2.1两条直线的位置关系讲义2025-2026学年北师大版七年级数学下册

两条直线的位置关系 一、教学要求 教学目标 （1）了解两条直线的相交和平行关系，在具体情境中理解对顶角、补角、余角等概念，探索并掌握其性质； （2）通过画、折等活动，进一步丰富对两条直线互相垂直的认识，掌握两条直线互相垂直的符号表示．探索并了解有关两条直线互相垂直的一些性质．会借助三角尺、量角器、方格纸画垂线，积累操作活动经验． 重难点分析 （1）重点：利用补角和余角等性质解决实际问题； （2）难点：掌握垂直的性质. 二、知识讲解 两条直线的位置关系 在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种，若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线。 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 【重点提示】 判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定： （1）有且只有一个公共点，两直线相交；②无公共点，则两直线平行； （2）两个或两个以上公共点，则两直线重合（因为两点确定一条直线）． 两线四角 （1）对顶角 两条直线相交所成的四个角中，有公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角互为对顶角． 如图，和，和是对顶角． 【重点提示】 识别对顶角同时满足两条： （1）有公共顶点； （2）两个角的两边互为反向延长线． 对顶角的性质 ： 对顶角相等 ． ∵，（邻补角的定义） ∴（同角的补角相等） 【注意】对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角． （2）补角和余角 如果两个角的和是，那么称这两个角 互为补角 ．类似地，如果两个角的和是，那么称这两个角 互为余角 ． 【重点提示】 ①两个角互为补角简称 互补 ，即其中一个角是另一个角的 补角 ． 几何语言：（或者）                         与互为补角． ②两个角互为余角，简称 互余 ，即其中一个角是另一个角的 余角 ． 几何语言：（或者）                         与互为余角． 补角和余角的性质 :同角或者等角的补角相等,同角或等角的余角相等. 例题 1 .如图，直线、相交于一点，若，则下列结论正确的是（   ）． A. B. C. D. 练习 2 .如图，直线、相交于点，平分，若，则（   ）． A. B. C. D. 3 .如图，已知直线、、相交于点，，，则（   ）． A. B. C. D. 例题 4 .如图，直线、相交于，，，已知，则           ．  练习 5 .如图，直线，相交于点，，垂足为，．则           ． 6 .如图，直线、相交于点， ，为垂足，如果，则           度． 垂直 （1）垂直的概念 两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条是另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足．如图，可以记作“于”． （垂直的定义）． 【注意】垂直是相交的一种特殊情况． （2）垂线的作图 垂线的作图：用三角板、直尺作已知直线的垂线： ①边线重合； ②点点重合； ③画垂线； ④标直角符号. 例题 7 .如图，点在的一边上．按要求画图并填空： ( 1 )过点画直线，与的另一边相交于点． ( 2 )过点画的垂线段，垂足为点． ( 3 )过点画直线，交直线于点． ( 4 )           ． ( 5 )如果，，，则点到直线的距离为           ． 练习 8 .如图，为钝角． ( 1 )画出过点且与线段垂直的直线． ( 2 )画出过点且与线段垂直的直线． 9 .如图，过点作直线的垂线． ( 1 )点在直线外． ( 2 )点在直线上． （3）垂线的性质 ① 平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 ． ②直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短． 简单说成 ： 垂线段最短． 点与直线上任意一点的连线中，垂线段最短． 例题 10 .如图，在直线上找一点使得线段最短． 练习 11 .如图，计划把河水引到水池中，先作，垂足为，然后沿开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是           ． 12 .一辆货车在公路（直线）上由点向点方向行驶，村庄，分别位于道路的两侧，司机师傅要在公路上选择一个货物的下货点． ( 1 )请在上确定一个下货点，使点到村庄的距离最近，画出图形并写出画图的依据． ( 2 )请在直线上确定一点，使点到村庄，的距离之和最小，画出图形并写出画图的依据． （4）点到直线的距离 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的 垂线段的长度 ，叫做点到直线的距离． 【举例】如右图，，垂线段的长度即为点到直线的距离．   【注意】 ① 点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量． ② 不能说垂线段是距离，线段是图形，它们之间不能等同． 例题 13 .点为直线外一点，点到直线上三点的距离分别为，，，则点到直线的距离为（  ）． A. B.小于 C.大于 D.以上结论都不对 练习 14 .如图所示，中，，，点是边上的动点，则长不可能是（   ）． A. B. C. D. 15 .如图，，于点，在以下线段中表示点到直线的距离的是（  ）． A.线段 B.线段 C.线段 D.线段 三、知识总结   学科网（北京）股份有限公司 $ 两条直线的位置关系 一、教学要求 教学目标 （1）了解两条直线的相交和平行关系，在具体情境中理解对顶角、补角、余角等概念，探索并掌握其性质； （2）通过画、折等活动，进一步丰富对两条直线互相垂直的认识，掌握两条直线互相垂直的符号表示．探索并了解有关两条直线互相垂直的一些性质．会借助三角尺、量角器、方格纸画垂线，积累操作活动经验． 重难点分析 （1）重点：利用补角和余角等性质解决实际问题； （2）难点：掌握垂直的性质. 二、知识讲解 两条直线的位置关系 在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种，若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线。 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 【重点提示】 判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定： （1）有且只有一个公共点，两直线相交；②无公共点，则两直线平行； （2）两个或两个以上公共点，则两直线重合（因为两点确定一条直线）． 两线四角 （1）对顶角 两条直线相交所成的四个角中，有公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角互为对顶角． 如图，和，和是对顶角． 【重点提示】 识别对顶角同时满足两条： （1）有公共顶点； （2）两个角的两边互为反向延长线． 对顶角的性质 ： 对顶角相等 ． ∵，（邻补角的定义） ∴（同角的补角相等） 【注意】对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角． （2）补角和余角 如果两个角的和是，那么称这两个角 互为补角 ．类似地，如果两个角的和是，那么称这两个角 互为余角 ． 【重点提示】 ①两个角互为补角简称 互补 ，即其中一个角是另一个角的 补角 ． 几何语言：（或者）                         与互为补角． ②两个角互为余角，简称 互余 ，即其中一个角是另一个角的 余角 ． 几何语言：（或者）                         与互为余角． 补角和余角的性质 :同角或者等角的补角相等,同角或等角的余角相等. 例题 1 .如图，直线、相交于一点，若，则下列结论正确的是（   ）． A. B. C. D. 【答案】 C 与互补，与互补，与互为对顶角， ∴，． 故选． 练习 2 .如图，直线、相交于点，平分，若，则（   ）． A. B. C. D. 【答案】 B ∵ ∴ ∵平分 ∴ 3 .如图，已知直线、、相交于点，，，则（   ）． A. B. C. D. 【答案】 D 由题意，得． ∴． 例题 4 .如图，直线、相交于，，，已知，则           ．  【答案】 ∵，，∴． ∴ ， ∴． 练习 5 .如图，直线，相交于点，，垂足为，．则           ． 【答案】 由题意可知，，， 所以， 与是对顶角相等，所以． 6 .如图，直线、相交于点， ，为垂足，如果，则           度． 【答案】 因为， 所以， 所以， 因为， 所以， 又与是对顶角， 所以. 垂直 （1）垂直的概念 两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条是另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足．如图，可以记作“于”． （垂直的定义）． 【注意】垂直是相交的一种特殊情况． （2）垂线的作图 垂线的作图：用三角板、直尺作已知直线的垂线： ①边线重合； ②点点重合； ③画垂线； ④标直角符号. 例题 7 .如图，点在的一边上．按要求画图并填空： ( 1 )过点画直线，与的另一边相交于点． ( 2 )过点画的垂线段，垂足为点． ( 3 )过点画直线，交直线于点． ( 4 )           ． ( 5 )如果，，，则点到直线的距离为           ． 【答案】 (1)画图见解析． (2)画图见解析． (3)画图见解析． (4) (5) (1)如图： (2)如图： (3)如图： (4)∵， ∴． (5)， ∴． 练习 8 .如图，为钝角． ( 1 )画出过点且与线段垂直的直线． ( 2 )画出过点且与线段垂直的直线． 【答案】 (1)画图见解析． (2)画图见解析． (1) (2) 9 .如图，过点作直线的垂线． ( 1 )点在直线外． ( 2 )点在直线上． 【答案】 (1)画图见解析． (2)画图见解析． (1)如下图： 在直线上任取两点． (2)如下图： （3）垂线的性质 ① 平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 ． ②直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短． 简单说成 ： 垂线段最短． 点与直线上任意一点的连线中，垂线段最短． 例题 10 .如图，在直线上找一点使得线段最短． 【答案】 作图见解析． 如图所示： 练习 11 .如图，计划把河水引到水池中，先作，垂足为，然后沿开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是           ． 【答案】 连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短 根据垂线段定理，连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短， ∴沿开渠，能使所开的渠道最短． 故答案为：连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短． 12 .一辆货车在公路（直线）上由点向点方向行驶，村庄，分别位于道路的两侧，司机师傅要在公路上选择一个货物的下货点． ( 1 )请在上确定一个下货点，使点到村庄的距离最近，画出图形并写出画图的依据． ( 2 )请在直线上确定一点，使点到村庄，的距离之和最小，画出图形并写出画图的依据． 【答案】 (1)依据是：垂线段最短． (2)依据是：两点之间线段最短． (1)如图． 过作的垂线，垂足即为所确定到村庄距离最近的下货点． 依据是：垂线段最短． (2)如图， 连接线段，交于点， 则即为所确定的到村庄，的距离之和最小的点． 依据是：两点之间线段最短． （4）点到直线的距离 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的 垂线段的长度 ，叫做点到直线的距离． 【举例】如右图，，垂线段的长度即为点到直线的距离．   【注意】 ① 点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量． ② 不能说垂线段是距离，线段是图形，它们之间不能等同． 例题 13 .点为直线外一点，点到直线上三点的距离分别为，，，则点到直线的距离为（  ）． A. B.小于 C.大于 D.以上结论都不对 【答案】 D ∵垂线段最短， ∴点到直线的距离小于等于． 练习 14 .如图所示，中，，，点是边上的动点，则长不可能是（   ）． A. B. C. D. 【答案】 A 垂线段最短，则，故选A． 15 .如图，，于点，在以下线段中表示点到直线的距离的是（  ）． A.线段 B.线段 C.线段 D.线段 【答案】 D ． 故选． 三、知识总结   学科网（北京）股份有限公司 $