2.3平行线的性质（3知识点+11大题型+过关检测）2025-2026学年七年级数学下册同步培优讲义（北师大版）

2.3平行线的性质 （3知识点+11大题型+过关检测） 目录 【知识点1 平行线的性质】 1 【知识点2 平行线判定与性质的区别】 2 【知识点3 常用辅助知识（解题必备）】 2 【题型1 两直线平行同位角相等】 2 【题型2 两直线平行内错角相等】 4 【题型3 两直线平行同旁内角互补】 6 【题型4 根据平行线的性质探究角的关系】 8 【题型5 根据平行线的性质求角的度数】 12 【题型6 平行线的性质在生活中的应用】 15 【题型7 根据平行线判定与性质求角度】 17 【题型8 根据平行判定与性质证明】 23 【题型9 补全推理过程】 25 【题型10 平行线中与三角板有关问题】 29 【题型11 添加辅助线解决问题】 38 1. 理解平行线的三大性质（两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补），明确性质与平行判定的区别与联系。 2. 能熟练运用平行线的性质，探究角与角之间的关系、求解未知角的度数，提升几何推理和计算能力。 3. 能结合生活场景，将实际问题抽象为几何图形，运用平行线性质解决生活中的简单几何问题。 4. 掌握平行线判定与性质的综合运用方法，能灵活切换判定（角的关系→线平行）与性质（线平行→角的关系），解决角度计算和证明问题。 【知识点1 平行线的性质】03 知识•梳理 前提：两直线已经平行（与判定的“由角判平行”相反，性质是“由平行判角”），且被第三条直线（截线）所截。 · 性质1（同位角）：两直线平行，同位角相等； · 性质2（内错角）：两直线平行，内错角相等； · 性质3（同旁内角）：两直线平行，同旁内角互补（两角和为180°）。 【知识点2 平行线判定与性质的区别】 · 判定：由“角的关系”推“线平行”（如：同位角相等→两直线平行）； · 性质：由“线平行”推“角的关系”（如：两直线平行→内错角相等）； · 关键口诀：“判定判平行，性质推角度”。 【知识点3 常用辅助知识（解题必备）】 · 角的转化：对顶角相等、邻补角互补（用于平行线性质与判定的衔接）； · 三角板角度：一副三角板固定角度（30°、60°、90°；45°、45°、90°）； · 辅助线作法：过拐点作已知直线的平行线（虚线表示），构造“三线八角”，转化角的关系； · 推理依据：平行线的判定与性质、对顶角相等、邻补角互补、等式性质（等量代换）。 核心易错点汇总 · 混淆判定与性质：误用“角相等→线平行”的判定代替性质，或反之； · 性质应用前提错误：未确认“两直线平行”，盲目使用同位角相等、内错角相等； · 角的转化错误：找错对应角（同位角、内错角、同旁内角），或误用邻补角、对顶角； · 辅助线错误：添加辅助线不标注、不说明作法，或作辅助线后无法正确构造角关系； · 推理错误：补全推理过程时，论据与结论不匹配，漏写推理依据。 04 题型•汇总 【题型1 两直线平行同位角相等】 解题关键：先确认“两直线平行”的前提，再识别同位角（F型），直接利用性质得出两角相等。 【典例1】．如图所示，平行线，被直线所截，，则的度数是 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等．根据平行线的性质和邻补角解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：C． 跟随训练1-1．如图，已知直线，，则________° 【答案】 【分析】本题主要考查平行线的性质和平角的定义，由平角的定义得，根据平行线的性质得． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 跟随训练1-2．如图，直线，分别与直线交于点、，把一块含角的三角尺按如图所示的位置摆放，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线的性质，平角的性质，理解并掌握平行线的性质是解题的关键．根据平行线的性质可得，根据平角的性质即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故选：C． 【题型2 两直线平行内错角相等】 解题关键：确认“两直线平行”，识别内错角（Z型），利用性质得出两角相等，可结合对顶角转化。 【典例2】．如图，已知点在上，，，，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是两直线平行内错角相等，解题关键是熟练掌握平行线的性质． 根据两直线平行内错角相等推得即可得解． 【详解】解：， ， ， ． 故选：． 跟随训练2-1．如图，，点E在上，平分．若，则的大小为________度． 【答案】35 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线定义，关键是由平行线的性质推出，由角平分线定义得到即可求解. 【详解】解：∵，， ∴ ， ∵平分， ∴ ， 故答案为：35． 跟随训练2-2．如图，，，则的度数为_____________． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质及邻补角的定义，掌握两直线平行，内错角相等、邻补角之和为是解题的关键． 由，根据两直线平行，内错角相等得到的度数，再根据邻补角的定义计算的度数． 【详解】解： 与是邻补角 故答案为：． 【题型3 两直线平行同旁内角互补】 解题关键：确认“两直线平行”，识别同旁内角（U型），利用“和为180°”求解未知角。 【典例3】．如图，水面与底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，折射光线射到水底处，点在的延长线上，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，由平行线的性质求出的度数，由平角定义即可求出∠DBC的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故选：C． 跟随训练3-1．如图，，，则（   ） A．80° B．100° C．50° D．130° 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质定理和判定定理，能熟记平行线的性质定理和判定定理是解此题的关键. 求出，根据平行线的判定定理得出，根据平行线的性质定理得出，再求出 即可. 【详解】解：如图          ， ， ， ， ， . 故选：B． 跟随训练3-2．如图，直线，，则_______°． 【答案】55 【分析】本题考查平行线的性质，对顶角相等，掌握知识点是解题的关键． 根据对顶角相等，得到，再由平行线的性质，得到，即可解答． 【详解】解：如图 ∵， ∴， ∵直线， ∴． 故答案为：55． 【题型4 根据平行线的性质探究角的关系】 解题关键：结合平行线性质，将已知角转化为相等或互补的角，探究角之间的相等、互补或和差关系。 【典例4】．如图，，射线平分，点F为的反向延长线上的一点，连接，且满足，若，，则与满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，过点作，根据平行线的性质分别表示出、，根据，即可求解． 【详解】解：如图，过点作 ∵， ∴ ∵，， ∴， ∵ ∴ 又∵射线平分， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故选：D． 跟随训练4-1．如图，、的两边分别平行． (1)在图1中，与的数量关系是 ； (2)在图2中，与的数量关系是 ； (3)用一句话归纳的结论为 ．请选择（1）（2）中的一种情况说明理由． (4)应用：若两个角的两边两两互相平行，其中一个角比另一个角的2倍少30°，求这两个角的度数． 【答案】(1) (2) (3)如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补 (4)这两个角的度数为，或，． 【分析】本题考查了平行线的性质以及角度关系的推理和计算，掌握平行线的性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质即可推导出两个角的数量关系； （2）根据平行线的性质即可推导出两个角的数量关系； （3）根据（1）（2）的数量关系即可得出结论； （4）根据（3）的结论，建立方程即可求解． 【详解】（1）解：如图， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：如图， ， ， ， ， ， 故答案为：； （3）解：用一句话归纳的结论为：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补， 故答案为：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补； （4）解：设另一个角为，则这个角为， 当这两个角相等时， ， 解得：， ∴这两个角的度数为，； 当这两个角互补时， 解得：， ∴这两个角的度数为，； 综上所述：这两个角的度数为，或，． 跟随训练4-2．如图，已知点、分别在直线、上，点在、之间，连接、． (1)求证： (2)若平分，平分，求证： (3)在（2）的条件下，若，，点在直线上，且，求 的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义． （1）过点作，根据平行线的性质可得，，根据，即可得证； （2）同理过点作，根据角平分线的定义，以及平行线的性质即可得证； （3）根据（1）（2）的结论得出，根据垂直的定义可得，进而根据，即可求解． 【详解】（1）证明：如图， 过点作， ， ， ，， 即 （2）证明：由（1）得， 同理过点作， 可得， 平分平分 （3）如图， ∵， 由（2）可得 ∵ ∴ ∴ 【题型5 根据平行线的性质求角的度数】 解题关键：标注图形，通过对顶角、邻补角转化，结合平行线性质，列出等式求解。 【典例5】．如图，小明在走廊上看到一个“安全出口”标志，他从中抽象出这样一个数学图形，其中，，，，，则_________． 【答案】/度 【分析】过点作，得出，由平行线的性质得出，，，根据角的和差关系即可得答案．能正确作出辅助线是解题关键． 【详解】解：如图，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 跟随训练5-1．如图，，点E是上一点，平分，平分，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的定义、平行线的性质，设，先根据角平分线求得，，进而求得，然后利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：设， ∵平分， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B 跟随训练5-2．如图，，与交于点． (1)若，求的度数； (2)若，，试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了垂直的定义，平行线的判定方法及性质等； （1）由同位角相等，两直线平行得，由两直线平行，同位角相等得，即可求解； （2）由两直线平行，同位角相等得，由平行线的性质得，即可得证； 掌握平行线的判定方法及性质是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： ， ， ， ， ， 由（1）可知，， ， ． 【题型6 平行线的性质在生活中的应用】 解题关键：将生活实物抽象为几何图形，识别平行线和截线，利用平行线性质解决问题。 【典例6】．如图是一根杆秤在称物状态时的示意图，，则_____． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据两直线平行同位角相等以及邻补角的定义，即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 跟随训练6-1．如图所示①是一种网红弹弓的示意图，在两头系上皮筋，拉动皮筋可形成如图②所示的平面示意图，弹弓的两边可看成平行的，即．活动小组在探索与，的数量关系时，有如下发现：当拉起皮筋使时，瞄准最准确．现测得，，判断此时瞄准是否_________．（填“准确”或“不准确”） 【答案】准确 【分析】本题主要考查了平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补是解答本题的关键． 过点P作，利用两直线平行，同旁内角互补求出，即有，问题得解． 【详解】解：如图，过点P作，    则． ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴此时瞄准最准确． 故答案为：准确． 跟随训练6-2．如图①，“二八大杠”传统老式自行车承载了一代人的回忆，图②是它的几何示意图．已知，，当时，的度数为_______． 【答案】/度 【分析】本题考查了平行线性质的应用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．先根据两直线平行，同旁内角互补，求得，再根据两直线平行，内错角相等，即得答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【题型7 根据平行线判定与性质求角度】 解题关键：先由角的关系判定两直线平行（判定），再由平行推角的关系（性质），最终求角度。 【典例7】．如图，直线，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、几何图形中的角度计算等知识点，正确作出辅助线、构造平行线是解题的关键． 如图：过点A作，过点B作，由平行线的性质可得；再说明可得，最后根据角的和差以及等量代换即可解答． 【详解】解：如图：过点A作，过点B作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选B． 跟随训练7-1．（1）如图①，，如果，，求的度数．请将下面的求解过程填写完整． 解：过点作直线，使． 因为，所以．（ ） 又因为，所以_____． 因为，且， 所以_____．（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．） 所以_____． 所以． （2）如图②，，如果，，请问等于多少度？写出求解过程． （3）填空：如图③，，请用一个等式表示、与三个角之间的关系：_____． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查平行线的判定和性质； （1）根据平行线的性质和判定进行填写即可； （2）过点作直线，使，根据平行线的性质和判定进行解题即可； （3）过点作直线，使，根据平行线的性质和判定进行解题即可． 【详解】解：（1）过点作直线，使． 因为， 所以．（两直线平行，内错角相等） 又因为， 所以． 因为，且， 所以．（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．） 所以． 所以． （2）如图．过点作直线，使． 因为，所以． 又因为，所以． 因为，且， 所以．（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．） 所以． 所以 ∴ （3）如图．过点作直线，使． 因为，所以． 因为，且， 所以．（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．） 所以 ∴ 所以 跟随训练7-2．材料一：如图，某数学兴趣小组的同学们在学习平行线的过程中，他们发现一个点与一组平行线的位置关系有多种多样： 材料二：在研究的过程中同学们总结出：可以先过某一点作已知直线的平行线，再将角进行拆分或重组从而解决问题．为此，老师给出如下问题： 如图①，，，交于点Q，交于点P．请判断与有怎样的数量关系； 如图②，明明同学通过在点F处作，利用平行线的性质实现了角的转移，进而解决了问题； 如图③，欣欣同学受到了明明方法的启发，另辟蹊径，在点Q处作，同样也有着异曲同工之妙． 【问题解决】 （1）请判断与有怎样的数量关系，并选择一名同学的解题思路，写出证明过程； 【类比运用】 （2）如图④，，反向延长的平分线，交直线于点F，点H在直线上，连接，若，，求的度数； 【变式探究】 （3）如图⑤，，平分，且，，请直接写出的度数． 【答案】（1），见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查平行线的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）选择明明同学，由，，得，由平行线的性质得，，，进而即可证明；选择欣欣同学，由平行线的性质得，，推出，进而即可证明； （2）过点P作，根据平行线的性质求出和，进而即可求解； （3）过点P作，过点N作，延长交于点Q，则，根据平行线的性质得，，进而证明，根据推出，进而可得，再根据平行线的性质得，，通过等量代换即可求解． 【详解】解：（1）选择明明同学，证明过程如下： ，， ， ， ， ， ， ； 选择欣欣同学，证明过程如下： ， ， ， ， ， ， ， ； （2）如图 ，过点P作， 则， ， ， ， 平分， ， ，， ， ， ， ， 即的度数为； （3）如图 ，过点P作，过点N作，延长交于点Q， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ，， ， 即的度数是． 【题型8 根据平行判定与性质证明】 解题关键：明确证明目标，先判定平行或先利用性质，每一步推理标注依据，逻辑连贯。 【典例8】．如图，在中，．证明： (1) (2)． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质． （1）根据平行线的性质得出，等量代换可得出，进而可得出． （2）由得出． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）证明：∵， ∴． 跟随训练8-1．（1）已知射线，如图①，过点，作．试说明：． （2）如图②，已知射线，．判断与的位置关系，并说明理由． （3）根据以上探究，你发现了什么结论？请写出来． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3）如果两个角相等或互补且一边平行，则另一边也平行 【分析】（1）根据平行线的判定和性质即可得到结论； （2）根据平行线的判定和性质即可得到结论； （3）由（1）、（2）的结论即可得到结果． 【详解】解：（1）∵， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）． 理由如下：∵， ∴． ， ∴， ∴． （3）由（1）（2）可得，如果两个角相等或互补且一边平行，则另一边也平行． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 跟随训练8-2．已知：如图，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定与性质，掌握平行线的判定及性质是解题关键． （1）利用平行公理的推论得到，再由“两直线平行，内错角相等”可推出； （2）由和推出，再结合求出． 【详解】（1）证明：，， ， ． （2）解：，， ， ， ， ． 【题型9 补全推理过程】 解题关键：结合每一步的条件和结论，匹配对应的推理依据（判定、性质、对顶角等），不混淆。 【典例9】．如图，，，，完成探索与的数量关系的过程： 解：因为，， 所以， 所以（________________）， 所以（________________）， 又因为， 所以________________（等量代换）， 所以，（________________）， 所以________________．（两直线平行内错角相等） 【答案】同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；内错角相等，两直线平行；． 【分析】本题考查了平行线的判定和性质．根据平行线的判定和性质补全解析过程即可． 【详解】解：因为，， 所以， 所以（同旁内角互补，两直线平行）， 所以（两直线平行，同位角相等）， 又因为， 所以（等量代换）， 所以，（内错角相等，两直线平行）， 所以．（两直线平行内错角相等） 故答案为：同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；内错角相等，两直线平行；． 跟随训练9-1．如图，，平分，，． (1)请你利用直尺和圆规在内作，使等于（保留作图痕迹，不写作法） (2)根据（1）的作图，求的大小． 小博同学的解答如下，请你帮助他填写完整： 解：∵（已知）， ∴________（________） ∵（已知）， ∴（________） ∴（________）， ∴， ∵平分， ∴（________）， ∴________． 【答案】(1)见解析 (2)；同位角相等，两直线平行；平行于同一直线的两条直线平行；两直线平行，内错角相等；角平分线的定义；． 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，平行线的性质与判定，角平分线的定义； （1）根据要求作出图形； （2）利用平行线的判定和性质解决问题即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：∵（已知）， ∴（同位角相等，两直线平行） ∵（已知）， ∴（平行于同一直线的两直线平行） ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴， ∵平分， ∴（角平分线的定义）， ∴ 故答案为：；同位角相等，两直线平行；平行于同一直线的两条直线平行；两直线平行，内错角相等；角平分线的定义；． 跟随训练9-2．已知：如图，，，．求的度数．（请将解答过程补充完整） 解：∵（已知）， ∴（                  ）， 又∵（已知）， ∴（                  ）， ∴________________（内错角相等，两直线平行）， ∴（                  ）， ∵（已知）， ∴________________． 【答案】两直线平行，同位角相等；等量代换；；两直线平行，同旁内角互补； 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，根据平行线的性质以及已知条件得出，即可证明，进而根据平行线的性质，即可求解． 【详解】解：∵（已知）， ∴（两直线平行，同位角相等）， 又∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， ∵（已知）， ∴ 故答案为：两直线平行，同位角相等；等量代换；；两直线平行，同旁内角互补；． 【题型10 平行线中与三角板有关问题】 解题关键：牢记三角板固定角度，结合平行线性质，转化角的关系求解。 【典例10】．已知在直角三角尺中，． (1)将两个直角三角尺按如图1所示的方式放置，三角尺的直角顶点C与三角尺的直角顶点D重合，，则的度数是______ ． (2)如图2，直线，三角尺的顶点C在直线上，顶点A在直线上，若，求的度数． (3)如图3，直线，三角尺的顶点C在直线上，顶点A在直线上，请直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据“两直线平行，内错角相等”，即可获得答案； （2）首先根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得，结合，，即可获得答案； （3）延长到点，根据“两直线平行，同位角相等”可得，结合，即可证明结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： 如图，延长到点， ∵， ∴， ∵， ∴． 跟随训练10-1．一副三角尺为我们用数学的眼光观察世界提供了一个小小的“窗口”．比如我们根据一副三角尺的不同位置摆放，可探究有关平行线的问题． 如图1是一副三角尺，． (1)如图2，将三角尺的顶点A与三角尺的顶点F重合，使点C落在的延长线上，与相交于点G，求的度数； (2)如图3，将三角尺的直角顶点C放在直线上，使，三角尺的顶点E在直线上，与相交于点P，求的度数； (3)如图4，将三角尺放置固定不动，改变三角尺的摆放位置，但始终保持两个三角尺的直角顶点C，F重合．当点A在直线的下方时，探究这两个三角尺有一组边互相平行的情况，比如当时，，请你直接写出除外，其他所有可能的度数． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】本题主要考查了平行线的性质，平行公理的应用，三角板中角度的计算，掌握分类讨论是解题的关键． （1）过点G作，根据平行线的性质进行求解即可； （2）过点D作，根据，得出，根据平行线的性质进行求解即可； （3）分情况进行讨论：当，当，当，当，分别画出图形求出结果即可． 【详解】（1）解：过点G作，如图， 依题意得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：过点D作，如图， ∵， ∴， ∴， ∵，且， ∴； （3）解：或或或， ①如图，当时， ∵， ∴， ∴； ②如图，当时， ∵， ∴； ③如图，当时， ∵， ∴， ∴， ∴； ④如图，当时，设与交于点T， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上，其他所有可能的度数为或或或． 跟随训练10-2．亲爱的同学们，学习数学要求我们用数学的眼光观察现实世界．一副三角尺为我们观察世界提供了一个小小的“窗口”，学完平行线的性质，可探究三角尺不同位置摆放涉及的数学问题．如图①所示的是一副三角尺，，，，． (1)将两个三角尺按如图②所示的方式摆放，使点A与点F重合，点在上，与相交于点，求的度数； (2)如图③，将三角尺的直角顶点放在直线上，使，三角尺的顶点在直线上，与相交于点，则与有怎样的数量关系？请说明理由； (3)如图④，将三角尺固定不动，改变三角尺的摆放位置，但始终保持两个三角尺的顶点C，F重合．探究这两个三角尺一组边互相平行的情况，并直接写出所有可能的度数． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或或或或或或或． 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）过点作，根据同旁内角互补可得，由平行线性质可知，，代入中即可求解． （2）过点作，根据平行线的性质可得， ，，进而可得． （3）分类讨论：①当时，②当时，③当时，④当时，⑤当时，⑥当时，⑦当时，⑧当时，8种情况时，分别讨论求解即可． 【详解】（1）解：过点作，如图2所示： 依题意得：，，， ∴， ∴， 由平行线性质可知，， ∴． （2）解：，理由如下： 过点作，如图3所示， ∵， ∴， ∴， ∵，且， ∴． （3）解：角度所有可能的值是或或或或或或或． 理由如下：依题意有以下8种情况： ①当时，如图4①所示： 延长交于点M， 则， ∴， ∴； ②当时，如图4②所示： 则， ∴； ③当时，如图4③所示： 当在下方时， 则， ∴； 当在上方时， 则， ∴， 即或． ④当时，如图4④： ∴， ∴； ⑤当时，如图4⑤所示： 则； ⑥当时，如图4⑥所示： 当在左侧时， 则， ∴， ∴； 当在右侧时， 则， ∴． 即或． ⑦当时，如图4⑦， ∴， ∴， ∴； ⑧当时，设与交于点，如图4⑧所示： 则， ∴， ∴． 综上所述：角度所有可能的值是或或或或或或或． 【题型11 添加辅助线解决问题】 解题关键：过拐点作已知直线的平行线（虚线），构造“三线八角”，利用平行线性质转化角。 【典例11】．在学习完《平行线的证明》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，杨老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动，探究平行线的“等角转化”功能． (1)太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯以及其他很多灯具都与抛物线有关．如图1，从点O照射到抛物线上的光线OB，OC等反射以后沿着与平行的方向射出．图中如果，，则______， ______； (2)一种路灯的示意图如图2所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，求与所成的锐角的度数． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、角的和差等知识点，掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）直接根据平行线的性质求解即可； （2）如图：过E点作，易得，则，进而得到，最后根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：，，， ∴，， ∴ 故答案为：，． （2）解：由题意可得：， 如图：过E点作， ， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴． 跟随训练11-1．【模型发现】某学校数学兴趣小组的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． （1）如图1，，P是、之间的一点，连接、，试说明：；请将下面的说理过程补充完整： 说明：如图，过P作． ∵．（辅助线的作法） ∴．（ ） ∵．（已知） ∴．（ ） ∴．（ ） ∵．（角的和差定义） ∴ ．（等量代换） 【方法应用】 （2）如图2，若，，，则 ； 【变式探究】 （3）如图3，，点P在的上方，问，，之间有什么数量关系？请说明理由； 【拓展延伸】 （4）如图4，若，的平分线和的平分线交于点Q，则 ． 【答案】（1）两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线互相平行；两直线平行，内错角相等；；（2）82；（3），见解析；（4）131 【分析】此题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义，准确识图，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键． （1）过P作，根据“两直线平行，内错角相等”得，再根据“平行于同一条直线的两条直线互相平行”得，进而根据“两直线平行，内错角相等”得，由此可得； （2）过点P作（点N在点P的右侧），则，由此得，证明得，由此得，然后根据即可得出答案； （3）过点P作（点H在点P的右侧），则，证明得，然后根据即可得出，，之间的数量关系； （4）由角平分线定义设，，则，，进而得，，由（1）的结论得，，再根据得，进而得，据此即可得出的度数． 【详解】解：（1）如图，过P作， ∵，（辅助线的作法） ∴，（两直线平行，内错角相等） ∵，（已知） ∴，（平行于同一条直线的两条直线互相平行） ∴，（两直线平行，内错角相等） ∵，（角的和差定义） ∴．（等量代换） 故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线互相平行；两直线平行，内错角相等；； （2）过点P作（点N在点P的右侧），如图2所示： ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：82； （3），，之间的数量关系是：；理由如下： 过点P作（点H在点P的右侧），如图3所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即，，之间的数量关系是：； （4）∵的平分线和的平分线交于点Q， ∴设，， ∴，， ∴，， 由（1）的结论得：， ， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：131． 跟随训练11-2．如图，在直角三角尺中，，，过点E，F分别作直线，，使． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，在的平分线上取一点Q，连接，若，求证平分； (3)如图3，作的平分线交于点M，点P是角平分线上位于直线下方的动点，点H是射线上的动点（不与点M重合），请直接写出，与之间的数量关系． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，掌握平行线的性质与判定是解题的关键． （1）设，则，作，利用列式计算即可求解； （2）作，结合（1）的结论，求得，即可证明平分； （3）分两种情况讨论，作，利用平行线性质求解即可． 【详解】（1）解：设，则，作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得， ∴； （2）证明：作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， 由（1）知， ∴，即， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴平分； （3）解：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， 当点在线段上时，作， ∴，， ∴即， ∴； 当点在射线上时，作， ∴，， ∴，即， ∴； 综上，或． 05 过关•检测 1．如图，，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线的性质，角平分线的定义，根据角平分线的定义求得，进而根据平行线的性质，即可求解． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 2．如图，于，交于，平分交于，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，垂直的定义，角平分线的定义，根据垂直的定义可得，根据角平分线的定义可得，进而根据平行线的性质，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴ ∵， ∴ 故选：A． 3．如图所示，长方形纸带，将纸带沿折叠成图2，再沿折叠成图3，则图3中的的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】长方形纸带隐含的条件，通过平行得到和的度数，再通过折叠前后，角的度数不变，得到折叠后对应角的度数，计算即可． 【详解】解：由题意，得， ∴，， ∴，， 图2中，由折叠，可知， ∴， 图3中，由折叠，可知， ∴， 故选：A． 4．如图，已知，过点作，作平分，作交于点，点是直线上的一点，连接与的关系不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，垂直的定义；过点作，根据平行线的性质，角平分线的定义，分别表示出，分三种情况讨论，根据点的位置．当在和之间时，，即，得出，当在的上方时，当在的下方时，分别求得，，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作 ∵， ∴， ∵平分， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ 设 ∴ 当在和之间时，，即 ∴， 当在的上方时，如图所示， 同理可得 当在的下方时，如图所示， 同理可得 故选：D． 5．一个等腰直角三角尺和一把直尺按如图所示的位置摆放（厚度忽略不计），若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，三角板中角度的计算，解题的关键是掌握平行线的性质． 根据三角板的角度特点得出，根据平行线的性质得出，最后求出结果即可． 【详解】解：如图， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 6．如图，，平分，平分，且，下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义等知识点，灵活运用平行线的判定与性质是解题的关键． 由得到，，则可对③进行判断；再由平行线的性质得，由角平分线定义得，则，而，所以，则可对①进行判断；接着由平分得到，所以，根据平行线的判定即可得到，于是可对②进行判断；当，，，；利用平行线的性质得到，又因为，，于是可得，则可对④进行判断． 【详解】解：∵， ，即， ，所以③正确； ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∵ ， ， ∴平分，即①正确； ∵平分， ∴， ∴ ∴，即②正确； 时，， ∴， ∴， ∵，而，， ∴， ∴．故④错误． 综上，正确的结论有①②③，共3个． 故选C． 7．如图，点E，F分别在长方形纸片的边，上，分别沿，将，折叠得到，，其中，点恰好落在边上．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，角的和差．由折叠可得，，由长方形得到，，因此，再由平行线的性质得到，根据角的和差即可求解． 【详解】解：由折叠可得，， ∵四边形是长方形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 8．如图，已知，点G在射线的上方且满足，点H在射线的反向延长线上，满足，若，则与的数量关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的性质，延长交于点，过点作的平行线，交于点，过点作的平行线，交于点，设，则，设，则，根据题意可知，，，，互相平行，用只含有，，的代数式表示出与即可． 【详解】如图所示，延长交于点，过点作的平行线，交于点，过点作的平行线，交于点． 设，则，设，则． 根据题意可知，，，，互相平行． ∵，， ∴． 同理，根据平行线的性质，可得，，． ∴，． ∴，． ∴． ∴． 故选：B 9．如图，若，，，那么_________．    【答案】/150度 【分析】本题考查平行线的性质．根据平行线的性质求得，再根据整体代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 10．如图，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，入射角等于反射角，法线垂直于镜面，这就是光的反射定律．若入射角i的度数为，反射光线与镜面平行，则两镜面的夹角的度数为_______ °． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂直的定义、平行线的性质，根据入射角等于反射角可知，根据垂直的定义可知，即可求出，根据平行线的性质可知． 【详解】解：如下图所示， ，， ，， ， ， ， 故答案为：． 11．如图， ，则 _______________． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，过点作，根据平行线的性质可得，，根据，即可求解． 【详解】解：如图，过点作 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 12．为增强学生体质，感受我国的传统文化，某校体育老师提出将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入体育社团，图1是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小明把它抽象成图2的数学问题：已知，，，则______． 【答案】/45度 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是关键．过点E作，根据平行线的性质，求得，再根据平行线的传递性，证明，可求得，即可进一步求得答案． 【详解】解：过点E作， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 13．如图，把装有水的大水槽放在水平桌面上，水面与槽底平行，一束激光从空气斜射入水，入射光线在水面的点处出现偏折，这种现象在物理上称为光的折射．若，则的度数为_____． 【答案】/64度 【分析】本题考查对顶角相等，平行线的性质． 根据对顶角相等可得，根据角的和差可求，进而根据平行线的性质即可解答． 【详解】解：， ， ， ， 水面与槽底平行， ； 故答案为：． 14．如图，分别平分．若，则__________． 【答案】 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，平行线的性质，作，推出，同理可得，再根据，进行求解即可． 【详解】解：∵分别平分， ∴，， 作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 同理：， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 15．如图，点是的边上的一点． (1)过点画的平行线； (2)过点画的垂线，垂足为； (3)过点画的垂线，交于点：、、这三条线段大小关系是_______，（用“”号连接），理由是_________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)作图见解析；；垂线段最短 【分析】本题主要考查了格点作图，会过已知点作已知直线的垂线以及掌握垂线段最短是解题的关键． （1）取格点N，连接，根据格点特点可得； （2）根据题意作图即可； （3）取格点D，连接，交于点C，由网格线的特征易得，即可得到；根据过直线外一点作已知直线的垂线，这条垂线段的长度就做点到直线的距离；点到直线的所有连线中，垂线段最短即可解答． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，即为所求作的的垂线； ∵垂线段最短， ∴，， ∴． 16．如图，直线AB，CD分别与EF相交于点G，H．已知，．试说明：． 解：因为________  （________）， ________， 所以________． 又因为________， 所以__________． 所以（_____________________）． 【答案】 对顶角相等 同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定与对顶角的性质，掌握利用对顶角相等转化角度，得到相等的同位角，从而判定两直线平行是解题的关键． 先利用对顶角相等的性质，将转化为，再结合已知的度数，得到与相等，最后根据同位角相等，两直线平行的判定定理，证明． 【详解】解：（对顶角相等）， ， ， 又， （ 同位角相等，两直线平行）． 17．如图， 点O在直线上，平分，平分，是上一点，连结． (1)求证： (2)若，求证： 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查的是平行线的判定，余角和补角及垂线的定义，熟知内错角相等，两直线平行是解题的关键． （1）根据平分，平分可知，，据此可得出结论； （2）由（1）知，故可得出，再由可知，故可得出结论． 【详解】（1）证明： 平分，平分， ，， ， ， ； （2）证明：由（1）知，， ， ， ， ， ． 18．如图，在四边形中，是延长线的一点，连接交于点，若，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据同角的补角相等，得到，即可得证； （2）证明，即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）解：由（1）知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 19．如图，点是上一点，，，，． (1)___________； (2)求证：直线； (3)若，求的度数． 【答案】(1)70 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是： （1）根据两直线平行，内错角相等求解即可； （2）先求出，结合已知可得出，然后根据同旁内角互补，两直线平行即可得证； （3）根据平行线的传递性得出，然后根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 故答案为：70； （2）证明：∵，， ∴， 又， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴， 又， ∴， 又， ∴． 20．如图所示，平分，，，求，，的度数． 【答案】；； 【分析】此题考查了平行线的性质、角平分线的定义，根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，再由平行线的性质即可求出． 【详解】解：， ． 平分， ． ， 21．如图，，，那么相等吗？为什么？ 解法1：．理由如下： 因为（已知）， 所以（①_________）． 同理②_________ 所以．（③_________）． (1)请你将解法1中的证明过程补充完整． (2)请你用另一种方法完成此题． 【答案】(1)①两直线平行，同旁内角互补；②；③同角的补角相等 (2)见解析 【分析】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键： （1）根据平行线的性质和等量代换，进行作答即可； （2）连接，根据平行线的性质，得到，，进而推出即可． 【详解】（1）解：解法1：．理由如下： 因为（已知）， 所以（①两直线平行，同旁内角互补） 同理② 所以．（③同角的补角相等） （2）解：解法2：．理由如下： 连接． 因为， 所以． 同理． 所以． 即． 22．【项目化学习】“玩转三角尺”． 【项目背景】：在数学实践活动课中，项目学习小组的同学们用一副三角尺进行数学探究活动，如下图，利用三角尺和三角尺进行了操作探究活动．（其中，，，）请你一起探究，完成以下任务． 任务一：如图1，项目学习小组的同学们将三角尺沿方向移动，得到，王丽发现此时，她的判断依据是：_________ 任务二：项目学习小组的同学们将这两个三角尺进行了如图2摆放，并过点E作直线a平行于边所在的直线b，且点A与点F重合，求的度数． 任务三：在图2的条件下，项目学习小组的同学们固定三角尺，将三角尺绕点C逆时针旋转，如图3，请你一起进行操作探究活动，在旋转过程中，当三角尺的边所在直线与所在直线平行时，直接写出满足条件的度数． 【答案】任务一：同位角相等，两直线平行；任务二：；任务三：或或 【分析】本题主要考查了旋转的定义，平行线的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．根据平行线的判定即可解答；先过点A作，交于点，再根据平行线的性质进行解答即可；根据旋转的定义得出符合条件的情况，再利用平行线的性质，分情况讨论即可． 【详解】解：任务一：由平移得，， （同位角相等，两直线平行）． 故答案为：同位角相等，两直线平行． 任务二：如图，过点作，交于点， 又， ， ，， ． ， ． 答：的度数为． 任务三：需分情况讨论： 当时，如图所示， ； 当时，如图所示， 过点作交于点， 则， 同理任务二可得，； 当，且在直线b的下方时，如图所示， 则， ； 综上，的度数为或或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3平行线的性质 （3知识点+11大题型+过关检测） 目录 【知识点1 平行线的性质】 1 【知识点2 平行线判定与性质的区别】 2 【知识点3 常用辅助知识（解题必备）】 2 【题型1 两直线平行同位角相等】 2 【题型2 两直线平行内错角相等】 4 【题型3 两直线平行同旁内角互补】 6 【题型4 根据平行线的性质探究角的关系】 8 【题型5 根据平行线的性质求角的度数】 12 【题型6 平行线的性质在生活中的应用】 15 【题型7 根据平行线判定与性质求角度】 17 【题型8 根据平行判定与性质证明】 23 【题型9 补全推理过程】 25 【题型10 平行线中与三角板有关问题】 29 【题型11 添加辅助线解决问题】 38 1. 理解平行线的三大性质（两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补），明确性质与平行判定的区别与联系。 2. 能熟练运用平行线的性质，探究角与角之间的关系、求解未知角的度数，提升几何推理和计算能力。 3. 能结合生活场景，将实际问题抽象为几何图形，运用平行线性质解决生活中的简单几何问题。 4. 掌握平行线判定与性质的综合运用方法，能灵活切换判定（角的关系→线平行）与性质（线平行→角的关系），解决角度计算和证明问题。 【知识点1 平行线的性质】03 知识•梳理 前提：两直线已经平行（与判定的“由角判平行”相反，性质是“由平行判角”），且被第三条直线（截线）所截。 · 性质1（同位角）：两直线平行，同位角相等； · 性质2（内错角）：两直线平行，内错角相等； · 性质3（同旁内角）：两直线平行，同旁内角互补（两角和为180°）。 【知识点2 平行线判定与性质的区别】 · 判定：由“角的关系”推“线平行”（如：同位角相等→两直线平行）； · 性质：由“线平行”推“角的关系”（如：两直线平行→内错角相等）； · 关键口诀：“判定判平行，性质推角度”。 【知识点3 常用辅助知识（解题必备）】 · 角的转化：对顶角相等、邻补角互补（用于平行线性质与判定的衔接）； · 三角板角度：一副三角板固定角度（30°、60°、90°；45°、45°、90°）； · 辅助线作法：过拐点作已知直线的平行线（虚线表示），构造“三线八角”，转化角的关系； · 推理依据：平行线的判定与性质、对顶角相等、邻补角互补、等式性质（等量代换）。 核心易错点汇总 · 混淆判定与性质：误用“角相等→线平行”的判定代替性质，或反之； · 性质应用前提错误：未确认“两直线平行”，盲目使用同位角相等、内错角相等； · 角的转化错误：找错对应角（同位角、内错角、同旁内角），或误用邻补角、对顶角； · 辅助线错误：添加辅助线不标注、不说明作法，或作辅助线后无法正确构造角关系； · 推理错误：补全推理过程时，论据与结论不匹配，漏写推理依据。 04 题型•汇总 【题型1 两直线平行同位角相等】 解题关键：先确认“两直线平行”的前提，再识别同位角（F型），直接利用性质得出两角相等。 【典例1】．如图所示，平行线，被直线所截，，则的度数是 （   ） A． B． C． D． 跟随训练1-1．如图，已知直线，，则________° 跟随训练1-2．如图，直线，分别与直线交于点、，把一块含角的三角尺按如图所示的位置摆放，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【题型2 两直线平行内错角相等】 解题关键：确认“两直线平行”，识别内错角（Z型），利用性质得出两角相等，可结合对顶角转化。 【典例2】．如图，已知点在上，，，，则的度数是（ ） A． B． C． D． 跟随训练2-1．如图，，点E在上，平分．若，则的大小为________度． 跟随训练2-2．如图，，，则的度数为_____________． 【题型3 两直线平行同旁内角互补】 解题关键：确认“两直线平行”，识别同旁内角（U型），利用“和为180°”求解未知角。 【典例3】．如图，水面与底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，折射光线射到水底处，点在的延长线上，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 跟随训练3-1．如图，，，则（   ） A．80° B．100° C．50° D．130° 跟随训练3-2．如图，直线，，则_______°． 【题型4 根据平行线的性质探究角的关系】 解题关键：结合平行线性质，将已知角转化为相等或互补的角，探究角之间的相等、互补或和差关系。 【典例4】．如图，，射线平分，点F为的反向延长线上的一点，连接，且满足，若，，则与满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 跟随训练4-1．如图，、的两边分别平行． (1)在图1中，与的数量关系是 ； (2)在图2中，与的数量关系是 ； (3)用一句话归纳的结论为 ．请选择（1）（2）中的一种情况说明理由． (4)应用：若两个角的两边两两互相平行，其中一个角比另一个角的2倍少30°，求这两个角的度数． 跟随训练4-2．如图，已知点、分别在直线、上，点在、之间，连接、． (1)求证： (2)若平分，平分，求证： (3)在（2）的条件下，若，，点在直线上，且，求 的度数． 【题型5 根据平行线的性质求角的度数】 解题关键：标注图形，通过对顶角、邻补角转化，结合平行线性质，列出等式求解。 【典例5】．如图，小明在走廊上看到一个“安全出口”标志，他从中抽象出这样一个数学图形，其中，，，，，则_________． 跟随训练5-1．如图，，点E是上一点，平分，平分，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 跟随训练5-2．如图，，与交于点． (1)若，求的度数； (2)若，，试判断与的位置关系，并说明理由． 【题型6 平行线的性质在生活中的应用】 解题关键：将生活实物抽象为几何图形，识别平行线和截线，利用平行线性质解决问题。 【典例6】．如图是一根杆秤在称物状态时的示意图，，则_____． 跟随训练6-1．如图所示①是一种网红弹弓的示意图，在两头系上皮筋，拉动皮筋可形成如图②所示的平面示意图，弹弓的两边可看成平行的，即．活动小组在探索与，的数量关系时，有如下发现：当拉起皮筋使时，瞄准最准确．现测得，，判断此时瞄准是否_________．（填“准确”或“不准确”） 跟随训练6-2．如图①，“二八大杠”传统老式自行车承载了一代人的回忆，图②是它的几何示意图．已知，，当时，的度数为_______． 【题型7 根据平行线判定与性质求角度】 解题关键：先由角的关系判定两直线平行（判定），再由平行推角的关系（性质），最终求角度。 【典例7】．如图，直线，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 跟随训练7-1．（1）如图①，，如果，，求的度数．请将下面的求解过程填写完整． 解：过点作直线，使． 因为，所以．（ ） 又因为，所以_____． 因为，且， 所以_____．（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．） 所以_____． 所以． （2）如图②，，如果，，请问等于多少度？写出求解过程． （3）填空：如图③，，请用一个等式表示、与三个角之间的关系：_____． 跟随训练7-2．材料一：如图，某数学兴趣小组的同学们在学习平行线的过程中，他们发现一个点与一组平行线的位置关系有多种多样： 材料二：在研究的过程中同学们总结出：可以先过某一点作已知直线的平行线，再将角进行拆分或重组从而解决问题．为此，老师给出如下问题： 如图①，，，交于点Q，交于点P．请判断与有怎样的数量关系； 如图②，明明同学通过在点F处作，利用平行线的性质实现了角的转移，进而解决了问题； 如图③，欣欣同学受到了明明方法的启发，另辟蹊径，在点Q处作，同样也有着异曲同工之妙． 【问题解决】 （1）请判断与有怎样的数量关系，并选择一名同学的解题思路，写出证明过程； 【类比运用】 （2）如图④，，反向延长的平分线，交直线于点F，点H在直线上，连接，若，，求的度数； 【变式探究】 （3）如图⑤，，平分，且，，请直接写出的度数． 【题型8 根据平行判定与性质证明】 解题关键：明确证明目标，先判定平行或先利用性质，每一步推理标注依据，逻辑连贯。 【典例8】．如图，在中，．证明： (1) (2)． 跟随训练8-1．（1）已知射线，如图①，过点，作．试说明：． （2）如图②，已知射线，．判断与的位置关系，并说明理由． （3）根据以上探究，你发现了什么结论？请写出来． 跟随训练8-2．已知：如图，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【题型9 补全推理过程】 解题关键：结合每一步的条件和结论，匹配对应的推理依据（判定、性质、对顶角等），不混淆。 【典例9】．如图，，，，完成探索与的数量关系的过程： 解：因为，， 所以， 所以（________________）， 所以（________________）， 又因为， 所以________________（等量代换）， 所以，（________________）， 所以________________．（两直线平行内错角相等） 跟随训练9-1．如图，，平分，，． (1)请你利用直尺和圆规在内作，使等于（保留作图痕迹，不写作法） (2)根据（1）的作图，求的大小． 小博同学的解答如下，请你帮助他填写完整： 解：∵（已知）， ∴________（________） ∵（已知）， ∴（________） ∴（________）， ∴， ∵平分， ∴（________）， ∴________． 跟随训练9-2．已知：如图，，，．求的度数．（请将解答过程补充完整） 解：∵（已知）， ∴（                  ）， 又∵（已知）， ∴（                  ）， ∴________________（内错角相等，两直线平行）， ∴（                  ）， ∵（已知）， ∴________________． 【题型10 平行线中与三角板有关问题】 解题关键：牢记三角板固定角度，结合平行线性质，转化角的关系求解。 【典例10】．已知在直角三角尺中，． (1)将两个直角三角尺按如图1所示的方式放置，三角尺的直角顶点C与三角尺的直角顶点D重合，，则的度数是______ ． (2)如图2，直线，三角尺的顶点C在直线上，顶点A在直线上，若，求的度数． (3)如图3，直线，三角尺的顶点C在直线上，顶点A在直线上，请直接写出与之间的数量关系． 跟随训练10-1．一副三角尺为我们用数学的眼光观察世界提供了一个小小的“窗口”．比如我们根据一副三角尺的不同位置摆放，可探究有关平行线的问题． 如图1是一副三角尺，． (1)如图2，将三角尺的顶点A与三角尺的顶点F重合，使点C落在的延长线上，与相交于点G，求的度数； (2)如图3，将三角尺的直角顶点C放在直线上，使，三角尺的顶点E在直线上，与相交于点P，求的度数； (3)如图4，将三角尺放置固定不动，改变三角尺的摆放位置，但始终保持两个三角尺的直角顶点C，F重合．当点A在直线的下方时，探究这两个三角尺有一组边互相平行的情况，比如当时，，请你直接写出除外，其他所有可能的度数． 跟随训练10-2．亲爱的同学们，学习数学要求我们用数学的眼光观察现实世界．一副三角尺为我们观察世界提供了一个小小的“窗口”，学完平行线的性质，可探究三角尺不同位置摆放涉及的数学问题．如图①所示的是一副三角尺，，，，． (1)将两个三角尺按如图②所示的方式摆放，使点A与点F重合，点在上，与相交于点，求的度数； (2)如图③，将三角尺的直角顶点放在直线上，使，三角尺的顶点在直线上，与相交于点，则与有怎样的数量关系？请说明理由； (3)如图④，将三角尺固定不动，改变三角尺的摆放位置，但始终保持两个三角尺的顶点C，F重合．探究这两个三角尺一组边互相平行的情况，并直接写出所有可能的度数． 【题型11 添加辅助线解决问题】 解题关键：过拐点作已知直线的平行线（虚线），构造“三线八角”，利用平行线性质转化角。 【典例11】．在学习完《平行线的证明》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，杨老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动，探究平行线的“等角转化”功能． (1)太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯以及其他很多灯具都与抛物线有关．如图1，从点O照射到抛物线上的光线OB，OC等反射以后沿着与平行的方向射出．图中如果，，则______， ______； (2)一种路灯的示意图如图2所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，求与所成的锐角的度数． 跟随训练11-1．【模型发现】某学校数学兴趣小组的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． （1）如图1，，P是、之间的一点，连接、，试说明：；请将下面的说理过程补充完整： 说明：如图，过P作． ∵．（辅助线的作法） ∴．（ ） ∵．（已知） ∴．（ ） ∴．（ ） ∵．（角的和差定义） ∴ ．（等量代换） 【方法应用】 （2）如图2，若，，，则 ； 【变式探究】 （3）如图3，，点P在的上方，问，，之间有什么数量关系？请说明理由； 【拓展延伸】 （4）如图4，若，的平分线和的平分线交于点Q，则 ． 跟随训练11-2．如图，在直角三角尺中，，，过点E，F分别作直线，，使． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，在的平分线上取一点Q，连接，若，求证平分； (3)如图3，作的平分线交于点M，点P是角平分线上位于直线下方的动点，点H是射线上的动点（不与点M重合），请直接写出，与之间的数量关系． 05 过关•检测 1．如图，，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，于，交于，平分交于，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图所示，长方形纸带，将纸带沿折叠成图2，再沿折叠成图3，则图3中的的度数是（　　） A． B． C． D． 4．如图，已知，过点作，作平分，作交于点，点是直线上的一点，连接与的关系不可能是（    ） A． B． C． D． 5．一个等腰直角三角尺和一把直尺按如图所示的位置摆放（厚度忽略不计），若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 6．如图，，平分，平分，且，下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．如图，点E，F分别在长方形纸片的边，上，分别沿，将，折叠得到，，其中，点恰好落在边上．若，则（    ） A． B． C． D． 8．如图，已知，点G在射线的上方且满足，点H在射线的反向延长线上，满足，若，则与的数量关系是（   ） A． B． C． D． 9．如图，若，，，那么_________．    10．如图，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，入射角等于反射角，法线垂直于镜面，这就是光的反射定律．若入射角i的度数为，反射光线与镜面平行，则两镜面的夹角的度数为_______ °． 11．如图， ，则 _______________． 12．为增强学生体质，感受我国的传统文化，某校体育老师提出将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入体育社团，图1是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小明把它抽象成图2的数学问题：已知，，，则______． 13．如图，把装有水的大水槽放在水平桌面上，水面与槽底平行，一束激光从空气斜射入水，入射光线在水面的点处出现偏折，这种现象在物理上称为光的折射．若，则的度数为_____． 14．如图，分别平分．若，则__________． 15．如图，点是的边上的一点． (1)过点画的平行线； (2)过点画的垂线，垂足为； (3)过点画的垂线，交于点：、、这三条线段大小关系是_______，（用“”号连接），理由是_________． 16．如图，直线AB，CD分别与EF相交于点G，H．已知，．试说明：． 解：因为________  （________）， ________， 所以________． 又因为________， 所以__________． 所以（_____________________）． 17．如图， 点O在直线上，平分，平分，是上一点，连结． (1)求证： (2)若，求证： 18．如图，在四边形中，是延长线的一点，连接交于点，若，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 19．如图，点是上一点，，，，． (1)___________； (2)求证：直线； (3)若，求的度数． 20．如图所示，平分，，，求，，的度数． 21．如图，，，那么相等吗？为什么？ 解法1：．理由如下： 因为（已知）， 所以（①_________）． 同理②_________ 所以．（③_________）． (1)请你将解法1中的证明过程补充完整． (2)请你用另一种方法完成此题． 22．【项目化学习】“玩转三角尺”． 【项目背景】：在数学实践活动课中，项目学习小组的同学们用一副三角尺进行数学探究活动，如下图，利用三角尺和三角尺进行了操作探究活动．（其中，，，）请你一起探究，完成以下任务． 任务一：如图1，项目学习小组的同学们将三角尺沿方向移动，得到，王丽发现此时，她的判断依据是：_________ 任务二：项目学习小组的同学们将这两个三角尺进行了如图2摆放，并过点E作直线a平行于边所在的直线b，且点A与点F重合，求的度数． 任务三：在图2的条件下，项目学习小组的同学们固定三角尺，将三角尺绕点C逆时针旋转，如图3，请你一起进行操作探究活动，在旋转过程中，当三角尺的边所在直线与所在直线平行时，直接写出满足条件的度数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $