专题2.1 两条直线的位置关系 讲义-2025-2026学年北师大版数学七年级下册

两条直线的位置关系 知识归纳与题型总结 思 维 导 图 培 优 讲 练 考点01 相交线、平行线 考点梳理 1.相交线：若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线.表示方法：如下图，直线AB与直线CD相交于点O 2.平行线：在平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 典例引领 考向01 平面内两直线的位置关系 【例1】同一平面内两条直线的位置关系有（   ） A．相交、垂直 B．相交、平行 C．垂直、平行 D．相交、垂直、平行 【答案】B 【分析】本题考查同一平面内两条直线的位置关系，掌握基础概念，明确垂直是相交的特殊情况，不属于独立的位置关系即可求解． 【详解】解：∵ 同一平面内，不重合的两条直线只有相交和平行两种位置关系，垂直是相交的特殊情况，不单独作为一类位置关系． ∴ 只有选项B符合题意，选项A、C、D不符合题意． 考向02 立体图形中平行的棱 【例2】观察如图的长方体，下面各棱与棱平行的是（   ） A．棱 B．棱 C．棱 D．棱 【答案】D 【分析】在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线，由此即可得到答案． 【详解】解：A中的棱与棱相交，故A不符合题意； B、C中的棱与棱异面，故B、C不符合题意； D、棱与棱平行，故D符合题意． 考向03 相交线 【例3】如图，下面的说法正确的是（　　） A．点P在直线m上 B．直线m和n相交于点O C．可以表示成或 D．射线和射线表示同一条射线 【答案】B 【分析】本题主要考查点和线的位置关系，角的表示以及相关的数学语言，根据点和线的位置关系以及数学语言判断即可． 【详解】解：A．点P在直线m外，该选项错误； B．直线m和n相交于点O，该选项正确； C．可以表示成，该选项错误； D．射线和射线表示不同射线，该选项错误． 故选：B． 对点提升 【对点1】在同一平面内有2026条直线，如果，，，，…，依此类推，那么与的位置关系是________． 【答案】 【分析】根据在同一平面内，平行于同一条直线的两直线平行，垂直于同一条直线的两直线平行等，进行判定位置关系，然后推导出一般性规律：与后续直线的位置关系以4为周期循环，然后求解即可． 【详解】解：∵，，，，……， ∴，，，，，，，，……， ∴可推导出一般性规律，与后续直线的位置关系以4为周期循环， ∵， ∴， 故答案为：． 【对点2】在棱柱中，平行且相等的棱（   ） A．只存在于侧棱之间 B．只存在于两个底面的对应边之间 C．既存在于侧棱之间，也存在于两个底面的对应边之间 D．可能不存在 【答案】C 【分析】本题考查棱柱的结构特征，解题关键是明确棱柱侧棱与底面边的平行且相等的特征． 根据棱柱的定义和性质，侧棱平行且相等，且两个底面对应边平行且相等，因此平行且相等的棱既存在于侧棱之间，也存在于底面边之间（指对应边之间）． 【详解】解：∵ 在棱柱中，侧棱互相平行且长度相等， ∴ 平行且相等的棱存在于侧棱之间． ∵ 棱柱的两个底面平行且全等， ∴ 底面对应边互相平行且长度相等， ∴ 平行且相等的棱也存在于底面边之间（指对应边之间）． ∴ 平行且相等的棱既存在于侧棱之间，也存在于底面边之间． 故选：C． 【对点3】如图，直线交于点，若，则与的度数之和为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了对顶角相等，平角的定义，角的和差， 先标注，再根据对顶角相等得，然后根据平角定义得，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． 故选：A． 考点02 对顶角 考点梳理 1.对顶角的概念：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线且这两个角有公共顶点，这样的两个角叫做对顶角. 2.对顶角的性质：对顶角相等. 典例引领 考向01 对顶角的定义 【例1】下列图形中，与是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对顶角定义即可求解． 【详解】解：、选项中与不是对顶角，不符合题意； 、选项中与是对顶角，符合题意； 、选项中与不是对顶角，不符合题意； 、选项中与不是对顶角，不符合题意． 考向02 对顶角相等 【例2】如图，直线与相交于点，，，则的度数是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对顶角相等可得，然后通过角度和差即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的度数是． 对点提升 【对点1】下列图形中，和是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对顶角的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：A、两个角有公共顶点但两角的对应边不在各自的反向延长线上，不是对顶角，选项不符合题意； B、两个角没有公共顶点，不是对顶角，不符合题意； C、两个角有公共顶点但两角的对应边不在各自的反向延长线上，不是对顶角，不符合题意； D、两个角有公共顶点并且任一个角的对应边在各自的反向延长线上，是对顶角，符合题意． 【对点2】如图，直线于点，为过点的一条直线，，则的度数是（   ） A．40° B．50° C．60° D．130° 【答案】A 【分析】根据对顶角相等求出 ，再根据垂直的定义求出 ，然后根据 ，代入数据计算即可得解． 【详解】解：， ， ， ， ． 考点03 余角、补角 考点梳理 1.互补与互余的概念 互补：如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角，也称互补.互余：如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角，也称互余. 2.互补与互余的性质：同角或等角的补角相等；同角或等角的余角相等. 典例引领 考向01 求一个角的余角 【例1】如图是集热板示意图，太阳光线与集热板垂直时，光能利用率最高．某日正午太阳光线与水平面的夹角为．若光能利用率最高，则集热板与水平面夹角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集热板与太阳光线垂直的条件，得出与互余，再代入，计算出即可． 【详解】解：根据题意可知，， ∵， ∴． 考向02 求一个角的补角 【例2】已知，则的补角度数为________． 【答案】 【分析】根据补角的定义，和为的两个角互为补角，进行计算即可． 【详解】解：根据补角的定义可得， ∴的补角度数为． 考向03 与余角、补角有关的计算 【例3】如图，点A，O，B在一条直线上，，且与互余，，那么的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，， ∴， ∵与互余 ∴， ∴． 考向04 同（等）角的余（补）角相等的应用 【例4】已知和互为补角，和互为补角．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用“同角的补角相等”即可推出与的关系，即可求解． 【详解】解∶∵和互为补角，和互为补角， ∴． 对点提升 【对点1】将一副三角尺按不同位置摆放，下列摆放中∠1与∠2互为余角的是（     ） A． B． B． C． D． 【答案】D 【分析】如果两个角的和等于，那么这两个角互为余角，由此逐一判断即可． 【详解】解：A、图中，但不一定互余，不符合题意； B、图中，不互余，不符合题意； C、图中，不互余，不符合题意； D、图中，互余，符合题意； 【对点2】已知与互补，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵与互补， ∴， ∴． 【对点3】与互余，与互补，，那么________． 【答案】/153度 【分析】根据互余的定义先求出的度数，再根据互补的定义即可求出的度数． 【详解】解：∵与互余，， ∴， ∵与互补， ∴． 【对点4】如图，不同的位置摆放，摆放位置中与一定相等的图形个数共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查余角和补角，根据“等角或同角的余角相等”以及余角和补角的定义，即可求得答案． 【详解】第一个图形中，，与不一定相等； 第二个图形中，根据“同角的余角相等”， 可知； 第三个图形中，，与不一定相等； 第四个图形中，根据“等角的余角相等”， 可知； 综上所述，∠α与∠β一定相等的图形个数共有个． 故选：B 考点04 垂线 考点梳理 1.垂线的定义 两条直线相交成直角（90°），则这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。 （1）符号表示：直线AB与CD垂直，记作 AB⊥CD，垂足为O。 （2）判定与性质：有一个角为直角 ⇔ 两直线垂直；两直线垂直 ⇒ 四个角均为直角。 2.垂线的性质 （1）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 （2）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。 3.点到直线的距离 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 典例引领 考向01 垂线的定义理解 【例1】如图，点在直线上，，平分．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据角平分线的定义得到，利用垂直的定义得到，则. 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选： D． 考向02 画垂线 【例2】如图，点在的一边上．请按要求画图并填空： (1)过点作边的垂线，交线段的延长线于点； (2)过点作边的垂线段，垂足为点； (3)比较线段，，的大小，并用“”连接得_____，得此结论的依据是_____． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，垂线段最短 【分析】（1）根据垂直的定义作图即可； （2）根据垂直的定义作图即可； （3）先结合两处垂直条件，连续运用垂线段最短分步比较线段大小，最后得出． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 得此结论的依据是垂线段最短． 考向03 垂线段最短 【例3】数学源于生活，寓于生活，用于生活．下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（    ） A．测量跳远成绩 B．木板上弹墨线 C．弯曲河道改直 D．两钉子固定木条 【答案】A 【分析】根据垂线段最短，两点确定一条直线，两点之间线段最短逐项判断即可． 【详解】解：A、测量跳远成绩，可以用“垂线段最短”来解释，符合题意； B、木板上弹墨线，可以用“两点确定一条直线”来解释，不符合题意； C、弯曲河道改直，可以用“两点之间，线段最短”来解释，不符合题意； D、两钉子固定木条，可以用“两点确定一条直线”来解释，不符合题意； 考向04 点到直线的距离 【例4】如图，，，，．点B到直线的距离（    ） A．小于9 B．等于9 C．等于12 D．等于15 【答案】C 【分析】点到直线的距离的定义，即从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，据此解答即可． 【详解】解：， 线段的长度即为点到直线的距离， ， 点到直线的距离等于12． 对点提升 【对点1】含有的直角三角板和含有的直角三角板按如图放置，其中和重合．三角板的位置保持不变，将三角板绕着点B以每秒的速度按逆时针方向旋转．当它完成旋转一周时停止，设旋转的时间为t秒．则____时，． 【答案】3或39 【分析】分两种情况：当转动时，，一共转动，． 【详解】解：当转动时，，如图： ∴， 当再转动时，，如图： ∴一共转动， ∴， 综上所述，t为3或39时，． 【对点2】下列各图中，过直线l外点P画l的垂线，三角板操作正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．未经过点P，操作错误； B．不垂直于l，操作错误； C．经过点P，且垂直于l，操作正确； D．不垂直于l，操作错误． 【对点3】点是直线l外一点，、、为直线l上的三点，，，，则点到直线l的距离为（   ） A．小于 B．等于 C．等于 D．不大于 【答案】D 【详解】解：∵直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，点P到直线l的距离即为点P到l的垂线段的长度． 又已知，，，是给出的线段中长度最短的， ∴点P到直线l的距离，即不大于． 【对点4】如图所示，，，下列说法不正确的是（    ） A．线段是点到的垂线段 B．线段是点到的垂线段 C．点到的垂线段是线段 D．点到的垂线段是线段 【答案】B 【详解】解：、， ∴线段是点到的垂线段，该选项说法正确，不符合题意； 、， ∴线段是点到的垂线段，该选项说法错误，符合题意； 、， ， ∴点到的垂线段是线段，该选项说法正确，不符合题意； 、， ， ∴点到的垂线段是线段，该选项说法正确，不符合题意． 好 题 冲 关 能力提升 1、 选择题 1．在相交线与平行线这一章节中我们学习了垂直的定义，仿照垂直的定义方法给出以下新定义：两条直线相交所形成的四个角中，如果有一个角是，就称这两条直线互为完美交线，交点叫完美点，已知直线、互为完美交线，为它们的完美点，，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据的不同位置分情况讨论，计算得到的度数． 【详解】根据完美交线定义，可知直线与交于，其中一个夹角为，结合，分两种情况讨论： ①当与点在直线同侧时， 设， ， ， ； ②当与点在直线两侧时， 设， ， ， ； 因此的度数为或． 2．如图，直线，交于点O．射线平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对顶角相等求出，再根据角平分线的定义计算即可． 【详解】解：∵， ， 平分， ． 3．下列说法：①连接一点与直线上各点的线段中，垂线段最短；②直线相交于点，若，则；③相等的角是对顶角；④过直线外一点作于点，则线段的长度是点到直线的距离，正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据垂线段的性质，垂直的定义，对顶角的定义和点到直线的距离定义逐一判断即可． 【详解】解：①连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短，原说法缺少“直线外”的前提条件，故错误错误； ②直线相交于点，若，则，原说法正确； ③相等的角不一定是对顶角，原说法错误； ④过直线外一点作于点，则线段的长度是点到直线的距离，原说法正确； ∴说法正确的有2个． 4．若平面内互不重合的条直线相交于一点，共有对对顶角，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】两条直线相交于一点会产生对对顶角，先计算条直线中两两组合的数量，再乘以即可得到对顶角总对数． 【详解】解：∵两条直线相交于一点，共产生对对顶角， 条互不重合的直线交于一点，两两组合的总组数为， ∴对顶角总对数． 5．如图，直线、相交于点，在内部作射线，若，平分，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先利用对顶角的性质确定的度数，再根据角平分线的定义，得出与的数量关系，进而计算出的度数． 【详解】解：直线与相交于点， ． 平分， ． ， 6．直线、相交于，平分，过点作，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对顶角的性质可求得的度数，由角平分线的性质得出的度数，再利用垂直定义得出的度数，最后根据求解即可． 【详解】解：， ， 平分， ， ， ， ． 7．若平面内互不重合的10条直线相交于一点，共有对对顶角，则的值为（   ） A．45 B．90 C．180 D．200 【答案】B 【分析】每两条直线相交于一点会产生2对对顶角，先计算10条直线中两两组合的数量，再乘以2即可得到对顶角总对数； 【详解】两条直线相交于一点，共产生2对对顶角， 10条互不重合的直线交于一点，两两组合的总组数为， 对顶角总对数． 8．下列说法中错误的有（   ）个． ①如果，那么点C为线段的中点；②把弯曲的河道改直，可以缩短河道长度，蕴含的数学知识是两点确定一条直线；③连接两点间的线段，叫做这两点间的距离；④线段，点C在直线上，且，则线段；⑤一个角的补角一定比这个角大． A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【分析】本题考查几何概念辨析，涵盖线段中点定义、两点之间线段最短、两点间距离定义、线段长度分类计算及补角性质，需逐一分析各说法正误并统计错误个数． 【详解】∵①中，若，点不一定在线段上（如等腰三角形的顶点）， 故点不一定是的中点，①错误； ∵②中，弯曲河道改直缩短长度的原理是两点之间线段最短， 而非两点确定一条直线，②错误； ∵③中，两点间的距离是连接两点的线段的长度， 而非线段本身，③错误； ∵④中，点在直线上分两种情况： 当在线段延长线上时，； 当在线段上时，， 故不一定为4，④错误； ∵⑤中，当角为钝角时，其补角为锐角且小于该角； 当角为直角时，补角与该角相等， 故“补角一定比这个角大”不成立，⑤错误； ∴错误的说法有5个， 故选：A． 9．已知点是直线上一点，射线在直线上方，平分平分，，则下列说法：①；②图中互补的角共有6对；③；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线、角的互补以及角的和差关系，通过角平分线计算角度，列举互补角对数，利用等式性质推导角相等以及角的和差关系逐项分析即可． 【详解】解：平分，平分， ，． ， 即． 故①正确． ，，，， ，， ， ． ∴图中互补的角共有9对． 故②错误． ，， ． ． 故③正确． ，， ， ． 故④正确． 故选：C． 10．下列说法：①数字4389用科学记数法表示为；②若，则点为线段的中点；③两点之间，直线最短；④等角的补角相等；⑤如果两个角的和等于，那么这两个角互余．其中，正确的是（    ） A．①④ B．②④⑤ C．①③ D．②③⑤ 【答案】A 【分析】本题考查科学记数法、线段中点性质、两点之间距离、补角性质以及余角和互补的概念，准确理解几何概念和科学记数法规则是解题的关键． 结合科学记数法、线段中点性质、两点之间距离、补角性质以及余角和互补的概念逐项判断正误即可． 【详解】解：对于说法①：∵，符合科学记数法定义，∴说法①正确； 对于说法②：当点P不在线段上，如等腰三角形中，但P不是中点，∴说法②错误； 对于说法③：两点之间，线段最短，而非直线，∴说法③错误； 对于说法④：由补角性质可知，等角的补角相等，∴说法④正确； 对于说法⑤：两个角和为时互补，∴说法⑤错误； ∴正确的是①④， 故选：A． 2、 填空题 11．如图，在中，，，为边上的高，，P为上一动点，则的最小值为_______． 【答案】 【分析】过点作于点，利用等面积法求出长．根据垂线段最短，得出当时，即点与点重合时，最小． 【详解】解：如图，过点作于点， ， ， 解得， 垂线段最短， 当点与点重合时，最小，即最小值为． 12．如图，点O在直线上，，且平分，．则________． 【答案】65 【分析】根据角平分线的定义和垂线的定义求出和的度数，再由平角的定义可得答案． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 13．在同一平面内，若，且，则的度数为____． 【答案】或 【分析】根据垂直的定义可得，结合已知比例求出，再分两种情况讨论的位置，计算的度数． 【详解】解：由题意，分两种情况讨论： ∵， ， ， ； ① 当与在同侧，即在内部时， ； ② 当与在两侧，即在外部另一侧时 ． 14．如图，直线AB，CD相交于点O，，，OB平分．给出下列结论，其中正确的结论是__________．（填序号） ①当时，；②OD平分；③与相等的角有3个；④． 【答案】①③④ 【分析】根据同角的余角相等可得，再根据余角以及角平分线的意义即可判断①；结合题意无法证明为的角平分线，即可判断②；根据角平分线的定义，可得，由对顶角相等得出，利用同角的余角相等可得，即可判断③；根据平角的定义以及，即可判断④． 【详解】解：， ， ， ∴， ， ， ， 当时，， ∴， ∵平分， ∴，故①正确，符合题意； 不能证明， 无法证明为的角平分线，故②错误，不符合题意； 平分， ． 直线，交于点， ． ， ∴， ， 与相等的角至少有3个，故③正确，符合题意； ，， ，故④正确，符合题意． 综上，正确的结论有①③④． 15．如图，直线、相交于点，，平分，若，则的度数为_______． 【答案】60 【分析】根据已知可设，，从而可得，然后根据垂直定义可得，从而可得，再利用角平分线的定义可得，从而列出关于x的方程，进行计算可求出，最后利用对顶角相等，即可解答． 【详解】解：∵， ∴设，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分​， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴． 3、 解答题 16．如图，点O在直线上，与互补，． (1)若，，则的度数为__________； (2)若，求n的值； (3)若，设，求的度数（用含的代数式表示的度数）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据补角的性质以及邻补角的性质可得，从而得到，再由，可得，即可求解； （2）设，根据补角的性质以及邻补角的性质可得，从而得到，再由，可得，根据，即可求解； （3）根据补角的性质以及邻补角的性质可得，从而得到，再由，可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵与互补， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：设． 因为，， 所以， 所以， 所以． 因为， 所以， 所以． 因为， 所以， 所以； （3）解：因为，， 所以， 所以， 所以． 因为， 所以， 所以， 所以． 17．如图，每个小方格都是边长为的正方形，三点都是格点，（每个小方格的顶点叫做格点） 操作： (1)找出格点，画出的平行线； (2)图中满足要求的格点D共可以找出____________个； (3)找出格点E，画的垂线，垂足为H (4)线段____________的长是点C到直线的距离． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 (4) 【分析】（1）根据网格即可找出格点，画出的平行线； （2）根据网格即可得图中满足要求的格点的个数； （3）根据网格即可找出格点，画的垂线，垂足为； （4）根据点到直线的距离定义即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，点即为所求作， （2）解：由图可知图中满足要求的格点D共可以找出个； （3）解：如图，点即为所求作； （4）解： 线段的长是点到直线的距离． 18．如图，已知直线和相交于O点，是直角，平分，，求的度数． 【答案】 【分析】先求出的度数，则可得的度数，再求出和的度数，然后根据求解即可得． 【详解】解：∵是直角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 由对顶角相等得：， ∴． 19．直线、相交于点，在的内部． (1)如图①，当时，求与的度数和； (2)在（1）的条件下，请直接写出图中与互补的角； (3)如图②，若射线平分（在内部），且满足，请判断与的大小关系并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】此题考查的是角的和差倍分的综合题，熟悉掌握角平分线、补角的性质是解题的关键． （1）根据补角的定义以及角的和差关系计算即可； （2）根据补角的定义解答即可； （3）根据角平分线的定义以及角的和差关系解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴与互补的角有； （3）解：，理由如下： ∵平分， ∴， ∴ ， ∴． 20．若、满足，则我们称是的“倍补角”．例如若，，则是的“倍补角”． (1)若是的“倍补角”，， ； (2)如图，已知，若在直线的上方存在射线、，使得是的“倍补角”，且与互余，求的大小； (3)如图，已知，射线从出发绕点以每秒的速度逆时针旋转，射线绕点从出发以每秒的速度顺时针旋转，平分，平分，运动时间为秒（），当是的“倍补角”时，求此时的值． 【答案】(1)； (2)； (3)的值为或． 【分析】本题考查了“倍补角”定义，角平分线定义，一元一次方程的应用，互余的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据“倍补角”定义即可求解； （）分当在内时，当在内时，两种情况，画出图形，再通过“倍补角”定义，互余的性质求解即可； （）根据“倍补角”定义求出，又平分，平分，则，，然后分，（当射线旋转至射线的反向延长线之前，即），；（当射线旋转至射线的反向延长线之后，即），，两种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵是的“倍补角”， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：当在内时，如图： 设， ∵且， ∴， ∵， 解得：， ∴，， 又∵与互余， ∴， ∴， ∴， ∴， 当在内时，如图： ∵， ∴与小于， 由，故不存在（舍去）， 综上，； （3）解：如图， ∵，， ∴ ∵平分，平分， ∴，， ∵射线从出发绕点以每秒的速度逆时针旋转，射线绕点从出发以每秒的速度顺时针旋转， ∴，（当射线旋转至射线的反向延长线之前，即），， 又∵，， ∴， ∴， ∴； （当射线旋转至射线的反向延长线之后，即），， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 即， 解得， 综上所述，的值为或． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 两条直线的位置关系 知识归纳与题型总结 思 维 导 图 培 优 讲 练 考点01 相交线、平行线 考点梳理 1.相交线：若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线.表示方法：如下图，直线AB与直线CD相交于点O 2.平行线：在平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 典例引领 考向01 平面内两直线的位置关系 【例1】同一平面内两条直线的位置关系有（   ） A．相交、垂直 B．相交、平行 C．垂直、平行 D．相交、垂直、平行 考向02 立体图形中平行的棱 【例2】观察如图的长方体，下面各棱与棱平行的是（   ） A．棱 B．棱 C．棱 D．棱 考向03 相交线 【例3】如图，下面的说法正确的是（　　） A．点P在直线m上 B．直线m和n相交于点O C．可以表示成或 D．射线和射线表示同一条射线 对点提升 【对点1】在同一平面内有2026条直线，如果，，，，…，依此类推，那么与的位置关系是________． 【对点2】在棱柱中，平行且相等的棱（   ） A．只存在于侧棱之间 B．只存在于两个底面的对应边之间 C．既存在于侧棱之间，也存在于两个底面的对应边之间 D．可能不存在 【对点3】如图，直线交于点，若，则与的度数之和为（　　） A． B． C． D． 考点02 对顶角 考点梳理 1.对顶角的概念：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线且这两个角有公共顶点，这样的两个角叫做对顶角. 2.对顶角的性质：对顶角相等. 典例引领 考向01 对顶角的定义 【例1】下列图形中，与是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 考向02 对顶角相等 【例2】如图，直线与相交于点，，，则的度数是（） A． B． C． D． 对点提升 【对点1】下列图形中，和是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【对点2】如图，直线于点，为过点的一条直线，，则的度数是（   ） A．40° B．50° C．60° D．130° 考点03 余角、补角 考点梳理 1.互补与互余的概念 互补：如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角，也称互补.互余：如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角，也称互余. 2.互补与互余的性质：同角或等角的补角相等；同角或等角的余角相等. 典例引领 考向01 求一个角的余角 【例1】如图是集热板示意图，太阳光线与集热板垂直时，光能利用率最高．某日正午太阳光线与水平面的夹角为．若光能利用率最高，则集热板与水平面夹角的度数是（    ） A． B． C． D． 考向02 求一个角的补角 【例2】已知，则的补角度数为________． 考向03 与余角、补角有关的计算 【例3】如图，点A，O，B在一条直线上，，且与互余，，那么的大小为（　　） A． B． C． D． 考向04 同（等）角的余（补）角相等的应用 【例4】已知和互为补角，和互为补角．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 对点提升 【对点1】将一副三角尺按不同位置摆放，下列摆放中∠1与∠2互为余角的是（     ） A． B． B． C． D． 【对点2】已知与互补，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【对点3】与互余，与互补，，那么________． 【对点4】如图，不同的位置摆放，摆放位置中与一定相等的图形个数共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点04 垂线 考点梳理 1.垂线的定义 两条直线相交成直角（90°），则这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。 （1）符号表示：直线AB与CD垂直，记作 AB⊥CD，垂足为O。 （2）判定与性质：有一个角为直角 ⇔ 两直线垂直；两直线垂直 ⇒ 四个角均为直角。 2.垂线的性质 （1）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 （2）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。 3.点到直线的距离 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 典例引领 考向01 垂线的定义理解 【例1】如图，点在直线上，，平分．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 考向02 画垂线 【例2】如图，点在的一边上．请按要求画图并填空： (1)过点作边的垂线，交线段的延长线于点； (2)过点作边的垂线段，垂足为点； (3)比较线段，，的大小，并用“”连接得_____，得此结论的依据是_____． 考向03 垂线段最短 【例3】数学源于生活，寓于生活，用于生活．下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（    ） A．测量跳远成绩 B．木板上弹墨线 C．弯曲河道改直 D．两钉子固定木条 考向04 点到直线的距离 【例4】如图，，，，．点B到直线的距离（    ） A．小于9 B．等于9 C．等于12 D．等于15 对点提升 【对点1】含有的直角三角板和含有的直角三角板按如图放置，其中和重合．三角板的位置保持不变，将三角板绕着点B以每秒的速度按逆时针方向旋转．当它完成旋转一周时停止，设旋转的时间为t秒．则____时，． 【对点2】下列各图中，过直线l外点P画l的垂线，三角板操作正确的是（    ） A． B． C． D． 【对点3】点是直线l外一点，、、为直线l上的三点，，，，则点到直线l的距离为（   ） A．小于 B．等于 C．等于 D．不大于 【对点4】如图所示，，，下列说法不正确的是（    ） A．线段是点到的垂线段 B．线段是点到的垂线段 C．点到的垂线段是线段 D．点到的垂线段是线段 好 题 冲 关 能力提升 1、 选择题 1．在相交线与平行线这一章节中我们学习了垂直的定义，仿照垂直的定义方法给出以下新定义：两条直线相交所形成的四个角中，如果有一个角是，就称这两条直线互为完美交线，交点叫完美点，已知直线、互为完美交线，为它们的完美点，，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 2．如图，直线，交于点O．射线平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．下列说法：①连接一点与直线上各点的线段中，垂线段最短；②直线相交于点，若，则；③相等的角是对顶角；④过直线外一点作于点，则线段的长度是点到直线的距离，正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．若平面内互不重合的条直线相交于一点，共有对对顶角，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．如图，直线、相交于点，在内部作射线，若，平分，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．直线、相交于，平分，过点作，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．若平面内互不重合的10条直线相交于一点，共有对对顶角，则的值为（   ） A．45 B．90 C．180 D．200 8．下列说法中错误的有（   ）个． ①如果，那么点C为线段的中点；②把弯曲的河道改直，可以缩短河道长度，蕴含的数学知识是两点确定一条直线；③连接两点间的线段，叫做这两点间的距离；④线段，点C在直线上，且，则线段；⑤一个角的补角一定比这个角大． A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 9．已知点是直线上一点，射线在直线上方，平分平分，，则下列说法：①；②图中互补的角共有6对；③；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．下列说法：①数字4389用科学记数法表示为；②若，则点为线段的中点；③两点之间，直线最短；④等角的补角相等；⑤如果两个角的和等于，那么这两个角互余．其中，正确的是（    ） A．①④ B．②④⑤ C．①③ D．②③⑤ 2、 填空题 11．如图，在中，，，为边上的高，，P为上一动点，则的最小值为_______． 12．如图，点O在直线上，，且平分，．则________． 13．在同一平面内，若，且，则的度数为____． 14．如图，直线AB，CD相交于点O，，，OB平分．给出下列结论，其中正确的结论是__________．（填序号） ①当时，；②OD平分；③与相等的角有3个；④． 15．如图，直线、相交于点，，平分，若，则的度数为_______． 3、 解答题 16．如图，点O在直线上，与互补，． (1)若，，则的度数为__________； (2)若，求n的值； (3)若，设，求的度数（用含的代数式表示的度数）． 17．如图，每个小方格都是边长为的正方形，三点都是格点，（每个小方格的顶点叫做格点） 操作： (1)找出格点，画出的平行线； (2)图中满足要求的格点D共可以找出____________个； (3)找出格点E，画的垂线，垂足为H (4)线段____________的长是点C到直线的距离． 18．如图，已知直线和相交于O点，是直角，平分，，求的度数． 19．直线、相交于点，在的内部． (1)如图①，当时，求与的度数和； (2)在（1）的条件下，请直接写出图中与互补的角； (3)如图②，若射线平分（在内部），且满足，请判断与的大小关系并说明理由． 20．若、满足，则我们称是的“倍补角”．例如若，，则是的“倍补角”． (1)若是的“倍补角”，， ； (2)如图，已知，若在直线的上方存在射线、，使得是的“倍补角”，且与互余，求的大小； (3)如图，已知，射线从出发绕点以每秒的速度逆时针旋转，射线绕点从出发以每秒的速度顺时针旋转，平分，平分，运动时间为秒（），当是的“倍补角”时，求此时的值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $