专题2.2 探索直线平行的条件 讲义-2025-2026学年北师大版数学七年级下册

探索直线平行的条件 知识归纳与题型总结 思 维 导 图 培 优 讲 练 考点01 同位角、内错角、同旁内角 考点梳理 1. 同位角：两个角分别在两条被截直线的同一方，并且都在截线的同侧，具有这种位置关系的一对角叫做同位角． 2. 内错角：两个角都在两条被截直线之间,并且分别在截线两侧，即被截线“错开”,具有这种位置关系的一对角叫做内错角． 3. 同旁内角：两个角都在两条被截直线之间,并且在截线的同一旁,具有这种位置关系的一对角叫做同旁内角． 如图，直线AB，CD被直线EF所截，同位角有与，与，与，与，共4对；内错角有与，与，共2对；同旁内角有与，与，共2对． 典例引领 考向01 同位角、内错角、同旁内角 【例1】下列图形中，与属于同位角的是（   ） A． B． C． D． 对点提升 【对点1】如图，直线m，n被直线l所截，所形成的一对内错角是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 考点02 平行线的判定 考点梳理 1、同位角相等，两直线平行： 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简述为：同位角相等，两直线平行． 数学语言：如图，直线a，b被直线c所截，如果，那么a//b． 2、内错角相等，两直线平行： 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简述为：内错角相等，两直线平行． 数学语言：如图，直线a，b被直线c所截，如果（或），那么a//b． 3、同旁内角互补，两直线平行： 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简述为：同旁内角互补，两直线平行． 数学语言：如图，直线a，b被直线c所截，如果，那么a//b． 典例引领 考向01 同位角相等，两直线平行 【例1】现有直线和直线外一点C，如图是小明同学利用“过直线外一点作已知直线的平行线”的作图痕迹，请问该同学这样作平行线依据的判定定理是：________． 考向02 内错角相等，两直线平行 【例2】如图，将两块相同的直角三角板按图示摆放，则与平行，这一判断过程体现的数学依据是（   ） A．垂线段最短 B．内错角相等，两直线平行 C．两点之间线段最短 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 考向03 同旁内角互补，两直线平行 【例3】如图，在下列四组条件中，能判定的是（    ） A． B． C． D． 对点提升 【对点1】我们曾利用手中的直尺和三角板，过直线外一点画出与已知直线平行的直线，你可能还见过木工师傅用角尺画出平行线的方法；两者的原理一样，依据是（   ） A．两直线平行，同位角相等 B．同位角相等，两直线平行 C．两直线平行，内错角相等 D．内错角相等 ，两直线平行 【对点2】如图，已知，，，求证：．请完成下列证明过程： 证明：∵，（已知） ∴ （    ） 又∵（已知） ∴ （等式的性质） 即 ∴ （内错角相等，两直线平行） 【对点3】如图，下列条件中，不能判定直线的是（    ） A． B． C． D． 考点03 平行公理及推论 考点梳理 1、平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. 2、推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.即如果b∥a，c∥a，那么b∥c. 【注意】平行公理 (1)“有且只有”强调直线的存在性和唯一性. (2)前提条件“经过直线外一点”，若点在直线上，不可能有平行线. 典例引领 考向01 平行公理的应用 【例1】如图，在平面内过点O作已知直线a的平行线和垂线，可作的条数分别是m条和n条，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．无数条 考向02 平行公理推论的应用 【例2】如图，张萌的手中有一张正方形纸片（），点，分别在和上，且，此时张萌判断出，则张萌判断出该结论的理由是_______． 对点提升 【对点1】下面各语句中，正确的有（    ） ①不相交的两条直线叫做平行线； ②在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种； ③如果线段和线段不相交，那么直线和直线平行； ④如果，，那么； ⑤过一点有且只有一条直线平行于已知直线． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【对点2】如图所示为一个风车的示意图，当旋转到与地面平行的位置时，___________（填“能”或“不能”）同时与地面平行，理由是__________________． 考点04 其他判定两直线平行的方法 考点梳理 1、 平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线就是平行线. 2、 同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行. 典例引领 考向01 用直尺、三角板画平行线 【例1】如图，请在网格中过点P作的平行线和垂线． 考向02 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 【例2】下列四个情境中，利用一副三角板完成作图要求正确的是（   ） ①要求：根据“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”作． 作法：    ②要求：过直线外一点P作这条直线的平行线． 作法：    ③要求：过直线外一点P作这条直线的垂线． 作法：    ④要求：根据“同位角相等，两直线平行”作． 作法：    A．②③④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④ 对点提升 【对点1】用三角尺和直尺画平行线． (1)如图，过点画； (2)如图，过点画，与交于点；过点画，与的延长线交于点． 【对点2】小可在纸上画了25条直线，，…，．若，，，，…．照此规律，则与的位置关系为___________． 好 题 冲 关 能力提升 1、 选择题 1．下面四个图形中的和，不是同位角的是（   ） A． B． C． D． 2．滑雪项目图标抽象出的几何图形如图所示．有下列判断：①与是对顶角；②与是同旁内角；③与是同旁内角；④与是内错角．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．下列说法中错误的个数是（   ） （1）过一点有且只有一条直线与已知直线平行    （2）不相交的两条直线叫做平行线 （3）在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有相交、平行两种    （4）相等的角是对顶角 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．如图，在中，D为边上一点，现要利用尺规作图过点D作，下列作法不可行的是（   ）． A． B． C． D． 5．如图，直线BF，CD相交于点O，，则下列判断正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 6．下列说法中，正确的个数是（    ） ①在同一平面内，不重合的任意两条直线的位置关系不是相交就是平行； ②过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ③过两条直线，外一点，画直线，使，且； ④若直线，，则． A．4 B．3 C．2 D．1 7．若和是同旁内角，，则的度数（    ） A． B． C．或 D．不能确定 8．如图，若，则下面结论正确的是（   ） A． B． C． D． 9．有下列说法：①若a与c相交，b与c相交，则a与b相交；②若，，则；③过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；④在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种．其中错误的有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 10．如图，直线、同时与第三条直线相交，其中与在与之间，且同时位于两侧，我们称与为一组内错角，图1中有两组内错角（另一对为与）．如图2，5条直线围成一个五角星图案，那么图2中共有（　　）组内错角． A．20 B．30 C．60 D．120 2、 填空题 11．如图，有下列说法：①与是对顶角；②与是同旁内角；③与是内错角；④与是同位角；⑤与是同旁内角．其中正确的是_________．（填序号） 12．如图，下列推理中正确的是________．（请填写序号） ①，； ②，； ③，； ④，． 13．如图，给出下列说法：①与是对顶角；②与是同旁内角；③与是同旁内角；④与是内错角．其中正确的是___________（填序号）． 14．如图所示，同位角有a对，内错角有b对，同旁内角有c对，其中同旁内角为________________________（写出每组具体名称），则的值是____________． 15．如图，为等腰直角三角形，，，E为AB上任意一动点，以CE为斜边作等腰，连接AD，下列说法： ①；②；③；④；⑤四边形ABCD的面积有最大值，且最大值为．其中，正确的结论是______． 3、 解答题 16．如图，已知，根据下列要求画图并回答问题： (1)过点画，垂足为；点到的距离是线段_________的长； (2)过点画，交于点E；再画，交于点； (3)图中与相等的角是_________． 17．如图，内有一点． (1)用三角板，直尺过点画，交于点；画，垂足为，交于点； (2)在（1）的基础上判断：图中线段，PG，中最长的是 ． 18．在如图所示的方格纸中，横竖线的交点称为格点，A，B，C，E为格点．（利用方格纸作图，画出的点、线用铅笔描粗描黑） (1)过点E画直线； (2)在线段上找一点P，使得点P与点E距离最短，在图中作出点P，此时最短蕴含的数学道理是______； (3)点Q为图中的格点，点Q与点E不重合，满足的点Q有______个．请在图中标注出来． 19．已知直线，被直线所截． (1)如图①，平分，平分（平分的是一对同位角），则与满足________时，； (2)如图②，平分，平分（平分的是一对内错角），则与满足________时，； (3)【拓展设问】如图③，平分，平分（平分的是一对同旁内角），则与满足什么条件时，？为什么？ 20．如图，AB与CD相交于点O，OA平分，．判断CB与EO的位置关系，并说明理由． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 探索直线平行的条件 知识归纳与题型总结 思 维 导 图 培 优 讲 练 考点01 同位角、内错角、同旁内角 考点梳理 1. 同位角：两个角分别在两条被截直线的同一方，并且都在截线的同侧，具有这种位置关系的一对角叫做同位角． 2. 内错角：两个角都在两条被截直线之间,并且分别在截线两侧，即被截线“错开”,具有这种位置关系的一对角叫做内错角． 3. 同旁内角：两个角都在两条被截直线之间,并且在截线的同一旁,具有这种位置关系的一对角叫做同旁内角． 如图，直线AB，CD被直线EF所截，同位角有与，与，与，与，共4对；内错角有与，与，共2对；同旁内角有与，与，共2对． 典例引领 考向01 同位角、内错角、同旁内角 【例1】下列图形中，与属于同位角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同位角的特征：两条直线被第三条直线所截形成的角中，两个角都在两条被截直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，由此判断即可． 【详解】解：根据同位角的特征得选项A中∠1与∠2是同位角，选项D、B、C中不是同位角． 对点提升 【对点1】如图，直线m，n被直线l所截，所形成的一对内错角是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角． 【详解】解： 直线，被所截， 内错角应在被截线，之间，在截线两侧， 与互为内错角，与互为内错角， 故选项C符合题意． 考点02 平行线的判定 考点梳理 1、同位角相等，两直线平行： 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简述为：同位角相等，两直线平行． 数学语言：如图，直线a，b被直线c所截，如果，那么a//b． 2、内错角相等，两直线平行： 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简述为：内错角相等，两直线平行． 数学语言：如图，直线a，b被直线c所截，如果（或），那么a//b． 3、同旁内角互补，两直线平行： 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简述为：同旁内角互补，两直线平行． 数学语言：如图，直线a，b被直线c所截，如果，那么a//b． 典例引领 考向01 同位角相等，两直线平行 【例1】现有直线和直线外一点C，如图是小明同学利用“过直线外一点作已知直线的平行线”的作图痕迹，请问该同学这样作平行线依据的判定定理是：________． 【答案】同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查了过直线外一点作已知直线的平行线，同位角相等，两直线平行，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，观察作图过程，得出，又因为是一组同位角，即该同学这样作平行线依据的判定定理是同位角相等，两直线平行． 【详解】解：依题意， 观察作图过程，得出， ∵是一组同位角， 即该同学这样作平行线依据的判定定理是同位角相等，两直线平行， 故答案为：同位角相等，两直线平行． 考向02 内错角相等，两直线平行 【例2】如图，将两块相同的直角三角板按图示摆放，则与平行，这一判断过程体现的数学依据是（   ） A．垂线段最短 B．内错角相等，两直线平行 C．两点之间线段最短 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【答案】B 【分析】此题考查了平行线的判定，熟练掌握内错角相等，两直线平行是解题的关键． 根据内错角相等，两直线平行直接得到答案． 【详解】解：由题意得， 根据内错角相等，两直线平行可得． 故选：B． 考向03 同旁内角互补，两直线平行 【例3】如图，在下列四组条件中，能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定，熟知同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解题的关键．根据平行线的判定定理逐项分析判断即可． 【详解】解：A、由，可以根据同旁内角互补，两直线平行得到，不能得到，不符合题意； B、由，不能得到，不符合题意； C、由，可以根据同旁内角互补，两直线平行得到，符合题意； D、由不能得到，不符合题意； 故选：C． 对点提升 【对点1】我们曾利用手中的直尺和三角板，过直线外一点画出与已知直线平行的直线，你可能还见过木工师傅用角尺画出平行线的方法；两者的原理一样，依据是（   ） A．两直线平行，同位角相等 B．同位角相等，两直线平行 C．两直线平行，内错角相等 D．内错角相等 ，两直线平行 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握同位角相等，两直线平行是解题关键． 根据同位角相等，两直线平行即可得． 【详解】解：如图， 由作法知，，， ∴（同位角相等，两直线平行）． 故选B． 【对点2】如图，已知，，，求证：．请完成下列证明过程： 证明：∵，（已知） ∴ （    ） 又∵（已知） ∴ （等式的性质） 即 ∴ （内错角相等，两直线平行） 【答案】90，垂直的定义，，，，， 【分析】此题考查了平行线的性质和判定，解题的关键是平行线的性质与判定定理． 首先得到，然后由得到，即可得到． 【详解】证明：∵，（已知） ∴（垂直的定义） 又∵（已知） ∴（等式的性质） 即 ∴（内错角相等，两直线平行） 【对点3】如图，下列条件中，不能判定直线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定，直接利用平行线的判定方法分别分析即可得出答案，掌握平行线的判定方法是解题的关键． 根据平行线的判定方法去判定每项的正确与否即可得到答案． 【详解】解：A、∵，∴直线，故此选项不合题意； B、，不能得出直线，故此选项符合题意； C、∵，∴直线，故此选项不合题意； D、∵，∴直线，故此选项不合题意； 故选：B． 考点03 平行公理及推论 考点梳理 1、平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. 2、推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.即如果b∥a，c∥a，那么b∥c. 【注意】平行公理 (1)“有且只有”强调直线的存在性和唯一性. (2)前提条件“经过直线外一点”，若点在直线上，不可能有平行线. 典例引领 考向01 平行公理的应用 【例1】如图，在平面内过点O作已知直线a的平行线和垂线，可作的条数分别是m条和n条，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．无数条 【答案】B 【分析】本题考查垂线的性质，平行公理，根据垂线的性质，在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，平行公理，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，进行求解即可． 【详解】解：由题意，， ∴； 故选B． 考向02 平行公理推论的应用 【例2】如图，张萌的手中有一张正方形纸片（），点，分别在和上，且，此时张萌判断出，则张萌判断出该结论的理由是_______． 【答案】平行于同一条直线的两条直线互相平行 【分析】本题主要考查了平行公理的推论，熟练掌握平行于同一条直线的两条直线互相平行是解题的关键．根据已知的平行关系，利用平行公理的推论来判断直线间的平行关系． 【详解】解：∵ ，， ∴ （平行于同一条直线的两条直线互相平行）， 故答案为：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 对点提升 【对点1】下面各语句中，正确的有（    ） ①不相交的两条直线叫做平行线； ②在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种； ③如果线段和线段不相交，那么直线和直线平行； ④如果，，那么； ⑤过一点有且只有一条直线平行于已知直线． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查平行线的有关内容，掌握平行公理即推论是解题关键． 根据平行线的定义及平行公理，对选项逐一分析即可． 【详解】解：①在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，故原说法错误； ②在同一平面内，两条直线的位置关系为相交，平行，故原说法正确； ③如果线段和线段不相交，那么直线和直线平行，说法错误； ④如果，，那么，说法正确； ⑤过一点有且只有一条直线平行于已知直线，说法错误． 综上所述，正确的有②④，共个 故选：B． 【对点2】如图所示为一个风车的示意图，当旋转到与地面平行的位置时，___________（填“能”或“不能”）同时与地面平行，理由是__________________． 【答案】 不能 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 【分析】本题主要考查了平行公理，关键是掌握并理解平行公理的内容．根据平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行可得答案． 【详解】解：不能， 与有夹角，根据过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，可得不能同时与地面平行， 故答案为：不能，经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 考点04 其他判定两直线平行的方法 考点梳理 1、 平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线就是平行线. 2、 同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行. 典例引领 考向01 用直尺、三角板画平行线 【例1】如图，请在网格中过点P作的平行线和垂线． 【答案】图见解析 【详解】解：由题意，作图如下： 考向02 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 【例2】下列四个情境中，利用一副三角板完成作图要求正确的是（   ） ①要求：根据“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”作． 作法：    ②要求：过直线外一点P作这条直线的平行线． 作法：    ③要求：过直线外一点P作这条直线的垂线． 作法：    ④要求：根据“同位角相等，两直线平行”作． 作法：    A．②③④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了平移的性质，平行线的判定等知识，平移的性质，平行线的判定，垂直的定义逐步判断各情境即可． 【详解】解∶①如图， 根据三角板的特征知∶， ∴，故作法正确； ②如图， 根据三角板的特征知∶， 无法得出， ∴不能说明，故作法不正确． ③如图， 根据三角板的特征知∶， ∴，故作法正确； ④如图， 根据平移的性质知∶ ， ∴，故作法正确； 故选∶B． 对点提升 【对点1】用三角尺和直尺画平行线． (1)如图，过点画； (2)如图，过点画，与交于点；过点画，与的延长线交于点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图——复杂作图，平行线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据平行线的定义画出图形即可； （2）根据平行线的定义以及题目要求画出图形即可． 【详解】（1）解：如图1，即为所求作． （2）解：如图2，，即为所求作． 【对点2】小可在纸上画了25条直线，，…，．若，，，，…．照此规律，则与的位置关系为___________． 【答案】平行或重合 【分析】此题考查了平行线与垂线的关系，注意找到规律：四个一循环，是解此题的关键. 首先根据题意判断与，，，的关系，即可得到规律：四个一循环，即可求解. 【详解】解：， ， ， ， ， ， 同理可得：，其中或与或可能重合， 与的位置关系为平行或重合. 故答案为：平行或重合. 好 题 冲 关 能力提升 1、 选择题 1．下面四个图形中的和，不是同位角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】同位角的定义：两条直线被第三条直线所截，两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的角叫做同位角． 【详解】解：根据同位角的定义可知，只有选项C中的与不是同位角． 2．滑雪项目图标抽象出的几何图形如图所示．有下列判断：①与是对顶角；②与是同旁内角；③与是同旁内角；④与是内错角．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查同位角、内错角、同旁内角，熟练掌握同位角、内错角、同旁内角的定义是解决本题的关键． 根据同位角、内错角、同旁内角的定义解决此题． 【详解】解：①根据对顶角的定义（角的两边互为反向延长线的两个角互为对顶角），与是对顶角，①正确． ②根据同旁内角的定义（两条直线被第三条直线所截，在被截线之间并且在截线同一侧的两个角是同旁内角），与是同旁内角，②正确． ③根据同旁内角的定义以及邻补角的定义，与不是同旁内角，而是邻补角，③错误． ④根据内错角的定义（两条直线被第三条直线所截，在被截线之间并且在截线两侧的两个角是内错角），与是内错角，④正确． 综上：正确的有①②④，共个． 故选：C． 3．下列说法中错误的个数是（   ） （1）过一点有且只有一条直线与已知直线平行    （2）不相交的两条直线叫做平行线 （3）在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有相交、平行两种    （4）相等的角是对顶角 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查平行线和对顶角的相关概念，需根据初中数学教材中的定义和公理进行判断，即可 【详解】（1）过一点有且只有一条直线与已知直线平行：该说法错误，因为只有当点不在已知直线上时成立，若点在已知直线上，则无法作出平行线； （2）不相交的两条直线叫做平行线：该说法错误，因为缺少“在同一平面内”的条件； （3）在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有相交、平行两种：该说法正确； （4）相等的角是对顶角：该说法错误，因为相等的角不一定是对顶角，如等腰三角形的底角； 错误的有（1）、（2）、（4），共3个， 故选C 4．如图，在中，D为边上一点，现要利用尺规作图过点D作，下列作法不可行的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了尺规作图——作角平分线，一个角等于已知角，过直线外一点作已知直线的平行线，平行线的判定等知识，根据作角平分线，一个角等于已知角，平行线的判定逐一排除即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、由作图可知，， ∴，故不符合题意； 、如图，由作图可知，， ∵， ∴， ∴，故不符合题意； 、如图， 由作图可知，， ∴，故不符合题意； 、由作图可知，不能说明，故符合题意； 故选：． 5．如图，直线BF，CD相交于点O，，则下列判断正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定，掌握平行线的判定定理是解题关键．根据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行进行判断即可． 【详解】解：选项当时，得，这时，故选项不正确，不符合题意； 选项当时，得，不是同旁内角，不能得到，故选项不正确，不符合题意； 选项当时，得，不是同位角也不是内错角，不能得到，故选项不正确，不符合题意； 选项当时，，，与是同旁内角，是正确的，故选项正确，符合题意． 故选：． 6．下列说法中，正确的个数是（    ） ①在同一平面内，不重合的任意两条直线的位置关系不是相交就是平行； ②过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ③过两条直线，外一点，画直线，使，且； ④若直线，，则． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】此题考查了平行线的判定与性质、平行公理及推论等知识，熟记平行线的判定与性质、平行公理及推论是解题的关键．根据平行线的判定与性质、平行公理及推论、两条直线的位置关系等知识判断求解即可． 【详解】解：在同一平面内，不重合的任意两条直线的位置关系不是相交就是平行， 故①正确，符合题意； 过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行， 故②错误，不符合题意； 过两条直线，外一点，画直线，使，且； 只有当时，才能画出这样的直线，若与相交，则无法画出，所以原说法错误， 故③错误，不符合题意； 若直线，，则． 故④正确，符合题意； 综上，正确的有2个， 故选：C． 7．若和是同旁内角，，则的度数（    ） A． B． C．或 D．不能确定 【答案】D 【分析】本题考查了三线八角，明确同位角、内错角、同旁内角只是两个角的一种位置关系，而没有一定的大小关系是解此类问题的关键． 两直线平行时同旁内角互补，不平行时无法确定同旁内角的大小关系，据此分析判断即可得． 【详解】解：同旁内角只是一种位置关系，并没有一定的大小关系，只有两直线平行时，同旁内角互补，因此的度数不能确定， 故选：D． 8．如图，若，则下面结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定定理，掌握识别同位角的位置关系，以及利用同位角相等，两直线平行判定两直线平行是解题的关键． 先确定与的位置关系，判断它们是哪两条直线被哪条直线所截形成的同位角，再根据同位角相等，两直线平行判定平行的直线． 【详解】解：与是直线被直线所截形成的同位角， ∵ （已知）， ∴ 根据同位角相等，两直线平行，可得． 故选：B． 9．有下列说法：①若a与c相交，b与c相交，则a与b相交；②若，，则；③过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；④在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种．其中错误的有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质和判定、相交线等知识点，掌握平行线的性质和判定是解决本题的关键． 利用平行线的性质和判定，逐个判断得结论． 【详解】解： ①中与相交，与相交，但与可能平行（如两条平行线均与第三条直线相交），故 ①错误，符合题意； ②中，，根据平行线的传递性，有，故②正确，不符合题意； ③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，这是平行公理，故 ③正确，不符合题意； ④在同一平面内，两条直线位置关系只有平行和相交两种，垂直是相交的特殊情况，故④错误，符合题意； ∴ 错误的有①和④，共个． 故选：B． 10．如图，直线、同时与第三条直线相交，其中与在与之间，且同时位于两侧，我们称与为一组内错角，图1中有两组内错角（另一对为与）．如图2，5条直线围成一个五角星图案，那么图2中共有（　　）组内错角． A．20 B．30 C．60 D．120 【答案】C 【分析】本题考查了求内错角，将图2分为10种情况求出一种情况的组数是解题的关键． 任意三条直线相交，可知共有六组内错角，求出5条直线任取三条的情况数，即可求出总的组数，根据内错角需三条直线才得以成立可知不存在重复情况，即可作答． 【详解】如图，任意三条直线相交， 根据内错角的定义可知与、与、与、与、与、与是内错角共六组； 设5条直线分别为a、b、c、d、e，任取三条， 则共有共10种情况， 则共有（组） ∵内错角需三条直线才得以成立， ∴不存在重复情况， 例如将移走，则均不存在，即已知与、与、与、与、与、与六组内错角不存在． 故选：C 2、 填空题 11．如图，有下列说法：①与是对顶角；②与是同旁内角；③与是内错角；④与是同位角；⑤与是同旁内角．其中正确的是_________．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角；若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角；若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角，由此即可判断． 【详解】解：①与是对顶角，故原说法正确； ②与是同旁内角，故原说法正确； ③与是邻补角，不是内错角，故原说法错误； ④与是同位角，故原说法正确； ⑤与不是同旁内角，故原说法错误． 故正确的是①②④． 12．如图，下列推理中正确的是________．（请填写序号） ①，； ②，； ③，； ④，． 【答案】①②④ 【详解】根据同位角相等、内错角相等、同旁内角互补来判断两直线是否平行． 解：①：∵，这是内错角相等，∴，推理正确； ②：∵，这是同位角相等，∴，推理正确； ③：∵，这两个角不是同旁内角，无法判定，推理错误； ④：∵，这两个角不是同旁内角，无法判定，推理正确． 综上，正确的推理是①②④． 故答案为：①②④． 13．如图，给出下列说法：①与是对顶角；②与是同旁内角；③与是同旁内角；④与是内错角．其中正确的是___________（填序号）． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查对顶角、内错角、同旁内角的相关概念，熟练掌握相关概念是解决本题的关键． 根据对顶角、同旁内角、内错角的性质判断即可． 【详解】解：与是对顶角，①说法正确； 与是同旁内角，②说法正确； 与不是同旁内角，③说法错误； 与是内错角，④说法正确； 故答案为：①②④． 14．如图所示，同位角有a对，内错角有b对，同旁内角有c对，其中同旁内角为________________________（写出每组具体名称），则的值是____________． 【答案】 与，与，与，与 14 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的识别，掌握同位角、内错角、同旁内角的定义是解题的关键． 先根据同位角、内错角、同旁内角的定义，分别找出图中这三类角的具体组合并数出对数，再将三类角的对数相加得到结果． 【详解】解：同位角有与，与，与，与，与，与，所以； 内错角有与，与，与，与，所以； 同旁内角有与，与，与，与，所以， 所以． 故答案为：与，与，与，与；14． 15．如图，为等腰直角三角形，，，E为AB上任意一动点，以CE为斜边作等腰，连接AD，下列说法： ①；②；③；④；⑤四边形ABCD的面积有最大值，且最大值为．其中，正确的结论是______． 【答案】①④⑤ 【分析】首先根据等腰直角三角形的性质得，，∠B=∠ACB=∠DEC=∠DCE=45°，再根据ACB-∠ACE=∠DCE-∠ACE，判断①；分点B，E重合，点B，E不重合，判断②即可；先根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”得，再根据“内错角相等，两直线平行”判断④；结合∠DAC=45°，可知∠BEC和∠EAD之间的关系，判断③； 然后分析△ABC的面积是定值，若梯形ABCD的面积最大，则△ACD的面积最大.再结合，当AD最长时，BE也最长，最后求出当点E，A重合时，判断⑤． 【详解】∵△ABC，△DCE都是等腰直角三角形， ∴，，∠B=∠ACB=∠DEC=∠DCE=45°． ∵∠ACB=∠DCE=45°， ∴∠ACB-∠ACE=∠DCE-∠ACE， 即∠ECB=∠DCA． 故①正确； 当点B，E重合时，DE⊥AC； 当点B，E不重合时，∠AFE是锐角． 所以②不正确； ∵， ∴． 由①，得∠ECB=∠DCA， ∴， ∴∠DAC=∠B=45°， ∴∠DAC=∠BCA=45°， ∴． 所以④正确； 由④可知，∠DAC=45°， ∴∠EAD=135°，∠BEC=∠EAC+∠ECA=90°+∠ECA． ∵∠ECA＜45°， ∴∠BEC＜135°， 即∠BEC＜∠EAD． 所以△EAD与△BEC不相似． 故③不正确； △ABC的面积是定值，若梯形ABCD的面积最大，则△ACD的面积最大． 若△ACD的面积最大，则AD的长最大． 由④得，当AD最长时，BE也最长． 故梯形ABCD的面积最大时，E，A重合，此时，AD=1． 故． 所以⑤正确． 则正确的有①④⑤． 故答案为：①④⑤． 3、 解答题 16．如图，已知，根据下列要求画图并回答问题： (1)过点画，垂足为；点到的距离是线段_________的长； (2)过点画，交于点E；再画，交于点； (3)图中与相等的角是_________． 【答案】(1)见解析，； (2)见解析； (3)． 【分析】（）根据画垂线的方法即可，然后通过点到直线的距离定义即可求解； （）根据画平行线和画垂线的方法即可； （）由垂直定义可得，，则有，又 ，所以 ，然后通过同角的余角相等得出 ． 【详解】（1）解：如图，即为所求， 点到的距离是线段的长， 故答案为：； （2）解：如图，即为所求； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 故答案为：． 17．如图，内有一点． (1)用三角板，直尺过点画，交于点；画，垂足为，交于点； (2)在（1）的基础上判断：图中线段，PG，中最长的是 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据题意利用推平行线法作平行线，再根据三角板有直角，作垂线段； （2）根据垂线段最短即可解答． 【详解】（1）解：作图如下： （2）解：根据垂线段最短，可得比短，所以最长的是． 18．在如图所示的方格纸中，横竖线的交点称为格点，A，B，C，E为格点．（利用方格纸作图，画出的点、线用铅笔描粗描黑） (1)过点E画直线； (2)在线段上找一点P，使得点P与点E距离最短，在图中作出点P，此时最短蕴含的数学道理是______； (3)点Q为图中的格点，点Q与点E不重合，满足的点Q有______个．请在图中标注出来． 【答案】(1)见解析 (2)见解析；垂线段最短 (3)4，见解析 【分析】（1）先确定的方向（从到是向右 3 格、向上 3 格），再从点出发，按相同方向（向右 3 格、向上 3 格）找到格点，连接直线即可； （2）过点作的垂线，此时最短，依据是：垂线段最短； （3）要使，则点必须在与平行且到的距离等于点到的距离的两条直线上，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求， （2）解：点P是过E作的垂线的垂足，此时最短， 依据是：垂线段最短； （3）解：要使，则点必须在与平行且到的距离等于点到的距离的两条直线上，在图中，这样的格点（不与重合）共有,,,共4个. 19．已知直线，被直线所截． (1)如图①，平分，平分（平分的是一对同位角），则与满足________时，； (2)如图②，平分，平分（平分的是一对内错角），则与满足________时，； (3)【拓展设问】如图③，平分，平分（平分的是一对同旁内角），则与满足什么条件时，？为什么？ 【答案】（1）   （2） （3）   见解析 【分析】（1）根据角平分线定义得出，，，当时，求出，根据平行线的判定推出即可； （2）根据角平分线定义得出，，，当时，求出，根据平行线的判定推出即可； （3）根据角平分线定义得出，，，当时，求出，根据平行线的判定推出即可． 【详解】（1）解：． 与满足时，， 理由如下： 平分，平分， ，， ， ， ； （2）解：． 与满足时，， 理由如下： 平分，平分， ，， ， ， ． （3）解：与满足时，． 理由如下： 平分，平分， ，． ， ， ． 20．如图，AB与CD相交于点O，OA平分，．判断CB与EO的位置关系，并说明理由． 【答案】．理由见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定，熟知同位角相等，两直线平行是解题的关键． 由角平分线的定义得，结合对顶角的性质可证，从而可得． 【详解】解：． 理由：平分， ． ， ． 又， ， ． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $