专题01 数与式（8大考点，93题）（浙江专用）2026年中考数学一模分类汇编

专题01 数与式（8大考点，93题） 8大考点概览 考点01相反数 考点02有理数比较大小 考点03科学记数法 考点04整式的运算 考点05分式的运算 考点06因式分解 考点07数与式的综合 考点08二次根式 相反数 考点1 一、单选题 1．（2026·浙江·一模）2026的相反数是（   ） A．2026 B． C． D． 2．（2026·浙江舟山·一模）下列算式中，运算结果为负数的是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·浙江·一模）的相反数（    ） A．2026 B． C． D． 4．（2026·浙江舟山·一模）有理数的相反数是（   ） A． B． C． D．2026 有理数比较大小 考点2 一、单选题 5．（2026·浙江杭州·一模）下列各数中，比小的数是（） A．1 B．0 C． D． 6．（2026·浙江温州·一模）以海拔1000米为基准,超过的米数记为正数,不足的米数记为负数,下表中海拔最低的山峰是（   ） 荸荠嶂 龙娘山 大罗山 白云尖 52米 米 米 611.3米 A．荸荠嶂 B．龙娘山 C．大罗山 D．白云尖 7．（2026·浙江台州·一模）下列四个数中最小的数是（   ） A． B． C． D． 8．（2026·浙江湖州·一模）下列四个数中绝对值最大的是（    ） A．1 B．0 C． D． 9．（2026·浙江宁波·一模）下列四个数中，最小的是（    ） A． B．0 C． D． 科学记数法 考点3 一、单选题 10．（2026·浙江杭州·一模）2026年4月，国际能源署（）发布报告指出，全球数据中心的年度总耗电量已突破950000000000千瓦时，将数950000000000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 11．（2026·浙江温州·一模）气候变暖使得冰川融化速度加快,据报道,某年全球冰川融化的总量约548000000000吨．数据548000000000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 12．（2026·浙江嘉兴·一模）我国自主研发的人工智能DeepSeek提升了我国在全球科技领域的竞争力．截至2024年2月，DeepSeek的全球下载量约为380000000次．将数380000000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 13．（2026·浙江舟山·一模）2026年1月，浙江省统计局公布2025年全省11个地市与增速，如下图所示．如果以2025年的增速预测舟山2026年全年增量，并且以元为单位表示这个数据，那么这个数据用科学记数法可以表示约为（   ） A． B． C． D． 14．（2026·浙江绍兴·一模）我国平均每平方千米的土地一年从太阳得到的能量，相当于燃烧的煤所产生的能量．数130000000用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 15．（2026·浙江湖州·一模）中央广播电视总台《2026年春节联欢晚会》为全球华人和海外朋友奉上了一道年味浓郁、文化醇厚、科技闪耀的“文化年夜饭”，截至2月17日8时，春晚境内全媒体总触达亿次，创13年来新高．数据“23063000000”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 16．（2026·浙江衢州·一模）天文学家利用太空望远镜，在距离地球约129000000千米的小行星群中发现了一颗罕见的双小行星，其中数据129000000用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 17．（2026·浙江杭州·一模）近年来，我国科研工作者攻坚克难、勇攀高峰，在芯片领域不断突破技术封锁，成功研发出多款先进制程的国产自研芯片，有力推动了我国科技自立自强．已知某款国产高端芯片的关键工艺尺寸为7纳米，即0.000000007米，那么7纳米用科学记数法可表示为（     ）米 A． B． C． D． 18．（2026·浙江宁波·一模）人眼可见的蓝光波长约为．用科学记数法表示是（    ） A． B． C． D． 19．（2026·浙江金华·一模）清代袁枚的一首诗《苔》中的诗句：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为米，则数据0.0000084用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 整式的运算 考点4 一、单选题 20．（2026·浙江温州·一模）下列式子运算正确的是（   ） A． B． C． D． 21．（2026·浙江舟山·一模）下列计算正确的是（   ）． A． B． C． D． 22．（2026·浙江台州·一模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 23．（2026·浙江舟山·一模）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 24．（2026·浙江湖州·一模）下列计算中不正确的是（    ） A． B． C． D． 25．（2026·浙江舟山·一模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 26．（2026·浙江衢州·一模）下列各式中，计算结果等于的是（   ） A． B． C． D． 27．（2026·浙江舟山·一模）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 28．（2026·浙江舟山·一模）截止到2025年2月15日，电影《哪吒之魔童闹海》的累计票房达到112.2亿，112.2亿用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 29．（2026·浙江杭州·一模）下列运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 30．（2026·浙江温州·一模）运算的结果是（   ） A．0 B．2 C．4a D． 31．（2026·浙江·一模）下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 32．（2026·浙江舟山·一模）下列计算正确的是（  ） A． B． C． D． 二、填空题 33．（2026·浙江台州·一模）逢k进一的数称为k进制数，k为大于1的整数．k进制的n位数可以表示为，其中n为正整数，均为小于k的自然数，且．k进制数可以化为常见的十进制数，公式如下：．例如，十六进制的两位数，二进制的三位数．已知，则y关于x的函数关系式是______；的最小值为______． 34．（2026·浙江舟山·一模）计算：的结果是______． 三、解答题 35．（2026·浙江嘉兴·一模）已知一列数，我们将第1个数记为，第2个数记为，第3个数记为，…，第个数记为，这个数的和记为（即），并且这列数从第3个数开始满足，，…，．例如，当，时，，，…，，，…… (1)当，时，求和的值． (2)若，且，求的值． 36．（2026·浙江金华·一模）如图，光明中学为美化校园环境，计划在一块长为15米，宽为12米的空地上修建一个长方形草坪，草坪的周围修建等宽的小路，路宽为a米． (1)草坪的周长为多少米（含a的代数式表示）； (2)当米时，求草坪的周长． 37．（2026·浙江杭州·一模）化简求值：，其中． 38．（2026·浙江嘉兴·一模）化简求值：，其中． 39．（2026·浙江衢州·一模）按要求完成下列计算： (1)化简：； (2)解方程： 40．（2026·浙江衢州·一模）化简、解方程 (1)． (2)． 分式的运算 考点5 一、单选题 41．（2026·浙江台州·一模）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 42．（2026·浙江舟山·一模）若代数式的值是，则___________． 43．（2026·浙江舟山·一模）等式成立的条件是_____． 44．（2026·浙江舟山·一模）计算的结果是________． 45．（2026·浙江衢州·一模）计算：__________． 三、解答题 46．（2026·浙江舟山·一模）计算： 47．（2026·浙江舟山·一模）计算： 48．（2026·浙江金华·一模）计算： 49．（2026·浙江台州·一模）计算：． 50．（2026·浙江衢州·一模）小王的解题过程如下： 先化简，再求值：，其中． 解：原式=……………………① ……………………② ……………………③ 当时，原式． (1)请指出第一次出现错误步骤的序号：________________． (2)写出正确的解答过程． 51．（2026·浙江舟山·一模）计算 (1)． (2)，求的值． 52．（2026·浙江杭州·一模）计算：． 53．（2026·浙江衢州·一模）小王的解题过程如下： 先化简，再求值：，其中． 解：原式…………①         …………②         …………③ 当时，原式． (1)请指出首次出现错误的步骤序号：______． (2)写出正确的解答过程． 54．（2026·浙江舟山·一模）计算： ． 55．（2026·浙江杭州·一模）先化简，再求值：，其中． 56．（2026·浙江杭州·一模）计算：． 57．（2026·浙江舟山·一模）计算：． 58．（2026·浙江温州·一模）计算：． 因式分解 考点6 一、单选题 59．（2026·浙江杭州·一模）下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 60．（2026·浙江舟山·一模）因式分解：_____． 61．（2026·浙江舟山·一模）分解因式：________． 62．（2026·浙江舟山·一模）分解因式：__________． 63．（25-26八年级上·福建南平·期末）因式分解：________． 64．（2026·浙江衢州·一模）因式分解：________． 65．（2026·浙江舟山·一模）若，是方程的两个根，则________． 66．（2026·浙江宁波·一模）分解因式：________． 67．（2026·浙江舟山·一模）分解因式：______． 68．（2026·浙江台州·一模）因式分解：__________． 69．（2026·浙江温州·一模）因式分解：________． 70．（2026·浙江杭州·一模）分解因式：______． 数与式的综合 考点7 一、填空题 71．（2026·浙江温州·一模）若,则的值为__________． 72．（2026·浙江嘉兴·一模）______． 73．（2026·浙江金华·一模）二次根式中字母x的取值范围为_____________． 74．（2026·浙江舟山·一模）若x，y为实数，且，则_____． 75．（2026·浙江台州·一模）计算：______． 二、解答题 76．（2026·浙江杭州·一模）小金在学习平方差公式时，得到了估算一个数的算术平方根的近似公式：（其中是与接近的完全平方数，且）其推理过程见下图． 推理过程： 若接近于，则有， ． 例如，估算的近似值，此时，取，即，则． (1)请用上述方法估算的值． (2)在估算近似值时，小金发现取6或7，所得估值都相同． ①请验证小金的发现． ②求取13或14时，所得近似值相同的无理数． 77．（2026·浙江温州·一模）【阅读理解】我国南宋时期数学家秦九韶著有《数书九章》,书中记载了“三斜求积术”,即根据三角形的三边长求面积的方法．如果将三角形的三边长分别记为a,b,c,那么三角形的面积公式为：． 【推导验证】 已知：如图,在中,记, ,． 求证：的面积 证明：过点A作于点D, 设,则, ∴, …… (1)请你继续完成上述推导． (2)【尝试应用】已知的三边长分别为,2,,请用“三斜求积术”求△ABC的面积． 78．（2026·浙江丽水·一模）【阅读理解】我们已经学过完全平方公式：，适当地变形，可以解决很多的数学问题． 例：若，，求的值． 解：由完全平方公式：， 因此． 因为，， 所以． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)填空：若，，则 ； 【类比应用】 (2)若关于的方程满足，求的值． 79．（2026·浙江舟山·一模）下面是学习《有理数》时，数学老师出示的问题和两名同学的解答过程． 计算： 嘉嘉： 解：原式  第一步   第二步   第三步   第四步 琪琪： 解：原式  第一步   第二步   第三步   第四步 (1)请指出两名同学的错误分别在第几步； (2)请你写出正确的解答过程． 80．（2026·浙江舟山·一模）中国高铁是“中国速度”的闪亮名片，其基础造价为每米10万元．为保障列车运行安全，高铁线路的拐角设计通常控制在以内，某高铁线路需避开山体，在点处规划两处绕行方案：方案一：设计的拐角，即，在点处再设计一个拐角使得路线恢复方向，即；方案二：设计的拐角，即，在点处再设计一个拐角使得路线与方案一的路线重合，但这样路线会经过一片沙地（即为沙地），使每米的造价比基础造价增加10%． (1)若与的距离为66米，求线段、、的长． (2)在（1）的条件下，方案一和方案二哪一个造价更便宜？并说明理由．（参考数据：，，，） 81．（2026·浙江温州·一模）在二次根式的学习中，我们学会了估计一个无理二次根式的整数部分，例如由，可得的整数部分为1，接下来如何进一步估算的值呢？小明同学在查询资料后，发现了一种方法：以为例，易知的整数部分为10，且更接近11；则，，；．（实际上，） (1)的整数部分为______；______（结果保留两位小数）． (2)小明在采用这种方法估算时，得到，与熟知的数据相差较大；小明仔细思考后发现问题在于的小数部分与1比较接近，因此在分母中用1来代替会产生较大的误差．请你利用所学的知识，结合本题的方法帮助小明估算的值（结果保留三位小数）． 82．（2026·浙江杭州·一模）跟华罗庚学猜数： 我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口而出：39． 华罗庚（1910-1985） 你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的方法试一试： ①∵，，又∵，∴，∴能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又∵，能确定59319的立方根的个位数是9． ③若划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39． (1)现在换一个数19683，按这种方法求立方根，请完成下列填空： ①它的立方根是 位数； ②它的立方根的个位数字是 ； ③19683的立方根是 ． (2)求110592的立方根．（过程可按题目中的步骤写） 83．（2026·浙江杭州·一模）如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，点E，F分别为，的中点，连接，，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，求线段的长． 二次根式 考点8 一、单选题 84．（2026·浙江衢州·一模）使有意义的x的取值范围在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 85．（2026·浙江衢州·一模）使有意义的的取值范围在数轴上可表示为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 86．（2026·浙江衢州·一模）计算：________． 87．（2026·浙江舟山·一模）二次根式有意义，则x的取值范围是__________． 88．（2026·浙江台州·一模）若代数式有意义，则x的取值范围是_____________． 89．（2026·浙江杭州·一模）要使有意义，则实数x的取值范围是________． 90．（2026·浙江丽水·一模）计算：__________． 三、解答题 91．（2026·浙江杭州·一模）计算：． 92．（2026·浙江舟山·一模）计算：． 93．（2026·浙江台州·一模）先化简，再求值：，其中． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 数与式（8大考点，93题） 8大考点概览 考点01相反数 考点02有理数比较大小 考点03科学记数法 考点04整式的运算 考点05分式的运算 考点06因式分解 考点07数与式的综合 考点08二次根式 相反数 考点1 一、单选题 1．（2026·浙江·一模）2026的相反数是（   ） A．2026 B． C． D． 【答案】C 【详解】解： 的相反数是 ． 2．（2026·浙江舟山·一模）下列算式中，运算结果为负数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别计算各选项结果，判断符号，找出结果为负数的选项即可 【详解】A．，结果为正数，故本选项不符合题意； B．，结果为正数，故本选项不符合题意； C．， ，结果为负数，故本选项符合题意； D．，结果为正数，故本选项不符合题意； 3．（2026·浙江·一模）的相反数（    ） A．2026 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查求绝对值和相反数，先计算绝对值，再求相反数即可． 【详解】解：∵， ∴的相反数为． 故选：B． 4．（2026·浙江舟山·一模）有理数的相反数是（   ） A． B． C． D．2026 【答案】B 【分析】本题考查相反数的定义，根据“只有符号不同的两个数互为相反数”即可求解. 【详解】解：的相反数是； 故选B 有理数比较大小 考点2 一、单选题 5．（2026·浙江杭州·一模）下列各数中，比小的数是（） A．1 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】根据有理数大小比较规则：正数大于，大于所有负数，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．求解即可． 【详解】解∶∵，，，， ∴， ∴比小的数是． 6．（2026·浙江温州·一模）以海拔1000米为基准,超过的米数记为正数,不足的米数记为负数,下表中海拔最低的山峰是（   ） 荸荠嶂 龙娘山 大罗山 白云尖 52米 米 米 611.3米 A．荸荠嶂 B．龙娘山 C．大罗山 D．白云尖 【答案】C 【分析】分别计算荸荠嶂、龙娘山、大罗山、白云尖的海拔，再比较即可． 【详解】解：由题意得，荸荠嶂海拔为（米）； 龙娘山海拔为（米）； 大罗山海拔为（米）； 白云尖海拔为（米）， ∵ ∴大罗山的海拔最低． 7．（2026·浙江台州·一模）下列四个数中最小的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据有理数大小比较规则：正数大于一切负数，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，比较即可得到答案． 【详解】解：∵ ，，， ∴ ， 又∵ 所有负数都小于正数， ∴ ， ∴ 四个数中最小的数是． 8．（2026·浙江湖州·一模）下列四个数中绝对值最大的是（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】D 【详解】解：，，，． 又∵ ． ∴ 绝对值最大的数是． 9．（2026·浙江宁波·一模）下列四个数中，最小的是（    ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是比较有理数的大小．根据正数大于零，零大于负数，两个负数绝对值大的反而小判断即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴最小的是， 故选：C． 科学记数法 考点3 一、单选题 10．（2026·浙江杭州·一模）2026年4月，国际能源署（）发布报告指出，全球数据中心的年度总耗电量已突破950000000000千瓦时，将数950000000000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】科学记数法的定义，其表示形式为，满足，为整数，正确确定和的值即可求解． 【详解】解：． 11．（2026·浙江温州·一模）气候变暖使得冰川融化速度加快,据报道,某年全球冰川融化的总量约548000000000吨．数据548000000000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据科学记数法的形式为，，为整数． 【详解】解：． 12．（2026·浙江嘉兴·一模）我国自主研发的人工智能DeepSeek提升了我国在全球科技领域的竞争力．截至2024年2月，DeepSeek的全球下载量约为380000000次．将数380000000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，解题关键是掌握科学记数法的表示规则，即表示为的形式时，满足，为整数，的值由原数小数点移动位数确定． 【详解】解：科学记数法要求表示为，其中，为整数， ∵将转化为满足条件的，可得，原数的小数点向左移动了位， ∴，即． 13．（2026·浙江舟山·一模）2026年1月，浙江省统计局公布2025年全省11个地市与增速，如下图所示．如果以2025年的增速预测舟山2026年全年增量，并且以元为单位表示这个数据，那么这个数据用科学记数法可以表示约为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了科学记数法．将的结果用科学记数法表示，即写成的形式，其中，为整数，即可作答． 【详解】解：依题意，亿， 则 即这个数据用科学记数法可以表示约为． 14．（2026·浙江绍兴·一模）我国平均每平方千米的土地一年从太阳得到的能量，相当于燃烧的煤所产生的能量．数130000000用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】科学记数法的表示形式为，要求，为正整数，正确确定和的值即可解答． 【详解】解：数130000000用科学记数法可表示为． 15．（2026·浙江湖州·一模）中央广播电视总台《2026年春节联欢晚会》为全球华人和海外朋友奉上了一道年味浓郁、文化醇厚、科技闪耀的“文化年夜饭”，截至2月17日8时，春晚境内全媒体总触达亿次，创13年来新高．数据“23063000000”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定a和n的值即可得到答案． 【详解】解：． 16．（2026·浙江衢州·一模）天文学家利用太空望远镜，在距离地球约129000000千米的小行星群中发现了一颗罕见的双小行星，其中数据129000000用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：数据129000000用科学记数法可表示为． 17．（2026·浙江杭州·一模）近年来，我国科研工作者攻坚克难、勇攀高峰，在芯片领域不断突破技术封锁，成功研发出多款先进制程的国产自研芯片，有力推动了我国科技自立自强．已知某款国产高端芯片的关键工艺尺寸为7纳米，即0.000000007米，那么7纳米用科学记数法可表示为（     ）米 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】绝对值小于1的数用科学记数法表示的形式为，其中，的绝对值等于原数左起第一个非零数字前所有零的个数（包含小数点前的零）． 【详解】解：． 18．（2026·浙江宁波·一模）人眼可见的蓝光波长约为．用科学记数法表示是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查科学记数法表示较小的数，解题的关键是掌握科学记数法的形式为正整数以及的确定方法． 先确定的值，再根据原数与的关系确定的值，从而得出科学记数法的表达式． 【详解】， 故选C． 19．（2026·浙江金华·一模）清代袁枚的一首诗《苔》中的诗句：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为米，则数据0.0000084用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：0.0000084=8.4×10-6． 故选：B． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 整式的运算 考点4 一、单选题 20．（2026·浙江温州·一模）下列式子运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同底数幂乘除，同类项合并，幂的乘方的运算法则，逐一判断选项即可． 【详解】解：A、，故运算错误，不符合题意； B、与不是同类项，不能合并，故运算错误，不符合题意； C、，故运算错误，不符合题意； D、，故运算正确，符合题意． 21．（2026·浙江舟山·一模）下列计算正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别根据单项式乘单项式、积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘、除法运算法则计算各选项，即可判断正误． 【详解】解：.，错误； .，正确； .，错误； .，错误． 22．（2026·浙江台州·一模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式的基本运算，需运用合并同类项法则，同底数幂的乘除法则，逐一判断选项即可． 【详解】解：∵ 与不是同类项，不能合并， ∴ 选项A、B均错误； ∵ 根据同底数幂除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，可得 ， ∴ 选项C正确； ∵ 根据同底数幂乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得 ， ∴ 选项D错误． 23．（2026·浙江舟山·一模）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、∵同底数幂相除，底数不变，指数相减，∴，A计算错误； B、∵幂的乘方运算中，底数不变，指数相乘，∴，B计算错误； C、∵与不是同类项，不能合并，∴C计算错误； D、∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加，∴，D计算正确． 24．（2026·浙江湖州·一模）下列计算中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同底数幂乘除法、积的乘方以及幂的乘方、合并同类项进行计算，即可找出不正确的选项． 【详解】解：A，∵， ∴A计算正确； B，∵， ∴B计算正确； C，∵， ∴C计算不正确； D，∵， ∴D计算正确． 25．（2026·浙江舟山·一模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意． 26．（2026·浙江衢州·一模）下列各式中，计算结果等于的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、，该选项符合题意； B、，该选项不符合题意； C、与不是同类项，不能合并，该选项不符合题意； D、与不是同类项，不能合并，该选项不符合题意． 27．（2026·浙江舟山·一模）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用单项式除法、完全平方公式、积的乘方、合并同类项，逐一计算各选项即可判断正误. 【详解】解：选项A：，故A选项计算正确； 选项B：由完全平方公式得，故B选项计算错误； 选项C：由积的乘方法则得，故C选项计算错误； 选项D：与不是同类项，不能合并，故D选项计算错误. 28．（2026·浙江舟山·一模）截止到2025年2月15日，电影《哪吒之魔童闹海》的累计票房达到112.2亿，112.2亿用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用科学记数法的表示形式为，其中，为整数，根据定义确定和的值即可； 【详解】亿，且， ． 29．（2026·浙江杭州·一模）下列运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用合并同类项，积的乘方，同底数幂乘除法的法则，对每个选项逐一判断． 【详解】解：A选项：∵与a不是同类项，不能合并，∴A运算错误． B选项：∵根据积的乘方法则，，，∴B运算错误． C选项：∵根据同底数幂除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，可得，∴C运算正确． D选项：∵根据同底数幂乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得，，∴D运算错误． 30．（2026·浙江温州·一模）运算的结果是（   ） A．0 B．2 C．4a D． 【答案】B 【分析】先计算乘方，再合并同类项即可． 【详解】解：原式． 31．（2026·浙江·一模）下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了合并同类项、积的乘方、单项式的除法和平方差公式．根据合并同类项、积的乘方、单项式除以单项式和平方差公式逐一计算后判断即可． 【详解】解：A、与不是同类项，无法合并，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项正确，符合题意； D、，故本选项错误，不符合题意； 故选：C 32．（2026·浙江舟山·一模）下列计算正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘法，除法，积的乘方法则进行计算即可. 【详解】解：A、不能合并，原计算错误； B、，原计算错误； C、，原计算错误； D、，原计算正确. 二、填空题 33．（2026·浙江台州·一模）逢k进一的数称为k进制数，k为大于1的整数．k进制的n位数可以表示为，其中n为正整数，均为小于k的自然数，且．k进制数可以化为常见的十进制数，公式如下：．例如，十六进制的两位数，二进制的三位数．已知，则y关于x的函数关系式是______；的最小值为______． 【答案】 13 【分析】先根据k进制数化为十进制数的公式，分别将、、转化为十进制数，再根据等式关系求出y关于的函数关系式，最后根据、y的取值范围求出的最小值． 【详解】解：根据公式得： ； ； ； ∵ ∴， , ， ∴； 由可得 ， 因为且x为整数，所以x的最小值为7， 当时，，不满足，舍去； 当时，，满足； ∴此时的最小值为． 综上，y关于x的函数关系式是；的最小值为13． 34．（2026·浙江舟山·一模）计算：的结果是______． 【答案】 【分析】先拆分指数，逆用积的乘方法则，再结合平方差公式化简计算，即可得到结果． 【详解】解： ， ∴的结果是． 三、解答题 35．（2026·浙江嘉兴·一模）已知一列数，我们将第1个数记为，第2个数记为，第3个数记为，…，第个数记为，这个数的和记为（即），并且这列数从第3个数开始满足，，…，．例如，当，时，，，…，，，…… (1)当，时，求和的值． (2)若，且，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据，求解即可； （2）先表示出，，，然后根据列式求解即可． 【详解】（1）解：因为， 所以； 因为， 所以． （2）解：若， 则，，． 由得， 所以， 所以， 所以． 36．（2026·浙江金华·一模）如图，光明中学为美化校园环境，计划在一块长为15米，宽为12米的空地上修建一个长方形草坪，草坪的周围修建等宽的小路，路宽为a米． (1)草坪的周长为多少米（含a的代数式表示）； (2)当米时，求草坪的周长． 【答案】(1) (2)35.6米 【分析】（1）列出长和宽，然后再根据周长公式计算即可 （2）把代入（1）中的周长表示式计算，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：长为：（米）， 宽为：（米） 草坪的周长： （2）解：当时，． 故当米时，草坪的周长为35.6米． 37．（2026·浙江杭州·一模）化简求值：，其中． 【答案】5 【分析】利用完全平方公式和单项式乘以多项式将所求式子化简，再将代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： 当时，原式． 38．（2026·浙江嘉兴·一模）化简求值：，其中． 【答案】 【分析】先根据整式乘法法则计算，再根据整式的加减法合并，然后代入求值即可． 【详解】解：原式， 把代入，原式． 39．（2026·浙江衢州·一模）按要求完成下列计算： (1)化简：； (2)解方程： 【答案】(1)1 (2)， 【分析】（1）根据整式乘法法则和完全平方公式展开，再合并同类项即可； （2）先提出公因式得出两个因式乘积等于0的形式，再根据每个因式都等于0解答即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：， 因式分解，得， 即或， ∴，． 40．（2026·浙江衢州·一模）化简、解方程 (1)． (2)． 【答案】(1)1 (2)，． 【分析】（1）利用完全平方公式和单项式乘多项式去括号，再合并同类项即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， 因式分解得， 则或， 解得，． 分式的运算 考点5 一、单选题 41．（2026·浙江台州·一模）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式乘法法则，分子相乘的积作为积的分子，分母相乘的积作为积的分母，再约去公因式即可． 【详解】解：． 二、填空题 42．（2026·浙江舟山·一模）若代数式的值是，则___________． 【答案】 【分析】根据题意列出分式方程求解的值，再检验即可．注意分式有意义的条件，分母不能为． 【详解】解：由题意得：， ， ， ， ， 检验当时，， 因此是原分式方程的解． 43．（2026·浙江舟山·一模）等式成立的条件是_____． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件． 根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，列出不等式组求解即可． 【详解】解：∵要使等式成立，等式两边均需有意义， ∴， 解得：． 故答案为：． 44．（2026·浙江舟山·一模）计算的结果是________． 【答案】 【详解】解：． 45．（2026·浙江衢州·一模）计算：__________． 【答案】1 【详解】解∶ ． 三、解答题 46．（2026·浙江舟山·一模）计算： 【答案】 【分析】先根据二次根式的性质，乘方，零次幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值进行化简，再计算即可． 【详解】解：原式 ． 47．（2026·浙江舟山·一模）计算： 【答案】2023 【分析】本题考查了立方根，零次幂，先化简绝对值，运算立方根以及零次幂，再运算减法，即可作答． 【详解】解： ． 48．（2026·浙江金华·一模）计算： 【答案】4 【详解】解： 49．（2026·浙江台州·一模）计算：． 【答案】 【分析】通过立方根定义，绝对值的意义，负整数指数幂进行计算即可． 【详解】解： ． 50．（2026·浙江衢州·一模）小王的解题过程如下： 先化简，再求值：，其中． 解：原式=……………………① ……………………② ……………………③ 当时，原式． (1)请指出第一次出现错误步骤的序号：________________． (2)写出正确的解答过程． 【答案】(1)① (2)； 【分析】（1）观察解题过程，可得出结论； （2）根据异分母分式加减法法则进行解答即可． 【详解】（1）解：出现错误步骤的序号为① （2）解： ； 当时，原式． 51．（2026·浙江舟山·一模）计算 (1)． (2)，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据负整数指数幂、三角函数、零指数幂、二次根式化简，即可求解； （2）先对原分式处理得到，再代入值求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 52．（2026·浙江杭州·一模）计算：． 【答案】 【分析】直接利用特殊角的三角函数值、绝对值的性质、零指数幂的性质分别化简，进而计算得出答案． 此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键． 【详解】解： ． 53．（2026·浙江衢州·一模）小王的解题过程如下： 先化简，再求值：，其中． 解：原式…………①         …………②         …………③ 当时，原式． (1)请指出首次出现错误的步骤序号：______． (2)写出正确的解答过程． 【答案】(1)② (2)见详解 【分析】（1）根据分式的化简步骤回答即可． （2）先化简分式，再代入数值求解即可． 【详解】（1）解：首次出现错误的步骤序号②，分母不应该舍去．分式通分后，应该保持分母不变，对分子进行计算. （2）解： ， ， 当时，原式． 54．（2026·浙江舟山·一模）计算： ． 【答案】 【详解】解：原式 ． 55．（2026·浙江杭州·一模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先根据异分母的分式减法运算法则计算，然后代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 56．（2026·浙江杭州·一模）计算：． 【答案】 5 【分析】分别计算各项后合并即可得到结果． 【详解】解： ． 57．（2026·浙江舟山·一模）计算：． 【答案】 【分析】根据负整数指数幂、三角函数值、绝对值计算即可． 【详解】解： ． 58．（2026·浙江温州·一模）计算：． 【答案】4 【详解】解： ． 因式分解 考点6 一、单选题 59．（2026·浙江杭州·一模）下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：选项A：∵将右侧整式展开得． ∴A错误． 选项B：∵由平方差公式可得分解正确且彻底， ∴B正确． 选项C：∵将右侧展开得． ∴C错误． 选项D：∵分解未彻底，可继续分解为，不符合因式分解要求， ∴D错误． 二、填空题 60．（2026·浙江舟山·一模）因式分解：_____． 【答案】 【详解】解：． 61．（2026·浙江舟山·一模）分解因式：________． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，找出原式的公因式后直接提取，即可得到结果． 【详解】解：． 62．（2026·浙江舟山·一模）分解因式：__________． 【答案】 【分析】直接提取公因式进行因式分解即可． 【详解】解：原式． 63．（25-26八年级上·福建南平·期末）因式分解：________． 【答案】 【详解】解：. 64．（2026·浙江衢州·一模）因式分解：________． 【答案】 【详解】解： ． 65．（2026·浙江舟山·一模）若，是方程的两个根，则________． 【答案】 【分析】利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，对所求代数式因式分解，整体代入计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，. ∴ ． 66．（2026·浙江宁波·一模）分解因式：________． 【答案】 【分析】利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：． 67．（2026·浙江舟山·一模）分解因式：______． 【答案】 【分析】先将前三项分为一组，利用完全平方公式分解，再利用平方差公式继续分解即可得到最终结果． 【详解】原式 ． 68．（2026·浙江台州·一模）因式分解：__________． 【答案】 【分析】本题考查平方差公式，掌握平方差公式是解题关键． 使用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 69．（2026·浙江温州·一模）因式分解：________． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，利用提公因式法进行因式分解即可． 【详解】解：； 故答案为：． 70．（2026·浙江杭州·一模）分解因式：______． 【答案】 【分析】本题考查的是因式分解，熟练掌握是解题的关键． 根据提公因式法分解因式，根据题意直接提取公因式即可求解． 【详解】解：， 故答案为． 数与式的综合 考点7 一、填空题 71．（2026·浙江温州·一模）若,则的值为__________． 【答案】4 【分析】先通过合并同类项进行化简，再代数求值即可． 【详解】解：原式， 将代入，原式． 72．（2026·浙江嘉兴·一模）______． 【答案】0 【详解】解：. 73．（2026·浙江金华·一模）二次根式中字母x的取值范围为_____________． 【答案】 【分析】根据二次根式被开方数为非负数，列出不等式，求解即可得到字母的取值范围. 【详解】解：根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，可得， 解不等式得 . 74．（2026·浙江舟山·一模）若x，y为实数，且，则_____． 【答案】4 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定的值， 再代入原式求出的值，最后代入计算即可得到结果． 【详解】解：由题意得， 解得， 把代入， 得， 将，代入，得． 75．（2026·浙江台州·一模）计算：______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式乘法运算，平方差公式，利用平方差公式进行运算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 二、解答题 76．（2026·浙江杭州·一模）小金在学习平方差公式时，得到了估算一个数的算术平方根的近似公式：（其中是与接近的完全平方数，且）其推理过程见下图． 推理过程： 若接近于，则有， ． 例如，估算的近似值，此时，取，即，则． (1)请用上述方法估算的值． (2)在估算近似值时，小金发现取6或7，所得估值都相同． ①请验证小金的发现． ②求取13或14时，所得近似值相同的无理数． 【答案】(1) (2)①见解析；② 【分析】（1）根据题意，估算的近似值，此时，取，即，代入求值即可； （2）①或7，分别代入求值即可； ②根据题意或14，代入然后列方程即可解答． 【详解】（1）解：由题意可得此时，取，即， ； （2）①解：当，时， ； 当，时， ； 所以小金的发现正确； ②解：当时， ； 当时， ； ∴ 解得， ． 77．（2026·浙江温州·一模）【阅读理解】我国南宋时期数学家秦九韶著有《数书九章》,书中记载了“三斜求积术”,即根据三角形的三边长求面积的方法．如果将三角形的三边长分别记为a,b,c,那么三角形的面积公式为：． 【推导验证】 已知：如图,在中,记, ,． 求证：的面积 证明：过点A作于点D, 设,则, ∴, …… (1)请你继续完成上述推导． (2)【尝试应用】已知的三边长分别为,2,,请用“三斜求积术”求△ABC的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先求出，得出，再根据三角形面积公式求出结果即可； （2）假设, ,，代入表达式，即可得出答案． 【详解】（1）证明：过点A作于点D， 设,则， ∴， ， ， ， 解得， ∴， ∴ ． （2）解：假设, ,，代入得： ． 78．（2026·浙江丽水·一模）【阅读理解】我们已经学过完全平方公式：，适当地变形，可以解决很多的数学问题． 例：若，，求的值． 解：由完全平方公式：， 因此． 因为，， 所以． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)填空：若，，则 ； 【类比应用】 (2)若关于的方程满足，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用完全平方公式的变形，代入已知的和的值计算； （2）先由方程变形得到，再利用完全平方公式变形代入求值。 【详解】（1）解：由完全平方公式：， 因此． 因为，， 所以； （2）解：∵，且， ， ， 由完全平方公式可得：，， ， ∵， 79．（2026·浙江舟山·一模）下面是学习《有理数》时，数学老师出示的问题和两名同学的解答过程． 计算： 嘉嘉： 解：原式  第一步   第二步   第三步   第四步 琪琪： 解：原式  第一步   第二步   第三步   第四步 (1)请指出两名同学的错误分别在第几步； (2)请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)嘉嘉的错误在第一步，琪琪的错误在第三步 (2)见解析 【分析】（1）根据有理数的混合运算法则分析判断即可． （2）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减运算即可． 【详解】（1）解：嘉嘉的错误在第一步，琪琪的错误在第三步． （2）解：原式． 80．（2026·浙江舟山·一模）中国高铁是“中国速度”的闪亮名片，其基础造价为每米10万元．为保障列车运行安全，高铁线路的拐角设计通常控制在以内，某高铁线路需避开山体，在点处规划两处绕行方案：方案一：设计的拐角，即，在点处再设计一个拐角使得路线恢复方向，即；方案二：设计的拐角，即，在点处再设计一个拐角使得路线与方案一的路线重合，但这样路线会经过一片沙地（即为沙地），使每米的造价比基础造价增加10%． (1)若与的距离为66米，求线段、、的长． (2)在（1）的条件下，方案一和方案二哪一个造价更便宜？并说明理由．（参考数据：，，，） 【答案】(1)，， (2)方案一的造价更便宜，见解析 【分析】（1）作，垂足为，由已知可得为矩形，则，解直角三角形分别求出、、、，再根据，即可得解； （2）分别求出方案一和方案二的造价，再比较即可得出结论． 【详解】（1）解：如图：作，垂足为， ∵，， ∴， 又∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴； （2）解：方案一造价：（万元）， 方案二造价：（万元）， ∵， ∴方案一的造价更便宜． 81．（2026·浙江温州·一模）在二次根式的学习中，我们学会了估计一个无理二次根式的整数部分，例如由，可得的整数部分为1，接下来如何进一步估算的值呢？小明同学在查询资料后，发现了一种方法：以为例，易知的整数部分为10，且更接近11；则，，；．（实际上，） (1)的整数部分为______；______（结果保留两位小数）． (2)小明在采用这种方法估算时，得到，与熟知的数据相差较大；小明仔细思考后发现问题在于的小数部分与1比较接近，因此在分母中用1来代替会产生较大的误差．请你利用所学的知识，结合本题的方法帮助小明估算的值（结果保留三位小数）． 【答案】(1)8， (2) 【分析】（1）参照题干中所给方法进行估算即可； （2）先求出，再仿照题干中所给方法进行估算即可； 【详解】（1）解：， ， 的整数部分为8； 的整数部分为8，且更接近9，则，， ， ； （2）解： ，更接近1.4， ，， ， ． 82．（2026·浙江杭州·一模）跟华罗庚学猜数： 我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口而出：39． 华罗庚（1910-1985） 你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的方法试一试： ①∵，，又∵，∴，∴能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又∵，能确定59319的立方根的个位数是9． ③若划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39． (1)现在换一个数19683，按这种方法求立方根，请完成下列填空： ①它的立方根是 位数； ②它的立方根的个位数字是 ； ③19683的立方根是 ． (2)求110592的立方根．（过程可按题目中的步骤写） 【答案】(1)①两；②7；③27 (2)48 【分析】本题考查了立方根及数字常识，解决本题的关键是理解例题，并能根据例题的格式进行运算． （1）仿照例题，进行推理得结论； （2）先判断它们的立方根是几位数，再判断个位、十位上的数字，得结论． 【详解】（1）解：①，， 又， ， 能确定19683的立方根是个两位数． ②∵19683的个位数是3， 又， 能确定19683的立方根的个位数是7， ③如果划去19683后面的三位683得到数19， 而，则，可得， 由此能确定19683的立方根的十位数是2， 因此19683的立方根是27． （2）解：∵，， 又∵， ∴， ∴能确定110592的立方根是个两位数． ∵110592的个位数是2， 又∵， ∴能确定110592的立方根的个位数是8． 若划去110592后面的三位592得到数110， 而， 则， 可得， 由此确定110592的立方根的十位数是4， 因此110592的立方根是48． 83．（2026·浙江杭州·一模）如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，点E，F分别为，的中点，连接，，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查勾股定理，平行四边形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，难度不大，灵活运用所学是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得到，，再根据点E，F分别为，的中点得到四边形的对角线互相平分，从而得证； （2）运用勾股定理求出，再根据斜边上的中线等于斜边的一半求出即可． 【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵分别是的中点， ∴， ∴四边形为平行四边形； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵点E为的中点， ∴． 二次根式 考点8 一、单选题 84．（2026·浙江衢州·一模）使有意义的x的取值范围在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式有意义的条件得，求出，从而可判断出正确答案． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得：， 在数轴上表示为： 85．（2026·浙江衢州·一模）使有意义的的取值范围在数轴上可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵有意义 ∴， ∴， ∴的取值范围在数轴上可表示为： ． 二、填空题 86．（2026·浙江衢州·一模）计算：________． 【答案】 【分析】先化简，计算，再合并即可． 【详解】解： ． 87．（2026·浙江舟山·一模）二次根式有意义，则x的取值范围是__________． 【答案】 【分析】二次根式有意义的条件是被开方数是非负数． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴． 88．（2026·浙江台州·一模）若代数式有意义，则x的取值范围是_____________． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义，则被开方数非负，进行计算即可，解题的关键是列出不等式并正确求解． 【详解】由题意得，， 解得：， 故答案为 ． 89．（2026·浙江杭州·一模）要使有意义，则实数x的取值范围是________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件及解不等式，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0是解题的关键．根据二次根式有意义的条件进行求解即可． 【详解】解：∵二次根式要有意义， ∴， ∴， 故答案为；． 90．（2026·浙江丽水·一模）计算：__________． 【答案】5 【分析】先算绝对值和二次根式，再算加减法即可． 【详解】 故答案为：5． 【点睛】本题考查了实数的运算问题，掌握绝对值和二次根式的性质是解题的关键． 三、解答题 91．（2026·浙江杭州·一模）计算：． 【答案】 【详解】解：． 92．（2026·浙江舟山·一模）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，零次幂和特殊角的余弦值，熟知相关知识点是解题的关键． 依次根据乘方的概念、二次根式的乘法运算法则、零次幂和角的余弦值计算即可． 【详解】解： ． 93．（2026·浙江台州·一模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，二次根式的除法运算，先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时， 原式． / 学科网（北京）股份有限公司 $