专题02 方程与不等式（5大考点，66题）（浙江专用）2026年中考数学一模分类汇编

专题02 方程与不等式（5大考点，66题） 4大考点概览 考点01一元一次方程及实际应用 考点02二元一次方程组及其实际应用 考点03一元二次方程及其实际应用 考点04分式方程及其应用 考点05不等式及不等式组 一元一次方程及实际应用 考点1 一、单选题 1．（2026·浙江杭州·一模）某学校一种营养快餐由蛋白质、脂肪、矿物质、碳水化合物四种成分组成，一份营养快餐的总质量为，各种成分的质量如下表：经检测，蛋白质的质量比矿物质质量的4倍多15g，则列出方程正确的是（   ） 成分 蛋白质 脂肪 矿物质 碳水化合物 质量（g） 15 120 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据总质量求出蛋白质和矿物质的质量和，再结合两者的数量关系整理得到方程即可． 【详解】解：营养快餐总质量为，其中脂肪质量为，碳水化合物质量为， 蛋白质与矿物质的总质量为， 又蛋白质的质量比矿物质质量的倍多，矿物质质量为， 蛋白质质量为， 因此可得方程：． 2．（2026·浙江舟山·一模）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，则最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有辆车，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程．设共有x辆车，根据人数不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：设共有x辆车，根据人数不变列出等量关系， 每3人共乘一车，最终剩余2辆车，则人数为：， 每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，则人数为：， ∴列出方程为：，故A正确． 故选：A． 3．（2026·浙江温州·一模）在直角坐标系中，把点先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点．若点的横坐标和纵坐标相等，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】先根据平移方式确定点B的坐标，再根据点的横坐标和纵坐标相等列方程，解方程即可． 【详解】解：点先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点， ，即， 点的横坐标和纵坐标相等， ， ， 故选C． 【点睛】本题考查平面直角坐标系内点的平移，一元一次方程的应用等，解题的关键是掌握平面直角坐标系内点平移时坐标的变化规律：横坐标右加左减，纵坐标上加下减． 二、填空题 4．（2026·浙江衢州·一模）《九章算术》中有这样一个问题：今有共买金，人出两百，盈二千四百；人出一百，盈五百．问人数，金价各几何？其大意是：假设合伙买金，每人出200钱，则多出2400钱；每人出100钱，则多出500钱．则合伙买金人共有________人． 【答案】19 【分析】根据题意可知：人数人数，然后列出相应的方程，求解即可． 【详解】解：设合伙买金人数共有x人，由题意可得： ， 解得， 即合伙买金人数共有19人． 5．（2026·浙江嘉兴·一模）如图A，B两地相距，甲于某日下午1点骑自行车从A地出发去B地，乙也于同日下午骑摩托车按相同路线从A地出发去B地，图中的折线和线段分别表示甲乙所行驶的路程S与时间t的关系，根据图中的数据，乙出发_________就追上甲． 【答案】/ 【分析】设乙出发后经过x小时追上甲，根据乙追上甲时两人的路程相等列方程，求解即可． 【详解】解：设乙出发后经过x小时追上甲， 甲在段的速度是， 乙的速度为， ∴， 解得， ∴乙出发后经过追上甲． 三、解答题 6．（2026·浙江台州·一模）为顺利完成某条直道上的光缆铺设工程，甲、乙两个工程队计划分别以直道两端为开工起点，各自以预定速度同时相向铺设光缆，直至工程完工．开工几天后，甲队有若干名工人因故离队，造成施工速度下降，导致整个工程工期延长．设铺设光缆时间为x（单位：天），此时，工程队铺设光缆的地点到甲队开工起点的距离为y（单位：米），甲、乙两队y关于x的函数关系分别如图所示． (1)完成这个光缆铺设工程用了多少天? (2)求乙队y关于x的函数关系式． (3)甲队若干名工人离队导致工期比原计划延长了多少天? 【答案】(1)14天 (2) (3)2天 【分析】（1）由函数图象即可得到答案； （2）用待定系数法求函数解析式即可； （3）由原计划甲队y关于x的函数解析式，得到，求出，计算即可得到答案． 【详解】（1）解：由图象得完成这个光缆铺设工程用了天； （2）解：设乙队y关于x的函数关系式为， 把，代入得， 解得， 则乙队y关于x的函数解析式； （3）解：， 原计划甲队y关于x的函数解析式， 甲、乙两队完成光缆工程需满足， 解得， （天）， 答：甲队工人离队导致工期比原计划延长了2天． 7．（2026·浙江杭州·一模）每年月日至月日为我国个人所得税综合所得年度汇算清缴期．开展个税汇算，有利于纳税人准确计算全年实际应纳个人所得税，通过专项附加扣除（子女教育、赡养老人、住房贷款利息等）依法享受税收优惠，多退少补，切实维护纳税人合法权益，促进税负公平． 材料一：全年应纳税所得额全年税前综合收入（不包括三险一金，且后文中的提到税前综合收入均不包括三险一金）元（基本减除费用）专项附加扣除．应纳税额全年应纳税所得额适用税率速算扣除数． 居民个人综合所得税率表（部分） 全年应纳税所得额 税率（） 速算扣除数 不超过元的 超过元至元的 超过元至元的 居民全年一次性奖金税率表（部分） 全年一次性奖金 税率（） 速算扣除数 不超过元的 超过元至元的 超过元至元的 材料二：根据财政部的政策，至年月日之前，居民个人取得的全年一次性奖金可以选择并入当年的综合收入，也可以选择单独计算纳税．如果单独计算纳税，全年一次性奖金的税额计算公式为：全年一次性奖金应纳税额全年一次性奖金收入适用税率速算扣除数． 例如，小张全年税前综合收入为元，其中全年一次性奖金元，无专项附加扣除，若小张选择合并计税，则应纳税额元；若小张选择单独计税，则应纳税额元．材料三：为兼顾不同家庭的实际负担，个税设置专项附加扣除，其中子女教育专项附加扣除额度为元，夫妻可协商分配扣除额度，选择各，或者一方扣除． (1)小李全年税前综合收入为元，其中全年一次性奖金元，专项附加扣除有额度元，试通过计算，为小李选择纳税最少的计税方式． (2)应届本科毕业生小王，无专项附加扣除．经过对比，小王发现自己最优全年纳税额为元．已知其全年一次性奖金不低于元但不超过元，试问小王的税前年综合收入范围是多少？ (3)小陈、小丽夫妻有一女儿正在读初中，夫妻俩税前年综合收入均为万元，其中小陈全年一次性奖金元，小丽全年一次性奖金元，除子女教育外均无其他专项附加扣除．小丽觉得大家收入都相同，应该平摊子女教育的额度，但是小陈反对，认为自己全部扣除更加合理．从家庭综合收入的角度考虑，请你通过计算说明谁的方式更合理． 【答案】(1)选择合并计税方式纳税最少； (2)小王的税前年综合收入不低于元，不高于元； (3)小陈的方式更合理． 【分析】本题考查了有理数运算的应用，一元一次方程的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题干给出的应纳税额计算公式，分类计算不同方案的总纳税额，通过比较大小得到最优结果； （）设小王全年一次性奖金为，税前年综合总收入为，分类计算不同方案的总纳税额， 从而计算满足，即小王的税前年综合收入不低于元，不高于元； （）根据题干给出的应纳税额计算公式，分类计算不同方案的总纳税额，通过比较大小得到最优结果． 【详解】（1）解：分别计算两种计税方式的总应纳税额，再比较大小， 合并计税：全年应纳税所得额（元）， ∵， ∴适用税率，速算扣除数，则应纳税额（元）， 单独计税：综合部分应纳税所得额（元），综合部分应纳税额为，全年一次性奖金元，适用税率，速算扣除数，奖金应纳税额（元）， 总应纳税额（元）， 因为， 所以合并计税纳税更少， 答：选择合并计税方式； （2）解：设小王全年一次性奖金为，税前年综合总收入为， 单独计税时，奖金应纳税额为，综合部分应纳税所得额为， 当时，， 总应纳税额满足：， 整理得，代入的范围得， 当时，， 总应纳税额满足：， 整理得，解得， 综上，小王税前年综合收入满足， 答：小王的税前年综合收入不低于元，不高于元； （3）解：子女教育总扣除额度为元，分别计算两种扣除方式的家庭总纳税额： 第一种：平摊扣除，两人各扣除元， 计算小陈税额：小陈总收入元，奖金元，工资部分元，综合部分应纳税所得额（元）， 综合税额（元）， 奖金税额（元）， 小陈总税额（元）， 计算小丽税额：小丽总收入元，奖金元，工资部分元， 综合部分应纳税所得额（元）， 综合税额（元）， 奖金税额（元）， 小丽总税额（元）， 家庭总税额（元）； 第二种：小陈全额扣除元，小丽不扣除， 计算小陈税额： 综合部分应纳税所得额（元）， 综合税额（元）， 奖金税额（元）， 小陈总税额（元）， 计算小丽税额：综合部分应纳税所得额（元）， 综合税额（元）， 奖金税额（元）， 小丽总税额（元）， 家庭总税额（元）， 因为， 所以小陈的方式下家庭总纳税额更少， 答：小陈的方式更合理． 8．（2026·浙江湖州·一模）小江解方程的过程如下： 解：去分母，得…………第一步 去括号，得…………第二步 合并同类项，得…………第三步 移项，得…………第四步 合并同类项，得…………第五步 (1)小江的解题过程有错误，他从第______步开始出现错误； (2)写出正确的解答过程． 【答案】(1)一 (2)见解析 【详解】（1）解：他从第一步开始出现错误； （2）解： ， 去分母，得， 去括号，得 ， 移项，得 合并同类项，得 ， 系数化为1，得． 9．（2026·浙江湖州·一模）甲骑车从A地到B地，乙骑车从B地到A地，甲的速度小于乙的速度，两人同时出发，沿同一条公路匀速前进．图中的折线表示两人之间的距离与甲的行驶时间之间的函数关系．请你根据图象进行探究： (1)求甲和乙的速度； (2)C点的坐标是______； (3)当甲乙两人相距时，求的值． 【答案】(1)甲的速度为，乙的速度为 (2) (3)或 【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据可以分别求得甲和乙的速度； （2）根据（1）中的结果和图象中的数据可以求得点C的坐标； （3）分甲和乙相遇前两人相距和当甲和乙相遇后两人相距两种情况列方程求解即可． 【详解】（1）解：（1）从可以看出：两人从相距的两地相遇用了一个小时时间， 则， ∵甲的速度小于乙的速度， ∴甲用了3小时走完了的全程， ∴， ∴； （2）解：C点的意义是乙骑车从B地到A地用了，此时甲和乙的距离是， ∴C点坐标是； （3）解：当甲和乙相遇前两人相距时，则， 解得； 当甲和乙相遇后两人相距时，则， 解得， 综上，甲乙两人相距时，的值为或． 10．（2026·浙江舟山·一模）甲、乙两辆满载水果的运输车同时从A地出发前往B地，甲车匀速行驶至距离A地的地时发生故障原地维修，后维修完毕，于是甲车匀速行驶到达B地．乙车匀速行驶到达距离A地的地，接着花费卸载水果，然后立即原路匀速返回A地，结果乙车回到A地时恰好甲车到达B地．在两车行驶的过程中，甲、乙两车距离A地的距离（单位：）与它们离开A地的时间（单位：）之间的函数图象如图所示． 请结合图象信息，解答下列问题： (1)填表： 甲车离开A地的时间（单位：） 1 4 6.4 8 甲车离A地的距离（单位：） ______ 160 ______ ______ (2)请直接写出乙车行驶的全过程中与的函数关系式； (3)①图中的值为___________； ②在整个行驶过程中，求出当甲、乙两车相距时的值． 【答案】(1)40；160；240 (2) (3)①144；②或或 【分析】（1）根据题意，结合图象先计算当时，甲车的速度，即可得到对应的路程，其余两空可直接由图象获取数据； （2）利用待定系数法，分，，时，分别求解即可； （3）先求得乙车的时，，然后分，，，时，根据两车的距离列出方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，当时，甲车的速度为， ∴甲车离开A地时，离A地的距离为， 由图象可知，甲车离开A地和时，离A地的距离分别为和； ∴填表如下： 甲车离开A地的时间（单位：） 1 4 6.4 8 甲车离A地的距离（单位：） 40 160 160 240 （2）解：当时，设乙车的与的函数关系式为， 代入，得，则； ∵， 则当时，此时； 当，设乙车的与的函数关系式为， 代入和，得， 解得， 综上，乙车行驶的全过程中与的函数关系式为； （3）解：①由（2）可知，； ②令， 解得， 当时，两车相遇， 当时，甲车的速度为， 根据题意得：， 解得： 当时，甲、乙两车相距； 当时， 根据题意得：， 解得； 当时， 根据题意得：， 解得 综上所述，当或或时，两车相距． 二元一次方程组及其实际应用 考点2 一、单选题 11．（2026·浙江杭州·一模）《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀，六只燕，共重16两，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”若设雀每只两，燕每只两，则可列出方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据五只雀六只燕共重16两，可得第一个方程：，互换其中一只后，一方剩余只雀和只燕，另一方剩余只雀和只燕，二者重量相等，可得第二个方程：，即可得到答案． 【详解】解：设雀每只两，燕每只两， ． 12．（2026·浙江嘉兴·一模）某实践小组想仅用一架天平和一个10克的砝码测量出壹元硬币和伍角硬币的质量．于是，他们找来足够多的壹元和伍角硬币（假设同种类每枚硬币的质量相同），经过操作得到如下记录．请帮该实践小组算一算，一枚壹元硬币和一枚伍角硬币的质量分别是多少克？设一枚壹元硬币的质量为克，一枚伍角硬币的质量为克，则和满足的方程组是（   ） 记录 天平左边 天平右边 状态 记录一 5枚壹元硬币，1个10克的砝码 10枚伍角硬币 平衡 记录二 15枚壹元硬币 20枚伍角硬币，1个10克的砝码 平衡 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据表格记录，列出方程组即可. 【详解】解：设一枚壹元硬币的质量为克，一枚伍角硬币的质量为克， 由题意，得. 13．（2026·浙江舟山·一模）为响应国家“全民阅读，建设学习型社会”的倡议，某校欲购进《论语》《弟子规》两种图书以供学生课外阅读．若购买《论语》本，《弟子规》本，则共需要元；若购买《论语》本，《弟子规》本，则共需要元．设《论语》的单价为元，《弟子规》的单价为元，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两次购买的等量关系，总费用等于两种图书的费用之和，据此列出方程组即可． 【详解】解：购买《论语》本，《弟子规》本，则共需要元， 可得； 购买《论语》本，《弟子规》本，则共需要元， 可得 因此可列方程组． 14．（2026·浙江舟山·一模）九章算术中记载了一个问题，大意是：甲、乙两人各带了若干钱．若甲得到乙所有钱的一半，则甲共有钱50．若乙得到甲所有钱的，则乙也共有钱50．甲、乙两人各带了多少钱？设甲带了钱，乙带了钱，依题意，下面所列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列二元一次方程组． 根据题意，甲得到乙钱的一半后甲有50钱，即甲原钱加乙钱一半等于50；乙得到甲钱的三分之二后乙有50钱，即乙原钱加甲钱三分之二等于50． 【详解】解：设甲带了钱，乙带了钱， ∵甲得到乙所有钱的一半后共有50钱， ∴， ∵乙得到甲所有钱的后共有50钱， ∴， ∴方程组为． 故选：A． 15．（2026·浙江金华·一模）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多六客，一房八客一房空．”诗中后面两句的意思：如果一间客房住7人，那么有6人无房可住；如果一间客房住8人，那么就空出一间客房．若设该店有房客人，客房间，则下列二元一次方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设该店有房客人，客房间，依题意列出方程组即可，正确理解题意是解题的关键． 【详解】解：设该店有房客人，客房间，依题意得： ， 故选：C． 16．（2026·浙江舟山·一模）明代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中有一个“哪吒夜叉”问题，大意是：有3个头6只手的哪吒若干，有1个头8只手的夜叉若干，两方交战，共有36个头，108只手．问哪吒、夜叉各有多少？设哪吒有个，夜叉有个，则根据条件所列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程组的应用，审清题意、找准等量关系、列出方程是解题的关键． 设哪吒有个，夜叉有个，然后根据等量关系“共有36个头”和“108只手”列出二元一次方程组即可解答． 【详解】解：设哪吒有个，夜叉有个， 然后根据题意可得：． 故选D． 17．（2026·浙江舟山·一模）数学家朱世杰所著的《四元玉鉴》是中国元代重要的数学著作之一，书中记载着这样一个问题，大意是：999文钱买了甜果和苦果共1000个，11文钱可买9个甜果，4文钱可买7个苦果，问甜果，苦果各买了多少个？设买了甜果x个，苦果y个，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程组，根据999文钱买了甜果和苦果共1000个，11文钱可买9个甜果，4文钱可买7个苦果，列出方程组即可． 【详解】解：设买了甜果x个，苦果y个，由题意，得： ； 故选A． 18．（2026·浙江杭州·一模）中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数，琎价各几何？其大意是：今有人合伙买琎石，每人出钱，会多出4钱；每人出钱，又差了3钱．问人数，琎价各是多少？设人数为，琎价为，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了列二元一次方程组，根据题意列出二元一次方程组即可． 【详解】解：设人数为，琎价为， 根据每人出钱，会多出4钱可得出， 每人出钱，又差了3钱．可得出， 则方程组为：， 故选：B． 19．（2026·浙江舟山·一模）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，纸书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，列二元一次方程组． 【详解】解：设有x人，y辆车， 依题意得： ， 故选B． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解决问题的关键是找出题中等量关系． 20．（2026·浙江·一模）如下图，在长方形ABCD中，放入六个形状相同的长方形，所标尺寸如图，图中阴影部分面积(    ) A．36cm2 B．96cm2 C．44cm2 D．84cm2 【答案】C 【分析】首先设长方形的长为xcm，宽为ycm，由题意得等量关系：①1个长＋3个宽＝14；②2个宽＋6＝1个长＋1个宽，根据等量关系列出方程组，再解即可． 【详解】解：设长方形的长为xcm，宽为ycm， 由题意得： ，解得：， ∴阴影部分的面积为：（6＋4）×14−2×8×6＝44（cm2）， 故选C． 【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组． 二、填空题 21．（2026·浙江温州·一模）清朝时期的课本《代微积拾级》中用“”来表示相当于的代数式．若“”的值为,“”的值为，则“天”与“地”的和为______． 【答案】 【详解】解：设“天”与“地”分别为，， 由题意得：，整理得：， 得：， ∴， ∴“天”与“地”的和为． 22．（2026·浙江湖州·一模）关于和的二元一次方程组的解是__________． 【答案】 【详解】解： ①②得， 即 解得：， 将代入①得， 解得： ∴方程组的解为： 23．（2026·浙江舟山·一模）方程组的解是___________． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，根据方程的特点灵活选择解方程的方法是关键；利用加减法求解即可． 【详解】解：， 得：， 解得：； 把代入②得：， 解得：， 故方程组的解为． 三、解答题 24．（2026·浙江金华·一模）解方程组： 【答案】 【分析】利用加减消元法解二元一次方程组即可． 掌握消元法解方程组是解题的关键． 【详解】解：， 由得：， 解得， 将代入②中得：， 解得， 方程组的解为． 25．（2026·浙江台州·一模）解方程组：． 【答案】． 【分析】根据加减消元法解方程组即可． 【详解】解：， 得： 得：， 把，代入，得， 所以原方程组的解为． 一元二次方程及其实际应用 考点3 一、单选题 26．（2026·浙江舟山·一模）如图，矩形和正方形面积相等，点B在边上，点G在上，交于M点，，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】证明得，，．由矩形和正方形面积相等，得，结合可得，证明，求出，再证明，利用相似形的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴ ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，，． ∵矩形和正方形面积相等， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 同理可证，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴． 二、填空题 27．（2026·浙江湖州·一模）【文化欣赏】三国时期的数学家赵爽所著的《勾股圆方图注》中记载了一种图解一元二次方程的方法．以解方程为例：将原方程整理可得：，可视为一个矩形的面积为35，构造如图所示的图形．此时大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加中间小正方形的面积的和．由此得：，得正整数解为． 【应用体验】小明用此方法解关于的方程．已知在他构造的图形中，大正方形的面积为81，则该方程的正整数解为__________． 【答案】 【分析】根据示例中赵爽弦图的构造方法，将方程变形为，可知矩形的长为，宽为，进而表示出大正方形的边长，利用大正方形的面积建立方程求解即可． 【详解】解：由方程 移项得，即． 根据题意及示例图形可知，构造的四个矩形的长为，宽为． 大正方形的边长为矩形的长与宽之和，即． 因为大正方形的面积为， 所以． 因为为正整数， 所以， 所以． 解得． 28．（2026·浙江·一模）如图，内接于，是上一点，，连接交于，平分，，，则___________． 【答案】10 【分析】延长交于点，连接，，得，证明，可证明，求出，再求出，再由勾股定理可求出． 【详解】解：延长交于点，连接，，如图， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∴，， 又， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴． 29．（2026·浙江杭州·一模）若关于x的一元二次方程有实数根，则最小整数________． 【答案】 【分析】一元二次方程有实数根的条件：一元二次方程根的判别式大于或等于0． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴这个方程根的判别式， 解得， ∴最小整数． 30．（2026·浙江杭州·一模）若抛物线的顶点在直线上，则m的值为__________． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标，一次函数的性质，公式法进行解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先整理得出顶点坐标为，再把代入，得出，运用公式法进行解一元二次方程，即可作答． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线， 把代入， 得， 即顶点坐标为， ∵抛物线的顶点在直线上， ∴， 整理得， 则， ∴， ∴ 故答案为：或． 31．（2026·浙江宁波·一模）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．若关于的方程是“邻根方程”，令，则的最大值是______． 【答案】9 【分析】本题主要考查一元二次方程的知识，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“邻根方程”的定义．根据“邻根方程”的定义求出，代入进行配方求出最大值即可． 【详解】解：设、是方程的两根， 解得，， ∵原方程是“邻根方程”， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为9． 故答案为：9． 32．（2026·浙江舟山·一模）已知关于的方程的一个根为，则方程的另一个根_____． 【答案】 【分析】利用根与系数的关系，可得出，解之即可得出结论． 【详解】解：根据题意得， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于，两根之积是”是解题的关键． 三、解答题 33．（2026·浙江衢州·一模）按要求完成下列计算： (1)化简：； (2)解方程： 【答案】(1)1 (2)， 【分析】（1）根据整式乘法法则和完全平方公式展开，再合并同类项即可； （2）先提出公因式得出两个因式乘积等于0的形式，再根据每个因式都等于0解答即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：， 因式分解，得， 即或， ∴，． 34．（2026·浙江杭州·一模）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）按照解分式方程的一般步骤解方程，求出，再进行检验即可； （2）先求出一元二次方程根的判别式，然后利用求根公式进行解答即可． 【详解】（1）解： ， ， ， ， ， 检验：当时，， ∴原方程的解为：； （2）解：， ，，， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ，． 35．（2026·浙江宁波·一模）我们学过配方法，对于二次三项式，当二次项系数为1时，加上一次项系数一半的平方，即可配成完全平方式，从而求出这个多项式的最大（或最小）值． 对于含字母参数a的关于x的多项式，我们同样可以用配方法求出它的最大（或最小）值，如： 原式 ． 所以，当，时，此式的最小值为2． 试用上述方法求下列多项式的最小（或最大）值，并说明此时字母所取的值： (1)； (2)． 【答案】(1)当时，多项式取得最大值为 (2)当，时，多项式的最小值为 【分析】（1）对进行配方，即可得出结果； （2）对进行配方，即可得出结果． 【详解】（1）解： ， ∵， ∴， ∴，当且仅当，即时，等号成立，此时多项式取得最大值为； （2）解： ， ∵，， ∴，当且仅当且时等号成立， 由可得，， 将代入可得， 故当，时，多项式的最小值为． 36．（2026·浙江温州·一模）综合与实践 【探索发现】小温在探索“圆与相似三角形”相关知识时发现如下结论：如图1，在圆中，若弦与交于点，则有． (1)【猜想验证】请证明上述结论． (2)【实践应用】如图2，若，则的坐标为___________． (3)【综合拓展】如图3，已知二次函数的图象与轴交于两点（在轴左侧，在轴右侧），与轴负半轴交于点．经过三点的圆与轴正半轴交于点，求点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）结合圆周角定理，证明∽即可； （2）根据求值即可； （3）根据，结合根与系数的关系求解即可. 【详解】（1）证明：如图1，连接， ∵，， ∴∽， ∴， 即； （2）解：由（1）知，， ∵， ∴，，， ∴， 解得， ∴； （3）解：设，， ∵， 即， 当时，由韦达定理可得，， ， 则． 分式方程及其应用 考点4 一、单选题 37．（2026·浙江温州·一模）研究15、12、10这三个数的倒数发现：，我们称15、12、10这三个数为一组调和数，现有一组调和数：x、8、5，则x的值是（    ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】D 【分析】根据题目给出的调和数定义，得到三个数倒数之间的等量关系，列出分式方程求解即可得到结果. 【详解】解：由题意，， 解得 ， 经检验，是原方程的解，符合题意， 因此x的值为20. 38．（2026·浙江衢州·一模）解方程时，在方程的两边同乘以，得（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： 两边同乘以，得． 39．（2026·浙江衢州·一模）解分式方程时，去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】方程左右两边乘以去分母得到结果，即可作出判断． 【详解】解：， 方程两边乘以去分母得：． 40．（2026·浙江舟山·一模）李技师与张技师为艺术节做手工艺品，张技师比李技师每小时少件，已知张技师做件与李技师做件所用时间相等，问张技师、李技师每小时各做手工艺品多少件？设张技师每小时做手工艺品件，则根据题意，可列出方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵设张技师每小时做手工艺品件，张技师比李技师每小时少做件， ∴李技师每小时做件， ∵工作时间 ， ∴张技师做件的时间为，李技师做件的时间为， 又∵张技师做件与李技师做件所用时间相等， ∴可得方程 ． 41．（2026·浙江杭州·一模）如果关于x的分式方程无解，那么实数m的值为（ ） A． B．1或0 C．1 D．1或 【答案】D 【分析】本题考查分式方程的解，理解其意义是解题的关键．将原方程去分母得，整理得，根据题意分情况讨论并求得对应的m的值即可． 【详解】解：原方程去分母得， 整理得， 当时， 无解，那么原方程无解，符合题意， 当时， 若方程无解，那么它有增根， 则， 解得：， 综上，m的值为1或， 故选：． 42．（2026·浙江舟山·一模）我国明代《永乐大典》记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各直钱八百九十六文，只云绫、罗各一尺共直钱一百二十文．问绫、罗尺价各几何？”其大意为：“现在有绫布和罗布长共3丈（1丈尺），已知绫布和罗布分别出售均能收入896文钱，绫布和罗布各出售1尺共收入120文钱．问两种布每尺各多少文钱？”设绫布有x尺，则可得方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设绫布有x尺，则罗布有尺，根据绫布和罗布分别出售均能收入896文钱求出绫布和罗布的单价（每尺），再根据绫布和罗布各出售1尺共收入120文钱即可列出方程． 【详解】解：由题意得，， 故选：B． 二、解答题 43．（2026·浙江温州·一模）解分式方程：． 【答案】 【分析】根据解分式方程的运算法则进行计算即可． 【详解】解：去分母,得, 去括号,得, 解得， 把代入原方程检验：左边,右边,左边＝右边， 是原方程的解． 44．（2026·浙江嘉兴·一模）解分式方程：． 【答案】 【详解】解： 经检验，原方程的解为． 45．（2026·浙江丽水·一模）解分式方程：． 【答案】分式方程无解 【分析】方程两边同时乘，化为整式方程，解整式方程，并检验，即可求解． 【详解】解：， 方程两边同时乘，得， 解得：， 解得：， 检验：把代入， 是分式方程的增根， ∴分式方程无解． 46．（2026·浙江舟山·一模）解方程： 【答案】 【分析】先去分母，把分式方程化为整式方程，再解得，最后验根，即可作答． 【详解】解：两边同时乘， 得， 去括号，得， 解得：， 检验：把代入， 方程的解为． 47．（2026·浙江温州·一模）解分式方程：． 【答案】 【分析】方程两边同乘最简公分母，转化为整式方程，求解并检验即可． 【详解】解∶， 方程两边同时乘，得 ， 解得， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解． 48．（2026·浙江杭州·一模）（1）解方程：； （2）解不等式组：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查解分式方程以及解一元一次不等式组．熟练掌握解分式方程的步骤和确定一元一次不等式组的解集的方法是解题的关键． （1）利用去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化，检验，解分式方程即可； （2）分别解两个一元一次不等式，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集． 【详解】解：（1） 经检验，是原方程的解； 解：（2）， 由①得， 由②得， 不等式组的解集是． 49．（2026·浙江杭州·一模）解分式方程： 【答案】无解 【分析】本题考查了解分式方程，根据将分式方程转化为整式方程，解方程并检验，即可求解． 【详解】解： ∴ 解得： 当时， ∴是原方程的增根，原方程无解 50．（2026·浙江金华·一模）解方程： 【答案】x=3． 【分析】观察可得方程最简公分母为(x2-1)，去分母，转化为整式方程求解，结果要检验． 【详解】解： 去分母得， 解得，x=3， 经检验，x=3是原方程的根， 所以，原方程的根为：x=3． 【点睛】（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解；（2）解分式方程一定注意要检验． 不等式及不等式组 考点5 一、单选题 51．（2026·浙江嘉兴·一模）若，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的基本性质为：不等式两边加或减同一个数或整式，不等号方向不变；不等式两边乘或除以同一个正数，不等号方向不变；不等式两边乘或除以同一个负数，不等号方向改变，根据性质逐一判断选项即可． 【详解】解：∵已知， ∴对A选项：不等式两边同时加3，不等号方向不变，可得，故A错误； 对B选项：不等式两边同时减3，不等号方向不变，可得，故B错误； 对C选项：不等式两边同时乘正数3，不等号方向不变，可得，故C错误； 对D选项：不等式两边同时乘负数，不等号方向改变，可得，故D正确． 52．（2026·浙江金华·一模）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先分别求出两个不等式的解集，再结合“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”得出不等式组的解集，并在数轴上表示出来，即可解题． 熟知实心圆点与空心圆点的区别是解答此题的关键． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为， 解集在数轴上表示如下： ． 53．（2026·浙江台州·一模）一条鱼的销售方式有两种：①整鱼销售；②分割成鱼头和鱼身两部分销售（不计分割损耗）．已知整鱼、鱼头部分、鱼身部分的单价分别为24元/千克、36元/千克、16元/千克．若分割销售的总额不少于整鱼销售额，则分割时鱼头部分的质量占整鱼质量的百分比至少为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设整鱼总质量为，鱼头质量占整鱼质量的百分比为，则鱼头质量为，鱼身质量为.，根据题意列不等式求解即可得到结果． 【详解】解：设整鱼总质量为，鱼头质量占整鱼质量的百分比为，则鱼头质量为，鱼身质量为， ∵分割销售的总额不少于整鱼销售额， ∴可得不等式 ， ∵，两边同时除以得 ， 展开整理得 ， 解得 ， 因此鱼头部分的质量占整鱼质量的百分比至少为． 54．（2026·浙江湖州·一模）2026年，宇树科技人形机器人再登央视春晚舞台．为普及相关科技知识，某校举办了人工智能知识竞答活动，一共20道题，每一题答对得5分，答错或不答扣3分．设答对了道题，若得分不低于80分，可列出关于的不等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题目的数量关系，结合“不低于”的含义列出不等式即可得到结果． 【详解】解：根据题意得． 55．（2026·浙江杭州·一模）已知反比例函数，点和是反比例函数图象上的两点，若对于，，都有，则a的取值范围是（   ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题利用反比例函数的增减性，根据系数的正负分情况讨论，结合对任意都有的条件，列不等式求解的取值范围即可． 【详解】解：设，反比例函数为，分两种情况讨论： 情况1：，即，得，此时反比例函数的图象在每个象限内随增大而减小． ∵对任意，都有， ∴小于的最小值，的最小值为， 又∵，可得， ∵， ∴． 当时，左边，不等式恒成立，符合条件， 当时，两边同乘，得， 又∵， ∴； 情况2：，即，得，此时反比例函数的图象在每个象限内随增大而增大， ∵对任意，都有， ∴小于的最小值，代入，得， ∵， ∴， ∵，两边同乘，得，与矛盾， ∴此情况无解． 综上，的取值范围是或． 二、填空题 56．（2026·浙江嘉兴·一模）不等式组的解集是______． 【答案】 【分析】分别求出两个不等式的解集，再求其公共解集即可． 【详解】解：， 解不等式得，， 解不等式得，， ∴不等式组的解集为． 57．（2026·浙江丽水·一模）不等式组的解集是__________ ． 【答案】 【分析】分别求解两个不等式的解集，再确定两个解集的公共部分，即可得到不等式组的解集． 熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键． 【详解】解：， 解不等式①得： ， 解不等式②得： ， ∴不等式组的解集为． 58．（2026·浙江舟山·一模）不等式组的解集为________． 【答案】 【分析】分别求出每个一元一次不等式的解集，再取两个解集的公共部分，即可得到不等式组的解集. 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为. 59．（2026·浙江杭州·一模）已知反比例函数的两点，，若，则m的取值范围为_________． 【答案】 或 【分析】根据反比例函数的比例系数判断函数增减性，再结合的条件，分两点在不同象限、同一象限两种情况，列不等式组求解，最后合并得到的取值范围. 【详解】解：反比例函数中，，根据反比例函数的性质，函数图象位于第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小. 分两种情况讨论: 情况1：点在不同象限 若，则在第一象限，在第三象限，可得不等式组 解得，即该情况解集为； 情况2：点在同一象限 若，结合反比例函数增减性，得，且两点横坐标同号，即， 解得， 解得， 所以. 综上，的取值范围是 或 . 60．（2026·浙江衢州·一模）已知点，都在双曲线上，且，若，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据反比例函数的性质列出不等式组求解． 【详解】解：由得，，且， 根据反比例函数的性质得，双曲线在每个象限内，随的增大而增大， ∵，， ∴， 即， 解得． 61．（2026·浙江温州·一模）不等式组的解集为___________． 【答案】 【分析】分别求解不等式组中两个一元一次不等式的解集，再取两个解集的公共部分，即可得到不等式组的解集． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， 所以不等式组的解集为． 三、解答题 62．（2026·浙江温州·一模）解不等式组,并把解集表示在数轴上． 【答案】，数轴见解析 【详解】解： 由①,得,∴． 由②,得,, ∴． ∴原不等式组的解集为． 把不等式组的解集表示在数轴上如图所示： 63．（2026·浙江舟山·一模）解不等式组．并在数轴上表示这个不等式组的解集． 【答案】，图见解析 【分析】先分别解不等式组中的两个不等式，再在数轴上画出两个解集，确定其公共部分即可． 【详解】解： 由①得： 解得； 由②得： 解得， ∴在数轴上表示两个不等式的解集如下： ∴不等式组的解集为：． 64．（2026·浙江衢州·一模）已知二次函数（常数）． (1)当时，求该二次函数图像的顶点坐标． (2)是否存在实数，使得对于任意实数，当取和时，对应的函数值始终相等？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)当时，若始终成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)存在， (3)，且 【分析】（1）利用顶点解析式求顶点坐标即可； （2）利用二次函数的对称轴进行求解； （3）根据题意列出，得出，然后利用二次函数的性质以及不等式进行求解． 【详解】（1）解：当时，， ∴顶点坐标为； （2）解：存在，，理由如下： 二次函数的对称轴为直线， ∵对于任意实数，当取和时，对应的函数值始终相等， ∴对称轴为直线， ∴， 解得； （3）解：根据题意得，， ， 当时，恒成立， 故， 当时，随的增大而增大， ∴， ∴， ∵当时，若始终成立， ∴，且． 65．（2026·浙江舟山·一模）下面是小星同学解不等式的过程： 解：去分母，得：．．．．．．．．．．．第一步 去括号，得：．．．．．．．．．．．第二步 移项，得：．．．．．．．．．．．．第三步 合并同类项，得：．．．．．．．．．．．第四步 系数化为1，得：．．．．．．．．．．．．第五步 ①小星同学的解答过程从第_______步开始出错； ②请写出你认为正确的解答过程． 【答案】①一；②解答过程见详解 【分析】本题考查了解一元一次不等式，准确地进行计算是解题的关键．①由题可知，第一步错误；②按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解一元一次不等式即可． 【详解】①解：第一步，去分母错误， 故答案为：一； ②解：去分母，得： 去括号，得： 移项，得： 合并同类项，得： 系数化为1，得： 66．（2026·浙江舟山·一模）解一元一次不等式组，并在数轴上表示． 解：由不等式①得：__________， 由不等式②得：__________， 在数轴上表示为： 所以，原不等式组的解集为__________． 【答案】；；；见解析 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，分别求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无法找”确定不等式组的解集， 【详解】解：， 解不等式①，得： 解不等式②，得： 在数轴上表示如下： 所以不等式组的解集为：， 故答案为：；； / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 方程与不等式（5大考点，66题） 4大考点概览 考点01一元一次方程及实际应用 考点02二元一次方程组及其实际应用 考点03一元二次方程及其实际应用 考点04分式方程及其应用 考点05不等式及不等式组 一元一次方程及实际应用 考点1 一、单选题 1．（2026·浙江杭州·一模）某学校一种营养快餐由蛋白质、脂肪、矿物质、碳水化合物四种成分组成，一份营养快餐的总质量为，各种成分的质量如下表：经检测，蛋白质的质量比矿物质质量的4倍多15g，则列出方程正确的是（   ） 成分 蛋白质 脂肪 矿物质 碳水化合物 质量（g） 15 120 A． B． C． D． 2．（2026·浙江舟山·一模）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，则最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有辆车，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·浙江温州·一模）在直角坐标系中，把点先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点．若点的横坐标和纵坐标相等，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题 4．（2026·浙江衢州·一模）《九章算术》中有这样一个问题：今有共买金，人出两百，盈二千四百；人出一百，盈五百．问人数，金价各几何？其大意是：假设合伙买金，每人出200钱，则多出2400钱；每人出100钱，则多出500钱．则合伙买金人共有________人． 5．（2026·浙江嘉兴·一模）如图A，B两地相距，甲于某日下午1点骑自行车从A地出发去B地，乙也于同日下午骑摩托车按相同路线从A地出发去B地，图中的折线和线段分别表示甲乙所行驶的路程S与时间t的关系，根据图中的数据，乙出发_________就追上甲． 三、解答题 6．（2026·浙江台州·一模）为顺利完成某条直道上的光缆铺设工程，甲、乙两个工程队计划分别以直道两端为开工起点，各自以预定速度同时相向铺设光缆，直至工程完工．开工几天后，甲队有若干名工人因故离队，造成施工速度下降，导致整个工程工期延长．设铺设光缆时间为x（单位：天），此时，工程队铺设光缆的地点到甲队开工起点的距离为y（单位：米），甲、乙两队y关于x的函数关系分别如图所示． (1)完成这个光缆铺设工程用了多少天? (2)求乙队y关于x的函数关系式． (3)甲队若干名工人离队导致工期比原计划延长了多少天? 7．（2026·浙江杭州·一模）每年月日至月日为我国个人所得税综合所得年度汇算清缴期．开展个税汇算，有利于纳税人准确计算全年实际应纳个人所得税，通过专项附加扣除（子女教育、赡养老人、住房贷款利息等）依法享受税收优惠，多退少补，切实维护纳税人合法权益，促进税负公平． 材料一：全年应纳税所得额全年税前综合收入（不包括三险一金，且后文中的提到税前综合收入均不包括三险一金）元（基本减除费用）专项附加扣除．应纳税额全年应纳税所得额适用税率速算扣除数． 居民个人综合所得税率表（部分） 全年应纳税所得额 税率（） 速算扣除数 不超过元的 超过元至元的 超过元至元的 居民全年一次性奖金税率表（部分） 全年一次性奖金 税率（） 速算扣除数 不超过元的 超过元至元的 超过元至元的 材料二：根据财政部的政策，至年月日之前，居民个人取得的全年一次性奖金可以选择并入当年的综合收入，也可以选择单独计算纳税．如果单独计算纳税，全年一次性奖金的税额计算公式为：全年一次性奖金应纳税额全年一次性奖金收入适用税率速算扣除数． 例如，小张全年税前综合收入为元，其中全年一次性奖金元，无专项附加扣除，若小张选择合并计税，则应纳税额元；若小张选择单独计税，则应纳税额元．材料三：为兼顾不同家庭的实际负担，个税设置专项附加扣除，其中子女教育专项附加扣除额度为元，夫妻可协商分配扣除额度，选择各，或者一方扣除． (1)小李全年税前综合收入为元，其中全年一次性奖金元，专项附加扣除有额度元，试通过计算，为小李选择纳税最少的计税方式． (2)应届本科毕业生小王，无专项附加扣除．经过对比，小王发现自己最优全年纳税额为元．已知其全年一次性奖金不低于元但不超过元，试问小王的税前年综合收入范围是多少？ (3)小陈、小丽夫妻有一女儿正在读初中，夫妻俩税前年综合收入均为万元，其中小陈全年一次性奖金元，小丽全年一次性奖金元，除子女教育外均无其他专项附加扣除．小丽觉得大家收入都相同，应该平摊子女教育的额度，但是小陈反对，认为自己全部扣除更加合理．从家庭综合收入的角度考虑，请你通过计算说明谁的方式更合理． 8．（2026·浙江湖州·一模）小江解方程的过程如下： 解：去分母，得…………第一步 去括号，得…………第二步 合并同类项，得…………第三步 移项，得…………第四步 合并同类项，得…………第五步 (1)小江的解题过程有错误，他从第______步开始出现错误； (2)写出正确的解答过程． 9．（2026·浙江湖州·一模）甲骑车从A地到B地，乙骑车从B地到A地，甲的速度小于乙的速度，两人同时出发，沿同一条公路匀速前进．图中的折线表示两人之间的距离与甲的行驶时间之间的函数关系．请你根据图象进行探究： (1)求甲和乙的速度； (2)C点的坐标是______； (3)当甲乙两人相距时，求的值． 10．（2026·浙江舟山·一模）甲、乙两辆满载水果的运输车同时从A地出发前往B地，甲车匀速行驶至距离A地的地时发生故障原地维修，后维修完毕，于是甲车匀速行驶到达B地．乙车匀速行驶到达距离A地的地，接着花费卸载水果，然后立即原路匀速返回A地，结果乙车回到A地时恰好甲车到达B地．在两车行驶的过程中，甲、乙两车距离A地的距离（单位：）与它们离开A地的时间（单位：）之间的函数图象如图所示． 请结合图象信息，解答下列问题： (1)填表： 甲车离开A地的时间（单位：） 1 4 6.4 8 甲车离A地的距离（单位：） ______ 160 ______ ______ (2)请直接写出乙车行驶的全过程中与的函数关系式； (3)①图中的值为___________； ②在整个行驶过程中，求出当甲、乙两车相距时的值． 甲车离开A地的时间（单位：） 1 4 6.4 8 甲车离A地的距离（单位：） 40 160 160 240 二元一次方程组及其实际应用 考点2 一、单选题 11．（2026·浙江杭州·一模）《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀，六只燕，共重16两，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”若设雀每只两，燕每只两，则可列出方程组为（    ） A． B． C． D． 12．（2026·浙江嘉兴·一模）某实践小组想仅用一架天平和一个10克的砝码测量出壹元硬币和伍角硬币的质量．于是，他们找来足够多的壹元和伍角硬币（假设同种类每枚硬币的质量相同），经过操作得到如下记录．请帮该实践小组算一算，一枚壹元硬币和一枚伍角硬币的质量分别是多少克？设一枚壹元硬币的质量为克，一枚伍角硬币的质量为克，则和满足的方程组是（   ） 记录 天平左边 天平右边 状态 记录一 5枚壹元硬币，1个10克的砝码 10枚伍角硬币 平衡 记录二 15枚壹元硬币 20枚伍角硬币，1个10克的砝码 平衡 A． B． C． D． 13．（2026·浙江舟山·一模）为响应国家“全民阅读，建设学习型社会”的倡议，某校欲购进《论语》《弟子规》两种图书以供学生课外阅读．若购买《论语》本，《弟子规》本，则共需要元；若购买《论语》本，《弟子规》本，则共需要元．设《论语》的单价为元，《弟子规》的单价为元，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 14．（2026·浙江舟山·一模）九章算术中记载了一个问题，大意是：甲、乙两人各带了若干钱．若甲得到乙所有钱的一半，则甲共有钱50．若乙得到甲所有钱的，则乙也共有钱50．甲、乙两人各带了多少钱？设甲带了钱，乙带了钱，依题意，下面所列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 15．（2026·浙江金华·一模）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多六客，一房八客一房空．”诗中后面两句的意思：如果一间客房住7人，那么有6人无房可住；如果一间客房住8人，那么就空出一间客房．若设该店有房客人，客房间，则下列二元一次方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 16．（2026·浙江舟山·一模）明代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中有一个“哪吒夜叉”问题，大意是：有3个头6只手的哪吒若干，有1个头8只手的夜叉若干，两方交战，共有36个头，108只手．问哪吒、夜叉各有多少？设哪吒有个，夜叉有个，则根据条件所列方程组为（   ） A． B． C． D． 17．（2026·浙江舟山·一模）数学家朱世杰所著的《四元玉鉴》是中国元代重要的数学著作之一，书中记载着这样一个问题，大意是：999文钱买了甜果和苦果共1000个，11文钱可买9个甜果，4文钱可买7个苦果，问甜果，苦果各买了多少个？设买了甜果x个，苦果y个，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 18．（2026·浙江杭州·一模）中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数，琎价各几何？其大意是：今有人合伙买琎石，每人出钱，会多出4钱；每人出钱，又差了3钱．问人数，琎价各是多少？设人数为，琎价为，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 19．（2026·浙江舟山·一模）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，纸书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 20．（2026·浙江·一模）如下图，在长方形ABCD中，放入六个形状相同的长方形，所标尺寸如图，图中阴影部分面积(    ) A．36cm2 B．96cm2 C．44cm2 D．84cm2 二、填空题 21．（2026·浙江温州·一模）清朝时期的课本《代微积拾级》中用“”来表示相当于的代数式．若“”的值为,“”的值为，则“天”与“地”的和为______． 22．（2026·浙江湖州·一模）关于和的二元一次方程组的解是__________． 23．（2026·浙江舟山·一模）方程组的解是___________． 三、解答题 24．（2026·浙江金华·一模）解方程组： 25．（2026·浙江台州·一模）解方程组：． 一元二次方程及其实际应用 考点3 一、单选题 26．（2026·浙江舟山·一模）如图，矩形和正方形面积相等，点B在边上，点G在上，交于M点，，，若，则（   ） A． B． C． D． 二、填空题 27．（2026·浙江湖州·一模）【文化欣赏】三国时期的数学家赵爽所著的《勾股圆方图注》中记载了一种图解一元二次方程的方法．以解方程为例：将原方程整理可得：，可视为一个矩形的面积为35，构造如图所示的图形．此时大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加中间小正方形的面积的和．由此得：，得正整数解为． 【应用体验】小明用此方法解关于的方程．已知在他构造的图形中，大正方形的面积为81，则该方程的正整数解为__________． 28．（2026·浙江·一模）如图，内接于，是上一点，，连接交于，平分，，，则___________． 29．（2026·浙江杭州·一模）若关于x的一元二次方程有实数根，则最小整数________． 30．（2026·浙江杭州·一模）若抛物线的顶点在直线上，则m的值为__________． 31．（2026·浙江宁波·一模）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．若关于的方程是“邻根方程”，令，则的最大值是______． 32．（2026·浙江舟山·一模）已知关于的方程的一个根为，则方程的另一个根_____． 三、解答题 33．（2026·浙江衢州·一模）按要求完成下列计算： (1)化简：； (2)解方程： 34．（2026·浙江杭州·一模）解方程： (1)； (2)． 35．（2026·浙江宁波·一模）我们学过配方法，对于二次三项式，当二次项系数为1时，加上一次项系数一半的平方，即可配成完全平方式，从而求出这个多项式的最大（或最小）值． 对于含字母参数a的关于x的多项式，我们同样可以用配方法求出它的最大（或最小）值，如： 原式 ． 所以，当，时，此式的最小值为2． 试用上述方法求下列多项式的最小（或最大）值，并说明此时字母所取的值： (1)； (2)． 36．（2026·浙江温州·一模）综合与实践 【探索发现】小温在探索“圆与相似三角形”相关知识时发现如下结论：如图1，在圆中，若弦与交于点，则有． (1)【猜想验证】请证明上述结论． (2)【实践应用】如图2，若，则的坐标为___________． (3)【综合拓展】如图3，已知二次函数的图象与轴交于两点（在轴左侧，在轴右侧），与轴负半轴交于点．经过三点的圆与轴正半轴交于点，求点的坐标． 分式方程及其应用 考点4 一、单选题 37．（2026·浙江温州·一模）研究15、12、10这三个数的倒数发现：，我们称15、12、10这三个数为一组调和数，现有一组调和数：x、8、5，则x的值是（    ） A．5 B．10 C．15 D．20 38．（2026·浙江衢州·一模）解方程时，在方程的两边同乘以，得（   ） A． B． C． D． 39．（2026·浙江衢州·一模）解分式方程时，去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 40．（2026·浙江舟山·一模）李技师与张技师为艺术节做手工艺品，张技师比李技师每小时少件，已知张技师做件与李技师做件所用时间相等，问张技师、李技师每小时各做手工艺品多少件？设张技师每小时做手工艺品件，则根据题意，可列出方程是（    ） A． B． C． D． 41．（2026·浙江杭州·一模）如果关于x的分式方程无解，那么实数m的值为（ ） A． B．1或0 C．1 D．1或 42．（2026·浙江舟山·一模）我国明代《永乐大典》记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各直钱八百九十六文，只云绫、罗各一尺共直钱一百二十文．问绫、罗尺价各几何？”其大意为：“现在有绫布和罗布长共3丈（1丈尺），已知绫布和罗布分别出售均能收入896文钱，绫布和罗布各出售1尺共收入120文钱．问两种布每尺各多少文钱？”设绫布有x尺，则可得方程为（　　） A． B． C． D． 二、解答题 43．（2026·浙江温州·一模）解分式方程：． 44．（2026·浙江嘉兴·一模）解分式方程：． 45．（2026·浙江丽水·一模）解分式方程：． 46．（2026·浙江舟山·一模）解方程： 47．（2026·浙江温州·一模）解分式方程：． 48．（2026·浙江杭州·一模）（1）解方程：； （2）解不等式组：． 49．（2026·浙江杭州·一模）解分式方程： 50．（2026·浙江金华·一模）解方程： 不等式及不等式组 考点5 一、单选题 51．（2026·浙江嘉兴·一模）若，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 52．（2026·浙江金华·一模）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 53．（2026·浙江台州·一模）一条鱼的销售方式有两种：①整鱼销售；②分割成鱼头和鱼身两部分销售（不计分割损耗）．已知整鱼、鱼头部分、鱼身部分的单价分别为24元/千克、36元/千克、16元/千克．若分割销售的总额不少于整鱼销售额，则分割时鱼头部分的质量占整鱼质量的百分比至少为（   ） A． B． C． D． 54．（2026·浙江湖州·一模）2026年，宇树科技人形机器人再登央视春晚舞台．为普及相关科技知识，某校举办了人工智能知识竞答活动，一共20道题，每一题答对得5分，答错或不答扣3分．设答对了道题，若得分不低于80分，可列出关于的不等式是（    ） A． B． C． D． 55．（2026·浙江杭州·一模）已知反比例函数，点和是反比例函数图象上的两点，若对于，，都有，则a的取值范围是（   ） A．或 B． C． D．或 二、填空题 56．（2026·浙江嘉兴·一模）不等式组的解集是______． 57．（2026·浙江丽水·一模）不等式组的解集是__________ ． 58．（2026·浙江舟山·一模）不等式组的解集为________． 59．（2026·浙江杭州·一模）已知反比例函数的两点，，若，则m的取值范围为_________． 60．（2026·浙江衢州·一模）已知点，都在双曲线上，且，若，则的取值范围是__________． 61．（2026·浙江温州·一模）不等式组的解集为___________． 三、解答题 62．（2026·浙江温州·一模）解不等式组,并把解集表示在数轴上． 63．（2026·浙江舟山·一模）解不等式组．并在数轴上表示这个不等式组的解集． 64．（2026·浙江衢州·一模）已知二次函数（常数）． (1)当时，求该二次函数图像的顶点坐标． (2)是否存在实数，使得对于任意实数，当取和时，对应的函数值始终相等？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)当时，若始终成立，求的取值范围． 65．（2026·浙江舟山·一模）下面是小星同学解不等式的过程： 解：去分母，得：．．．．．．．．．．．第一步 去括号，得：．．．．．．．．．．．第二步 移项，得：．．．．．．．．．．．．第三步 合并同类项，得：．．．．．．．．．．．第四步 系数化为1，得：．．．．．．．．．．．．第五步 ①小星同学的解答过程从第_______步开始出错； ②请写出你认为正确的解答过程． 66．（2026·浙江舟山·一模）解一元一次不等式组，并在数轴上表示． 解：由不等式①得：__________， 由不等式②得：__________， 在数轴上表示为： 所以，原不等式组的解集为__________． / 学科网（北京）股份有限公司 $