专题13 概率分布在实际中的应用10大题型（期中复习专项训练）高二数学下学期人教A版

专题13 概率分布在实际中的应用 题型一 基础比赛型 题型六 利润型 题型二 复杂条件比赛型 题型七 交通型 题型三 多人比赛型 题型八 医疗、药物检验 题型四 高尔顿板 题型九 农业、生产 题型五 抽奖、商场促销类 题型十 环境保护 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 基础比赛型 1．（2026高二·陕西汉中·期末）某校举行围棋友谊赛，甲、乙两名同学进行冠亚军决赛，每局比赛甲获胜的概率是，乙获胜的概率是，规定：每一局比赛中胜方记1分，负方记0分，先得3分者获胜，比赛结束． (1)求进行3局比赛决出冠亚军的概率； (2)若甲以领先乙时，记表示比赛结束时还需要进行的局数，求的分布列及数学期望． 2．（2026·河南·模拟预测）羽毛球看似小巧，但羽毛球运动却有着丰富的文化内涵，简洁的场地､几个人的组合，就可以带来一场充满乐趣､斗智斗勇､健身休闲的竞技比赛，参与者可以根据自己的年龄､性别､身体条件､技术水平，选择适合自己的运动强度和竞技难度.小胡和小李两名员工经常利用业余时间进行羽毛球比赛，规定每一局比赛中获胜方记1分，失败方记0分，没有平局，谁先获得5分就获胜，比赛结束，假设每局比赛小胡获胜的概率都是，各局比赛的结果相互独立. (1)求比赛结束时恰好打了6局的概率； (2)若现在是小胡的比分落后，记表示结束比赛还需打的局数，求的分布列及数学期望. 3．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）哈六中举行数学竞赛，竞赛分为初赛和决赛两阶段进行.初赛采用“两轮制”方式进行，要求每个学年派出两名同学，且每名同学都要参加两轮比赛，两轮比赛都通过的同学才具备参与决赛的资格.高三学年派出甲和乙参赛.在初赛中，若甲通过第一轮与第二轮比赛的概率分别是，，乙通过第一轮与第二轮比赛的概率分别是，，且每名同学所有轮次比赛的结果互不影响. (1)若高三学年获得决赛资格的同学个数为，求的分布列和数学期望. (2)已知甲和乙都获得了决赛资格.决赛的规则如下：将问题放入两个纸箱中，箱中有3道选择题和2道填空题，箱中有3道选择题和3道填空题.决赛中要求每位参赛同学在两个纸箱中随机抽取两题作答.甲先从箱中依次抽取2道题目，答题结束后将题目一起放入箱中，然后乙再抽取题目.已知乙从箱中抽取的第一题是选择题，求甲从箱中抽出的是2道选择题的概率. 题型二 复杂条件比赛型 4．（2026·河北·模拟预测）第31届世界大学生夏季运动会将于今年在我国成都举行．某体校田径队正在积极备战，考核设有100米、400米和1500米三个项目，需要选手依次完成考核，成绩合格后的积分分别记为，和，总成绩为累计积分和．考核规定：项目考核逐级进阶，即选手只有在低一级里程项目考核合格后，才能进行下一级较高里程项目的考核，否则考核终止．对于100米和400米项目，每个项目选手必须考核2次，且全部达标才算合格；对于1500米项目，选手必须考核3次，但只要达标2次及以上就算合格．已知选手甲三个项目的达标率依次为，，，选手乙三个项目的达标率依次为，，，每次考核是否达标相互独立． (1)用表示选手甲考核积分的总成绩，求的分布列和数学期望； (2)证明：无论，和取何值，选手甲考核积分总成绩的数学期望值都大于选手乙考核积分总成绩的数学期望值． 5．（2026高三·广东广州·期中）甲、乙两队同学利用课余时间进行篮球比赛，规定每一局比赛中获胜方记为2分，失败方记为0分，没有平局.谁先获得8分就获胜，比赛结束.假设每局比赛甲队获胜的概率为. (1)求比赛结束时恰好打了6局的概率； (2)若现在是甲队以的比分领先，记表示结束比赛所需打的局数，求的分布列和数学期望. 6．（2026高三·重庆北碚·月考）甲、乙两人进行对抗比赛，每场比赛均能分出胜负．已知本次比赛的主办方提供8000元奖金并规定：①若有人先赢4场，则先赢4场者获得全部奖金同时比赛终止；②若无人先赢4场且比赛意外终止，则甲、乙便按照比赛继续进行各自赢得全部奖金的概率之比分配奖金．已知每场比赛甲赢的概率为p（0＜p＜1），乙赢的概率为1-p，且每场比赛相互独立． （1）当时，假设比赛不会意外终止，记比赛场次为随机变量Y，求Y的分布列； （2）当时，若已进行了5场比赛，其中甲赢了3场，乙赢了2场，此时比赛因意外终止，主办方决定颁发奖金，求甲获得的奖金金额； （3）规定：若随机事件发生的概率小于0.05，则称该随机事件为小概率事件，我们可以认为该事件不可能发生，否则认为该事件有可能发生．若本次比赛，且在已进行的3场比赛中甲赢2场、乙赢1场，请判断：比赛继续进行乙赢得全部奖金是否有可能发生，并说明理由． 题型三 多人比赛型 7．（2026·全国·模拟预测）某单位开展职工文体活动，其中跳棋项目比赛分为初赛和决赛，经过初赛后，甲、乙、丙三人进入决赛．决赛采用以下规则：①抽签确定先比赛的两人，另一人轮空，后面每局比赛由前一局胜者与轮空者进行，前一局负者轮空；②甲、乙进行比赛，甲每局获胜的概率为，甲、丙进行比赛，甲每局获胜的概率为，乙、丙进行比赛，乙每局获胜的概率为；③先取得两局胜者为比赛的冠军，比赛结束．假定每局比赛无平局且每局比赛互相独立．通过抽签，第一局由甲、乙进行比赛． (1)求甲获得冠军的概率． (2)记比赛结束时乙参加比赛的局数为，求的分布列和数学期望． 8．（2026·安徽马鞍山·模拟预测）某次乒乓球课上，甲、乙、丙、丁四人进行游戏，先在四人中每两人之间进行一场乒乓球比赛，每场比赛胜者积1分，负者积0分，没有平局．乒乓球比赛结束后，再进行抽奖，积分为k的人有k次抽奖机会，每人的游戏总得分为其比赛积分与中奖次数的和，总得分最高者（允许并列）获得奖励．已知每场乒乓球比赛中每人获胜的概率均为，每次抽奖每人中奖的概率均为，且各场比赛结果、每次抽奖结果互不影响． (1)求甲在乒乓球比赛中积1分的概率； (2)记甲在游戏中总得分为2的概率为，求的最小值； (3)若，记事件A为“甲在乒乓球比赛中积3分”，事件B为“甲在游戏中获得奖励”，求． 9．（2026·四川资阳·模拟预测）甲、乙、丙三人相互做传球训练，传球规则如下：每次传球时，甲等可能地将球传给乙、丙；乙传给甲、丙的概率分别为，；丙传给甲、乙的概率分别为，．第1次由甲将球传出，记第次传递后球在甲手中的概率为． (1)求，； (2)求； (3)已知：若随机变量服从两点分布，且，，则．记前次（即从第1次到第次）传递后球在甲手中的次数为，求． 10．（2026高二·安徽淮北·开学考试）乒乓球作为我国的“国球”，一直以来都深受广大人民群众的喜爱．某学校高三年级将要举办乒乓球比赛，为更好备战，甲、乙、丙三位选手练习打乒乓球，每局均分胜负，第一局甲、乙对打，丙轮空，此后每局的胜者与轮空者进行下一局对打，每局双方获胜的概率相同，每局的结果相互独立． (1)求前五局中甲恰好参与了四局的概率； (2)若至多进行12局练习，且如果有选手先获得6局胜利则提前结束练习，记总共练习局数为，求的分布列与期望． 11．（2026高二·湖北武汉·开学考试）甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，比赛规则如下：先通过抛掷两枚质地均匀的骰子的结果来决定第一局谁作为裁判，裁判外的两人比赛．一局结束后，败者作为下一局裁判，原裁判与胜者进行下一局比赛，按此规则共进行三局比赛，每局比赛结果相互独立且每局比赛无平局． (1)设事件“两个骰子点数和能被3整除”，求事件A的概率； (2)若在每一局比赛中，甲胜乙、甲胜丙的概率均为．现已决定出乙作为第一局的裁判，求甲恰好胜一局的概率． 题型四 高尔顿板 12．（2026高二·贵州·月考）高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的球槽内．球槽从左到右分别编号为．    (1)若进行一次高尔顿板试验，求这个小球掉入号球槽的概率； (2)小明同学在研究了高尔顿板后，利用该图中的高尔顿板来到社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动，元可以玩一次高尔顿板游戏，小球掉入号球槽得到的奖金为元，其中． ①求的分布列； ②高尔顿板游戏火爆进行，很多同学参加了游戏，你觉得小明同学能盈利吗？ 13．（2026高二·广东中山·期末）高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内. 如图所示的小木块中，上面7层为高尔顿板，最下面一层为改造的高尔顿板，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以的概率向左或向右滚下，依次经过7次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，2…，6的球槽内.例如小球要掉入3号球槽，则在前6次碰撞中有2次向右4次向左滚到第7层的第3个空隙处，再以的概率向右滚下，或在前6次碰撞中有3次向右3次向左滚到第7层的第4个空隙处，再以的概率向左滚下. （1）若进行一次高尔顿板试验，求小球落入第7层第6个空隙处的概率； （2）小明同学在研究了高尔顿板后，利用该图中的高尔顿板来到社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动，8元可以玩一次高尔顿板游戏，小球掉入号球槽得到的奖金为元，其中. ①求的分布列： ②高尔顿板游戏火爆进行，很多同学参加了游戏，你觉得小明同学能盈利吗？ 14．（2026高二·陕西咸阳·月考）如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.如图所示的高尔顿板有7层小木块，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以的概率向左或向右滚下，依次经过6次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，2，…，7的球槽内. (1)如图进行一次高尔顿板试验，求小球落入6号球槽的概率； (2)某商场店庆期间利用如图的高尔顿板举行有奖促销活动，顾客只要在商场购物消费每满200元就能得到一次抽奖机会，如消费180元没有抽奖机会，消费300元有一次抽奖机会，消费400元有两次抽奖机会等，一次抽奖小球掉入号球槽得到的奖金为（元），其中. ①求一次抽奖的奖金（元）的分布列及数学期望； ②已知某顾客在商场消费500元，设他所得的奖金为（元），求. 15．（2026高二·湖南·期中）如图为英国生物学家高尔顿设计的“高尔顿板”示意图，每一个黑点代表钉在板上的一颗钉子，下方有从左至右依次编号为的格子（此时钉子层数为）.当小球从板口下落时，它将碰到钉子并有的概率向左或向右滚下，继续碰至下一层钓子，依次类推落入底部格子.记小球落入格子的编号为.定义. (1)直接写出时的分布列； (2)证明：； (3)改变格子个数（钉子层数相应改变），进行次实验，第且次实验中向格子最大编号为的高尔顿板中投入个小球，记所有实验中所有小球落入的格子编号之和为.已知无交集的独立事件的期望具有累加性，设每次实验､每次投球相互独立，求关于的表达式. 16．（2026高三·江苏苏州·期末）如图是一块高尔顿板的示意图，在一块木板上钉着若干行相互平行但相互错开的圆柱型小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．当高尔顿板共有行小木钉时，第行的空隙从左到右分别编号为0，1，2，…，（），底部格子从左到右分别编号为0，1，2，…，，用表示小球最后落入格子的号码． (1)若，求小球在第3行落入编号为2的空隙的条件下，最后落入编号为5的格子的概率； (2)记的数学期望为，记． ①设数列的前项和为，求证：； ②设与最接近的整数为，求数列的前项和． 题型五 抽奖、商场促销类 17．（2026高二·辽宁·月考）某商场采用派发抵用券的方式刺激消费，设计了两个抽奖方案.方案一：客户一次性抛掷两个质地均匀的骰子，若点数之积为12，获得900元的抵用券，若点数相同，获得600元的抵用券，其他情况获得180元的抵用券.方案二：盒子中有编号为的小球各一个（除编号外其他均相同），客户从中有放回地摸球两次，若两次摸球的编号相同，获得600元的抵用券，若两次摸球的编号之和为奇数，获得元的抵用券，其他情况获得100元的抵用券. (1)若客户甲从两个方案中随机选择一个抽奖，求甲能获得不低于600元抵用券的概率； (2)客户乙选择方案二的抽奖方式，记乙获得的抵用券金额为X，若，求a的取值范围. 18．（2026高二·福建龙岩·期末）为回馈顾客，新华都购物商场拟通过摸球兑奖的方式对500位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球（球的大小、形状一模一样），球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额. （1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为40元，其余3个所标的面值均为20元，求顾客所获的奖励额的分布列及数学期望； （2）商场对奖励总额的预算是30000元，并规定袋中的4个球由标有面值为20元和40元的两种球共同组成，或标有面值为15元和45元的两种球共同组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡．请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由． 提示：袋中的4个球由标有面值为a元和b元的两种球共同组成，即袋中的4个球所标的面值“既有a元又有b元”． 19．（2026高二·宁夏银川·月考）某文创店为推广非遗手作产品，推出消费抽奖优惠活动，消费者购物每满300元可参加一次抽奖，抽奖活动规则如下：抽奖箱内放置3个红球和2个白球，每次从箱中随机抽取2个球．若抽中2个白球，返现金50元；若抽中1个红球和1个白球，返现金30元；若抽中2个红球，返现金20元． (1)顾客恰好消费了300元，设他所获得返现金额为随机变量，求的分布列与数学期望； (2)顾客B消费了1000元，按活动规则每满300元可参加一次抽奖，剩余金额不足300元不参与抽奖，记顾客B获得的返现总金额为随机变量． ①求顾客B获得返现金额为90元的概率； ②若该文创店同时推出购物享九折的优惠活动（直接减免消费总金额的10%），且两种优惠活动不能同时参加，试通过计算说明顾客B选择哪种优惠方案更划算． 20．（2026高二·浙江·期中）某商场在开业当天进行有奖促销活动，规定该商场购物金额前100名的顾客，均可获得3次抽奖机会．每次中奖的概率为，每次中奖与否相互不影响．中奖1次可获得100元奖金，中奖2次可获得300元奖金，中奖3次可获得500元奖金． (1)已知，求顾客甲获得了300元奖金的条件下，甲第一次抽奖就中奖的概率； (2)已知该商场开业促销活动的经费为2万元，问该活动是否有超过预算的可能?请说明理由． 21．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）某商场为了吸引顾客，举办抽奖活动，顾客可凭购物发票参与活动一次，规则如下：一个袋子中装有5个除颜色不同外其余均相同的小球，其中2个黑球和3个红球，顾客从袋子中有放回地随机摸两次，每次摸出一球，若两次摸到的球的颜色不同，则按方式①发放礼品，否则按方式②发放礼品． 方式①：若第一次摸到的是红球，则发放礼品A一份，否则发放礼品B一份． 方式②：若购物发票上的金额不低于100元，则发放礼品A一份，否则发放礼品B一份． (1)若有名顾客参与抽奖活动，用X表示其中按方式①发放礼品的人数，求的数学期望； (2)抽奖活动后，统计得到，发放的礼品中，礼品A与礼品B的份数的比例为，试估计参与抽奖活动的顾客中，购物发票上的金额不低于元的比例．（结果保留两位有效数字） 题型六 利润型 22．（2026高三·广东广州·月考）最新研发的某产品每次试验结果为成功或不成功，且每次试验的成功概率为．现对该产品进行独立重复试验，若试验成功，则试验结束；若试验不成功，则继续试验，且最多试验8次．记为试验结束时所进行的试验次数，的数学期望为． (1)证明：； (2)某公司意向投资该产品，若，每次试验的成本为元，若试验成功则获利元，则该公司应如何决策投资？请说明理由． 23．（2026·河南濮阳·模拟预测）某商场以分期付款方式销售某种商品，根据以往资料统计，顾客购买该商品选择分期付款的期数的分布列为： 2 3 4 0.4 其中， （Ⅰ）求购买该商品的3位顾客中，恰有2位选择分2期付款的概率； （Ⅱ）商场销售一件该商品，若顾客选择分2期付款，则商场获得利润100元，若顾客选择分3期付款，则商场获得利润150元，若顾客选择分4期付款，则商场获得利润200元.商场销售两件该商品所获的利润记为（单位：元） （ⅰ）求的分布列； （ⅱ）若，求的数学期望 的最大值. 24．（2026高三·北京·月考）某工厂有两条生产线生产同一种产品，产品需要经过质量检测.检测结果分为优质、合格和不合格三种.从两条生产线上各随机抽取120件产品，检测结果如下表. 优质 合格 不合格 甲生产线 80件 40件 0件 乙生产线 60件 30件 30件 利润标准：优质20元/件，合格5元/件，不合格元/件 假设各件产品的检测结果相互独立，用频率估计概率. (1)从甲生产线抽取的样本中随机取2件，求这2件产品均合格的概率； (2)从甲、乙两条生产线的产品中各随机抽取1件，记这2件产品的利润总和为元，估计数学期望； (3)工厂考虑对乙生产线进行技术改造，改造后，乙生产线生产的产品优质率可提高到0.7，不合格率降为0.05.但改造会导致每件产品的生产成本增加4元.记为乙生产线一件产品的利润，为改造后乙生产线一件产品的利润，试比较的数学期望的估计值与的数学期望的估计值的大小.（直接写出结论） 25．（2026·河南开封·模拟预测）某中学开展劳动教育实践活动，学生进行某种蔬菜种植实验，实验分为育苗、定植、收获三个阶段．已知每株蔬菜育苗成功的概率为，各株蔬菜苗是否成功相互独立；只有育苗成功的蔬菜才能进入定植阶段，定植后进入收获阶段的蔬菜，单株产量X（单位：kg）服从正态分布，市场上该品种蔬菜的售价为6元/kg，单株蔬菜从育苗到收获的平均种植成本为18元． (1)若对10株蔬菜进行育苗实验，记育苗成功的株数为Y，求至少有9株蔬菜苗育成功的概率与（结果用p表示）； (2)从进入收获阶段的蔬菜中随机抽取1株，估计其单株利润为正的概率． 附：若随机变量，则，，． 26．（2026高三·北京·开学考试）某工厂有两条生产线生产同一种产品，产品需要经过质量检测． 检测结果分为优质、合格和不合格三种． 从两条生产线上各随机抽取 120 件产品， 检测结果如下表． 优质 合格 不合格 甲生产线 80 件 40 件 0 件 乙生产线 60 件 30 件 30 件 假设各件产品的检测结果相互独立， 用频率估计概率． (1)从甲生产线抽取的样本中随机取 2 件，求这 2 件产品均合格的概率； (2)从甲、乙两条生产线的产品中各随机抽取 1 件，记这 2 件产品的利润总和为 元（利润标准： 优质 20 元，合格 5 元，不合格-15 元）． 求 的分布列及数学期望： (3)工厂考虑对乙生产线进行技术改造，改造后，乙生产线生产的产品优质率可提高到 0.7 ， 不合格率降为 0.05 ． 但改造需要一次性投入，会导致每件产品的生产成本增加 4 元． 试判断改造后乙生产线产品的平均利润是否比改造前有所提高． （直接写出结论） 题型七 交通型 27．（2026高二·广东梅州·期末）如图，李明从家里出发到公司有两条主干道，在主干道Ⅰ有两个易堵点，处出现堵车的概率为，且当出现堵车时，出现堵车的概率为；当不堵车时，出现堵车的概率为；主干道Ⅱ有三个易堵点，它们出现堵车的事件相互独立，且概率都是． (1)若李明从家里出发到公司选择了主干道Ⅱ行驶，求其恰遇到一次堵车的概率； (2)若李明选择了主干道Ⅰ行驶，求其遇到堵车的概率； (3)已知李明从家里出发到公司，如遇堵车，主干道Ⅰ中每个易堵点平均拥堵为4分钟，主干道Ⅱ的每个易堵点需平均拥堵为3分钟．若按照“平均拥堵时间短的路线是较优出行路线”的标准，则李明从家里出发到公司走哪一条路线较好？ 28．（2026高二·重庆·期中）小李下班后驾车回家的路线有两条．路线1经过三个红绿灯路口，每个路口遇到红灯的概率都是；路线2经过两个红绿灯路口，第一个路口遇到红灯的概率是，第二个路口遇到红灯的概率是．假设两条路线全程绿灯时的驾车回家时长相同，且每个红绿灯路口是否遇到红灯相互独立． (1)若小李下班后选择路线2驾车回家，已知小李在路上遇到了红灯的情况下，求小李在第一个路口就遇到了红灯的概率； (2)假设每遇到一个红灯驾车回家时长就会增加，为使小李下班后驾车回家时长的累计增加时间（单位：）的期望最小，则小李应选择哪条路线?请说明理由． 29．（2026高三·重庆·专题练习）小李下班后驾车回家的路线有两条．路线1经过三个红绿灯路口，每个路口遇到红灯的概率都是；路线2经过两个红绿灯路口，第一个路口遇到红灯的概率是，第二个路口遇到红灯的概率是，假设两条路线全程绿灯时的驾车回家时长相同，且每个红绿灯路口是否遇到红灯相互独立， (1)若小李下班后选择路线2驾车回家，已知小李在路上遇到了红灯的情况下，求小李在第一个路口就遇到了红灯的概率; (2)假设每遇到一个红灯驾车回家时长就会增加，求小李选择路线1驾车回家时长累计增加时间（单位：min）的期望值． 30．（2026高三·安徽亳州·开学考试）一对夫妻计划进行为期60天的自驾游．已知两人均能驾驶车辆,且约定:①在任意一天的旅途中,全天只由其中一人驾车,另一人休息;②若前一天由丈夫驾车,则下一天继续由丈夫驾车的概率为,由妻子驾车的概率为;③妻子不能连续两天驾车．已知第一天夫妻双方驾车的概率均为． (1)在刚开始的三天中,妻子驾车天数的概率分布列和数学期望; (2)设在第n天时,由丈夫驾车的概率为,求数列的通项公式． 题型八 医疗、药物检验 31．（2026·北京）为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药.一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者.    （Ⅰ）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率； （Ⅱ）从图中A，B，C，D四人中随机选出两人，记为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求的分布列和数学期望E（）； （Ⅲ）试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小.（只需写出结论） 32．（2026高三·山西·期末）通过核酸检测可以初步判定被检测者是否感染新冠病毒，检测方式分为单检和混检，单检是将一个人的采集拭子放入一个采样管中单独检测：混检是将多个人的采集拭子放入一个采样管中合为一个样本进行检测，若检测结果呈阳性，再对这多个人重新采集单管拭子，逐一进行检测，以确定当中的阳性样本．混检按一个采样管中放入的采集拭子个数可具体分为“3合1”混检，“5合1”混检，“10合1”混检等．调查研究显示，在群体总阳性率较低（低于0.1%）时，混检能较大幅度地提高检测效力、降低检测成本．根据流行病学调查结果显示，某城市每位居民感染新冠病毒的概率为．若对该城市全体居民进行一轮核酸检测，记每一组n位居民采用“n合1”（）混检方式共需检测X次． (1)求随机变量X的分布列和数学期望； (2)已知当时，．若，采用“n合1”混检时，请估计当n为何值时，这一轮核酸检测中每位居民检测的次数最少？ 33．（2026·山东菏泽·模拟预测）新冠疫情在西方国家大流行，国际卫生组织对某国家进行新型冠状病毒感染率抽样调查．在某地抽取n人，每人一份血样，共份，为快速有效地检验出感染过新型冠状病毒者，下面给出两种方案： 方案甲：逐份检验，需要检验n次； 方案乙：混合检验，把受检验者的血样分组，假设某组有份，分别从k份血样中取出一部分血液混合在一起检验，若检验结果为阴性，则说明这k个人全部为阴性，因而这k个人的血样只要检验这一次就够了；若检验结果为阳性，为了明确这k个人中究竟哪些人感染过新型冠状病毒，就要对这k个人的血样再逐份检验，因此这k个人的总检验次数就为． 假设在接受检验的人中，每个人血样检验结果是阳性还是阴性是相互独立的，且每个人血样的检验结果是阳性的概率为． (1)若，，用甲方案进行检验，求5人中恰有2人感染过新型冠状病毒的概率； (2)记为用方案乙对k个人的血样总共需要检验的次数． ①当，时，求； ②从统计学的角度分析，p在什么范围内取值，用方案乙能减少总检验次数？（参考数据：） 34．（2026·内蒙古呼和浩特·模拟预测）检验中心为筛查某种疾病，需要检验血液是否为阳性，对份血液样本，有以下两种检验方式：①逐份检验，需要检验次；②混合检验，即将其中（且）份血液样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴性，这份的血液全为阴性，因而这份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这份血液究竟哪几份为阳性，再对这份再逐份检验，此时这份血液的检验次数总共为次.假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为. （1）假设有5份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经过2次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率； （2）现取其中（且）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为点.当时，根据和的期望值大小，讨论当取何值时，采用逐份检验方式好？ （参考数据：，，，，，.） 35．（2026·吉林长春·模拟预测）某大型公司为了切实保障员工的健康安全，贯彻好卫生防疫工作的相关要求，决定在全公司范围内举行一次普查，为此需要抽验1000人的血样进行化验，由于人数较多，检疫部门制定了下列两种可供选择的方案． 方案①：将每个人的血分别化验，这时需要验1000次． 方案②：按个人一组进行随机分组，把从每组个人抽来的血混合在一起进行检验，如果每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，这个人的血只需检验一次（这时认为每个人的血化验次）；否则，若呈阳性，则需对这个人的血样再分别进行一次化验，这样，该组个人的血总共需要化验次． 假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为，且这些人之间的试验反应相互独立． （1）设方案②中，某组个人的每个人的血化验次数为，求的分布列； （2）设，试比较方案②中，分别取2，3，4时，各需化验的平均总次数；并指出在这三种分组情况下，相比方案①，化验次数最多可以平均减少多少次？（最后结果四舍五入保留整数） 题型九 农业、生产 36．（2026·山东菏泽·模拟预测）为了促进学生德､智､体､美､劳全面发展，某校成立了生物科技小组，在同一块试验田内交替种植A､B､C三种农作物（该试验田每次只能种植一种农作物），为了保持土壤肥度，每种农作物都不连续种植，共种植三次.在每次种植后会有的可能性种植的可能性种植；在每次种植的前提下再种植的概率为，种植的概率为，在每次种植的前提下再种植的概率为，种植的概率为. (1)在第一次种植的前提下，求第三次种植的概率； (2)在第一次种植的前提下，求种植作物次数的分布列及期望. 1 2 37．（2026·江西）某柑桔基地因冰雪灾害，使得果林严重受损，为此有关专家提出两种拯救果林的方案，每种方案都需分两年实施；若实施方案一，预计当年可以使柑桔产量恢复到灾前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别是0.3、0.3、0.4；第二年可以使柑桔产量为上一年产量的1.25倍、1.0倍的概率分别是0.5、0.5. 若实施方案二，预计当年可以使柑桔产量达到灾前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分别是0.2、0.3、0.5；第二年可以使柑桔产量为上一年产量的1.2倍、1.0倍的概率分别是0.4、0.6. 实施每种方案，第二年与第一年相互独立．令表示方案实施两年后柑桔产量达到灾前产量的倍数． (1)写出的分布列； (2)实施哪种方案，两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大？ (3)不管哪种方案，如果实施两年后柑桔产量达不到灾前产量，预计可带来效益10万元；两年后柑桔产量恰好达到灾前产量，预计可带来效益15万元；柑桔产量超过灾前产量，预计可带来效益20万元；问实施哪种方案所带来的平均效益更大？ 38．（2026高三·四川绵阳·月考）某公司生产一种消毒液，为测试消杀效果，测试车间用该消毒液对8个染菌不锈钢载片进行测试：第一轮测试，逐一对着8个载片进行消杀检测，若检测出不超过1个载片没有消杀效果，则该消毒液合格，测试结束；否则，10分钟后对没有产生消杀效果的载片进行第二轮测试，如果第二轮被测试的载片都产生消杀效果，则消毒液合格，否则需要对该消毒成分进行改良．假设每个染菌载片是否产生消杀效果相互独立，每次消杀检测互不影响，且每次消杀检测每一个染菌片产生效果的概率为． (1)求经过第一轮测试该消毒液即合格的概率； (2)每进行一次载片测试视为一次检测，设检测次数的数学期望为，求证：． 39．（2026高二·山东济宁·期末）某工厂的某种产品成箱包装，每一箱100件.每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取10件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品是不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立. (1)记10件产品中恰有1件不合格品的概率为，求的最大值点； (2)现对一箱产品检验了10件，结果恰有1件不合格品，以（1）中确定的作为x的值.已知每件产品的检验费用为2.5元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付20元的赔偿费用. ①若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求； ②以检验费用与赔偿费用的和的期望值为决策依据是否该对这箱余下的所有产品作检验？ 题型十 环境保护 40．（2026高三·全国·月考）垃圾分类，是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、分类投放和分类搬运，从而转变成公共资源的一系列活动的总称．分类的目的是提高垃圾的资源价值和经济价值，力争物尽其用．2019年6月25日，生活垃圾分类制度入法．到2020年底，先行先试的46个重点城市，要基本建成垃圾分类处理系统；其他地级城市实现公共机构生活垃圾分类全覆盖．某机构欲组建一个有关“垃圾分类”相关事宜的项目组，对各个地区“垃圾分类”的处理模式进行相关报道．该机构从600名员工中进行筛选，筛选方法：每位员工测试，，三项工作，3项测试中至少2项测试“不合格”的员工，将被认定为“暂定”，有且只有一项测试“不合格”的员工将再测试，两项，如果这两项中有1项以上（含1项）测试“不合格”，将也被认定为“暂定”，每位员工测试，，三项工作相互独立，每一项测试“不合格”的概率均为． （1）记某位员工被认定为“暂定”的概率为，求； （2）每位员工不需要重新测试的费用为90元，需要重新测试的总费用为150元，除测试费用外，其他费用总计为1万元，若该机构的预算为8万元，且该600名员工全部参与测试，问上述方案是否会超过预算?请说明理由． 41．（2026高一·江苏南京·期末）2025年六五环境日主题为“美丽中国我先行”，南京市某社区举办“环保我参与”有奖问答比赛活动.某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题.已知甲家庭回答这道题正确的概率是，甲、乙两个家庭都回答正确的概率是，乙、丙两个家庭至少一家回答正确的概率是.各家庭回答是否正确相互独立. (1)求乙、丙两个家庭各自回答这道题正确的概率； (2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答这道题正确的概率. 42．（2026高二·全国·课堂例题）树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，现已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某网站开展了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占80%．现从参与关注生态文明建设的调查者中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组．由调查数据得到的频率分布直方图如图所示． (1)求这200人年龄的平均数（同一组数据用该组区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点后一位）； (2)现在要从年龄较小的第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求第2组恰好抽取2人的概率； (3)若从所有参与调查的人（人数很多）中任意选出3人，设其中关注环境治理和保护问题的人数为X，求X的分布列． $专题13 概率分布在实际中的应用 题型一 基础比赛型 题型六 利润型 题型二 复杂条件比赛型 题型七 交通型 题型三 多人比赛型 题型八 医疗、药物检验 题型四 高尔顿板 题型九 农业、生产 题型五 抽奖、商场促销类 题型十 环境保护 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 基础比赛型 1．（2026高二·陕西汉中·期末）某校举行围棋友谊赛，甲、乙两名同学进行冠亚军决赛，每局比赛甲获胜的概率是，乙获胜的概率是，规定：每一局比赛中胜方记1分，负方记0分，先得3分者获胜，比赛结束． (1)求进行3局比赛决出冠亚军的概率； (2)若甲以领先乙时，记表示比赛结束时还需要进行的局数，求的分布列及数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析，数学期望为 【分析】（1）分甲乙全胜两种情况相加得结果； （2）利用分布列步骤求解并求得期望. 【详解】（1）甲3局全胜的概率为, 乙3局全胜的概率为， 进行3局比赛决出冠亚军的概率为 （2）的可能取值为1，2， ， ， 故的分布列为： 1 2 故． 2．（2026·河南·模拟预测）羽毛球看似小巧，但羽毛球运动却有着丰富的文化内涵，简洁的场地､几个人的组合，就可以带来一场充满乐趣､斗智斗勇､健身休闲的竞技比赛，参与者可以根据自己的年龄､性别､身体条件､技术水平，选择适合自己的运动强度和竞技难度.小胡和小李两名员工经常利用业余时间进行羽毛球比赛，规定每一局比赛中获胜方记1分，失败方记0分，没有平局，谁先获得5分就获胜，比赛结束，假设每局比赛小胡获胜的概率都是，各局比赛的结果相互独立. (1)求比赛结束时恰好打了6局的概率； (2)若现在是小胡的比分落后，记表示结束比赛还需打的局数，求的分布列及数学期望. 【答案】(1) (2) 2 3 4 期望 【分析】（1）先求出小李获胜的概率，再分别求出恰好打6局时小胡获胜概率和小李获胜概率相加即可； （2）列出所有取值，求解概率即可. 【详解】（1）恰好打了6局小胡获胜的概率是， 恰好打了6局小李获胜的概率为， 所以结束时恰好打了6局的概率为. （2）的所有可能取值为， 则， ， ， 所以的分布列如下： 2 3 4 所以. 3．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）哈六中举行数学竞赛，竞赛分为初赛和决赛两阶段进行.初赛采用“两轮制”方式进行，要求每个学年派出两名同学，且每名同学都要参加两轮比赛，两轮比赛都通过的同学才具备参与决赛的资格.高三学年派出甲和乙参赛.在初赛中，若甲通过第一轮与第二轮比赛的概率分别是，，乙通过第一轮与第二轮比赛的概率分别是，，且每名同学所有轮次比赛的结果互不影响. (1)若高三学年获得决赛资格的同学个数为，求的分布列和数学期望. (2)已知甲和乙都获得了决赛资格.决赛的规则如下：将问题放入两个纸箱中，箱中有3道选择题和2道填空题，箱中有3道选择题和3道填空题.决赛中要求每位参赛同学在两个纸箱中随机抽取两题作答.甲先从箱中依次抽取2道题目，答题结束后将题目一起放入箱中，然后乙再抽取题目.已知乙从箱中抽取的第一题是选择题，求甲从箱中抽出的是2道选择题的概率. 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【分析】（1）根据求分布列的步骤求出分布列，根据数学期望公式求出数学期望； （2）根据贝叶斯公式可求出结果. 【详解】（1）依题意得甲获得决赛资格的概率为，乙获得决赛资格的概率为， 的所有可能取值为， ，， ， 所以的分布列为： 0 1 2 所以. （2）记“甲从箱中抽出的是道选择题”，“乙从箱中抽取的第一题是选择题”， 则，，，，，， 所以 . 甲从箱中抽出的是2道选择题的概率为. 题型二 复杂条件比赛型 4．（2026·河北·模拟预测）第31届世界大学生夏季运动会将于今年在我国成都举行．某体校田径队正在积极备战，考核设有100米、400米和1500米三个项目，需要选手依次完成考核，成绩合格后的积分分别记为，和，总成绩为累计积分和．考核规定：项目考核逐级进阶，即选手只有在低一级里程项目考核合格后，才能进行下一级较高里程项目的考核，否则考核终止．对于100米和400米项目，每个项目选手必须考核2次，且全部达标才算合格；对于1500米项目，选手必须考核3次，但只要达标2次及以上就算合格．已知选手甲三个项目的达标率依次为，，，选手乙三个项目的达标率依次为，，，每次考核是否达标相互独立． (1)用表示选手甲考核积分的总成绩，求的分布列和数学期望； (2)证明：无论，和取何值，选手甲考核积分总成绩的数学期望值都大于选手乙考核积分总成绩的数学期望值． 【答案】(1)分布列见详解， (2)证明见详解 【分析】（1）先求甲通过每项的概率，进而根据题意求分布列和期望； （2）先求乙通过每项的概率，进而根据题意求分布列和期望，利用作差法比较大小. 【详解】（1）对于选手甲： 记“100米成绩合格”、“400米成绩合格”、“1500米成绩合格”分别为事件、、， 则， 由题意可得：的可能取值有，则有： ， ， ， 可得的分布列为： 0 所以. （2）对于选手乙： 记“100米成绩合格”、“400米成绩合格”、“1500米成绩合格”分别为事件、、， 则， 用表示选手乙考核积分的总成绩，由题意可得：的可能取值有， 则有： ， ， ， 可得的分布列为： 0 所以， 因为， 且均为正数，则，即， 所以无论，和取何值，选手甲考核积分总成绩的数学期望值都大于选手乙考核积分总成绩的数学期望值. 5．（2026高三·广东广州·期中）甲、乙两队同学利用课余时间进行篮球比赛，规定每一局比赛中获胜方记为2分，失败方记为0分，没有平局.谁先获得8分就获胜，比赛结束.假设每局比赛甲队获胜的概率为. (1)求比赛结束时恰好打了6局的概率； (2)若现在是甲队以的比分领先，记表示结束比赛所需打的局数，求的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析，数学期望为 【分析】（1）分类讨论打完六局后甲胜与乙胜两种情况，利用独立事件的概率乘法公式即可得解； （2）根据题意，分析接下去的对局数量，从而得到的可能取值，再利用独立事件的概率乘法公式求得各取值的概率，由此求得的分布列和数学期望. 【详解】（1）设恰好打了六局甲队获胜的概率为，恰好打了6局乙队获胜的概率为， 因为甲队打六局比赛获得胜利，等价于前五局甲三胜两负，第六局甲胜， 所以其概率为； 同理：乙队打六局比赛获得胜利的概率为； 所以， 所以比赛结束时恰好打了六局的概率为. （2）因为甲队以的比分领先，所以甲队目前的战绩两胜一负， 所以接下去的比赛局数最少的情况是甲队取得两胜结束比赛，局数最多的情况是接下来的前三局甲队一胜两负，必须进行第四局才能结束比赛， 所以的可能取值为2，3，4， 则， ， ， 所以随机变量X的分布列为： X 2 3 4 P 所以，即X的数学期望为. 6．（2026高三·重庆北碚·月考）甲、乙两人进行对抗比赛，每场比赛均能分出胜负．已知本次比赛的主办方提供8000元奖金并规定：①若有人先赢4场，则先赢4场者获得全部奖金同时比赛终止；②若无人先赢4场且比赛意外终止，则甲、乙便按照比赛继续进行各自赢得全部奖金的概率之比分配奖金．已知每场比赛甲赢的概率为p（0＜p＜1），乙赢的概率为1-p，且每场比赛相互独立． （1）当时，假设比赛不会意外终止，记比赛场次为随机变量Y，求Y的分布列； （2）当时，若已进行了5场比赛，其中甲赢了3场，乙赢了2场，此时比赛因意外终止，主办方决定颁发奖金，求甲获得的奖金金额； （3）规定：若随机事件发生的概率小于0.05，则称该随机事件为小概率事件，我们可以认为该事件不可能发生，否则认为该事件有可能发生．若本次比赛，且在已进行的3场比赛中甲赢2场、乙赢1场，请判断：比赛继续进行乙赢得全部奖金是否有可能发生，并说明理由． 【答案】（1）分布列见解析；（2）6000元；（3）不可能发生，理由见解析. 【分析】（1）由题意可得，的可能取值为4，5，6，7，分别求出对应的概率，即可求得分布列． （2）分别求出5场比赛甲胜3局，则继续比赛甲胜的概率和继续比赛乙胜的概率，根据二者的比值，确定奖金的占比． （3）设继续进行场比赛乙赢得全部奖金，可能取值为3，4，，，设乙赢得全部奖金为事件，则（A），设，再结合导数的单调性，即可求解． 【详解】（1）的可能取值为4，5，6，7 的分布列为 4 5 6 7 （2）5场比赛甲胜3局，则继续比赛甲胜的概率为；继续比赛乙胜的概率为， 甲获得奖金金额为（元） （3）设继续进行场比赛乙赢得全部奖金，可能取值为3，4. ; 设乙赢得全部奖金为事件，则 设，则，由 在单调递减， 认为比赛继续进行乙赢得全部奖金不可能发生. 题型三 多人比赛型 7．（2026·全国·模拟预测）某单位开展职工文体活动，其中跳棋项目比赛分为初赛和决赛，经过初赛后，甲、乙、丙三人进入决赛．决赛采用以下规则：①抽签确定先比赛的两人，另一人轮空，后面每局比赛由前一局胜者与轮空者进行，前一局负者轮空；②甲、乙进行比赛，甲每局获胜的概率为，甲、丙进行比赛，甲每局获胜的概率为，乙、丙进行比赛，乙每局获胜的概率为；③先取得两局胜者为比赛的冠军，比赛结束．假定每局比赛无平局且每局比赛互相独立．通过抽签，第一局由甲、乙进行比赛． (1)求甲获得冠军的概率． (2)记比赛结束时乙参加比赛的局数为，求的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析，． 【分析】（1）根据独立事件求概率的公式和概率的加法公式即可求出答案； （2）由题意可得到的所有可能取值，然后根据独立事件和概率的加法公式进行求概率，列出分布列以及求出期望即可 【详解】（1）设甲与乙比赛，甲获胜为事件，丙与甲比赛，甲获胜为事件，丙与乙比赛，乙获胜为事件，且相互独立， 则， 记“甲获得冠军”为事件A，则 （2）由题意知的所有可能取值为1，2，3． ， ， ． 所以的分布列为 1 2 3 P 则数学期望． 8．（2026·安徽马鞍山·模拟预测）某次乒乓球课上，甲、乙、丙、丁四人进行游戏，先在四人中每两人之间进行一场乒乓球比赛，每场比赛胜者积1分，负者积0分，没有平局．乒乓球比赛结束后，再进行抽奖，积分为k的人有k次抽奖机会，每人的游戏总得分为其比赛积分与中奖次数的和，总得分最高者（允许并列）获得奖励．已知每场乒乓球比赛中每人获胜的概率均为，每次抽奖每人中奖的概率均为，且各场比赛结果、每次抽奖结果互不影响． (1)求甲在乒乓球比赛中积1分的概率； (2)记甲在游戏中总得分为2的概率为，求的最小值； (3)若，记事件A为“甲在乒乓球比赛中积3分”，事件B为“甲在游戏中获得奖励”，求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）用独立事件概率公式求解； （2）用独立事件概率公式表示，转化为一元二次函数的最值问题； （3）使用条件概率公式与全概率公式求解. 【详解】（1）甲在乒乓球比赛中积1分，则甲与乙、丙、丁三人的3场比赛中，胜1场，负两场，故概率为； （2）甲在游戏中总得分为2，对应事件：甲在乒乓球比赛中获得1积分，抽奖1次中1次； 或甲在乒乓球比赛中获得2积分，抽奖两次中0次，故所求概率为 ； 故当时，的最小值为 （3）乒乓球比赛中在事件发生的条件下，其余三人的积分有两种情形：2，1，0或1，1，1 则A发生当且仅当甲战胜乙、丙、丁3人，故， 记事件“甲在乒乓球比赛中积3分，乙、丙、丁各得1分”为， 则，， 事件“甲在乒乓球比赛中积3分，另3人得分为2，1，0分”为， 则， 且甲要获得奖励则对应两种情况：“甲3次抽奖至少中一次”，或者“甲3次抽奖一次都未中，而得两分的人至多抽中一次”，故 由全概率公式， 所以 9．（2026·四川资阳·模拟预测）甲、乙、丙三人相互做传球训练，传球规则如下：每次传球时，甲等可能地将球传给乙、丙；乙传给甲、丙的概率分别为，；丙传给甲、乙的概率分别为，．第1次由甲将球传出，记第次传递后球在甲手中的概率为． (1)求，； (2)求； (3)已知：若随机变量服从两点分布，且，，则．记前次（即从第1次到第次）传递后球在甲手中的次数为，求． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据独立事件乘法公式和互斥事件加法公式求解，利用全概率公式求解； （2）记表示事件“经过次传球后，球在甲手中”， 设次传球后球在甲手中的概率为，分析可得，，由此可得，变形可得，可得数列是以为首项，为公比的等比数列，结合等比数列的通项公式求解即可； （3）结合第（2）问结论和题设条件，运用等比数列求和公式分组求和即可求解. 【详解】（1）第1次由甲将球传出，第次传递后球在甲手中的概率为． 所以第次传球后，球在甲手中有两种情况： 第1次甲将球传给乙，第2次乙将球传给甲，其概率为； 第1次甲将球传给丙，第2次丙将球传给甲，其概率为； 所以； 第次传球后，球在甲手中，则第次传球后，球不在甲手中， 所以. （2）记表示事件“经过次传球后，球在甲手中”， 设次传球后球在甲手中的概率为，， 若发生，即经过次传球后，球再次回到甲手中， 那么第次传球后，球一定不在甲手中，即事件一定不发生， 则有，，必有，即， 即， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即. （3）由题意次传球后球在甲手中的次数服从两点分布，且， 所以，， 由（2）得， 则. 10．（2026高二·安徽淮北·开学考试）乒乓球作为我国的“国球”，一直以来都深受广大人民群众的喜爱．某学校高三年级将要举办乒乓球比赛，为更好备战，甲、乙、丙三位选手练习打乒乓球，每局均分胜负，第一局甲、乙对打，丙轮空，此后每局的胜者与轮空者进行下一局对打，每局双方获胜的概率相同，每局的结果相互独立． (1)求前五局中甲恰好参与了四局的概率； (2)若至多进行12局练习，且如果有选手先获得6局胜利则提前结束练习，记总共练习局数为，求的分布列与期望． 【答案】(1) (2) 6 7 8 9 10 11 12 . 【分析】（1）将前五局中甲恰好参与了四局的情况列出来求解即可； （2）写出的取值并求出它所对应的概率，再列表格代入期望公式即可. 【详解】（1）记＂前五局中甲恰好参与了四局＂为事件，记某选手获胜为＂√＂，失利为＂×＂， 轮空为＂＂，则甲在前五局中恰好参与四局的情况有如下四类： （1），第五局一定参与，概率为； （2），第五局一定参与，概率为； （3），第五局一定参与，概率为； （4），第五局一定轮空，概率为； 故所求概率为． （2）为总共练习局数，则可取， 因为除第一局之外，任何选手轮空之前必为失利，获胜之后必不轮空， 即＂×◯＂在一名选手对局结果中会相邻出现（除第一局为和最后一局为＂×＂之外）. 则丙不会在第局结束之后刚好赢得6局（因为丙第一局为＂＂， 最后一局需要丙自己获胜，则前面的对局过程必会有数对的相邻＂×◯＂）， 同理甲、乙不会在第局结束之后刚好赢得6局，且前11局至多只会有1人胜满6局． 故时是以甲或乙获胜结束（甲、乙情况相同）， （甲在第8局获胜，意味着甲在此前的比赛中胜5场负1场. 因负1场必轮空1场，故甲共参赛7场。甲必须赢得第8局，因此他不能在第7局失利. 所以甲的唯一一场失利发生在第1至第6局中的某一局，共6种情况）， 同理，时是以丙获胜结束， 同理,,， 所以，故的分布列如下： 6 7 8 9 10 11 12 . 11．（2026高二·湖北武汉·开学考试）甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，比赛规则如下：先通过抛掷两枚质地均匀的骰子的结果来决定第一局谁作为裁判，裁判外的两人比赛．一局结束后，败者作为下一局裁判，原裁判与胜者进行下一局比赛，按此规则共进行三局比赛，每局比赛结果相互独立且每局比赛无平局． (1)设事件“两个骰子点数和能被3整除”，求事件A的概率； (2)若在每一局比赛中，甲胜乙、甲胜丙的概率均为．现已决定出乙作为第一局的裁判，求甲恰好胜一局的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得样本总共有36个，符合的有12个，再利用古典概率即可求解； （2）记事件为第局甲胜，，记事件为甲恰好胜一局，有如下两种情况：①第1局甲胜，第2局甲败，②第1局甲败，第3局甲胜，再结合概率的乘法公式即可求解. 【详解】（1）因为骰子的质地均匀，所以各个样本点出现的可能性相等，因此这个试验是古典概型， 样本空间：共个样本点， 事件A含有： 共12个样本点，故； （2）记事件为第i局甲胜，，由题意知，记事件B为甲恰好胜一局，有如下两种情况： ①第1局甲胜，第2局甲败，②第1局甲败，第3局甲胜， 因为每局比赛结果相互独立，所以事件与与也独立， 则， ， 因为，且事件与互斥， 所以， 所以甲恰好胜一局的概率为 题型四 高尔顿板 12．（2026高二·贵州·月考）高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的球槽内．球槽从左到右分别编号为．    (1)若进行一次高尔顿板试验，求这个小球掉入号球槽的概率； (2)小明同学在研究了高尔顿板后，利用该图中的高尔顿板来到社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动，元可以玩一次高尔顿板游戏，小球掉入号球槽得到的奖金为元，其中． ①求的分布列； ②高尔顿板游戏火爆进行，很多同学参加了游戏，你觉得小明同学能盈利吗？ 【答案】(1) (2)①答案见解析；②能盈利. 【分析】（1）由题分析掉入号球槽，需要向左次，利用独立重复试验的概率公式求解即可. （2）①利用独立重复试验的概率公式求解，列出分布列即可；②结合①，列出的分布列，求出其期望，即可得到结论. 【详解】（1）设这个球掉入号球槽为事件， 而掉入号球槽，需要向左次， 所以， 即这个小球掉入号球槽的概率为. （2）①由题知，的取值为， 所以， ， ， . 则的分布列为： ②由①知，因为， 所以的分布列为： 则. 所以小明同学能盈利. 13．（2026高二·广东中山·期末）高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内. 如图所示的小木块中，上面7层为高尔顿板，最下面一层为改造的高尔顿板，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以的概率向左或向右滚下，依次经过7次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，2…，6的球槽内.例如小球要掉入3号球槽，则在前6次碰撞中有2次向右4次向左滚到第7层的第3个空隙处，再以的概率向右滚下，或在前6次碰撞中有3次向右3次向左滚到第7层的第4个空隙处，再以的概率向左滚下. （1）若进行一次高尔顿板试验，求小球落入第7层第6个空隙处的概率； （2）小明同学在研究了高尔顿板后，利用该图中的高尔顿板来到社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动，8元可以玩一次高尔顿板游戏，小球掉入号球槽得到的奖金为元，其中. ①求的分布列： ②高尔顿板游戏火爆进行，很多同学参加了游戏，你觉得小明同学能盈利吗？ 【答案】（1）；（2）①答案见解析，②能盈利. 【分析】（1）记小球落入第7层第6个空隙处的事件为M，小球落入第7层第6个空隙处，需要在6次碰撞中有1次向左5次向右，由此能求出这个小球掉入第7层第6个空隙处的概率； （2）①记第7层从左向右的空隙编号为，的取值分别为1,2,3,4,5,6,7，则的取值分别为0,1,2,3,4,5,6，且 ，X的取值可为1，2，3，4，5，6，此能求出X的分布列； ②由①得的可能取值为0，5，10，15，进而可求出的分布列和，从而能求出小明同学能盈利. 【详解】解：(1)记小球落入第7层第6个空隙处的事件为M，小球落入第7层第6个空隙处，需要在6次碰撞中有1次向左5次向右， 则； (2)①，记第7层从左向右的空隙编号为，的取值分别为1,2,3,4,5,6,7， 则的取值分别为0,1,2,3,4,5,6，且 ，X的取值可为1，2，3，4，5，6， ， ， ， ， ， ， ∴X的分布列为 X 1 2 3 4 5 6 P ②，的可能取值为0，5，10，15， ， ， ， ， ∴. ∴小明同学能盈利. 14．（2026高二·陕西咸阳·月考）如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.如图所示的高尔顿板有7层小木块，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以的概率向左或向右滚下，依次经过6次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，2，…，7的球槽内. (1)如图进行一次高尔顿板试验，求小球落入6号球槽的概率； (2)某商场店庆期间利用如图的高尔顿板举行有奖促销活动，顾客只要在商场购物消费每满200元就能得到一次抽奖机会，如消费180元没有抽奖机会，消费300元有一次抽奖机会，消费400元有两次抽奖机会等，一次抽奖小球掉入号球槽得到的奖金为（元），其中. ①求一次抽奖的奖金（元）的分布列及数学期望； ②已知某顾客在商场消费500元，设他所得的奖金为（元），求. 【答案】(1) (2)①分布列见解析，数学期望；②. 【分析】（1）直接利用独立重复实验的概率公式求解； （2）（i）记随机变量M：小球掉入号球槽，求出M的分布列.由题意分析出的可能取值为：0，40，80，120.分别求出对应的概率，写出分布列，求出数学期望；（ii）得到某顾客所得的奖金为，即可求解. 【详解】（1）记事件A：小球落入6号球槽，需要在6次碰撞中有1次向左，5次向右. 所以； （2）①记随机变量M：小球掉入号球槽，则M的可能取值为：1，2，3，4，5，6，7. 由题意可得； ；； ； 所以M的分布列为： M 1 2 3 4 5 6 7 P 因为，所以X的可能取值为：0，10，20，30. 其中,, ,. 所以一次抽奖的奖金（元）的分布列为： X 0 10 20 30 P 所以数学期望为. ②某顾客在商场消费500元，可以抽奖2次，所以他所得的奖金为. 因为，所以. 15．（2026高二·湖南·期中）如图为英国生物学家高尔顿设计的“高尔顿板”示意图，每一个黑点代表钉在板上的一颗钉子，下方有从左至右依次编号为的格子（此时钉子层数为）.当小球从板口下落时，它将碰到钉子并有的概率向左或向右滚下，继续碰至下一层钓子，依次类推落入底部格子.记小球落入格子的编号为.定义. (1)直接写出时的分布列； (2)证明：； (3)改变格子个数（钉子层数相应改变），进行次实验，第且次实验中向格子最大编号为的高尔顿板中投入个小球，记所有实验中所有小球落入的格子编号之和为.已知无交集的独立事件的期望具有累加性，设每次实验､每次投球相互独立，求关于的表达式. 【答案】(1)分布列见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用二项分布求概率公式求出相应的概率； （2）采用倒序相加法，结合组合数性质可证； （3）根据题意得，利用（2），结合错位相减法可求解. 【详解】（1）时的分布列为： 1 2 3 （2）由题得， 倒序有，两式相加有 由于，依次类推，上式可化简为， 由组合数性质，有，故有，化简得，得证. （3）设向格子最大编号为的高尔顿板中投入的一个球落入格子的编号为， 由于无交集的独立事件的期望具有累加性，则有， 其中，由（2）有. 即， 则， 两式相减得， 化简得. 16．（2026高三·江苏苏州·期末）如图是一块高尔顿板的示意图，在一块木板上钉着若干行相互平行但相互错开的圆柱型小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．当高尔顿板共有行小木钉时，第行的空隙从左到右分别编号为0，1，2，…，（），底部格子从左到右分别编号为0，1，2，…，，用表示小球最后落入格子的号码． (1)若，求小球在第3行落入编号为2的空隙的条件下，最后落入编号为5的格子的概率； (2)记的数学期望为，记． ①设数列的前项和为，求证：； ②设与最接近的整数为，求数列的前项和． 【答案】(1) (2)①证明过程见解析；② 【分析】（1）设出事件，接下来的8次下落过程中一定有5次向左、3次向右，从而得到概率； （2）①，由二项分布得到，故，所以，作差法得到，故； ②，分为奇数和偶数，得到的通项公式，进而分奇偶，分组求和，得到. 【详解】（1）设“小球在第3行落入编号为2的空隙”为事件A，“小球最后落入编号为5的格子”为事件B， 设向右下落次数为． 因为小球在第3行落入编号为2的空隙的条件下，最后落入编号为5的格子， 所以在接下来的8次下落过程中一定有5次向左、3次向右， 所以， 小球在第3行落入编号为2的空隙的条件下，最后落入编号为5的格子的概率为； （2）①，则， 所以，所以． 因为，所以． 故数列的前项和． ②因为，所以． 当为奇数时，为整数，故，当为偶数时，为偶数，故． 所以， 当时，，所以， 由于，故， 当时，，所以， 由于，故， 所以. 【点睛】方法点睛：数列中的奇偶项问题考查方向大致有：①等差，等比数列中的奇偶项求和问题；②数列中连续两项和或积问题；③含有的问题；④通项公式分奇偶项有不同表达式问题；含三角函数问题，需要对分奇偶讨论，寻找奇数项，偶数项之间的关系，分组求和，期间可能会涉及错位相减和求和或裂项相消法求和. 题型五 抽奖、商场促销类 17．（2026高二·辽宁·月考）某商场采用派发抵用券的方式刺激消费，设计了两个抽奖方案.方案一：客户一次性抛掷两个质地均匀的骰子，若点数之积为12，获得900元的抵用券，若点数相同，获得600元的抵用券，其他情况获得180元的抵用券.方案二：盒子中有编号为的小球各一个（除编号外其他均相同），客户从中有放回地摸球两次，若两次摸球的编号相同，获得600元的抵用券，若两次摸球的编号之和为奇数，获得元的抵用券，其他情况获得100元的抵用券. (1)若客户甲从两个方案中随机选择一个抽奖，求甲能获得不低于600元抵用券的概率； (2)客户乙选择方案二的抽奖方式，记乙获得的抵用券金额为X，若，求a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）计算出每种方案能获得不低于600元抵用券的概率，即可求得答案； （2）确定X的可能取值，求出每个值对应的概率，根据，即可求得答案. 【详解】（1）若客户选择方案一，则能获得不低于600元抵用券的概率为. 若客户选择方案二，则能获得不低于600元抵用券的概率为. 故甲从两个方案中随机选择一个抽奖,能获得不低于600元抵用券的概率为. （2）由题可知，X的取值可能为100，a，600. ，，， 则. 由，解得. 又因为，所以a的取值范围为. 18．（2026高二·福建龙岩·期末）为回馈顾客，新华都购物商场拟通过摸球兑奖的方式对500位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球（球的大小、形状一模一样），球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额. （1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为40元，其余3个所标的面值均为20元，求顾客所获的奖励额的分布列及数学期望； （2）商场对奖励总额的预算是30000元，并规定袋中的4个球由标有面值为20元和40元的两种球共同组成，或标有面值为15元和45元的两种球共同组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡．请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由． 提示：袋中的4个球由标有面值为a元和b元的两种球共同组成，即袋中的4个球所标的面值“既有a元又有b元”． 【答案】（1）分布列见解析；期望为50；（2）应该选择面值设计方案“”，即标有面值元和面值元的球各两个 【分析】（1）设顾客获得的奖励额为，随机变量的可能取值为,分别求出对应概率，列出分布列并求出期望即可；（2）分析可知期望为60元，讨论两种方案：若选择“”的面值设计，只有“”的面值组合符合期望为60元，求出方差；当球标有的面值为元和元时，面值设计是“”符合期望为60元，求出方差，比较两种情况的方差，即可得出结论. 【详解】解：（1）设顾客获得的奖励额为，随机变量的可能取值为. ，， 所以的分布列如下： 所以顾客所获的奖励额的期望为 （2）根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为元. 所以可先寻找使期望为60元的可能方案： 当球标有的面值为元和元时， 若选择“”的面值设计，因为元是面值之和的最大值，所以期望不可能为； 若选择“”的面值设计，因为元是面值之和的最小值，所以期望不可能为. 因此可能的面值设计是选择“”， 设此方案中顾客所获得奖励额为，则的可能取值为. . 的分布列如下： 所以的期望为 的方差为 当球标有的面值为元和元时，同理可排除“”、“ ”的面值设计， 所以可能的面值设计是选择“”， 设此方案中顾客所获的奖励额为，则的可能取值为. . 的分布列如下： 所以的期望为 的方差为 因为 即两种方案奖励额的期望都符合要求， 但面值设计方案“”的奖励额的方差要比面值设计方案“”的方差小， 所以应该选择面值设计方案“”，即标有面值元和面值元的球各两个. 【点睛】本题考查了离散型随机变量的分布列，考查了期望与方差的应用，考查了学生的计算能力，属于中档题. 19．（2026高二·宁夏银川·月考）某文创店为推广非遗手作产品，推出消费抽奖优惠活动，消费者购物每满300元可参加一次抽奖，抽奖活动规则如下：抽奖箱内放置3个红球和2个白球，每次从箱中随机抽取2个球．若抽中2个白球，返现金50元；若抽中1个红球和1个白球，返现金30元；若抽中2个红球，返现金20元． (1)顾客恰好消费了300元，设他所获得返现金额为随机变量，求的分布列与数学期望； (2)顾客B消费了1000元，按活动规则每满300元可参加一次抽奖，剩余金额不足300元不参与抽奖，记顾客B获得的返现总金额为随机变量． ①求顾客B获得返现金额为90元的概率； ②若该文创店同时推出购物享九折的优惠活动（直接减免消费总金额的10%），且两种优惠活动不能同时参加，试通过计算说明顾客B选择哪种优惠方案更划算． 【答案】(1) 20 30 50 数学期望为29 (2)①；②选打折 【分析】（1）先求出随机变量的所有取值，再求出其概率，从而可求出分布列，再根据期望公式求期望即可； （2）①顾客B抽奖三次，获得90元返现的情况有两种：三次返现均为30元，或者一次返现50元、两次返现20元，计算这两种情况的概率之和即可； ②对于打折和抽奖，分别算出每种情况的优惠，然后对比即可. 【详解】（1）由题知，随机变量的可能取值为. 则，. 分布列如下： 20 30 50 . （2）①根据题意得消费1000元可以抽3次，返现金额为90元. 获得90元返现的情况有两种：三次抽奖的返现金额均为30元；或其中一次返现50元、两次返现20元. 因此 ②九折省100元，抽奖期望，选打折. 20．（2026高二·浙江·期中）某商场在开业当天进行有奖促销活动，规定该商场购物金额前100名的顾客，均可获得3次抽奖机会．每次中奖的概率为，每次中奖与否相互不影响．中奖1次可获得100元奖金，中奖2次可获得300元奖金，中奖3次可获得500元奖金． (1)已知，求顾客甲获得了300元奖金的条件下，甲第一次抽奖就中奖的概率； (2)已知该商场开业促销活动的经费为2万元，问该活动是否有超过预算的可能?请说明理由． 【答案】(1) (2)有超过预算的可能 【分析】（1）设顾客甲获得了300元奖金的事件为A，甲第一次抽奖就中奖的事件为B，求出、，根据条件概率的公式，即可求得答案；（2）设一名顾客获得的奖金为元，写出的所有可能取值，求出对应概率，进而可求出. 【详解】（1）设甲获得了300元奖金的事件为A，甲第一次抽奖就中奖的事件为B， 则， ， 故； （2）设一名顾客获得的奖金为元，则的取值可能为， 则，， ，， 令 ， 因为在上单调递增， 所以，所以在上单调递增， 所以， 此时，故该活动有超过预算的可能． 21．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）某商场为了吸引顾客，举办抽奖活动，顾客可凭购物发票参与活动一次，规则如下：一个袋子中装有5个除颜色不同外其余均相同的小球，其中2个黑球和3个红球，顾客从袋子中有放回地随机摸两次，每次摸出一球，若两次摸到的球的颜色不同，则按方式①发放礼品，否则按方式②发放礼品． 方式①：若第一次摸到的是红球，则发放礼品A一份，否则发放礼品B一份． 方式②：若购物发票上的金额不低于100元，则发放礼品A一份，否则发放礼品B一份． (1)若有名顾客参与抽奖活动，用X表示其中按方式①发放礼品的人数，求的数学期望； (2)抽奖活动后，统计得到，发放的礼品中，礼品A与礼品B的份数的比例为，试估计参与抽奖活动的顾客中，购物发票上的金额不低于元的比例．（结果保留两位有效数字） 【答案】(1)24 (2)0.18 【分析】（1）先算出两次摸到的球的颜色不同的概率，再根据二项分布期望公式求解； （2）运用全概率公式列方程求解. 【详解】（1）每次摸到黑球的概率，摸到红球的概率， 每名顾客两次摸到的球的颜色不同的概率． 由题意知，这名顾客中按方式①发放礼品的人数， 所以的数学期望． （2）记事件“按方式①发放礼品”，事件“按方式②发放礼品”，事件“发放礼品A一份”． 由（1）知，， ． 由全概率公式得， 所以，解得． 故估计参与抽奖活动的顾客中，购物发票上的金额不低于100元的比例为18%． 题型六 利润型 22．（2026高三·广东广州·月考）最新研发的某产品每次试验结果为成功或不成功，且每次试验的成功概率为．现对该产品进行独立重复试验，若试验成功，则试验结束；若试验不成功，则继续试验，且最多试验8次．记为试验结束时所进行的试验次数，的数学期望为． (1)证明：； (2)某公司意向投资该产品，若，每次试验的成本为元，若试验成功则获利元，则该公司应如何决策投资？请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)应该投资，理由见解析 【分析】（1）由题意，，，列出分布列，列出，乘公比错位相减法求和，分析可证明； （2）由（1）可得，分析即得解 【详解】（1）由题意， 故 分布列如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 所以的数学期望， 记， ， 作差可得，， 则； （2）由（1）可知，则试验成本的期望小于元， 试验成功则获利元，且，则该公司应该投资该产品 23．（2026·河南濮阳·模拟预测）某商场以分期付款方式销售某种商品，根据以往资料统计，顾客购买该商品选择分期付款的期数的分布列为： 2 3 4 0.4 其中， （Ⅰ）求购买该商品的3位顾客中，恰有2位选择分2期付款的概率； （Ⅱ）商场销售一件该商品，若顾客选择分2期付款，则商场获得利润100元，若顾客选择分3期付款，则商场获得利润150元，若顾客选择分4期付款，则商场获得利润200元.商场销售两件该商品所获的利润记为（单位：元） （ⅰ）求的分布列； （ⅱ）若，求的数学期望 的最大值. 【答案】（Ⅰ）0.288（Ⅱ）（ⅰ）见解析（ⅱ）数学期望的最大值为280 【解析】（Ⅰ）根据题意，设购买该商品的3位顾客中，选择分2期付款的人数为，由独立重复事件的特点得出，利用二项分布的概率公式，即可求出结果； （Ⅱ）（ⅰ）依题意，的取值为200，250，300，350，400，根据离散型分布求出概率和的分布列；（ⅱ）由题意知，，解得，根据的分布列，得出的数学期望，结合，即可算出的最大值. 【详解】解：（Ⅰ）设购买该商品的3位顾客中，选择分2期付款的人数为，则， 则， 故购买该商品的3位顾客中，恰有2位选择分2期付款的概率为0.288. （Ⅱ）（ⅰ）依题意，的取值为200，250，300，350，400， ，， ，， 的分布列为： 200 250 300 350 400 0.16 （ⅱ）， 由题意知，，， ， ，又，即，解得， ， ， 当时，的最大值为280， 所以的数学期望的最大值为280. 【点睛】本题考查独立重复事件和二项分布的应用，以及离散型分布列和数学期望，考查计算能力. 24．（2026高三·北京·月考）某工厂有两条生产线生产同一种产品，产品需要经过质量检测.检测结果分为优质、合格和不合格三种.从两条生产线上各随机抽取120件产品，检测结果如下表. 优质 合格 不合格 甲生产线 80件 40件 0件 乙生产线 60件 30件 30件 利润标准：优质20元/件，合格5元/件，不合格元/件 假设各件产品的检测结果相互独立，用频率估计概率. (1)从甲生产线抽取的样本中随机取2件，求这2件产品均合格的概率； (2)从甲、乙两条生产线的产品中各随机抽取1件，记这2件产品的利润总和为元，估计数学期望； (3)工厂考虑对乙生产线进行技术改造，改造后，乙生产线生产的产品优质率可提高到0.7，不合格率降为0.05.但改造会导致每件产品的生产成本增加4元.记为乙生产线一件产品的利润，为改造后乙生产线一件产品的利润，试比较的数学期望的估计值与的数学期望的估计值的大小.（直接写出结论） 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【分析】（1）由古典概型的概率公式求解即可； （2）由题意可得，求出对应的概率，列出分布列，根据期望公式求解即可； （3）求出改造前后与，即可得结论． 【详解】（1）设事件：“从甲生产线抽取的样本中随机取 2 件，这 2 件产品均合格”， 则所求概率 ； （2）， 用频率估计概率，甲生产线取到优质品概率为 ，乙生产线取到优质品概率， ， ， 分布列 40 25 10 5 -10 ； （3）改造前平均利润 ， 改造后平均利润 ， ． 25．（2026·河南开封·模拟预测）某中学开展劳动教育实践活动，学生进行某种蔬菜种植实验，实验分为育苗、定植、收获三个阶段．已知每株蔬菜育苗成功的概率为，各株蔬菜苗是否成功相互独立；只有育苗成功的蔬菜才能进入定植阶段，定植后进入收获阶段的蔬菜，单株产量X（单位：kg）服从正态分布，市场上该品种蔬菜的售价为6元/kg，单株蔬菜从育苗到收获的平均种植成本为18元． (1)若对10株蔬菜进行育苗实验，记育苗成功的株数为Y，求至少有9株蔬菜苗育成功的概率与（结果用p表示）； (2)从进入收获阶段的蔬菜中随机抽取1株，估计其单株利润为正的概率． 附：若随机变量，则，，． 【答案】(1)概率为，； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用二项分布的概率公式列式求出概率，再利用二项分布的期望公式求出期望. （2）利用正态分布的对称性求出单株利润为正的概率. 【详解】（1）依题意，，则， ， 所以至少有9株蔬菜苗育成功的概率，. （2）由单株产量X（单位：kg）服从正态分布，得， 单株利润为，由单株利润为正，得，解得， 依题意，， 则， 所以单株利润为正的概率约为. 26．（2026高三·北京·开学考试）某工厂有两条生产线生产同一种产品，产品需要经过质量检测． 检测结果分为优质、合格和不合格三种． 从两条生产线上各随机抽取 120 件产品， 检测结果如下表． 优质 合格 不合格 甲生产线 80 件 40 件 0 件 乙生产线 60 件 30 件 30 件 假设各件产品的检测结果相互独立， 用频率估计概率． (1)从甲生产线抽取的样本中随机取 2 件，求这 2 件产品均合格的概率； (2)从甲、乙两条生产线的产品中各随机抽取 1 件，记这 2 件产品的利润总和为 元（利润标准： 优质 20 元，合格 5 元，不合格-15 元）． 求 的分布列及数学期望： (3)工厂考虑对乙生产线进行技术改造，改造后，乙生产线生产的产品优质率可提高到 0.7 ， 不合格率降为 0.05 ． 但改造需要一次性投入，会导致每件产品的生产成本增加 4 元． 试判断改造后乙生产线产品的平均利润是否比改造前有所提高． （直接写出结论） 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)改造后乙生产线产品的平均利润比改造前提高 【分析】（1）由古典概型的概率公式求解即可； （2）由题意可得，求出对应的概率，列出分布列，根据期望公式求解即可； （3）求出改造前后平均利润，即可得结论. 【详解】（1）设事件 ：“从甲生产线抽取的样本中随机取 2 件，这 2 件产品均合格”，则所求概率 ． （2） ． 用频率估计概率，甲生产线取到优质品概率为 ，乙生产线取到优质品概率 ． ， 分布列 40 25 10 5 -10 （3）改造后乙生产线产品的平均利润比改造前提高． 改造前平均利润 ． 改造后平均利润 ． ， 所以改造后乙生产线产品的平均利润比改造前提高． 题型七 交通型 27．（2026高二·广东梅州·期末）如图，李明从家里出发到公司有两条主干道，在主干道Ⅰ有两个易堵点，处出现堵车的概率为，且当出现堵车时，出现堵车的概率为；当不堵车时，出现堵车的概率为；主干道Ⅱ有三个易堵点，它们出现堵车的事件相互独立，且概率都是． (1)若李明从家里出发到公司选择了主干道Ⅱ行驶，求其恰遇到一次堵车的概率； (2)若李明选择了主干道Ⅰ行驶，求其遇到堵车的概率； (3)已知李明从家里出发到公司，如遇堵车，主干道Ⅰ中每个易堵点平均拥堵为4分钟，主干道Ⅱ的每个易堵点需平均拥堵为3分钟．若按照“平均拥堵时间短的路线是较优出行路线”的标准，则李明从家里出发到公司走哪一条路线较好？ 【答案】(1) (2) (3)选择了主干道Ⅱ行驶较好 【分析】（1）设堵车次数为，分析可知，结合二项分布分析求解； （2）设相应事件，结合条件概率分析求解即可； （3）根据（1）（2）中的结论，分别求平均堵车时间，对比分析即可. 【详解】（1）若李明选择了主干道Ⅱ行驶，设堵车次数为， 由题意可知：， 所以其恰遇到一次堵车的概率. （2）若李明选择了主干道Ⅰ行驶，设堵车的事件分别为， 可知， 则， 可得，， ，， 所以其遇到堵车的概率. （3）若李明选择了主干道Ⅱ行驶，由（1）可知：， 所以平均拥堵时间为分钟； 若李明选择了主干道Ⅰ行驶，记堵车次数为， 由（2）可得： ，，， 则， 所以平均拥堵时间为分钟； 因为，所以选择了主干道Ⅱ行驶较好. 28．（2026高二·重庆·期中）小李下班后驾车回家的路线有两条．路线1经过三个红绿灯路口，每个路口遇到红灯的概率都是；路线2经过两个红绿灯路口，第一个路口遇到红灯的概率是，第二个路口遇到红灯的概率是．假设两条路线全程绿灯时的驾车回家时长相同，且每个红绿灯路口是否遇到红灯相互独立． (1)若小李下班后选择路线2驾车回家，已知小李在路上遇到了红灯的情况下，求小李在第一个路口就遇到了红灯的概率； (2)假设每遇到一个红灯驾车回家时长就会增加，为使小李下班后驾车回家时长的累计增加时间（单位：）的期望最小，则小李应选择哪条路线?请说明理由． 【答案】(1) (2)小李应选择路线1，理由见解析. 【分析】（1）记小李在路上遇到红灯为事件，小李在第一个路口遇到红灯为事件，由题意可得，进而由条件概率公式可求结果； （2）分别求得条路线的情况下的数学期望，设路线累计增加时间的随机变量为，则，可求期望，路线累计增加时间的随机变量为，则的所有可能取值为，进而求得，，进而求得期望，比较可得答案. 【详解】（1）记小李在路上遇到红灯为事件，小李在第一个路口遇到红灯为事件， ，则， 则小李在路上遇到了红灯的情况下，小李在第一个路口就遇到了红灯的概率为； （2）设路线累计增加时间的随机变量为，则，所以， 设路线第个路口遇到红灯为事件，则， 设路线累计增加时间的随机变量为，则的所有可能取值为， 则， ，所以． 因为，所以为使小李下班后驾车回家时长的累计增加时间的期望最小， 小李应选择路线． 29．（2026高三·重庆·专题练习）小李下班后驾车回家的路线有两条．路线1经过三个红绿灯路口，每个路口遇到红灯的概率都是；路线2经过两个红绿灯路口，第一个路口遇到红灯的概率是，第二个路口遇到红灯的概率是，假设两条路线全程绿灯时的驾车回家时长相同，且每个红绿灯路口是否遇到红灯相互独立， (1)若小李下班后选择路线2驾车回家，已知小李在路上遇到了红灯的情况下，求小李在第一个路口就遇到了红灯的概率; (2)假设每遇到一个红灯驾车回家时长就会增加，求小李选择路线1驾车回家时长累计增加时间（单位：min）的期望值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）记小李在路上遇到红灯为事件，小李在第一个路口遇到红灯为事件，由题意可得，，进而由条件概率公式可求结果； （2）设路线1遇到红灯的次数为随机变量，增加时长为随机变量，则，利用二项分布的数学期望公式计算即可求解. 【详解】（1）记小李在路上遇到红灯为事件，小李在第一个路口遇到红灯为事件， 则，, 则， 小李在路上遇到了红灯的情况下，小李在第一个路口就遇到了红灯的概率为； （2）设路线1遇到红灯的次数为随机变量，增加时长为随机变量， 则，，所以，所以. 30．（2026高三·安徽亳州·开学考试）一对夫妻计划进行为期60天的自驾游．已知两人均能驾驶车辆,且约定:①在任意一天的旅途中,全天只由其中一人驾车,另一人休息;②若前一天由丈夫驾车,则下一天继续由丈夫驾车的概率为,由妻子驾车的概率为;③妻子不能连续两天驾车．已知第一天夫妻双方驾车的概率均为． (1)在刚开始的三天中,妻子驾车天数的概率分布列和数学期望; (2)设在第n天时,由丈夫驾车的概率为,求数列的通项公式． 【答案】(1)分布列见解析; (2), 【分析】(1)设妻子驾车天数为,写出的可能取值,根据题意求出相对应的概率,列出分布列,根据期望公式求出结果即可; (2)由于丈夫驾车的概率与前一天驾车的对象有关系,不妨假设第天,丈夫驾车的概率为,则妻子驾车的概率为,得到关于的递推关系式,构造等比数列,求出等比数列通项公式即可求得通项公式. 【详解】（1）解:设妻子驾车天数为,则的可能取值为:, 由题意可知:, , , 所以的分布列如下表所示: 0 1 2 所以; （2）假设第天,丈夫驾车的概率为,则妻子驾车的概率为, 此时第n天时,由丈夫驾车的概率为, 即,则有, 所以,因为, 所以是以为首项,为公比的等比数列, 即,故. 题型八 医疗、药物检验 31．（2026·北京）为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药.一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者.    （Ⅰ）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率； （Ⅱ）从图中A，B，C，D四人中随机选出两人，记为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求的分布列和数学期望E（）； （Ⅲ）试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小.（只需写出结论） 【答案】（1）0.3（2）见解析（3）服药者指标数据的方差大于未服药者指标数据的方差. 【详解】（Ⅰ）由图知，在服药的50名患者中，指标的值小于60的有15人， 所以从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标的值小于60的概率为. （Ⅱ）由图知，A,B,C,D四人中，指标的值大于1.7的有2人：A和C. 所以的所有可能取值为0,1,2. . 所以的分布列为 0 1 2 故的期望. （Ⅲ）在这100名患者中，服药者指标数据的方差大于未服药者指标数据的方差. 【名师点睛】求分布列的三种方法： （1）由统计数据得到离散型随机变量的分布列； （2）由古典概型求出离散型随机变量的分布列； （3）由互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率及n次独立重复试验有k次发生的概率求离散型随机变量的分布列． 32．（2026高三·山西·期末）通过核酸检测可以初步判定被检测者是否感染新冠病毒，检测方式分为单检和混检，单检是将一个人的采集拭子放入一个采样管中单独检测：混检是将多个人的采集拭子放入一个采样管中合为一个样本进行检测，若检测结果呈阳性，再对这多个人重新采集单管拭子，逐一进行检测，以确定当中的阳性样本．混检按一个采样管中放入的采集拭子个数可具体分为“3合1”混检，“5合1”混检，“10合1”混检等．调查研究显示，在群体总阳性率较低（低于0.1%）时，混检能较大幅度地提高检测效力、降低检测成本．根据流行病学调查结果显示，某城市每位居民感染新冠病毒的概率为．若对该城市全体居民进行一轮核酸检测，记每一组n位居民采用“n合1”（）混检方式共需检测X次． (1)求随机变量X的分布列和数学期望； (2)已知当时，．若，采用“n合1”混检时，请估计当n为何值时，这一轮核酸检测中每位居民检测的次数最少？ 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【分析】(1)根据题干条件分情况和求概率,写出分布列计算数学期望即可; (2)由(1)的数学期望得出每位居民检测的次数,再应用基本不等式求出核酸检测中每位居民检测的最少次数,取等条件可求n. 【详解】（1）X的取值为1和， ， ， 随机变量X的分布列为： X 1 P 可得； （2）由（1）可知每位居民检测的次数约为， 又由， 当且仅当，即时等号成立． 故当时，采用“100合1”，这一轮核酸检测中每位居民检测的次数最少． 33．（2026·山东菏泽·模拟预测）新冠疫情在西方国家大流行，国际卫生组织对某国家进行新型冠状病毒感染率抽样调查．在某地抽取n人，每人一份血样，共份，为快速有效地检验出感染过新型冠状病毒者，下面给出两种方案： 方案甲：逐份检验，需要检验n次； 方案乙：混合检验，把受检验者的血样分组，假设某组有份，分别从k份血样中取出一部分血液混合在一起检验，若检验结果为阴性，则说明这k个人全部为阴性，因而这k个人的血样只要检验这一次就够了；若检验结果为阳性，为了明确这k个人中究竟哪些人感染过新型冠状病毒，就要对这k个人的血样再逐份检验，因此这k个人的总检验次数就为． 假设在接受检验的人中，每个人血样检验结果是阳性还是阴性是相互独立的，且每个人血样的检验结果是阳性的概率为． (1)若，，用甲方案进行检验，求5人中恰有2人感染过新型冠状病毒的概率； (2)记为用方案乙对k个人的血样总共需要检验的次数． ①当，时，求； ②从统计学的角度分析，p在什么范围内取值，用方案乙能减少总检验次数？（参考数据：） 【答案】(1) (2)①② 【分析】（1）利用每个人的血样检验结果的独立性解题. （2）分别计算出总检验次数为1与时的概率，即可列出分布列，进而求得；如果用方案乙能减少总检验次数，则，化简后即可求解. 【详解】（1）对5个人的血样进行检验，且每个人的血样是相互独立的，设事件A为“5个人的血样中恰有2个人的检验结果为阳性”，则 （2）①当，时，5个人的血样分别取样再混合检验，结果为阴性的概率为，总共需要检验的次数为1次；结果为阳性的概率为，总共需要检验的次数为6次；所以的分布列为： 1 6 P 所以 ． ②当采用混合检验的方案时， 根据题意，要使混合检验的总次数减少，则必须满足， 即，化简得， 所以当P满足，用混合检验的方案能减少检验次数． 34．（2026·内蒙古呼和浩特·模拟预测）检验中心为筛查某种疾病，需要检验血液是否为阳性，对份血液样本，有以下两种检验方式：①逐份检验，需要检验次；②混合检验，即将其中（且）份血液样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴性，这份的血液全为阴性，因而这份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这份血液究竟哪几份为阳性，再对这份再逐份检验，此时这份血液的检验次数总共为次.假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为. （1）假设有5份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经过2次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率； （2）现取其中（且）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为点.当时，根据和的期望值大小，讨论当取何值时，采用逐份检验方式好？ （参考数据：，，，，，.） 【答案】（1）（2）的取值大于等于9时采用逐份检验方式好. 【解析】（1）记恰好经过2次检验就能把阳性样本全部检验出来为事件，利用古典概型的概率计算公式，即可得答案； （2）易得，的取值为1，，利用对立事件可求得，进而得到，所以，两边取对数利用导数，可得不等式的解. 【详解】（1）记恰好经过2次检验就能把阳性样本全部检验出来为事件， 则. （2）易得，的取值为1，， 计算，， 所以， 又，， 令，即. 设，，， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减. 且，， 所以的取值大于等于9时采用逐份检验方式好. 【点睛】本题考查古典概型概率计算、对立事件、离散型随机变量的方差、导数的运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，对阅读能力要求较高. 35．（2026·吉林长春·模拟预测）某大型公司为了切实保障员工的健康安全，贯彻好卫生防疫工作的相关要求，决定在全公司范围内举行一次普查，为此需要抽验1000人的血样进行化验，由于人数较多，检疫部门制定了下列两种可供选择的方案． 方案①：将每个人的血分别化验，这时需要验1000次． 方案②：按个人一组进行随机分组，把从每组个人抽来的血混合在一起进行检验，如果每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，这个人的血只需检验一次（这时认为每个人的血化验次）；否则，若呈阳性，则需对这个人的血样再分别进行一次化验，这样，该组个人的血总共需要化验次． 假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为，且这些人之间的试验反应相互独立． （1）设方案②中，某组个人的每个人的血化验次数为，求的分布列； （2）设，试比较方案②中，分别取2，3，4时，各需化验的平均总次数；并指出在这三种分组情况下，相比方案①，化验次数最多可以平均减少多少次？（最后结果四舍五入保留整数） 【答案】（1）详解见解析；（2）690，604，594；406. 【分析】（1）设每个人的血呈阴性反应的概率为，依题意知的可能取值，计算分布列即可； （2）方案②中计算每个人的平均化验次数，分别求出、3、4时的值，再与方案①比较，即可得出所求． 【详解】解：（1）由题可知，每个人的血样化验呈阳性的概率为， 设每个人的血呈阴性反应的概率为，则， 所以个人的混合后呈阴性的概率为，呈阳性反应的概率为， 依题意知的可能取值为，， 所以的分布列为； （2）方案②中，结合（1）知每个人的平均化验次数为： ； 所以当时，， 此时1000人需要化验的总次数为690次； 当时，， 此时1000人需要化验的总次数为604次； 当时，， 此时1000人需要化验的总次数为594次； 即时化验次数最多，时化验次数居中，时化验次数最少， 而采用方案①需要化验1000次， 所以在这三种分组情况下，相比方案①， 时化验次数最多可以平均减少（次． 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的计算问题，考查运算求解能力，是中档题． 题型九 农业、生产 36．（2026·山东菏泽·模拟预测）为了促进学生德､智､体､美､劳全面发展，某校成立了生物科技小组，在同一块试验田内交替种植A､B､C三种农作物（该试验田每次只能种植一种农作物），为了保持土壤肥度，每种农作物都不连续种植，共种植三次.在每次种植后会有的可能性种植的可能性种植；在每次种植的前提下再种植的概率为，种植的概率为，在每次种植的前提下再种植的概率为，种植的概率为. (1)在第一次种植的前提下，求第三次种植的概率； (2)在第一次种植的前提下，求种植作物次数的分布列及期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）设，，表示第次种植作物，，的事件，其中，2，3，由全概率公式可得，代入即可得出答案. （2）求出的可能取值及每个变量对应的概率，即可求出的分布列，再由期望公式求出的期望. 【详解】（1）设，，表示第次种植作物，，的事件，其中，2，3. 在第一次种植的情况下，第三次种植的概率为： ； （2）由已知条件，在第1次种植的前提下：，，， ，，， 因为第一次必种植，则随机变量的可能取值为1，2，- ， ， 所以的分布列为： 1 2 . 37．（2026·江西）某柑桔基地因冰雪灾害，使得果林严重受损，为此有关专家提出两种拯救果林的方案，每种方案都需分两年实施；若实施方案一，预计当年可以使柑桔产量恢复到灾前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别是0.3、0.3、0.4；第二年可以使柑桔产量为上一年产量的1.25倍、1.0倍的概率分别是0.5、0.5. 若实施方案二，预计当年可以使柑桔产量达到灾前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分别是0.2、0.3、0.5；第二年可以使柑桔产量为上一年产量的1.2倍、1.0倍的概率分别是0.4、0.6. 实施每种方案，第二年与第一年相互独立．令表示方案实施两年后柑桔产量达到灾前产量的倍数． (1)写出的分布列； (2)实施哪种方案，两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大？ (3)不管哪种方案，如果实施两年后柑桔产量达不到灾前产量，预计可带来效益10万元；两年后柑桔产量恰好达到灾前产量，预计可带来效益15万元；柑桔产量超过灾前产量，预计可带来效益20万元；问实施哪种方案所带来的平均效益更大？ 【答案】(1)具体见解析； (2)方案二两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大； (3)方案一所带来的平均效益更大． 【分析】（1）根据题意得出的所有可能取值，进而列出分布列即可； （2）根据题意分别算出两种方案两年后柑橘产量超过灾前产量的概率，进而比较大小； （3）根据题意算出两种方案收益的期望，进而比较大小即可得到答案. 【详解】（1）的所有取值为，的所有取值为. 、的分布列分别为： 0.8 0.9 1.0 1.125 1.25 P 0.2 0.15 0.35 0.15 0.15 0.8 0.96 1.0 1.2 1.44 P 0.3 0.2 0.18 0.24 0.08 （2）令A、B分别表示方案一、方案二两年后柑桔产量超过灾前产量这一事件， ，， 可见，方案二两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大． （3）令表示方案所带来的效益，则 10 15 20 P 0.35 0.35 0.3 10 15 20 P 0.5 0.18 0.32 所以，可见，方案一所带来的平均效益更大． 38．（2026高三·四川绵阳·月考）某公司生产一种消毒液，为测试消杀效果，测试车间用该消毒液对8个染菌不锈钢载片进行测试：第一轮测试，逐一对着8个载片进行消杀检测，若检测出不超过1个载片没有消杀效果，则该消毒液合格，测试结束；否则，10分钟后对没有产生消杀效果的载片进行第二轮测试，如果第二轮被测试的载片都产生消杀效果，则消毒液合格，否则需要对该消毒成分进行改良．假设每个染菌载片是否产生消杀效果相互独立，每次消杀检测互不影响，且每次消杀检测每一个染菌片产生效果的概率为． (1)求经过第一轮测试该消毒液即合格的概率； (2)每进行一次载片测试视为一次检测，设检测次数的数学期望为，求证：． 【答案】(1) (2)见解析. 【分析】（1）由题意可得经过第一轮测试该消毒液即合格有两种情况：8个载片均有效果，或7个载片均有效果.利用二项分布的概率计算公式即可得出结论. （2）第一轮测试，逐一对这8个载片进行消杀检测，共检测8次，第一轮未产生效果的有个载片.因此第二轮检测的次数为，进而证明结论. 【详解】（1）由题意可得经过第一轮测试该消毒液即合格有两种情况： 8个载片均有效果，或7个载片均有效果. 所以经过第一轮测试该消毒液即合格的概率为： . （2）证明：第一轮测试，逐一对这8个载片进行消杀检测， 共检测8次，则， 因为每次消杀检测每一个染菌片产生效果的概率为， 所以第一轮未产生效果的有个载片. 因此第二轮检测的次数为， 所以，即为最多次数. 所以. 39．（2026高二·山东济宁·期末）某工厂的某种产品成箱包装，每一箱100件.每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取10件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品是不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立. (1)记10件产品中恰有1件不合格品的概率为，求的最大值点； (2)现对一箱产品检验了10件，结果恰有1件不合格品，以（1）中确定的作为x的值.已知每件产品的检验费用为2.5元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付20元的赔偿费用. ①若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求； ②以检验费用与赔偿费用的和的期望值为决策依据是否该对这箱余下的所有产品作检验？ 【答案】(1) (2)①；②不应该 【分析】（1）依题意可得，求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的极小值点. （2）①令表示余下的件产品中的不合格品件数，则，，根据二项分布的期望公式及期望的性质计算可得；②由①的期望判断即可. 【详解】（1）解：因为10件产品中恰有1件不合格品的概率为 所以 令，解得. 当时，；当时，. 所以在上单调递增；在上单调递减. 所以的最大值点为. （2）解：由（1）知，. ①令表示余下的件产品中的不合格品件数，依题意知：， 所以，且，即. 所以. ②如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为250元. 由于，故不应该对该箱余下的产品作检验. 题型十 环境保护 40．（2026高三·全国·月考）垃圾分类，是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、分类投放和分类搬运，从而转变成公共资源的一系列活动的总称．分类的目的是提高垃圾的资源价值和经济价值，力争物尽其用．2019年6月25日，生活垃圾分类制度入法．到2020年底，先行先试的46个重点城市，要基本建成垃圾分类处理系统；其他地级城市实现公共机构生活垃圾分类全覆盖．某机构欲组建一个有关“垃圾分类”相关事宜的项目组，对各个地区“垃圾分类”的处理模式进行相关报道．该机构从600名员工中进行筛选，筛选方法：每位员工测试，，三项工作，3项测试中至少2项测试“不合格”的员工，将被认定为“暂定”，有且只有一项测试“不合格”的员工将再测试，两项，如果这两项中有1项以上（含1项）测试“不合格”，将也被认定为“暂定”，每位员工测试，，三项工作相互独立，每一项测试“不合格”的概率均为． （1）记某位员工被认定为“暂定”的概率为，求； （2）每位员工不需要重新测试的费用为90元，需要重新测试的总费用为150元，除测试费用外，其他费用总计为1万元，若该机构的预算为8万元，且该600名员工全部参与测试，问上述方案是否会超过预算?请说明理由． 【答案】（1）；（2）不会超过预算. 【解析】（1）利用互斥事件的概率加法计算公式和n次独立重复实验的概率计算公式进行求解即可； （2）设每位员工测试的费用为元，则可能的取值为，利用n次独立重复实验的概率计算公式和离散型随机变量的数学期望公式求出数学期望的表达式，通过构造函数，利用导数判断函数的单调性求最值即可. 【详解】（1）由题意知，每位员工首轮测试被认定为“暂定”的概率为， 每位员工再次测试被认定为“暂定”的概率为， 综上可知，每位员工被认定为“暂定”的概率为 + ， （2）设每位员工测试的费用为元，则可能的取值为， 由题意知，，， 所以随机变量的数学期望为 （元），， 令，则 ， 所以当时，；当时，； 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，即(元)， 所以此方案的最高费用为（万元）， 综上可知，若以此方案实施不会超过预算. 【点睛】本题考查互斥事件的概率加法公式、n次独立重复实验的概率计算公式、离散型随机变量的数学期望公式和利用导数判断函数的单调性求最值；考查运算求解能力和转化与化归能力；通过构造函数，利用导数求最值是求解本题的关键；属于综合型、难度大型试题. 41．（2026高一·江苏南京·期末）2025年六五环境日主题为“美丽中国我先行”，南京市某社区举办“环保我参与”有奖问答比赛活动.某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题.已知甲家庭回答这道题正确的概率是，甲、乙两个家庭都回答正确的概率是，乙、丙两个家庭至少一家回答正确的概率是.各家庭回答是否正确相互独立. (1)求乙、丙两个家庭各自回答这道题正确的概率； (2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答这道题正确的概率. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用相互独立事件概率乘法公式来进行计算即可； （2）利用间接法来求三个家庭只有1个家庭或0个家庭回答正确的概率,即可求对立事件概率. 【详解】（1）记“甲家庭回答正确这道题”“乙家庭回答正确这道题”“丙家庭回答正确这道题”分别为事件， 由甲家庭回答这道题正确的概率是，甲、乙两个家庭都回答正确的概率是， 则， 解得， 由乙、丙两个家庭至少一家回答正确的概率是， 则 即. 所以乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率为和. （2）有0个家庭回答正确的概率， 有1个家庭回答正确的概率为 所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率. 42．（2026高二·全国·课堂例题）树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，现已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某网站开展了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占80%．现从参与关注生态文明建设的调查者中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组．由调查数据得到的频率分布直方图如图所示． (1)求这200人年龄的平均数（同一组数据用该组区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点后一位）； (2)现在要从年龄较小的第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求第2组恰好抽取2人的概率； (3)若从所有参与调查的人（人数很多）中任意选出3人，设其中关注环境治理和保护问题的人数为X，求X的分布列． 【答案】(1)平均数为岁，中位数岁 (2) (3)答案见解析 【分析】（1）先由各组的频率和为，求出的值，再利用平均数的公式可求平均数，由于前组的频率和小于，前3组的频率和大于，从而列方程可求出中位数， （2）利用分层抽样的定义求出第、组抽取的人数，从而可求得概率， （3）由题意得从所有参与调查的人中任意选出人，关注环境治理和保护问题的概率为，的所有可能取值为、、、，求出相应的概率，从而可求得的分布列即可. 【详解】（1）由，解得， 则平均数为岁. 因为，，所以中位数在第组， 设中位数为，则，解得岁． （2）由题意得从第、组抽取的人数分别为、． 设第组中恰好抽取人的事件为，则． （3）从所有参与调查的人中任意选出人， 关注环境治理和保护问题的概率为， 的所有可能取值为、、、， 可得，， ，， 所以的分布列为： $