1.3.1 等比数列及其通项公式（教师用书）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【金版新学案】同步导学（湘教版2019）

1．3　等比数列 1．3．1　等比数列及其通项公式 [学习目标]　1．通过实例理解等比数列的概念．2．掌握等比中项的概念并会应用．3．掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程．4．灵活应用等比数列通项公式的推广形式及变形． 知识点一　等比数列的定义 [问题导引]　观察下面几个问题中的数列，回答下面的问题． ①我国古代数学名著《孙子算经》中有一个有趣的问题叫“出门望九堤”：“今有出门望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各有几何？”构成数列：9，92，93，94，95，96，97，98． ②《庄子·天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，这句话中隐藏着一列数： ，，，，，…； ③－的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂…，依次排成一列数：－，，－，，…； 类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律？ 提示：　我们可以通过除法运算探究以上数列的取值规律．对于①我们发现＝9，＝9，＝9，…，也就是说从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于9；对于②＝，…；对于③＝－，…；也有相同的取值规律． 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项之比都等于同一个常数，那么这个数列称为等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)． 判断下列数列是否是等比数列，如果是，写出它的公比． (1)1，，，，，…； (2)10，10，10，10，10，…； (3)，()2，()3，()4，…； (4)1，0，1，0，1，0，…； (5)1，－4，16，－64，256，…． 解析：　(1)不是等比数列；(2)是等比数列，公比为1；(3)是等比数列，公比为；(4)不是等比数列；(5)是等比数列，公比为－4． 判断一个数列是否为等比数列的方法 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列是等比数列，否则，不是等比数列，且等比数列中任意一项不能为0，对于含参的数列需要分类讨论．　　 即时练1．以下数列中，能判定数列是等比数列的有(　　) ①数列1，2，6，18，…； ②数列{an}中，已知＝2，＝2；③常数列a，a，…，a，…；④数列{an}中，＝q(q≠0)，其中n∈N＋． A．1个　 B．2个　　　 C．3个　　　 D．4个 A　[①数列不符合等比数列的定义，不是等比数列； ②前3项是等比数列，多于3项时，无法判定，故不能判定是等比数列； ③当a＝0时，不是等比数列； ④该数列符合等比数列的定义，是等比数列．] 知识点二　等比数列的通项公式 [问题导引]　类比等差数列，你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？ 提示：　设一个等比数列的首项是a1，公比是q，则由定义可知＝q(n∈N＋且n≥2)． 法一：an＝××…×××a1＝q×q×…×q×q×a1＝a1qn－1， 当n＝1时，上式也成立． 法二：a2＝a1q， a3＝a2q＝(a1q)q＝a1q2， a4＝a3q＝(a1q2)q＝a1q3， … 由此可得an＝a1qn－1，当n＝1时，上式也成立． 一般地，如果数列{an}的首项为a1，公比为q，那么等比数列的通项公式为an＝a1qn－1． 在等比数列{an}中， (1)若a1＝3，q＝－3，求an； (2)若a2＝，a6＝8，求q； (3)a5－a1＝15，a4－a2＝6，求an． 解析：　(1)∵a1＝3，q＝－3，{an}为等比数列， ∴an＝a1·qn－1＝3·(－3)n－1＝－(－3)n． (2)法一：∵{an}为等比数列，设公比为q， ∴　将得q4＝16，∴q＝±2． 法二：∵{an}为等比数列，设公比为q， 又a6＝a2·q4，∴q4＝＝16，∴q＝±2． (3)∵ 由得＝，解得q＝或q＝2． 当q＝时，a1＝－16， 当q＝2时，a1＝1， ∴an＝－16·()n－1＝－25－n或an＝2n－1． 等比数列通项公式的求法 (1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法． (2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．　　 即时练2．已知{an}是首项为1，公比为3的等比数列，则log3a2 020等于(　　) A．2 017 B．2 018 　　 C．2 019　　 D．2 020 C　[由已知可得a1＝1，q＝3，则数列{an}的通项公式为an＝a1·qn－1＝3n－1，则log3a2 020＝log332 019＝2 019．] 即时练3．若{an}为等比数列，且2a4＝a6－a5，则公比是(　　) A．0 B．1或－2 C．－1或2 D．－1或－2 C　[设首项为a1，公比为q，显然a1q≠0．由已知得2a1q3