2.2探索直线平行的条件（4知识点+7大题型+过关检测）2025-2026学年七年级数学下册同步培优讲义（北师大版）

2.2探索直线平行的条件 （4知识点+7大题型+过关检测） 目录 【知识点1 同位角、内错角、同旁内角】 1 【知识点2 平行线的定义及画法】 2 【知识点3 直线平行的判定】 2 【知识点4 平行公理及其推论】 2 【题型1 同位角、内错角、同旁内角】 3 【题型2 同位角相等两直线平行】 4 【题型3 内错角相等两直线平行】 6 【题型4 同旁内角互补两直线平行】 8 【题型5 平行公理的应用】 10 【题型6 平行公理推论的应用】 11 【题型7 用直尺、三角板画平行线】 14 1. 理解同位角、内错角、同旁内角的定义，能在复杂图形中准确识别这三种角，区分不同位置关系的角。 2. 掌握探索直线平行的三个核心条件（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补），能熟练运用这三个条件判定两直线平行。 3. 理解平行公理及其推论，能运用平行公理判断过直线外一点作平行线的唯一性，运用推论解决简单的平行问题。 4. 掌握用直尺、三角板画平行线的规范方法，能根据已知条件（方向、距离）画出平行线，规范作图步骤。 03 知识•梳理 【知识点1 同位角、内错角、同旁内角】 前提：两条直线被第三条直线（截线）所截，形成“三线八角”，三种角均是“三线八角”中的角，且成对出现。 1. 同位角 定义：在截线的同侧，被截两直线的同方向，具有这种位置关系的两个角，叫做同位角。 识别技巧：“F”型结构，找准截线（公共边），两角在截线同侧、被截线同向，无交叉。 2. 内错角 定义：在截线的两侧，被截两直线的之间，具有这种位置关系的两个角，叫做内错角。 识别技巧：“Z”型结构，两角在截线两侧、被截线之间，呈交叉对称。 3. 同旁内角 定义：在截线的同侧，被截两直线的之间，具有这种位置关系的两个角，叫做同旁内角。 识别技巧：“U”型结构，两角在截线同侧、被截线之间，呈“包裹”状。 【知识点2 平行线的定义及画法】 1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b． 特别说明： (1)平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可； (2)有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行． (3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系． 2.平行线的画法： 用直尺和三角板作平行线的步骤： ①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合. ②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边. ③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点. ④画：沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行. 【知识点3 直线平行的判定】 · 条件1：同位角相等，两直线平行（最基础的判定方法，可通过观察、测量验证）； · 条件2：内错角相等，两直线平行（可由同位角相等推导得出）； · 条件3：同旁内角互补（和为180°），两直线平行（可由同位角相等、邻补角互补推导得出）。 【知识点4 平行公理及其推论】 1. 平行公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行（核心：“直线外一点”“有且只有一条”，强调唯一性）。 2. 平行公理推论 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行（符号表示：若a∥b，b∥c，则a∥c）。 04 题型•汇总 【题型1 同位角、内错角、同旁内角】 解题关键：先确定截线（公共边），再根据“F（同位角）、Z（内错角）、U（同旁内角）”型结构，判断角的类型，区分截线同侧/两侧、被截线之间/同方向。 【典例1】．如图，与______是同位角． 【答案】 【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，与是同位角． 跟随训练1-1．如图，的内错角是______． 【答案】 【分析】根据内错角的定义，观察图形识别即可． 【详解】解：由图可知，的内错角是． 跟随训练1-2．如图，和是直线 ， 被直线 所截形成的 角；和是直线 ， 被直线 所截形成的 角． 【答案】，，，同旁内；，，，同位． 【分析】本题主要考查同旁内角，同位角的概念，利用同旁内角、同位角的概念进行判断填空即可． 【详解】根据题意，和是直线，被直线所截形成的同旁内角； 和是直线，被直线所截形成的同位角． 故答案为：，，，同旁内；，，，同位． 【题型2 同位角相等两直线平行】 解题关键：先识别同位角，再验证同位角相等，最后根据“同位角相等，两直线平行”判定两直线平行，标注推理依据。 【典例2】．我们曾利用手中的直尺和三角板，过直线外一点画出与已知直线平行的直线，你可能还见过木工师傅用角尺画出平行线的方法；两者的原理一样，依据是（   ） A．两直线平行，同位角相等 B．同位角相等，两直线平行 C．两直线平行，内错角相等 D．内错角相等 ，两直线平行 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握同位角相等，两直线平行是解题关键． 根据同位角相等，两直线平行即可得． 【详解】解：如图， 由作法知，，， ∴（同位角相等，两直线平行）． 故选B． 跟随训练2-1．如图，若，则下面结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定定理，掌握识别同位角的位置关系，以及利用同位角相等，两直线平行判定两直线平行是解题的关键． 先确定与的位置关系，判断它们是哪两条直线被哪条直线所截形成的同位角，再根据同位角相等，两直线平行判定平行的直线． 【详解】解：与是直线被直线所截形成的同位角， ∵ （已知）， ∴ 根据同位角相等，两直线平行，可得． 故选：B． 跟随训练2-2．如图，已知直线，以及直线外一点．利用尺规作图按下列步骤操作如下： ①在直线上取一点，经过点和点，作直线； ②作，并使得与是一对同位角； ③反向延长射线，得到直线． 根据以上作法，下列结论错误的为（   ） A． B．的理论依据是同位角相等，两直线平行 C．若，则 D． 【答案】C 【分析】本题考查了作平行线，平行线的判定，掌握平行线的判定是解答本题的关键．根据平行线的判定即可判断，，根据可判断，根据等角的补角相等可判断． 【详解】解：， ， 故不符合题意； 的理论依据是同位角相等，两直线平行， 故不符合题意； ， ， ， 故符合题意； ， ， ， 故不符合题意， 故选：． 【题型3 内错角相等两直线平行】 解题关键：先识别内错角，验证内错角相等，再根据“内错角相等，两直线平行”判定，可结合对顶角、邻补角转化角。 【典例3】．如图，将两块相同的直角三角板按图示摆放，则与平行，这一判断过程体现的数学依据是（   ） A．垂线段最短 B．内错角相等，两直线平行 C．两点之间线段最短 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【答案】B 【分析】此题考查了平行线的判定，熟练掌握内错角相等，两直线平行是解题的关键． 根据内错角相等，两直线平行直接得到答案． 【详解】解：由题意得， 根据内错角相等，两直线平行可得． 故选：B． 跟随训练3-1．如图，下列条件能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定方法逐项判定，即可求解． 【详解】解：因为，所以（内错角相等，两直线平行．），故D符合题意； A、B、C选项都无法判断． 故选：D． 跟随训练3-2．如图，下列推理中正确的是________．（请填写序号） ①，； ②，； ③，； ④，． 【答案】①②④ 【详解】根据同位角相等、内错角相等、同旁内角互补来判断两直线是否平行． 解：①：∵，这是内错角相等，∴，推理正确； ②：∵，这是同位角相等，∴，推理正确； ③：∵，这两个角不是同旁内角，无法判定，推理错误； ④：∵，这两个角是同旁内角，∴，推理正确． 综上，正确的推理是①②④． 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了知识点平行线的判定，解题关键是准确识别同位角、内错角、同旁内角，再结合判定定理进行判断． 【题型4 同旁内角互补两直线平行】 解题关键：先识别同旁内角，验证两角和为180°（互补），再根据“同旁内角互补，两直线平行”判定，注意与“相等”区分。 【典例4】．如图，在下列四组条件中，能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定，熟知同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解题的关键．根据平行线的判定定理逐项分析判断即可． 【详解】解：A、由，可以根据同旁内角互补，两直线平行得到，不能得到，不符合题意； B、由，不能得到，不符合题意； C、由，可以根据同旁内角互补，两直线平行得到，符合题意； D、由不能得到，不符合题意； 故选：C． 跟随训练4-1．如图，下列条件中，不能判定直线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定，直接利用平行线的判定方法分别分析即可得出答案，掌握平行线的判定方法是解题的关键． 根据平行线的判定方法去判定每项的正确与否即可得到答案． 【详解】解：A、∵，∴直线，故此选项不合题意； B、，不能得出直线，故此选项符合题意； C、∵，∴直线，故此选项不合题意； D、∵，∴直线，故此选项不合题意； 故选：B． 跟随训练4-2．已知：如图，直线，被直线所截，，，说明：． 解：因为与直线相交于点E，， 所以________． 因为， 所以________， 所以________________（________________）（填推理的依据）． 【答案】；；；；同旁内角互补，两直线平行 【分析】本题主要考查了平行线的判定，两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．根据题中思路解答即可． 【详解】解：因为与直线相交于点E，， 所以． 因为， 所以， 所以（同旁内角互补，两直线平行）． 故答案为：；；；；同旁内角互补，两直线平行． 【题型5 平行公理的应用】 解题关键：紧扣平行公理——“经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”，判断说法正误或解决作图唯一性问题。 【典例5】．如图，已知P是直线l外一点，若，则三点在同一条直线上．其依据是（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【答案】D 【分析】此题考查了平行线的性质，根据过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行进行解答即可． 【详解】解：P是直线l外一点，若，则三点在同一条直线上．其依据是过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行， 故选：D 跟随训练5-1．如图①，有一个可折叠的晾衣架放置在水平地面上，图②是其侧面示意图，其中是地面，当时，时，．同时满足上述条件时，一定有N，P，M三点在同一条直线上，其依据是___________从下列选项中选取合适的填写，只填序号①同位角相等，两直线平行．②过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．③两点确定一条直线． 【答案】② 【分析】本题考查平行线的判定和性质，平行公理及推理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 根据过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行解决问题即可． 【详解】解：∵当时，时，． 点在同一直线上，其依据是过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行， 故答案为：②． 跟随训练5-2．下列说法中，正确的个数是（    ） ①在同一平面内，不重合的任意两条直线的位置关系不是相交就是平行； ②过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ③过两条直线，外一点，画直线，使，且； ④若直线，，则． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】此题考查了平行线的判定与性质、平行公理及推论等知识，熟记平行线的判定与性质、平行公理及推论是解题的关键．根据平行线的判定与性质、平行公理及推论、两条直线的位置关系等知识判断求解即可． 【详解】解：在同一平面内，不重合的任意两条直线的位置关系不是相交就是平行， 故①正确，符合题意； 过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行， 故②错误，不符合题意； 过两条直线，外一点，画直线，使，且； 只有当时，才能画出这样的直线，若与相交，则无法画出，所以原说法错误， 故③错误，不符合题意； 若直线，，则． 故④正确，符合题意； 综上，正确的有2个， 故选：C． 【题型6 平行公理推论的应用】 解题关键：牢记推论“平行于同一条直线的两条直线互相平行”，已知两条直线都平行于第三条直线，直接判定这两条直线平行。 【典例6】．被誉为“中国最美公路”之一的新疆的独库公路，在5月31号恢复通车．独库公路是北起克拉玛依市独山子区，南至阿克苏地区库车市，全长561公里，它纵跨天山一半路段，海拔都在两千米以上，在独库公路上行驶一天就能够穿越四季，图1是蜿蜒曲折的弯路，局部公路抽象成图2．当，，那么的理由是______． 跟随训练6-1．如图，已知点在上，平分平分． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】平行于同一条直线的两条直线互相平行 【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用，根据平行线性质得出，，推出，根据平行线的判定推出即可． 【详解】解：理由是：平行于同一条直线的两条直线互相平行 延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（平行于同一条直线的两条直线互相平行）． 故答案为：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 跟随训练6-2．小可在纸上画了25条直线，，…，．若，，，，…．照此规律，则与的位置关系为___________． 【答案】平行或重合 【分析】此题考查了平行线与垂线的关系，注意找到规律：四个一循环，是解此题的关键. 首先根据题意判断与，，，的关系，即可得到规律：四个一循环，即可求解. 【详解】解：， ， ， ， ， ， 同理可得：，其中或与或可能重合， 与的位置关系为平行或重合. 故答案为：平行或重合. 【题型7 用直尺、三角板画平行线】 解题关键：规范步骤——① 放：把三角板的一边靠在已知直线上；② 贴：把直尺靠在三角板的另一边；③ 推：沿直尺推动三角板，使三角板与已知直线重合的边移动到指定位置；④ 画：沿三角板的这条边画出平行线。 【典例7】．在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1，已知点，，都在格点上．利用网格画出下列各图． (1)在图中标出格点，使得，并画出； (2)在图中标出格点，使得，并画出标出垂足． 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析 【分析】（1）在图中找到格点，使得的走向与一致(从向右1格、向上3格的格点)，连接即可； （2）在图中找到格点，使得的走向与垂直(从向右3格、向上1格的格点)，连接交于点，即为垂足． 【详解】（1）解：如图，点即为所求： （2）解：如图，点即为所求： 跟随训练7-1．在如图所示的方格纸中，横竖线的交点称为格点，为格点．（利用方格纸作图，画出的点、线用铅笔描粗描黑） (1)过点画直线； (2)在线段上找一点，使得点与点距离最短，在图中作出点，此时最短蕴含的数学道理是__________； (3)点为图中的格点，点与点不重合，则满足的点有__________个． 【答案】(1)见解析 (2)见解析，垂线段最短 (3)4 【分析】本题考查平行线，垂线段最短： （1）先确定 的方向（从 B 到 A 是向右 3格、向下3格），再从点 E 出发，按相同方向（向右 3格、向下 3 格）找到格点，连接成直线即可； （2）过点E作的垂线，此时最短，依据是：垂线段最短； （3）要使，则点 Q 必须在与 平行且到的距离等于点 E 到 距离的两条直线上，即可得出答案． 【详解】（1）解：即为所求， （2）如图所示，点 P 是过 E 作的垂线的垂足，此时最短，依据是：垂线段最短； （3）要使，则点 Q 必须在与 平行且到的距离等于点 E 到 距离的两条直线上．在图中，这样的格点 Q（不与 E 重合）共有、 、、共4 个． 故答案为：4． 跟随训练7-2．如图，在的正方形网格中，点是的边上的一点． (1)过点画的平行线； (2)过点画的垂线，交于点； (3)点到直线的距离是线段_____的长度． (4)比较线段大小：根据_____最短，得_____（填“>”、“<”或“=”） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) (4)垂线段， 【分析】本题主要考查了网格作图，垂线，点到直线的距离的定义，平行线的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）利用平行线的定义以及数形结合的思想画出图形即可； （2）根据垂线的定义结合数形结合的思想画出图形即可； （3）根据点到直线的距离的定义，解决问题即可； （4）根据垂线段最短，解决问题． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图，即为所求． （3）解：根据点到直线的距离的定义可得点到直线的距离是线段的长度． 故答案为：． （4）解：根据点到直线上的所有点的连线中，垂线段最短可得． 故答案为：垂线段，． 05 过关•检测 1．下列图形中，与是内错角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了内错角的识别，解题的关键是掌握内错角的定义． 根据内错角的定义，逐项进行判断即可． 【详解】解：A.该选项与是同位角，不符合题意； B. 该选项与是内错角，符合题意； C. 该选项与是同旁内角，不符合题意； D. 该选项与不是内错角，不符合题意； 故选：B． 2．滑雪项目图标抽象出的几何图形如图所示．有下列判断：①与是对顶角；②与是同旁内角；③与是同旁内角；④与是内错角．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查同位角、内错角、同旁内角，熟练掌握同位角、内错角、同旁内角的定义是解决本题的关键． 根据同位角、内错角、同旁内角的定义解决此题． 【详解】解：①根据对顶角的定义（角的两边互为反向延长线的两个角互为对顶角），与是对顶角，①正确． ②根据同旁内角的定义（两条直线被第三条直线所截，在被截线之间并且在截线同一侧的两个角是同旁内角），与是同旁内角，②正确． ③根据同旁内角的定义以及邻补角的定义，与不是同旁内角，而是邻补角，③错误． ④根据内错角的定义（两条直线被第三条直线所截，在被截线之间并且在截线两侧的两个角是内错角），与是内错角，④正确． 综上：正确的有①②④，共个． 故选：C． 3．如图，下列叙述不正确的是（   ） A．和是内错角 B．和是同位角 C．和是同旁内角 D．和是邻补角 【答案】C 【分析】本题考查同位角，内错角，同旁内角，邻补角，关键是掌握同位角，内错角，同旁内角，邻补角的定义． 两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角；只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角，由此即可判断． 【详解】解：A、和是内错角，说法正确，不符合题意； B、和是同位角，说法正确，不符合题意； C、和互为邻补角，不是同旁内角，说法错误，符合题意； D、和是邻补角，说法正确，不符合题意； 故选：C． 4．已知，下列图形中，能确定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的判定定理，准确识别角的位置是解题关键． 根据平行线的判定定理对选项依次进行判断即可． 【详解】解：选项：和是由两条不同的截线形成的角，无法推导出； 选项：和是和被所截形成的内错角，根据“内错角相等，两直线平行”，可推出； 选项：和的两条边所在的直线没有公共截线，不构成同位角、内错角或同旁内角，无法判定平行； 选项：和的位置不构成同位角、内错角或同旁内角，不能判定． 故选：． 5．羽毛球是大家最喜欢的球类运动之一，老师在校园东侧空地上为大家设计了一块简易的羽毛球场如图1所示，小明想帮助老师验证一下，边界线和是否平行，如图2所示在下列关于、、、的条件中，可得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定方法，熟练掌握平行线的判定方法是解答本题的关键．平行线的判定方法：①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行；④平行于同一直线的两条直线互相平行；⑤同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行． 根据平行线的判定定理解答即可． 【详解】解：A．，无法判定，不符合题意； B．，则，符合题意； C．，则，不符合题意； D．，则，不符合题意； 故选：B． 6．如图，下列说法中：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确的有：（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定，解题关键是掌握平行线的判定条件：①内错角相等，两直线平行；②同位角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行．根据平行线的判定条件逐一判断即可得到答案． 【详解】解：①，不能判断，故①错误； ②，可以判断，不能判断，故②错误； ③，可以判断，不能判断，故③错误； ④，可以判断，故④正确； 综上，正确的有1个． 故选：A． 7．如图是刻度尺的一段，为判断有刻度的一边（）与它的对边（）是否平行，启航小组的四位同学分别给出以下四种方案，其中不可行的方案是（   ） A．度量刻度尺左边的两个角是否都是直角，若是，则平行 B．画一条直线，分别与，相交，度量其中一对内错角，若相等，则平行 C．画一条直线，分别与，相交，度量其中一对同位角，若相等，则平行 D．将直角三角板的直角顶点F放置于刻度尺内部，三角板两直角边，分别与刻度尺的两条边，相交于点M，N，度量与，若相等，则平行 【答案】D 【分析】本题考查平行线的判定，关键是掌握同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行． 由平行线的判定方法，即可判断． 【详解】解：A、由同旁内角互补，两直线平行判定，故A不符合题意； B、由内错角相等，两直线平行判定，故B不符合题意； C、由同位角相等，两直线平行判定，故C不符合题意； D、如图所示， ∵与不是同位角，也不是内错角， ∴两角相等不能判定，故D符合题意． 故选：D． 8．将一块含有、、的三角尺如图放置，点A、B分别在直线m、n上，下列条件中：①，②，③，④，⑤，，能判断的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据平行线的判定方法和题目中各个小题中的条件，可以判断是否可以得到，从而可以解答本题． 【详解】解：，， 不一定等于， 和n不一定平行，故①不符合题意； ，， 不一定等于， 和n不一定平行，故②不符合题意； 过点C作， ， ，， ， ， ，故③符合题意； ， ， ，故④符合题意； ，，， ， ，故⑤符合题意； 故选：C． 9．如图，给出下列说法：①与是对顶角；②与是同旁内角；③与是同旁内角；④与是内错角．其中正确的是___________（填序号）． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查对顶角、内错角、同旁内角的相关概念，熟练掌握相关概念是解决本题的关键． 根据对顶角、同旁内角、内错角的性质判断即可． 【详解】解：与是对顶角，①说法正确； 与是同旁内角，②说法正确； 与不是同旁内角，③说法错误； 与是内错角，④说法正确； 故答案为：①②④． 10．如图，点E在AC的延长线上．给出下列条件：①；②；③；④．能判定的条件是_______（填序号） 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理逐一判断即可，掌握平行线的判定定理是解题的关键． 【详解】解： ∵， ∴，不符合题意； ∵， ∴，符合题意； ∵， ∴，符合题意； ∵， ∴，符合题意； 综上可知，能判断的有． 故答案为：． 11．一副三角尺按如图所示（共顶点A）的方式叠放在一起．若固定三角尺ABC，三角尺ADE绕点A旋转一周，则当的度数为_______时，． 【答案】或 【分析】本题考查了平行线以及三角尺等知识点，掌握平行线的判定定理以及三角尺各角的度数是解题的关键． 本题三角尺绕点旋转过程中，的情况会出现两种，依据平行线的判定定理，结合三角尺的角度特征，即可计算的度数． 【详解】解：有两种情况： 情况一：如下图， 在中，， 由“内错角相等，两直线平行”可得： 当时，； 情况二：如下图， 在中，， 由“内错角相等，两直线平行”可得： 当时，， 此时，． 故答案为：或 ． 12．如图是一个汽车雨刮器，李华画出了如图所示的简易示意图，经测量发现，所以他判断，李华作出此判断的依据是________． 【答案】同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，和是直线和被第三条直线所截形成的同位角，当时，根据同位角相等，两直线平行，可证． 【详解】解：∵， (同位角相等，两直线平行)． 故答案为：同位角相等，两直线平行． 13．如图所示的五个角中，的同位角是______． 【答案】 【分析】本题考查了同位角，内错角，同旁内角等知识点，能熟记同位角的定义是解此题的关键．根据同位角的定义判断即可． 【详解】解：由图可得的同位角是． 故答案为：． 14．如图，三点都在格点上（小正方形的顶点叫做格点）． (1)请仅用无刻度的直尺完成画图（不要求写画法） ①过点画直线的平行线，并标出直线所经过的格点； ②过点画直线的垂线，并标出直线所经过的格点及垂足； (2)在（1）画图结果的基础上，线段_________的长就是点到直线的距离； (3)连接，比较大小：_________（填“>”“<”或“=”）． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了作平行线与垂线、点到直线的距离、垂线段最短； （1）利用网格的边长与角度特征进行作图即可； （2）根据点到直线的距离可得答案； （3）根据垂线段最短可得答案． 【详解】（1）解：①如图所示，即为所求； ②如图所示，即为所求； （2）解：线段的长就是点到直线的距离， 故答案为：； （3）解：根据垂线段最短，可知：， 故答案为：． 15．如图，已知，，，求证：．请完成下列证明过程： 证明：∵，（已知） ∴ （    ） 又∵（已知） ∴ （等式的性质） 即 ∴ （内错角相等，两直线平行） 【答案】90，垂直的定义，，，，， 【分析】此题考查了平行线的性质和判定，解题的关键是平行线的性质与判定定理． 首先得到，然后由得到，即可得到． 【详解】证明：∵，（已知） ∴（垂直的定义） 又∵（已知） ∴（等式的性质） 即 ∴（内错角相等，两直线平行） 16．如图，一个方块从某一个起始角开始，经过若干步跳动后，到达终点角，跳动时，每一步只能跳到它的同位角或内错角或同旁内角的位置上，例如：从跳到终点位置的路径如下： 路径1：． 路径2：． …… (1)写出任意一条从起始位置→终点位置的路径； (2)从起始位置依次按内错角、同位角、同旁内角的顺序能否到达终点位置？并写出路径． 【答案】(1)．（答案不唯一） (2)能，路径如下： ．（答案不唯一） 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，掌握同位角、内错角、同旁内角的定义是解题的关键． （1）根据内错角，同位角，同旁内角直接逐个判断即可得到答案； （2）根据内错角、同位角、同旁内角反向推导即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得，．（答案不唯一） （2）解：能，路径如下： ．（答案不唯一） 17．已知：如图，平分，，求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键．由为角平分线，利用角平分线的定义得到，由已知，利用等量代换得到，利用内错角相等两直线平行即可得证． 【详解】证明：平分， ， ， ， ． 18．如图，平分，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了角平分线的定义，平行线的判定，解题的关键是掌握以上知识点． 首先由角平分线得到，然后得到，即可证明出． 【详解】证明：平分，， ． ， ． ． 19．如图，直线与被直线所截，分别交于点P、O，且分别平分和，．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定、对顶角的性质、同角的余角相等、角平分线的定义等知识点，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）先利用角平分线的定义可得，从而利用平角定义可得，然后利用同角的余角相等可得，再利用平行线的判定即可得到结论； （2）设，则，根据，求出，得到，由即可解答． 【详解】（1）证明：，分别平分和， ，， ， ， ， ， ， ； （2）解：设，则， ， ， 解得， ， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2探索直线平行的条件 （4知识点+7大题型+过关检测） 目录 【知识点1 同位角、内错角、同旁内角】 1 【知识点2 平行线的定义及画法】 2 【知识点3 直线平行的判定】 2 【知识点4 平行公理及其推论】 2 【题型1 同位角、内错角、同旁内角】 3 【题型2 同位角相等两直线平行】 3 【题型3 内错角相等两直线平行】 4 【题型4 同旁内角互补两直线平行】 5 【题型5 平行公理的应用】 6 【题型6 平行公理推论的应用】 7 【题型7 用直尺、三角板画平行线】 8 1. 理解同位角、内错角、同旁内角的定义，能在复杂图形中准确识别这三种角，区分不同位置关系的角。 2. 掌握探索直线平行的三个核心条件（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补），能熟练运用这三个条件判定两直线平行。 3. 理解平行公理及其推论，能运用平行公理判断过直线外一点作平行线的唯一性，运用推论解决简单的平行问题。 4. 掌握用直尺、三角板画平行线的规范方法，能根据已知条件（方向、距离）画出平行线，规范作图步骤。 03 知识•梳理 【知识点1 同位角、内错角、同旁内角】 前提：两条直线被第三条直线（截线）所截，形成“三线八角”，三种角均是“三线八角”中的角，且成对出现。 1. 同位角 定义：在截线的同侧，被截两直线的同方向，具有这种位置关系的两个角，叫做同位角。 识别技巧：“F”型结构，找准截线（公共边），两角在截线同侧、被截线同向，无交叉。 2. 内错角 定义：在截线的两侧，被截两直线的之间，具有这种位置关系的两个角，叫做内错角。 识别技巧：“Z”型结构，两角在截线两侧、被截线之间，呈交叉对称。 3. 同旁内角 定义：在截线的同侧，被截两直线的之间，具有这种位置关系的两个角，叫做同旁内角。 识别技巧：“U”型结构，两角在截线同侧、被截线之间，呈“包裹”状。 【知识点2 平行线的定义及画法】 1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b． 特别说明： (1)平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可； (2)有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行． (3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系． 2.平行线的画法： 用直尺和三角板作平行线的步骤： ①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合. ②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边. ③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点. ④画：沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行. 【知识点3 直线平行的判定】 · 条件1：同位角相等，两直线平行（最基础的判定方法，可通过观察、测量验证）； · 条件2：内错角相等，两直线平行（可由同位角相等推导得出）； · 条件3：同旁内角互补（和为180°），两直线平行（可由同位角相等、邻补角互补推导得出）。 【知识点4 平行公理及其推论】 1. 平行公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行（核心：“直线外一点”“有且只有一条”，强调唯一性）。 2. 平行公理推论 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行（符号表示：若a∥b，b∥c，则a∥c）。 04 题型•汇总 【题型1 同位角、内错角、同旁内角】 解题关键：先确定截线（公共边），再根据“F（同位角）、Z（内错角）、U（同旁内角）”型结构，判断角的类型，区分截线同侧/两侧、被截线之间/同方向。 【典例1】．如图，与______是同位角． 跟随训练1-1．如图，的内错角是______． 跟随训练1-2．如图，和是直线 ， 被直线 所截形成的 角；和是直线 ， 被直线 所截形成的 角． 【题型2 同位角相等两直线平行】 解题关键：先识别同位角，再验证同位角相等，最后根据“同位角相等，两直线平行”判定两直线平行，标注推理依据。 【典例2】．我们曾利用手中的直尺和三角板，过直线外一点画出与已知直线平行的直线，你可能还见过木工师傅用角尺画出平行线的方法；两者的原理一样，依据是（   ） A．两直线平行，同位角相等 B．同位角相等，两直线平行 C．两直线平行，内错角相等 D．内错角相等 ，两直线平行 跟随训练2-1．如图，若，则下面结论正确的是（   ） A． B． C． D． 跟随训练2-2．如图，已知直线，以及直线外一点．利用尺规作图按下列步骤操作如下： ①在直线上取一点，经过点和点，作直线； ②作，并使得与是一对同位角； ③反向延长射线，得到直线． 根据以上作法，下列结论错误的为（   ） A． B．的理论依据是同位角相等，两直线平行 C．若，则 D． 【题型3 内错角相等两直线平行】 解题关键：先识别内错角，验证内错角相等，再根据“内错角相等，两直线平行”判定，可结合对顶角、邻补角转化角。 【典例3】．如图，将两块相同的直角三角板按图示摆放，则与平行，这一判断过程体现的数学依据是（   ） A．垂线段最短 B．内错角相等，两直线平行 C．两点之间线段最短 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 跟随训练3-1．如图，下列条件能判定的是（   ） A． B． C． D． 跟随训练3-2．如图，下列推理中正确的是________．（请填写序号） ①，； ②，； ③，； ④，． 【题型4 同旁内角互补两直线平行】 解题关键：先识别同旁内角，验证两角和为180°（互补），再根据“同旁内角互补，两直线平行”判定，注意与“相等”区分。 【典例4】．如图，在下列四组条件中，能判定的是（    ） A． B． C． D． 跟随训练4-1．如图，下列条件中，不能判定直线的是（    ） A． B． C． D． 跟随训练4-2．已知：如图，直线，被直线所截，，，说明：． 解：因为与直线相交于点E，， 所以________． 因为， 所以________， 所以________________（________________）（填推理的依据）． 【题型5 平行公理的应用】 解题关键：紧扣平行公理——“经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”，判断说法正误或解决作图唯一性问题。 【典例5】．如图，已知P是直线l外一点，若，则三点在同一条直线上．其依据是（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 跟随训练5-1．如图①，有一个可折叠的晾衣架放置在水平地面上，图②是其侧面示意图，其中是地面，当时，时，．同时满足上述条件时，一定有N，P，M三点在同一条直线上，其依据是___________从下列选项中选取合适的填写，只填序号①同位角相等，两直线平行．②过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．③两点确定一条直线． 跟随训练5-2．下列说法中，正确的个数是（    ） ①在同一平面内，不重合的任意两条直线的位置关系不是相交就是平行； ②过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ③过两条直线，外一点，画直线，使，且； ④若直线，，则． A．4 B．3 C．2 D．1 【题型6 平行公理推论的应用】 解题关键：牢记推论“平行于同一条直线的两条直线互相平行”，已知两条直线都平行于第三条直线，直接判定这两条直线平行。 【典例6】．被誉为“中国最美公路”之一的新疆的独库公路，在5月31号恢复通车．独库公路是北起克拉玛依市独山子区，南至阿克苏地区库车市，全长561公里，它纵跨天山一半路段，海拔都在两千米以上，在独库公路上行驶一天就能够穿越四季，图1是蜿蜒曲折的弯路，局部公路抽象成图2．当，，那么的理由是______． 跟随训练6-1．如图，已知点在上，平分平分． (1)求证：； (2)若，求证：． 跟随训练6-2．小可在纸上画了25条直线，，…，．若，，，，…．照此规律，则与的位置关系为___________． 【题型7 用直尺、三角板画平行线】 解题关键：规范步骤——① 放：把三角板的一边靠在已知直线上；② 贴：把直尺靠在三角板的另一边；③ 推：沿直尺推动三角板，使三角板与已知直线重合的边移动到指定位置；④ 画：沿三角板的这条边画出平行线。 【典例7】．在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1，已知点，，都在格点上．利用网格画出下列各图． (1)在图中标出格点，使得，并画出； (2)在图中标出格点，使得，并画出标出垂足． 跟随训练7-1．在如图所示的方格纸中，横竖线的交点称为格点，为格点．（利用方格纸作图，画出的点、线用铅笔描粗描黑） (1)过点画直线； (2)在线段上找一点，使得点与点距离最短，在图中作出点，此时最短蕴含的数学道理是__________； (3)点为图中的格点，点与点不重合，则满足的点有__________个． 跟随训练7-2．如图，在的正方形网格中，点是的边上的一点． (1)过点画的平行线； (2)过点画的垂线，交于点； (3)点到直线的距离是线段_____的长度． (4)比较线段大小：根据_____最短，得_____（填“>”、“<”或“=”） 05 过关•检测 1．下列图形中，与是内错角的是（　　） A． B． C． D． 2．滑雪项目图标抽象出的几何图形如图所示．有下列判断：①与是对顶角；②与是同旁内角；③与是同旁内角；④与是内错角．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，下列叙述不正确的是（   ） A．和是内错角 B．和是同位角 C．和是同旁内角 D．和是邻补角 4．已知，下列图形中，能确定的是（   ） A． B． C． D． 5．羽毛球是大家最喜欢的球类运动之一，老师在校园东侧空地上为大家设计了一块简易的羽毛球场如图1所示，小明想帮助老师验证一下，边界线和是否平行，如图2所示在下列关于、、、的条件中，可得到的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，下列说法中：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确的有：（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．如图是刻度尺的一段，为判断有刻度的一边（）与它的对边（）是否平行，启航小组的四位同学分别给出以下四种方案，其中不可行的方案是（   ） A．度量刻度尺左边的两个角是否都是直角，若是，则平行 B．画一条直线，分别与，相交，度量其中一对内错角，若相等，则平行 C．画一条直线，分别与，相交，度量其中一对同位角，若相等，则平行 D．将直角三角板的直角顶点F放置于刻度尺内部，三角板两直角边，分别与刻度尺的两条边，相交于点M，N，度量与，若相等，则平行 8．将一块含有、、的三角尺如图放置，点A、B分别在直线m、n上，下列条件中：①，②，③，④，⑤，，能判断的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．如图，给出下列说法：①与是对顶角；②与是同旁内角；③与是同旁内角；④与是内错角．其中正确的是___________（填序号）． 10．如图，点E在AC的延长线上．给出下列条件：①；②；③；④．能判定的条件是_______（填序号） 11．一副三角尺按如图所示（共顶点A）的方式叠放在一起．若固定三角尺ABC，三角尺ADE绕点A旋转一周，则当的度数为_______时，． 12．如图是一个汽车雨刮器，李华画出了如图所示的简易示意图，经测量发现，所以他判断，李华作出此判断的依据是________． 13．如图所示的五个角中，的同位角是______． 14．如图，三点都在格点上（小正方形的顶点叫做格点）． (1)请仅用无刻度的直尺完成画图（不要求写画法） ①过点画直线的平行线，并标出直线所经过的格点； ②过点画直线的垂线，并标出直线所经过的格点及垂足； (2)在（1）画图结果的基础上，线段_________的长就是点到直线的距离； (3)连接，比较大小：_________（填“>”“<”或“=”）． 15．如图，已知，，，求证：．请完成下列证明过程： 证明：∵，（已知） ∴ （    ） 又∵（已知） ∴ （等式的性质） 即 ∴ （内错角相等，两直线平行） 16．如图，一个方块从某一个起始角开始，经过若干步跳动后，到达终点角，跳动时，每一步只能跳到它的同位角或内错角或同旁内角的位置上，例如：从跳到终点位置的路径如下： 路径1：． 路径2：． …… (1)写出任意一条从起始位置→终点位置的路径； (2)从起始位置依次按内错角、同位角、同旁内角的顺序能否到达终点位置？并写出路径． 17．已知：如图，平分，，求证：． 18．如图，平分，，．求证：． 19．如图，直线与被直线所截，分别交于点P、O，且分别平分和，．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $