专题2.5 相交线与平行线常考几何模型专训（6大题型+15道拓展培优题）-2025-2026学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（北师大版）

该初中数学讲义以相交线与平行线为核心，通过6大题型系统构建知识体系，涵盖余角补角计算、垂线应用、平行条件与性质等几何模型，用题型框架图呈现知识脉络，突出平行线判定与性质的综合应用等重难点及内在逻辑联系。 讲义亮点在于“经典例题+拓展培优”的分层练习设计，如题型六结合旋转与角平分线的证明题，培养推理能力与几何直观。15道拓展题涵盖动态几何、实际应用等场景，基础学生可掌握模型应用，优秀学生能深化逻辑推理，助力教师实施精准分层教学，支持学生自主复习提升。

专题2.5 相交线与平行线常考几何模型专训 （6大题型+15道拓展培优题） 题型一 与余角、补角有关的计算 题型二 与垂线有关的计算 题型三 直线平行的条件 题型四 平行线的性质 题型五 根据平行线性质求角的关系及角的度数 题型六 根据平行线的判定和性质证明 【经典例题一 与余角、补角有关的计算】 【例1】（24-25七年级下·甘肃临夏·期中）如图，直线与相交于点O，于O，平分，，求，的度数． 1．（25-26七年级下·陕西榆林·月考）如图，和都是直角． (1)如果，那么的度数为 °． (2)找出图中相等的角．如果，它们还会相等吗？ (3)若的度数越来越小，则的度数将如何变化？ 2．（25-26七年级下·北京·期末）设，，若满足或，则称和互为“半余角”． (1)已知是的角平分线，且和互为“半余角”，则______度； (2)如图1，若，，且和互为“半余角”，求的度数； (3)如图2，，是一条射线，作和的角分线，若和互为“半余角”，直接写出的所有可能值． 3．（25-26七年级下·河北唐山·期末）已知如图1，，是的平分线． (1)的度数为_____． (2)如图2，已知，将与重合，且在内部，作射线平分．求的度数． (3)将图2中的绕点顺时针旋转得到图3，旋转过程中始终平分． ①通过推理说明与旋转角度之间有怎样的数量关系？ ②当与互补时，的值为_____（直接写结果）． 【经典例题二 与垂线有关的计算】 【例2】（2025七年级下·全国·专题练习）小明在做手工时，将一个三角尺的直角顶点放在一条笔直的纸带上，按图1位置摆放，画射线平分． (1)若，则_________，_______． (2)由（1）中结论，小明认为，请判断小明的说法是否正确，并说明理由． (3)将三角尺绕点旋转至如图2的位置，作，其他条件不变，试说明平分． 1．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）一副直角三角板按如图1所示的方式放置在直线l上，已知AB=160，BC=80，点P以每秒2个单位长度的速度沿A→B→C的路线运动；同时，三角板ADE（含45°）绕点A顺时针旋转，速度为每秒3°，当点P运动至点C时，全部停止运动，设运动时间为t秒．图2是运动过程中某时刻的图形． (1)当点P到达点B时，△ADE转动了 　 　°． (2)当0＜t＜60时，若∠FAE与∠B互为余角，则t=　 　． (3)在运动过程中，当t＝　 　时，使得AE、AD、AB三条射线中，其中一条是另外两条射线夹角（小于180°）的角平分线． (4)当△ACP的面积大于△ABC面积的一半，且△ADE的边所在直线与直线AB的夹角为90度时，直接写出：所有满足条件的t的取值之和为 　 　． 2．（24-25七年级下·辽宁抚顺·期中）如图，欣欣的弹力球掉到了床下，他借助平面镜反射的原理找到了弹力球的位置．其中是入射光线，是反射光线，法线垂足是点O．射线与水平线的夹角，根据光的反射原理可知：，求的度数． 3．（24-25七年级下·福建莆田·期中）如图，直线， 相交于点O，为内部一条射线，且． (1)若，求的度数． (2)若，平分，则 是的平分线吗？请说明理由． (3)若，则是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【经典例题三 直线平行的条件】 【例3】（24-25七年级下·湖北武汉·期末）如图，直线与被直线所截，分别交于点P、O，且分别平分和，．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 1．（23-24七年级下·广东佛山·月考）已知直线，被直线所截． (1)如图①，平分，平分（平分的是一对同位角），则与满足________时，； (2)如图②，平分，平分（平分的是一对内错角），则与满足________时，； (3)【拓展设问】如图③，平分，平分（平分的是一对同旁内角），则与满足什么条件时，？为什么？ 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，AB与CD相交于点O，OA平分，．判断CB与EO的位置关系，并说明理由． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，O是直线上的点，在同一直线上，且分别是和的平分线，，垂足为D． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，与是否平行？请说明理由． 【经典例题四 平行线的性质】 【例4】（24-25七年级下·河南周口·期中）如图所示的图形是由和长方形拼成的，在中，，，点A在长方形的边上，与相交于点，与相交于点．    (1)如图1，当时， ； ． (2)如图2，当与不垂直时，猜想与的数量关系，并说明理由． 1．（24-25七年级下·河南许昌·期末）如图，，的平分线交于点G． (1)试说明：； (2)如图，线段上有一点P，满足，过点A作交于点H． ①若，试判断与的位置关系，并说明理由； ②在①的条件下，在射线上取一点M，使得，直线交直线于点Q，求的值． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图1，已知，点为平面内一点，于点，于点． (1)求证：； (2)如图2，平分，平分，分别交直线于点，连接，若，，求的度数． 3．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图，直线分别交直线于点G，H，射线分别在和的内部，且．    (1)若和互补． ①求的度数； ②当，且时，求的度数； (2)设，．若，求m，n满足的等量关系． 【经典例题五 根据平行线性质求角的关系及角的度数】 【例5】（25-26七年级下·陕西西安·月考）在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线、和一块含角的直角三角尺（，，）的不同方式摆放”为主题，开展数学探究活动． (1)【操作发现】如图1，三角尺的角的顶点G在上，，则度数为______°； (2)【探索证明】如图2，小智把三角尺的两个锐角顶点E，G分别放在和上，，试说明：； (3)【结论应用】如图3，小蕙把三角尺的直角顶点F放在上，角的顶点E在上．若，，请直接写出与的数量关系：______（用含，的式子表示）． 1．（25-26七年级下·四川成都·月考）如图，已知，，分别是直线，上一点，点在直线，之间． (1)如图1，探究，，之间的数量关系（有证明过程） (2)如图2，延长交于点，连接，恰有，若，的平分线与直线交于点，且，求的度数． (3)把一副标准三角板如图放置，三角板顶点和顶点重合，且、、、位于同一直线上，将三角板，三角板分别以每秒，每秒绕点和点顺时针旋转，三角板运动20秒后立即以原速返回，设运动时间为，当时求出值． 2．（2026七年级下·江苏·专题练习）直线，一副三角尺，中，，，， (1)若如图1摆放，当平分时，求证：平分； (2)如图2，的边在直线上，的顶点D恰好落在直线上，且边与边在同一直线上． ①求的度数； ②将固定，沿着方向平移，使边与直线相交于点G，作和的平分线，，两线相交于点H（图3），直接写出的度数． 3．（25-26七年级下·甘肃天水·期末）【问题背景】 已知，点P为平面内一点，连接、． 【问题再现】 （1）如图1，当点P在平行线、之间时，平分，平分，过点作．若，，求的度数； 【问题推广】 （2）如图2，当点P在的上方时，若，，和的角平分线交于点，过点作．求的度数；（用含、的代数式表示） 【拓展提升】 （3）如图3，当点P在的上方时，点M、F分别在、的延长线上，点H为和的交点，平分，的反向延长线与的角平分线交于点E，过点E作．试说明． 【经典例题六 根据平行线的判定和性质证明】 【例6】（25-26七年级下·山西太原·期末）综合与实践 问题情境：如图，已知直线，将直角三角板（其中，）的顶点，分别放在直线上，点在直线左侧，且在之间． 初步探究：（1）请用等式表示和之间的数量关系，并说明理由； 深入探究：（2）如图，在（）的基础上，分别作和的平分线，两线交于点，则的度数为___________． 1．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图，已知，直线交，于，． (1)如图1，点在直线与直线之间，证明：； (2)如图2，点在直线上，位于点右侧，点在直线上，且在直线上方，点在直线与直线之间，，，若，求． (3)如图3，，点在直线上（在点左侧），点在直线与直线之间，与的角平分线交于点，请直接写出与的数量关系． 2．（24-25七年级下·浙江湖州·期末）如图，、和被所截，已知，平分交于点G． (1)如图1，，，，试判断与的位置关并说明理由； (2)如图2，已知． ①若，，求的度数； ②试探索、与之间的数量关系． 3．（24-25七年级下·全国·期末）如图，某段铁路两旁安置了，两盏可旋转探照灯．已知，，为上两点，连接， ，平分交于点，为上一点，连接． (1)__________； (2)如图，为上一点，连接．当，时，试说明：； (3)探照灯，射出的光线在铁路所在平面旋转，探照灯射出的光线从出发以每秒 的速度逆时针转动，探照灯射出的光线从出发以每秒 的速度逆时针转动，转至射线后立即以相同速度回转，若它们同时开始转动，设转动时间为秒，当回到出发时的位置时同时停止转动，则在转动过程中，当与互相平行或垂直时，请直接写出此时的值． 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）（1）观察图中的各个角，寻找对顶角（不含平角）： ①图①中共有________对对顶角； ②图②中共有________对对顶角； ③图③中共有________对对顶角； ④探究①～③各题中直线条数与对顶角对数之间的关系，若有n条直线相交于一点，则可形成________________对对顶角． （2）若n条直线两两相交于不同的点时，可形成________________对对顶角． （3）请你将上述两种情形归纳一下． 2．（24-25七年级下·河南洛阳·期末）阅读下面材料 小聪遇到这样一个问题：如图1，∠AOB＝α，请画一个∠AOC，使∠AOC与∠BOC互补． 小聪是这样思考的：首先通过分析明确射线OC在∠AOB的外部，画出示意图，如图2所示：然后通过构造平角找到∠AOC的补角∠COD． 如图3所示：进而分析要使∠AOC与∠BOC互补，则需∠BOC＝∠COD． 因此，小聪找到了解决问题的方法：反向延长射线OA得到射线OD，利用量角器画出∠BOD的平分线OC，这样就得到了∠BOC与∠AOC互补． (1)根据小聪的画法可知，如图3，点O在直线AD上，射线OC平分∠BOD．请说明∠AOC与∠BOC互补的理由； (2)参考小聪的画法，请在图4中画出一个∠AOH，使∠AOH与∠BOH互余（保留画图痕迹）； (3)已知∠EPQ和∠FPQ互余，射线PM平分∠EPQ，射线PN平分∠FPQ，若∠EPQ＝β（45°＜β＜90°），直接写出锐角∠MPN的度数是　 　． 3．（25-26七年级下·浙江温州·月考）如图①，某校七年级数学学习小组在课后综合实践活动中，把一个直角三角尺的直角顶点放在两条直线的交点处，且，并使两条直角边落在直线上，将三角形绕着点顺时针旋转． (1)如图②，若，则 ， ； (2)若射线是的平分线，且． ①若三角形旋转到图③的位置，的度数为多少（用含的式子表示）？ ②三角形在旋转过程中，若，直接写出此时的值． 4．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，O，D两点在直线上，在的同侧作直角三角形和射线，使． (1)分别求的余角和补角的度数； (2)将绕点O按每秒的速度逆时针方向旋转． ①在旋转一周的过程中，第几秒时，直线恰好平分，则此时直线是否平分？请说明理由 ②在旋转一周的过程中，满足在的内部，请探究此时与之间的数量关系，请说明理由． 5．（24-25七年级下·广东茂名·月考）如图，直线AF、DE，射线平分∠ABD交DE于点C． (1)若∠DBF=54°，求∠2的度数； (2)若．请说明：AB//CD． 6．（24-25七年级下·福建三明·期中）为了安全起见，在某条河流的两岸各安置了一应旋转探照灯．如图1所示，灯A的光线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯的光线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒3度，灯转动的速度是每秒2度．假定这段河流的两岸是平行的，即，且． (1)求的度数； (2)如果灯的光线先转动5秒，灯A的光线才开始转动，那么在灯的光线到达之前，灯A转动几秒时，两灯的光束互相平行？ (3)如图2，两灯同时转动，在灯A的光线到达之前，若两灯射出的光束交于点，过作，交于点，则在转动过程中，探究与的数量关系是否发生变化？若不变，请用等式表示出它们之间的数量关系；若改变，请说明理由． 7．（25-26七年级下·海南海口·期末）综合与探究 如图，，点P，Q为直线，上两定点，． (1)如图1，当N点在左侧时，，，满足数量关系为 ； (2)若平分，平分，． ①如图2，点N在左侧时，求的角度； ②如图3，点N在右侧，求的角度； (3)如图4，平分，平分，，点N在右侧，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点；依次类推，则 ．（直接写出结果） 8．（25-26七年级下·福建泉州·期末）【实验探究】在平面内，平行线的性质与角平分线的结合会产生丰富的角度关系．现有实验器材：直尺（用于画平行线）、量角器、铅笔、白纸． 如图，直线的角平分线交于点． 探究（1）初步观察与推理 用量角器测量和的度数，你发现这两个角相等吗？请说明理由． 探究（2）角度倍数关系的计算 若测量得，请结合平行线的性质，求出的度数． 探究（3）动点角度的分析 点为射线上一点，连接．若测，且，求的度数． 9．（25-26七年级下·浙江金华·月考）已知，点、分别在直线、上，点在、之间，连接、，． (1)如图1，若，直接写出的度数； (2)如图2，点是上方一点，连接、，与交于点，，，，求的度数；结果可用含的式子表示 (3)如图，点是下方一点，连接、，若的延长线是的三等分线，平分交于点，，求的度数． 10．（24-25七年级下·全国·课后作业）下图所示的是一种躺椅的简化结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面，靠背DM与前支架OE平行，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G，D，AB与DM交于点N．当，时，人躺着最舒服．求此时扶手AB与前支架OE的夹角和扶手AB与靠背DM的夹角的度数． 11．（23-24七年级下·辽宁沈阳·月考）为保证安全，某两段铁路，两旁安置了两座可旋转探照灯，，探照灯的光线可看作射线．如图，灯的光线从射线开始，绕点顺时针旋转至射线上便立即回转，灯的光线从射线开始，绕点顺时针旋转至射线便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．已知，连接． (1)若，求的度数； (2)若灯的光线先转动，每秒转动，秒后灯的光线才开始转动，每秒转动，在灯的光线第一次到达之前，灯的光线转动________秒时，两灯的光线互相平行． 12．（25-26七年级下·福建莆田·月考）在数学活动课上，同学们以“一个60°的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．如图，已知两直线，，且和直角三角形，，． (1)在图1中，，求的度数； (2)如图2，在探究过程中组同学把图1中的直线向上平移，始终保持与线段（不含端点）有交点且．并把的位置改变，请探究此时与间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，组同学改变三角尺的位置，将直角三角尺的一边放在直线上，另一边在直线的下方．过点作射线，使，将图3中三角尺绕点以每秒10°的速度沿逆时针方向旋转一周，设旋转时间为秒．当时，在旋转的过程中与始终满足关系（，为常数），求的值． 13．（25-26七年级下·广东茂名·期末）如图，在三角形中，点D、F在边上，点E在边上，点G在边上，与的延长线交于点H，，． (1)求证：； (2)若，且，求的度数． 14．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）如图，，定点，分别在直线，上，平行线，之间有一动点． (1)如图1，试问，，满足怎样的数量关系？请直接写出结论； (2)如图2，试问，，满足怎样的数量关系？并说明理由； (3)若，和的角平分线交于点，请直接写出的度数． 15．（24-25七年级下·浙江湖州·期末）如图，直线MN//PQ，将一副三角板中的两块直角三角板如图1放置，∠ACB＝∠EDF＝90°，∠ABC＝∠BAC＝45°，∠DFE＝30°，∠DEF＝60°，此时点A与点E重合． (1)对于图1，固定△ABC的位置不变，将△DEF绕点E按顺时针方向进行旋转，旋转至DE与BC首次平行，如图2所示，求此时∠FAC的度数． (2)对于图1，固定△ABC的位置不变，将△DEF沿AC方向平移至点F正好落在直线MN上，再将△DEF绕点F按顺时针方向进行旋转，如图3所示． ①若边EF与边BC交于点G，试判断∠BGF﹣∠EFN的值是否为定值，若是定值，则求出该定值，若不是定值，请说明理由； ②对于图3，固定△ABC的位置不变，将△DEF绕点F顺时针方向以每秒10°的速度进行旋转，当EF与直线MN首次重合时停止运动当经过t秒时，线段DE与△ABC的一条边平行，求满足条件的t的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.5 相交线与平行线常考几何模型专训 （6大题型+15道拓展培优题） 题型一 与余角、补角有关的计算 题型二 与垂线有关的计算 题型三 直线平行的条件 题型四 平行线的性质 题型五 根据平行线性质求角的关系及角的度数 题型六 根据平行线的判定和性质证明 【经典例题一 与余角、补角有关的计算】 【例1】（24-25七年级下·甘肃临夏·期中）如图，直线与相交于点O，于O，平分，，求，的度数． 【答案】， 【分析】利用垂直定义和余角性质求得，再利用对顶角相等可求得；再利用角平分线的定义可得，进而可求解． 【详解】解：∵，， ∴，则， ∴； ∵平分， ∴， ∴． 1．（25-26七年级下·陕西榆林·月考）如图，和都是直角． (1)如果，那么的度数为 °． (2)找出图中相等的角．如果，它们还会相等吗？ (3)若的度数越来越小，则的度数将如何变化？ 【答案】(1)151； (2)相等的角有，；当时，它们仍然相等； (3)的度数会越来越大． 【分析】（1）利用直角的度数减去的度数求出的度数，再将与直角的度数相加，通过角的和差求出的度数； （2）先根据直角的定义直接得到与相等，再利用角的和差得出和均为的余角，结合同角的余角相等的性质，判断即使的度数改变，这些角仍保持相等； （3）先通过角的和差推导出与的数量关系式，再根据该关系式分析当度数越来越小时，的度数变化情况． 【详解】（1）解：∵和都是直角， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：相等的角有，， ∵， ∴， ∴， 即使，和仍然是的余角， 根据同角的余角相等，它们仍然相等，和始终是直角，也仍然相等； （3）解：由， 可知当的度数越来越小时，的度数会越来越大． 2．（25-26七年级下·北京·期末）设，，若满足或，则称和互为“半余角”． (1)已知是的角平分线，且和互为“半余角”，则______度； (2)如图1，若，，且和互为“半余角”，求的度数； (3)如图2，，是一条射线，作和的角分线，若和互为“半余角”，直接写出的所有可能值． 【答案】(1)120 (2)或 (3)的值为或或 【分析】（1）由角平分线得，代入“半余角”两种情况，均解得，故； （2）代入验证“半余角”，仅有解，再分在内、外，得或； （3）设，，由平分，平分，得，，分当点D在直线上面，时，，当点D在直线上面，时，，当点D在直线下面，时，，当点D在直线下面，时，，根据与互为“半余角”，有当时，当时，解答． 【详解】（1）解：已知平分， ∴，且 根据“半余角”定义，有两种情况： 当， 代入， 得， 解得， 则； 当， 代入， 得， 解得， 则 （2）解：已知，， 分两种“半余角”情况讨论： 当时： 则， 解得，舍去； 当时： 则， 解得． 再根据的位置分两种子情况： 若在内部， 则； 若在外部， 则． ∴综上的度数为或． （3）解：设，， ∵平分，平分， ∴，， 当点D在直线上面，时，， 由， 得， ∴， ∴， ∵与互为“半余角”， ∴当时， 则， 解得， 则； 当时， ∴， 解得， ∴； 当点D在直线上面，时，， , 当时， 则， 结合， 解得， 则，舍去． 当时， ∴， 解得， ∴，舍去； 当点D在直线下面，时，， , ， 当时， 则， 则， 当时， ∴， 解得，舍去； 当点D在直线下面，时，， , ， 当时， 则， 则，舍去， 当时， ∴， 解得，舍去； 综上：的值为：或或． 3．（25-26七年级下·河北唐山·期末）已知如图1，，是的平分线． (1)的度数为_____． (2)如图2，已知，将与重合，且在内部，作射线平分．求的度数． (3)将图2中的绕点顺时针旋转得到图3，旋转过程中始终平分． ①通过推理说明与旋转角度之间有怎样的数量关系？ ②当与互补时，的值为_____（直接写结果）． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】本题主要考查了几何图形中角的计算，角平分线定义，补角定义，一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握相关的定义． （1）根据角平分线定义，进行求解即可； （2）根据角平分线定义得出，根据，求出结果即可； （3）①根据旋转和角平分线定义得出，，再根据角度间的关系求出即可； ②根据补角定义列出关于n的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵，是的平分线， ∴； （2）解：平分，， ， ， ； （3）解：① ， ， ； ②∵，， 又∵与互补， ∴， 解得：． 【经典例题二 与垂线有关的计算】 【例2】（2025七年级下·全国·专题练习）小明在做手工时，将一个三角尺的直角顶点放在一条笔直的纸带上，按图1位置摆放，画射线平分． (1)若，则_________，_______． (2)由（1）中结论，小明认为，请判断小明的说法是否正确，并说明理由． (3)将三角尺绕点旋转至如图2的位置，作，其他条件不变，试说明平分． 【答案】(1)70；35 (2)正确；理由见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查角平分线的定义、垂线的定义及角的和差关系，熟练掌握角平分线的定义、垂线的定义及角的和差关系是解题的关键； （1）由题意易得，然后根据平角的定义及角平分线的定义可进行求解； （2）由题意易得，，则有，然后问题可求解； （3）由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 故答案为70；35； （2）解：正确．理由如下：由题意知： ，， 平分， ， ． ． （3）解：∵射线平分， ， ， ， ， ， 平分． 1．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）一副直角三角板按如图1所示的方式放置在直线l上，已知AB=160，BC=80，点P以每秒2个单位长度的速度沿A→B→C的路线运动；同时，三角板ADE（含45°）绕点A顺时针旋转，速度为每秒3°，当点P运动至点C时，全部停止运动，设运动时间为t秒．图2是运动过程中某时刻的图形． (1)当点P到达点B时，△ADE转动了 　 　°． (2)当0＜t＜60时，若∠FAE与∠B互为余角，则t=　 　． (3)在运动过程中，当t＝　 　时，使得AE、AD、AB三条射线中，其中一条是另外两条射线夹角（小于180°）的角平分线． (4)当△ACP的面积大于△ABC面积的一半，且△ADE的边所在直线与直线AB的夹角为90度时，直接写出：所有满足条件的t的取值之和为 　 　． 【答案】(1)240 (2)10 (3)20或42.5或65 (4)195 【分析】（1）根据点P的运动可求出运动时间，再根据路程=速度×时间可求解； （2）若∠FAE与∠B互余，则∠FAE=30°，由此可直接得出时间； （3）分三种情况分类讨论，画出图形列出方程求解即可； （4）由于三角形有三条边，分三种情况讨论，分别求出t的值，再求和即可． 【详解】（1）解：当点P到达点B时，所用时间t=160÷2=80（s）， 此时∠FAE=3°×80=240°， 故答案为：240； （2）解：当0＜t＜60时，点P在AB上， 由题意可知∠BAC=30°，∠B=60°， 若∠FAE与∠B互为余角，则∠FAE=30°， ∴t=30°÷3°=10（s）， 故答案为：10； （3）解：根据题意可知，∠EAD=45°， 若AE、AD、AB三条射线中，其中一条是另外两条射线夹角（小于180°）的角平分线，需要分三种情况： ①当射线AD是∠BAE的平分线时，如图1， 此时∠EAD=∠BAD=45°， ∴∠EAF=180°-∠BAC-∠EAD-∠BAD=60°， 此时t=60°÷3°=20（s）； ②当射线AB是∠DAE的平分线时，如图2， 此时∠EAB=∠DAB=22.5°， ∴∠EAF=180°-∠BAC-∠BAE=137.5°， ∴t=137.5°÷3°=42.5（s）； ③当射线AE是∠BAD的平分线时，如图3， 此时∠DAE=∠BAE=45°， ∴∠EAC=∠BAE-∠BAC=15°， ∴t=（180°+15°）÷3°=65（s）， 故答案为：20或42.5或65． （4）解：当△ACP的面积大于△ABC面积的一半时，点P在与AC平行的△ABC的中位线上方即可，此时t的取值范围为：160÷2÷2＜t＜（160+80÷2）÷2， 即40＜t＜100， ∴120°＜∠FAE＜300°， 根据题意可知，若△ADE的边所在直线与直线AB的夹角为90度，需要分以下三种情况： ①边DE⊥AB时，如图4， 此时∠EAF=150°， ∴t=150°÷3°=50（s）； ②边AD⊥AB时，如图5， 此时，射线AE旋转的角度为：150°+90°-45°=195°， ∴t=195°÷3°=65（s）； ③边AE⊥AB时，如图6， 此时，旋转角度为：150°+90°=240°， ∴t=240°÷3°=80（s）， ∴50+65+80=195（s）， 故答案为：195． 【点睛】本题角度的计算，包括垂直的定义，角平分线的定义等，涉及考查几何直观能力，分类讨论的数学思想，进行正确的分类及对t的限制是解题关键． 2．（24-25七年级下·辽宁抚顺·期中）如图，欣欣的弹力球掉到了床下，他借助平面镜反射的原理找到了弹力球的位置．其中是入射光线，是反射光线，法线垂足是点O．射线与水平线的夹角，根据光的反射原理可知：，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了求一个角的余角与补角、垂直、对顶角相等，熟练掌握求一个角的余角与补角的方法是解题关键．先求出，根据垂直的定义可得，结合，从而可得，即可求解， 【详解】解：， ， ， ， ，且， ． 3．（24-25七年级下·福建莆田·期中）如图，直线， 相交于点O，为内部一条射线，且． (1)若，求的度数． (2)若，平分，则 是的平分线吗？请说明理由． (3)若，则是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)是，理由见解析 (3)定值， 【分析】（1）根据对顶角可知,然后根据比例关系即可求解； （2）结合（1）的结论，求出，然后再求即可判断； （3）设未知数，列方程，根据等量关系即可求解． 本题考查了角度的和差倍分关系，角平分线的定义，关键是掌握对顶角相等，角平分线的意义，用代数式表示角的和差倍分关系是解题关键． 【详解】（1）解：,, , ∵， ; 故答案为：． （2）解：由（1）知当，， , ∵平分， , , 是的平分线． （3）解：设，则， ∵， , , , , ． 故答案为：定值， 【经典例题三 直线平行的条件】 【例3】（24-25七年级下·湖北武汉·期末）如图，直线与被直线所截，分别交于点P、O，且分别平分和，．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定、对顶角的性质、同角的余角相等、角平分线的定义等知识点，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）先利用角平分线的定义可得，从而利用平角定义可得，然后利用同角的余角相等可得，再利用平行线的判定即可得到结论； （2）设，则，根据，求出，得到，由即可解答． 【详解】（1）证明：，分别平分和， ，， ， ， ， ， ， ； （2）解：设，则， ， ， 解得， ， ． 1．（23-24七年级下·广东佛山·月考）已知直线，被直线所截． (1)如图①，平分，平分（平分的是一对同位角），则与满足________时，； (2)如图②，平分，平分（平分的是一对内错角），则与满足________时，； (3)【拓展设问】如图③，平分，平分（平分的是一对同旁内角），则与满足什么条件时，？为什么？ 【答案】（1）   （2） （3）   见解析 【分析】（1）根据角平分线定义得出，，，当时，求出，根据平行线的判定推出即可； （2）根据角平分线定义得出，，，当时，求出，根据平行线的判定推出即可； （3）根据角平分线定义得出，，，当时，求出，根据平行线的判定推出即可． 【详解】（1）解：． 与满足时，， 理由如下： 平分，平分， ，， ， ， ； （2）解：． 与满足时，， 理由如下： 平分，平分， ，， ， ， ． （3）解：与满足时，． 理由如下： 平分，平分， ，． ， ， ． 【点睛】本题考查了平行线的判定，角平分线定义的应用，解题的关键是掌握平行线的判定定理：①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，AB与CD相交于点O，OA平分，．判断CB与EO的位置关系，并说明理由． 【答案】．理由见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定，熟知同位角相等，两直线平行是解题的关键． 由角平分线的定义得，结合对顶角的性质可证，从而可得． 【详解】解：． 理由：平分， ． ， ． 又， ， ． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，O是直线上的点，在同一直线上，且分别是和的平分线，，垂足为D． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，与是否平行？请说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定、角平分线的定义、垂直等知识，熟练掌握平行线的判定是解题关键． （1）根据角平分线的定义可得，从而可得，由此即可得； （2）先根据角的和差可得，从而可得，再根据平行线的判定即可得． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵分别是和的平分线， ∴． ∵， ∴，即， ∴． （2）解：，理由如下： 由（1）已得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【经典例题四 平行线的性质】 【例4】（24-25七年级下·河南周口·期中）如图所示的图形是由和长方形拼成的，在中，，，点A在长方形的边上，与相交于点，与相交于点．    (1)如图1，当时， ； ． (2)如图2，当与不垂直时，猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)；； (2)，理由见解析 【分析】（1）过点作，根据垂线的性质，得到，进而得到，，然后利用平行线的性质，求出的度数即可； （2）过点作，得到，进而得到，再利用平行线和对顶角的性质，得到，即可得出与的数量关系． 【详解】（1）解：如图，过点作， ， ， ， ，， ，， 长方形， ， ， 故答案为：；；   ; （2）解：，理由如下： 如图，过点作， ， ，，，， ， 长方形， ， ， ， ， ．   ． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，垂线的定义，对顶角，余角，解题关键是掌握两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补． 1．（24-25七年级下·河南许昌·期末）如图，，的平分线交于点G． (1)试说明：； (2)如图，线段上有一点P，满足，过点A作交于点H． ①若，试判断与的位置关系，并说明理由； ②在①的条件下，在射线上取一点M，使得，直线交直线于点Q，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)①，理由见解析；②或 【分析】本题考查平行线的判定与性质，角平分线的定义，几何图形中角度的计算，熟练掌握以上知识点，作出合适的辅助线是解题的关键． （1）根据平行线的性质几何角平分线的定义即可说明结论； （2）①，则，，，根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义得到，由（1）可知，最后根据，推出，进而得到，即可得到结论；②由①得，求出，过点M作，则，然后分当点M在线段上时，当点M在线段的延长线上时，分情况分别求得即可得到结论． 【详解】（1）解：， ， 又平分， ， ． （2）解：①，理由如下： 设， ，， ，，， ， ， ， 又平分， ， 由（1）可知，， ， ， ， ， ． ②同①设，则， ， 过点M作，则， 当点M在线段上时，如图所示， ， ， ， ， ， ， ； 当点M在线段的延长线上时，如图所示， ， ， ， ， ， ， 综上所述，的值为或． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图1，已知，点为平面内一点，于点，于点． (1)求证：； (2)如图2，平分，平分，分别交直线于点，连接，若，，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】(1)根据平行线的性质可得角相等，再利用余角的性质即可到结论； (2)根据平行线的性质，角平分线的定义，邻角互补，余角的性质即可求得的度数． 【详解】（1）证明：延长，交于点，如图： ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：延长，交于点，延长到点，如图， 设， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了余角的性质，平行线的性质，角平分线的定义，邻角互补等相关知识点，熟练掌握余角的性质，角平分线的定义是解题的关键． 3．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图，直线分别交直线于点G，H，射线分别在和的内部，且．    (1)若和互补． ①求的度数； ②当，且时，求的度数； (2)设，．若，求m，n满足的等量关系． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①根据和互补，，即可求解；②先求出，由平行线的性质可得，再结合①中结论可得的度数； （2）设，可得，，再结合即可求解． 【详解】（1）解：①和互补， ． ， ， ； ②由①得， ， ， 又， ， ． ， ， ； （2）解：， ． 设， ，， ， ， 又， ， ， ， 即m，n满足的等量关系为． 【点睛】本题考查平行线的性质，角的和差关系，互补角的关系等，解题的关键是掌握平行线的性质． 【经典例题五 根据平行线性质求角的关系及角的度数】 【例5】（25-26七年级下·陕西西安·月考）在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线、和一块含角的直角三角尺（，，）的不同方式摆放”为主题，开展数学探究活动． (1)【操作发现】如图1，三角尺的角的顶点G在上，，则度数为______°； (2)【探索证明】如图2，小智把三角尺的两个锐角顶点E，G分别放在和上，，试说明：； (3)【结论应用】如图3，小蕙把三角尺的直角顶点F放在上，角的顶点E在上．若，，请直接写出与的数量关系：______（用含，的式子表示）． 【答案】(1)70 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据平行线的性质得到，根据角的和差得到，即可求解； （2）过点作，则，因此； （3）根据角的和差得到，根据平行线的性质得到，由即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴． （2）解：如图，过点作， ， ， ，， ． （3）解：∵，， ∴， ， ， ∵，，， ∴， ∴． 1．（25-26七年级下·四川成都·月考）如图，已知，，分别是直线，上一点，点在直线，之间． (1)如图1，探究，，之间的数量关系（有证明过程） (2)如图2，延长交于点，连接，恰有，若，的平分线与直线交于点，且，求的度数． (3)把一副标准三角板如图放置，三角板顶点和顶点重合，且、、、位于同一直线上，将三角板，三角板分别以每秒，每秒绕点和点顺时针旋转，三角板运动20秒后立即以原速返回，设运动时间为，当时求出值． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3)或或 【分析】（1）过点作直线，利用平行线的性质求解； （2）设，则可得，列方程求得，根据平行线的性质可得，再利用平行线的性质求得即可； （3）分类讨论，画出图形，利用平行线的性质，逐一列方程求解即可． 【详解】（1）解：，证明如下： 如图，过点作直线， ， ， ， ． ， ； （2）解：设， 则， ， ， （对顶角相等）， ， 解得， ， ， ， ， 如图，过点作， ， ， ， ， ， 的平分线与直线交于点， ， ， ， （3）解：如图，过点作，过点作，过点作， 当时，延长交于点， 根据题意可得，， ， ， ， ， ， 可得， 解得； 当时，延长交于点， 此时，， ， ， ， ， ， 可得， 解得； 当时，延长交于点， 此时，， ， ， ， ， ， ， 可得， 解得； 综上，当时，或或． 2．（2026七年级下·江苏·专题练习）直线，一副三角尺，中，，，， (1)若如图1摆放，当平分时，求证：平分； (2)如图2，的边在直线上，的顶点D恰好落在直线上，且边与边在同一直线上． ①求的度数； ②将固定，沿着方向平移，使边与直线相交于点G，作和的平分线，，两线相交于点H（图3），直接写出的度数． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】（1）运用角平分线定义及平行线性质即可证得结论； （2）②如图，过E作，运用平行线判定与性质即可得出答案；②如图，分别过点F、H作，，运用平行线判定与性质和角平分线定义即可得出答案． 【详解】（1）证明：在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：①如图，过E作， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； ②如图，分别过点F，H作，， ∴，， ∵，，， ∴， ∴，， ∵和的角平分线，，两线相交于点H， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴． 3．（25-26七年级下·甘肃天水·期末）【问题背景】 已知，点P为平面内一点，连接、． 【问题再现】 （1）如图1，当点P在平行线、之间时，平分，平分，过点作．若，，求的度数； 【问题推广】 （2）如图2，当点P在的上方时，若，，和的角平分线交于点，过点作．求的度数；（用含、的代数式表示） 【拓展提升】 （3）如图3，当点P在的上方时，点M、F分别在、的延长线上，点H为和的交点，平分，的反向延长线与的角平分线交于点E，过点E作．试说明． 【答案】（1）；（2）（3）见解析 【分析】本题考查了平行线性质与判定，角平分线的定义，角的和差，掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据平行线的判定可知，利用平行线的性质可证，，再根据角之间的位置关系可得； （2）先推导出，得到，，继而证明，，则，即可解答． （3）先推导出，，得到， 继而推导出，，代入计算即可解答． 【详解】解：（1）如图1， ，， ∴， ，， 平分，平分， ，， ，， ，， ，， ； （2）如下图所示， ，， ∴， ，， 和分别是和的角平分线， ，， ，， ． （3）如图 ，， ，， ，， ，（2小题的结论） 平分，平分， ，， 即． 【经典例题六 根据平行线的判定和性质证明】 【例6】（25-26七年级下·山西太原·期末）综合与实践 问题情境：如图，已知直线，将直角三角板（其中，）的顶点，分别放在直线上，点在直线左侧，且在之间． 初步探究：（1）请用等式表示和之间的数量关系，并说明理由； 深入探究：（2）如图，在（）的基础上，分别作和的平分线，两线交于点，则的度数为___________． 【答案】（），理由见解析；（）． 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线定义，平行公理推论，掌握知识点的应用是解题的关键． （）过作，则有，所以，，然后通过角度和差即可求解； （）过作，则有，所以，，则有，又平分，平分，则，，根据平行线的性质可得，从而得，则，从而求解． 【详解】解：（），理由， 如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴； （）如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 1．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图，已知，直线交，于，． (1)如图1，点在直线与直线之间，证明：； (2)如图2，点在直线上，位于点右侧，点在直线上，且在直线上方，点在直线与直线之间，，，若，求． (3)如图3，，点在直线上（在点左侧），点在直线与直线之间，与的角平分线交于点，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或或 【分析】本题考查了平行线的性质求角度，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键； （1）过点作，进而得出，则，即可得证； （2）过点作，设，，根据平行线的性质可得，，根据可得，由（1）可得，根据已知即可得出，进而即可求解； （3）根据平行线的性质可得，，设，根据角平分线的定义可得，分三种情况讨论，结合（1）的结论，即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示，过点作 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ （2）解：如图所示，过点作， 设， ∵ ∴ 设 ∵， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴ 由（1）可得 ∵ ∴ ∴ ∴ （3）解：∵， ∴， 设 ∵与的角平分线交于点， 设 如图所示， ∵ 由（1）可得， ∴ ； 如图所示， 由（1）可得， ∴ 如图所示， 由（1）可得， ∴ 综上所述，或或 2．（24-25七年级下·浙江湖州·期末）如图，、和被所截，已知，平分交于点G． (1)如图1，，，，试判断与的位置关并说明理由； (2)如图2，已知． ①若，，求的度数； ②试探索、与之间的数量关系． 【答案】(1)，理由见解析； (2)①；②． 【分析】（1）由可得，则可得，进而可得，．由角平分线的定义可得，进而可得，由可得． （2）①由可得，则可得，．由角平分线的定义可得，则可得，由，，可得，，则可得． ②由可得，则可得，由角平分线的定义可得，进而可得，由，可得． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， 又， ， ． （2）①解：， ， ， ， ， 平分， ， ， ，， ， ， ． ②证明：， ， ， 平分， ， ， ，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，以及角的和差的计算．熟练掌握以上知识及数形结合的思想是解题的关键． 3．（24-25七年级下·全国·期末）如图，某段铁路两旁安置了，两盏可旋转探照灯．已知，，为上两点，连接， ，平分交于点，为上一点，连接． (1)__________； (2)如图，为上一点，连接．当，时，试说明：； (3)探照灯，射出的光线在铁路所在平面旋转，探照灯射出的光线从出发以每秒 的速度逆时针转动，探照灯射出的光线从出发以每秒 的速度逆时针转动，转至射线后立即以相同速度回转，若它们同时开始转动，设转动时间为秒，当回到出发时的位置时同时停止转动，则在转动过程中，当与互相平行或垂直时，请直接写出此时的值． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)或或或或． 【分析】（）利用平行线的性质和角平分线的性质解答即可； （）由可得，再利用平行线的性质可得，即可求证； （）分五种情况画图，列出关于的式子即可解答即可求解； 本题考查了平行线的性质和判定，角平分线的性质，一元一次方程的应用，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：，当时，则，如图， ∵， ∴， ∴， 由题意得，，， ∴， ∴； 当时，则，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 若转射线后回旋， 当时，则，如图，    ∵， ． ， ． ． 当时，则，如图， 由题意得，， ， ∴， ∴ ∴； 当时，，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上，的值为或或或或． 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）（1）观察图中的各个角，寻找对顶角（不含平角）： ①图①中共有________对对顶角； ②图②中共有________对对顶角； ③图③中共有________对对顶角； ④探究①～③各题中直线条数与对顶角对数之间的关系，若有n条直线相交于一点，则可形成________________对对顶角． （2）若n条直线两两相交于不同的点时，可形成________________对对顶角． （3）请你将上述两种情形归纳一下． 【答案】（1）①2  ②6  ③12  ④（2）（3）归纳结论：n条直线相交于一点或两两相交于不同的点时，共形成对对顶角． 【分析】（1）根据对顶角定义，认真观察图①②③，求出答案即可，根据①②③对顶角的个数进行探究即可； （2）依据规律可以推测出若有条直线相交于一点，则可形成对对顶角； （3）根据（1）（2）得到的结论，进行归纳即可． 【详解】解：（1）①图①中对顶角是与，与，共有对对顶角． ②图②中对顶角是与，与，与，与，与，与，共有对对顶角． ③图③中有条直线相交于点，共有对对顶角． ④根据以上总结，2条直线相交于一点，对顶角有（对）； 条直线相交于一点，对顶角有（对）； 条直线相交于一点，对顶角有（对）． 以此类推，条直线相交于一点，可形成的对顶角对数为 ． 故答案为：①；②；③；④． （2）若条直线两两相交于不同的点，则有（个）交点，有对对顶角； 条直线两两相交于不同的点，有（个）交点，有对对顶角； ……； 条直线两两相交于不同的点，有（个）交点，共有对对顶角． 故答案为：． （3）归纳结论：条直线相交于一点或两两相交于不同的点时，共形成对对顶角． 【点睛】本题考查了对顶角的定义，熟记概念并准确识图，按照一定的顺序计算对顶角的对数是解题的关键． 2．（24-25七年级下·河南洛阳·期末）阅读下面材料 小聪遇到这样一个问题：如图1，∠AOB＝α，请画一个∠AOC，使∠AOC与∠BOC互补． 小聪是这样思考的：首先通过分析明确射线OC在∠AOB的外部，画出示意图，如图2所示：然后通过构造平角找到∠AOC的补角∠COD． 如图3所示：进而分析要使∠AOC与∠BOC互补，则需∠BOC＝∠COD． 因此，小聪找到了解决问题的方法：反向延长射线OA得到射线OD，利用量角器画出∠BOD的平分线OC，这样就得到了∠BOC与∠AOC互补． (1)根据小聪的画法可知，如图3，点O在直线AD上，射线OC平分∠BOD．请说明∠AOC与∠BOC互补的理由； (2)参考小聪的画法，请在图4中画出一个∠AOH，使∠AOH与∠BOH互余（保留画图痕迹）； (3)已知∠EPQ和∠FPQ互余，射线PM平分∠EPQ，射线PN平分∠FPQ，若∠EPQ＝β（45°＜β＜90°），直接写出锐角∠MPN的度数是　 　． 【答案】(1)理由见解析 (2)见解析 (3)45°或|β﹣45°| 【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠BOC＝∠COD，根据等角的补角相等即可求得答案； （2）先通过分析明确射线在的外部，作（或）的垂线，再利用量角器画出（或）的平分线即可得； 【详解】（1）如图3中，∵OC平分∠BOD， ∴∠BOC＝∠COD， ∵∠AOC+∠COD＝180°， ∴∠AOC+∠BOC＝180°， 即∠AOC与∠BOC互补； （2）与互余， ， ， 射线在的外部， 先作（或）的垂线，再利用量角器画出（或）的平分线，如图所示： 或 （3）如图， ∵PM平分∠EPQ，PN平分∠FPQ， ∴∠MPQ＝∠EPQ，∠NPQ＝∠FPQ， ∵∠MPN＝∠MPQ+∠NPQ ＝∠EPQ+∠FPQ ＝∠EPF， ∵∠EPQ和∠FPQ互余， ∴∠EPQ+∠FPQ＝90°， 即∠EPF＝90°， ∴∠MPN＝45°； 如图： ∵PM平分∠EPQ，PN平分∠FPQ， ∴∠MPQ＝∠EPQ，∠NPQ＝∠FPQ， ∵∠MPN＝|∠MPQ﹣∠NPQ|＝|∠EPQ﹣∠FPQ|， ∵∠EPQ和∠FPQ互余，∠EPQ＝β， ∴∠FPQ＝90°﹣β， ∴∠MPN＝|β﹣∠（90°﹣β）|＝|β﹣45°|， 故答案为：45°或|β﹣45°|． 【点睛】本题考查了画垂线和角平分线、与角平分线有关的计算，较难的是题（3），正确分两种情况讨论是解题关键． 3．（25-26七年级下·浙江温州·月考）如图①，某校七年级数学学习小组在课后综合实践活动中，把一个直角三角尺的直角顶点放在两条直线的交点处，且，并使两条直角边落在直线上，将三角形绕着点顺时针旋转． (1)如图②，若，则 ， ； (2)若射线是的平分线，且． ①若三角形旋转到图③的位置，的度数为多少（用含的式子表示）？ ②三角形在旋转过程中，若，直接写出此时的值． 【答案】(1)； (2)①；②或 【分析】本题主要考查了相交线、垂直的定义、角的运算和角平分线以及角的和差关系． （1）根据角的和差关系和垂直的性质求解； （2）①利用角平分线的定义和角的和差运算即可求解； ②分两种情况：当旋转到左侧时，当旋转到右侧时，分别画出图形，利用角平分线的定义、角的和差以及方程思想求解即可． 【详解】（1）， ， ， ， ，， ， 故答案为；； （2）①，， ， 射线是的平分线， ， ， ， ， 故答案为． ②当旋转到左侧时，如图： 是的平分线， ， ， ， ， ， ， ；． 当旋转到右侧时，如图： 设，则， ， 是的平分线， ， ， ， 解得， ， ， 综上，的值为或． 4．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，O，D两点在直线上，在的同侧作直角三角形和射线，使． (1)分别求的余角和补角的度数； (2)将绕点O按每秒的速度逆时针方向旋转． ①在旋转一周的过程中，第几秒时，直线恰好平分，则此时直线是否平分？请说明理由 ②在旋转一周的过程中，满足在的内部，请探究此时与之间的数量关系，请说明理由． 【答案】(1)的余角和补角分别为 (2)①第15秒或51秒时直线恰好平分，此时直线平分，理由见详解； ②或，理由见详解 【分析】（1）根据余角和补角的定义可以解答； （2）①求出和旋转角，得，即可得出答案； ②根据旋转过程中旋转角相等得：，由角的和与差列等式：，代入可得结论． 【详解】（1）解：， 的余角的度数是，补角的度数是； （2）解：①有两种情况： 如图1，当在的下方时， 恰好平分，， ， 未旋转之前，，则未旋转之前， 旋转角，（秒，即在旋转一周的过程中，第15秒时，直线恰好平分， ， ， ∴， 平分； 当在的上方时，过点O作的垂线， 此时， ∴， ∴旋转角：，（秒，即在旋转一周的过程中，第51秒时，直线恰好平分， ∵， ∴， 而， ∴， ∴直线平分； 综上，在旋转一周的过程中，第15秒或51秒时，直线恰好平分，则此时直线平分； ②有两种情况： 当在的下方时，有，理由是： 如图2，在的内部， ， ， ， ， ． 当在的上方时，有，理由是： 如图3，在的内部， ， ． 【点睛】本题考查了角平分线定义和角的计算，涉及垂直的定义，邻补角，对顶角等知识点，能根据图形和已知求出各个角的度数是解此题的关键． 5．（24-25七年级下·广东茂名·月考）如图，直线AF、DE，射线平分∠ABD交DE于点C． (1)若∠DBF=54°，求∠2的度数； (2)若．请说明：AB//CD． 【答案】(1)∠2=63° (2)见解析 【分析】（1）根据∠DBF=54°，∠ABD+∠DBF=180°，得到∠ABD=126°，根据平分得到∠2=×126°=63°； (2)根据平分，得到，根据，得到 ，推出． 【详解】（1）（1）∵∠DBF=54°，∠ABD+∠DBF=180° ∴∠ABD=126° ∵平分 ∴∠2=×126°=63°； （2）(2)∵平分 ∴ ∵ 且 ∴ ∴． 【点睛】本题考查了邻补角性质，角平分线性质，对顶角性质，平行线的判定定理，熟练掌握邻补角的和等于180°，角平分线把一个角分成两个相等的角，对顶角相等，同旁内角互补两直线平行，是解决此题的关键． 6．（24-25七年级下·福建三明·期中）为了安全起见，在某条河流的两岸各安置了一应旋转探照灯．如图1所示，灯A的光线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯的光线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒3度，灯转动的速度是每秒2度．假定这段河流的两岸是平行的，即，且． (1)求的度数； (2)如果灯的光线先转动5秒，灯A的光线才开始转动，那么在灯的光线到达之前，灯A转动几秒时，两灯的光束互相平行？ (3)如图2，两灯同时转动，在灯A的光线到达之前，若两灯射出的光束交于点，过作，交于点，则在转动过程中，探究与的数量关系是否发生变化？若不变，请用等式表示出它们之间的数量关系；若改变，请说明理由． 【答案】(1) (2)秒或秒 (3)和关系不会变化， 【分析】（1）根据，，即可得到的度数，再根据求得； （2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，根据和两种情况展开 讨论，当根据平行直线的性质得到；当得到，分别建立方程，解方程即可得到答案； （3）设灯A射线转动时间为t秒，得到，从而得到，根据推算出，最后推算出． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行， 当时，灯光A转值C处，灯光B转值D处，如图1， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得； 当时，如图2， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， 解得， 综上所述，当秒或秒时，两灯的光束互相平行； （3）解：和关系不会变化． 理由：设灯A射线转动时间为t秒， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴和关系不会变化． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及角的关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． 7．（25-26七年级下·海南海口·期末）综合与探究 如图，，点P，Q为直线，上两定点，． (1)如图1，当N点在左侧时，，，满足数量关系为 ； (2)若平分，平分，． ①如图2，点N在左侧时，求的角度； ②如图3，点N在右侧，求的角度； (3)如图4，平分，平分，，点N在右侧，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点；依次类推，则 ．（直接写出结果） 【答案】(1) (2)①；②； (3) 【分析】（1）根据平行线的性质与判定即可求解； （2）①根据（1）的结论，结合角平分线的定义可得；②点在右侧时，过点作，则，可得； （3）根据（2）的结论，分别写出前几个角的度数，找到规律即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：①当点在左侧时，由（1）可得，， 平分，平分， ，， ， ； ②如图，点在右侧时，过点作，则， ，， ， ， ， 平分，平分， ，， ； （3）解：依题意由（2）②可知，，， ， 由（2）①可知， ； 同理可得， ……， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，数形结合是解题的关键． 8．（25-26七年级下·福建泉州·期末）【实验探究】在平面内，平行线的性质与角平分线的结合会产生丰富的角度关系．现有实验器材：直尺（用于画平行线）、量角器、铅笔、白纸． 如图，直线的角平分线交于点． 探究（1）初步观察与推理 用量角器测量和的度数，你发现这两个角相等吗？请说明理由． 探究（2）角度倍数关系的计算 若测量得，请结合平行线的性质，求出的度数． 探究（3）动点角度的分析 点为射线上一点，连接．若测，且，求的度数． 【答案】（1）与相等，理由见解析；（2）；（3）或 【分析】此题主要考查了平行线的性质，准确识图，熟练掌握平行线的性质，角的计算是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点． （1）根据角平分线得，再根据得，由此可得出结论； （2）设，则，由（1）可知，根据得，然后根据得，由此解出即可得出的度数； （3）设，则，分两种情况讨论如下：①当点Q在线段上时，证明， ，根据得，则，再根据平行线的性质得，由此解出即可得出的度数；②当点Q在线段的延长线上时，过点Q作交于R，证明，，则，进而得，由此解出即可得出的度数；综上所述即可得出答案． 【详解】（1）解：与相等，理由如下： ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：设， ∴， 由（1）可知：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴； （3）解：设， ∵， ∴， ∵点Q为射线上一点， ∴有以下两种情况： ①当点Q在线段上时，如图1所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：， 即； ②当点Q在线段的延长线上时， 过点Q作交于R，如图2所示： ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴， 综上所述：的度数为或． 9．（25-26七年级下·浙江金华·月考）已知，点、分别在直线、上，点在、之间，连接、，． (1)如图1，若，直接写出的度数； (2)如图2，点是上方一点，连接、，与交于点，，，，求的度数；结果可用含的式子表示 (3)如图，点是下方一点，连接、，若的延长线是的三等分线，平分交于点，，求的度数． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】1）过点作，得到，根据平行线的性质和角的和差关系进行求解即可； （2）过点作，则：，根据平行线的性质和角的和差关系进行求解即可； （3）过点作，得到，利用平行线的性质结合角的和差和数量关系，分2种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴； ∵， ∴； （2）解：过点作， ∵， ∴， ∴， 由（1）知：， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）解：过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∵是的三等分线，分两种情况： ①当时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 又由（1）知：， ∴， ∴， ∴； ②当时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 综上：或． 10．（24-25七年级下·全国·课后作业）下图所示的是一种躺椅的简化结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面，靠背DM与前支架OE平行，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G，D，AB与DM交于点N．当，时，人躺着最舒服．求此时扶手AB与前支架OE的夹角和扶手AB与靠背DM的夹角的度数． 【答案】60°， 【分析】本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等． 由平行线的性质推出，由平角定义求出，由平行线的性质推出，由平角定义得到的度数． 【详解】解：由题意可知，，． ， ． ， ． ， ， ． 11．（23-24七年级下·辽宁沈阳·月考）为保证安全，某两段铁路，两旁安置了两座可旋转探照灯，，探照灯的光线可看作射线．如图，灯的光线从射线开始，绕点顺时针旋转至射线上便立即回转，灯的光线从射线开始，绕点顺时针旋转至射线便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．已知，连接． (1)若，求的度数； (2)若灯的光线先转动，每秒转动，秒后灯的光线才开始转动，每秒转动，在灯的光线第一次到达之前，灯的光线转动________秒时，两灯的光线互相平行． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】（）由可得，，由可得，代入即可求解； （）分三种情况：当与相遇前，两灯的光线；当与相遇后， 为灯到达前的光线，灯未到达，两灯的光线；当与相遇后，为灯到达后的光线，灯未到达，两灯的光线；列出方程解答即可求解； 本题考查了补角性质、平行线的性质，一元一次方程的应用，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：当与相遇前，设灯的光线转动秒，两灯的光线，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，解得：； 当与相遇后，灯的光线转动秒，为灯到达前的光线，灯未到达，两灯的光线，如图， 同理可得：， ∴，解得，不合题意，舍去； 当与相遇后，灯的光线转动秒时，为灯到达后的光线，灯未到达，两灯的光线，如图， 同理可得：， ∴， 解得； 综上，或时，两灯的光线互相平行， 故答案为：或． 12．（25-26七年级下·福建莆田·月考）在数学活动课上，同学们以“一个60°的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．如图，已知两直线，，且和直角三角形，，． (1)在图1中，，求的度数； (2)如图2，在探究过程中组同学把图1中的直线向上平移，始终保持与线段（不含端点）有交点且．并把的位置改变，请探究此时与间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，组同学改变三角尺的位置，将直角三角尺的一边放在直线上，另一边在直线的下方．过点作射线，使，将图3中三角尺绕点以每秒10°的速度沿逆时针方向旋转一周，设旋转时间为秒．当时，在旋转的过程中与始终满足关系（，为常数），求的值． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)． 【分析】（1）先利用平角的意义求得，再利用平行线的性质求得的度数； （2）先利用平行线的性质得出，再根据两角的和得出，再证明，根据平行线的性质可得出，从而可得，再结合，得出； （3）先说明当时，在内部，再求得，从而可得，再根据，又，可得出，整理得：，根据等式与的大小无关，求得，再求得，从而可得出 【详解】（1）解：如图1， ∵，，， ∴ ∵， ∴； （2）解：，理由如下， 如图2，过点作， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴； （3）解：如图： ∵，， ∴， 当时，旋转了，此时与重合， 当时，旋转了，此时与重合， ∴当时，在内部， ∵， ∴， ∵， 又∵， ∴， 整理得：， ∵等式与的大小无关， ∴， ∴， ∴， ∴． 13．（25-26七年级下·广东茂名·期末）如图，在三角形中，点D、F在边上，点E在边上，点G在边上，与的延长线交于点H，，． (1)求证：； (2)若，且，求的度数． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】本题主要考查平行线的性质与判定，根据平行线得到角度关系是解题的关键． （1）首先根据得到，再根据进行角度转化计算即可得到，进而证明； （2）首先根据得到，进行角度转化得到进而得到，再结合即可求出的度数． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）得：， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴． 14．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）如图，，定点，分别在直线，上，平行线，之间有一动点． (1)如图1，试问，，满足怎样的数量关系？请直接写出结论； (2)如图2，试问，，满足怎样的数量关系？并说明理由； (3)若，和的角平分线交于点，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或 【分析】本题考查了平行线的性质、平行公理推论、角平分线的定义等知识点，通过作辅助线，构造平行线是解题关键． （1）过点P作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，然后根据平行线的性质可得，最后根据角的和差即可得出结论． （2）当点P在的右侧时，画出图形，过P点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，然后根据平行线的性质可得，最后根据角的和差即可得出结论． （3）分两种情况讨论，①如图，当P在的左侧时，如图，当P在的右侧时，再结合（1）（2）的结论进一步求解即可． 【详解】（1）解：．理由如下： 如图，过点P作， 则． ∵， ∴． ∴． ∴． （2）解：当点P在的右侧时，．理由： 如图，过P点作． 则． ∵， ∴． ∴． ∴． （3）解：①如图，当P在的左侧时， ∵平分，平分， ， ． 由（1）可知，． ∴ ． 由（2）可知，． ． 解得． 如图，当P在的右侧时， ∵平分，平分， ， ． 由（1）可知，． ∴ ． 由（2）可知，， ． 解得． 综上：为或． 15．（24-25七年级下·浙江湖州·期末）如图，直线MN//PQ，将一副三角板中的两块直角三角板如图1放置，∠ACB＝∠EDF＝90°，∠ABC＝∠BAC＝45°，∠DFE＝30°，∠DEF＝60°，此时点A与点E重合． (1)对于图1，固定△ABC的位置不变，将△DEF绕点E按顺时针方向进行旋转，旋转至DE与BC首次平行，如图2所示，求此时∠FAC的度数． (2)对于图1，固定△ABC的位置不变，将△DEF沿AC方向平移至点F正好落在直线MN上，再将△DEF绕点F按顺时针方向进行旋转，如图3所示． ①若边EF与边BC交于点G，试判断∠BGF﹣∠EFN的值是否为定值，若是定值，则求出该定值，若不是定值，请说明理由； ②对于图3，固定△ABC的位置不变，将△DEF绕点F顺时针方向以每秒10°的速度进行旋转，当EF与直线MN首次重合时停止运动当经过t秒时，线段DE与△ABC的一条边平行，求满足条件的t的值． 【答案】(1)30° (2)①45°；②3，7.5，12 【分析】（1）根据 DEBC 得出：∠CED＝∠BCA，再根据∠FAD＝60°即可算出∠FAC 的度数； （2） ①过点G做直线HLMN， 由MNPQ得出HLPQ， 从而得∠HGF＝∠EFN，∠BGH＝∠ABC，故 ∠BGF＝∠HGF＋∠BGH＝∠EFN＋∠ABC，即 ∠BGF－∠EFN＝∠ABC故得出答案． ②根据题意知，该题分三种情况：DEBC或DEAB或DEAC，逐一建立方程解答即可． 【详解】（1）解：∵DEBC ∴∠CED＝∠BCA＝90° ∴∠FAC＝∠CED－∠FAD＝90°－60°＝30° （2）解：①过点G做直线HLMN，则HLPQ． ∴∠HGF＝∠EFN，∠BGH＝∠ABC， ∴∠BGF＝∠HGF＋∠BGH＝∠EFN＋∠ABC ∴∠BGF-∠EFN＝∠ABC＝45° ②共分三种情况： 情况1：DEBC时，10t＝30，t＝3 情况2：DEAB时，10t＝75，t＝7.5 情况3：DEAC时，10t＝120，t＝12 ∴t＝3，7.5，12 【点睛】本题考查了平行线性质的综合应用，熟练进行分类讨论是本题的解题关键. 学科网（北京）股份有限公司 $