专项训练06：离散型随机变量及其分布7大核心题型-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

2026年高二数学下学期常考题型归纳 【专项训练06：离散型随机变量及其分布】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：离散型随机变量分布列的性质】 1．(25-26高二下·河北衡水第二中学·期中)已知随机变量的分布列为： 1 2 3 则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，得，解得， 所以. 2．(25-26高二下·河南信阳普通高中·期中)已知随机变量取所有值、、、是等可能的，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据可得出关于的等式，解之即可. 【详解】由题意，得. 所以对应，共个取值， 则，即，解得. 3．(25-26高二·河北衡水部分学校·)已知随机变量的分布列如下： 1 2 3 4 则常数（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】随机变量的所有取值的概率之和等于1，即，解得. 4．(25-26高二下·河南商丘商师联盟·期中)已知随机变量的分布列为 1 2 3 4 则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由随机变量分布列的性质知，解得. 5．(25-26高二下·广西桂平浔州高级中学·期中)已知离散型随机变量X的分布列如表所示． X 0 1 2 P 0.36 则常数q的值是（   ） A．1.8或0.2 B．1.8 C．0.2 D．0.4 【答案】C 【详解】因为概率和为1，所以， 化简得，解得或， 又因为，概率不能为负数，故. 【题型2：两点分布】 6．(25-26高二下·河南商丘部分学校·期中)设随机变量服从两点分布，若，则______. 【答案】0.38 【分析】由于变量服从两点分布，根据两点分布的性质进行求解. 【详解】随机变量服从两点分布，由， 及，解得. 7．(25-26高二下·河南南阳第十一完全学校等校·)已知随机变量X服从两点分布，且，则（   ） A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 【答案】B 【详解】因为X服从两点分布，所以，结合条件得，． 8．(25-26高三上·山西大同第二中学校·)已知随机变量，均服从两点分布，且，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用全概率公式，由的值，得到的值，再由条件概率计算公式即可. 【详解】由于 服从两点分布，且 ， 因此. 由全概率公式得， 即， 所以， 由条件概率计算公式得. 故选：D 9．(24-25高二下·河北石家庄七县·期中)随机变量服从两点分布，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两点分布的性质即可求出答案. 【详解】设，因为服从两点分布， 所以，则，解得． 故选：C． 10．已知离散型随机变量X的分布列服从两点分布，且，则______． 【答案】 【分析】利用两点分布的概率和性质结合给定条件求解即可. 【详解】因为X的分布列服从两点分布，所以， 所以，∴，∴． 故答案为：. 【题型3：离散型随机变量的均值方差性质】 11．(25-26高二下·北京清华附中志新学校·期中)设随机变量的分布列如下： 2 3 6 则__________；若，则__________. 【答案】 【详解】，， 所以 12．(25-26高二·吉林四平实验中学等校·期中)整数调值编码在信息学中具有重要应用.规定编码：当输入一个奇数时，其编码为0，1的概率分别为，；当输入一个偶数时，其编码为0，1的概率分别为，.现输入1，1，2，3后进行编码，记编码为0的数字个数为，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】每次编码可看成一次独立的随机试验，定义随机变量：当第个数字编码为0时，，否则， 则，， 所以. 13．(25-26高二·江苏无锡江阴六校·期中)（多选）若随机变量服从两点分布，其中，和分别为随机变量的期望与方差，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由两点分布的期望、方差计算公式和期望、方差的性质逐项判断即可. 【详解】选项A：由概率和为，则​，A正确； 选项B：， 根据期望性质，得，B错误； 选项C：根据方差公式，得​，C正确； 选项D：根据方差性质，得，D正确. 14．(25-26高二下·广西崇左凭祥高级中学·期中)已知随机变量的均值，方差，则（    ） A． B． C．11.8 D．2 【答案】C 【详解】，； ，； . 15．(25-06高二下·福建莆田第一中学·)已知随机变量的分布列如表所示 (1)求证：； (2)若随机变量满足，求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）将方差公式展开，利用期望公式和化简即可求证. （2）利用方差的定义计算即可证明结论. 【详解】（1）， （2）因为，所以 ， 所以 . 【题型4：求离散型随机变量的均值】 16．(25-26高二·江苏徐州铜山区·期中)湘绣，是中国优秀的民族传统工艺之一，有着两千多年的历史.湘绣的制作工艺繁杂，一幅湘绣作品要经过设计图案和刺绣两大主要环节，且只有设计图案通过后才能进行刺绣，两个环节是否通过相互独立.只有同时通过这两个环节才能成为成品.某绣坊准备制作三幅不同的湘绣作品，已知三幅作品通过设计图案环节的概率依次为，通过刺绣环节的概率依次为. (1)若已知三幅中恰有一幅作品通过设计图案环节，求通过的作品为的概率； (2)经过设计图案和刺绣两个环节后，三幅作品成为成品作品的件数为.求随机变量的分布列及数学期望. 【答案】(1) (2) . 【分析】（1）根据条件概率求解即可. （2）由可取，求出对应的概率，列出分布列即可求解数学期望． 【详解】（1）设事件分别表示通过设计环节，由题意得​， 且相互独立. 设事件为"三幅中恰有一幅通过设计"，事件为"通过设计的作品为"，所求为条件概率. . . 因此. （2）设事件分别表示成为成品作品. 则，，. 的可能取值为， ， ， ， . 因此的分布列为： . 17．甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛，规定：第一局由甲、乙对打，丙轮空；每局的比赛的胜者与轮空者进行下一局对打，负者下一局轮空，如此循环．设甲对乙、丙的胜率均为，乙、丙之间的胜率互为． (1)求甲连续打前四局比赛的概率； (2)前四局中，求在第二局乙获胜的条件下甲轮空两局的概率； (3)如果甲胜一局得2分，输一局不得分，记打完前三局后甲的得分为，求的分布列和期望． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）分析甲连续打前四局比赛的情形，利用乘法求出概率即可； （2）利用条件概率求解即可； （3）先分析得分的情况，然后求出对应的概率，列出分布列计算数学期望即可. 【详解】（1）由甲连续打前四局比赛，说明甲在前3局都获胜， 第一局：甲、乙对打，甲胜，概率为， 第二局：甲、丙对打，甲胜，概率为， 第三局：甲、乙对打，甲胜，概率为， 所以甲连续打前四局比赛的概率为：. （2）设事件：前四局中第二局乙获胜，事件：第二局乙获胜，前四局中甲轮空两局， 对于前四局中第二局乙获胜： 即第一局：甲、乙对打，乙胜，概率为， 第二局：乙、丙对打，乙胜，概率为， 所以， 在第二局乙获胜的前提下，甲要轮空两局，只能是第4局甲轮空 第三局：乙、甲对打，乙胜，概率为， 第四局：乙、丙对打，概率为， 所以， 根据条件概率知：. （3）由题意知得分的可能值为：， ， ， ， ， 所以的分布列为： 6 所以得分的数学期望为：. 18．(25-26高二·广东深圳高级中学·期中)某高级中学举办数学学科周活动，为表彰数学建模比赛中表现优异的同学，学校给高中三个年级共分配9个表彰名额，每个年级至少一个名额.从所有可能的分配方案中随机选择一种，用表示这三个年级中分配的最少名额数，则的数学期望__________. 【答案】 【分析】根据题意，分析三个年级中分配的最少名额数的取值情况，及相应的分配方案数，得到相应的概率，根据数学期望的公式求得的数学期望. 【详解】若三个年级名额数分别为，则，又每个年级至少一个名额， 所以，相当于9个球分成3份，且每份至少有一个球，即用2个隔板插入8个空，则有种， 由题意，则，且各年级人数为， 其中的情况有一种情况，即， 的情况有､ 九种情况，即，所以， 综上，. 19．(25-26高二下·广西崇左凭祥高级中学·期中)食品安全问题越来越受到人们的重视，某超市在某种蔬菜进货前，要求食品安检部门对每箱蔬菜进行三轮各项指标的综合检测，只有三轮检测都合格，蔬菜才能在该超市销售.已知每箱这种蔬菜第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，第三轮检测合格的概率为，每轮检测只有合格与不合格两种情况，且各轮检测是否合格相互之间没有影响. (1)求每箱这种蔬菜不能在该超市销售的概率； (2)如果这种蔬菜能在该超市销售，则每箱可获利400元，如果不能在该超市销售，则每箱亏损200元，现有4箱这种蔬菜，求这4箱蔬菜总收益的分布列与期望. 【答案】(1) (2) 1600 1000 400 -200 -800 【分析】（1）先求出每一轮检测合格的概率；再利用各轮检测相互独立的条件，用乘法公式算出 “三轮都合格” 的概率；最后用 1 减去该概率，即可得到 “不能销售” 的概率； （2）先设 4 箱蔬菜中能销售的箱数为随机变量，该变量服从二项分布；接着，根据每箱的收益情况，推导出总收益与能销售箱数的线性关系，确定总收益的所有可能取值；然后，利用二项分布的概率公式，计算出每个收益值对应的概率，列出分布列；最后，根据离散型随机变量期望的定义，代入分布列数据，计算出总收益的数学期望. 【详解】（1）记分别为事件“第一、二、三轮检测合格”，为事件“每箱这种蔬菜不能在该超市销售”. 由题设知，，， 所以 （2）设这4箱蔬菜的总收益为随机变量，则的所有可能取值为1600，1000，400，-200，-800， 且， ， ， ， ， 故的分布列为 1600 1000 400 -200 -800 . 20．(25-26高二下·重庆西南大学附属中学校·期中)学校举行了一次有关语文、数学、英语的三大学科知识竞赛，海量题库中语文、数学、英语三类相关知识题量占比分别为、、.甲同学回答语文、数学、英语这三类问题中每个题的正确率分别为、、. (1)若甲同学在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率； (2)若甲同学从这三类题中各任选一题作答，每一题回答正确得分，回答错误得分.设该同学回答三题后的总得分为分，求的分布列及数学期望. 【答案】(1) (2)的分布列见解析；数学期望 【分析】（1）根据题意，由全概率公式即可得到结果； （2）由题意可得，的可能取值为，分别求得其所对应的概率，即可得到分布列，从而得到期望. 【详解】（1）设事件为“选到的题目是语文题”，事件为“选到的题目是数学题”，事件为“选到的题目是英语题”，事件为“甲同学回答正确”， 则由题意得，，，，，， 根据全概率公式有. （2）设事件为“甲同学答对语文题”，事件为“甲同学答对数学题”，事件为“甲同学答对英语题”， 则由题意得，则答错语文题的概率是， ，则答错数学题的概率是， ，则答错英语题的概率是， 由于答对的题数可能是，因此的可能取值为， 当时，即语文题、数学题、英语题全答错，则； 当时，即语文题、数学题、英语题只答对一个，则 ； 当时，即语文题、数学题、英语题答对两个，则 ； 当时，即语文题、数学题、英语题全答对，则； 因此，的分布列为 数学期望. 【题型5：求离散型随机变量的方差】 21．(25-26高二下·福建厦门大学附属科技中学·期中)（多选）新高考数学试题第二部分为多选题，共3个小题，每小题有4个选项，其中有2个或3个是正确选项.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.若正确答案是2个选项，只选对1个得3分.有选错的得0分：若正确答案是3个选项，只选对1个得2分，只选对2个得4分，有选错的得0分.小明对其中的一道题完全不会，该题有两个正确选项的概率是，记为小明随机选择1个选项的得分.记为小明随机选择2个选项的得分，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】分别计算出和的分布列，然后逐项进行计算即可求得. 【详解】根据题意，的可能取值为， 表示：若该题有两个正确选项，则小明从两个错误选项中选择1个；若该题有3个正确选项，则小明从1个错误选项中选择1个， 则； 表示：该题有3个正确选项，则小明从3个正确选项中选择1个， 则； 表示：该题有2个正确选项，则小明从2个正确选项中选择1个， 则； 则，， 则； 的可能取值为， 表示：若该题有两个正确选项，则小明从两个错误选项中选择1个， 再从两个正确选项中选择1个或选择2个错误选项； 若该题有3个正确选项，则小明从1个错误选项中选择1个， 再从3个正确选项中选一个，则； 表示：该题有3个正确选项，则小明从3个正确选项中选择2个， 则； 表示：该题有2个正确选项，则小明从2个正确选项中选择2个， 则； 则，， 则； A正确，B错误，CD正确. 22．(24-25高二下·广东东莞光正实验学校·期中)端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽3个，白粽7个，这两种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个，设表示取到的豆沙粽个数.求 (1)的分布列； (2)的期望与方差； (3)求至少取到一个豆沙粽的概率. 【答案】(1) 0 1 2 3 (2)， (3) 【分析】（1）由题意可知的可能取值为，根据古典概型计算概率即可写出分布列； （2）由分布列即可计算期望与方差； （3）先求“一个豆沙粽都没有取到”的概率，再利用对立事件即可求“至少取到一个豆沙粽的概率”. 【详解】（1）由题意，的可能取值为， 则 ，， ， ， 所以的分布列如下： 0 1 2 3 （2）由（1）可知， . （3）记“至少取到一个豆沙粽”为事件A，则表示“一个豆沙粽都没有取到”， 则. 23．(25-26高二·上海闵行中学·期中)甲乙两个袋子，甲袋有1白2黑3个球，乙袋有2个白球.现从两袋各取1球，交换放入甲乙两袋.如此交换两次后，甲袋中的白球个数记作，则______. 【答案】 【分析】分析可知X所有可能取值为1，2，3，根据题意求相应概率，进而可得期望，再结合方差计算公式即可求解 【详解】由题意可知：的所有可能取值为1，2，3， 可得，， ， 所以. 所以， 所以 24．(25-26高二·上海曹杨第二中学·期中)甲､乙两队进行乒乓球双打比赛，规定每局比赛必须决出胜负，采用五局三胜制，即先赢得三局比赛的队伍获胜.已知每局比赛甲队获胜的概率为，且每局比赛的结果相互独立. (1)设，记比赛结束时的场数为，求的分布､期望和方差； (2)已知甲队获胜的条件下，比赛恰好进行了四局的概率为，求的值. 【答案】(1)答案见解析 (2)或 【分析】（1）先确定的取值并计算相应的概率，通过列出分布列再根据期望和方差的公式求解； （2）分别计算甲队获胜的概率和甲队获胜且比赛恰好4局的概率，然后利用条件概率求解. 【详解】（1）可能的取值为， ， ， ， 所以的分布列为 ， . （2）设甲队获胜为事件，比赛恰好进行4局为事件， ， ， 根据题目可知，， 代入条件概率公式可得， 化简可得 ， 令，可得 ，解得或， 所以或. 25．(25-26高二下·上海大学附属中学·期中)《水浒传》是中国古典四大名著之一，是中国历史上最早用白话文写成的章回小说，由三十六天罡与七十二地煞共同构成一百零八将的主体框架，小明喜欢收集其中的人物卡牌，卡牌分为普通卡和隐藏卡，小明目前收集到的卡牌分布如下表所示： 天罡 地煞 普通卡 6 12 隐藏卡 2 5 (1)若小明从25张卡牌中随机选取一张，记事件为小明取到的卡牌人物属于天罡，事件为小明取到的卡牌为隐藏卡，求和，并判断事件和事件是否相互独立； (2)小王和小明进行抽卡游戏，每人一次性从25张卡牌中抽取两张，给出以下规则：抽到的两张卡分别是天罡隐藏卡及地煞隐藏卡，得5分；抽到的两张卡有且仅有一张隐藏卡，得3分；抽到的两张卡分别是天罡普通卡及地煞普通卡，得1分；其余情况不得分.设为小王第一次抽取卡牌后获得的分数，写出的分布，并求出的数学期望和方差. 【答案】(1),，事件与事件不独立. (2) 0 1 3 5 ， 【分析】（1）利用古典概型的概率公式可求得的值，利用条件概率公式可求得的值，利用独立事件的定义可判断出事件和事件的关系； （2）分析可知，随机变量的可能取值有，求出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可得出和的值. 【详解】（1）由表格中的数据结合古典概型的概率公式可得， 由条件概率公式可得， 因为，所以， 故事件与事件不独立. （2）由题意可知，随机变量的可能取值有：， 则， ， ， 所以随机变量的分布列如下表所示： 0 1 3 5 故. 方差 【题型6：离散型随机变量的均值方差在决策中的应用】 26．(25-26高二·江苏无锡江阴六校·期中)一个猜谜语活动中有A和B两道谜语，小明猜对谜语A的概率为，猜对获得奖金10元，猜对谜语B的概率为，猜对获得奖金20元，猜不出不给奖金，小明是否猜对两道谜语相互独立. (1)设事件“小明恰好猜对一道谜语”，求事件M发生的概率； (2)如果按照如下规则猜谜：先选一道猜测，只有在猜对的情况下，才有资格猜下一道． （i）若猜谜语顺序由小明选择，小明应该先猜哪一道呢； （ii）在（i）顺序下，小明可以花元购买提示机会，购买一次对两道谜语都生效，提示后小明猜对两道谜语的概率均会提高个百分点()，问、满足什么关系，小明才值得购买提示（购买后收益期望减去元大于购买前收益期望）． 【答案】(1) (2)（i）应该先猜谜语；（ii） 【分析】（1）分先猜或先猜两种互斥路径，计算先猜任一谜语最终猜对的总概率； （2）（i）分别定义两种顺序下的奖金随机变量，通过分步概率计算分布列，再求数学期望并比较大小，选择期望更高的猜谜顺序；（ii）定义购买提示后先猜的奖金随机变量，结合提示对猜对概率的影响计算分布列与期望，通过 “购买后期望收益＞原期望收益” 的不等式，得到购买提示值得的条件. 【详解】（1）根据题意，得 （2）（i）设小明先猜谜语得到的奖金为X元，则X的可能取值为0，10，30， 可得，，， 所以X的分布列为 X 0 10 30 P ． 设小明先猜谜语得到的奖金为Y元，则Y的可能取值为0，20，30， 可得，，， 所以Y的分布列为 Y 0 20 30 P 因为，所以小明应该先猜谜语 （ii）设小明购买提示后先猜谜语A得到的奖金为Z元（不含支出元）， 则Z的可能取值为0，10，30， 可得， ， ， 所以 所以小明最终获得元， 若要值得购买则即． 27．(25-26高二·广东东莞东莞中学松山湖学校·期中)甲参加围棋比赛，每局比赛甲获胜的概率为，输的概率为，每局比赛的结果独立． (1)当时，那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利？ (2)比赛采用3局2胜制，为增加比赛的趣味性，设置两种积分奖励方案．方案一：最终获胜者得3分，失败者得分；方案二：最终获胜者得1分，失败者得0分，请讨论选择哪种方案，使得甲获得积分的数学期望更大． 【答案】(1)采用5局3胜制对甲更有利 (2)答案见解析 【分析】（1）分别计算采用3局2胜制和采用5局3胜制甲最终获胜的概率，比较概率大小即可求解. （2）由（1）可得采用3局2胜制甲最终获胜的概率，分别计算两种方案下甲获得积分的数学期望，通过作差比较其大小即可. 【详解】（1）当采用3局2胜制时：记“甲最终以获胜”为事件，记“甲最终以获胜”为事件，“甲最终获胜”为事件， 于是，与为互斥事件， 由于，， 则， 即采用3局2胜制甲最终获胜的概率为． 当采用5局3胜制时，记“甲最终以获胜”为事件，记“甲最终以获胜”为事件，记“甲最终以获胜”为事件，“甲最终获胜”为事件， 于是，为互斥事件， 由于，， 则， 即采用5局3胜制甲最终获胜的概率为． 显然， 所以采用5局3胜制对甲更有利 （2）由（1）可知，采用3局2胜制甲最终获胜的概率， 若选用方案一，记甲最终获得积分为分，则可取， ， 则的分布列为： 3 则， 若选用方案二，记甲最终获得积分为分，则可取1，0， ， 则的分布列为： 1 0 则， 所以， 由于，则， 于是时，两种方案都可以选， 当时，，应该选第二种方案， 当时，，应该选第一种方案． 28．(25-26高二下·山东临沂·)某高校少年班复试选拔有甲､乙两类问题，每位参加复试的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学复试结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学复试结束.甲类问题中的每个问题回答正确得30分，否则得0分；乙类问题中的每个问题回答正确得70分，否则得0分，已知小明能正确回答甲类问题的概率为0.8，能正确回答乙类问题的概率为0.5，且能正确回答问题的概率与回答次序无关. (1)求小明复试得分为100分的概率； (2)若小明先回答甲类问题，记为小明的累计得分，求的分布列； (3)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由. 【答案】(1) (2) (3)应选择先回答甲类问题 【分析】（1）借助概率公式计算即可得； （2）得到的可能取值后计算对应概率即可得其分布列； （3）结合（2）中所得可得先回答甲类问题时得分期望，再求出先回答乙类问题时得分期望后，比较大小即可得. 【详解】（1）若小明复试得分为100分， 概率为. （2）的可能取值为、、， ， ， ， 故其分布列为： （3）由（2）可得，若小明先回答甲类问题， 得分期望为分； 若小明先回答乙类问题，设为小明的累计得分，则的可能取值为、、， 则， ， ， 则得分期望为， 则，故小明应选择先回答甲类问题. 29．(25-26高二·浙江温州新力量联盟期中联考·期中)“618”购物狂欢节某商场品牌连锁店推出当日消费额达5000元时就可参与抽奖活动，抽奖活动规则如下：在两个外观完全相同且不透明的箱子中都装入8个球，第一个箱子中有8个红球，第二个箱子中有4个红球4个白球（球的形状大小完全相同）抽奖活动进行两轮，只有通过第一轮才能进入第二轮． 第一轮游戏：抽奖者需从两个箱子中任选一个箱子从中摸出两个球（不放回），若取出的两个球都是红球则进入第二轮抽奖，否则游戏结束抽奖者没有奖金． 第二轮游戏：进入第二轮的抽奖者可从三种抽奖方式中选择一种，第一种直接停止游戏获得300元奖金；第二种从第一轮取出两个红球的箱子中再取一个球若是红球则得奖金400元，若不是红球则游戏结束，不得奖金；第三种从另外一个箱子中取一个球若是红球则得奖金500元，若不是红球则游戏结束，不得奖金； (1)抽奖者能进入第二轮游戏的概率． (2)从奖金的数学期望考虑，进入第二轮游戏的抽奖者该如何选择． 【答案】(1) (2)选择第二种抽奖方案 【分析】(1)抽奖者能进入第二轮游戏即需在第一轮中取出的两个球都是红球，计算其概率即可求解； (2)在第二轮抽奖中，设选择第一种奖金为，选择第二种奖金为，选择第三种奖金为；分别求出对应的期望即可. 【详解】（1）设表示第一轮抽取两个红球， 表示从第一个箱子中抽取，表示从第二个箱子中抽取 （2）在第二轮抽奖中，设选择第一种奖金为，选择第二种奖金为，选择第三种奖金为； 第一种显然； 第二种 ，显然； 第三种 显然 综上，所以选择第二种抽奖方案 30．某商场在开业当天进行有奖促销活动，规定该商场购物金额前100名的顾客，均可获得3次抽奖机会．每次中奖的概率为，每次中奖与否相互不影响．中奖1次可获得100元奖金，中奖2次可获得300元奖金，中奖3次可获得500元奖金． (1)已知，求顾客甲获得了300元奖金的条件下，甲第一次抽奖就中奖的概率； (2)已知该商场开业促销活动的经费为2万元，问该活动是否有超过预算的可能?请说明理由． 【答案】(1) (2)有超过预算的可能 【分析】（1）设顾客甲获得了300元奖金的事件为A，甲第一次抽奖就中奖的事件为B，求出、，根据条件概率的公式，即可求得答案；（2）设一名顾客获得的奖金为元，写出的所有可能取值，求出对应概率，进而可求出. 【详解】（1）设甲获得了300元奖金的事件为A，甲第一次抽奖就中奖的事件为B， 则， ， 故； （2）设一名顾客获得的奖金为元，则的取值可能为， 则，， ，， 令 ， 因为在上单调递增， 所以，所以在上单调递增， 所以， 此时，故该活动有超过预算的可能． 【题型7：离散型随机变量的均值与函数综合】 31．(25-26高三上·广西梧州·期末)为促进消费，某电商平台和生产商在本周联合推出“有奖闯关”活动．活动规则如下：消费者成功闯过第一关获得基础券（获得元基础券的概率为，获得元基础券的概率为）．闯过第一关后，可进行第二关闯关，成功闯过第二关后可获得进阶券元，且这两种优惠券可叠加使用抵扣支付金额．已知消费者闯过第一关的概率为，闯过第二关的概率为．某生产商将商品定价元，成本元；优惠券成本由生产商承担基础券面额的，进阶券面额的． (1)若，，记消费者购买一件该商品的实际支付金额为（单位：元），求的分布列和数学期望； (2)设所有消费者均闯过第一关获得了基础券，推出活动后商品购买概率为，记生产商销售一件该商品的期望利润为（单位：元）．（期望利润购买概率（支付金额的期望商品成本）优惠券成本的期望） （i）求关于的函数表达式； （ii）证明：在内存在唯一极大值点，并求当为何值时，商家期望利润最大？最大期望利润是多少?（结果保留位小数） 【答案】(1)分布列见详解， (2)（i） （ii）证明见详解，时，最大期望利润为 【分析】（1）分析消费者实际支付金额的所有可能取值，计算每个取值对应的概率，得到分布列，计算； （2）（i）计算消费者支付金额的期望，再计算优惠券成本的期望，分别计算基础券成本期望和进阶券成本期望，再求和，最后根据期望利润的定义，结合购买概率，代入支付金额期望、商品成本、优惠券成本期望，得到的函数表达式； （ii）对求导，得到导函数，分析导函数在内的单调性，找到导函数极大值点，代入计算最大期望利润. 【详解】（1）实际支付金额的所有可能取值为， ， ， ， ， ， 的分布列为： . （2）(i)求的函数表达式已知所有消费者都闯过第一关，按题目期望利润公式分步计算： 支付金额期望：， 商品成本， 优惠券成本期望：基础券成本， 进阶券成本， 总成本期望， 购买概率， 代入公式： . (ii)对求导得： 令，整理得，解得根为，（舍去，不在内）， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 因此在内存在唯一极大值点，且该点为最大值点， 计算最大期望利润：. 32．(25-26高二下·浙江丽水发展共同体·期中)甲、乙、丙三个人组团参加某闯关游戏，规定闯关时每次只能派一人上场，且每人最多只能上场一次，若前一个人在规定时间内不能完成闯关，则再派下一个人继续闯关，直至有人闯关成功或三人均闯关失败则游戏结束．现已知甲、乙、丙三人各自在规定时间内能完成闯关的概率分别为，且，假定各人能否完成任务的事件相互独立． (1)若，求这三人闯关成功概率，并回答闯关成功的概率与三个人被派出的先后顺序是否有关？ (2)设游戏结束时所需要派出人员数目为，求的分布列和期望的最小值． 【答案】(1)，闯关成功的概率与三个人被派出的先后顺序无关 (2) 1 2 3 ； 【分析】（1）根据对立事件及独立事件乘法公式计算求解； （2）根据独立事件概率计算公式确定分布列，结合实际逻辑利用作差法确定最小值. 【详解】（1）因为无论以怎样的顺序派出人员，闯关不能成功的概率都是， 所以闯关成功的概率与三个人被派出的先后顺序无关， 并等于； （2）设依次派出的三个人各自完成任务的概率分别是，其中是对于的任意排列，随机变量的分布为 1 2 3 ； 根据常理，优先派出完成任务概率大的人，可减少所需派出的人员数目的均值． 即 下面证明：．（*） 当且时，， 当或时，因为， 所以 综上：成立． 33．(25-26高二下·河南信阳普通高中·期中)某环保部门需要对某社区1000户家庭的饮用水进行某种有害物质的检测，假设每户家庭的水样中含有该物质的事件相互独立，且含有该物质的概率均为p（）.检测方法采用分组检测：将待检测家庭分成m个小组，每组n户，每组取每户的水样混合成一个样本进行检测.若某组混合样本检测为阴性（不含该物质），则该组所有家庭无需再检测；若某组混合样本检测为阳性（含有该物质），则需对该组内每户家庭分别单独检测一次（使用已采集的水样）. (1)已知，若某小组的混合样本检测结果为阳性，求该组内恰好有2户家庭水样中含有该物质的概率（用含p的式子表示）； (2)用Y表示每组检测次数，T表示总检测次数，求用分组检测方法所需检测次数的期望值； (3)假设检测成本由两部分组成：采样处理成本为2元/户，化验检测成本为3元/次，若，且该分组检测方法总成本的期望值比逐一检测的总成本节省了20%以上，求p的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先确定随机变量服从参数为5和的二项分布，依据条件概率公式将所求概率转化为的概率与的概率之比，再利用对立事件把的概率换成1减去的概率，接着用二项分布概率公式分别算出和的概率，代入化简即可得到最终表达式. （2）先设定每组检测次数为随机变量，分两种情况：混合样本阴性时只需检测1次、概率为，阳性时需检测次、概率为，再由离散型随机变量期望公式求出单组检测次数的期望，根据总人数1000得出分组数为，用分组数乘单组期望得到总检测次数的期望，整理化简后得到最终表达式. （3）先区分逐一检测与分组检测的成本构成，算出逐一检测总成本为5000元，再求出分组检测的固定采样成本，结合第二问时总检测次数期望得到化验成本，合并化简得出分组检测总成本期望；再根据分组检测成本比逐一检测节省两成以上的条件列出不等式，整理求解出的范围，进而解出的取值范围. 【详解】（1）设该小组的混合样本中含有该物质的户数为X，则. 因为混合样本检测呈阳性，即， 所以所求概率. 又；. 所以. （2）因为每组检测次数为Y，则Y的分布为：若混合样本为阴性，则只需检测1次，概率为； 若混合样本为阳性，则需检测次，概率为. 所以期望. 因为共有个小组，所以总检测次数的期望为 . （3）由题意知，总成本包括采样处理成本和化验成本. 所以逐一检测时总成本为元， 分组检测时采样成本为元，化验成本为. 由（2）知，当时， . 故总成本的期望为 , 由题意知，分组检测总成本比逐一检测总成本节省20%以上，即. 所以 ，即. 所以，解得，因此p的取值范围为. 34．(25-26高二下·重庆渝北中学校·期中)某电商平台为促进消费推出“有奖闯关”活动.活动规则如下：消费者成功闯过第一关获得基础券（获得10元基础券的概率为0.6，获得20元基础券的概率为0.4）.闯过第一关后，可进行第二关闯关，成功闯过第二关后可获得进阶券20元，且这两种优惠券可叠加使用抵扣支付商品.已知消费者闯过第一关的概率为，闯过第二关的概率为.某生产商将商品定价100元，成本41元；优惠券成本由生产商承担基础券面额的30%，进阶券面额的50%. (1)若，，记消费者购买一件该商品的实际支付金额为（单位：元），求的分布列和数学期望； (2)设所有消费者均闯过第一关获得了基础券，推出活动后商品购买概率为，记生产商销售一件该商品的期望利润为（单位：元）（期望利润=购买概率×（支付金额的期望-商品成本）-优惠券成本的期望） （i）求关于的函数表达式； （ii）求当为何值时，商家期望利润最大？最大期望利润是多少？ 【答案】(1) 100 90 80 70 60 0.2 0.24 0.16 0.24 0.16 (2)（i） ；（ii）时，商家期望利润最大，最大期望利润为5.3元. 【分析】（1）分得到的优惠券总价值为0,10,20,30,40五种情况，对应的取值，得到的分布列和数学期望； （2）（i）分别求得支付金额和商品成本的数学期望，根据期望利润的计算公式得到； （ii）利用二次函数性质求得的最值. 【详解】（1）由题可知，的可能取值为100，90，80，70，60， ，， ，， . 分布列为： 100 90 80 70 60 0.2 0.24 0.16 0.24 0.16 数学期望为：. （2）（i）期望利润=购买概率×（支付金额的期望-商品成本）-优惠券成本的期望， 设支付金额为，可取90，80，70，60， ，，，， 则支付金额的期望为： ； 设优惠券成本为，可取3，6，13，16， ，，， 优惠券成本的期望为 . 所以 . （ii）是开口向下的二次函数，对称轴为. 因为，所以当时，商家期望利润最大，最大期望利润为5.3元. 35．甲、乙两人进行知识问答比赛，比赛规则如下：每题由1人作答；若答对，则答题者得一分，并继续回答下一题；若答错，则对方得一分，并由对方回答下一题．比赛规定：先得3分者赢得比赛且比赛结束．若比赛中甲答对任一问题的概率为p，乙答对任一问题的概率为q，且每人每题是否答对相互独立．经赛前抽签，确定甲优先答题． (1)求乙在第二题得分的概率（用p，q表示）； (2)若，，求甲在四题以内赢得比赛的概率； (3)若，记比赛结束时答题数为X，求的最大值． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）将给定事件分拆成两个互斥事件的和，再利用独立事件的概率公式求解. （2）根据给定条件，利用互斥事件的概率公式及独立事件的概率公式列式求解. （3）求出的可能值及各个值对应的概率，求出，再利用导数求出最大值. 【详解】（1）乙在第二题得分的事件是甲在第1题答对，第2题答错的事件与甲在第1题答错，乙在第2题答对的事件和， 所以乙在第二题得分的概率为. （2）甲在四题以内赢得比赛的事件是甲答前3题得3分的事件与甲答4题得3分的事件和， 甲答前3题得3分的事件概率为； 甲答4题得3分的事件是前3题甲得2分，第4题甲得分， 概率为， 所以甲在四题以内赢得比赛的概率为. （3）随机变量的可能取值为3，4，5， 当时，甲答前3题得3分或乙答前3题得3分，； 当时，第4题后甲得3分或乙得3分， 当时，第4题后甲乙二人的比分为，， 因此 ，令，， 求导得， 由且，得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 所以的最大值为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高二数学下学期常考题型归纳 【专项训练06：离散型随机变量及其分布】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：离散型随机变量分布列的性质】 1．(25-26高二下·河北衡水第二中学·期中)已知随机变量的分布列为： 1 2 3 则（    ） A． B． C． D． 2．(25-26高二下·河南信阳普通高中·期中)已知随机变量取所有值、、、是等可能的，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．(25-26高二·河北衡水部分学校·)已知随机变量的分布列如下： 1 2 3 4 则常数（   ） A． B． C． D． 4．(25-26高二下·河南商丘商师联盟·期中)已知随机变量的分布列为 1 2 3 4 则（    ） A． B． C． D． 5．(25-26高二下·广西桂平浔州高级中学·期中)已知离散型随机变量X的分布列如表所示． X 0 1 2 P 0.36 则常数q的值是（   ） A．1.8或0.2 B．1.8 C．0.2 D．0.4 【题型2：两点分布】 6．(25-26高二下·河南商丘部分学校·期中)设随机变量服从两点分布，若，则______. 7．(25-26高二下·河南南阳第十一完全学校等校·)已知随机变量X服从两点分布，且，则（   ） A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 8．(25-26高三上·山西大同第二中学校·)已知随机变量，均服从两点分布，且，，若，则（   ） A． B． C． D． 9．(24-25高二下·河北石家庄七县·期中)随机变量服从两点分布，若，则（    ） A． B． C． D． 10．已知离散型随机变量X的分布列服从两点分布，且，则______． 【题型3：离散型随机变量的均值方差性质】 11．(25-26高二下·北京清华附中志新学校·期中)设随机变量的分布列如下： 2 3 6 则__________；若，则__________. 12．(25-26高二·吉林四平实验中学等校·期中)整数调值编码在信息学中具有重要应用.规定编码：当输入一个奇数时，其编码为0，1的概率分别为，；当输入一个偶数时，其编码为0，1的概率分别为，.现输入1，1，2，3后进行编码，记编码为0的数字个数为，则（   ） A．1 B． C．2 D． 13．(25-26高二·江苏无锡江阴六校·期中)（多选）若随机变量服从两点分布，其中，和分别为随机变量的期望与方差，则（    ） A． B． C． D． 14．(25-26高二下·广西崇左凭祥高级中学·期中)已知随机变量的均值，方差，则（    ） A． B． C．11.8 D．2 15．(25-06高二下·福建莆田第一中学·)已知随机变量的分布列如表所示 (1)求证：； (2)若随机变量满足，求证：. 【题型4：求离散型随机变量的均值】 16．(25-26高二·江苏徐州铜山区·期中)湘绣，是中国优秀的民族传统工艺之一，有着两千多年的历史.湘绣的制作工艺繁杂，一幅湘绣作品要经过设计图案和刺绣两大主要环节，且只有设计图案通过后才能进行刺绣，两个环节是否通过相互独立.只有同时通过这两个环节才能成为成品.某绣坊准备制作三幅不同的湘绣作品，已知三幅作品通过设计图案环节的概率依次为，通过刺绣环节的概率依次为. (1)若已知三幅中恰有一幅作品通过设计图案环节，求通过的作品为的概率； (2)经过设计图案和刺绣两个环节后，三幅作品成为成品作品的件数为.求随机变量的分布列及数学期望. 17．甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛，规定：第一局由甲、乙对打，丙轮空；每局的比赛的胜者与轮空者进行下一局对打，负者下一局轮空，如此循环．设甲对乙、丙的胜率均为，乙、丙之间的胜率互为． (1)求甲连续打前四局比赛的概率； (2)前四局中，求在第二局乙获胜的条件下甲轮空两局的概率； (3)如果甲胜一局得2分，输一局不得分，记打完前三局后甲的得分为，求的分布列和期望． 18．(25-26高二·广东深圳高级中学·期中)某高级中学举办数学学科周活动，为表彰数学建模比赛中表现优异的同学，学校给高中三个年级共分配9个表彰名额，每个年级至少一个名额.从所有可能的分配方案中随机选择一种，用表示这三个年级中分配的最少名额数，则的数学期望__________. 19．(25-26高二下·广西崇左凭祥高级中学·期中)食品安全问题越来越受到人们的重视，某超市在某种蔬菜进货前，要求食品安检部门对每箱蔬菜进行三轮各项指标的综合检测，只有三轮检测都合格，蔬菜才能在该超市销售.已知每箱这种蔬菜第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，第三轮检测合格的概率为，每轮检测只有合格与不合格两种情况，且各轮检测是否合格相互之间没有影响. (1)求每箱这种蔬菜不能在该超市销售的概率； (2)如果这种蔬菜能在该超市销售，则每箱可获利400元，如果不能在该超市销售，则每箱亏损200元，现有4箱这种蔬菜，求这4箱蔬菜总收益的分布列与期望. 20．(25-26高二下·重庆西南大学附属中学校·期中)学校举行了一次有关语文、数学、英语的三大学科知识竞赛，海量题库中语文、数学、英语三类相关知识题量占比分别为、、.甲同学回答语文、数学、英语这三类问题中每个题的正确率分别为、、. (1)若甲同学在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率； (2)若甲同学从这三类题中各任选一题作答，每一题回答正确得分，回答错误得分.设该同学回答三题后的总得分为分，求的分布列及数学期望. 【题型5：求离散型随机变量的方差】 21．(25-26高二下·福建厦门大学附属科技中学·期中)（多选）新高考数学试题第二部分为多选题，共3个小题，每小题有4个选项，其中有2个或3个是正确选项.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.若正确答案是2个选项，只选对1个得3分.有选错的得0分：若正确答案是3个选项，只选对1个得2分，只选对2个得4分，有选错的得0分.小明对其中的一道题完全不会，该题有两个正确选项的概率是，记为小明随机选择1个选项的得分.记为小明随机选择2个选项的得分，则（    ） A． B． C． D． 22．(24-25高二下·广东东莞光正实验学校·期中)端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽3个，白粽7个，这两种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个，设表示取到的豆沙粽个数.求 (1)的分布列； (2)的期望与方差； (3)求至少取到一个豆沙粽的概率. 23．(25-26高二·上海闵行中学·期中)甲乙两个袋子，甲袋有1白2黑3个球，乙袋有2个白球.现从两袋各取1球，交换放入甲乙两袋.如此交换两次后，甲袋中的白球个数记作，则______. 24．(25-26高二·上海曹杨第二中学·期中)甲､乙两队进行乒乓球双打比赛，规定每局比赛必须决出胜负，采用五局三胜制，即先赢得三局比赛的队伍获胜.已知每局比赛甲队获胜的概率为，且每局比赛的结果相互独立. (1)设，记比赛结束时的场数为，求的分布､期望和方差； (2)已知甲队获胜的条件下，比赛恰好进行了四局的概率为，求的值. 25．(25-26高二下·上海大学附属中学·期中)《水浒传》是中国古典四大名著之一，是中国历史上最早用白话文写成的章回小说，由三十六天罡与七十二地煞共同构成一百零八将的主体框架，小明喜欢收集其中的人物卡牌，卡牌分为普通卡和隐藏卡，小明目前收集到的卡牌分布如下表所示： 天罡 地煞 普通卡 6 12 隐藏卡 2 5 (1)若小明从25张卡牌中随机选取一张，记事件为小明取到的卡牌人物属于天罡，事件为小明取到的卡牌为隐藏卡，求和，并判断事件和事件是否相互独立； (2)小王和小明进行抽卡游戏，每人一次性从25张卡牌中抽取两张，给出以下规则：抽到的两张卡分别是天罡隐藏卡及地煞隐藏卡，得5分；抽到的两张卡有且仅有一张隐藏卡，得3分；抽到的两张卡分别是天罡普通卡及地煞普通卡，得1分；其余情况不得分.设为小王第一次抽取卡牌后获得的分数，写出的分布，并求出的数学期望和方差. 【题型6：离散型随机变量的均值方差在决策中的应用】 26．(25-26高二·江苏无锡江阴六校·期中)一个猜谜语活动中有A和B两道谜语，小明猜对谜语A的概率为，猜对获得奖金10元，猜对谜语B的概率为，猜对获得奖金20元，猜不出不给奖金，小明是否猜对两道谜语相互独立. (1)设事件“小明恰好猜对一道谜语”，求事件M发生的概率； (2)如果按照如下规则猜谜：先选一道猜测，只有在猜对的情况下，才有资格猜下一道． （i）若猜谜语顺序由小明选择，小明应该先猜哪一道呢； （ii）在（i）顺序下，小明可以花元购买提示机会，购买一次对两道谜语都生效，提示后小明猜对两道谜语的概率均会提高个百分点()，问、满足什么关系，小明才值得购买提示（购买后收益期望减去元大于购买前收益期望）． 27．(25-26高二·广东东莞东莞中学松山湖学校·期中)甲参加围棋比赛，每局比赛甲获胜的概率为，输的概率为，每局比赛的结果独立． (1)当时，那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利？ (2)比赛采用3局2胜制，为增加比赛的趣味性，设置两种积分奖励方案．方案一：最终获胜者得3分，失败者得分；方案二：最终获胜者得1分，失败者得0分，请讨论选择哪种方案，使得甲获得积分的数学期望更大． 28．(25-26高二下·山东临沂·)某高校少年班复试选拔有甲､乙两类问题，每位参加复试的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学复试结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学复试结束.甲类问题中的每个问题回答正确得30分，否则得0分；乙类问题中的每个问题回答正确得70分，否则得0分，已知小明能正确回答甲类问题的概率为0.8，能正确回答乙类问题的概率为0.5，且能正确回答问题的概率与回答次序无关. (1)求小明复试得分为100分的概率； (2)若小明先回答甲类问题，记为小明的累计得分，求的分布列； (3)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由. 29．(25-26高二·浙江温州新力量联盟期中联考·期中)“618”购物狂欢节某商场品牌连锁店推出当日消费额达5000元时就可参与抽奖活动，抽奖活动规则如下：在两个外观完全相同且不透明的箱子中都装入8个球，第一个箱子中有8个红球，第二个箱子中有4个红球4个白球（球的形状大小完全相同）抽奖活动进行两轮，只有通过第一轮才能进入第二轮． 第一轮游戏：抽奖者需从两个箱子中任选一个箱子从中摸出两个球（不放回），若取出的两个球都是红球则进入第二轮抽奖，否则游戏结束抽奖者没有奖金． 第二轮游戏：进入第二轮的抽奖者可从三种抽奖方式中选择一种，第一种直接停止游戏获得300元奖金；第二种从第一轮取出两个红球的箱子中再取一个球若是红球则得奖金400元，若不是红球则游戏结束，不得奖金；第三种从另外一个箱子中取一个球若是红球则得奖金500元，若不是红球则游戏结束，不得奖金； (1)抽奖者能进入第二轮游戏的概率． (2)从奖金的数学期望考虑，进入第二轮游戏的抽奖者该如何选择． 30．某商场在开业当天进行有奖促销活动，规定该商场购物金额前100名的顾客，均可获得3次抽奖机会．每次中奖的概率为，每次中奖与否相互不影响．中奖1次可获得100元奖金，中奖2次可获得300元奖金，中奖3次可获得500元奖金． (1)已知，求顾客甲获得了300元奖金的条件下，甲第一次抽奖就中奖的概率； (2)已知该商场开业促销活动的经费为2万元，问该活动是否有超过预算的可能?请说明理由． 【题型7：离散型随机变量的均值与函数综合】 31．(25-26高三上·广西梧州·期末)为促进消费，某电商平台和生产商在本周联合推出“有奖闯关”活动．活动规则如下：消费者成功闯过第一关获得基础券（获得元基础券的概率为，获得元基础券的概率为）．闯过第一关后，可进行第二关闯关，成功闯过第二关后可获得进阶券元，且这两种优惠券可叠加使用抵扣支付金额．已知消费者闯过第一关的概率为，闯过第二关的概率为．某生产商将商品定价元，成本元；优惠券成本由生产商承担基础券面额的，进阶券面额的． (1)若，，记消费者购买一件该商品的实际支付金额为（单位：元），求的分布列和数学期望； (2)设所有消费者均闯过第一关获得了基础券，推出活动后商品购买概率为，记生产商销售一件该商品的期望利润为（单位：元）．（期望利润购买概率（支付金额的期望商品成本）优惠券成本的期望） （i）求关于的函数表达式； （ii）证明：在内存在唯一极大值点，并求当为何值时，商家期望利润最大？最大期望利润是多少?（结果保留位小数） 32．(25-26高二下·浙江丽水发展共同体·期中)甲、乙、丙三个人组团参加某闯关游戏，规定闯关时每次只能派一人上场，且每人最多只能上场一次，若前一个人在规定时间内不能完成闯关，则再派下一个人继续闯关，直至有人闯关成功或三人均闯关失败则游戏结束．现已知甲、乙、丙三人各自在规定时间内能完成闯关的概率分别为，且，假定各人能否完成任务的事件相互独立． (1)若，求这三人闯关成功概率，并回答闯关成功的概率与三个人被派出的先后顺序是否有关？ (2)设游戏结束时所需要派出人员数目为，求的分布列和期望的最小值． 33．(25-26高二下·河南信阳普通高中·期中)某环保部门需要对某社区1000户家庭的饮用水进行某种有害物质的检测，假设每户家庭的水样中含有该物质的事件相互独立，且含有该物质的概率均为p（）.检测方法采用分组检测：将待检测家庭分成m个小组，每组n户，每组取每户的水样混合成一个样本进行检测.若某组混合样本检测为阴性（不含该物质），则该组所有家庭无需再检测；若某组混合样本检测为阳性（含有该物质），则需对该组内每户家庭分别单独检测一次（使用已采集的水样）. (1)已知，若某小组的混合样本检测结果为阳性，求该组内恰好有2户家庭水样中含有该物质的概率（用含p的式子表示）； (2)用Y表示每组检测次数，T表示总检测次数，求用分组检测方法所需检测次数的期望值； (3)假设检测成本由两部分组成：采样处理成本为2元/户，化验检测成本为3元/次，若，且该分组检测方法总成本的期望值比逐一检测的总成本节省了20%以上，求p的取值范围. 34．(25-26高二下·重庆渝北中学校·期中)某电商平台为促进消费推出“有奖闯关”活动.活动规则如下：消费者成功闯过第一关获得基础券（获得10元基础券的概率为0.6，获得20元基础券的概率为0.4）.闯过第一关后，可进行第二关闯关，成功闯过第二关后可获得进阶券20元，且这两种优惠券可叠加使用抵扣支付商品.已知消费者闯过第一关的概率为，闯过第二关的概率为.某生产商将商品定价100元，成本41元；优惠券成本由生产商承担基础券面额的30%，进阶券面额的50%. (1)若，，记消费者购买一件该商品的实际支付金额为（单位：元），求的分布列和数学期望； (2)设所有消费者均闯过第一关获得了基础券，推出活动后商品购买概率为，记生产商销售一件该商品的期望利润为（单位：元）（期望利润=购买概率×（支付金额的期望-商品成本）-优惠券成本的期望） （i）求关于的函数表达式； （ii）求当为何值时，商家期望利润最大？最大期望利润是多少？ 35．甲、乙两人进行知识问答比赛，比赛规则如下：每题由1人作答；若答对，则答题者得一分，并继续回答下一题；若答错，则对方得一分，并由对方回答下一题．比赛规定：先得3分者赢得比赛且比赛结束．若比赛中甲答对任一问题的概率为p，乙答对任一问题的概率为q，且每人每题是否答对相互独立．经赛前抽签，确定甲优先答题． (1)求乙在第二题得分的概率（用p，q表示）； (2)若，，求甲在四题以内赢得比赛的概率； (3)若，记比赛结束时答题数为X，求的最大值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $