1.3.1 等比数列及其通项公式 1.3.2 等比数列与指数函数（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（湘教版）

**基本信息** 以“基础巩固+能力提升”分层设计，通过概念辨析、公式应用到综合建模的递进路径，强化等比数列核心素养，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础过关练|等比数列概念、通项公式、等比中项及简单性质|多选题辨析概念（如第1题），结合对数函数情境（第2题），基础计算与证明题（第7、18题），夯实抽象能力与运算能力| |能力提升练|综合性质应用、跨知识结合（等差与等比）、实际问题建模|创新情境题（蜘蛛网面积、嫦娥五号距离），开放探究题（第5、6题），跨知识点综合题（第15题），发展推理能力与模型意识|

1.3　等比数列 1.3.1 等比数列及其通项公式　1.3.2 等比数列与指数函数 基础过关练 题组一　等比数列的概念 1.(多选题)下列说法正确的有(　　) A.等比数列中的项不能为0 B.等比数列的公比的取值范围是R C.若一个常数列是等比数列,则其公比为1 D.22,42,62,82,…成等比数列 2.(2024北京二中期末)已知函数f(x)=logkx(k为常数,k>0且k≠1).下列条件中,能使数列{an}为等比数列的是　　　　.(填序号)  ①数列{f(an)}是首项为2,公比为2的等比数列; ②数列{f(an)}是首项为4,公差为2的等差数列; ③数列{f(an)}是首项为2,公差为2的等差数列的前n项和构成的数列. 题组二　等比数列的通项公式 3.(2025福建龙岩连城一中开学考试)等比数列{an}中,若a2+a4=2(a1+a3),则公比为(　　) A.1　　　　　B.-2　　　　　C.2　　　　　D.2或-2 4.已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an(n∈N+).若am≤128,则正整数m的最大值是(　　) A.7　　　　　B.8　　　　　C.9　　　　　D.10 5.(2025安徽黄山屯溪一中期中)在正项数列{an}中,ln an+1=ln an+1,且a1a2=e3,则数列{an}的通项公式为(　　) A.an=en　　　 　　B.an=en-1 C.an=en+1　　　　　D.an=en-2 6.(2025天津河西期中)将数列{3n-1}与{2n}的公共项从小到大排列得到数列{an},则a20=(　　) A.237　　　　　B.238　　　　　C.239　　　　　D.240 7.已知数列{an}满足a1=1,nan+1=2(n+1)an,设bn=. (1)求b1,b2,b3; (2)判断数列{bn}是不是等比数列,并说明理由; (3)求{an}的通项公式. 题组三　等比中项 8.(创新题·新考法)(2025山东新高考适应性考试)已知角α的始边与x轴非负半轴重合,终边不在坐标轴上,则下列一定成等比数列的是(　　) A.sin α,cos α,tan α　　　　　B.sin α,tan α,cos α C.sin2α,cos α,tan2α　　　　　D.cos2α,sin α,tan2α 9.(2025甘肃天水田家炳中学期中)已知在等比数列{an}中,a1=,q=2,则a4与a8的等比中项为(　　) A.4　 　　　　　B.-4　　　　　C.±4　　　　　D.±2 10.(2025北京大兴期末)若数列1,a,b,c,9是等比数列,则实数b的值为(　　) A.-3　　　　　B.3　　　　　C.-9　　　　　D.9 11.已知a,b,c成等差数列,a+1,b,c和a,b,c+2都分别成等比数列,则b的值为(　　) A.16　　　　　B.15　　　　　C.14 　　　　　D.12 题组四　等比数列的性质及综合应用 12.(2025江苏昆山月考)在等比数列{an}中,若a1+a2+a3=6,a4+a5+a6=-3,则a7+a8+a9=(　　) A.24　　　　　B.　　　　　C.　　　　　D.- 13.(2025江苏镇江第一中学学情调查)设各项均为正数的等比数列{an}满足a4·a10=2a8,则log2(a1a2…a10a11)等于(　　) A.210　　　　　B.211　　　　　C.11　　　　　D.9 14.(2024安徽安庆桐城中学开学检测)已知数列{an}是无穷等比数列,公比为q,则“q>1”是“数列{an}单调递增”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 15.(2024四川遂宁蓬溪中学月考)已知非零实数a,b,c不全相等,则下列说法不正确的是(　　) A.若a,b,c成等差数列,则,,可能构成等差数列 B.若a,b,c成等差数列,则,,不可能构成等比数列 C.若a,b,c成等比数列,则,,可能构成等比数列 D.若a,b,c成等比数列,则,,不可能构成等差数列 16.(多选题)(2024河北石家庄二中期末)设等比数列{an}的公比为q,其前n项和为Sn,前n项积为Tn,且满足条件a1>1,a2 024a2 023>1,(a2 024-1)(a2 023-1)<0,则下列结论中正确的是　　(　　) A.0<q<1 B.S2 023>S2 024-1 C.T2 024是数列{Tn}中的最大项 D.T4 045<1 17.(2025福建莆田二十五中月考)在等比数列{an}中,a5,a21是方程x2+11x+5=0的两根,则的值为　　　　.  18.在等比数列{an}中,a1>1,公比q>0.设bn=log2an,且b1+b3+b5=6,b1b3b5=0. (1)求证:数列{bn}是等差数列; (2)求{bn}的前n项和Sn及{an}的通项公式. 能力提升练 题组一　等比数列的概念、通项公式及其应用 1.(多选题)设数列{an}为等比数列,则下列数列一定为等比数列的是(　　) A.{2an}　　　　　B.{} C.{}　　　　　D.{log2|an|} 2.(2025甘肃酒泉期中)已知数列{an}满足a1=1,a2=,=,则a5=(　　) A.2-12　　　　　B.2-10　　　　　C.2-9　　　　　D.2-8 3.(2024浙江舟山中学检测)已知数列{an}满足a1=1,a2=2,an+2=an+sin2(n∈N+),则a19·log2a20的值为　　　　.  4.(创新题·新情境)(2024江苏南通期末)侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网.如图,它是由无数个正方形环绕而成的,每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形的四条边的其中一个三等分点上.设外围第一个正方形A1B1C1D1的面积为a1=1,往里第二个正方形A2B2C2D2的面积为a2,……,往里第n个正方形AnBnCnDn的面积为an,则数列{an}的通项公式为　　　　;已知{bn}满足++…+=2n2-n(n∈N+),则数列{bn}的最大项的值为　　　.  5.(2025江苏常熟中学月考)已知数列{an}满足a1=3,且an+1= (1)设bn=a2n+a2n-1,证明:{bn-3}是等比数列; (2)求数列{an}的通项公式. 6.设关于x的一元二次方程anx2-an+1x+1=0(n=1,2,3,…)有两实数根α和β,且满足6α-2αβ+6β=3. (1)试用an表示an+1; (2)求证:是等比数列; (3)当a1=时,求数列{an}的通项公式. 题组二　等比数列的性质及综合应用 7.(2024天津第四十七中学期中)已知各项均为正数的等比数列{an}的公比为3,若aman=9,则+的最小值等于(　　) A.1　　　　　B.　　　　　C.　　　　　D. 8.(2024河北邢台第一中学月考)若{an}为等差数列,Sn是其前n项和,且S11=,{bn}为等比数列,b5·b7=,则tan(a6+b6)=　　(　　) A.　　　　　B.±　　　　　C.±　　　　　D. 9.(2025山西晋城部分高中期末联考)已知等比数列{an}满足a1>0,公比q>1,且log2a1+log2a2+…+log2a2 024<0,log2a1+log2a2+…+log2a2 025>0,则当a1a2…an最小时,n=(　　) A.1 012　　　　　B.1 013 C.2 022　　　　　D.2 023 10.(2025山东菏泽阶段性考试)2020年12月17日凌晨1时59分,嫦娥五号返回器携带月球样品成功着陆,这是我国首次实现地外天体采样返回,标志着中国航天向前又迈出了一大步.月球距离地球约38万千米,有人说:在理想状态下,若将一张厚度约为0.1毫米的纸对折n次,其厚度就可以超过从地球到月球的距离,那么至少需要对折的次数n是(lg 2≈0.3,lg 3.8≈0.6)(　　) A.40　　　　　B.41　　　　　 C.42　　　　　D.43 11.(2024北京清华大学附属中学月考)已知数列{an}为等差数列,{bn}为等比数列,a4=b4=4,则(　　) A.b3b5≥a3a5　　　　　B.b3+b5≥a3+a5 C.b3b5≤a3a5　　　　　D.b3+b5≤a3+a5 12.(多选题)(2025甘肃酒泉实验中学期中)设等比数列{an}的公比为q,其前n项积为Tn,且a1>1,a89a90>1,(a89-1)·(a90-1)<0,则下列结论正确的是(　　) A.0<q<1 B.a89a91>1 C.T90是{Tn}中最大的项 D.使Tn>1成立的最大正整数n等于178 13.(2024辽宁沈阳第二十中学模考)已知数列{an}中,a1=728.5,3an+1=an-1,则满足不等式ak-1·ak<0的k的值为　　　　.  14.(2024北京外国语大学附属中学期末)已知数列{an}的首项a1=1,且满足(an+1-an-1)·(an+1-2an)=0对任意n∈N+都成立,则能使am=2 023成立的正整数m的最小值为　　　　.  15.(2025江苏太仓沙溪高级中学调研)已知{an}是等差数列,满足a1=2,a4=14,数列{bn}满足b1=1,b4=6,且{an-bn}是等比数列. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)若对任意n∈N+,都有bn≤bk成立,求正整数k的值. 答案与分层梯度式解析 第1章　数列 1.3　等比数列 1.3.1　等比数列及其通项公式 1.3.2　等比数列与指数函数 基础过关练 1.AC　 2.答案　② 解析　①中, f(an)=2n,即logkan=2n,得an=, ∵==≠常数,∴数列{an}不是等比数列; ②中, f(an)=4+(n-1)×2=2n+2,即logkan=2n+2,得an=k2n+2,且a1=k4≠0, ∵==k2 ,且k2为非零常数,∴数列{an}是以k4为首项,k2为公比的等比数列; ③中, f(an)=2n+×2=n2+n,即logkan=n2+n,得an=kn(n+1), ∵==k2(n+1)≠常数,∴数列{an}不是等比数列. 3.C　设等比数列{an}的公比为q,因为a2+a4=(a1+a3)q=2(a1+a3),且a1+a3=a1(1+q2)≠0,所以q=2. 4.B　由题意得=2,所以数列{an}是以1为首项,2为公比的等比数列,所以an=2n-1. 若am≤128,则2m-1≤128,所以m-1≤7,解得m≤8,故正整数m的最大值是8. 5.A　因为ln an+1=ln an+1,所以ln an+1-ln an=ln=1,即=e,则数列{an}是等比数列,其公比q=e. 又因为a1a2=q=e=e3,所以a1=e或a1=-e(舍去), 所以数列{an}的通项公式为an=a1qn-1=en. 6.C　数列{2n}中的项为2,4,8,16,32,64,128,256,…,数列{3n-1}中的项为2,5,8,11,14,17,20,23,26,29,32,…, 所以数列{2n}与数列{3n-1}的公共项为2,8,32,128,…,观察并归纳可得an=22n-1, 所以a20=22×20-1=239. 7.解析　(1)由条件可得an+1=an. 令n=1,得a2=4a1=4. 令n=2,得a3=3a2=12. 从而b1=1,b2=2,b3=4. (2){bn}是等比数列.理由如下: 由条件可得=,即bn+1=2bn, 又因为b1=1≠0, 所以{bn}是首项为1,公比为2的等比数列. (3)由(2)可得=bn=1×2n-1=2n-1, 所以an=n·2n-1. 8.D　由题意可知cos α≠0,sin α≠0,tan α≠0. 对于A,不妨令α=,则cos2α=,sin αtan α=×1=, 即cos2α≠sin αtan α,故A错误; 对于B,不妨令α=,则tan2α=1,cos αsin α=,即tan2α≠cos αsin α,故B错误; 对于C,不妨令α=,则sin2α==,cos α=,tan2α==,所以cos2α=,sin2αtan2α=×=,即cos2α≠sin2αtan2α,故C错误; 对于D,易得sin α=cos αtan α,则sin2α=cos2αtan2α, 所以cos2α,sin α,tan2α一定成等比数列,故D正确. 9.C　由题意得a4=a1q3=×23=1,a8=a1q7=×27=16,∴a4与a8的等比中项为±=±4. 10.B　因为数列1,a,b,c,9是等比数列,所以b2=1×9,解得b=3或b=-3. 当b=-3时,不满足1×b=a2,故舍去; 当b=3时,经检验符合题意.所以b=3. 11.D　由题意得2b=a+c,b2=(a+1)·c,b2=a·(c+2),联立可得b=12. 12.B　设等比数列{an}的公比为q,由等比数列的性质可知,a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9构成公比为q3的等比数列,则a7+a8+a9===. 名师点睛　在公比为q的等比数列{an}中,依次取相邻k项的和,可以构成公比为qk的等比数列. 13.C　∵a4·a10=2a8,∴a4a10=2a4q4,∴=2,即a6=2, ∴log2(a1a2…a10a11)=log2(a1a11a2a10…a5a7a6)=log2=log2211=11. 14.D　若a1<0,q>1,则数列{an}单调递减,故q>1不能推出数列{an}单调递增; 若{an}单调递增,则a1>0,q>1或a1<0,0<q<1,不能推出q>1. 所以“q>1”是“数列{an}单调递增”的既不充分也不必要条件. 15.A　由a,b,c成等差数列,可得b-a=c-b, 易知-=,-=,要使,,构成等差数列,需满足ab=bc,即a=c,则a=b=c,不满足题意,故A中说法错误; 由a,b,c成等差数列,可得a+c=2b, 则==,若,,构成等比数列, 则=,则(a-c)2=0,得a=c,此时a=b=c,这与题意矛盾,因此,,不可能构成等比数列, 故B中说法正确; 不妨设a=2,b=4,c=8,此时满足a,b,c成等比数列,且,,成等比数列,故C中说法正确; 由a,b,c成等比数列,可知b2=ac, 若,,成等差数列,则=+==,故2b=a+c,故=ac,故a=b=c,与题意不符,故,,不可能构成等差数列,故D中说法正确. 16.AB　由(a2 024-1)(a2 023-1)<0,可得a2 023-1>0,a2 024-1<0或a2 023-1<0,a2 024-1>0, ∵a2 024a2 023>1,∴a2 023,a2 024同号,∴q>0,又a1>1,∴a2 023>1,a2 024<1,即数列{an}的前2 023项大于1,从第2 024项开始小于1. 对于A,q=<1,又q>0,∴0<q<1,A正确; 对于B,由a2 024<1,得S2 024-S2 023=a2 024<1,则S2 023>S2 024-1,B正确; 对于C,显然{an}是正项递减数列,且a2 023>1,a2 024<1,因此T2 023是数列{Tn}中的最大项,C错误; 对于D,T4 045=a1a2…a4 045=·q1+2+…+4 044=·q4 045×2 022=>1,D错误. 17.答案　- 解析　由根与系数的关系得a5+a21=-11,a5a21=5,则a7a19==a5a21=5,且a5,a21同为负值,∴a13=-,故=-. 18.解析　(1)证明:因为bn=log2an, 所以bn+1-bn=log2an+1-log2an=log2=log2q,为非零常数, 所以数列{bn}是公差为log2q的等差数列. (2)设等差数列{bn}的公差为d, 因为b1+b3+b5=6,所以3b3=6,所以b3=2. 因为a1>1,所以b1=log2a1>0, 又因为b1b3b5=0,所以b5=0, 所以解得 因此Sn=4n+×(-1)=, 由(1)可知d=log2q=-1,解得q=, 由b1=log2a1=4,解得a1=16, 所以an=a1qn-1=25-n(n∈N+). 能力提升练 1.AB　设数列{an}的首项为a1,公比为q. 对于A,=q,所以数列{2an}是公比为q的等比数列; 对于B,==q2,所以数列{}是公比为q2的等比数列; 对于C,=,所以当n≥2时,==,不是一个非零常数,所以数列{}不是等比数列; 对于D,当n≥2时,=,不是一个非零常数,所以数列{log2|an|}不是等比数列. 2.D　由题意得数列是首项为=,公比为4的等比数列,∴=×4n-1=, 当n≥2时,an=··…··a1=×4n-4×4n-5×…×4-2×1==, ∵n=1时,21-8+7=1=a1,a1符合上式,∴an=,故a5=225-40+7=2-8. 3.答案　100 解析　当n为奇数时,an+2=an+1,数列{an}隔项成等差数列.设n=2k-1,则a2k-1=k,故a19=10.当n为偶数时,an+2=2an,数列{an}隔项成等比数列.设n=2k,则a2k=2k,故a20=210.故a19·log2a20=10×10=100. 4.答案　an=; 解析　设第n个正方形的边长为cn,则c1=1, 因为每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的其中一个三等分点上,所以|A2B1|=c1,|B1B2|=c1,又∠A2B1B2=90°,所以|A2B2|===c1,即c2=c1, 同理可得cn+1=cn,即数列{cn}是首项为1,公比为的等比数列,所以cn=, 所以第n个正方形的面积an==. 因为{bn}满足++…+=2n2-n(n∈N+), 所以=2(n+1)2-(n+1)-(2n2-n)=4n+1=4(n+1)-3,所以=4n-3(n∈N+), 所以bn+1-bn=(4n+1)-(4n-3)=×, 所以b1<b2=b3,b3>b4>b5>…>bn>…, 所以数列{bn}的最大项为b2或b3,且b2=b3=. 5.解析　(1)证明:由an+1=得a2n=a2n-1-1,a2n+1=2a2n,a2n+2=a2n+1-1, 则a2n-1=a2n+1,所以bn=a2n+a2n-1=a2n+a2n+1=2a2n+1, 所以a2n=, 易得bn+1=a2n+2+a2n+1,故bn+1=a2n+1-1+a2n+1=2a2n+1-1=4a2n-1,所以a2n=, 因此=,整理得bn+1=2bn-3,即bn+1-3=2(bn-3), 由a1=3得a2=a1-1=2,则b1=a1+a2=5,所以b1-3=2≠0, 所以数列{bn-3}是以2为首项,2为公比的等比数列. (2)由(1)知,bn-3=2n,即bn=2n+3,则a2n==2n-1+1,a2n-1=a2n+1=2n-1+2, 所以数列{an}的通项公式是an= 6.解析　(1)根据根与系数的关系,得 代入6α-2αβ+6β=3,得-=3, 所以an+1=an+. (2)证明:因为an+1=an+, 所以an+1-=. 若an=,则方程anx2-an+1x+1=0可化为x2-x+1=0,即2x2-2x+3=0, 此时Δ=(-2)2-4×2×3=-20<0,与题意不符, 所以an≠,即an-≠0. 所以数列是以为公比的等比数列. (3)当a1=时,a1-=, 由(2)得an-=×=, 所以an=+,n∈N+. 7.C　由题意得aman=a2·3m-2·a2·3n-2=·3m+n-4=9, ∴m+n=6, ∴+=(m+n)=2+++≥×=,当且仅当m=2n=4时取等号. ∴+的最小值为. 8.D　因为{an}为等差数列,所以S11==11a6=,所以a6=, 因为{bn}为等比数列,b5·b7==, 所以b6=或b6=-. 当b6=时,tan(a6+b6)=tan=tan=tan=; 当b6=-时,tan(a6+b6)=tan=tan=. 所以tan(a6+b6)=. 9.A　由题意知log2a1+log2a2+…+log2a2 024<0, 故log2(a1a2·…·a2 024)<0,即0<a1a2·…·a2 024<1, 所以0<(a1 012a1 013)1 012<1, 又等比数列{an}满足a1>0,公比q>1, 所以0<a1 012a1 013<1. 由log2a1+log2a2+…+log2a2 025>0,得log2(a1a2·…·a2 025)>0,即a1a2·…·a2 025>1, 故(a1 013)2 025>1,即a1 013>1, 所以0<a1<a2<…<a1 012<1<a1 013<…, 故当a1a2…an最小时,n=1 012. 10.C　设对折n次时,纸的厚度为an毫米, 由题意知,每次对折后,纸的厚度变为原来的2倍,则{an}是首项为0.1×2=0.2,公比为2的等比数列, 所以an=0.2×2n-1=0.1×2n, 令an=0.1×2n≥38×104×106, 即2n≥3.8×1012,所以lg 2n≥12+lg 3.8, 即0.3n≥12+0.6,解得n≥=42, 所以至少需要对折的次数n是42. 11.A　因为数列{an}为等差数列,所以a3+a5=2a4=8, 因为{bn}为等比数列,所以b3b5==16, 而a3a5=(8-a5)a5=-+8a5=-(a5-4)2+16≤16, 所以b3b5≥a3a5,故A正确,C错误; 易知b3,b5可同为正数也可同为负数, 当b3,b5<0时,b3+b5<a3+a5,当b3,b5>0时,b3+b5≥2=8=a3+a5, 所以a3+a5,b3+b5的大小关系不确定,故B,D错误. 12.AD　由a89a90>1,得·q177>1,所以q(a1·q88)2>1,所以q>0,又a1>1,(a89-1)(a90-1)<0,所以a89>1,a90<1,所以0<q<1,故A正确; 由得0<a89·a91<1,故B错误; 因为T90=T89·a90,0<a90<1,所以T90<T89,故C错误; T178=a1·a2·…·a178=(a1·a178)·(a2·a177)·…·(a89·a90)=(a89·a90)89>1, T179=a1·a2·…·a179=(a1·a179)·(a2·a178)·…·(a89·a91)·a90=<1,故D正确. 13.答案　8 解析　由3an+1=an-1得an+1+=,因为a1+=729,所以数列是首项为729,公比为的等比数列,所以an+=729×=37-n,所以an=37-n-. 当n≥2时,an-an-1=-=-2·37-n<0,所以数列{an}为递减数列. 若ak-1·ak<0,则即 得2·37<3k<2·38, 又因为k∈N+,所以k=8. 14.答案　19 解析　根据(an+1-an-1)(an+1-2an)=0可知an+1=an+1或an+1=2an. 当an+1=an+1时,数列{an}是以a1=1为首项,1为公差的等差数列, 所以an=1+(n-1)×1=n, 则am=m=2 023,可得m=2 023. 当an+1=2an时,数列{an}是以a1=1为首项,2为公比的等比数列,所以an=1×2n-1=2n-1, 则am=2m-1=2 023,解得m=1+log22 023,不合题意,舍去. 由a1=1得a2=2,若数列{an}为等差和等比交叉的数列,要使m的值最小, 则am=1+2 022,am-1=2 022,am-2=1 011,am-3=1 010,am-4=505,am-5=504,am-6=252,am-7=126,am-8=63,am-9=62,am-10=31,am-11=30,am-12=15, am-13=14,am-14=7,am-15=6,am-16=3,am-17=2, 又a2=2,所以m-17=2,即m=19. 故正整数m的最小值为19. 15.解析　(1)设{an}的公差为d,则d==4, 所以an=2+(n-1)×4=4n-2(n∈N+). 设cn=an-bn,则{cn}为等比数列, 所以c1=a1-b1=2-1=1, c4=a4-b4=14-6=8, 设{cn}的公比为q,则=q3=8,故q=2, 则cn=2n-1,即an-bn=2n-1, 所以bn=4n-2-2n-1(n∈N+). (2)由题意得,bk应为数列{bn}的最大项. 由(1)得bn+1-bn=4(n+1)-2-2n-4n+2+2n-1=4-2n-1(n∈N+). 易得当n<3,n∈N+时,bn+1-bn>0,即bn<bn+1,即b1<b2<b3; 当n=3时,bn+1-bn=0,即b3=b4; 当n>3,n∈N+时,bn+1-bn<0,即bn>bn+1,即b4>b5>b6>…, 所以数列{bn}的最大项为b3或b4,所以k=3或k=4. 7 学科网（北京）股份有限公司 $