考点06 离散型随机变量及其分布列（专项训练）高二数学人教A版选择性必修第三册

考点06 离散型随机变量及其分布列 考点一：随机变量 1.随机变量：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母，…表示． 离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量 2.离散型随机变量分布列的概念及性质 ①离散型随机变量的分布列的概念 设离散型随机变量X可能取的不同值为，，…，，X取每一个值 ()的概率，则下表称为随机变量X的概率分布，简称为X的分布列. X … … P … … 有时也用等式表示X的分布列． ②离散型随机变量的分布列的性质 （1）(i＝1，2，…，n)；（2）． 考点二：两点分布的分布列 若随机变量的分布列为两点分布列,就称服从两点分布或分布,并称为成功概率. 题型一：（离散型）随机变量 【例1】抛掷一枚均匀硬币两次，能作为随机变量的是（   ） A．抛掷硬币的次数 B．出现正面的次数 C．出现正面或反面的次数 D．出现正面和反面的次数之和 【答案】B 【详解】抛掷一枚均匀硬币两次，则抛掷硬币的次数为，不是随机变量，A不满足； 出现正面的次数是随机的，可作为随机变量，B满足； 出现正面或反面的次数，标准不明确，不是随机变量，C不满足； 出现正面和反面的次数之和为必然事件，试验前便知是必然出现的结果，不是随机变量，D不满足. 【例2】下列变量中，是离散型随机变量的是（    ） A．到2025年5月1日止，我国发射的卫星 B．一只刚出生的大熊猫，一年以后的身高 C．某人在车站等出租车的时间 D．某人投篮10次，投中的次数 【答案】D 【详解】因为离散型随机变量的取值是可以一一列举的， 对于A，描述是一个对象的集合，而不是一个数值变量，不满足题意； 对于B，C，由题意可知是连续型随机变量，不满足题意； 对于D，由题意可知投中的次数可能为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10.满足题意. 故选：D. 【变式1-1】袋中有3个白球，5个黑球，从中任取2个球，下列选项中可以用随机变量表示的是（    ） A．至少取到1个白球 B．至多取到1个白球 C．取到白球的个数 D．取到球的个数 【答案】C 【详解】选项A，B是随机事件． 选项D取到球的个数是定值2． 选项C可能的取值为0，1，2，可以用随机变量表示， 故选：C． 【变式1-2】（多选）下列随机变量是离散型随机变量的是（   ） A．连续不断地射击，首次击中目标所需要的射击次数 B．南京长江大桥一天经过的车辆数 C．某型号彩电的寿命 D．连续抛掷两个质地均匀的骰子，所得点数之和 【答案】ABD 【详解】因为B,D中的取值有限，且可以一一列举出来， 故B,D中的均为离散型随机变量． 因为中的取值依次为1，2，3，…，虽然无限，但可一一列举出来， 故为离散型随机变量． 而C中的取值不能一一列举出来， 所以中的不是离散型随机变量． 故选：ABD 【变式1-3】从分别标有数字1，2，3，4，5，6的6张卡片中任取2张，所取卡片上的数字之差的绝对值为随机变量，请问有哪些取值？其中表示什么含义？ 【答案】的所有可能取值有：1，2，3，4，5．表示“取出标有1，5或2，6的两张卡片”． 【详解】所取卡片上的数字之差的绝对值可能是：1，2，3，4，5， 故随机变量Y的可能取值有：1，2，3，4，5. 其中表示“取出标有1，5或2，6的两张卡片” 题型二：分布列性质的应用 求离散型随机变量的分布列的步骤：（1）理解的意义,写出可能取的全部值；（2）求取每个值的概率；（3）写出的分布列. 【例3】设是一个离散型随机变量，其分布列如下，则（    ） 0 1 A．或 B． C． D． 【答案】B 【详解】由离散型随机变量的性质可得，即， 解得或， 当时，不合题意， 所以. 故选：B 【例4】某位射箭运动员命中目标箭靶的环数的分布列为 则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由分布列可得，解得， 则， 故选：C 【变式2-1】下列表中可以作为离散型随机变量的分布列的是（    ） A． 1 0 1 B． 0 1 2 C． 0 1 2 D． 0 1 【答案】D 【详解】对于A，的取值出现了重复性，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，的取值互不相同，且，故D正确. 故选：D. 【变式2-2】设随机变量的分布列为，则或__________. 【答案】 【详解】因为， 所以，解得， 故或. 【变式2-3】若离散型随机变量的分布列为： 0 1 则实数的值为______． 【答案】/ 【详解】由题设，可得，所以或， 当时，，，显然不符； 当时，，，满足. 所以. 故答案为： 题型三：求离散型随机变量的分布列 分布列性质的两个作用：（1）利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值及检查分布列的正确性；（2）随机变量所取的值分别对应的事件是两两互斥的,利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率. 【例5】2025年是中国共产党成立的104周年，某校为传承和弘扬革命精神特举行“党史知识”竞赛，本次比赛共分三个环节，每位参赛同学必须前两个环节均通过才有机会进入最后一个（决赛）环节，前两个环节是否通过相互独立.只要一个环节失败，即终止比赛.现有，，三位同学参加比赛，同学通过前两个环节的概率分别为和，同学和同学前两个环节中通过每一个环节的概率均为. (1)求恰有两位同学仅通过第一个环节的概率； (2)设进入决赛的同学人数为，求的分布列 【答案】(1) (2)分布列见解析 【分析】 【详解】（1）解：三位同学仅通过第一个环节的概率分别为： ，，， 所以恰有两位同学仅通过第一个环节的概率为： ； （2）记三位同学进入决赛分别为事件， 则，，， 随机变量可能的取值为：， ， ， ， ， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 【例6】多项选择题是标准化考试中常见题型，从A，B，C，D四个选项中选出所有正确的答案（四个选项中有两个或者三个选项是正确的） 如果答案有且仅有两个选项是正确的，那么其评分标准为全部选对得6分，部分选对得3分，有选错的得0分；如果答案有且仅有三个选项是正确的，那么评分标准是全部选对得6分，只选一个且没有选错得2分，只选两个且没有选错得4分，有选错的得0分． (1)在一次数学考试中，某道多项选择题的正确答案是三个选项，甲同学不会做，于是他随机选择了两个选项，求他本题得4分的概率； (2)现有2道正确答案是两个选项的多项选择题，根据以往经验，第一题得6分的概率为，得3分的概率为；第二题得6分的概率为，得3分的概率为．两道题答题互不影响，且两题答对与否也互不影响，求这2道多项选择题的总得分的分布列． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）设“甲同学得4分”为事件， 该同学所有可能的选择答案的样本空间， 包含6个样本点，而事件A包含3个，所以 所以他本题得4分的概率为． （2）设“这2道多项选择题的总得分”为随机变量，可能取值为0，3，6，9，12， 则，， ，       ，， 所以随机变量的概率分布如下： 【变式3-1】某连锁餐厅有家分店，将分店按照规模从小到大依次编为号到号．每家分店都配备了一定数量的员工，配备方案为：第号分店员工包含第号店长和名服务员．为了加强各分店之间的员工交流与经验分享，提升整体服务水平，餐厅总部决定进行员工轮岗工作．具体安排为：从每家分店随机选派名员工到下一家分店进行工作，即从号分店选派名员工到号分店，再从号分店（含轮岗人员）选派名员工到号分店，依次类推，从号分店选派名员工到号分店．轮岗结束后，从第号分店任选名员工进行服务反馈调查，并选派至号分店，记选中店长的概率为． (1)当时，求的值； (2)在第号分店选中店长的条件下，若该店长为第号店长，求随机变量的分布列； 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由题意可知，号店中有名店长和名员工，号店中有名店长和名员工， 当时，记事件从号店中选派名店长去号店，则事件从号店中选派名员工去号店， 记事件从号店中选派名店长去号店， 则，，， 由全概率公式可得. （2）由题意可知，随机变量的可能取值有、、、， 记事件轮岗后，号分店店长的人数为， 则， 则， 记事件在第号分店选中店长， 则 当时，说明从号店、号店、号店、号店，每次派出的都是号店店长， 所以， 当时，说明从号店、号店、号店，每次派出的都是号店店长， 所以， 当时，说明从号店、号店，每次派出的都是号店店长， 所以， 当时，说明最后一次从号店派出的是号店店长， 所以. 所以，随机变量的分布列如下表所示： 【变式3-2】某工厂生产线上有2个不合格零件和5个合格零件，需逐一检测分类．每次随机抽取一个零件检测，检测后不再放回，当检测出2个不合格零件或检测出5个合格零件时停止检测． (1)求在第一次检测出合格零件的条件下第二次检测出不合格零件的概率； (2)设表示停止检测时抽取出不合格零件的个数，求的分布列． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】 【详解】（1）设事件A为“第一次检测出合格零件”，事件B为“第二次检测出不合格零件”， 则． （2）依题意，可取， 得表示前5次检测出的均为合格零件，表示停止检测时前5次中恰有1个不合格且第6次为合格， 则， ， ， 则的分布列为： 0 1 2 【变式3-3】从甲、乙两支篮球队各随机抽取10名队员进行定点投篮测试，甲队有8人投中，乙队有7人投中，假设队员之间投篮相互独立，用频率估计概率． (1)估计甲队队员投中的概率； (2)从甲、乙两队中各随机抽取1名队员依次定点投篮一次，设为这2名队员中投中的人数，求的分布列； (3)设甲、乙两队队员掌握了定点投篮技巧的概率分别为，，若甲、乙两队队员掌握了技巧则分别有90%、80%的概率投中，两队中未掌握技巧的队员都有60%的概率投中，求，． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)， 【分析】 【详解】（1）从甲队随机抽取10名队员进行定点投篮测试，有8人投中，得， 所以甲队队员投中的概率为. （2）记从甲队抽取的队员投中为事件，乙队抽取的队员投中为事件， 则，的可能取值为， ，， ， 所以X的分布列为 0 1 2 （3）记事件为“甲队队员掌握了定点投篮技巧”，其概率为， 事件为“乙队队员掌握了定点投篮技巧”，其概率为， 由甲队队员掌握了技巧，有90%的概率投中，未掌握技巧的队员有60%的概率投中， 得，解得， 由乙队队员掌握了技巧，有80%的概率投中，未掌握技巧的队员有60%的概率投中， 得，解得. 题型四：两点分布 【例7】已知随机变量服从两点分布，且，则（   ） A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 【答案】B 【详解】由题意得，，又， 联立解得，. 【例8】已知随机变量服从两点分布，且，则实数的值为___________. 【答案】 【详解】由题意知，，解得或， 若，则，符合题意； 若，则，不符合题意， 故. 故答案为： 【变式4-1】若随机变量X服从两点分布，则X的分布列可以为（   ） A． X 1 2 P 0.5 0.5 B． X 0 2 P 0.5 0.5 C． X 0 1 P 0.7 0.3 D． X 1 2 3 P 0.5 0.2 0.3 【答案】C 【详解】根据两点分布的概念可知，只有C选项对应两点分布． 故选：C. 【变式4-2】已知离散型随机变量的分布列服从两点分布，且，则______． 【答案】 【详解】因为的分布列服从两点分布，所以， 因为， 所以． 故答案为：. 【变式4-3】已知随机变量X，Y均服从两点分布，若，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为随机变量X，Y均服从两点分布，且，， 所以，， 所以， 又因为，所以， 所以. 故答案为：A. 题型五：两个相关离散型随机变量的分布列 【例9】设离散型随机变量的分布列如下表，若随机变量，则__________. 【答案】/ 【详解】由已知可得， 解得， 则， 故答案为：. 【例10】已知X的分布列为： X 0 1 P a 若随机变量，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题设，可得，则. 故选：B 【变式5-1】已知随机变量，满足，且，则（   ） A．0.3 B．0.5 C．0.1 D．0.2 【答案】C 【详解】由可得， 所以. 故选：C. 【变式5-2】设是一个离散型随机变量，其分布列如下，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由离散型随机变量的性质可得， 即，解得或， 时，不合题意，. . 故选：A. 【变式5-3】已知随机变量的取值范围为，且，若，则______． 【答案】0.9/ 【详解】令，解得，且， 所以． 故答案为：0.9． 一、单选题 1．甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用表示甲的得分，则表示（   ） A．甲赢三局 B．甲赢一局输两局 C．甲、乙平局三次 D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次 【答案】D 【详解】解析  甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，所以有两种情况，即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次．故选D． 2．已知随机变量的分布列为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由随机变量的分布列为， 可得， 根据分布列的性质，可得，解得. 故选：D. 3．已知离散型随机变量X的分布列为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由离散型随机变量X的分布列为， 可得，解得. 故选：C. 4．设随机变量的分布列为 1 2 3 4 0.6 则（    ） A．0.95 B．0.85 C．0.75 D．0.65 【答案】A 【详解】依题意，，解得， 所以. 故选：A 5．已知随机变量X服从两点分布，且，，则实数a的值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【详解】因为随机变量服从两点分布，所以. . 整理得，解得，. 当时，，； 当时，，故不合题意. 综上，可得. 故选：A. 6．已知随机变量的分布列为，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，则，解得， . 故选：A. 二、多选题 7．下列叙述中，是离散型随机变量的是（    ） A．某座大桥一天经过的车辆数 B．某无线电寻呼台一天内收到的寻呼次数 C．一天之内的温度 D．一位射击手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用表示该射击手在一次射击中的得分 【答案】ABD 【详解】A，B，D中的可以取的值可以一一列举出来，可以作为离散型随机变量， 而C中的可以取某一区间内的一切值，属于连续型，不能作为离散型随机变量. 故选：ABD. 8．设随机变量的分布列为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】因为随机变量的分布列为， 所以，解得，A 正确； ，B 正确； ，C 错误； ，D 错误． 故选：AB． 9．有一组样本数据，添加一个数形成一组新的数据，且，则新的样本数据（ ） A．众数为2的概率是 B．极差不变的概率是 C．第25百分位数不变的概率是 D．平均值变大的概率是 【答案】ABD 【详解】由，得， ， 对于A，众数是2，说明添加的数为2，则，A正确； 对于B，极差不变，说明添加的数，则极差不变的概率是，B正确； 对于C，由，得原数据和新数据的第25百分位数均为第2个数， 只要添加的数不为0，原数据和新数据从小到大排列后，第二个数相同，都为1， 因此第25百分位数不变的概率是，C错误； 对于D，原样本数据的平均值为，平均值变大，则添加的数要大于2，即， 因此平均值变大的概率是，D正确. 故选：ABD 三、填空题 10．设随机变量的分布列为 1 2 3 4 k 2k 3k 4k 则________． 【答案】 【详解】由题意可得，解得， 则. 故答案为：. 11．已知随机变量服从两点分布，．若，则__________． 【答案】0.44 【详解】由题意可得． 故答案为： 四、解答题 12．已知随机变量的分布列： 1 2 3 4 5 (1)求a； (2)求，. 【答案】(1) (2)， 【分析】 【详解】（1）由，得. （2）， . 13．某校高三年级拟派出甲、乙、丙三人去参加校运动会100m跑项目.比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛．已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为和；丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别为和，其中 (1)甲、乙、丙三人中，谁进入决赛的可能性最大； (2)若甲、乙、丙三人均未进入决赛的概率为，设进入决赛的人数为，求的分布列. 【答案】(1)甲； (2)分布列见解析. 【分析】 【详解】（1）甲进入决赛的概率为， 乙进入决赛的概率为， 丙进入决赛的概率为，而，则， 所以甲进入决赛的可能性最大. （2）甲、乙、丙三人均未进入决赛的概率， 整理可得，解得或，而，所以. 则， 所以甲、乙、丙进入决赛的概率分别为， 随机变量的可能取值有0，1，2，3， 所以， ， ， ， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 14．在我校歌咏比赛中，甲班、乙班、丙班、丁班均可从A，B，C三首不同曲目中任选一首. (1)求甲、乙两班选择不同曲目的概率； (2)设这四个班级总共选取了X首曲目，求X的分布列. 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）在我校歌咏操比赛中，甲班、乙班均可从A、B、C三首不同曲目中任选一首，共有种选法， 甲、乙两班选择不同的曲目共有种选法， 所以甲、乙两班选择不同曲目的概率为. （2）依题意可知，X的可能取值为1，2，3 ， ， ， ∴X的分布列为： 15．若是一个三位正整数，且的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称为“三位递增数”（如137，359，567等）．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次．得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得分；若能被10整除，得1分． (1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”； (2)若甲参加活动，求甲得分的分布列． 【答案】(1)125，135，145，235，245，345． (2)答案见解析 【分析】 【详解】（1）个位数字是5的“三位递增数”有125，135，145，235，245，345． （2）由题意知，全部“三位递增数”的个数为， 随机变量可能的取值为. ，，． 所以的分布列为 0 1 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点06 离散型随机变量及其分布列 考点一：随机变量 1.随机变量：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母，…表示． 离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量 2.离散型随机变量分布列的概念及性质 ①离散型随机变量的分布列的概念 设离散型随机变量X可能取的不同值为，，…，，X取每一个值 ()的概率，则下表称为随机变量X的概率分布，简称为X的分布列. X … … P … … 有时也用等式表示X的分布列． ②离散型随机变量的分布列的性质 （1）(i＝1，2，…，n)；（2）． 考点二：两点分布的分布列 若随机变量的分布列为两点分布列,就称服从两点分布或分布,并称为成功概率. 题型一：（离散型）随机变量 【例1】抛掷一枚均匀硬币两次，能作为随机变量的是（   ） A．抛掷硬币的次数 B．出现正面的次数 C．出现正面或反面的次数 D．出现正面和反面的次数之和 【例2】下列变量中，是离散型随机变量的是（    ） A．到2025年5月1日止，我国发射的卫星 B．一只刚出生的大熊猫，一年以后的身高 C．某人在车站等出租车的时间 D．某人投篮10次，投中的次数 【变式1-1】袋中有3个白球，5个黑球，从中任取2个球，下列选项中可以用随机变量表示的是（    ） A．至少取到1个白球 B．至多取到1个白球 C．取到白球的个数 D．取到球的个数 【变式1-2】（多选）下列随机变量是离散型随机变量的是（   ） A．连续不断地射击，首次击中目标所需要的射击次数 B．南京长江大桥一天经过的车辆数 C．某型号彩电的寿命 D．连续抛掷两个质地均匀的骰子，所得点数之和 【变式1-3】从分别标有数字1，2，3，4，5，6的6张卡片中任取2张，所取卡片上的数字之差的绝对值为随机变量，请问有哪些取值？其中表示什么含义？ 题型二：分布列性质的应用 求离散型随机变量的分布列的步骤：（1）理解的意义,写出可能取的全部值；（2）求取每个值的概率；（3）写出的分布列. 【例3】设是一个离散型随机变量，其分布列如下，则（    ） 0 1 A．或 B． C． D． 【例4】某位射箭运动员命中目标箭靶的环数的分布列为 则（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】下列表中可以作为离散型随机变量的分布列的是（    ） A． 1 0 1 B． 0 1 2 C． 0 1 2 D． 0 1 【变式2-2】设随机变量的分布列为，则或__________. 【变式2-3】若离散型随机变量的分布列为： 0 1 则实数的值为______． 题型三：求离散型随机变量的分布列 分布列性质的两个作用：（1）利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值及检查分布列的正确性；（2）随机变量所取的值分别对应的事件是两两互斥的,利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率. 【例5】2025年是中国共产党成立的104周年，某校为传承和弘扬革命精神特举行“党史知识”竞赛，本次比赛共分三个环节，每位参赛同学必须前两个环节均通过才有机会进入最后一个（决赛）环节，前两个环节是否通过相互独立.只要一个环节失败，即终止比赛.现有，，三位同学参加比赛，同学通过前两个环节的概率分别为和，同学和同学前两个环节中通过每一个环节的概率均为. (1)求恰有两位同学仅通过第一个环节的概率； (2)设进入决赛的同学人数为，求的分布列 【例6】多项选择题是标准化考试中常见题型，从A，B，C，D四个选项中选出所有正确的答案（四个选项中有两个或者三个选项是正确的） 如果答案有且仅有两个选项是正确的，那么其评分标准为全部选对得6分，部分选对得3分，有选错的得0分；如果答案有且仅有三个选项是正确的，那么评分标准是全部选对得6分，只选一个且没有选错得2分，只选两个且没有选错得4分，有选错的得0分． (1)在一次数学考试中，某道多项选择题的正确答案是三个选项，甲同学不会做，于是他随机选择了两个选项，求他本题得4分的概率； (2)现有2道正确答案是两个选项的多项选择题，根据以往经验，第一题得6分的概率为，得3分的概率为；第二题得6分的概率为，得3分的概率为．两道题答题互不影响，且两题答对与否也互不影响，求这2道多项选择题的总得分的分布列． 【变式3-1】某连锁餐厅有家分店，将分店按照规模从小到大依次编为号到号．每家分店都配备了一定数量的员工，配备方案为：第号分店员工包含第号店长和名服务员．为了加强各分店之间的员工交流与经验分享，提升整体服务水平，餐厅总部决定进行员工轮岗工作．具体安排为：从每家分店随机选派名员工到下一家分店进行工作，即从号分店选派名员工到号分店，再从号分店（含轮岗人员）选派名员工到号分店，依次类推，从号分店选派名员工到号分店．轮岗结束后，从第号分店任选名员工进行服务反馈调查，并选派至号分店，记选中店长的概率为． (1)当时，求的值； (2)在第号分店选中店长的条件下，若该店长为第号店长，求随机变量的分布列； 【变式3-2】某工厂生产线上有2个不合格零件和5个合格零件，需逐一检测分类．每次随机抽取一个零件检测，检测后不再放回，当检测出2个不合格零件或检测出5个合格零件时停止检测． (1)求在第一次检测出合格零件的条件下第二次检测出不合格零件的概率； (2)设表示停止检测时抽取出不合格零件的个数，求的分布列． 【变式3-3】从甲、乙两支篮球队各随机抽取10名队员进行定点投篮测试，甲队有8人投中，乙队有7人投中，假设队员之间投篮相互独立，用频率估计概率． (1)估计甲队队员投中的概率； (2)从甲、乙两队中各随机抽取1名队员依次定点投篮一次，设为这2名队员中投中的人数，求的分布列； (3)设甲、乙两队队员掌握了定点投篮技巧的概率分别为，，若甲、乙两队队员掌握了技巧则分别有90%、80%的概率投中，两队中未掌握技巧的队员都有60%的概率投中，求，． 题型四：两点分布 【例7】已知随机变量服从两点分布，且，则（   ） A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 【例8】已知随机变量服从两点分布，且，则实数的值为___________. 【变式4-1】若随机变量X服从两点分布，则X的分布列可以为（   ） A． X 1 2 P 0.5 0.5 B． X 0 2 P 0.5 0.5 C． X 0 1 P 0.7 0.3 D． X 1 2 3 P 0.5 0.2 0.3 【变式4-2】已知离散型随机变量的分布列服从两点分布，且，则______． 【变式4-3】已知随机变量X，Y均服从两点分布，若，，且，则（    ） A． B． C． D． 题型五：两个相关离散型随机变量的分布列 【例9】设离散型随机变量的分布列如下表，若随机变量，则__________. 【例10】已知X的分布列为： X 0 1 P a 若随机变量，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】已知随机变量，满足，且，则（   ） A．0.3 B．0.5 C．0.1 D．0.2 【变式5-2】设是一个离散型随机变量，其分布列如下，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】已知随机变量的取值范围为，且，若，则______． 一、单选题 1．甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用表示甲的得分，则表示（   ） A．甲赢三局 B．甲赢一局输两局 C．甲、乙平局三次 D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次 2．已知随机变量的分布列为，则（   ） A． B． C． D． 3．已知离散型随机变量X的分布列为，则（    ） A． B． C． D． 4．设随机变量的分布列为 1 2 3 4 0.6 则（    ） A．0.95 B．0.85 C．0.75 D．0.65 5．已知随机变量X服从两点分布，且，，则实数a的值为（    ） A． B． C． D．或 6．已知随机变量的分布列为，设，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．下列叙述中，是离散型随机变量的是（    ） A．某座大桥一天经过的车辆数 B．某无线电寻呼台一天内收到的寻呼次数 C．一天之内的温度 D．一位射击手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用表示该射击手在一次射击中的得分 8．设随机变量的分布列为，则（     ） A． B． C． D． 9．有一组样本数据，添加一个数形成一组新的数据，且，则新的样本数据（ ） A．众数为2的概率是 B．极差不变的概率是 C．第25百分位数不变的概率是 D．平均值变大的概率是 三、填空题 10．设随机变量的分布列为 1 2 3 4 k 2k 3k 4k 则________． 11．已知随机变量服从两点分布，．若，则__________． 四、解答题 12．已知随机变量的分布列： 1 2 3 4 5 (1)求a； (2)求，. 13．某校高三年级拟派出甲、乙、丙三人去参加校运动会100m跑项目.比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛．已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为和；丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别为和，其中 (1)甲、乙、丙三人中，谁进入决赛的可能性最大； (2)若甲、乙、丙三人均未进入决赛的概率为，设进入决赛的人数为，求的分布列. 14．在我校歌咏比赛中，甲班、乙班、丙班、丁班均可从A，B，C三首不同曲目中任选一首. (1)求甲、乙两班选择不同曲目的概率； (2)设这四个班级总共选取了X首曲目，求X的分布列. 15．若是一个三位正整数，且的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称为“三位递增数”（如137，359，567等）．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次．得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得分；若能被10整除，得1分． (1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”； (2)若甲参加活动，求甲得分的分布列． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $