第10章 分式 单元测试-2025-2026学年苏科版八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】

**基本信息** 本卷为初中数学分式单元复习卷，总分100分，通过选择、填空、解答题梯度设计，覆盖分式概念、运算、方程及应用，融合文化传承与生活情境，考查抽象能力、运算能力及模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/16|分式概念、性质、最简公分母|基础辨识，如分式定义判断| |填空题|10/20|分式有意义条件、约分、增根|规律探究（第14题）、新定义运算（第17题）| |解答题|9/64|分式化简求值、方程应用、综合探究|文化情境（24题生肖纪念币）、生活应用（26题什锦糖价格）、新定义综合（27题关联分式）|

第10章 分式 单元测试 总分：100分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分. 1．下列式子是分式的是（    ） A． B． C． D． 2．若，下列等式变形错误的是（   ） A． B． C． D． 3．，，的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 4．若将分式中的x，y都扩大10倍，则分式的值（   ） A．扩大为原来的10倍 B．缩小为原来的 C．缩小为原来的 D．不改变 5．方程，去分母正确的是（   ） A． B． C． D． 6．为防止水土流失，某村计划在荒坡上种1200棵树．由于志愿者支援，每天种植的棵树是原计划的2倍，结果提前10天完成任务．设原计划每天种植x棵树，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 7．对于非零的两个实数a，b，规定，若，则x的值为（   ） A． B． C． D． 8．关于 x 的分式方程的解为正数，则a 的取值范围是（     ） A．且 B．且 C．且 D．且 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 9．使代数式有意义的x的取值范围是______． 10．约分：________． 11．方程的解是______． 12．若，则_____． 13．完成一项工程，甲单独完成比乙单独完成少用3天，两人合作4天后，还剩下工程的未完成．设甲单独完成需要x天，则根据题意列出的方程是________． 14．观察下列一组数：，，，，……根据该组数的排列规律，可推断出第12个数是_____． 15．如果关于的方程有增根，那么增根是_____． 16．若，则=__________． 17．对于任意正有理数a，规定，例如：，，……，利用以上规律计算：___________． 18．若关于的不等式组至少有两个正整数解，且关于的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的值之和为___________． 三、解答题：本题共9小题，共64分. 19．（6分）化简： (1)； (2)． 20．（6分）解分式方程： (1)； (2)． 21．（6分）先化简，再求值：，其中 22．（7分）某商家预测某种水果能够畅销，就用6000元购进了一批这种水果，上市后销售非常好，商家又用14000元购进第二批这种水果，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每千克进价多了5元．该商家第一批购进这种水果多少千克？ 23．（7分）阅读理解： ，求的值． 解：因为，所以． 又因为，所以． 所以，即，所以． 请运用以上解题方法，解答下列问题： 已知，求下列各式的值： (1)； (2)． 24．（8分）生肖文化是中华传统文化的重要组成部分，承载着吉祥祈福、辞旧迎新的美好寓意．某文创商家为传承和弘扬生肖文化，计划购进甲、乙两种生肖主题纪念币进行销售，已知每枚乙种纪念币的进价是每枚甲种纪念币的进价的1.5倍，用300元购进甲种纪念币的数量比用540元购进乙种纪念币的数量少2枚． (1)求每枚甲、乙两种纪念币的进价各为多少元？ (2)商家发现销售效果较好，在甲、乙两种纪念币的进价保持不变的前提下，再次购进甲、乙两种纪念币共200枚，且购进的总费用不超过8250元，则该商家最少购进多少枚甲种纪念币？ 25．（8分）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式：________． (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并加以证明． 26．（8分）根据信息，完成下列活动任务： 素材：商店通常用以下方法来确定两种糖混合而成的什锦糖的价格：设种糖的单价为元千克，种糖的单价为元千克，则千克种糖和千克种糖混合而成的什锦糖的单价为元千克（平均价）． (1)任务若，，求千克种糖和千克种糖混合而成的什锦糖的单价； (2)任务：在任务的前提下，商店要使什锦糖的价格降低元，则需加入哪一种糖，多少千克？ (3)任务：现有甲、乙两种什锦糖，均由、两种糖混合而成．其中甲种什锦糖由相同质量的，两种糖混合而成，乙种什锦糖由相同总价的，两种糖混合而成，请比较甲、乙两种什锦糖的单价． 27．（8分）阅读：如果两个分式A与B的和为常数k，且k为正整数，则称A与B互为“关联分式”，常数k称为“关联值”．如分式，，，则A与B互为“关联分式”，“关联值”． (1)若分式，，判断A与B是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”k． (2)已知分式，，C与D互为“关联分式”，且“关联值”，当x为正整数，且分式D的值也为正整数时，求出所有符合条件的x的值． (3)已知分式，，P与Q互为“关联分式”，且“关联值”，若满足以上关系的关于x的方程无解，求实数m的值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10章 分式 单元测试 总分：100分（参考答案） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分. 1 2 3 4 5 6 7 8 C B B D C B A B 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 9. 10. m 11. 12. / 13. 14. 15. 16.7 17.4051 18. 14 三、解答题：本题共9小题，共64分. 19．（6分） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先确定最简公分母，再通分根据同分母分式相加减法则计算； （2）先根据分式的加减法法则计算括号内的，再根据分式的乘除法计算． 【详解】（1）解：原式；（3分） （2）解：原式．（6分） 20．（6分） 【答案】(1) (2) 无解 【分析】（1）去分母，将分式方程转化为整式方程，求解后进行检验，即可； （2）去分母，将分式方程转化为整式方程，求解后进行检验，即可. 【详解】（1）解：， 去分母，得， 解得； 检验，当时，， 故是原方程的解；（3分） （2）解：， 去分母，得， 解得； 当时，， ∴是原方程的增根，舍去； ∴原方程无解.（6分） 21．（6分） 【答案】， 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将代入计算即可． 【详解】， ， ， ， ，（3分） 将代入原式，得．（6分） 22．（7分） 【答案】 200千克 【分析】设该商家第一批购进这种水果千克，则第二批购进这种水果千克，根据第二批每千克进价比第一批的进价多了5元，列出方程进行求解即可. 【详解】解：设该商家第一批购进这种水果千克，则第二批购进这种水果千克， 根据题意，得， 解得， 经检验：是原方程的解，且符合题意； 答：该商家第一批购进这种水果200千克.（7分） 23．（7分） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知等式得到，根据完全平方公式计算，得到答案； （2）根据完全平方公式、平方根的概念计算即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ∴，即， ；（3分） （2）解：， ，即， ．（7分） 24．（8分） 【答案】(1)每枚甲种纪念币的进价为30元，每枚乙种纪念币的进价为45元 (2)该商家最少购进50枚甲种纪念币 【分析】（1）设每枚甲种纪念币的进价为元，每枚乙种纪念币的进价为元．根据用300元购进甲种纪念币的数量比用540元购进乙种纪念币的数量少2枚列出分式方程求解即可得出答案． （2）设商家购进甲种纪念币枚，则购进乙种纪念币枚．根据购进甲、乙两种纪念币共200枚，且购进的总费用不超过8250元列出不等式求解即可得出答案． 【详解】（1）解：设每枚甲种纪念币的进价为元，每枚乙种纪念币的进价为元． 根据题意得 解得： 经检验是原方程的根， ∴ 答：每枚甲种纪念币的进价为30元，每枚乙种纪念币的进价为45元．（4分） （2）解：设商家购进甲种纪念币枚，则购进乙种纪念币枚． 根据题意得 解得： ∴该商家最少购进50枚甲种纪念币．（8分） 25．（8分） 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）直接根据前5个等式，类比第六个等式即可； （2）根据（1）可猜想第n个等式，然后运用分式的混合运算法则运算即可证明． 【详解】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； 第6个等式：.（4分） （2）解：利用（1）可类比出：第n个等式为，证明如下： ．（8分） 26．（8分） 【答案】(1)混合什锦糖的单价为元千克； (2)需加入A种糖，加入千克； (3)当时，甲种什锦糖的单价较高；当时，甲、乙两种什锦糖单价相等． 【分析】（）直接代入题目给出的什锦糖单价公式计算即可； （）分加入种糖、加入种糖两种情况，根据降价要求列分式方程，舍去不合题意的解后得到结论； （）分别表示出甲、乙两种什锦糖的单价，用初中作差法比较大小得到结论． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴代入得（元千克）， 答：千克种糖和千克种糖混合而成的什锦糖的单价为元千克；（2分） （2）解：设加入千克种糖， 根据题意得， 整理得， 解得， 经检验，是原方程的解，符合题意； 若加入千克种糖， 根据题意得， 整理得， 解得， 经检验，是原方程的解，但质量不能为负，不符合题意，舍去， 答：需加入种糖，加入千克；（5分） （3）解：设甲种什锦糖中两种糖的质量都为千克（），则甲的单价为，设乙种什锦糖中两种糖的总价都为元（），则的质量为千克，的质量为千克，乙的单价为， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴当时，，即，甲种什锦糖单价较高； 当时，，即，两种什锦糖单价相等．（8分） 27．（8分） 【答案】(1)A与B互为“关联分式”，关联值 (2)1 (3)或 【分析】（1）根据“关联分式”定义，计算出，进而即可判断； （2）由与互为“关联分式”、，得，求出，将代入，进而即可求解； （3）由与互为“关联分式”、，列方程化简得．方程无解分两类：整式方程无解或增根，分情况求解即可． 【详解】（1）解：A与B互为“关联分式”，关联值，理由如下： 由题意得， ， ∵2是正整数，符合“关联分式”的定义， ∴关联值；（2分） （2）解：∵与互为“关联分式”，关联值， ∴ 解得； 当时， ， ∵为正整数，且为正整数， ∴当时，解得； 当时，解得（舍去）， ∴的值为；（5分） （3）解：∵与互为“关联分式”，关联值， ∴ 解得， ∵关于的方程无解， ∴当时，即，此时方程变为，无实数解，符合要求； ∵原分式方程的增根为（使分母为0）， ∴将代入整式方程： 解得； 此时整式方程的解是增根，原分式方程无解，符合要求． 综上，实数的值为或．（8分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10章 分式 单元测试 总分：100分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分. 1．下列式子是分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的定义进行判断即可． 【详解】解： 、中分母为，是常数，不含字母，是整式，不是分式，不符合题意； 、中分母为，是常数，不是字母，是整式，不是分式，不符合题意； 、中分母为，是含有字母的整式，符合分式的定义，是分式，符合题意； 、是整式，不属于分式，不符合题意． 2．若，下列等式变形错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等式的基本性质．根据等式的基本性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、的两边同时加2，得成立，故本选项正确，不符合题意； B、由变形为，需要在的条件下才能成立，题中未说明m的取值，故该变形错误，符合题意； C、的两边乘m，得，成立，故本选项正确，不符合题意； D、的两边减b，得，成立，故本选项正确，不符合题意； 故选：B． 3．，，的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了最简公分母，根据求最简公分母的方法，先确定各分母系数的最小公倍数，再确定各字母因式的最高次幂，两者的积即为最简公分母． 【详解】解：，，的最简公分母是． 故选：B． 4．若将分式中的x，y都扩大10倍，则分式的值（   ） A．扩大为原来的10倍 B．缩小为原来的 C．缩小为原来的 D．不改变 【答案】D 【分析】根据分式的基本性质计算后即可判断． 【详解】解：∵ ，都扩大10倍后，新分式的分子为，分母为， ∴ 新分式为， ∴ 分式的值不改变． 5．方程，去分母正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， 去分母得：． 6．为防止水土流失，某村计划在荒坡上种1200棵树．由于志愿者支援，每天种植的棵树是原计划的2倍，结果提前10天完成任务．设原计划每天种植x棵树，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据总棵数和每天种植棵数分别求出原计划完成天数与实际完成天数，再利用“实际比原计划提前10天完成”的等量关系列方程即可． 【详解】∵原计划每天种植x棵树，总种植棵数为1200棵， ∴原计划完成任务的天数为， ∵实际每天种植的棵数是原计划的2倍， ∴实际每天种植棵，实际完成任务的天数为， ∵实际比原计划提前10天完成任务，即原计划天数比实际天数多10， ∴列方程得， 因此正确选项为B． 7．对于非零的两个实数a，b，规定，若，则x的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题目给出的新运算规则列出分式方程，解分式方程即可得到x的值． 【详解】解：∵规定非零实数a，b满足， ∴， 由题意得， 移项得， 两边同乘最简公分母，得， 展开得， 移项合并得， 解得， 检验：当时，，所以是原方程的解． 8．关于 x 的分式方程的解为正数，则a 的取值范围是（     ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】先解分式方程得到x关于a的表达式，再根据“解为正数”和“分式分母不为零”两个条件列不等式，求解得到a的取值范围． 【详解】解： 方程两边同乘得：， 移项、合并同类项得：， 方程的解为正数，且分式分母不能为0， ，即， ， 解得：且． 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 9．使代数式有意义的x的取值范围是______． 【答案】 【详解】解：根据分式有意义的条件，分母不为零，可得， 解得：． 10．约分：________． 【答案】m 【分析】先找出该分式分子与分母的公因式，再根据分式的基本性质约去公因式，即可得到结果． 【详解】解： ． 11．方程的解是______． 【答案】 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解． 12．若，则_____． 【答案】/ 【分析】先根据题意求出，然后整体代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即 ∴． 13．完成一项工程，甲单独完成比乙单独完成少用3天，两人合作4天后，还剩下工程的未完成．设甲单独完成需要x天，则根据题意列出的方程是________． 【答案】 【分析】先根据甲单独完成需要的天数得到乙单独完成需要的天数，再根据两人合作4天完成的工作量等于总工作量减去未完成的工作量，找出等量关系列出方程即可． 【详解】解：由题意得，甲单独完成需要天，甲单独完成比乙少用天，则乙单独完成需要天， 甲的工作效率为，乙的工作效率为． 根据等量关系可列方程为． 14．观察下列一组数：，，，，……根据该组数的排列规律，可推断出第12个数是_____． 【答案】 【分析】由分子1、2、3、4、5、…，即可得出第n个数的分子为n；分母为3、5、7、9、11、…，即可得出第n个数的分母为，据此即可解答． 【详解】解：∵分子1、2、3、4、5、…， ∴第n个数的分子为n， ∵3、5、7、9、11、…， ∴第n个数的分母为， ∴第n个数是． ∴第12个数是． 15．如果关于的方程有增根，那么增根是_____． 【答案】 【分析】先确定最简公分母为，增根是使分式方程的最简公分母为的未知数的值，即，解得． 【详解】解：方程两边都乘， 得， ∵原方程有增根， ∴最简公分母， 解得． 16．若，则=__________． 【答案】7 【分析】利用完全平方公式将已知条件平方，通过展开并化简求解． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴． 17．对于任意正有理数a，规定，例如：，，……，利用以上规律计算：___________． 【答案】4051 【分析】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的数字得到；根据已知的规定，分别计算出，，，，，的结果，总结出其规律为，再求所求的式子的值即可． 【详解】解：∵， ∴，，，，，，，， ∴，，，， ∴ 18．若关于的不等式组至少有两个正整数解，且关于的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的值之和为___________． 【答案】14 【分析】先解不等式组并结合解的情况确定出a的取值范围，再解分式方程，结合解为正整数的条件筛选出a的值，最后求和即可． 【详解】解：， 解不等式①得： 解不等式②得：， ∵关于x的不等式组至少有两个正整数解 ∴不等式组的解集为． ∵不等式组的解集至少有两个正整数解，则解集需包含至少两个整数． ∴，解得：． 分式方程化简为：，解得． 要求解为正整数且，则为大于等于2的整数，即a为大于等于6的偶数． ∵， ∴或8， ∴所有满足条件的整数a之和为． 三、解答题：本题共9小题，共64分. 19．（6分）化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先确定最简公分母，再通分根据同分母分式相加减法则计算； （2）先根据分式的加减法法则计算括号内的，再根据分式的乘除法计算． 【详解】（1）解：原式；（3分） （2）解：原式．（6分） 20．（6分）解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 无解 【分析】（1）去分母，将分式方程转化为整式方程，求解后进行检验，即可； （2）去分母，将分式方程转化为整式方程，求解后进行检验，即可. 【详解】（1）解：， 去分母，得， 解得； 检验，当时，， 故是原方程的解；（3分） （2）解：， 去分母，得， 解得； 当时，， ∴是原方程的增根，舍去； ∴原方程无解.（6分） 21．（6分）先化简，再求值：，其中 【答案】， 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将代入计算即可． 【详解】， ， ， ， ，（3分） 将代入原式，得．（6分） 22．（7分）某商家预测某种水果能够畅销，就用6000元购进了一批这种水果，上市后销售非常好，商家又用14000元购进第二批这种水果，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每千克进价多了5元．该商家第一批购进这种水果多少千克？ 【答案】 200千克 【分析】设该商家第一批购进这种水果千克，则第二批购进这种水果千克，根据第二批每千克进价比第一批的进价多了5元，列出方程进行求解即可. 【详解】解：设该商家第一批购进这种水果千克，则第二批购进这种水果千克， 根据题意，得， 解得， 经检验：是原方程的解，且符合题意； 答：该商家第一批购进这种水果200千克.（7分） 23．（7分）阅读理解： ，求的值． 解：因为，所以． 又因为，所以． 所以，即，所以． 请运用以上解题方法，解答下列问题： 已知，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知等式得到，根据完全平方公式计算，得到答案； （2）根据完全平方公式、平方根的概念计算即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ∴，即， ；（3分） （2）解：， ，即， ．（7分） 24．（8分）生肖文化是中华传统文化的重要组成部分，承载着吉祥祈福、辞旧迎新的美好寓意．某文创商家为传承和弘扬生肖文化，计划购进甲、乙两种生肖主题纪念币进行销售，已知每枚乙种纪念币的进价是每枚甲种纪念币的进价的1.5倍，用300元购进甲种纪念币的数量比用540元购进乙种纪念币的数量少2枚． (1)求每枚甲、乙两种纪念币的进价各为多少元？ (2)商家发现销售效果较好，在甲、乙两种纪念币的进价保持不变的前提下，再次购进甲、乙两种纪念币共200枚，且购进的总费用不超过8250元，则该商家最少购进多少枚甲种纪念币？ 【答案】(1)每枚甲种纪念币的进价为30元，每枚乙种纪念币的进价为45元 (2)该商家最少购进50枚甲种纪念币 【分析】（1）设每枚甲种纪念币的进价为元，每枚乙种纪念币的进价为元．根据用300元购进甲种纪念币的数量比用540元购进乙种纪念币的数量少2枚列出分式方程求解即可得出答案． （2）设商家购进甲种纪念币枚，则购进乙种纪念币枚．根据购进甲、乙两种纪念币共200枚，且购进的总费用不超过8250元列出不等式求解即可得出答案． 【详解】（1）解：设每枚甲种纪念币的进价为元，每枚乙种纪念币的进价为元． 根据题意得 解得： 经检验是原方程的根， ∴ 答：每枚甲种纪念币的进价为30元，每枚乙种纪念币的进价为45元．（4分） （2）解：设商家购进甲种纪念币枚，则购进乙种纪念币枚． 根据题意得 解得： ∴该商家最少购进50枚甲种纪念币．（8分） 25．（8分）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式：________． (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并加以证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）直接根据前5个等式，类比第六个等式即可； （2）根据（1）可猜想第n个等式，然后运用分式的混合运算法则运算即可证明． 【详解】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； 第6个等式：.（4分） （2）解：利用（1）可类比出：第n个等式为，证明如下： ．（8分） 26．（8分）根据信息，完成下列活动任务： 素材：商店通常用以下方法来确定两种糖混合而成的什锦糖的价格：设种糖的单价为元千克，种糖的单价为元千克，则千克种糖和千克种糖混合而成的什锦糖的单价为元千克（平均价）． (1)任务若，，求千克种糖和千克种糖混合而成的什锦糖的单价； (2)任务：在任务的前提下，商店要使什锦糖的价格降低元，则需加入哪一种糖，多少千克？ (3)任务：现有甲、乙两种什锦糖，均由、两种糖混合而成．其中甲种什锦糖由相同质量的，两种糖混合而成，乙种什锦糖由相同总价的，两种糖混合而成，请比较甲、乙两种什锦糖的单价． 【答案】(1)混合什锦糖的单价为元千克； (2)需加入A种糖，加入千克； (3)当时，甲种什锦糖的单价较高；当时，甲、乙两种什锦糖单价相等． 【分析】（）直接代入题目给出的什锦糖单价公式计算即可； （）分加入种糖、加入种糖两种情况，根据降价要求列分式方程，舍去不合题意的解后得到结论； （）分别表示出甲、乙两种什锦糖的单价，用初中作差法比较大小得到结论． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴代入得（元千克）， 答：千克种糖和千克种糖混合而成的什锦糖的单价为元千克；（2分） （2）解：设加入千克种糖， 根据题意得， 整理得， 解得， 经检验，是原方程的解，符合题意； 若加入千克种糖， 根据题意得， 整理得， 解得， 经检验，是原方程的解，但质量不能为负，不符合题意，舍去， 答：需加入种糖，加入千克；（5分） （3）解：设甲种什锦糖中两种糖的质量都为千克（），则甲的单价为，设乙种什锦糖中两种糖的总价都为元（），则的质量为千克，的质量为千克，乙的单价为， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴当时，，即，甲种什锦糖单价较高； 当时，，即，两种什锦糖单价相等．（8分） 27．（8分）阅读：如果两个分式A与B的和为常数k，且k为正整数，则称A与B互为“关联分式”，常数k称为“关联值”．如分式，，，则A与B互为“关联分式”，“关联值”． (1)若分式，，判断A与B是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”k． (2)已知分式，，C与D互为“关联分式”，且“关联值”，当x为正整数，且分式D的值也为正整数时，求出所有符合条件的x的值． (3)已知分式，，P与Q互为“关联分式”，且“关联值”，若满足以上关系的关于x的方程无解，求实数m的值． 【答案】(1)A与B互为“关联分式”，关联值 (2)1 (3)或 【分析】（1）根据“关联分式”定义，计算出，进而即可判断； （2）由与互为“关联分式”、，得，求出，将代入，进而即可求解； （3）由与互为“关联分式”、，列方程化简得．方程无解分两类：整式方程无解或增根，分情况求解即可． 【详解】（1）解：A与B互为“关联分式”，关联值，理由如下： 由题意得， ， ∵2是正整数，符合“关联分式”的定义， ∴关联值；（2分） （2）解：∵与互为“关联分式”，关联值， ∴ 解得； 当时， ， ∵为正整数，且为正整数， ∴当时，解得； 当时，解得（舍去）， ∴的值为；（5分） （3）解：∵与互为“关联分式”，关联值， ∴ 解得， ∵关于的方程无解， ∴当时，即，此时方程变为，无实数解，符合要求； ∵原分式方程的增根为（使分母为0）， ∴将代入整式方程： 解得； 此时整式方程的解是增根，原分式方程无解，符合要求． 综上，实数的值为或．（8分） 2 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 第10章 分式 单元测试 总分：100分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分. 1．下列式子是分式的是（    ） A． B． C． D． 2．若，下列等式变形错误的是（   ） A． B． C． D． 3．，，的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 4．若将分式中的x，y都扩大10倍，则分式的值（   ） A．扩大为原来的10倍 B．缩小为原来的 C．缩小为原来的 D．不改变 5．方程，去分母正确的是（   ） A． B． C． D． 6．为防止水土流失，某村计划在荒坡上种1200棵树．由于志愿者支援，每天种植的棵树是原计划的2倍，结果提前10天完成任务．设原计划每天种植x棵树，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 7．对于非零的两个实数a，b，规定，若，则x的值为（   ） A． B． C． D． 8．关于 x 的分式方程的解为正数，则a 的取值范围是（     ） A．且 B．且 C．且 D．且 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 9．使代数式有意义的x的取值范围是______． 10．约分：________． 11．方程的解是______． 12．若，则_____． 13．完成一项工程，甲单独完成比乙单独完成少用3天，两人合作4天后，还剩下工程的未完成．设甲单独完成需要x天，则根据题意列出的方程是________． 14．观察下列一组数：，，，，……根据该组数的排列规律，可推断出第12个数是_____． 15．如果关于的方程有增根，那么增根是_____． 16．若，则=__________． 17．对于任意正有理数a，规定，例如：，，……，利用以上规律计算：___________． 18．若关于的不等式组至少有两个正整数解，且关于的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的值之和为___________． 三、解答题：本题共9小题，共64分. 19．（6分）化简： (1)； (2)． 20．（6分）解分式方程： (1)； (2)． 21．（6分）先化简，再求值：，其中 22．（7分）某商家预测某种水果能够畅销，就用6000元购进了一批这种水果，上市后销售非常好，商家又用14000元购进第二批这种水果，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每千克进价多了5元．该商家第一批购进这种水果多少千克？ 23．（7分）阅读理解： ，求的值． 解：因为，所以． 又因为，所以． 所以，即，所以． 请运用以上解题方法，解答下列问题： 已知，求下列各式的值： (1)； (2)． 24．（8分）生肖文化是中华传统文化的重要组成部分，承载着吉祥祈福、辞旧迎新的美好寓意．某文创商家为传承和弘扬生肖文化，计划购进甲、乙两种生肖主题纪念币进行销售，已知每枚乙种纪念币的进价是每枚甲种纪念币的进价的1.5倍，用300元购进甲种纪念币的数量比用540元购进乙种纪念币的数量少2枚． (1)求每枚甲、乙两种纪念币的进价各为多少元？ (2)商家发现销售效果较好，在甲、乙两种纪念币的进价保持不变的前提下，再次购进甲、乙两种纪念币共200枚，且购进的总费用不超过8250元，则该商家最少购进多少枚甲种纪念币？ 25．（8分）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式：________． (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并加以证明． 26．（8分）根据信息，完成下列活动任务： 素材：商店通常用以下方法来确定两种糖混合而成的什锦糖的价格：设种糖的单价为元千克，种糖的单价为元千克，则千克种糖和千克种糖混合而成的什锦糖的单价为元千克（平均价）． (1)任务若，，求千克种糖和千克种糖混合而成的什锦糖的单价； (2)任务：在任务的前提下，商店要使什锦糖的价格降低元，则需加入哪一种糖，多少千克？ (3)任务：现有甲、乙两种什锦糖，均由、两种糖混合而成．其中甲种什锦糖由相同质量的，两种糖混合而成，乙种什锦糖由相同总价的，两种糖混合而成，请比较甲、乙两种什锦糖的单价． 27．（8分）阅读：如果两个分式A与B的和为常数k，且k为正整数，则称A与B互为“关联分式”，常数k称为“关联值”．如分式，，，则A与B互为“关联分式”，“关联值”． (1)若分式，，判断A与B是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”k． (2)已知分式，，C与D互为“关联分式”，且“关联值”，当x为正整数，且分式D的值也为正整数时，求出所有符合条件的x的值． (3)已知分式，，P与Q互为“关联分式”，且“关联值”，若满足以上关系的关于x的方程无解，求实数m的值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $