专题2.3 平行线的性质 讲义-2025-2026学年北师大版数学七年级下册

平行线的性质 知识归纳与题型总结 思 维 导 图 培 优 讲 练 考点01 平行线的性质 考点梳理 1、两直线平行，同位角相等 两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等．简述为：两直线平行，同位角相等． 数学语言：如图，如果a//b且直线a，b被直线c所截，那么． 2、两直线平行，内错角相等 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等．简述为：两直线平行，内错角相等． 数学语言：如图，如果a//b且直线a，b被直线c所截，那么（或）． 3、 两直线平行，同旁内角互补 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补． 数学语言：如图，如果a//b且直线a，b被直线c所截，那么． 典例引领 考向01 两直线平行，同位角相等 【例1】如图，直线分别与直线、相交于点、，，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 考向02 两直线平行，内错角相等 【例2】机器人“夸父”是我国全运会历史上首个人形机器人火炬手．如图是“夸父”在传递火炬时的平面示意图．若，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 考向03 两直线平行，同旁内角互补 【例3】现有一张长方形彩带，将其沿折叠成如图所示图形，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 对点提升 【对点1】如图，在中，．证明： (1) (2)． 【对点2】如图，，射线交线段于点．下列角中，与相等的角为（   ） A． B． C． D． 【对点3】如图，水面与底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，折射光线射到水底处，点在的延长线上，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 考点02 平行线的性质的应用 考点梳理 1.、求角度：已知平行，求未知角（用相等/互补） 2、 证明角相等/互补：通过平行转化角 3、 折叠问题：矩形、纸条折叠，结合平行+对顶角+角平分线 4.、生活应用：公路拐弯、光线反射、梯子、窗框等 5.、多平行线模型：a∥b∥c，多次用性质转化角 典例引领 考向01 根据平行线的性质探究角的关系 【例1】如图，已知，、的交点为，现作如下操作：第一次操作，分别作和的三等分线，交点为，即，；第二次操作，分别作和的三等分线，交点为，即，；第三次操作，分别作和的三等分线，交点为，即，，…；第次操作，分别作和的三等分线，交点为．若度，那么（   ） A． B． C． D． 考向02 根据平行线的性质求角的度数 【例2】如图是共享单车车架的示意图，线段，，分别为前叉、下管和立管（点在上），为后下叉，已知，，，，则的度数是____________°． 考向03 平行线的性质在生活中的应用 【例3】小颖从酒店骑车前往位于酒店南偏东方向的大唐芙蓉园游玩．到大唐芙蓉园后，此时定位显示酒店位于大唐芙蓉园的___________方向． 考向04 根据平行线的判定与性质求角度 【例4】如图，在中，点D，E在边上，点F在边上，点H在边上，，且． (1)求证：； (2)若平分，，求的度数． 考向05 根据平行线的判定与性质证明 【例5】如图，点F在上，． (1)尺规作图：过点F作，交于点H；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，试说明． 对点提升 【对点1】将一块直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置．下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【对点2】将三角尺的直角顶点放在两条平行线中的直线上，若，则___________． 【对点3】2025年11月2日，人形机器人“夸父”成为全运会历史上首个人形机器人火炬手．图是“夸父”在传递火炬时某瞬间的姿势及其平面示意图．其中，，，；求的度数． 【对点4】如图，已知，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【对点5】如图，B，C，E三点在同一直线上，A，F，E三点在同一直线上，．若，则与平行吗？请说明理由． 好 题 冲 关 能力提升 1、 选择题 1．如图，这是小宣在试鞋镜前的光路图，入射光线经平面镜反射后得到光线，若，反射角（等于入射角）的度数为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，四边形为一长条形纸带，，将四边形沿折叠，A、D两点分别与、对应，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，已知，，H、G分别是和上的点，，，平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．已知直线，将一块含角的直角三角板按如图方式放置，其中斜边与直线n交于点D．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．把两块分别含角和含角的直角三角板按如图方式放置于两条平行线间．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．如图，，，则的关系是（    ） A． B． C． D． 7．如图，已知，点在直线上，交于点，平分，交于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．已知M，N分别是长方形纸条边，上两点（），如图1所示，沿M，N所在直线进行第一次折叠，点A，D的对应点分别为点E，F，交于点P，如图2所示，继续沿进行第二次折叠，点B，C的对应点分别为点G，H，若，则的度数为（       ） A． B． C． D． 9．在数学课上，老师给出如图所示的图形，已知和射线，，现在老师让同学们画，且边，根据老师的要求画出图形，若的3倍比大，则的度数为（    ） A． B． C． D．或 10．如图所示，直线，点E在上，点H在上，点F、G在直线的上方，点Q是延长线上一点，且满足，则与的数量关系是（    ） A． B． C． D． 2、 填空题 11．如图，平分，且，如果，那么的度数为______°． 12．如图，已知，点、、在直线上，点在直线上，，垂足为点，平分，若，则___________． 13．青花瓷，又称白地青花瓷、青花，是中国陶瓷烧制工艺的珍品，也是中国瓷器的主流品种之一．如图1是某种青花瓷花瓶，图2是其抽象出的简易轮廓图，已知，，若，则的度数为___________． 14．如图，，点在直线左侧，，，射线从射线出发，绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时射线从射线出发，绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，当射线旋转时两条射线都停止旋转．射线与射线交于点，若，则射线旋转了______秒． 15．如图，，平分，平分，，若，则的度数为___________． 3、 解答题 16．已知：直线，点和点是直线上的点，点和点是直线上的点，连接，，设直线和交于点． (1)在如图1所示的情形下，若，求的度数（提示：可过点作）； (2)在如图2所示的情形下，若平分，平分，且与交于点，当，时，求的度数． (3)如图3，当点在点的右侧时，若平分，平分，且，交于点，设，，用含有，的代数式表示． 17．如图所示，，垂足为D，F是上任意一点，，垂足为E，且，求的度数． 18．某学校数学兴趣小组的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． (1)如图2，若，，，则___________°； (2)如图3，，点P在的上方，问，，之间有什么数量关系？请说明理由； (3)如图4，若，的平分线和的平分线交于点Q，求的度数． 19．对于平面内的和，若存在一个常数，使得，则称为的“倍补充周角”．例如，，则为的“6倍补充周角”． (1)若，则的“倍补充周角”的度数为_____°； (2)如图，在平面内，点为直线上一点，点为直线上一点．连接，； ①点、分别在线段、上（如图1）．若点在直线上方，先探究，，这三个角的数量关系．再求当是的“7倍补充周角”且时，的度数． ②如图，若点为平行线、之间一个动点，连接，和的角平分线交于点．若，，是的“4倍补充周角”，求的度数（用含和的代数式表示）． 20．如图，已知，，分别是直线，上一点，点在直线，之间． (1)如图1，探究，，之间的数量关系（有证明过程） (2)如图2，延长交于点，连接，恰有，若，的平分线与直线交于点，且，求的度数． (3)把一副标准三角板如图放置，三角板顶点和顶点重合，且、、、位于同一直线上，将三角板，三角板分别以每秒，每秒绕点和点顺时针旋转，三角板运动20秒后立即以原速返回，设运动时间为，当时求出值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $平行线的性质知识归纳与题型总结 思维导图 两直线平行，同位角相等 平行线的性质 两直线平行，内错角相等 两直线平行，同旁内角互补 平行线的性质 根据平行线的性质探究角的关系 根据平行线的性质求角的度数 平行线的性质的应用 平行线的性质在生活中的应用 根据平行线的判定与性质求角度 根据平行线的判定与性质证明 培优讲练 考点01平行线的性质 考点梳理 1、两直线平行，同位角相等 两条平行直线被第三条直线所截，同位角相签。简述为：两直线平行，同位角相篷， 数学语言：如图，如果a/b且直线a,b被直线c所截，那么∠1=∠2 2、两直线平行，内错角相等 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相篷.简述为：两直线平行，内错角相等 数学语言：如图，如果a/b且直线a,b被直线c所截，那么∠1=∠2（或∠3=∠4）. 1/40 3、两直线平行，同旁内角互补 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补.简单说成：两直线平行，同旁内角互 社 数学语言：如图，如果a/b且直线a,b被直线c所截，那么∠1+∠2=180°. 三典例引领 考向01两直线平行，同位角相等 【例1】如图，直线GH分别与直线AB、CD相交于点F、E,AB‖CD,若∠AFH=135 ,则∠CEG的大小为() H G A.1359 B.45° C.35° D.55 【答案】B 【分析】根据两直线平行同位角相等，可求得∠CEF的度数，再由邻补角的定义即可求得 ∠CEG的度数 【详解】解：AB‖CD,∠AFH=135°， ∠CEF=∠AFH=135°， :∠CEG=180°-∠CEF=45° 考向02两直线平行，内错角相等 【例2】机器人“夸父”是我国全运会历史上首个人形机器人火炬手，如图是“夸父”在传递火 炬时的平面示意图.若AB∥CD,BC∥DE,∠ABC=100°，则∠CDE的度数是() 2/40 A.80° B.950 C.100° D.105° 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质，两直线平行，内错角相 等，得∠CDE=∠BCD=∠ABC,从而求出∠CDE的度数. 【详解】解：：AB‖CD ∠BCD=∠ABC, :BC‖DE, .∠CDE=∠BCD, ∴.∠CDE=∠BCD=∠ABC=100 考向03两直线平行，同旁内角互补 【例3】现有一张长方形彩带，将其沿BC折叠成如图所示图形，若∠1=122°，则∠2的度 数为() A.56° B.58 C.64° D.66 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质， 根据平行线的性质得到∠BCD=180°-∠1=58°，根据折叠的性质得到L2=∠BCD=58°即可。 【详解】解：如图， B 3/40 :长方形彩带， .AB∥CD, .∠BCD=180°-∠1=58°， :折叠， .∠2=LBCD=58°. 故选：B. 一对点提升 【对点1】如图，在ABC中，DE∥BC,LEDF=LC.证明： (1)DF∥AC (2)∠BDF=∠A. 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质， (1)根据平行线的性质得出∠EDF+∠DFC=180°，等量代换可得出∠C+∠DFC=180°， 进而可得出DF∥AC, (2)由DF∥AC得出∠BDF=∠A, 【详解】(1)证明：~DE∥BC, .∠EDF+∠DFC=180°， LEDF=∠C, ∠C+∠DFC=180°， DF∥AC. (2)证明：DF∥AC, ∠BDF=∠A. 4/40 【对点2】如图，AB∥CD,射线CF交线段AB于点E.下列角中，与∠BEF相等的角为() A.∠ABC B.∠ACB C.ZBCD D.∠DCE 【答案】D 【分析】本题考查平行线的性质，对顶角等知识，由对顶角相等可得∠BEF=∠AEC,由平 行线的性质可得LAEC=∠DCE,则LBEF=LDCE, 【详解】解：根据题意，得LBEF=∠AEC, :AB∥CD, .∠AEC=∠DCE, .∠BEF=∠DCE. 故选：D 【对点3】如图，水面MW与底面EF平行，光线AB从空气射入水里时发生了折射，折射 光线BC射到水底C处，点D在AB的延长线上，若∠1=68°，∠2=44°，则∠DBC的度数 为() 空气 B 2 D E A.44° B.32° C.24° D.20° 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，由平行线的性质求出∠CBN的度数，由平角定义即可 求出∠DBC的度数， 【详解】解：MN‖EF, .∠1+∠CBN=180°， :∠1=68°， 5/40 .∠CBN=112°， :∠DBC+∠CBN+∠2=180°，∠2=44°， .∠DBC=24°， 故选：C. 考点02平行线的性质的应用 考点梳理 1.、求角度：已知平行，求未知角（用相等/互补） 2、证明角相等/互补：通过平行转化角 3、折叠问题：矩形、纸条折叠，结合平行+对顶角+角平分线 4.、生活应用：公路拐弯、光线反射、梯子、窗框等 5.、多平行线模型：a/b∥c,多次用性质转化角 典例引领 考向01根据平行线的性质探究角的关系 【例1】如图，已知AB∥CD,CE、BE的交点为E,现作如下操作：第一次操作，分别作 ∠ABE和∠DCE的三等分线，交点为6，即∠ABE∠ABE,∠DCE=号∠DCE；第= 3 次操作，分别作∠ABE,和∠DCE,的三等分线，交点为E,即∠ABE,=∠ABE, ∠DC6-写DC5:第三次操作，分别作∠18E,和∠DCE的二等分线，交点为名，即 ∠ABE=写AB6,∠DCE号∠DC::第微操作，分别作∠ABE和∠DCE的三 等分线，交点为E,若∠E。=a度，那么LBEC=()。 -E3 D A.3"u B.3"a C.3+a D. 6/40 【答案】A 【分析】过点E作EF∥AB,则∠ABE=∠I,EF CD,从而可得∠DCE=∠2，结合 ∠BEC=∠I+L2,得出LBEC=∠ABE+∠DCE,分别表示出∠BE,C、∠BE,C、∠BEC, 得出规律即可· 【详解】解：如图，过点E作EF∥AB, A C 则∠ABE=∠1， :AB∥CD, .EF CD, .∠DCE=∠2， :∠BEC=∠1+∠2， ∠BEC=∠ABE+∠DCE, “∠ABE-}ABE,∠Dc5}<DcE. ∠BE,C=∠ABE+∠DCE=∠ABE+∠DCE=!∠BEC, 3 3 :∠4BE,=ABE,∠DcE,=DCE, ∠BE,C=∠ABE,+∠DCE,=ABE+∠DCE-∠BEC=×∠B6C- 2 ∠BEC, 3 3 33 :∠ABE,=ABE,∠DCE=∠DcE, BEc-L1E,+cR-日4+号<cE-BEC-6∠Baec-周∠ec. WE.c-) ∠BEC, :∠En=, 7/40 .∠BEC=3”a 考向02根据平行线的性质求角的度数 【例2】如图是共享单车车架的示意图，线段AB,CE,DE分别为前叉、下管和立管（点 C在AB上)，EF为后下叉，己知AB∥DE,AD∥EF,∠BCE=57°，∠CEF=128°，则 ∠ADE的度数是 A D 夕 E F 【答案】71 【详解】解：：AB∥DE, .∠CED=LBCE=57°， .∠DEF=∠CEF-∠CED=128°-57°=71°， :AD∥EF, .∠ADE=∠DEF=71°， .∠ADE的度数是71°. 考向03平行线的性质在生活中的应用 【例3】小颖从酒店骑车前往位于酒店南偏东65°方向的大唐芙蓉园游玩.到大唐芙蓉园后， 此时定位显示酒店位于大唐芙蓉园的 方向. 北 酒店 65 大唐芙蓉园 【答案】 北偏西65 【详解】解：如图，酒店位于大唐芙蓉园的北偏西65°. 8/40 北 酒店 65 大唐芙蓉园 考向04根据平行线的判定与性质求角度 【例4】如图，在ABC中，点D,E在AB边上，点F在AC边上，点H在BC边上， DH∥AC,且∠1+∠2=180°. H (1)求证：EF‖DC; (2)若CD平分∠ACB,∠BHD=64°，求∠2的度数. 【答案】(1)证明见解析 (2148° 【分析】(1)根据平行线的性质得∠1=∠ACD,结合已知可得∠ACD+∠2=180°，即可根 据平行线的判定证明结论： (2)根据平行线的性质得∠ACB=64°，结合角平分线的定义，得到LACD=32°，再结合 (1)中的结果，即可求得答案. 【详解】(1)证明：：DH∥AC, ∠1=∠ACD, ∠1+∠2=180°， ∠ACD+∠2=180°， EF∥DC; (2)解：：DH∥AC, .∠ACB=∠BHD=64°， :CD平分∠ACB, 9/40 ∴∠ACD=∠ACB=32°， 由(1)知∠ACD+∠2=180°， ∠2=180°-∠ACD=148°. 考向05根据平行线的判定与性质证明 【例5】如图，点F在AC上，∠1=∠C. B D (1)尺规作图：过点F作FH∥AD,交BC于点H;(保留作图痕迹，不写作法) (2)在(1)的条件下，试说明∠2=∠CFH, 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了尺规作图（作一个角等于已知角），平行线的判定与性质，熟练掌握平 行线的尺规作图及平行线的判定与性质是关键 (1)根据尺规作图（作一个角等于已知角），作∠CFH=∠DAC,根据平行线的判定，可得 FH∥AD; (2)由∠I=∠C,可得ED∥AC,所以∠2=LDAC,再根据FH∥AD,可得 ∠DAC=∠CFH,即可证明结论， 【详解】(1)解：如图，线段FH就是所求作的线段； B D H (2)解：：∠1=∠C, 10/40 ED∥AC, L2=∠DAC, 由(1)得，FH∥AD, :LDAC=∠CFH, :∠2=∠CFH. 一对点提升 方” 【对点1】将一块直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置.下列结论：①∠1=∠2；② ∠3=∠4；③∠2+∠3=90°；④∠4+∠5=180°.其中正确的个数是() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】D 【分析】根据平行线的性质可判断①②④，根据∠2+∠4+90°=180°，可得∠2+∠4=90°， 据此可判断③ 【详解】解：纸条的两边平行， ∴∠1=∠2，∠3=∠4，∠4+∠5=180°，故①②④正确， :∠2+∠4+90°=180°， .∠2+∠4=90°， ∠2+∠3=90°，故③正确： .正确的有4个. 【对点2】将三角尺的直角顶点放在两条平行线中的直线AB上，若∠1=24°，则∠2= 【答案】66 11/40 【分析】由平行线的性质，可得∠2=∠3，由∠3+∠1=90°，求出∠3=66°，进而可得∠2 的度数。 【详解】解：如图所示， B :将三角尺的直角顶点放在两条平行线中的直线AB上， ∠2=∠3， 又：∠3+∠1=90°，∠1=24°， ∠3=90°-24°=66°， ∠2=66°. 【对点3】2025年11月2日，人形机器人“夸父”成为全运会历史上首个人形机器人火炬手.图 是“夸父”在传递火炬时某瞬间的姿势及其平面示意图.其中，∠GHN:∠FGE=2:1, ∠HGF=140°，GE∥MN;求∠GHM的度数. M 5C-A人形火手 H B 【答案】100° 【分析】根据平行线的性质得到∠HGE=I80°-∠GHN,再由题意得到∠FGE=)∠GHN, 则180°-∠GHN+∠GHN=140°，据此求解即可 【详解】解：：GE∥MN, .∠GHN+∠HGE=180°， .∠HGE=180°-∠GHN, :∠GHN:∠FGE=2:1, :∠rGE-∠GHN, 12/40 :∠HGF=∠HGE+∠FGE=140°， .180°-∠GHN+ ∠GHN=140°， 2 .∠GHN=80°， .∠GHM=180°-∠GHN=100°. 【对点4】如图，已知∠1=∠2=120°，∠3=105°，则∠4的度数为() A.105° B.750 C.120° D.60° 【答案】A 【分析】根据平行线的判定与性质求解即可. 【详解】解：如图 :∠1=∠2=120°， .a∥b, .∠5=∠3=105°， .∠4=105°. 【对点5】如图，B,C,E三点在同一直线上，A,F,E三点在同一直线上， ∠1=∠2=∠E.若∠3=∠4，则AB与CD平行吗？请说明理由. A D F 【答案】AB∥CD,理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，先证明AD∥BE,得到∠CAD=∠3，则可 13/40 证明∠CAD=∠4，再证明∠BAE=∠CAD,得到∠BAE=∠4，则可证明AB∥CD. 【详解】解：AB∥CD,理由如下： :∠2=LE, :AD∥BE, .∠CAD=∠3， ∠3=∠4， .∠CAD=L4: :∠1=∠2， .∠1+∠CAE=∠2+∠CAE, ∴.∠BAE=∠CAD, ∠BAE=∠4， .AB∥CD. 好题冲关 一能力提升 一、选择题 1.如图，这是小宣在试鞋镜前的光路图，入射光线A0经平面镜反射后得到光线OE,若 OA∥BC,BO⊥ON,反射角（等于入射角）∠EON的度数为30°，则∠CB0的度数为() A.1309 B.120° C.60° D.30° 【答案】B 【分析】根据光的反射得出相等的角，然后根据垂直和平行线的性质求解. 【详解】解：由题意得，LAON=∠E0N=30°， B0⊥ON, .∠B0N=90°， 14/40 .∠A0B=∠B0N+∠A0N=90°+30°=120°， :OA∥BC, .∠CB0=∠A0B=120°. 2.如图，四边形ABCD为一长条形纸带，AB∥CD,将四边形ABCD沿EF折叠，A、D两 点分别与、D对应，若∠1=∠2，则∠AEF的度数为() A-- A.609 B.65° C.72° D.75° 【答案】A 【分析】己知AB∥CD,则∠I=∠AEF,由折叠可知∠A'EF=∠AEF，,根据已知条件 ∠1=∠2，则可知∠A'EF=∠AEF=∠2，再根据∠A'EF+∠AEF+∠2=180°，则题目可解。 【详解】解：：AB∥CD, ∠1=∠AEF, :沿EF折叠，A、D两点分别与、D对应， ∠A'EF=LAEF, ∠1=∠2， ∠AEF=∠AEF=∠2， :∠A'EF+∠AEF+∠2=180°， .3∠AEF=180°， .∠AEF=60°. 3.如图，己知AB∥CD,CD∥EF,H、G分别是AB和EF上的点，∠AHC=34°， ∠FGC=108°，CQ平分∠HCG,则∠DCQ的度数为() B D EG 15/40 A.15° B.199 C.20 D.30° 【答案】B 【分析】根据平行线的性质得∠AHC=∠HCD=34°，∠FGC+∠DCG=180°，则 LDCG=72°，∠HCG=LHCD+LDCG=106°，再根据平行线的定义求∠HCQ,最后根据 ∠DCQ=∠HCQ-∠HCD求解. 【详解】解：：AB∥CD,∠AHC=34°， .∠AHC=∠HCD=34°， :CD∥EF,∠FGC=108°， .∠FGC+∠DCG=180°， .∠DCG=180°-108°=72°， .∠HCG=∠HCD+∠DCG=34°+72°=106°， :CQ平分∠HCG, :∠mcQ=HcG=58n, ·∠DCQ=∠HCQ-∠HCD=53°-34°=19° 4.已知直线m∥n,将一块含45°角的直角三角板ABC按如图方式放置，其中斜边BC与直 线n交于点D.若∠1=20°，则∠2的度数为() )0 m B A.50 B.65° C.70° D.80° 【答案】B 【分析】在C左边作CE∥n,由三角板可得∠ACB=45°，∠BAC=90°，根据拐点模型得到 LACB=∠1+∠3=45°求出∠3=25°，再根据∠2=180°-∠BAC-∠3计算即可. 【详解】解：在C左边作CE∥n, 16/40 2 m E------->C n B 由三角板可得∠ACB=45°，∠BAC=90°， :∠1=20°，CE∥n, ∴.∠1=∠ECB=20°， .∠ACE=∠ACB-∠ECB=45°-20°=25°， :m∥n, CE∥m, .∠ACE=∠3=25°， .∠2=180°-∠BAC-∠3=180°-250-90°=65°. 5.把两块分别含30°角和含45°角的直角三角板按如图方式放置于两条平行线间.若 ∠AEF=35°，则∠GHD的度数为() A -B M D H A.55 B.45° C.40° D.35° 【答案】D 【分析】根据题意证明EF∥HG,延长HG交AB于点N,根据平行线的性质，即可求解。 【详解】依题意，∠EFG=∠MGH=90° .EF∥HG 如图，延长HG交AB于点N, 17/40 E B G C H ∴.∠AEF=∠ANH 又：AB∥CD LGHD=LANH=LAEF=35° 6.如图，AB∥EF,∠C=90°，则，B,Y的关系是() A B C BCD E丁y A.B+y-a=90° B.a+6+y=180 C.B=a+y D.a+B-y=90° 【答案】D 【分析】过点C作MN∥AB,过点D作PQ∥EF,得到ABII EF II MN‖PQ,根据平行线的 性质，角的和，等量代换思想，求解即可。 【详解】解：过点C作MN∥AB,过点D作PQ∥EF, :AB∥EF, .AB II EF II MN I PO, A M----- C ---W P----- .-o E 一F .a=∠BCN,∠DCN=∠CDP,LPDE=y, ∠BCD=∠BCN+∠DCN,∠CDE=∠CDP+∠PDE=B, ∴.a+∠CDP=∠BCN+∠DCN=∠BCD, :∠BCD=90°， .a+∠CDP=90°， 18/40 .a+LCDP+∠PDE=y+90°， .a+B=y+90°， .a+β-y=90° 7.如图，已知AB∥CD,点P在直线AB上，PE交CD于点M,PF平分∠EPB,交CD于 点N,若∠PMD=56°，则∠FND的度数为() M A B A.340 B.56° C.62° D.68° 【答案】C 【分析】根据平行线的性质得出∠EPB=124°，根据角平分线的定义得出LBPF=62°，再 根据平行线的性质可得答案， 【详解】解：：AB∥CD, .∠EPB+∠PMD=180°，∠FND=∠PFB, :∠PMD=56°， ∠EPB=180°-∠PMD=124°， :PF平分∠EPB, BPF-EPB62 .∠FND=∠PFB=62°. 8.己知M,N分别是长方形纸条ABCD边AB,CD上两点(AM>DN),如图1所示，沿 M,N所在直线进行第一次折叠，点A,D的对应点分别为点E,F,EM交CD于点P,如 图2所示，继续沿PM进行第二次折叠，点B,C的对应点分别为点G,H,若∠1=∠2， 则∠CPM的度数为() 19/40 D M B G 图1 图2 A.75 B.72° C.70° D.60 【答案】B 【分析】由翻折的性质和长方形的性质可得出：∠AMN=∠NMP=∠I=∠2，∠CPM=∠HPM, 据此可得∠AMP=2∠1，∠GMP=3∠1，再根据HP∥GM得∠HPM+∠GMP=180°，根据 CP∥BM得∠CPM=∠AMP=2∠1，据此可求出∠1=36°，进而可求出∠CPM的度数 【详解】解：由翻折的性质得：∠AMN=∠NMP,∠CPM=∠HPM, :四边形ABCD为长方形， :AB∥CD, .∠AMN=∠1， :∠NMP=∠1， 又：∠1=∠2， :∠AMN=∠NMP=∠1=∠2， .∠AMP=2∠1，∠GMP=3∠1， :HP‖GM, ∠HPM+∠GMP=I80°， 即：∠HPM+3∠1=180°， CP‖BM, :∠CPM=∠AMP=2∠1， .∠HPM=∠CPM=2∠1， 2∠1+3∠1=180°， ∠1=36°， ∠CPM=2∠1=72°. 9.在数学课上，老师给出如图所示的图形，已知∠AOB和射线CD,OA∥CD,现在老师 20/40 让同学们画∠DCE,且边CE∥OB,根据老师的要求画出图形，若∠AOB的3倍比 ∠DCE大80°，则∠DCE的度数为() D A.40° B.140° C.115° D.40°或115 【答案】D 【分析】分CE在CD右侧和左侧两种情况讨论，根据平行线的性质求解即可. 【详解】解：当CE在CD右侧时， E :OA∥CD, ∴.∠AOB=∠CFB, CE∥OB, ∠DCE+∠CFB=180°， .∠DCE+∠A0B=180°，即∠AOB=180°-∠DCE, 又：∠AOB的3倍比∠DCE大80°， .3∠AOB-∠DCE=80°，即3(180°-∠DCE)-∠DCE=80° ∠DCE=115°； 当CE在CD左侧时， :OA∥CD, D ∴.∠AOB=∠CFB, 21/40 :CE∥OB, .∠DCE=∠CFB, :ZDCE ZAOB 又：∠AOB的3倍比∠DCE大80°， .3∠AOB-∠DCE=80°，即3∠DCE-∠DCE=80° .∠DCE=40°. 1O.如图所示，直线AB∥CD,点E在AB上，点H在CD上，点F、G在直线AB的上方， 点Q是FE延长线上一点，且满足∠FEG=3∠AEF,∠GHQ=3∠DHQ,则∠G与∠Q的数量 关系是() G F G H D A.∠G+∠Q=65° B.∠Q=3∠G C.3∠Q-∠G=180° D.4∠Q-∠G=180° 【答案】D 【分析】设∠AEF=x,∠DHQ=y,证明∠EKH=∠GHD=4y,得到180°-4x+∠G=4y, 再根据三角形外角定理得到x+4y=3y+∠Q,得到4∠Q=4x+180°-4x+∠G,即可证明结 论 【详解】解：设∠AEF=x,∠DHQ=y, ∴.∠FEG=3x,∠GHQ=3y, :∠GEB=180°-∠AEF-∠FEG=180°-4x, ∠GHD=∠GHQ+∠QHD=4y, :AB∥CD, .∠EKH=∠GHD=4y, :∠GEB+∠G=∠EKH, .180°-4x+∠G=4y, '∠KEQ+∠EKH=∠GHQ+∠Q, 22/40 .x+4y=3y+∠Q, .∠Q=x+y, .4∠Q=4x+4y, .4∠Q=4x+180°-4x+∠G, :4∠Q-∠G=180°. G F K A B G 二、填空题 11.如图，BE平分∠ABC,且DE∥BC,如果LADE=60°，那么∠DEB的度数为 A D 【答案】30 【分析】根据平行线的性质得出∠ABC=∠ADE,由角平分线的定义得出∠CBE的度数，再 根据平行线的性质得出LDEB=LCBE即可求解. 【详解】解：DE∥BC, :∠ABC=∠ADE(两直线平行，同位角相等). :∠ADE=60°， ∠ABC=60°. :BE平分∠ABC, :∠CBE=∠ABC=)x60°=30°（角平分线的定义）. 2 2 :DE∥BC, ∠DEB=LCBE(两直线平行，内错角相等). :∠DEB=30°. 12.如图，己知EF∥GH,点A、D、B在直线EF上，点C在直线GH上，AC⊥BC, 23/40 垂足为点C,CB平分∠DCH,若∠ACD:∠BCH=7:3,则∠DAC= B 一F H 【答案】63 【分析】设∠BCH=3x,根据比例关系表示出∠ACD,利用角平分线的定义表示出∠DCB ，结合垂直定义建立方程求出x的值，进而求出∠BCH的度数，最后利用平角的定义和 平行线的性质求解即可. 【详解】设∠BCH=3x :∠ACD:∠BCH=7:3, .∠ACD=7x, :CB平分∠DCH, .∠BCH=∠DCB=3x, :AC⊥BC, .∠ACB=90°， .∠ACD+LDCB=90°， .7x+3x=90°， x=9°， .∠BCH=3x9°=27°， 点C在直线GH上， .∠ACG=180°-∠ACB-∠BCH=180°-90°-27°=63°， :EF∥GH , .∠DAC=∠ACG=63°. 13.青花瓷，又称白地青花瓷、青花，是中国陶瓷烧制工艺的珍品，也是中国瓷器的主流品 种之一，如图1是某种青花瓷花瓶，图2是其抽象出的简易轮廓图，已知AG∥EF, AB∥DE,若∠BAG=75°，则∠DEF的度数为 24/40 D 图1 图2 【答案】105° 【分析】延长AG,交ED的延长线于点M,根据平行线的性质得出LDEF+∠M=180°， ∠M=∠BAG,代入已知数据即可求解 【详解】解：如图所示，延长AG,交ED的延长线于点M, :AG∥EF,AB∥DE, .∠DEF+∠M=180°，∠M=∠BAG, .∠DEF=180°-∠BAG=105°. 14.如图，AB∥CD,点E在直线BC左侧，BE⊥CE,∠ABE=60°，射线BM从射线BE 出发，绕点B以每秒3°的速度按顺时针方向旋转，同时射线CN从射线CE出发，绕点C以 每秒1°的速度按顺时针方向旋转，当射线BM旋转240°时两条射线都停止旋转，射线BM与 射线CN交于点P,若∠BPC=42°，则射线BM旋转了秒 A D 【答案】24或66/66或24 25/40 【分析】分点P在直线BC左侧和点P在直线BC右侧两种情况，利用平行线的性质及角的 和差关系分别列方程求解即可。 【详解】解：如图，当点P在直线BC左侧时，设BE与PC交于点F,运动时间为t,过点 F作FG∥PB,FH∥CE, N M B -G C D :BM绕点B以每秒3°的速度按顺时针方向旋转，CN绕点C以每秒1°的速度按顺时针方向 旋转， LECP=t，∠EBP=3t, FG∥PB,FH∥CE, .∠BPC=∠GFC,∠PBE=∠BFG,∠BFH=∠E,LECP=LCFH, LBFC ZBFG+ZGFC ZBFH +ZCFH .∠BPC+∠EBP=∠BEC+∠ECP :BE⊥CE,∠BPC=42°， ∠E=90 .42°+31=90°+t, 解得：1=24； 如图，当点P在直线BC右侧时，过点P作PQ川AB,过点E作EK‖CD, M y C :AB∥CD, :POll ABII EK CD, 26/40 .∠BEK=LABE=60°，∠QPC=∠PCD,∠QPB=180°-∠ABP, .∠CEK=30°，∠ECD=180°-∠CEK=150°， :BM绕点B以每秒3°的速度按顺时针方向旋转，CN绕点C以每秒1°的速度按顺时针方向 旋转， .∠ABP=3t-60°，∠ECP=t, ∠QPB=180°-(31-60）=240°-31，∠PCD=150°-t, :∠BPC=42°， .240°-31+42°=150°-t, 解得：1=66； 综上所述：射线BM旋转了24或66秒. 15.如图，AB‖CD,EF平分∠BEG,HN平分∠CHG,HMI‖EF,若∠MHN=36°，则 ∠EGH的度数为 A E B G M c H D 【答案】108°/108度 【分析】设∠BEG=2a,∠DHG=2B,则∠CHG=180°-2B,求出 ∠BEF=∠GEF=a,∠CHN=∠NHG=90°-B,过点G作GPI‖IEF,GQ‖AB,推出 ∠MHN+∠GHN+∠QGH+∠QGP=180°，证明∠QGH=∠DHG=2B,∠QGE=∠BEG=2a, 进而得到∠QGP=a,即可求出a+B=54°，由LEGH=2(a+B)即可求解. 【详解】解：设∠BEG=2a,∠DHG=2B,则∠CHG=180°-2B, :EF平分∠BEG,HN平分∠CHG, ∴∠BEF=∠GEF=o,∠CHN=∠NHG=90°-B, 过点G作GPEF,GOIl AB, 27/40 A E B G 0 M C D HMEF, .HMEF I GP, .∠EGP=∠GEF=a,∠MHG+∠PGH=180°， .∠MHN+∠GHN+∠QGH+∠QGP=180°， :GQ‖AB,AB‖CD, ·ABII CDIIGO, .∠QGH=∠DHG=2B,∠QGE=∠BEG=2a, .∠QGP=∠QGE-∠EGP=a, ∠MHN=36°， 36°+90°-B）+2B+a=180°，即au+B=54°， ∴.∠EGH=∠QGH+∠QGE=2B+2a=2(a+B）=108°. 三、解答题 16.已知：直线a∥b,点A和点B是直线a上的点，点C和点D是直线b上的点，连接AD, BC,设直线AD和BC交于点E. B D 图1 图2 图3 (1)在如图1所示的情形下，若AD⊥BC,求∠1+∠2的度数（提示：可过点E作EG∥AB); 28/40 (2)在如图2所示的情形下，若BF平分∠ABC,DF平分∠ADC,且BF与DF交于点F, 当∠ABC=64°，∠ADC=72°时，求∠BFD的度数 3)如图3，当点B在点A的右侧时，若BF平分∠ABC,DF平分∠ADC,且BF,DF交于 点F,设∠ABC=u,∠ADC=B,用含有o,B的代数式表示∠BFD. 【答案】(1)90° (2)68 e180-a-l 【分析】本题主要考查平行线的判定及性质： (1)过点E作EG∥AB,容易证得AB∥EG,CD∥EG,进而可得∠1=∠3，∠2=∠4； (2)过点F作FG∥AB,容易求得LBFG=LABF,LDFG=LFDC; (3)过点F作FG∥AB,容易求得∠BFG=∠1，∠2=∠3，进而可得 ∠4=∠BFG-∠3=2a-B 【详解】(1)解：如图所示，过点E作EG∥AB y --.G E 3 2 C D :AD⊥BC, .∠BED=90°. :AB∥CD, .AB∥EG,CD∥EG. .∠1=∠3，∠2=∠4. ∠1+∠2=∠3+∠4=∠BED=90°. (2)解：如图所示，过点F作FG∥AB. B A -a 29/40 :AB∥CD, .AB∥FG,CD∥FG. ∠BFG=LABF,LDFG=LFDC :BF平分∠ABC,DF平分∠ADC, 4BF=∠ABC=32,∠FDC=)∠ADCE ∠BFG=∠ABF=32°，LDFG=∠FDC=36°. .∠BFD=∠BFG+∠DFG=68°. (3)解：如图所示，过点F作FG∥AB. 根据图形可知au>90°>B. :AB∥CD, AB∥FG,CD∥FG. ∠BFG=∠1，∠2=∠3 :BF平分∠ABC,DF平分∠ADC, 4-48c-a,2-4c=. 4=∠nG-3=a-. ∠BFD=10-∠4=180-a-, 17.如图所示，CD⊥AB,垂足为D,F是BC上任意一点，EF⊥AB,垂足为E,且 ∠1=∠2，∠3=80°，求∠BCA的度数. 30/40 AG 【答案】80° 【分析】根据CD⊥AB,EF⊥AB,得到CD‖EF,在结合已知得到LDCB=∠1，从而得到 DG‖BC,再由平行线的性质进行求解即可. 【详解】解：：CD⊥AB,EF⊥AB .CD∥EF .∠DCB=∠2 又：∠1=∠2 .LDCB=∠1， DG∥BC .∠BCA=∠3=80°. 18.某学校数学兴趣小组的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是 将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系， 图2 图4 (1)如图2，若AB∥CD,∠BEP=150°，∠PFD=128°，则∠EPF= (2)如图3，AB∥CD,点P在AB的上方，问∠PEA,∠PFC,∠EPF之间有什么数量关系？ 请说明理由； (3)如图4，若∠EPF=98°，∠PEA的平分线和LPFC的平分线交于点Q,求∠Q的度数. 【答案】(1)82 (2)LPFC-∠PEA=∠EPF,见解析 (3)131° 31/40 【分析】(1)过点P作PN∥AB(点N在点P的右侧)，则∠EPN+∠BEP=180°，由此得 ∠EPN=30°，证明PN∥CD得LFPN+LPFD=180°，由此得∠FPN=52°，然后根据 ∠EPF=∠BEP+∠PFD即可得出答案； (2)过点P作PH∥AB(点H在点P的右侧)，则∠HPE=∠PEA,证明PH∥CD得 ∠HPF=∠PFC,然后根据∠EPF=∠HPF-∠HPE即可得出∠PEA,∠PFC,∠EPF之间的数 量关系： (3)由角平分线定义设∠AEQ=∠PEQ=a,∠CFQ=∠PFQ=B,则∠AEP=2a, ∠CFP=2B,进而得∠BEP=180°-2a,∠DFP=180°-2B,由(1)的结论得 ∠Q=∠AEQ+∠CFQ=a+B,∠EPF=LBEP+LDFP=360°-2(a+B),再根据 ∠EPF=98°得98°=360°-2(a+B),进而得a+B=131°，据此即可得出∠Q的度数. 【详解】(1)解：过点P作PN∥AB(点N在点P的右侧)，如图2所示： EB D 图2 .∠EPN+∠BEP=180°， :∠BEP=150°， .∠EPN=180°-∠BEP=30°， AB∥CD, .PN∥CD, ∠FPN+∠PFD=180°， ∠PFD=128°， .∠FPN=180°-∠PFD=52°， .∠EPF=∠EPN+∠FPN=30°+52°=82°， (2)解：∠PEA,∠PFC,∠EPF之间的数量关系是：∠PFC-LPEA=LEPF;理由如下： 过点P作PH∥AB(点H在点P的右侧)，如图3所示： D 图3 32/40 .∠HPE=∠PEA, :AB∥CD, .PH∥CD, .∠HPF=∠PFC, .∠EPF=∠HPF-∠HPE=LPFC-LPEA, 即∠PEA,∠PFC,∠EPF之间的数量关系是：∠PFC-∠PEA=∠EPF; (3)解：：∠PEA的平分线和LPFC的平分线交于点Q, .设∠AEQ=∠PEQ=a,∠CFQ=∠PFQ=B, .LAEP=2a,∠CFP=2B, ∠BEP=180°-∠AEP=180°-2a,∠DFP=180°-∠CFP=180°-2B, 由(1)的结论得：∠Q=∠AEQ+∠CFQ=a+B, ∠EPF=∠BEP+∠DFP=360°-2a+B), :∠EPF=98°， .98°=360°-2a+p）, 解得：a+B=131°， .∠Q=+β=131°. 19.对于平面内的∠N和∠M,若存在一个常数k>1,使得∠N+k∠M=360°，则称∠N为 ∠M的“k倍补充周角”.例如∠N=90°，∠M=45°，则∠N为∠M的“6倍补充周角”. A B A B D F D 图1 备用图 (1)若∠M=120°，则∠M的8倍补充周角"的度数为°： (2)如图，在平面内AB∥CD,点E为直线AB上一点，点F为直线CD上一点.连接PE, PF: ①点E、F分别在线段AB、CD上（如图1）.若点P在直线AB上方，先探究∠PEA, ∠EPF,LPFC这三个角的数量关系.再求当∠EPF是∠PEA的"7倍补充周角"且 33/40 ∠PFC=60°时，∠EPF的度数， ②如图，若点P为平行线AB、CD之间一个动点，连接EF,∠EFP和∠FEP的角平分线交 于点Q,若∠AEP=m°，∠CFP=n°，∠Q是∠G的4倍补充周角”，求∠G的度数（用含 m和n的代数式表示). 【答案】(1)40 (2)①∠EPF+∠PEA=∠PFC,∠EPF的度数为10°； ②∠G=67.50-m°-n°或∠G=22.5°+m°+m 1 1 8 8 8 8 【分门】1少极据管信补充周角倒定义求解事可： (2)①根据平行线的性质与判定求出三个角之间的关系，再根据“7倍补充周角"的定义求 出∠EPF的度数即可； ②分点P在EF左侧和点P在EF右侧两种情况，画出对应的示意图，讨论求解即可. 【详解】(1)解：设∠M的8倍补充周角的为∠N, 由题意得∠N+120°×8=360， 3 解得∠N=40°， :∠M的8倍补充周角的度数为40°： (2)解：①过点P作GH∥AB, :∠EPF是∠PEA的“7倍补充周角”， .∠EPF+7∠PEA=360°， 如图， G P H A E B C D :AB∥CD,GH∥AB, .GH‖ABII CD, .∠GPF+∠PFC=180°，∠GPE+∠PEA=180°， .∠EPF=∠GPE-∠GPF=180°-∠PEA-180°-∠PFC), 34/40 .∠EPF+∠PEA=∠PFC; :∠PFC=60°， ∠PEA+∠EPF=60°， 又：∠EPF+7LPEA=360°， ∠EPF=10°； ②如图，当点P在EF左侧时，过点P作PT∥AB, A D :PT∥AB,CD∥AB, .CD∥AB∥PT, .∠EPT=∠AEP=m°，∠FPT=∠CFP=n°， .∠EPF=∠EPT+∠FPT=m°+n°， ∠PEF+∠PFE=180°-∠EPF=180°-m°-n°； :∠EFP和∠FEP的角平分线交于点Q, ∠QEF=5PER,∠QrE=PFE, i∠0Ep+0rE=PEr+PrE-PEF+∠PrE到-0-m-r. 1 :∠0=180°-∠0EF-∠0FE=90+2m°+5m, ∠Q是∠G的“4倍补充周角"， :∠9+4∠G=360°， 1 90°+5m°+5n°+4∠G=360°， 2 ∠G=67.50- 1 如图，当点P在EF右侧时，过点P作PT∥AB, 35/40 A E B D :PT∥AB,CD∥AB, .CD∥AB∥PT, ∠EPT=180°∠AEP=180°-m°，∠FPT=180°-∠CFP=180°-n°， .∠EPF=∠EPT+∠FPT=360°-m°-n°， :∠PEF+∠PFE=180°-∠EPF=m°+n°-180°； :∠EFP和∠FEP的角平分线交于点Q, ∠QEr-5PER,∠QrE=5PFE, ∠QEF+∠0rE-Pir+pFE-∠PEF+∠PFE-a+ap-90n 2 ·∠Q=180°-∠QEF-∠QFE=270°-1m :∠Q是∠G的“4倍补充周角”， .∠9+4∠G=360°， 20r-r4o=360, 1 1 1 ∠G=22.5°+gm+8: 8 综上所述，∠G=675”-m-r或∠G=225°+日m+安. 2O.如图，已知AB∥CD,M,N分别是直线AB,CD上一点，点E在直线AB,CD之 间. A M B A C(D 0 H 图1 图2 图3 (1)如图1，探究∠BME,∠DNE,∠MEN之间的数量关系（有证明过程） 36/40 (2)如图2，延长NE交AB于点F,连接MN,恰有LEND=∠ENM,若∠EMN=∠EMF, ∠MEN的平分线与直线CD交于点G,且∠MNG=∠HNG,求∠EGN的度数. 3)把一副标准三角板如图放置，三角板顶点C和顶点D重合，且B、C、D、E位于同一 直线上，将三角板ABC,三角板CEF分别以每秒4°，每秒9°绕点A和点D顺时针旋转，三 角板CEF运动20秒后立即以原速返回，设运动时间为(0<1≤40)，当AB∥DE时求出t值. 【答案】(1)∠MEN=∠BME+∠DNE,理由见解析 (2159 r=18或或0 413 【分析】(1)过点E作直线EF∥AB,利用平行线的性质求解； (2)设∠END=∠ENM=x,则可得∠MNG=∠HNG=180°-2x,列方程求得 ∠END=∠ENM=∠MNG=60°，根据平行线的性质可得∠EMN=∠EMF=30°，再利用平 行线的性质求得∠EGN即可： (3)分类讨论，画出图形，利用平行线的性质，逐一列方程求解即可. 【详解】(1)解：∠MEN=∠BME+∠DNE,证明如下： 如图，过点E作直线EF∥AB, E EF∥AB, 图1 .∠BME=∠MEF, AB I CD, ∴.EF CD ·LFEN=∠DNE, :∠MEN=∠MEF+∠FEN=LBME+∠DNE; (2)解：设∠END=∠ENM=x, 则∠MNG=180°-2x, :∠MNG=∠HNG, 37/40 :∠MNG=∠HNG=180°-2x, :∠HNG=∠END(对顶角相等)， 180°-2x=x, 解得x=60, :∠END=∠ENM=∠MNG=60°， AB CD, ∠FMN=∠MNG=60°， ∴∠EMN=∠EMF=∠FMN=3O, 2 如图，过点E作EP∥AB, A M F B P------ E ∠MEP=∠EMF=30°， C G D :AB‖CD, .AB‖CDEP, .∠PEN=END=60°， :∠MEN=∠MEP+∠PEN=90°， :∠MEN的平分线与直线CD交于点G, ·∠MEG=∠NEG=∠MEN=45°， 2 ∠PEG=∠MEG-∠MEP=I5°， .PE l CD, .∠EGN=∠PEG=15o (3)解：如图，过点D作DP,过点A作AH∥DP,过点D作DG⊥DP, M D G 38/40 当0<1<20时，延长DE交AH于点Q, 根据题意可得LEDG=91,∠BAQ=4t, ∴.∠QDP=9t-90°， :AH∥PD, ∴∠MQD=∠QDP=9t-90°， ABII DE, ∴.∠QAB=∠MQD=∠QDP, 可得91-90=4t, 解得t=18; 当20≤t<22.5时，延长DE交AH于点g, M G 此时∠EDG=360°-9t,∠BA9=4t, .∠QDP=270°-9t, :AH∥PD, .∠Mg,D=∠gDP=270°-9t, ABII DE, .∠QAB=∠MQD=∠QDP, 可得270°-91=4t, 解得1=270 3 当22.5≤t<40时，延长ED交AH于点Q, 39/40 E G 此时∠EDG=360°-9t,∠BAQ2=41, .∠MDQ2=∠EDG=360°-9t, .∠Q,DP=∠MDQ2+90°=450°-91， :AH∥PD, .∠MQ,D=180°-∠Q2DP=9t-270°， ABI‖DE, ∠92AB+∠MQ,D=180°， 可得91-270°+41=180°， 解得1=450 139 缘上，当8∥DE时，1=18或或0 13 40/40 六