第4章 专题强化练13 形如“(a+b)n·(c+d)m”及“(a+b+c)n”的问题（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（湘教版）

专题强化练13　形如“(a+b)n·(c+d)m”及“(a+b+c)n”的问题

1.(2025甘肃平凉期中)在的展开式中,常数项为(　　)

A.28　　　　　B.-28　　　　　C.-56　　　　　D.56

2.(2025云南德宏州阶段测试)(2x+1)的展开式中含x2的项的系数为(　　)

A.10　　　　　B.20　　　　　C.-10　　　　　D.-20

3.(2025山东济南第一中学学情检测)已知(3x-1)(x+1)n的展开式中所有项的系数之和为64,则展开式中含x4的项的系数为(　　)

A.20　　　　　B.25　　　　　C.30　　　　　D.35

4.(x2+2)3·的展开式中的常数项是(　　)

A.15　　　　　B.-15　　　　　C.7　　　　　D.-7

5.(2025广东东莞第四高级中学月考)(x2+x+1)·(x-1)3的展开式中x4的系数为　　　　. 

6.(2025湖南湘潭期末)已知(1+x+x2)·的展开式中没有常数项,n∈N+,且2≤n≤7,则n=　　　　. 

答案与分层梯度式解析

专题强化练13　形如“(a+b)n·(c+d)m”及“(a+b+c)n”的问题

1.A　因为x3-2x+==,所以=,又因为(x2-1)8的展开式中x4的系数为(-1)6=28,所以所求常数项为28.

2.B　(2x+1)=2x+,

的展开式的通项为Tr+1=x5-r=(-1)r·x5-2r,r=0,1,2,3,4,5.

令5-2r=1,得r=2,可得T3=(-1)2x=10x;

令5-2r=2,得r=∉Z,不合题意.

所以含x2的项的系数为2×10=20.

3.B　∵所有项的系数之和为64,∴(3-1)(1+1)n=64,∴n=5,则(3x-1)(x+1)n=(3x-1)(x+1)5,

(x+1)5的展开式的第r+1项为Tr+1=x5-r,r=0,1,2,3,4,5.

当r=2时,T3=x3=10x3,3x·10x3=30x4,

当r=1时,T2=x4=5x4,(-1)×5x4=-5x4.

30x4-5x4=25x4,故展开式中含x4的项的系数为25.

4.B　易得(x2+2)3=x6+6x4+12x2+8,的展开式的通项为Tr+1=··(-1)r=·(-1)r·x2r-14(0≤r≤7,r∈N).令2r-14=-6,