第10章 分式题型过关专练 -2025-2026学年苏科版八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】

**基本信息** 以“概念-运算-应用-拓展”为逻辑主线，分层覆盖分式全章核心考点，通过基础到优质的题型梯度培养抽象能力与模型意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|6类18题|聚焦分式定义、有意义条件等概念辨析|从整式到分式的概念延伸，构建分式基本性质认知| |基本运算|3类21题|涵盖约分通分、加减乘除等运算训练|以分式性质为基础，形成运算技能体系| |实际应用|2类9题|包含行程、工程等问题的建模求解|体现数学语言表达现实世界的应用意识| |拓展提升|10类30题|涉及恒等式、新定义、裂项等综合题型|深化运算能力与推理意识，衔接中考难点|

第10章 分式 思维导图 【类型一】分式与分式方程的定义 1．代数式中，属于分式的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．下列方程中是分式方程的是（　　） A． B． C． D． 3．在式子，，，，，中，分式是_________，整式是__________． 【类型二】分式有、无意义、值为0 1．若分式有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．若分式的值为0，则的值为（    ） A．0 B．1 C．4 D． 3．已知当时，分式无意义，当时，分式的值为0，则的值是________． 【类型三】分式等式成立与变形 1．能使等式成立的k的取值范围为（    ） A． B． C． D．k为任意实数 2．下列式子中，从左往右变形正确的是（    ） A． B． C． D． 3．填空： （1）；括号内应填入：______． （2）；括号内应填入：______． （3）；括号内应填入：______． （4）（且）．括号内应填入：______． 【类型四】最简公分母与最简分式 1．下列分式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 2．分式和的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 3．分式，，的最简公分母是________． 【类型五】分子与分母的(最高)系数是正(整)数 1．不改变分式的值，使分式的分子、分母中x的最高次项的系数都是正数，应该是（　　） A． B． C． D． 2．将分式中分子、分母系数化为整数，结果为（   ） A． B． C． D． 3．不改变分式的值，把下列各式的分子、分母中各项的系数都化为整数． （1）______； （2）______． 【类型六】分式的约分与通分 1．约分： (1)； (2)． 2．通分： (1)，； (2)，，，． 3．通分： (1)； (2)； (3)． 【类型七】分式的加减运算 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 3．计算： (1)； (2)； (3)． 【类型八】分式的乘除运算 1．计算： (1)； (2)． 2．计算： (1)； (2)． 3．计算： (1)； (2)． 【类型九】解分式方程 1．解方程： (1) (2) 2．解分式方程： (1)； (2)． 3．解方程： (1)； (2)． 【类型一】用分式表示数 1．已知一款衣服的价格上涨后是a元，则这款衣服原来的价格是（　　） A．元 B．a元 C．元 D．元 2．甲、乙两地相距．小智原计划骑自行车从甲地到乙地，需用时；后因赶时间，改乘公交车前往，结果提前到达乙地．公交车的速度（单位：）是（   ） A． B． C． D． 3．某工厂原计划天生产60件产品，若现在需要比原计划提前1天完成任务，则现在每天要生产____件产品（用含的式子表示）．当时，现在每天要生产_______件产品． 【类型二】分式的变形求值 1．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．若，则分式的值等于（    ） A． B． C． D． 3．已知，则的值为_______． 【类型三】分式中的不等式 1．分式的值为正数的条件是（   ） A． B．且 C． D． 2．若分式的值是负数，则的取值范围是（     ） A． B．或 C．或 D．且 3．已知的值为正数，则的取值范围为______． 【类型四】分式方程的应用——行程与工程问题 1．某校十分重视学生的美育实践活动教学，每年都组织部分师生分批次前往距离学校的美术实践基地写生．一部分师生乘大巴车先行，出发后，其他人员乘中巴车前往，结果他们同时到达基地．已知中巴车平均速度是大巴车平均速度的倍，求中巴车的平均速度是多少． 2．已知甲、乙两车分别从相距的A、B两地同时出发相向而行，已知甲车每小时行驶的路程是乙车每小时行驶的路程的2倍多．甲车行驶与乙车行驶所用时间相同， (1)求甲、乙两车的速度； (2)若甲车到达B地后立即返回，甲返回的速度比原速度慢，两车在行驶过程中有几次相遇？并求出每次相遇的时间． 3．某智能手机代工厂接到生产万部智能手机的订单，为了满足客户尽快交货的要求，工厂增开了一条生产线，实际每月生产能力比原计划提高了，结果比原计划提前个月完成交货，求每月实际生产智能手机多少万部？ 【类型五】分式方程的应用——和差倍分与经济问题 1．某文创店在售甲、乙两款纪念册，已知每个乙款纪念册的价格是每个甲款纪念册价格的，用300元购买乙款纪念册的数量比用200元购买甲款纪念册的数量多7个． (1)求每个甲款纪念册的价格； (2)某班级计划购买甲、乙两款纪念册共25个，且总费用不超过550元，求该班级最多可以购买多少个甲款纪念册？ 2．学校欲购进A、B两种教学用具，已知1件A种用具比1件B种用具单价少25元，且用400元购进A种用具的数量与用500元购进的B种用具的数量相同． (1)求1件A种用具和1件B种用具的单价各为多少元； (2)若购进A、B两种教学用具共40件，且购买A、B两种用具的总资金没有达到4400元，求最少购买A种用具多少件． 3．随着智能家居的发展，清洁机器人越来越多地进入家庭，某物业公司欲购进A，B两种型号的清洁机器人，每台A型机比每台B型机平均每小时少清扫3平方米，一台A型机清扫60平方米所用时间是一台B型机清扫33平方米所用时间的2倍． (1)每台A型机和每台B型机平均每小时分别清扫多少平方米？ (2)若物业公司共购进20台机器人，A型机器人2000元/台，B型机器人3000元/台．公司要求这批机器人每小时至少清扫630平方米楼道，那么该公司如何购买A型和B型机器人，才能使总成本最低？并求出最低成本． 【类型六】分式化简求值 1．先化简，再求值：，其中． 2．已知，求代数式的值． 3．先化简，再求值： ，请从，，中选一个合适的数代入求值． 【类型一】分式恒等式 1．已知其中A，B为常数，则的值为（   ） A．7 B．9 C．13 D．5 2．若，其中A、B、C均为常数，则的值是（   ） A． B． C． D． 3．已知，则常数，的值分别是：_____． 【类型二】分式的值为正(负)数 1．若分式的值为正数，则的值可以是（   ） A．2 B．1 C．0 D． 2．若分式的值为负数，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．若分式值为负数，则的取值范围是__________． 【类型三】分式的值为整数 1．已知为正整数，若使分式的结果为整数，则所有的值的和为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．当x取不超过6的正整数时，分式的整数值是（   ） A．2 B．0 C． D．0或 3．若分式的值为整数，则符合条件的所有整数的和为__________． 【类型四】分式方程的无解与增根 1．若关于的分式方程无解，则的值是（    ） A．3或7 B．3或10 C．7 D．3 2．若关于的分式方程有增根，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．如果关于的分式方程无解，那么实数的值是_______． 【类型五】分式(方程)的新定义运算 1．设，为实数，定义一种新运算：，若关于的方程无解，则的可能值为（    ）． A． B． C． D． 2．定义一种“”运算：，例如：，则方程的解是（    ）． A． B． C． D． 3．定义一种新运算：对于任意的非零实数、，，若，则的值为______． 【类型六】分式(方程)的规律 1．已知，…．当为大于1的奇数时，；当为大于1的偶数时，． (1) ；（用含的代数式表示） (2) ．（用含的代数式表示） 2．观察下面的等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：________； (2)请你猜想第n个等式（用含n的式子表示），并证明． 3．探究与应用 【特例分析】 （1）填空： ①的解为x= ； ②的解为x= ； ③的解为x= ； ...... 【总结规律】 （2）根据你发现的规律直接写出第4个分式方程及它的解： ． 【解决问题】 （3）请你按照上述规律写出第n（n为正整数）个分式方程，并求出它的解．（写出解答过程） 【类型七】分式(方程)的新定义应用 1．（运算能力）定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题： (1)下列分式中是“巧分式”的有_______（填序号）； ①；②；③． (2)若分式的“巧整式”为，请判断是否是“巧分式”，并说明理由． 2．定义1：若两个分式的和为（为正整数），则称这两个分式互为“阶分式”． 例如：，则分式与互为“3阶分式”． 定义2：若两个分式的和等于两个分式的积，即，那么就称分式与分式“互为友好分式”． 例如：分式与分式，因为，， 所以分式与分式“互为友好分式”． (1)分式与互为“______阶分式”． (2)分式与______互为“6阶分式”． (3)请通过计算判断分式与分式是不是“互为友好分式”？ 3．给出定义：如果两个实数a，b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“k相关系数”． 例如：当时，使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对称为关于x的分式方程的一个“1相关系数”． (1)在数对①；②；③中，______（只填序号）是关于x的分式方程的“1相关系数”； (2)若数对是关于x的分式方程的一个“1相关系数”，求t的值； (3)若数对（且）是关于x的分式方程的一个“1相关系数”，且关于y的方程有整数解，直接写出整数c的值． 【类型八】分式的加减法应用(作差法) 1．【阅读理解】在比较两个数或式子的大小时，解决策略一般是利用“作差法”．如：要比较式子、的大小，只需要作差．若，则；若，则；若，则． 【解决问题】 (1)若，则 ；（填“”“”或“”） (2)已知，，当，且时，比较与的大小，并说明理由． 2．问题情境：小军的爸爸和小慧的爸爸都是出租车司机，他们在每天的白天、夜间都要到同一加油站各加一次油，白天和夜间的油价不同，有时白天高，有时夜间高．但不管价格如何变化，他们两人采用固定的加油方式：小军的爸爸不论是白天还是夜间，每次总是加60油，小慧的爸爸不论是白天还是夜间，每次总是花300元钱加油．假设某天白天油的价格为每升a元，夜间油的价格为每升b元． 数学思考： （1）小军的爸爸和小慧的爸爸在这天加油的平均单价各是多少？并通过数学运算说明谁的加油方式更合算； 知识迁移： （2）某船在相距为s的甲，乙两码头间往返航行一次，在没有水流时，船的速度为v，所需时间为；如果水流速度为p（），船顺水航行速度为（），逆水航行速度为（），所需时间为，请借鉴上面的研究经验，比较和的大小，并说明理由． 3．【问题提出】我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或式的大小．其中，“作差法”就是常用方法之一，即要比较M与N的大小，只要作出它们的差．若，则；若，则；若，则． 【尝试应用】 （1）已知长方形A的长为，宽为；长方形B的长为，宽为a．试比较两个长方形周长的大小； （2）若，，试比较代数式与的大小； 【联系生活】 （3）甲、乙两人分别用不同方式购买苹果和香蕉，两种水果的单价分别为元/千克和元/千克．甲共购买了千克水果，其中苹果m千克，香蕉m千克；乙共花费了元，其中买苹果n元，买香蕉n元．若甲和乙的花费相同，试比较甲、乙两人购买水果的总重量大小． 【类型九】分式的裂项 1．阅读下面的解题过程． 计算： 解：因为 所以原式， 根据以上解题方法，观察：……以此类推．你发现了什么规律？请你根据发现的规律，回答下列问题： (1)根据发现的规律，填空：________． (2)利用发现的规律，计算：． (3)类比发现的规律，化简求值：已知，求代数式的值． 2．观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， …… 按照以上规律，解答下列问题： (1)写出第4个等式：______； (2)试用含有正整数n的式子表示这个规律，并加以证明； (3)运用规律计算：． 3．（1）【探索规律】 观察下面的式子，探索它们的规律． 用含正整数n的等式表示这个规律： ； （2）【问题解决】 一容器装有水，按照如下方式把水倒出：第一次倒出水，第二次倒出的水量是水的，第三次倒出的水量是水的，第四次倒出的水量是水的，……，第n次倒出的水量是水的．这水能否倒完？请说明理由； （3）【拓展探究】 解方程：． 【类型十】分式(方程)中的换元法 1．阅读下面材料，解答下列问题： 解方程：． 解：设，则原方程化为．方程两边同乘以y，得，解得．经检验，都是方程的解，所以当时，，解得；当时，，解得．经检验，或都是原分式方程的解，所以原分式方程的解是或． 上述这种解分式方程的方法称为换元法． (1)在方程中，设，则原方程换元后为_______； (2)根据上述换元法解方程：． 2．阅读下面材料，解答后面的问题． 解方程：． 解：设，则原方程化为：， 方程两边同时乘y得：， 解得：，． 经检验：，都是方程的解， 当时，，解得：； 当时，，解得：． 经检验：或都是原分式方程的解． ∴原分式方程的解为或． 上述这种解分式方程的方法称为换元法． 问题： (1)在方程中，设，则原方程换元后为：　　　　； (2)模仿上述换元法解方程：． 3．知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、结论的重要方法．利用整体思想及“倒数法”解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：整体观察、整体设元、整体代入、整体求知等．请利用整体思想解答下列问题： (1)因式分解：________； (2)计算： (3)已知，，，求的值．（可用“倒数法”求解） 1．（25-26八年级下·四川成都·月考）把分式的分子分母中的都扩大到原来的4倍，则分式的值（   ） A．扩大为原来的4倍 B．扩大为原来的16倍 C．缩小为原来的 D．缩小为原来的 2．（25-26八年级下·四川成都·月考）某生产队承接了240亩地的复合种植任务，为了完成任务，引入新型机械种植，实际工作效率比原来提高了，结果提前3天完成任务．设原计划每天种植的面积为x亩地，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·重庆·月考）已知，则分式的值为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级下·黑龙江牡丹江·月考）若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 5．（25-26八年级下·四川成都·月考）若分式的值为0，则__________． 6．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）若关于x的分式方程有增根，则它的增根是______． 7．（25-26八年级下·重庆万州·月考）若且a，b，c均不为0，则的值为_______． 8．（24-25八年级下·贵州黔东南·月考）解方程：． 9．（25-26九年级下·福建莆田·月考）先化简，再求值：，其中． 10．（25-26八年级上·山东泰安·月考）某运输公司需要装运一批货物，由于机械设备没有及时到位，只好先用人工装运，完成了总任务的一半；后来机械装运和人工装运同时进行，完成了剩余的一半任务．那么单独采用机械装运多少小时可以完成剩余的一半任务？ 1．（25-26九年级上·福建漳州·期中）已知，则的值为（   ）． A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）有一并联电路，如图所示，两电阻阻值分别为，，总电阻阻值为R，三者之间的关系为，若已知，，则用．、表示R是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·山东烟台·期中）若运算的结果是整式，则“■”代表的式子可能是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·河北邢台·期中）《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载了一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目译文如下：现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈尺），已知绫布和罗布分别售出后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？ 若设某个量为x，根据题意可列方程，则x（   ） A．只能表示绫布的长度 B．只能表示罗布每尺的价格 C．既可以表示绫布的长度，又可以表示罗布的长度 D．既可以表示绫布每尺的价格，又可以表示罗布每尺的价格 5．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）计算________． 6．（24-25八年级下·福建福州·期中）若，则的值是______． 7．（25-26八年级下·河南周口·期中）若分式无解，则________． 8．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）化简，再从，，三个数字中选择一个你喜欢的数代入求值． 9．（25-26九年级上·重庆开州·期中）某文具店在售的两种魔方，三阶和四阶魔方的成本分别为元和元，已知三阶魔方每个的售价是四阶魔方每个售价的，已知用元购买三阶魔方的个数比用元购买四阶魔方的个数少个． (1)求三阶和四阶魔方每个的售价分别为多少元？ (2)随着开学季魔方热潮来袭，该文具店在月份对三阶和四阶魔方的售价进行了调整，每个三阶魔方的售价上调了，每个四阶魔方的售价上调了，月底经统计月三阶魔方的销售量为个，四阶魔方的销售量为个，若要保证月的总利润为元，求的值． 10．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）【阅读材料】小明在兴趣小组学习了“基本不等式”的相关知识．整理如下：对于正数、，有，所以，即（当且仅当时取到等号）．特别地，（当且仅当时取到等号）．因此，当时，有最小值2，此时． 【简单应用】小明完成了大部分老师布置的作业，但还有三题不会，请你帮一帮他． (1)函数的最小值是______； (2)对于函数，当______时，有最大值，最大值为______； (3)【能力提升】求函数的最小值，并写出取最小值时的值． 1．（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期末）已知，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·广西来宾·期末）下面是小军求解分式方程的过程中存在的错误，请指出他从第几步开始出现错误．（　　） 方程两边都乘，得    第一步 解这个方程得：   第二步 检验：将代入第一步方程，左边=右边     第三步 所以，是原分式方程的解     第四步 A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步 3．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）已知，则的值为（    ） A． B． C． D．或1 4．（25-26八年级上·山东德州·期末）已知关于x的分式方程的解为负数，则k的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 5．（25-26八年级上·陕西延安·期末）若分式有意义，则实数的取值范围是___________． 6．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）若，则的值等于______． 7．（25-26八年级上·四川泸州·期末）对于任意不相等的实数，定义运算“”如下：．若，则x的值为______ ． 8．（25-26八年级上·黑龙江双鸭山·期末）近年来，新能源汽车受到越来越多消费者的关注．小明家里计划购置一辆新车，看中了售价相同的A款纯电动汽车和B款燃油车，已知B款车每千米行驶费用比A款车多元． (1)两款车在相同路段且行驶里程相同时，A款车的总行驶费用为元，B款车的总行驶费用为元．求纯电动汽车和燃油车的每千米行驶费用； (2)已知A款车保险费：6500元/年，保养费用：1230元/年，B款车保险费：2900元/年，保养费：0.075元/千米，综合考虑行驶费用和其它费用，小明家年平均行驶里程为多少千米时，买电动车较为划算？ 9．（25-26八年级上·山西朔州·期末）阅读与思考 阅读下面材料，并完成相应任务． 分式中的欧拉公式欧拉是18世纪瑞士著名的数学家和物理学家，近代数学先驱之一，在许多数学的分支中也可经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理．下面是关于分式的欧拉公式： （其中a，b，c均不为0，且两两互不相等） 这个公式可以分情况进行研究，当时的欧拉公式为： ． 证明：左边 ________ ． 右边． 所以． 任务一：将阅读材料中时欧拉公式的证明过程中的三个空填写完整，它们分别是__________，__________，__________； 任务二：直接写出当时的欧拉公式：_____________； 任务三：任选一组a，b，c的值，对公式时的情形进行验证； 任务四：利用欧拉公式直接写出的结果． 10．（24-25八年级上·福建福州·期末）阅读材料1：我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：，这样的分式就是假分式；如：这样的分式就是真分式，假分数，可以化成（即带分数）的形式，类似的，假分式也可以化为带分式． 如：， 分式就拆分成一个分式与一个整式的和的带分式形式． 阅读材料2：由得，；如果两个正数a，b，即， 则有下面的不等式：，当且仅当时取到等号． 例如：已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得， 当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 请根据上面材料回答下列问题： (1)分式可变形带分式得 ，当，它的最小值为 ； (2)若分式的值为整数，则整数x的值为 ； (3)某大学学生会在1月4日举办了一个活动，活动支出总费用包含以下三个部分：一是前期投入720元，二是参加活动的同学午餐费每人12元；三是其他费用，等于参加活动的同学人数的平方的0.2倍．求当参加活动的同学人数为多少时，该次活动人均投入费用最低，最低费用是多少元？（人均投入支出总费用参加活动的同学人数） (4)若式子的最小值是4，求m的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10章 分式 思维导图 【类型一】分式与分式方程的定义 1．代数式中，属于分式的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】根据分式的定义解答，即分母中含有字母的代数式是分式，分母中只含常数不含字母的代数式是整式，需注意π是常数不是字母． 【详解】解：∵的分母含有字母，∴是分式； ∵的分母是常数，不含字母，∴不是分式； ∵的分母含有字母，∴是分式； ∵是常数，是常数，的分母不含字母，∴不是分式； 综上，共有2个分式，故选C． 2．下列方程中是分式方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分式方程的定义为：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．分母不含未知数的方程是整式方程． 【详解】解：A选项，分母为5和4，都是常数，不含未知数，是整式方程，不符合要求； B选项，方程是二元一次整式方程，分母不含未知数，不符合要求； C选项，分母为2和3，都是常数，不含未知数，是整式方程，不符合要求； D选项，分母为，含有未知数，符合分式方程的定义， 3．在式子，，，，，中，分式是_________，整式是__________． 【答案】 ，， ，， 【分析】本题考查了分式与整式的定义，掌握分式是分母中含有字母的代数式，整式是分母中不含字母的代数式是解题的关键． 根据分式的定义，分母中含有字母的代数式是分式，否则是整式，逐个判断即可． 【详解】解：分式是指分母中含有字母的代数式，整式是分母中不含有字母的代数式． 对于，分母是字母，是分式； 对于，分母是字母，是分式； 对于，分母是数字，没有字母，是整式； 对于，分母是数字，没有字母，是整式； 对于，分母是多项式，含有字母，是分式； 对于，分母是数字，没有字母，是整式． 故答案为： 、、； 、、 【类型二】分式有、无意义、值为0 1．若分式有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分式有意义的条件是分母不为0，据此求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴． 2．若分式的值为0，则的值为（    ） A．0 B．1 C．4 D． 【答案】C 【分析】根据分式值为0时，分子为0，同时分母不为0即可求解． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴， 解得，满足， ∴的值为4． 3．已知当时，分式无意义，当时，分式的值为0，则的值是________． 【答案】5 【分析】根据分式无意义的条件求出的值，根据分式值为的条件求出的值，再代入计算即可． 【详解】解：当时，分式无意义， 即， 解得：， 当时，分式的值为， 即且， 解得：， 则． 【类型三】分式等式成立与变形 1．能使等式成立的k的取值范围为（    ） A． B． C． D．k为任意实数 【答案】B 【分析】本题考查了分式的基本性质，分式有意义的条件． 根据分式的基本性质，分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为零的数，分式的值不变．因此需确保分母不为零，从而确定k的取值范围． 【详解】解：若，则分子和分母可同时约去，得到，此时等式成立． 若，分母变为，分式无意义， 因此，k的取值范围是， 故选：B． 2．下列式子中，从左往右变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A选项：分子分母同时加1，不符合分式基本性质．举反例：当时，左边，右边，，变形错误； B选项：原式有意义时，，可得， ，变形正确； C选项：当时，右边无意义，变形错误； D选项：仅分母乘，分子未乘，不符合分式基本性质，变形错误． 3．填空： （1）；括号内应填入：______． （2）；括号内应填入：______． （3）；括号内应填入：______． （4）（且）．括号内应填入：______． 【答案】 【分析】根据分式左右两边分母或分子的变化，依据分式的基本性质对分子或分母做相同的运算，结合因式分解即可求解． 【详解】解：（1）观察分母可得，根据分式的基本性质，分子同乘，得 ； （2）对分母因式分解，得，，故， 分子分母同除以，得； （3）观察分母可得，根据分式的基本性质，分子同乘，得 ； （4）对左边分子因式分解，得，，约分左边得 ， 对右边分子因式分解得，因此，可得括号内应填． 【类型四】最简公分母与最简分式 1．下列分式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题根据最简分式的定义，即分子分母不含公因式的分式，对各选项化简判断即可得到结果． 【详解】解：最简分式的定义为：分子与分母没有公因式的分式是最简分式， 对A选项：，分子分母含有公因式，约分后为，不是最简分式； 对B选项：分子为，分母为，分子分母没有公因式，是最简分式； 对C选项：，分子分母含有公因式，约分后为，不是最简分式； 对D选项：，分子分母含有公因式，约分后为，不是最简分式. 2．分式和的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求出系数的最小公倍数与各字母的最高次幂，再将二者相乘得到最简公分母． 【详解】解：两个分式分母的系数分别为和，和的最小公倍数是， 最简公分母的系数取； 对于字母部分，的最高次幂是，的最高次幂是，第二个分式含有单独字母，需要将纳入公分母， 将系数与各字母最高次幂相乘，可得最简公分母为． 3．分式，，的最简公分母是________． 【答案】 【分析】先将分母进行因式分解，然后根据三定法确定最简公分母即可. 【详解】解：， 故分式，，的最简公分母是. 【类型五】分子与分母的(最高)系数是正(整)数 1．不改变分式的值，使分式的分子、分母中x的最高次项的系数都是正数，应该是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的基本性质即可求解． 【详解】解：由题意可知将分式的分子分母同时乘得： ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键，分式的基本性质是分手的分子分母同时乘或除以同一个不为0的整式，分式的值不变． 2．将分式中分子、分母系数化为整数，结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】要将分式的分子、分母的系数化为整数，需要找到分子、分母中各项系数的分母的最小公倍数，然后根据分式的基本性质，将分子、分母同时乘以这个最小公倍数． 【详解】解：． 3．不改变分式的值，把下列各式的分子、分母中各项的系数都化为整数． （1）______； （2）______． 【答案】 【分析】本题考查了将分式的分子分母各项系数化为整数等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）分式的分子、分母分别乘以12即可； （2）分式的分子、分母分别乘以20即可． 【详解】（1）解：． 故答案为：； （2）解：． 故答案为：． 【类型六】分式的约分与通分 1．约分： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了约分，完全平方公式分解因式，平方差公式分解因式，综合提公因式和公式法分解因式等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）利用分式的基本性质约分； （2）先将分子、分母分别分解因式，再约分． 【详解】（1）解：． （2）解：． 2．通分： (1)，； (2)，，，． 【答案】(1)， (2)，，， 【分析】本题考查了分式的通分，熟练掌握分式的通分方法是解题关键． （1）先确定两个分式的最简公分母是，再根据分式的性质通分即可得； （2）先确定四个分式的最简公分母是，再根据分式的性质通分即可得． 【详解】（1）解：∵，的最简公分母为， ∴，； （2）解：∵，，，的最简公分母为， ∴，，，． 3．通分： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)，， 【分析】本题考查了通分，通分的定义：把几个异分母的分式化成与原来的分式相等的同分母的分式的变形叫做分式的通分． （1）根据通分的定义把分式变形即可； （2）根据通分的定义把分式变形即可； （3）根据通分的定义把分式变形即可． 【详解】（1）解：， （2）解：， （3）解：， ， ． 【类型七】分式的加减运算 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了分式的加减运算，熟练掌握分式的加减运算法则是解题的关键； （1）先通分，然后按照分式加减法则计算即可； （2）先通分，然后按照分式加减法则计算即可； （3）先通分，然后按照分式加减法则计算即可； （4）先通分，然后按照分式加减法则计算即可； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了分式加减法的混合运算，理解通分的运算法则，分式的加减法运算法则是解答关键． （1）先通分，再利用分式加减法运算法则求解； （2）先通分，再利用分式加减法运算法则求解； （3）先通分，再利用分式减法运算法则求解； （4）先变号，再通分，再利用分式减法运算法则求解． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： ． 3．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)2； (3)． 【分析】本题考查了分式的加减运算，掌握分式的加减运算法则是解题的关键． （1）原式先通分，再化简即可； （2）先利用平方差公式，再化简即可； （3）先对前两项进行计算，再对最后一项约分，接下来通分，再化简即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【类型八】分式的乘除运算 1．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的乘除运算，解题思路为将除法转化为乘法，对多项式因式分解后约去公因式，即可计算得到结果，用到分式乘除运算法则和因式分解的知识． 【详解】（1） 解： ． （2）解： ． 2．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先进行乘方运算，再进行乘除运算即可解答； （2）先将括号内的分式通分，再进行减法运算，最后进行乘除运算即可解答． 【详解】（1）解： （2）解： ． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【类型九】解分式方程 1．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：去分母得， 去括号得， 解得， 经检验，是原方程的解； （2）解：去分母得， 去括号得， 解得， 经检验，是原方程的解． 2．解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）两边同乘最简公分母化为整式方程求解，再代入公分母检验即可； （2）两边同乘最简公分母化为整式方程求解，再代入公分母检验即可． 【详解】（1）解：方程两边都乘，得 ， 解得， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为； （2）解：方程两边都乘，得 ， 解得， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为． 3．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）方程两边同乘最简公分母，转化为一元一次方程，然后解方程并检验即可； （）方程两边同乘最简公分母，转化为一元一次方程，然后解方程并检验即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为：； （2）解：， ， ， ， ， ， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解． 【类型一】用分式表示数 1．已知一款衣服的价格上涨后是a元，则这款衣服原来的价格是（　　） A．元 B．a元 C．元 D．元 【答案】D 【分析】本题考查了分式的应用，根据涨价后的售价与原价的数量关系列式即可． 【详解】解：∵一款衣服的价格上涨后是a元， ∴这款衣服原来的价格是． 故选：D． 2．甲、乙两地相距．小智原计划骑自行车从甲地到乙地，需用时；后因赶时间，改乘公交车前往，结果提前到达乙地．公交车的速度（单位：）是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得出公交车的实际行驶时间，再利用速度=路程÷时间列代数式即可 【详解】∵甲、乙两地相距，原计划用时，公交车提前到达， ∴公交车实际用时为， ∵速度=路程÷时间， ∴公交车的速度为， 3．某工厂原计划天生产60件产品，若现在需要比原计划提前1天完成任务，则现在每天要生产____件产品（用含的式子表示）．当时，现在每天要生产_______件产品． 【答案】 15 【分析】本题考查列分式以及求值，理解题意，准确列出代数式是解题关键． 根据工作总量、工作时间与工作效率的关系，原计划每天生产件，现在提前1天，每天生产件，代入计算得15． 【详解】解：原计划x天生产60件产品，则原计划每天生产件产品， 现在需要比原计划提前1天完成任务，即现在所用时间为天，工作总量仍为60件，因此现在每天生产件产品． 当时，现在每天生产件产品． 故答案为：，15． 【类型二】分式的变形求值 1．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题为分式化简求值题，先化简分子，再用平方差公式分解分母，约分后整体代入已知条件计算即可． 【详解】解： ∵ ∴原式 2．若，则分式的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将化为，根据计算即可． 【详解】解： ． 3．已知，则的值为_______． 【答案】 【分析】通过对已知等式变形得到的值，再利用完全平方公式变形所求分式，即可计算出结果. 【详解】解：，可知，， ∴， 整理，得， 方程两边同时除以得：， ∴， ∴， ∴. 【类型三】分式中的不等式 1．分式的值为正数的条件是（   ） A． B．且 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的值，熟练掌握分式的性质是解题的关键． 本题需根据分式值为正数的符号法则，结合分母不为0的限制条件求解； 【详解】解：∵分式的值为正数， 又∵（分母不能为0，故）， ∴分子 解不等式： 两边同时除以，不等号方向改变，得 综上，且； 故选：B； 2．若分式的值是负数，则的取值范围是（     ） A． B．或 C．或 D．且 【答案】C 【分析】本题主要考查分式的值及一元一次不等式组的解法，熟练掌握分式的值及一元一次不等式组的解法是解题的关键；由题意易得或，然后进行求解即可． 【详解】解：由分式的值是负数，可分： 当时，解得：； 当时，解得：； 综上所述，满足条件x的取值范围为：或 故选C． 3．已知的值为正数，则的取值范围为______． 【答案】 且 【分析】此题主要考查了分式的值，能够根据分式的值的符号来判断分子和分母的符号是解题的关键．分式的值为正数，分母恒为正（且），因此分子 必须大于零，计算求解即可． 【详解】解：∵的值为正数， ∴分子与分母同号， 又∵对于任意实数，，且作为分母， ∴， ∴， 即且． 故答案为：且． 【类型四】分式方程的应用——行程与工程问题 1．某校十分重视学生的美育实践活动教学，每年都组织部分师生分批次前往距离学校的美术实践基地写生．一部分师生乘大巴车先行，出发后，其他人员乘中巴车前往，结果他们同时到达基地．已知中巴车平均速度是大巴车平均速度的倍，求中巴车的平均速度是多少． 【答案】 【分析】设大巴车的平均速度是，根据中巴与大巴的时间差列分式方程求解即可. 【详解】解：设大巴车的平均速度是， 由题意得：， 解得：， ∴中巴车的平均速度为：， 经检验，是分式方程的解， 答：中巴车的平均速度是． 2．已知甲、乙两车分别从相距的A、B两地同时出发相向而行，已知甲车每小时行驶的路程是乙车每小时行驶的路程的2倍多．甲车行驶与乙车行驶所用时间相同， (1)求甲、乙两车的速度； (2)若甲车到达B地后立即返回，甲返回的速度比原速度慢，两车在行驶过程中有几次相遇？并求出每次相遇的时间． 【答案】(1)甲的速度为，乙的速度为 (2)共有次相遇，第一次相遇时间为出发后，第二次相遇时间为出发后 【分析】（1） 设乙车速度为未知数，根据时间相等的条件，结合行程问题中时间路程速度的关系，列分式方程求解即可得到甲乙两车的速度； （2）分情况讨论相遇情况，第一次为出发后相向而行的相遇，根据路程和等于总路程求时间；再计算甲车到达B地后返回，转化为追及问题，计算第二次相遇的时间，判断没有第三次相遇，最终得到结果． 【详解】（1）解：设乙车的速度是，则甲车的速度是， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的根， ， 答：甲车的速度是，乙车的速度是； （2）解：设从出发开始经过小时相遇，分情况讨论： 当甲乙第一次迎面相遇时，两人路程和为， 可得 ， 解得 ，符合行驶条件，即第一次相遇在出发后小时， 计算甲车从A到B的总时间为 ，即时甲车到达B地， 此时乙车行驶的路程为，乙车还未到达A地， 甲车返回时速度为 ， 设从出发到第二次相遇的时间为，，以A为原点建立位置关系，甲车的位置为，乙车的位置为，相遇时位置相等， 因此 ， 化简得， 解得， 乙车到达A地的总时间为， 因此符合题意，即第二次相遇在出发后小时 乙到达A地前，甲车已经返回到达A地，之后两车停止运动，没有第三次相遇． 答：共有2次相遇，第一次相遇时间为出发后，第二次相遇时间为出发后． 3．某智能手机代工厂接到生产万部智能手机的订单，为了满足客户尽快交货的要求，工厂增开了一条生产线，实际每月生产能力比原计划提高了，结果比原计划提前个月完成交货，求每月实际生产智能手机多少万部？ 【答案】每月实际生产智能手机万部． 【分析】设原计划每月生产智能手机万部，则实际每月生产智能手机万部，根据工作时间工作总量工作效率结合提前个月完成任务，列出分式方程，即可求解． 【详解】解：设原计划每月生产智能手机万部，则实际每月生产智能手机万部， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则， 答：每月实际生产智能手机万部． 【类型五】分式方程的应用——和差倍分与经济问题 1．某文创店在售甲、乙两款纪念册，已知每个乙款纪念册的价格是每个甲款纪念册价格的，用300元购买乙款纪念册的数量比用200元购买甲款纪念册的数量多7个． (1)求每个甲款纪念册的价格； (2)某班级计划购买甲、乙两款纪念册共25个，且总费用不超过550元，求该班级最多可以购买多少个甲款纪念册？ 【答案】(1)元 (2)个 【分析】（1）设甲款纪念册的价格为元，则乙款纪念册的价格为，根据题意列方程即可解答； （2）设购买个甲款纪念册，则购买个乙款纪念册，计算总费用，列不等式即可解答． 【详解】（1）解：设甲款纪念册的价格为元，则乙款纪念册的价格为， 可得， 解得， 经检验，是原方程的解， 答：每个甲款纪念册的价格为元； （2）解：（元）， 设购买个甲款纪念册，则购买个乙款纪念册， 可得 解得， 则m的最大值为10， 答：该班级最多可以购买个甲款纪念册． 2．学校欲购进A、B两种教学用具，已知1件A种用具比1件B种用具单价少25元，且用400元购进A种用具的数量与用500元购进的B种用具的数量相同． (1)求1件A种用具和1件B种用具的单价各为多少元； (2)若购进A、B两种教学用具共40件，且购买A、B两种用具的总资金没有达到4400元，求最少购买A种用具多少件． 【答案】(1)A种用具的单价为100元，B种用具的单价为125元． (2)最少购买A种用具25件． 【分析】（1）设A种用具的单价为x元，则B种用具的单价为元，根据数量总价单价结合用400元购进A种用具的数量与用500元购进的B种用具的数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设购买A种用具m件，则购买B种用具件，根据总价单价数量结合购买A、B两种用具的总资金没有达到4400元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论． 【详解】（1）解：设A种用具的单价为x元，则B种用具的单价为元， 依题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴（元）． 答：A种用具的单价为100元，B种用具的单价为125元． （2）解：设购买A种用具m件，则购买B种用具件， 依题意，得， 解得， ∵且为整数， ∴最小值为． 答：最少购买A种用具25件． 3．随着智能家居的发展，清洁机器人越来越多地进入家庭，某物业公司欲购进A，B两种型号的清洁机器人，每台A型机比每台B型机平均每小时少清扫3平方米，一台A型机清扫60平方米所用时间是一台B型机清扫33平方米所用时间的2倍． (1)每台A型机和每台B型机平均每小时分别清扫多少平方米？ (2)若物业公司共购进20台机器人，A型机器人2000元/台，B型机器人3000元/台．公司要求这批机器人每小时至少清扫630平方米楼道，那么该公司如何购买A型和B型机器人，才能使总成本最低？并求出最低成本． 【答案】(1)每台A型机平均每小时清扫30平方米，每台B型机平均每小时清扫33平方米 (2)购买10台A型机，10台B型机，能使总成本最低，总成本最低为50000元 【分析】（1）设每台A型机平均每小时清扫x平方米，则每台B型机平均每小时清扫平方米，根据题意列出，即可得到答案； （2）设购进n台A型机，则购进台B型机．由题意，得，解得，设总成本为w元，则，当时，总成本w最低，即可得到答案． 【详解】（1）解：设每台A型机平均每小时清扫x平方米，则每台B型机平均每小时清扫平方米．由题意，得， 解得， 经检验是原方程的解，且符合题意， ， 答：每台A型机平均每小时清扫30平方米，每台B型机平均每小时清扫33平方米． （2）解：设购进n台A型机，则购进台B型机．由题意，得， 解得， 设总成本为w元，则， ，， 当时，总成本w最低， 最低成本为:，此时， 答：购买10台A型机，10台B型机，能使总成本最低，总成本最低为50000元． 【类型六】分式化简求值 1．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先根据分式除法的运算法则进行化简，再将代入计算即可求解． 【详解】， ， ， ， 当时，原式． 2．已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】根据平方差公式、提取公因式法化简所求式子，将代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： ， ∵，∴， 则原式． 3．先化简，再求值： ，请从，，中选一个合适的数代入求值． 【答案】，当时，原式 【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后根据分式有意义的条件选择合适的值代入求解． 【详解】解： ∴当时，原式 【类型一】分式恒等式 1．已知其中A，B为常数，则的值为（   ） A．7 B．9 C．13 D．5 【答案】C 【分析】先对等式右侧通分，根据分式恒等式的性质，分子对应系数相等得到方程组，求解后计算的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，且， ∴， ∴． 2．若，其中A、B、C均为常数，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的化简是解题的关键，先将进行通分，得到，再根据，得到，从而求得，代入即可得到的值． 【详解】解：∵ ， ∴ ∴ ∴． 故选：A． 3．已知，则常数，的值分别是：_____． 【答案】， 【分析】先对等式左侧分式通分，根据左右两边分式分母相等，得到分子对应项系数相等，列二元一次方程组求解即可得到常数的值． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 解得． 【类型二】分式的值为正(负)数 1．若分式的值为正数，则的值可以是（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查了求分式值为正（负）数时未知数的取值范围，熟练掌握分式的性质是解题关键．由分式的值为正数可知，分子与分母同号，故分母需满足，解得，再结合选项作答即可． 【详解】解：分式的值为正数， ， ， 只有A选项满足条件， B、C、D选项不满足， 故选：A． 2．若分式的值为负数，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式值的正负条件及解一元一次不等式．由于分式的值为负数，而分母一定是正数，可知分子，然后解不等式即可． 【详解】解：∵分式的值为负数，而分母， ∴， 解得． 故选：D． 3．若分式值为负数，则的取值范围是__________． 【答案】且 【分析】本题考查了求分式的值． 分式的值为负，需分子和分母异号，即且，结合分式有意义的条件作答即可． 【详解】解：∵分式的值为负数， ∴分子和分母异号， ∵， ∴且， 解得：且， ∵分母不能为零， ∴， 综上所述，的取值范围是且． 故答案为：且． 【类型三】分式的值为整数 1．已知为正整数，若使分式的结果为整数，则所有的值的和为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】先对分式分离常数变形，根据分式值为整数，得到是的因数，结合是正整数的条件找出所有符合要求的，再计算它们的和即可。 【详解】解：∵ ， ∵分式的值为整数，为正整数，分式有意义要求， ∴为整数，即是的因数，若为负因数，则对应为非正整数，不符合要求，舍去， ∴的可取值为， 对应得 所有符合条件的的值的和为 ． 2．当x取不超过6的正整数时，分式的整数值是（   ） A．2 B．0 C． D．0或 【答案】C 【分析】先确定x的取值范围，再根据分式有意义的条件排除无意义的取值，化简分式后根据结果为整数的条件分析计算，即可得到最终结果． 熟练掌握分式的值为整数的条件是解决本题的关键，注意讨论分式的值的前提是要使分式有意义． 【详解】解：由题意得，x是不超过6的正整数，因此x的可能取值为， 又， ∵分式有意义时，分母不为0， ∴， 得且，排除， ∵分式结果为整数， ∴为整数， 又x是正整数， 因此x是3的正因数， 或， 又由分式有意义的条件可知， ， 代入化简后的分式得， 因此分式的整数值是． 3．若分式的值为整数，则符合条件的所有整数的和为__________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的值，根据分式的值是整数列式计算是解题的关键．根据分式的值为整数，则分母 必须是分子的约数，即，，，分别求解，并筛选出整数解，最后求和即可． 【详解】解：分式的值为整数， 是的约数，即，，， 当时，； 当时，； 当时，，不是整数； 当时，，不是整数； 当时，，不是整数； 当时，，不是整数， 符合条件的整数为和， 它们的和为； 故答案为：． 【类型四】分式方程的无解与增根 1．若关于的分式方程无解，则的值是（    ） A．3或7 B．3或10 C．7 D．3 【答案】A 【分析】分式方程无解分为两种情况，一是去分母后得到的整式方程本身无解，二是整式方程的解是原分式方程的增根，分别计算两种情况的值即可； 【详解】解：给原方程两边同乘去分母，得， 整理得：， 分两种情况讨论： ①若整式方程无解，则， ∵ 时， 等式不成立，整式方程无解， ∴时，原分式方程无解； ②若整式方程有解，但解为原分式方程的增根， 原分式方程的分母为，∴增根为， 把代入 ，得，解得， 综上，的值为或． 2．若关于的分式方程有增根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分式方程的增根是使分式分母为0的根，先确定增根，再将分式方程化为整式方程，代入增根即可求出的值． 【详解】解：∵分式方程有增根， ∴分母和为0，则增根为． 原方程两边同乘，得， 将代入上式，得， 解得． 3．如果关于的分式方程无解，那么实数的值是_______． 【答案】 或1 【分析】分式方程无解包含两种情况，化简后的整式方程无解，或整式方程的解为原分式方程的增根，先将原分式方程化为整式方程，再分两种情况讨论求解． 【详解】解：， 变形得 ， 方程两边同乘最简公分母， 得， 整理得整式方程 ， 分式方程无解，分两种情况讨论： 整式方程无解， 令，得，此时方程变为，不成立， 整式方程无解，原分式方程无解． 整式方程的解为原分式方程的增根， 令，得增根， 将代入， 得，解得． 综上，实数的值为或． 【类型五】分式(方程)的新定义运算 1．设，为实数，定义一种新运算：，若关于的方程无解，则的可能值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据新运算的规定，转化为方程，再根据分式方程、一次方程无解的情况得结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ， ， ∵无解， ∴或， 当，， 当，即，将代入，解得：， ∴当无解，则的值为或． ∴根据选项，故选：A． 2．定义一种“”运算：，例如：，则方程的解是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题中新定义的运算规则，将所求方程转化为常规分式方程，再按解分式方程的步骤求解，最后检验即可得到结果． 【详解】解：∵由新定义， ∴， ∵， ∴， 去分母得， 解得， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为． 3．定义一种新运算：对于任意的非零实数、，，若，则的值为______． 【答案】12 【分析】本题主要考查了解分式方程．根据新定义列出关于x的方程，解出方程即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ∵， ∴， 去分母得：， 解得：， 检验：当时，， ∴原方程的解为． 故答案为：12 【类型六】分式(方程)的规律 1．已知，…．当为大于1的奇数时，；当为大于1的偶数时，． (1) ；（用含的代数式表示） (2) ．（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2) 【分析】该题主要考查代数式的规律探索，找出相应规律是解题关键． （1）根据题意代入计算即可； （2）根据题意，找出规律，求解即可． 【详解】（1）解：因为， 所以． 所以； 故答案为：； （2）解：因为， 所以， ， ， ， ， ， …， 所以每6项为一循环． 因为， 所以． 故答案为：． 2．观察下面的等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：________； (2)请你猜想第n个等式（用含n的式子表示），并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查了数字规律，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，直接作答即可； （2）认真理解题干的式子过程，总结得第n个等式为，再把进行通分化简，得出，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，； （2）解：∵第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 第5个等式： …… ∴第n个等式为 证明过程如下： 故． 3．探究与应用 【特例分析】 （1）填空： ①的解为x= ； ②的解为x= ； ③的解为x= ； ...... 【总结规律】 （2）根据你发现的规律直接写出第4个分式方程及它的解： ． 【解决问题】 （3）请你按照上述规律写出第n（n为正整数）个分式方程，并求出它的解．（写出解答过程） 【答案】①②③；（2）第4个分式方程为，解为；（3）第个分式方程为，解为 【分析】本题考查分式的规律以及分式方程，本题通过三个具体的分式方程，引导学生观察并归纳解的规律．首先解出前三个方程的解，从中发现解与序号之间的关系，进而推广到第四个方程，并最终写出第个方程及其解．解题的关键在于观察方程结构和解的变化规律，理解分式方程的解法过程，并进行代数推导与归纳总结． （1）①两边同乘以，去括号，移项合并即可，注意代入检验增根； ②两边同乘以，去括号，移项合并即可，注意代入检验增根； ③两边同乘以，去括号，移项合并即可，注意代入检验增根； （2）直接根据规律写出第四个分式方程及它的解即可； （3）根据规律，第n个方程为：，两边同乘，移项整理即可． 【详解】（1）解：①解方程：， 两边同乘以，得： 去括号：， 移项合并得：， 检验：当时，分母，解成立， 所以解为； 故答案为：； ②解方程：， 两边同乘以，得： 去括号：， 移项合并得：， 检验：当时，分母，解成立， 所以解为； 故答案为：； ③解方程：， 两边同乘以，得：， 去括号：， 移项合并得：， 检验：当时，分母，解成立， 所以解为， 故答案为：； （2）观察前三个方程： ①， ②， ③， 规律：左边分子为，右边分子为，且结构为， 因此第4个方程为： 解法同上： 两边同乘：， 整理，得：， 移项合并得：， 检验成立，解为， 所以第4个方程是，解为； 故答案为：，； （3）根据规律，第n个方程为：， 解方程： 两边同乘： 移项整理：， 解得：， 检验：当时，（因n为正整数），分母不为零，解成立， 所以第n个方程的解为． 【类型七】分式(方程)的新定义应用 1．（运算能力）定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题： (1)下列分式中是“巧分式”的有_______（填序号）； ①；②；③． (2)若分式的“巧整式”为，请判断是否是“巧分式”，并说明理由． 【答案】(1)①③ (2)是，见解析 【分析】本题考查了分式的化简、因式分解． （1）根据“巧分式”的定义，逐个判断得结论； （2）根据给出的“巧分式”的定义可得；将A代入，约分后看是否是一个整式，即可得出结论． 【详解】（1）解：，是整式， ①是“巧分式”； ，不是整式， ②不是“巧分式”； ，是整式， ③是“巧分式”； （2）解：分式的“巧整式”为． ， ； ， 又是整式， 是“巧分式”． 2．定义1：若两个分式的和为（为正整数），则称这两个分式互为“阶分式”． 例如：，则分式与互为“3阶分式”． 定义2：若两个分式的和等于两个分式的积，即，那么就称分式与分式“互为友好分式”． 例如：分式与分式，因为，， 所以分式与分式“互为友好分式”． (1)分式与互为“______阶分式”． (2)分式与______互为“6阶分式”． (3)请通过计算判断分式与分式是不是“互为友好分式”？ 【答案】(1)5 (2) (3)不是 【分析】本题考查了新定义，分式的加减以及分式的乘法运算． （1）把所给两个分式相加即可判断； （2）用6减去即可求解； （3）分别计算所给两个分式的和与差几颗判断． 【详解】（1）∵ ∴式与互为“5阶分式”． 故答案为：5； （2）由题意，得 故答案为：； （3）∵， ， ∴分式与分式不是“互为友好分式”． 3．给出定义：如果两个实数a，b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“k相关系数”． 例如：当时，使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对称为关于x的分式方程的一个“1相关系数”． (1)在数对①；②；③中，______（只填序号）是关于x的分式方程的“1相关系数”； (2)若数对是关于x的分式方程的一个“1相关系数”，求t的值； (3)若数对（且）是关于x的分式方程的一个“1相关系数”，且关于y的方程有整数解，直接写出整数c的值． 【答案】(1)① (2) (3)或 【分析】本题考查了分式的新定义，熟练掌握定义是解题的关键． （1）根据定义，计算判断即可． （2）根据定义，分式方程的解为，代入方程求t的值即可． （3）根据数对（且）是关于的分式方程的一个“1相关系数”，得关于的分式方程的解是，回代方程，得，结合关于的方程的解为，且方程有整数解，解答即可． 【详解】（1）解：当，时，使得关于的分式方程的解是成立， 所以数对是关于的分式方程的一个“1相关系数”， 故①正确； 当，时，使得关于的分式方程的解是， ， 所以数对不是关于的分式方程的一个“1相关系数”； 故②错误； 当，时，使得关于的分式方程的解是， 无意义， 所以数对不是关于的分式方程的一个“1相关系数”； 故③错误； 故答案为：①； （2）解：根据定义，分式方程的解为， 故． 解得； （3）解：根据数对（且）是关于的分式方程的一个“1相关系数”， 得关于的分式方程的解是， 回代方程，得， 整理，得， ∴， ∵且， ∴， ∴， ∵方程的解为， ∴， ∵方程有整数解， ∴ 当时，，（舍去）； 当时，，（舍去）； 故或． 【类型八】分式的加减法应用(作差法) 1．【阅读理解】在比较两个数或式子的大小时，解决策略一般是利用“作差法”．如：要比较式子、的大小，只需要作差．若，则；若，则；若，则． 【解决问题】 (1)若，则 ；（填“”“”或“”） (2)已知，，当，且时，比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】（1）先化简，再根据作出判断即可； （2）计算，并根据，且作出判断即可； 【详解】（1）解： ， ， ， ， 即； （2）解：， ， ， ，且， ， ， ， ． 2．问题情境：小军的爸爸和小慧的爸爸都是出租车司机，他们在每天的白天、夜间都要到同一加油站各加一次油，白天和夜间的油价不同，有时白天高，有时夜间高．但不管价格如何变化，他们两人采用固定的加油方式：小军的爸爸不论是白天还是夜间，每次总是加60油，小慧的爸爸不论是白天还是夜间，每次总是花300元钱加油．假设某天白天油的价格为每升a元，夜间油的价格为每升b元． 数学思考： （1）小军的爸爸和小慧的爸爸在这天加油的平均单价各是多少？并通过数学运算说明谁的加油方式更合算； 知识迁移： （2）某船在相距为s的甲，乙两码头间往返航行一次，在没有水流时，船的速度为v，所需时间为；如果水流速度为p（），船顺水航行速度为（），逆水航行速度为（），所需时间为，请借鉴上面的研究经验，比较和的大小，并说明理由． 【答案】（1）小军的爸爸在这天加油的平均单价是：元/L；小慧的爸爸在这天加油的平均单价是：元/L；小慧的爸爸的加油方式比较合算；（2），见解析 【分析】本题考查了分式的加减运算，分式的大小比较，正确理解题意是解题的关键． （1）由题意根据条件用代数式分别表示出小军的爸爸和小慧的爸爸在这天加油的平均单价即可；再根据题意利用作差法进行分析比较即可； （2）根据题意，由时间路程速度，进而列式后，再相减比较大小． 【详解】解：（1）小军的爸爸在这天加油的平均单价是：（元） 小慧的爸爸在这天加油的平均单价是：（元）， ∴． 而， ∴． ∴． ∴即． ∴小慧的爸爸的加油方式比较合算． （2），， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 3．【问题提出】我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或式的大小．其中，“作差法”就是常用方法之一，即要比较M与N的大小，只要作出它们的差．若，则；若，则；若，则． 【尝试应用】 （1）已知长方形A的长为，宽为；长方形B的长为，宽为a．试比较两个长方形周长的大小； （2）若，，试比较代数式与的大小； 【联系生活】 （3）甲、乙两人分别用不同方式购买苹果和香蕉，两种水果的单价分别为元/千克和元/千克．甲共购买了千克水果，其中苹果m千克，香蕉m千克；乙共花费了元，其中买苹果n元，买香蕉n元．若甲和乙的花费相同，试比较甲、乙两人购买水果的总重量大小． 【答案】（1）当时，长方形A的周长大于B的周长；当时，长方形A的周长等于B的周长；当时，长方形A的周长小于B的周长；（2）；（3）乙购买水果的总重量更大 【分析】本题主要考查了分式混合运算的应用，熟练掌握分式混合运算法则，是解题的关键． （1）先表示出两个长方形的周长，然后作差，再根据a的取值范围判断即可； （2）先求出，然后根据，，进行判断即可； （3）先根据甲和乙的花费相同，得出，再表示出乙购买的水果总量，，然后作差比较大小即可． 【详解】解：（1）长方形A的周长为：， 长方形B的周长为：， ， 当时，，此时长方形A的周长大于B的周长； 当时，，此时长方形A的周长等于B的周长； 当时，，此时长方形A的周长小于B的周长． （2）， ∵，， ∴， ∵，即， ∴． （3）∵甲和乙的花费相同， ∴， ∴， 乙购买水果总重量为， ， ∵，，，且， ∴， ∴， ∴乙购买水果的总重量更大． 【类型九】分式的裂项 1．阅读下面的解题过程． 计算： 解：因为 所以原式， 根据以上解题方法，观察：……以此类推．你发现了什么规律？请你根据发现的规律，回答下列问题： (1)根据发现的规律，填空：________． (2)利用发现的规律，计算：． (3)类比发现的规律，化简求值：已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题主要考查分式的加减法，数字的规律变化，分式的化简求值，读懂题目信息，观察出规律是解题的关键． （1）根据题中给出的规律即可求出答案； （2）根据题中给出的规律即可求出答案； （3）根据题中给出的规律进行化简，然后将代入即可得出答案． 【详解】（1）由 可得． （2） ， ． （3） ， ∵， ∴， 原式 2．观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， …… 按照以上规律，解答下列问题： (1)写出第4个等式：______； (2)试用含有正整数n的式子表示这个规律，并加以证明； (3)运用规律计算：． 【答案】(1) (2)；证明见解析 (3) 【分析】本题考查数字规律型，观察已知的式子总结规律是解题的关键． （1）观察题中的式子求解即可； （2）根据题中的等式进行归纳总结即可求解； （3）利用（2）中的规律，再裂项进行计算即可． 【详解】（1）解：第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：； （2）解：第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， …… 第n个等式：； 左边， 右边 ， ∴左边右边； （3）解： ． 3．（1）【探索规律】 观察下面的式子，探索它们的规律． 用含正整数n的等式表示这个规律： ； （2）【问题解决】 一容器装有水，按照如下方式把水倒出：第一次倒出水，第二次倒出的水量是水的，第三次倒出的水量是水的，第四次倒出的水量是水的，……，第n次倒出的水量是水的．这水能否倒完？请说明理由； （3）【拓展探究】 解方程：． 【答案】（1）；（2）这水不能倒完，见解析；（3） 【分析】本题考查规律型：数字的变化类，解分式方程，分式的混合运算，解答本题的关键是根据所给式子找出规律，并利用规律解答． （1）归纳总结得到一般性规律，写出即可； （2）根据题意列出关系式，利用得出的规律化简即可； （3）①方程变形后，利用得出的规律化简，计算即可求出解； 【详解】解：（1）根据题意得：规律为； （2）这水不能倒完． 理由如下： 前n次倒出的总水量为 ． 因为，所以这水不能倒完． （3）整理方程，得， 所以，即， 解得：． 经检验，是原分式方程的解， 所以原分式方程的解为． 【类型十】分式(方程)中的换元法 1．阅读下面材料，解答下列问题： 解方程：． 解：设，则原方程化为．方程两边同乘以y，得，解得．经检验，都是方程的解，所以当时，，解得；当时，，解得．经检验，或都是原分式方程的解，所以原分式方程的解是或． 上述这种解分式方程的方法称为换元法． (1)在方程中，设，则原方程换元后为_______； (2)根据上述换元法解方程：． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查换元法解分式方程：（1）将代入分式方程即可；（2）令，代入分式方程求解即可． 【详解】（1）将代入中， 得： 即： （2）可化为： 即： 令 则： 解得： 当时，即，此时方程无解 当时，即，解得： 经检验，是原方程的解． 2．阅读下面材料，解答后面的问题． 解方程：． 解：设，则原方程化为：， 方程两边同时乘y得：， 解得：，． 经检验：，都是方程的解， 当时，，解得：； 当时，，解得：． 经检验：或都是原分式方程的解． ∴原分式方程的解为或． 上述这种解分式方程的方法称为换元法． 问题： (1)在方程中，设，则原方程换元后为：　　　　； (2)模仿上述换元法解方程：． 【答案】(1) (2)原分式方程的解为，． 【分析】本题考查了用换元法解分式方程和分式方程的解，能正确换元是解此题的关键． （1）设，则原方程换元后为，再根据等式的性质进行变形即可； （2）设，则原方程化为，求出方程的解，再进行检验，当时，，求出方程的解，当时，，求出方程的解，最后进行检验即可． 【详解】（1）解：， 设，则原方程换元后为， 故答案为：； （2）解：， ， 设，则原方程化为：， ， ， ， 经检验：都是的解， 当时，， ， ， ， ， ； 当时，， ， ， ， ， ， ， 经检验：和都是分式方程的解， 所以分式方程的解是，． 3．知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、结论的重要方法．利用整体思想及“倒数法”解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：整体观察、整体设元、整体代入、整体求知等．请利用整体思想解答下列问题： (1)因式分解：________； (2)计算： (3)已知，，，求的值．（可用“倒数法”求解） 【答案】(1) (2)2024 (3) 【分析】（1）令，代入计算即可； （2）令，，代入计算即可； （3）首先求出，然后求出，即可求出的值． 【详解】（1）解：令， ∴ ； 故答案为：； （2）解：令，， ∴ ； 故答案为：2024； （3）解：∵，，， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题考查了因式分解，有理数的混合运算，分式的求值，整体思想的应用，解题的关键是掌握整体思想． 1．（25-26八年级下·四川成都·月考）把分式的分子分母中的都扩大到原来的4倍，则分式的值（   ） A．扩大为原来的4倍 B．扩大为原来的16倍 C．缩小为原来的 D．缩小为原来的 【答案】A 【详解】解：由题意可知，新分式的值为，扩大为原来的4倍． 2．（25-26八年级下·四川成都·月考）某生产队承接了240亩地的复合种植任务，为了完成任务，引入新型机械种植，实际工作效率比原来提高了，结果提前3天完成任务．设原计划每天种植的面积为x亩地，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设原计划每天种植的面积为亩地，则实际每天种植的面积为亩地，根据“提前3天完成任务”的等量关系列方程． 【详解】解：设原计划每天种植的面积为亩地，则实际每天种植的面积为亩地， 根据题意得，． 3．（25-26八年级下·重庆·月考）已知，则分式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据已知条件整理出，再将所求分式变形后整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，可得， ∴ ． 4．（25-26九年级下·黑龙江牡丹江·月考）若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查根据分式方程解的情况求参数范围，用到分式方程解法和一元一次不等式的知识，先解分式方程得到x关于m的表达式，再根据解为正数、分母不为零两个条件列不等式求解 【详解】解：对分式方程， 方程两边同乘去分母， ， ， 展开整理得， 分式方程的解为正数， ，即， 解得， 又分式方程分母不为零， ， 即， 解得， 综上，的取值范围是且 5．（25-26八年级下·四川成都·月考）若分式的值为0，则__________． 【答案】 【分析】根据分式值为的条件建立方程，利用平方根解方程可得的值，再结合分式的分母不能等于0即可得． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴， 解得或， 又∵，即， ∴． 6．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）若关于x的分式方程有增根，则它的增根是______． 【答案】 【分析】分式方程的增根是使分式方程最简公分母为的未知数的值，根据增根的定义即可求解． 【详解】解：对于分式方程， 它的最简公分母为， 分式方程的增根使最简公分母为， 则， 解得． 7．（25-26八年级下·重庆万州·月考）若且a，b，c均不为0，则的值为_______． 【答案】 【分析】根据题意，得到，原式化简为，再利用整体代入法进行计算即可. 【详解】解：∵且a，b，c均不为0， ∴ ∴原式 . 8．（24-25八年级下·贵州黔东南·月考）解方程：． 【答案】无解 【分析】本题主要考查解分式方程，先把原方程化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案． 【详解】解：两边同乘以 得： 解得： 检验：时，分式方程的分母为0 所以是原方程的增根，原方程无解． 9．（25-26九年级下·福建莆田·月考）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先计算括号内分式的减法，再将除法化为乘法计算，最后代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 10．（25-26八年级上·山东泰安·月考）某运输公司需要装运一批货物，由于机械设备没有及时到位，只好先用人工装运，完成了总任务的一半；后来机械装运和人工装运同时进行，完成了剩余的一半任务．那么单独采用机械装运多少小时可以完成剩余的一半任务？ 【答案】 单独采用机械装运小时可以完成剩余的一半任务 【分析】设单独采用机械装运小时可以完成剩余的一半任务，则机械装运的工作效率为，根据1小时完成了剩余的一半任务，列出方程，求出方程的解即可． 【详解】解：设单独采用机械装运小时可以完成剩余的一半任务，则机械装运的工作效率为， 根据题意得：，解得， 经检验是原方程的解， 且符合题意． 答：单独采用机械装运小时可以完成剩余的一半任务． 1．（25-26九年级上·福建漳州·期中）已知，则的值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：． 2．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）有一并联电路，如图所示，两电阻阻值分别为，，总电阻阻值为R，三者之间的关系为，若已知，，则用．、表示R是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先对等式右边进行通分，求出和之后，再根据倒数的性质求出R的表达式． 【详解】解：∵， ． 3．（25-26八年级上·山东烟台·期中）若运算的结果是整式，则“■”代表的式子可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的除法运算，将原分式除法运算转化为乘法，并分解因式后约分，根据结果为整式的条件确定“■”代表的式子． 【详解】解：∵原式， 又∵， ∴原式 . 要求结果为整式，则的分母中不能含字母，即必须提供因式以约分，去掉分母中的. 所以只有A选项符合题 意，B、C、D选项不符合题 意． 故选：A． 4．（25-26八年级上·河北邢台·期中）《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载了一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目译文如下：现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈尺），已知绫布和罗布分别售出后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？ 若设某个量为x，根据题意可列方程，则x（   ） A．只能表示绫布的长度 B．只能表示罗布每尺的价格 C．既可以表示绫布的长度，又可以表示罗布的长度 D．既可以表示绫布每尺的价格，又可以表示罗布每尺的价格 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的应用，设其中一种布的长度为x尺，则另一种布的长度为尺，根据题意可列方程，由于题目条件对于绫、罗两种布是对称的，由此可知x既可以表示绫布的长度，又可以表示罗布的长度． 【详解】解：根据题意，设其中一种布的长度为x尺，则另一种布的长度为尺， 由“绫布和罗布各出售1尺共收入120文”可列方程为：， 由于题目条件对于绫、罗两种布是对称的， 因此x既可以表示绫布的长度，又可以表示罗布的长度． 故选：C． 5．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）计算________． 【答案】1 【详解】解：原式 6．（24-25八年级下·福建福州·期中）若，则的值是______． 【答案】6 【分析】根据完全平方公式可得，则可求出，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴ ∴，即 ∴， ∴ ． 7．（25-26八年级下·河南周口·期中）若分式无解，则________． 【答案】5 【分析】先将分式方程去分母化为整式方程，根据分式方程无解可知整式方程的解为原分式方程的增根，求出增根后代入整式方程即可求出的值． 【详解】解：， 方程变形得：， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 分式方程无解， 原分式方程的增根为（使分母）， 将代入得，解得． 8．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）化简，再从，，三个数字中选择一个你喜欢的数代入求值． 【答案】 当时，原式无意义 当时，原式无意义 当时，原式 【分析】本题考查了分式化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． 根据分式混合运算的顺序，结合式子的特点，先算括号内的减法，再算除法，将除法转化为乘法后约分即可得出化简结果，然后分别将，，三个数字代入化简结果求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式无意义， 当时，原式无意义， 当时，原式． 9．（25-26九年级上·重庆开州·期中）某文具店在售的两种魔方，三阶和四阶魔方的成本分别为元和元，已知三阶魔方每个的售价是四阶魔方每个售价的，已知用元购买三阶魔方的个数比用元购买四阶魔方的个数少个． (1)求三阶和四阶魔方每个的售价分别为多少元？ (2)随着开学季魔方热潮来袭，该文具店在月份对三阶和四阶魔方的售价进行了调整，每个三阶魔方的售价上调了，每个四阶魔方的售价上调了，月底经统计月三阶魔方的销售量为个，四阶魔方的销售量为个，若要保证月的总利润为元，求的值． 【答案】(1) 三阶魔方每个售价为元，四阶魔方每个售价为元； (2) 的值为． 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，一元一次方程的实际应用． （1）设四阶魔方每个的售价为元，则三阶魔方每个的售价为元，根据题意列方程求解即可； （2）根据题意列方程，求解即可． 【详解】（1）解：设四阶魔方每个的售价为元，则三阶魔方每个的售价为元， 根据题意可得， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴（元）， 答：三阶魔方每个售价为元，四阶魔方每个售价为元． （2）解：根据题意可得， 解得， ∴的值为． 10．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）【阅读材料】小明在兴趣小组学习了“基本不等式”的相关知识．整理如下：对于正数、，有，所以，即（当且仅当时取到等号）．特别地，（当且仅当时取到等号）．因此，当时，有最小值2，此时． 【简单应用】小明完成了大部分老师布置的作业，但还有三题不会，请你帮一帮他． (1)函数的最小值是______； (2)对于函数，当______时，有最大值，最大值为______； (3)【能力提升】求函数的最小值，并写出取最小值时的值． 【答案】(1)4 (2)， (3)当时，函数取得最小值，最小值为 【分析】（1）根据题意利用“基本不等式”进行求解即可； （2）根据题意利用“基本不等式”进行求解； （3）根据题意，利用“基本不等式”以及整体思想进行求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴ ∴函数的最小值是4； （2）解：同（1）得， ∴当时，取得最小值6， 解得或（舍去）， ∴当时，函数取得最大值，最大值为； （3）解：∵， ∴， 当时，函数取得最小值，最小值为， 解得（舍去）或， ∴当时，函数取得最小值，最小值为． 1．（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期末）已知，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将M、N统一分母，再根据分式运算法则计算各选项判断即可． 【详解】解：∵ ，． ∴A． ，A错误； B．， B错误； C．．与选项一致， C正确； D．，D错误． 2．（25-26八年级上·广西来宾·期末）下面是小军求解分式方程的过程中存在的错误，请指出他从第几步开始出现错误．（　　） 方程两边都乘，得    第一步 解这个方程得：   第二步 检验：将代入第一步方程，左边=右边     第三步 所以，是原分式方程的解     第四步 A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步 【答案】C 【分析】 根据解分式方程的步骤，逐一判断每一步的正误即可． 【详解】解：∵第一步方程两边同乘，得到，去分母操作正确， ∴第一步无错误； ∵对整理计算，得，代数运算正确， ∴第二步无错误； ∵分式方程检验需要将所得解代入原方程，判断原方程是否有意义． 当时，原方程分母，原方程无意义，是增根，小军错误地将解代入去分母后的方程检验，因此第三步开始出错． ∴错误从第三步开始． 3．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）已知，则的值为（    ） A． B． C． D．或1 【答案】B 【分析】将变形得到，从而推出，再利用完全平方公式变形计算即可． 【详解】解：由条件可知， ， ， 又， ． 4．（25-26八年级上·山东德州·期末）已知关于x的分式方程的解为负数，则k的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的解，先将分式方程化为整式方程求解，再根据解为负数列不等式，同时保证原分式方程分母不为零，进而确定k的取值范围． 【详解】解：∵解分式方程， ∴两边同乘得：， 展开并化简：， ， 移项合并得：， ∴， ∵方程的解为负数， ∴， 解得， 又∵原分式方程分母不能为0，即且， 当时，，解得，故， 当时，，解得，但，此情况不存在， 综上，且， 故选：C． 5．（25-26八年级上·陕西延安·期末）若分式有意义，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【分析】分式有意义的条件是分母不为零，据此列式求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴． 6．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）若，则的值等于______． 【答案】 【分析】根据已知的比例关系，可设参数用同一字母表示a和b，代入所求分式化简即可得到结果. 【详解】∵ . ∴ 设，， ∴. 7．（25-26八年级上·四川泸州·期末）对于任意不相等的实数，定义运算“”如下：．若，则x的值为______ ． 【答案】3 【分析】本题考查新定义运算与分式方程的求解，需根据新定义分和两种情况，分别列出方程求解，再验证解是否满足前提条件，舍去不符合的解即可得到结果． 【详解】根据题意，分两种情况讨论： 1.当时，由定义得： ， 去分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 系数化为1，得， ∵，符合条件， 故此解有效； 2.当时，由定义得： ， 去分母，得 ， 去括号，得 ， 移项，合并同类项，得 ， 系数化为1，得 ， ∵，不符合的条件， 故此解舍去． 综上，x的值为3． 【点睛】理解新运算法则，根据新运算法则分情况讨论是解题的关键． 8．（25-26八年级上·黑龙江双鸭山·期末）近年来，新能源汽车受到越来越多消费者的关注．小明家里计划购置一辆新车，看中了售价相同的A款纯电动汽车和B款燃油车，已知B款车每千米行驶费用比A款车多元． (1)两款车在相同路段且行驶里程相同时，A款车的总行驶费用为元，B款车的总行驶费用为元．求纯电动汽车和燃油车的每千米行驶费用； (2)已知A款车保险费：6500元/年，保养费用：1230元/年，B款车保险费：2900元/年，保养费：0.075元/千米，综合考虑行驶费用和其它费用，小明家年平均行驶里程为多少千米时，买电动车较为划算？ 【答案】(1)纯电动汽车的每千米行驶费用为元，燃油车的每千米行驶费用为元 (2)小明家年平均行驶里程超过时，购买纯电动汽车比较划算 【分析】本题考查分式方程与一元一次不等式在实际购车费用问题中的应用，解题关键是根据 “行驶里程相同”“费用比较” 等条件建立方程或不等式，理清费用的组成部分． （1）根据两款车行驶里程相同，建立分式方程求解每千米行驶费用，注意分式方程解完后必须检验； （2）根据年使用费用的构成（行驶费用 + 保险费 + 保养费），分别列出两款车的年费用表达式，再根据 “电动车更划算” 的条件建立一元一次不等式求解． 【详解】（1）解：设A款车每千米行驶费用a元，则B款车每千米行驶费用为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， , 答：纯电动汽车的每千米行驶费用为元，燃油车的每千米行驶费用为元． （2）解：设小明家年平均行使里程为， 纯电动汽车的年使用费用为元， 燃油车的年使用费用为元， 根据题意得：， 解得：， 答：当小明家年平均行驶里程超过时，购买纯电动汽车比较划算． 9．（25-26八年级上·山西朔州·期末）阅读与思考 阅读下面材料，并完成相应任务． 分式中的欧拉公式欧拉是18世纪瑞士著名的数学家和物理学家，近代数学先驱之一，在许多数学的分支中也可经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理．下面是关于分式的欧拉公式： （其中a，b，c均不为0，且两两互不相等） 这个公式可以分情况进行研究，当时的欧拉公式为： ． 证明：左边 ________ ． 右边． 所以． 任务一：将阅读材料中时欧拉公式的证明过程中的三个空填写完整，它们分别是__________，__________，__________； 任务二：直接写出当时的欧拉公式：_____________； 任务三：任选一组a，b，c的值，对公式时的情形进行验证； 任务四：利用欧拉公式直接写出的结果． 【答案】任务一：，，； 任务二：； 任务三：见解析； 任务四：． 【分析】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算法则． 任务一：根据分式的加减运算法则计算即可； 任务二：当时，； 任务三：当时，，任选一组符合要求的a，b，c的值，代入验证即可； 任务四：当时，，令，，，代入运算即可． 【详解】任务一：解：左边 ． 右边． 所以． 故答案为：，，； 任务二：解：由题意可知，当时，； 故答案为：； 任务三：解：由题意可知，时，， 令，，， 则 ， 右边，成立； 任务四：解：当时，， 令，，， 则， 即． 10．（24-25八年级上·福建福州·期末）阅读材料1：我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：，这样的分式就是假分式；如：这样的分式就是真分式，假分数，可以化成（即带分数）的形式，类似的，假分式也可以化为带分式． 如：， 分式就拆分成一个分式与一个整式的和的带分式形式． 阅读材料2：由得，；如果两个正数a，b，即， 则有下面的不等式：，当且仅当时取到等号． 例如：已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得， 当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 请根据上面材料回答下列问题： (1)分式可变形带分式得 ，当，它的最小值为 ； (2)若分式的值为整数，则整数x的值为 ； (3)某大学学生会在1月4日举办了一个活动，活动支出总费用包含以下三个部分：一是前期投入720元，二是参加活动的同学午餐费每人12元；三是其他费用，等于参加活动的同学人数的平方的0.2倍．求当参加活动的同学人数为多少时，该次活动人均投入费用最低，最低费用是多少元？（人均投入支出总费用参加活动的同学人数） (4)若式子的最小值是4，求m的值． 【答案】(1)， (2)或 (3)参加活动的同学人数为60人时，该次活动人均投入费用最低，最低费用是36元 (4) 【分析】（1）仿照示例，对分式进行变形，可得到结果； （2）对分式变形为，仿照示例，可得到结果； （3）根据题意，列出人均费用，仿照示例的方法可得到结果； （4）先对式子变形，化为带分式形式，再求最小值，得到结果． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴， 当且仅当，即时，式子有最小值，最小值为2； （2）解： ； ∵分式的值为整数，为整数， ∴， ∴或； （3）解：设参加的人数为x人，则支出总费用为， 人均费用为， ∵， ∴当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为24， ∴的最小值为36， 答：参加活动的同学人数为60人时，该次活动人均投入费用最低，最低费用是36元； （4）解：由题意得，， ∴， ， 当且仅当时，有最小值， ∵最小值是4， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $