精品解析：浙江丽水发展共同体2025-2026学年高一下学期4月期中联考数学试题

2025学年第二学期丽水发展共同体期中联考 高一年级数学学科试题 考生须知： 1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字． 3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效． 4．考试结束后，只需上交答题纸． 选择题部分 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 复数的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 若圆锥的母线长为5，高为4，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 4. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知在矩形中，，，，，则的值为（ ） A. 9 B. C. 15 D. 6. 记的内角，，的对边分别为，，，，，，则的面积为（ ） A. 1 B. C. D. 7. 已知三棱锥的侧棱，，两两垂直，，，若该三棱锥的外接球体积为，则该三棱锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，若，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．） 9. 已知为虚数单位，下列说法正确的是（ ） A. 若复数，则 B. 若复数满足，则或 C. 若复数满足，则 D. 若复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为直线 10. 某过山车轨道是依据正弦曲线设计安装的，在时刻（单位：）时过山车（看作质点）离地面的高度（单位：m）满足．已知当时，过山车到达第一个最高点，最高点距地面28m，当时，过山车到达第一个最低点，最低点距地面8m，则（ ） A. B. 过山车启动时距地面13m C. D. 一个周期内过山车距离地平面不低于23m的时间是4s 11. 如图，在直四棱柱中，底面为菱形，，，为的中点，点满足，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则四面体的体积为定值 B. 若，则点的轨迹长度为 C. 若，平面截正方体所得截面为四边形 D. 若，则存在点在线段上，使得的最小值为 非选择题部分 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，则在方向上的投影向量的坐标为__________． 13. 四棱锥的底面为平行四边形，如图所示，点是棱上一点，，若且满足平面，则________． 14. 在锐角中，内角，，所对的边分别为，，，且若，，则的取值范围为________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，其中为虚数单位，． （1）若是纯虚数，求的值； （2）若在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围． 16. 如图，在直三棱柱中，，点为的中点． （1）求证：平面； （2）若，求三棱锥的体积． 17. 已知函数，且函数图象的一个对称中心为. （1）求的值； （2）若在区间上的值域是，求的取值范围． 18. 如图，在棱长为2的正四面体中，为上的动点，为上靠近的三等分点，为的中点，与交于点． （1）用，表示； （2）若点为的中点，求的值； （3）若，求的值． 19. 已知函数，若对于任意实数，，，都能构成三角形的三条边长，则称函数为上的“完美三角形函数”． （1）试判断函数是否为上的“完美三角形函数”，并说明理由； （2）设向量，，若函数为上的“完美三角形函数”，求实数的取值范围； （3）已知函数为（为常数）上的“完美三角形函数”．函数的图象上，是否存在不同的三个点，满足，？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期丽水发展共同体期中联考 高一年级数学学科试题 考生须知： 1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字． 3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效． 4．考试结束后，只需上交答题纸． 选择题部分 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 复数的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算化简，再根据共轭复数的定义即可求解． 【详解】， 所以复数的共轭复数为． 2. 已知，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量减法及数乘运算的坐标表示计算即可. 【详解】因为，， 所以. 3. 若圆锥的母线长为5，高为4，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由圆锥的母线和高的长求出底面半径，再由体积公式计算即得. 【详解】因为圆锥的母线，高， 所以底面半径， 故其体积. 故选：A. 4. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系式以及诱导公式、二倍角公式，计算求解. 【详解】解法一：因为，所以. 因为， 所以. 解法二：令，则，， 所以. 故选：D. 5. 已知在矩形中，，，，，则的值为（ ） A. 9 B. C. 15 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理用分别表示，再结合向量数量积运算即可. 【详解】由，得，因此， 则； 由，得，因此， 则， 所以 因为，代入，，可得： . 6. 记的内角，，的对边分别为，，，，，，则的面积为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以， 所以， 所以， 所以， 所以 7. 已知三棱锥的侧棱，，两两垂直，，，若该三棱锥的外接球体积为，则该三棱锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】可将该三棱锥置于一个长、宽、高分别为的长方体中，由三棱锥的外接球的体积列式求解，则三棱锥的表面积可求 【详解】 如图，，，且，，两两垂直， ，设，依题意， 可将该三棱锥置于一个长、宽、高分别为的长方体中， 可得其外接球的半径， 又由，解得， 故，解得， 所以该三棱锥的表面积为 故选：C 8. 在中，若，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用三角恒等变换化简求解. 【详解】设，则， ， 两式相除得，在中，， 则，即， 又，即， 由，得，又， 所以. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．） 9. 已知为虚数单位，下列说法正确的是（ ） A. 若复数，则 B. 若复数满足，则或 C. 若复数满足，则 D. 若复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为直线 【答案】AD 【解析】 【分析】由复数求出其共轭复数，并求出，即可判断A；设复数，根据复数模的几何意义，得到复数所对应的点的轨迹方程，即可判断B；取满足的特殊复数，，验证是否成立，即可判断C；设复数，分别求出和，并将等式变形化简得到，即可判断D. 【详解】若复数，则其共轭复数，所以，故A正确； 设复数，若，则， 所以复数所对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上， 所以复数不是只有或这4个值，故B错误； 设复数，，此时，满足， 但是，，显然，故C错误； 设复数， 则，， 若，将其两边平方可得， 即，即. 所以复数在复平面内对应的点的轨迹为直线，故D正确. 10. 某过山车轨道是依据正弦曲线设计安装的，在时刻（单位：）时过山车（看作质点）离地面的高度（单位：m）满足．已知当时，过山车到达第一个最高点，最高点距地面28m，当时，过山车到达第一个最低点，最低点距地面8m，则（ ） A. B. 过山车启动时距地面13m C. D. 一个周期内过山车距离地平面不低于23m的时间是4s 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用最高点和最低点满足的方程可判断A；求出周期可判断C；利用最高点求出，然后把代入解析式可判断B；解三角函数不等式可判断D. 【详解】最高点满足 ，最低点满足 ，联立解得，故A错误； 第一个最高点到第一个最低点的间隔为半个周期 ， 因此 ，故C正确； 将参数代入得，时为最高点，故 ， 即 ， 解得 ，结合​得 ， 因此解析式为， 启动时，代入得，故B正确； 要求，代入得不等式， 解得一个周期内（）满足条件的范围是 ，区间长度为，故D正确. 11. 如图，在直四棱柱中，底面为菱形，，，为的中点，点满足，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则四面体的体积为定值 B. 若，则点的轨迹长度为 C. 若，平面截正方体所得截面为四边形 D. 若，则存在点在线段上，使得的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A项，在侧面内作出点的轨迹线段，利用该线段与平行，说明点到平面的距离不变，从而判断体积为定值；B项，把点放到侧面内研究，由得到轨迹方程，判断轨迹为一段圆弧，再求弧长；C项，取特殊位置作反例，例如取为的中点，直接作出截面并判断截面形状；D项，把空间最值问题转化为平面内折线最短问题，借助射影和作辅助线，把的最小值化为一条线段的长度来求. 【详解】对于A选项. 当时，点在正方形内的轨迹是一条线段， 其中点在上，且；点在上，且. 因为在正方形中有， 所以.又因为在直四棱柱中， 且平面，平面， 所以平面. 这说明当点在线段上运动时，点到平面的距离保持不变. 而的面积是定值，所以四面体的体积为定值.因此A项正确； 对于B选项. 过点作平面的垂线，垂足为，则平面，且. 由，得，即. 所以点的轨迹是平面内以为圆心、2为半径的圆与侧面四边形的公共部分，即一段圆弧. 设该段圆弧的端点分别为，其中，，则，，，，所以. 故轨迹长为. 因此B项正确. 对于C选项. 取，则点为线段的中点. 此时作平面，可得该平面分别与棱交于点， 于是所得截面为五边形，并不是四边形.因此C项错误； 对于D选项. 当时，点为侧面的中心. 设点为点在平面上的射影，则点为的中点，且. 在正方形内，过点分别作的垂线，垂足分别为. 由正方形的性质可得，，. 在平面内，过点作， 并取点在直线与点的同侧，使. 对于线段上任意一点，有. 又因为，， 所以，即. 于是. 因为点在直线两侧，且直线与线段的交点在线段上， 所以当点为直线与线段的交点时，取得最小值，最小值为. 又在平行于和垂直于的两个方向上，点到点的距离分别为和， 所以. 故，即的最小值为. 因此D项正确. 非选择题部分 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，则在方向上的投影向量的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的定义即可得； 【详解】在方向上的投影向量的公式为：， 所以，， 将结果代入公式: . 13. 四棱锥的底面为平行四边形，如图所示，点是棱上一点，，若且满足平面，则________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】连接BD，交AC于点O，连接OE，利用中位线性质和线面平行的判定证明平面ACE，结合平面ACE，则证明平面平面ACE，再利用面面平行的性质则有，即可得到答案. 【详解】如图，连接BD，交AC于点O，连接OE， 由四边形是平行四边形，得， 在线段PE上取点G，使得，由，得， 连接BG，FG，则，由平面，平面， 得平面，而平面，，平面， 因此平面平面，又平面平面，平面平面， 则，所以. 14. 在锐角中，内角，，所对的边分别为，，，且若，，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角恒等变换公式和余弦定理对已知条件进行变形并求出A，再利用正弦定理及和角的正弦公式，结合正切函数、对勾函数性质求解. 【详解】在锐角中，，则， ， 由余弦定理得，则， 由，得，因此， 而，则，由正弦定理得， 于是 ，由是锐角三角形，得，解得， 则，由函数在上单调递增，得， 因此，所以的取值范围为. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，其中为虚数单位，． （1）若是纯虚数，求的值； （2）若在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由纯虚数定义列方程求参数； （2）由复数对应点所在象限列不等式组求参数范围. 【小问1详解】 由是纯虚数，则，故. 【小问2详解】 由在复平面内对应的点在第四象限，， 所以. 16. 如图，在直三棱柱中，，点为的中点． （1）求证：平面； （2）若，求三棱锥的体积． 【答案】（1） 连接，设，连接， 在直三棱柱中，四边形为平行四边形，则为的中点， 又因为为的中点，则， 又因为平面，平面， 所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，设与的交点为，连接，结合中位线性质和线面平行的判定定理证明； （2）根据直三棱柱性质可知，三棱锥的高为，再利用，结合棱锥体积公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由直三棱柱可知，三棱锥的高为，， 在中，，为的中点，由（1）知， 所以． 因此． 17. 已知函数，且函数图象的一个对称中心为. （1）求的值； （2）若在区间上的值域是，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用倍角公式和辅助角公式，得，再结合条件，可得，即可求解； （2）根据条件，利用正弦型函数的性质，即可求解. 【小问1详解】 ， 因图象的一个对称中心为，则， 解得，又，则取，得． 【小问2详解】 当时，， 因为，结合函数图象可知，欲使在区间上的值域是， 则，解得． 18. 如图，在棱长为2的正四面体中，为上的动点，为上靠近的三等分点，为的中点，与交于点． （1）用，表示； （2）若点为的中点，求的值； （3）若，求的值． 【答案】（1） （2）1 （3）或． 【解析】 【分析】（1）利用空间向量的线性运算即可求解； （2）利用空间向量的线性运算得到，然后利用三点共线求出，最后利用空间向量数量积的运算律结合余弦定理即可求解； （3）设，利用余弦定理和空间向量数量积的运算律表示出，解方程即可求解. 【小问1详解】 在中，， ， ． 【小问2详解】 设， 由（1）可知，， ，， ，，三点共线， ，， ， ， 由余弦定理可得， ， ． 【小问3详解】 设，由余弦定理可得， 由正四面体得， ， ， 化简得， 解得或， 或． 19. 已知函数，若对于任意实数，，，都能构成三角形的三条边长，则称函数为上的“完美三角形函数”． （1）试判断函数是否为上的“完美三角形函数”，并说明理由； （2）设向量，，若函数为上的“完美三角形函数”，求实数的取值范围； （3）已知函数为（为常数）上的“完美三角形函数”．函数的图象上，是否存在不同的三个点，满足，？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）函数是上的“完美三角形函数”，理由： ， ，，，， 是上的“完美三角形函数”． （2） （3）不存在，理由： 由，， ，， ，， ，， 假设存在满足题意的三个点，， 而，， 即， 则， 即， 即， ，，即， ，， 则，与矛盾， 故不存在点满足题意． 【解析】 【分析】（1）利用三角函数平方和关系并结合二次函数性质得，，再根据即可判断； （2）利用辅助角公式即可求出函数值域，再对分类讨论； （3）求出，根据得到，则得到，再利用反证法得到互相矛盾的点即可证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ， 其中，，， ，， ①当时，，， ，则； ②当时，，满足题意． ③当时，，， ，则. 综上所述，实数的取值范围为． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $