1.2.3 等差数列的前n项和（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（湘教版）

**基本信息** 分层清晰，从基础计算到综合应用梯度递进，覆盖等差数列前n项和核心知识点，通过情境题和创新题培养数学思维与应用能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础过关练|前n项和计算、性质、最值及裂项相消|含“八子分棉”等情境题，选择填空为主，强化运算能力与概念理解| |能力提升练|性质深化、实际应用及跨知识综合|设多选题和“污水处理费用优化”等建模题，突出推理意识与模型观念|

1.2.3　等差数列的前n项和 基础过关练 题组一　与等差数列前n项和有关的计算 1.(2025福建莆田励志学校质量检查)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=15,S7=63,则a9=(　　) A.18　　　　　B.19　　　　　C.20　　　　　D.21 2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,若am-1+am+am+1=18,且Sm=28,则m的值为(　　) A.7　　　　　B.8　　　　　C.14　　　　　D.16 3.(2024江苏盐城响水中学期中)《算法统宗》中有一道“八子分棉”的题:“九百九十六斤棉,赠分八子做盘缠,次第每人多十七,要将第八数来言.”题意是把996斤棉分给8个子女做盘缠.按照年龄从大到小的顺序依次分棉,年龄小的比年龄大的多分17斤棉,则年龄最小的孩子分到的棉有(　　) A.65斤　　　 　　B.82斤 C.184斤　　　　　D.201斤 4.(2024广东广州天河期末)图1是一个水平摆放的小正方体木块,图2,图3是由这样的小正方体木块叠放而成的,按照这样的规律叠放下去,图6中小正方体木块的总数是(　　) 　　 A.61　　　　　B.66　　　　　C.90　　　　　D.91 5.(2024安徽安庆高河中学月考)如果一个等差数列的前3项的和为34,最后3项的和为146,且所有项的和为390,则这个数列有(　　) A.13项　　　　　B.12项　　　　　C.11项　　　　　D.10项 6.(2025甘肃酒泉期中)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n2+4,则an=　　　　.  题组二　等差数列前n项和的性质 7.(2025甘肃兰州期中)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=6,S6=18,则S9=(　　) A.30　　　　　B.36　　　　　C.40　　　　　D.48 8.(2025河北十县联考期中)若数列{an}与{bn}均为等差数列,其前n项和分别为Sn,Tn,且=,则=(　　) A.2　　　　　B.　　　　　C.　　　　　D. 9.(2025甘肃武威第五中学月考)已知等差数列{an}共有(2n+1)项,其中奇数项之和为290,偶数项之和为261,则an+1的值为(　　) A.30　　　　　B.29　　　　　C.28　　　　　D.27 10.(2024安徽马鞍山第二中学阶段检测)已知Sn是等差数列{an}的前n项和,若a1=-2 024,-=6,则S2 024等于(　　) A.-4 040　　　　　B.-2 024　　　　　C.2 024　　　　　D.4 040 题组三　等差数列前n项和的最值 11.(2023江苏南通如皋期末)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,当且仅当n=6时Sn取得最大值,若a1=30,则公差d的取值范围为　　(　　) A.(-6,-5)　　　　　 B.[-6,-5] C.(-∞,-6)∪(-5,+∞)　　　　　 D.(-∞,-6]∪[-5,+∞) 12.(2024湖北荆州中学期末)已知等差数列{an}的公差小于0,其前n项和为Sn,若a3=a1+a10,则当Sn最大时,n的值为(　　) A.6或7　　　　　B.7或8　　　　　 C.6或8　　　　　D.8或9 13.(创新题·新情境)某大楼共有12层,有11人在第1层上了电梯,他们分别要去第2至12层,每层1人,因特殊原因,电梯只能停在某一层,其余10人都要步行到所要去的楼层.假设初始的“不满意度”为0,每人每向下步行一层的“不满意度”增量为1,每向上步行1层的“不满意度”增量为2,要使得10人的“不满意度”之和最小,电梯应该停的层数为(　　) A.7　　　　　B.8　　　　　C.9　　　　　D.10 14.(2025甘肃张掖高台第一中学期中)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,公差为d,a1>0,且S3=S16,则下列说法正确的是(　　) A.d>0 B.S19>0 C.使Sn<0成立的n的最小值为20 D.a11>0 15.(2024陕西教学质量检测)已知Sn为数列{an}的前n项和,且an+1=an+d(n∈N+,d为常数),若S3=12,a3a5+2a3-5a5-10=0.求: (1)数列{an}的通项公式; (2)Sn的最值. 题组四　裂项相消法求和 16.(2025河南安阳林州晋豫名校联盟月考)已知数列{an}满足a1=3,an+1-an=8n+4,则++…+=(　　) A.2 025　　　　　B.2 024　　　　　C.　　　　　D. 17.(2025湖南常德桃源第一中学模考)已知Sn为等差数列{an}的前n项和,S4=24,S10=120. (1)求Sn; (2)记数列的前n项和为Tn,证明:Tn<. 能力提升练 题组一　求等差数列的前n项和 1.()已知数列{an}的各项均为正数,且++…+=n2+n,则数列的前n项和Sn=(　　) A.n2+2n+1　　　　　B.2n2+2n C.3n2+n　　　　 　D.3n2-n 2.(2024陕西榆林期中)设等差数列{an}的前n项和为Sn,且S4=S5,S6=21,若++…+<λ恒成立,则λ的最小值为(　　) A.1　　　　　B.2　　　　　C.3　　　　　D.4 3.(多选题)(2025皖江名校联盟第一次联考)已知数列{an}满足a1+2a2+…+2n-1an=n·2n,则(　　) A.an=n+1 B.{an}的前n项和为 C.{(-1)nan}的前100项和为100 D.{|an-5|}的前30项和为357 4.(2025广东五校开学联考)若f(x)=(x-1)3+2(x-1)-ln+2,数列{an}的前n项和为Sn,且S1=,2Sn=nan+1,则[f(ai)+f(a20-i)]=(　　) A.76　　　　　B.38　　　　　C.19　　　　　D.0 5.(2024山东青岛期末)数列{an}的前n项和Sn=n2,数列{bn}满足:对于正整数m,bm是使得不等式an≥m成立的所有n中的最小值,则数列{bn}的前(2n+1)项和为　　　　.  6.(2025安徽芜湖第二中学月考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a2+a5=12,S4=4S2. (1)求an及Sn; (2)若bn=,求数列{bn}的前n项和Tn. 题组二　等差数列前n项和的性质 7.(2024黑龙江齐齐哈尔八中月考)设Sn是等差数列{an}的前n项和,若=,则=(　　) A.　　　　　B.　　　　　C.　　　　　D. 8.(多选题)(2025福建莆田二中月考)已知等差数列{an}的公差为d(d≠0),前n项和为Sn,若S16+S12=S14+S10,则下列结论正确的是(　　) A.S26=0 B.若S13=-1,则S39=3 C.当n=13时,Sn取得最小值 D.当d>0时,满足Sn<0的n的最大值为25 9.在等差数列{an}中,前m(m为奇数)项和为135,其中偶数项之和为63,且am-a1=14,则a100=　　　　.  题组三　等差数列前n项和的应用 10.(2024安徽蚌埠二中月考)数列{an}的首项为3,{bn}为等差数列,且bn=an+1-an(n∈N+),若b3=-2,b10=12,则a8=(　　) A.0　　　　　B.3　　　　　C.8　　　　　D.11 11.(2024甘肃定西临洮中学期末检测)我国古代数学专著《九章算术》里有一段叙述:“今有良马与驽马发长安至齐,齐去长安一千一百二十五里,良马初日行一百零三里,日增十三里;驽马初日行九十七里,日减半里;良马先至齐,复还迎驽马,二马相逢.”则良马与驽马会在第　　　日相逢.(用数字作答)  12.(2025广西柳州铁一中学月考)设等差数列{an}的前n项和为Sn,且a5+a13=34,S3=9. (1)求数列{an}的通项公式及前10项的和; (2)若数列{bn}的通项公式为bn=,则是否存在正整数t,使得b1,b2,bm(m≥3,m∈N)成等差数列?若存在,求出t和m的值;若不存在,请说明理由. 13.(2024江西宜春宜丰中学月考)为了净化环境,保护水资源,某化工企业在2020年年底投入100万元购入一套污水处理设备.该设备每年的运转费用是0.5万元,此外每年都要花费一定的维护费,第一年的维护费为2万元,由于设备老化,以后每年的维护费都比上一年增加2万元. (1)求该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用y(单位:万元); (2)该企业污水处理设备使用几年时年平均污水处理费用最低?最低年平均污水处理费用是多少万元? 答案与分层梯度式解析 第1章　数列 1.2　等差数列 1.2.3　等差数列的前n项和 基础过关练 1.B　设等差数列{an}的公差为d,则S3=3a1+3d=15,S7=7a1+21d=63,所以a1=3,d=2,故a9=a1+8d=3+16=19. 2.B　因为{an}是等差数列,所以am-1+am+am+1=3am=18,解得am=6,所以Sm===28,解得m=8. 3.C　设8个子女按年龄从小到大依次分棉a1斤,a2斤,a3斤,…,a8斤, 则数列{an}是公差为-17的等差数列. 因为棉的总数为996斤,所以8a1+×(-17)=996,解得a1=184. 4.B　观察题图可知,各题图中小正方体木块的个数依次为1,1+5,1+5+9,…, 归纳可知,图n共有n层,且从上到下各层的小正方体木块的个数构成以1为首项,4为公差的等差数列,其前n项和Sn=n+=2n2-n,所以S6=2×36-6=66. 故图6中小正方体木块的总数为66. 5.A　设该等差数列为{an},其前n项和为Sn. 由题意得a1+a2+a3=34,an-2+an-1+an=146, ∴(a1+a2+a3)+(an-2+an-1+an)=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)=3(a1+an)=34+146=180, ∴a1+an=60. 又Sn=,∴390=,解得n=13,∴这个数列有13项. 6.答案　 解析　当n=1时,a1=S1=5,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+4-(n-1)2-4=2n-1,此时a1=5不成立, 所以an= 7.B　由等差数列前n项和的性质知S3,S6-S3,S9-S6成等差数列,所以2(S6-S3)=S3+(S9-S6),所以2×(18-6)=6+(S9-18),解得S9=36. 8.C　因为数列{an}与{bn}均为等差数列, 所以S9==9a5,T9==9b5, 所以====. 9.B　解法一:由已知得数列{an}中奇数项共有(n+1)项,其和为·(n+1)=·(n+1)=290,∴(n+1)·an+1=290,偶数项共有n项,其和为·n=·n=nan+1=261,∴an+1=290-261=29. 解法二:∵等差数列{an}有(2n+1)项,∴S奇-S偶=[(a1+a2n+1)+(a3+a2n-1)+…+(an-1+an+3)+an+1]-[(a2+a2n)+(a4+a2n-2)+…+(an+an+2)]=an+1,∴an+1=290-261=29. 10.B　因为Sn是等差数列{an}的前n项和,所以结合等差数列前n项和的性质知数列是等差数列. 又-=6,a1=-2 024, 所以数列的公差d==1,首项为==-2 024, 则=-2 024+1×(2 024-1)=-1,所以S2 024=-2 024. 11.A　由已知可得即解得-6<d<-5,故公差d的取值范围为(-6,-5). 12.B　设等差数列{an}的公差为d,则d<0, 因为a3=a1+a10,所以a1+2d=a1+a1+9d,即a1+7d=0,所以a8=0,所以等差数列{an}的前8项为非负数,从第9项起为负数,所以当Sn最大时,n的值为7或8. 13.C　设电梯所停的层数是n(2≤n≤12,n∈N+),这10人的“不满意度”之和为S,则S=1+2+…+(n-2)+2[1+2+…+(12-n)]=+2×=+157=-+157,易得y=-+157(x∈R)的图象开口向上,对称轴为直线x=, 因为n∈N+,所以S在n=9时取最小值,所以电梯应该停的层数为9. 14.C　由S3=S16,得3a1+3d=16a1+120d,即a1+9d=0,所以a10=0, 又a1>0,所以d<0,所以a11<0,故A,D错误; S19==19a10=0,故B错误; 因为S19=0,d<0,所以S18>0,S20<0, 所以使Sn<0成立的n的最小值为20,故C正确. 15.解析　(1)由已知得an+1-an=d,所以数列{an}是等差数列,公差为d, 由S3=a1+a2+a3=3a2=12,得a2=4, 又因为a3a5+2a3-5a5-10=0,即(a3-5)(a5+2)=0, 所以a3=5或a5=-2. 由得d=a3-a2=1,a1=3,此时an=n+2, 由得d==-2,a1=6,此时an=-2n+8, 所以数列{an}的通项公式是an=n+2或an=-2n+8. (2)当an=n+2时,Sn=,显然Sn=是关于正整数n的增函数,所以当n=1时,Sn有最小值,最小值为S1=3,Sn无最大值; 当an=-2n+8时,Sn=-n2+7n=-+,又n为正整数,所以当n=3或n=4时,Sn有最大值,最大值为S3=S4=12,Sn无最小值. 综上,an=n+2时,Sn的最小值为3,无最大值;an=-2n+8时,Sn的最大值为12,无最小值. 16.D　由题意可得a2-a1=8+4,a3-a2=8×2+4,a4-a3=8×3+4,……,an-an-1=8(n-1)+4(n≥2), 以上各式累加可得an-a1=8+8×2+8×3+…+8×(n-1)+4(n-1)=8×+4(n-1)=4n2-4,则an=4n2-1, 所以===, 故++…+=×++…+=×=. 17.解析　(1)设等差数列{an}的公差为d, 则解得 ∴Sn=3n+×2=n2+2n. (2)证明:∵==, ∴Tn=+++…+=×+++…++ =×<×=. 能力提升练 1.B　∵++…+=n2+n①, ∴当n=1时,=2, 当n≥2时,++…+=(n-1)2+(n-1)②, ①-②,得=2n(n≥2),此式对n=1也适用, ∴当n∈N+时,=2n,即an=4n2, ∴=4n,∵-=4(n+1)-4n=4,=4, ∴是首项为4,公差为4的等差数列, ∴Sn==2n2+2n. 2.A　设等差数列{an}的公差为d,则4a1+d=,整理得a1=d,由S6=21,可得6a1+d=21,即2a1+5d=7,所以a1=d=1,所以Sn=n+=,所以==-, 所以++…+=1-+-+…+-=1-<1, 因为++…+<λ恒成立,所以λ≥1,所以λ的最小值为1. 3.AD　由a1+2a2+…+2n-1an=n·2n①可知, 当n=1时,a1=2, 当n≥2时,a1+2a2+…+2n-2an-1=(n-1)·2n-1②, ①-②可得,2n-1an=n·2n-(n-1)·2n-1=(n+1)·2n-1, 所以an=n+1,n≥2, 显然当n=1时,a1=2满足此式,故an=n+1,故A正确; 由等差数列求和公式知{an}的前n项和为=,故B错误; 令bn=(-1)nan=(-1)n(n+1), 则{bn}的前100项和为-2+3-4+5+…-100+101=1×50=50,故C错误; 令cn=|an-5|=|n-4|, 所以{cn}的前30项和为c1+c2+…+c30=3+2+1+0+1+2+…+26=6+=357,故D正确. 4.A　因为f(x)=(x-1)3+2(x-1)-ln+2, 所以f(x)+f(2-x)=(x-1)3+2(x-1)-ln+2+(1-x)3+2(1-x)-ln+2=4, 所以f(x)的图象关于点(1,2)对称. 因为2Sn=nan+1,所以2Sn-1=(n-1)an(n≥2), 所以2Sn-2Sn-1=nan+1-(n-1)an(n≥2), 所以2an=nan+1-(n-1)an(n≥2), 所以=(n≥2),即数列为常数列(n≥2,n∈N+), 又S1=,2Sn=nan+1,所以a1=,a2=,所以==,显然n=1时符合该式, 所以=,所以an=, 所以ai+a20-i=2a10=2,即f(ai)+f(a20-i)=4, 所以[f(ai)+f(a20-i)]=4=76. 5.答案　n2+3n+1 解析　由已知得当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1,又a1=S1=1,满足上式,所以an=2n-1, 由an≥m,得n≥,则当m为正奇数时,bm=,当m为正偶数时,bm=+1, 于是数列{bn}的前(2n+1)项和为(b1+b3+b5+…+b2n+1)+(b2+b4+b6+…+b2n)=[1+2+3+…+(n+1)]+[2+3+4+…+(n+1)]=2×-1=n2+3n+1. 6.解析　(1)设等差数列{an}的公差为d, 则解得 ∴an=a1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1, Sn=na1+=n×1+=n2. (2)bn===-, ∴Tn=b1+b2+b3+…+bn=-+-+-+…+-=1-. 7.A　由等差数列前n项和的性质得S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12成等差数列,因为=,所以(S8-S4)-S4=S4-2S4=S4, 故数列S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12是以S4为首项,S4为公差的等差数列, 则S8-S4=S4,S12-S8=2S4,S16-S12=S4, 所以S8=S4,S12=S4,S16=7S4,所以=. 8.ABD　因为S16+S12=S14+S10, 所以S16-S14+S12-S10=a16+a15+a12+a11=2(a14+a13)=0, 即a13+a14=0,所以S26===0,故A正确. 易知S13,S26-S13,S39-S26成等差数列, 所以S39-S26=2(S26-S13)-S13=2×(0+1)+1=3,则S39=3,故B正确. 由a13+a14=0得2a1+25d=0,即a1=-d, 因为Sn=na1+d=n2+n,所以Sn=n2-13dn,易知y=x2-13dx(x∈R)的图象的对称轴方程为x=-=13, 若d>0,则当n=13时,Sn取得最小值, 若d<0,则当n=13时,Sn取得最大值,故C错误. 当d>0时,数列{an}单调递增,又a13+a14=0,所以a13<0,a14>0,则S25=25a13<0,S27=27a14>0, 又因为S26=0, 所以当d>0时,满足Sn<0的n的最大值为25,故D正确. 9.答案　101 解析　设等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,由题意可知,Sm=135,前m项中偶数项之和S偶=63,∴奇数项之和S奇=135-63=72,∴S奇-S偶=a1+===72-63=9,即a1+am=18. 又∵am-a1=14,∴a1=2,am=16. ∵Sm==135,∴m=15, ∴d===1, ∴a100=a1+99d=101. 10.B　设数列{bn}的公差为d. ∵b3=-2,b10=12,∴解得 ∴bn=-6+(n-1)×2=2n-8, ∴an+1-an=2n-8, ∴a2-a1=2×1-8, a3-a2=2×2-8, a4-a3=2×3-8, …… a8-a7=2×7-8, 以上各式相加,得a8-a1=2×(1+2+3+…+7)-8×7=0, 又∵a1=3,∴a8=a1=3. 11.答案　9 解析　由题可知,良马每日行的路程构成一个首项为103,公差为13的等差数列,记为{an};驽马每日行的路程bn构成一个首项为97,公差为-的等差数列,记为{bn},则an=103+13(n-1)=13n+90,bn=97-(n-1)=-n,假设良马与驽马在第m日相逢,则数列{an}与数列{bn}的前m项和为1 125×2=2 250,又∵数列{an}的前n项和为(103+13n+90)=(193+13n),数列{bn}的前n项和为·=, ∴(193+13m)+-m=2 250,整理得m2+31m-360=0,解得m=9或m=-40(舍去),即良马与驽马会在第9日相逢. 12.解析　(1)设等差数列{an}的公差为d. 联立即 解得 故an=2n-1, 所以S10==100. (2)存在正整数t,使得b1,b2,bm(m≥3,m∈N)成等差数列. 由(1)知bn==.若b1,b2,bm(m≥3,m∈N)成等差数列,则2b2=b1+bm,即2×=+,整理得m=3+, 因为m,t为正整数,所以t只能取2,3,5. 当t=2时,m=7;当t=3时,m=5; 当t=5时,m=4. 故存在正整数t,使得b1,b2,bm成等差数列,t的值可以为2,3,5,分别对应的m的值为7,5,4. 13.解析　(1)设该企业第x年使用该设备的维护费为ax 万元,依题意得,a1=2,ax+1=ax+2, 因此数列{ax}是以a1=2为首项,2为公差的等差数列,故该企业使用该设备x年的总维护费为(2+4+6+…+2x)万元, 则总费用为[100+0.5x+(2+4+6+…+2x)]万元, 因此y==x++1.5(x∈N+). (2)由(1)及x∈N+可得,y=x++1.5≥2+1.5=21.5,当且仅当x=,即x=10时,等号成立,即当x=10时,y取得最小值. ∴该企业污水处理设备使用10年时年平均污水处理费用最低,最低年平均污水处理费用是21.5万元. 7 学科网（北京）股份有限公司 $