1.2.3 第2课时 等差数列的前n项和的性质同步练习-2025-2026学年高二上学期数学湘教版选择性必修第一册

1.2.3　等差数列的前n项和 第2课时　等差数列的前n项和的性质 一、必备知识基础 1.已知等差数列{an}的前11项和S11=88,则a2+a10=(　　) A.16 B.17 C.18 D.19 2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=10,公差d=-,则Sn取得最大值时n的值为(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 3.等差数列{an}的前n项和为Sn,S5=12,S10=48,则S15=(　　) A.84 B.108 C.144 D.156 4.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=(　　) A.27 B.45 C.81 D.18 5.(多选题)已知等差数列{an}是递增数列,其前n项和为Sn,且满足a7=3a5,则下列结论正确的是(　　) A.d>0 B.a1<0 C.当n=5时,Sn最小 D.当Sn>0时,n的最小值为8 6. (2025河北石家庄模拟)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层.上层地面的中心有一块圆形石板(称为天心石),环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后环多9块,向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同,且上、中、下三层共有扇面形石板(不含天心石)3 402块,则中层共有扇面形石板(　　) A.1 125块 B.1 134块 C.1 143块 D.112块 7.在等差数列{an}中,a1>0,a10a11<0,若此数列的前10项和S10=36,前18项和S18=12,则数列{|an|}的前18项和T18=　　　　　.  8.(2024新高考Ⅱ,13)已知α为第一象限角,β为第三象限角,tan α+tan β=4,tan αtan β=+1,则sin(α+β)= 　　　　　. 9.设{an}为等差数列,Sn为数列{an}的前n项和,已知S7=7,S15=75,Tn为数列的前n项和,求Tn. 二、关键能力提升 10.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=S10,S6=Sk,则k的值是(　　) A.6 B.7 C.8 D.9 11.(多选题)(2025甘肃金昌高二期中)已知数列{an}的前n项和为Sn,若a1=20,an+1=an-4(n∈N+),则(　　) A.4是数列{an}中的项 B.当Sn最大时,n的值只能取5 C.数列{}是等差数列 D.当Sn≥0时,n的最大值为11 12.已知等差数列{an}共有21项,若奇数项的和为110,则偶数项的和为(　　) A.100 B.105 C.90 D.95 13.(多选题)设等差数列{an}的前n项和为Sn,公差为d,已知a3=12,S12>0,S13<0,则下列结论正确的有(　　) A.a6+a7<0 B.a7<0 C.d可以取负整数 D.对任意n∈N+,有Sn≤S6 14.(多选题)已知等差数列{an}是递减数列,且前n项和为Sn,若S7=S11,则(　　) A.a10>0 B.当n=9时,Sn最大 C.S17>0 D.S19>0 15.(2023新高考Ⅰ,7)设Sn为数列{an}的前n项和,设甲:{an}为等差数列;乙:{}为等差数列,则(　　) A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 16.设数列{an}的前n项和为Sn,如果a1=-5,an+1=an+2,n∈N+,那么S1,S2,S3,S4中最小的为　　　　　.  17.在等差数列{an}中,奇数项之和为44,偶数项之和为33,若此数列的项数为奇数,则这个数列的中间项是第　　　　　项;若此数列的项数为偶数,且公差为-,则此数列的项数为　　　　　.  18.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a3=-9,S8=-48. 求:(1)数列{an}的通项公式; (2)Sn的最小值及取得最小值时n的值. 三、学科素养创新 19.(多选题)已知数列{an}的前n项和为Sn=33n-n2,则下列说法正确的是(　　) A.an=34-2n B.S16为Sn的最小值 C.|a1|+|a2|+…+|a16|=272 D.|a1|+|a2|+…+|a30|=450 参考答案 1.A　由等差数列{an}的性质可得a1+a11=a2+a10. 由于前11项和S11=88=,因此a1+a11=16,则a2+a10=16.故选A. 2.A　∵a1=10,d=-, ∴Sn=10n+×(-)=-n2+n. ∵函数y=-x2+x的图象的对称轴为直线x=,且图象开口向下,∴当n=3时,Sn取得最大值.故选A. 3.B　由等差数列前n项和的性质可知S5,S10-S5,S15-S10成等差数列.由等差中项性质可知2(S10-S5)=S5+(S15-S10),解得S15=108,故选B. 4.B　因为数列{an}为等差数列,所以S3,S6-S3,S9-S6成等差数列,可得2(S6-S3)=S3+S9-S6,即2(36-9)=9+S9-S6,解得S9-S6=45,即a7+a8+a9=45.故选B. 5.ABD　设等差数列{an}的公差为d,因为{an}是递增数列, 所以d>0. 因为a7=3a5,所以a5+2d=3a5,所以d=a5, 所以a1=a5-4d=-3d<0,故A,B正确; 又因为a4=a5-d=d-d=0,所以S3=S4,且为Sn的最小值,故C错误; 又因为S8==4(a4+a5)=4a5=4d>0,S7==7a4=0,故D正确. 故选ABD. 6.B　解析 记从中间向外每环扇面形石板数为an,则{an}是以9为首项,9为公差的等差数列.设每层有k环,则n=3k,Sn=3 402. 由等差数列的性质可得Sk,S2k-Sk,S3k-S2k也成等差数列, 所以2(S2k-Sk)=Sk+(S3k-S2k), 所以Sn=Sk+(S2k-Sk)+(S3k-S2k)=3(S2k-Sk)=3 402,所以S2k-Sk=1 134, 所以中层共有扇面形石板1 134块.故选B. 7.60　由a1>0,a10a11<0,知d<0,且a10>0,a11<0, 所以T18=a1+a2+…+a10-a11-a12-…-a18=2S10-S18=60. 8.-　解析 (方法1)tan(α+β)==-2.又2kπ+π<α+β<2kπ+2π,k∈Z,所以α+β为第四象限角. 由sin2(α+β)+cos2(α+β)=1,得sin2(α+β)+sin2(α+β)=1,所以sin2(α+β)=. 又sin(α+β)<0,所以sin(α+β)=-. (方法2)设tan α=m,tan β=n,m>0,n>0,则sin α=,cos α=,sin β=,cos β=,∴sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β==-. 9.解设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,则Sn=na1+n(n-1)d. 因为S7=7,S15=75, 所以解得 所以Sn=,所以n-, 所以数列是等差数列,其首项为-2,公差为. 所以Tn=-2n+n2-n. 10.B　由题意可得{an}的公差d≠0. ∵等差数列的前n项和Sn=n2+(a1-)n可看作二次函数y=x2+(a1-)x当x∈N+时的函数值,且S3=S10, ∴二次函数的图象的对称轴为直线x=. 又S6=Sk,∴,解得k=7. 11.ACD　解析 由an+1=an-4,得an+1-an=-4, 所以数列{an}是首项为20,公差为-4的等差数列, 则an=20+(n-1)×(-4)=-4n+24. 令-4n+24=4,得n=5∈N+,即a5=4,故A正确; 易知Sn==-2n2+22n=-2, 所以当Sn最大时,n的值为5或6,故B错误; 由Sn=-2n2+22n,所以=-2n+22,=-2, 所以数列{}是等差数列,故C正确; 令Sn≥0,则-2n2+22n≥0,解得0≤n≤11,所以当Sn≥0时,n的最大值为11,故D正确. 故选ACD. 12.A　由得a11=10,偶数项的和为100.故选A. 13.BD　因为S12=12a1+·d>0,S13=13a1+·d<0, 所以2a1+11d>0,a1+6d<0,即a6+a7>0,a7<0, 所以a6>0,所以d<0, 所以对任意n∈N+,有Sn≤S6. 由a3=12得a1=12-2d,联立2a1+11d>0,a1+6d<0,解得-<d<-3,故d不能取负整数.故选BD. 14.BC　由S7=S11,得S11-S7=a8+a9+a10+a11=2(a9+a10)=0,则a9+a10=10. 又因为{an}是递减数列,所以a9>0,a10<0,故A错误,B正确; S17==17a9>0,故C正确; S19==19a10<0,故D错误.故选BC. 15.C　(充分性)若{an}为等差数列,设其首项为a1,公差为d,则Sn=na1+d,则=a1+d=n+a1-,故为常数,则{}为等差数列,则甲是乙的充分条件. (必要性)反之,若{}为等差数列,设=An+B,A≠0,则Sn=An2+Bn,a1=S1=A+B.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=A(2n-1)+B=2An-A+B. 当n=1时也符合上式,故an=2An-A+B,故{an}为等差数列,则甲是乙的必要条件. 综上,甲是乙的充要条件.故选C. 16.S3　∵数列{an}的前n项和为Sn,a1=-5,an+1=an+2,n∈N+, ∴数列{an}是首项为-5,公差为2的等差数列. ∴a1=-5,a2=-3,a3=-1,a4=1. ∴S1=-5,S2=-8,S3=-9,S4=-8. ∴S1,S2,S3,S4中最小的为S3. 17.4　44　若此数列的项数为奇数,设项数为2n-1,则奇数项之和S1=a1+a3+…+a2n-1==nan, 偶数项之和S2=a2+a4+a6+…+a2n-2==(n-1)an,所以,解得n=4,所以第4项是此数列的中间项. 若此数列的项数为偶数,设项数为2n,则S1-S2=nd, 所以-11=-n,所以n=22,故此数列的项数为44. 18.解 (1)设等差数列{an}的公差为d, 由a3=-9,S8=-48, 得a1+2d=-9,8a1+d=-48, 解得a1=-13,d=2, 所以an=a1+(n-1)d=2n-15. (2)由(1)知Sn=na1+d=n2-14n=(n-7)2-49,又n∈N+,所以当n=7时,Sn取最小,最小值为-49. 19.AC　数列{an}的前n项和为Sn=33n-n2. 当n=1时,a1=32, 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=33n-n2-33(n-1)+(n-1)2=-2n+34, 当n=1时,a1=32也适合上式,则an=34-2n,故A正确; Sn=33n-n2=-(n-)2+,则当n=16或17时,Sn取得最大值,故B错误; 由an=-2n+34≥0,解得n≤17,则|a1|+|a2|+…+|a16|=a1+a2+a3+…+a16==272,故C正确; |a1|+|a2|+…+|a30|=a1+…+a16-(a17+a18+…+a30)=272-=454,故D错误.故选AC. 9 学科网（北京）股份有限公司 $