精品解析：陕西西安市阎良区西飞第一中学2025-2026学年第二学期期中质量检测高一数学试题

西飞一中2025~2026学年度第二学期期中质量检测 高一数学试题 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，请将答题卡上交． 4．本卷主要命题范围：必修第二册第六章至第八章第五节． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列几何体中，棱数最多的是（ ） A. 五棱锥 B. 三棱台 C. 三棱柱 D. 四棱锥 【答案】A 【解析】 【分析】根据棱锥和棱柱的特征逐个求解其棱数进行判断 【详解】因为五棱锥有10条棱，三棱台有9条棱，三棱柱有9条棱，四棱锥有8条棱， 所以这些几何体中棱数最多的是五棱锥， 故选：A 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的乘法运算计算得解. 【详解】. 故选：B 3. 已知向量，若，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量垂直的坐标表示建立方程，再求解参数即可. 【详解】，， 得到，解得，故C正确. 故选：C． 4. 在中，角、、的对边分别为、、，若，，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦定理及三角形的性质即可求解. 【详解】在中，由正弦定理可得， 又因为，可得，即，所以. 故选：A 5. 如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，则该平面图形的高为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意计算可得，还原图形后可得原图形中各边长，即可得其高. 【详解】在直角梯形中，，， 则， 直角梯形对应的原平面图形为如图中直角梯形， 则有， 所以该平面图形的高为. 故选：C. 6. 已知，为两个不同的平面，，，为三条不同的直线，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，且，则 B. 若，且，则 C. 若，，则 D. 若，，且，，则 【答案】A 【解析】 【分析】根据线面位置关系中平行的有关判定和性质逐一判断即可. 【详解】对于A，由面面平行的定义可知，若两个平面平行，则其中一个面内的任意一条直线平行于另一个平面，故A正确； 对于B，若则或，故B错误； 对于C，若，，则或异面或 相交，故C错误； 对于D，若，且，则，或，故D错误， 故选：A. 7. 如图，在△ABC中，D，E，F分别为线段BC，AD，BE的中点，则=（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用中线所在向量结合向量加减法，不难把转化为，得解． 【详解】解：∵ ， 故选D． 【点睛】本题考查用基底表示向量，考查平面向量线性运算，属于基础题. 8. 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，其中为常数，若，且，则的面积取最大值时，（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据正弦定理和三角恒等变换得到，再结合余弦定理用去表示，最后利用三角形面积公式求解最大值时的取值. 【详解】中，由正弦定理得，又代入上式得，即. 又，，，，即. 又，，. 由余弦定理得. ，，有，，. 中，且，，， . 因为为常数，要使的面积最大，则取得最大值. ，，结合正弦函数的单调性可知，当，即时，有最大值. 故面积取最大值时，. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知i为虚数单位，复数，则（ ） A. 的共轭复数为 B. C. 为实数 D. 在复平面内对应的点在第一象限 【答案】BD 【解析】 【分析】根据共轭复数的定义可判断A，根据模长的计算公式可判断B，根据复数的加法以及乘法运算即可判断CD. 【详解】对于A,故A错误， 对于B，则，故，故B正确， 对于C，为虚数，故C错误， 对于D，，对应的点为，故在复平面内对应的点在第一象限，故D正确， 故选：BD 10. 已知，，为非零向量，下列说法正确的是（ ） A. 向量在向量上的投影向量可表示为 B. 若，，则 C. 若向量可由向量，线性表出，则，，一定不共线 D. 若，则 【答案】AB 【解析】 【分析】利用投影向量的定义判断A；利用共线向量定理推理判断B；举例说明判断CD. 【详解】对于A，由投影向量的定义，得向量在向量上的投影向量可表示为，A正确； 对于B，均为非零向量，存在实数m，n使得，，则，B正确； 对于C，令，，，有，而共线，C错误； 对于D，令，，，有，而，D错误. 故选：AB 11. 如图所示，在正方体中，点、、、分别为所在棱上的中点，下列判断不正确的是（ ） A. 直线平面 B. 直线平面 C. 平面平面 D. 平面平面 【答案】ABC 【解析】 【分析】作出过点、、的截面，由、、与截面相交可判断ABC选项，利用面面平行的判定定理可判断D选项. 【详解】过点、、的截面如图所示（、、均为中点）， 所以直线与截面交于点点，故A项错误； 直线与直线在平面必定相交，故B项错误； 直线与直线相交，故平面与平面不平行，C项错误； 因为、分别为、的中点，则， 因为平面，平面，则平面， 同理可证平面， 因为，、平面，故平面平面，D对. 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数满足，则在复平面内对应的点形成区域的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数模的几何意义得出区域形状，再计算面积． 【详解】的几何意义为对应的点到原点的距离，区域为以原点为圆心半径分别为1和2的圆环， 故所求区域面积． 故答案为：． 13. 将一实心铁球放入圆柱形容器中（厚度忽略不计），铁球恰好与圆柱的内壁相切，且铁球的最高点与圆柱上底面在同一平面内，则铁球的体积与圆柱形容器的体积之比为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，设出铁球半径，利用球和圆柱的体积公式计算即得. 【详解】设铁球的半径为r，则圆柱的高为2r，所以铁球的体积与圆柱形容器的体积之比为． 故答案为： 14. 在平行四边形中，是直线上的一点，且，若，则__________. 【答案】3 【解析】 【分析】将向量进行转化得，从而得解. 【详解】记，又，所以，所以， 解得. 故答案为：3 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明．证明过程及演算步骤． 15. 已知z是复数，为实数，为纯虚数（i为虚数单位）． （1）求复数z； （2）求的模． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设复数，根据题意为实数，为纯虚数，利用复数的运算即可求解； （2）根据复数的除法运算和复数模的计算公式即可求解. 【小问1详解】 设复数， 因为为实数，所以，则复数， 又因为为纯虚数， 则，得， 所以复数. 【小问2详解】 由（1）可知复数，则， 所以的模为. 16. 已知平面向量满足，其中. （1）若，求实数m的值； （2）若，求向量与的夹角的大小. 【答案】（1）9 （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量共线的坐标运算列出方程，解之即可求解； （2）根据向量垂直的坐标运算先求出，再利用向量坐标的线性运算求出，分别求出两向量的模，代入向量的夹角公式即可求解. 【小问1详解】 因为，又， 所以， 解得； 【小问2详解】 因为， 所以，解得， 所以， 所以， 所以， ， 所以向量与夹角的余弦值为， 又由，可得. 17. 如图，在正方体中，E，F分别是上的点，且. （1）证明：四点共面； （2）设，证明：A，O，D三点共线. 【答案】（1）证明见祥解 （2）证明见祥解 【解析】 【分析】（1）连接，利用中位线定理得到，再根据正方体的性质得到，进而证明四边形是平行四边形，从而得到，由此可证四点共面； （2）先证平面，且平面ABCD，又平面平面， 所以，进而得到A，O，D三点共线. 【小问1详解】 证明：如图，连接. 在正方体中，，所以， 又，且， 所以四边形是平行四边形，所以， ，所以四点共面； 【小问2详解】 证明：由，，又平面，平面， 同理平面ABCD，又平面平面， ，即A，O，D三点共线. 18. 如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，，分别是棱，，的中点． （1）证明：平面； （2）若，求三棱锥的体积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证平面平面，即可得到平面. （2）过作于，则可知为三棱锥底面上的高，然后利用计算体积即可. 【小问1详解】 连接，分别是中点，，平面，平面，平面. 在矩形中，是中点，且,是平行四边形，，平面，平面，平面. 又，平面，平面平面，平面，平面. 【小问2详解】 过作交于点. 直棱柱中，平面平面，又平面平面，，平面，平面. ，，又为中点，. . . 19. 在中，内角的对边分别是，记的面积为，且. （1）求角的大小； （2）若，，分别为的中线和角平分线. （i）若的面积为，求的长； （ii）求长的最大值. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据三角形的面积公式结合余弦定理即可得解； （2）（i）先根据三角形的面积公式求出，再利用余弦定理求出，再向量化求解即可； （ii）利用等面积法将用表示出来，再利用余弦定理结合基本不等式求出的最大值，进而可得出答案. 【小问1详解】 因为， 所以， 所以， 又因为，所以； 【小问2详解】 （i）由，得， 由余弦定理得， 所以， 因为为的中线， 所以， 则， 所以； （ii）由余弦定理得， 所以， 因为为的角平分线，所以， 由，得， 所以， 因为， 所以，当且仅当时取等号， 因为函数在上都是增函数， 所以函数在上是增函数， 所以当时，取得最大值， 即长的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西飞一中2025~2026学年度第二学期期中质量检测 高一数学试题 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，请将答题卡上交． 4．本卷主要命题范围：必修第二册第六章至第八章第五节． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列几何体中，棱数最多的是（ ） A. 五棱锥 B. 三棱台 C. 三棱柱 D. 四棱锥 2. （ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，若，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 4. 在中，角、、的对边分别为、、，若，，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，则该平面图形的高为（ ） A. B. 2 C. D. 6. 已知，为两个不同的平面，，，为三条不同的直线，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，且，则 B. 若，且，则 C. 若，，则 D. 若，，且，，则 7. 如图，在△ABC中，D，E，F分别为线段BC，AD，BE的中点，则=（　　） A. B. C. D. 8. 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，其中为常数，若，且，则的面积取最大值时，（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知i为虚数单位，复数，则（ ） A. 的共轭复数为 B. C. 为实数 D. 在复平面内对应的点在第一象限 10. 已知，，为非零向量，下列说法正确的是（ ） A. 向量在向量上的投影向量可表示为 B. 若，，则 C. 若向量可由向量，线性表出，则，，一定不共线 D. 若，则 11. 如图所示，在正方体中，点、、、分别为所在棱上的中点，下列判断不正确的是（ ） A. 直线平面 B. 直线平面 C. 平面平面 D. 平面平面 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数满足，则在复平面内对应的点形成区域的面积为________． 13. 将一实心铁球放入圆柱形容器中（厚度忽略不计），铁球恰好与圆柱的内壁相切，且铁球的最高点与圆柱上底面在同一平面内，则铁球的体积与圆柱形容器的体积之比为______. 14. 在平行四边形中，是直线上的一点，且，若，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明．证明过程及演算步骤． 15. 已知z是复数，为实数，为纯虚数（i为虚数单位）． （1）求复数z； （2）求的模． 16. 已知平面向量满足，其中. （1）若，求实数m的值； （2）若，求向量与的夹角的大小. 17. 如图，在正方体中，E，F分别是上的点，且. （1）证明：四点共面； （2）设，证明：A，O，D三点共线. 18. 如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，，分别是棱，，的中点． （1）证明：平面； （2）若，求三棱锥的体积． 19. 在中，内角的对边分别是，记的面积为，且. （1）求角的大小； （2）若，，分别为的中线和角平分线. （i）若的面积为，求的长； （ii）求长的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $