是（   ） A． B． C．6 D．5 【答案】A 【分析】设，则可求得点和点的坐标，推出的长，利用三角形面积公式即可解答． 【详解】解：设， 为的中点， ， 轴， 点的纵坐标为， 点在反比例函数上， ， ，点到的距离为， ． 33．（2026·浙江衢州·一模）如图，在直角坐标系中，，点B的坐标是．若反比例函数的图象经过点A，C，且点A的横坐标是1，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出点A的坐标，进而求出直线的关系式，可得点D，E的坐标，再根据特殊角的三角函数值求出点F的坐标，然后求出直线的关系式，最后将两个函数关系式联立求出答案即可． 【详解】解：∵点A在双曲线的图象上，且横坐标为1， ∴， ∴点． 设直线的关系式为，且经过点，， 得，解得， ∴直线的关系式为， 当时，，当时，， ∴点， ∴， ∴，． 在中，， 在中，， 解得， ∴， ∴点． 设直线的关系式为，且经过点，， 得，解得， ∴直线的关系式为， 将两个函数关系式联立，得， 解得（舍去）或， 当时，， ∴点． 34．（2026·浙江舟山·一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数的图象经过顶点D，分别与对角线，边交于点E，F，连接，．若点E为的中点，的面积为2，则k的值为（   ） A． B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】设，根据已知条件表示出点，点坐标，易得，，由的面积为2，得的面积为4，所以，即可求出的值． 【详解】解：设， 是矩形，且点为的中点， 点纵坐标为， 代入反比例函数解析式得， ， 点横坐标为， 点横坐标为，代入反比例函数解析式， 得， ， ， 的面积为2， 的面积为4， ， ， 解得． 35．（2026·浙江嘉兴·一模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，其两个锐角的外角平分线相交于点P，若点P恰好在反比例函数的图象上，则的面积是（    ） A．30 B．24 C．18 D．15 【答案】D 【分析】过点P分别作轴于点D，轴于点E，于点C，先证明四边形是正方形，然后求出点P的坐标，即可求出，再根据勾股定理求出，即可求得答案． 【详解】解：过点P分别作轴于点D，轴于点E，于点C， ， 四边形是矩形， 平分， ， 同理， ， 四边形是正方形， 设， 点P恰好在反比例函数的图象上， ， 解得或（舍去）， ， ，， ，， 在中，， 的面积是． 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，正方形的判定与性质，勾股定理，角平分线的性质定理，添加辅助线构造全等三角形是关键． 36．（2026·浙江金华·一模）如图，矩形的面积为，点的坐标为，轴，轴，若反比例函数的图象过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，设点，，则，，由矩形面积可得，再根据反比例函数图象上点的坐标特征可得，代入计算求出的值即可求解，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：设点，，则，， ∵矩形的面积为， ∴， ∴， ∵点在反比例函数图象上， ∴， 即， ∴， 整理得，， 解得或（不合，舍去）， ∴， ∴， 故选：． 二、填空题 37．（2026·浙江丽水·一模）如图，以菱形的顶点O为原点，边所在直线为x轴建立平面直角坐标系，，，过C点的反比例函数部分图像交于点D，则的值为_________． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图像和性质，菱形的性质，三角函数，解一元二次方程． 作轴交轴于，作轴交轴于，根据菱形的性质得到，，根据三角函数求出，，即，代入可求出，设，根据三角函数可知，，则，可得，求出，即可求出的值． 【详解】解：如图，作轴交轴于，作轴交轴于， ∵菱形，， ∴，， ∵， ∴，， 即， ∵过C点的反比例函数部分图像交于点D， ∴， 即， ∵，， ∴， 设，则，， ∴， 即， ∵过C点的反比例函数部分图像交于点D， ∴， 整理得： 解得，（舍去） ∴． 故答案为：． 38．（2026·浙江台州·一模）如图，在中，轴，点，，，反比例函数的图象在第一象限内经过点，且与交于点．则点的横坐标为_____． 【答案】3 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质、平行四边形的性质，熟练掌握以上知识点是关键． 根据条件可得反比例函数解析式，利用解析式求出当时值即可． 【详解】解：∵在中，轴，点， ∴， ∴点的坐标， ∵反比例函数的图象在第一象限内经过点， ∴， ∴反比例函数解析式为：， 当时，， ∴点的横坐标为3． 故答案为：3． 39．（2026·浙江温州·一模）如图，点A，B在反比例函数的图象上，轴于点M，交线段于点C，连结．已知点A，B的横坐标分别为6，4．则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，待定系数法求函数的解析式，三角形的面积的计算，正确地作出辅助线．解题的关键． 延长交于N，得到，进而得到，证得，根据相似三角形的性质求得，，代入即可求出结果． 【详解】解：延长交于N， ∵轴，， ∴轴，， ∴ ， ∵A，B的横坐标分别为6，4， ∴， ∵点A，B在反比例函数（）的图象上， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故答案为：． 40．（2026·浙江绍兴·一模）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边与反比例函数（为常数，的图象交于两点，且与轴正半轴交于点，点在反比例函数的图象上，若点是的中点，则的值为___________． 【答案】6 【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质、平行四边形的性质、平移的性质等知识，数形结合是解题的关键． 设点先利用中点坐标公式求出，，由点A到点B的平移规律得到点C的坐标，代入即可得到k的值． 【详解】解：设 ∵点D是中点， 当时，， ∴， ∵点D是中点，由中点坐标公式得到， 四边形是平行四边形， 平行且等于， ∵点A到点B相当于向左平移个单位，向上平移个单位， ∴点向左平移个单位，向上平移个单位得到点C， ∵点C在图象上， ∴． ∴ 故答案为：6 反比例函数与一次函数的交点问题 考点6 一、填空题 41．（2026·浙江温州·一模）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于两点，点的横坐标为，点的横坐标为，当时，则的取值范围是______． 【答案】或 【分析】根据图像找出一次函数图像在反比例函数图像下方时的取值范围即可． 【详解】解：根据函数图像可知，当或时，一次函数的图像在反比例函数图像的下方， 即当或时，， ∴的取值范围为：或． 42．（2026·浙江杭州·一模）已知：点在直线上，也在双曲线上，则的值为________． 【答案】29 【分析】先根据题意得到，则，，然后利用完全平方公式求解即可． 【详解】解：∵点在直线上，也在双曲线上， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：29． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，完全平方公式的变形求值，正确得到，是解题的关键． 二、解答题 43．（2026·浙江杭州·一模）在直角坐标系中，设函数与函数（，，是常数，）的图象交于点，． (1)求函数，的表达式． (2)当时，比较与的大小．（直接写出结果） (3)若点在函数的图象上，将点先向左平移1个单位，再向下平移6个单位得点，点恰好落在函数的图象上，求点的坐标． 【答案】(1)，； (2)当时，； (3)点的坐标为或． 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键． （1）待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）画出图象，利用数形结合解答即可； （3）根据点的平移法则设点C坐标为，写出点D的坐标再代入反比例函数解析式求出m值即可点的点C坐标． 【详解】（1）解：∵两个函数图象交于点，． ∴, ∴，， ∴， ∵点，在直线图象上， ， 解得， ∴； （2）解：两个函数图象如图所示， 由图可知，当时，； （3）解：设点C坐标为， ∵将点先向左平移1个单位，再向下平移6个单位得点， ∴， ∵点D恰好落在函数的图象上， ∴， 整理得， ∴或， ∴点的坐标为或． 44．（2026·浙江·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点， (1)求和的值． (2)横坐标为的点是反比例函数图象上的一点．现将点向下平移．当点落在一次函数图象上时，求向下平移的距离． 【答案】(1)， (2)向下平移的距离为 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数，点的平移，掌握待定系数法求解析式，平移规律是解题的关键． （1）把代入一次函数，反比例函数解析式即可求解； （2）根据题意得到，根据点的平移得到平移后，代入一次函数解析式即可求解． 【详解】（1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点， ∴， 解得，，则一次函数解析式为， ∴， 解得，，则反比例函数解析式为； （2）解：点的横坐标为，且点在反比例函数图象上， ∴，即， 设点向下平移了个单位， ∴， ∴， 解得，， ∴向下平移的距离为． / 学科网（北京）股份有限公司 $