1.1 数列的概念（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（湘教版）

**基本信息** 分层清晰，从概念理解到综合应用递进，注重数学抽象与逻辑推理，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础过关练|数列概念、通项公式、递推公式、单调性等单一知识点|含多选题（如概念辨析）、常规题型，注重基础运算与概念理解，题量占比约70%| |能力提升练|通项/递推公式综合应用、单调性高阶问题|结合传统文化（大衍数列）、实际情境（九连环、雪花曲线），设创新题与跨学科题（分形几何），培养数学建模与逻辑推理|

第1章　数列 1.1　数列的概念 基础过关练 题组一　对数列相关概念的理解 1.(多选题)(2024四川绵阳南山中学入学考试)下面四个结论正确的是(　　) A.数列1,2,3,4和数列1,3,4,2是相同的数列 B.数列可以看作一个定义在正整数集(或它的有限子集{1,2,3,…,n})上的函数 C.数列的图象是一系列孤立的点 D.数列的项数是无限的 2.(2025甘肃临夏州月考)下列数列中,既是无穷数列又是递增数列的是(　　) A.1,,,,… B.sin ,sin ,sin ,sin ,… C.-1,-,-,-,… D.1,2,3,4,…,30 题组二　数列的通项公式 3.(2024甘肃兰州第一中学期末)若数列{an}的前6项分别为,0,,0,,0,则下列各式:①an=;②an=[1+ (-1)n+1];③an=中可作为数列{an}的通项公式的是(　　) A.①　　　　　B.①②　　　　　C.②③　　　　　D.①②③ 4.(2024江苏南通崇川期末质量监测)在数列{an}中,若an=则a4+a5的值为　　(　　) A.17　　　　　B.23　　　　　C.25　　　　　D.41 5.(创新题·新情境)(2024陕西铜川质量检测)下图是一系列有机物的结构简图,图中的“黑点”表示原子,两点间的“短线”表示化学键,按图中结构,第n个图中化学键的个数为(　　) A.6n　　　 　　B.5n+1 C.5n-1　　　　　D.4n+2 6.已知数列1,,,,,,,,,,…,则是数列中的(　　) A.第29项　　　　　B.第30项 C.第36项　　　　　D.第37项 题组三　数列的递推公式 7.(2025福建龙岩长汀第二中学质量检查)已知数列{an}中,a1=1,对所有的n≥2,n∈N+,都有a1·a2·a3·…·an=n2,则a3+a5等于(　　) A.　　　　　B.　　　　　C.　　　　　D. 8.(创新题·新情境)九连环是我国古代至今广为流传的一种益智玩具,主要由九个圆环及框架组成,按一定规则移动圆环的次数,决定解开圆环的个数.在某种玩法中,用an表示解下n(n≤9,n∈N+)个圆环最少需要移动的次数,数列{an}满足a1=1,且an+1=则解下5个圆环最少需要移动的次数为(　　) A.7　　　 　　B.10　　　　　 C.16　　　　　D.31 9.(2024江苏南京第一中学期末)分形几何学是数学家伯努瓦·曼德尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科,它的创立为解决众多传统科学领域的难题提供了全新的思路.按照图1所示的分形规律可得到图2所示的树形图,记图2中第n行灰圈的个数为an,白圈的个数为bn,若an=55,则bn=(　　) 　　 A.34　　　　　B.35　　　　　C.88　　　　　D.89 10.数列{an}满足an+1=,a8=2,则a1=　　　　.  题组四　数列的单调性 11.(2025福建福宁古五校教学联合体期中)已知数列{an}的通项公式为an=n2-10n+10,下列说法正确的是(　　) A.数列{an}从第3项起各项的数值逐渐增大 B.当n=5时,an取得最大值 C.-14是数列{an}中的项 D.数列{an}的图象与f(x)=x2-10x+10(x∈R)的图象相同 12.(2024湖北云学名校联盟期中联考)已知函数f(x)=数列{an}满足an=f(n),n∈N+,则“{an}为递增数列”是“≤a<5”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 13.(2025广东汕头潮南摸底)已知an=(n∈N+),则在数列{an}的前40项中,最大项和最小项分别是(　　) A.a1,a30　　　　　B.a1,a9 C.a10,a9　　　　　D.a12,a11 14.已知数列{an}的通项公式为an=(n∈N+),则满足an>an+1的n的最小值为(　　) A.11　　　　　B.12　　　　　C.13　　　　　D.14 15.(2024重庆万州三中入学考试)若an=2n2+λn+3(其中λ为实数),n∈N+,且数列{an}为单调递增数列,则实数λ的取值范围为　　　　.  16.(2024浙江宁波镇海中学期末)已知Tn为正项数列{an}的前n项的积,且a1=3,=,数列{bn}满足bn=kan-n. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}为递增数列,求实数k的取值范围. 能力提升练 题组一　数列的通项公式及其应用 1.(2025甘肃庆阳期中)大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论,主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和,是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前10项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,…,则此数列的第20项与第21项的和为(　　) A.380　　　　　B.410 C.420　　　　　D.462 2.(2024山西怀仁一中期中)已知数列{an}的通项公式为an=3n+1,{bn}的通项公式为bn=n2,若将数列{an},{bn}中相同的项按从小到大的顺序排列后构成数列{cn},则484是数列{cn}中的第(　　) A.12项　　　　　B.13项　　　　　 C.14项　　　　　D.15项 3.某少数民族的刺绣有着悠久的历史,图(1)、(2)、(3)、(4)为最简单的四个图案,这些图案都由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮.现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第n个图案包含f(n)个小正方形,则f(6)=　　　　.  4.(2024吉林白城一中段考)已知数列{an}的通项公式是an=. (1)判断是不是数列{an}中的项; (2)试判断数列{an}中的各项是否都在区间(0,1)内; (3)试判断在区间内是否有数列{an}中的项.若有,是第几项?若没有,请说明理由. 题组二　数列的递推公式及其应用 5.(2025甘肃酒泉期末)在数列{an}中,a1=1,a2=2,a3n+2=an+2,a3n+1=a3n=an,则a2 021=(　　) A.7　　　　　B.8　　　　　 C.9　　　　　D.10 6.雪花曲线因其形状类似雪花而得名,它的产生与雪花类似,由一个等边三角形开始,把三角形的每一条边三等分,并以每一条边三等分后的中段为边,向外作新的等边三角形,但要去掉与原三角形叠合的边,接着对等边三角形每一个“尖出”的部分继续上述过程,即以每条边三等分后的中段为边向外作新的等边三角形[图(2)、(3)、(4)是图(1)中等边三角形经过第一次、第二次、第三次变化所得的雪花曲线].若按照上述规律,一个边长为3的等边三角形,经过四次变化得到的雪花曲线的周长是(　　) A.　　　　　B. C.　　　　　D. 7.(多选题)(2025山东青岛第五十八中学期中)若数列{an}满足a1=1,a2=1,an=an-1+an-2(n≥3,n∈N+),则称数列{an}为斐波那契数列,又称黄金分割数列,则下列结论成立的是(　　) A.a7=13 B.2an=an-2+an+2(n≥3,n∈N+) C.a1+a3+a5+…+a2 023=a2 024 D.a2+a4+a6+…+a2 024=a2 025 8.(2025甘肃嘉峪关第一中学模考)数学上有很多著名的猜想,角谷猜想就是其中之一,又称冰雹猜想,它是指一个正整数,如果是奇数就乘3再加1,如果是偶数就除以2,经过这样的若干次运算,最终回到1.对任意正整数a0,记按照上述规则实施第n次运算的结果为an(n∈N),则使a7=1的a0的所有可能取值的个数为　　(　　) A.3　　　　　B.4　　　　　C.5　　　　　D.6 9.(2025湖南株洲渌口第五中学期末)已知a1=2,an+1=-an+1(n∈N+),那么以下说法正确的有　　　　.(填序号)  ①a5=1 809; ②除了a1以外,an都是奇数; ③对于任意的正整数n,+…+<1; ④以2an-1,2an+1-2,2an+1-1为三边的长的三角形是直角三角形. 题组三　数列的单调性 10.(2025重庆名校联盟联考)记Sn为数列{an}的前n项和,则“对任意正整数n,均有an>0”是“{Sn}是递增数列”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 11.(多选题)(2024江西吉安期末)已知首项为1的正项数列{an}满足4-1=4an+1an,则(　　) A.{an}为递增数列 B.> C.-< D.数列{an+1-an}为递减数列 12.已知数列{an}满足an=1+(n∈N+,a∈R且a≠0). (1)若a=-7,求数列{an}中的最大项和最小项的值; (2)若对任意的n∈N+,都有an≤a6成立,求实数a的取值范围. 答案与分层梯度式解析 第1章　数列 1.1　数列的概念 基础过关练 1.BC 2.C　 3.D　对于①,n分别取1,2,3,4,5,6,数列{an}的前6项分别为,0,,0,,0,故①正确; 对于②,n分别取1,2,3,4,5,6,数列{an}的前6项分别为,0,,0,,0,故②正确; 对于③,n分别取1,2,3,4,5,6,数列{an}的前6项分别为,0,,0,,0,故③正确. 4.A　依题意,得a4+a5=23+(2×5-1)=17. 5.B　题图中化学键的个数依次为6,11,16,…,后一个图中化学键的个数总比前一个图中化学键的个数多5,所以第n个图中有(5n+1)个化学键. 6.A　数列中分母与分子之和为2的有一个,为3的有两个,为4的有三个,……,故出现在分母与分子之和为9的那组,即第八组,且为该组的第一个数.前七组共有1+2+3+…+7=28个数,故是第29个数,即为数列中的第29项. 7.C　当n=2时,a1a2=22;当n=3时,a1a2a3=32;当n=4时,a1a2a3a4=42;当n=5时,a1a2a3a4a5=52.易得a3===,a5===,所以a3+a5=. 8.C　由题意知a5=2a4+2=2(2a3-1)+2=4(2a2+2)=8(2a1-1)+8=16a1=16. 9.A　由题图1可知,每个白圈在下一行分形成一个白圈和一个灰圈,每个灰圈在下一行分形成一个白圈和两个灰圈,所以当n≥3时,an=2an-1+bn-1,bn=an-1+bn-1, 由题图2知a3=3,b3=2,则a4=8,b4=5,a5=21,b5=13,a6=55,b6=34,所以当an=55时,bn=34. 10.答案　 解析　由已知得n≥3时,an+1===1-=1-=an-2,所以a8=a5=a2=2,所以a2==2,解得a1=. 11.C　对于A,由题意得an=(n-5)2-15,结合二次函数的性质可知,数列{an}从第5项起各项的数值逐渐增大,故A错误; 对于B,由an=(n-5)2-15可知,n=5时,an取得最小值,为-15,无最大值,故B错误; 对于C,令an=-14,则(n-5)2-15=-14,解得n=6或n=4,所以-14是数列{an}中的项,故C正确; 对于D,数列{an}的图象是函数f(x)=x2-10x+10(x∈R)的图象中横坐标为正整数的一群孤立的点, 所以数列{an}的图象与f(x)=x2-10x+10(x∈R)的图象不相同,故D错误. 12.B　若{an}为递增数列,则解得2<a<5,若≤a<5,则满足所以{an}为递增数列,所以“{an}为递增数列”是“≤a<5”的必要不充分条件. 13.D　an==1+,当n≤11时,数列{an}递减,且0<an<1;当n≥12时,数列{an}递减,且an>1.故最大项和最小项分别是a12和a11. 14.A　解法一:∵an=,∴an+1=, ∴an+1-an=- =. 当an+1-an<0时,-n2-n+130<0,n∈N+,解得n>或n<(舍去),n∈N+. ∵22<<23,∴10.5<<11, ∴n≥11,∴n的最小值为11. 解法二:设f(x)=(x>0),则f(x)=, x+≥2,当且仅当x=时等号成立,则当x=时,x+取得最小值,此时f(x)取得最大值,又∵11<<12,a11=>a12=,∴数列{an}中的最大项是第11项,∴an>an+1时,n的最小值为11. 15.答案　(-6,+∞) 解析　若数列{an}为单调递增数列,则an+1>an,即2(n+1)2+λ(n+1)+3>2n2+λn+3,整理得λ>-(4n+2),∵n≥1,∴-(4n+2)≤-6,故λ>-6,即λ的取值范围为(-6,+∞). 16.解析　(1)由Tn为正项数列{an}的前n项的积,得=an+1,由=,得=, 所以==,即=,两边同时取常用对数得lg =lg ,即nlg an+1=(n+1)lg an, 整理得=, 因此数列是常数列,即==lg 3, 所以lg an=nlg 3=lg 3n,所以an=3n. (2)由(1)知,bn=k·3n-n, 由数列{bn}为递增数列,得∀n∈N+,bn+1>bn, 所以∀n∈N+,k·3n+1-(n+1)-k·3n+n>0, 即∀n∈N+,2k·3n-1>0,解得k>,n∈N+,而数列是递减数列,且≤,当且仅当n=1时取等号,所以k>,即实数k的取值范围是. 能力提升练 1.C　由已知可得该数列的偶数项的通项公式为a2n=2n2,∴a20=a2×10=2×102=200,奇数项的通项公式为a2n-1=2n(n-1),∴a21=a2×11-1=2×11×10=220,∴a20+a21=200+220=420. 2.C　令an=bm,即3n+1=m2,m,n∈N+.易知a1=4,b2=4符合题意. 当m>2时,设k∈N+.若m=3k,则bm=9k2∉{an}; 若m=3k+1,则bm=(3k+1)2=9k2+6k+1=3(3k2+2k)+1∈{an}; 若m=3k+2,则bm=(3k+2)2=9k2+12k+4=3(3k2+4k+1)+1∈{an}. 故当m=3k+1或m=3k+2,k∈N+时,项bm才能在{an}中出现,即为公共项. 所以公共项为b2,b4,b5,b7,b8,b10,b11,b13,b14,b16,b17,b19,b20,b22,…, 令m2=484,得m=22(负值舍去),即b22=484,为数列{bn}的第22项,{cn}的第14项. 3.答案　61 信息提取　①每个图案都为对称图形;②f(1)=1, f(2)=1+3+1, f(3)=1+3+5+3+1, f(4)=1+3+5+7+5+3+1. 数学建模　本题以小正方形的个数变化为背景构建“数列模型”.前四个图案中小正方形的个数分别是1,5,13,25,排成一列形成一个数列,从而把实际问题抽象成数列问题,再探索规律,总结出f(n). 解析　由题图得, f(1)=1, f(2)=1+3+1=2×1+3=2×(2-1)2+3, f(3)=1+3+5+3+1=2×(1+3)+5=2×(3-1)2+5, f(4)=1+3+5+7+5+3+1=2×(1+3+5)+7=2×(4-1)2+7, 故f(n)=2(n-1)2+2n-1=2n(n-1)+1. 当n=6时, f(6)=2×6×5+1=61. 4.解析　(1)由题可得an===,令=,解得n=. 因为不是正整数,所以不是数列{an}中的项. (2)由(1)可得an===1-, 因为n∈N+,所以0<<1,所以0<an<1. 所以数列{an}中的各项都在区间(0,1)内. (3)在区间内有数列{an}中的项. 令<an<,得<<, 即解得<n<, 又因为n∈N+,所以n=2. 故区间内有且仅有一个数列{an}中的项,是第2项. 5. D　∵a3n+2=an+2,a3n+1=a3n=an,∴a2 021=a3×673+2=a673+2=a3×224+1+2=a224+2=a3×74+2+2=a74+4=a3×24+2+4=a24+6= a8+6=a2+8,∵a2=2,∴a2 021=a2+8=10. 6.C　设从第一个雪花曲线开始,每一个雪花曲线的边长分别为a1,a2,a3,a4,a5,边数分别为b1,b2,b3,b4,b5,周长为Sn(n=1,2,3,4,5), 由题图可得,a2=a1=1,a3=a2=,a4=a3=,∴a5=a4=;b1=3,b2=3×4,b3=3×4×4,b4=3×4×4×4,∴b5=3×4×4×4×4=768.∴S5=a5·b5=×768=,即经过四次变化得到的雪花曲线的周长是. 7.AC　对于A,由题可得a3=2,a4=3,a5=5,a6=8,a7=13,故A正确; 对于B,易得an+2=an+1+an=an+an-1+an=2an+an-1,且an=an-1+an-2,n≥3,n∈N+, 所以an+2+an-1+an-2=3an+an-1,即3an=an+2+an-2,n≥3,n∈N+,故B错误; 对于C,a2 024=a2 023+a2 022=a2 023+a2 021+a2 020=…=a2 023+a2 021+…+a3+a2=a2 023+a2 021+…+a3+a1,故C正确; 对于D,a2 025=a2 024+a2 023=a2 024+a2 022+a2 021=a2 024+a2 022+…+a4+a3=a2 024+a2 022+…+a4+a2+a1,故D错误. 8.D　由题意知,∀n∈N+,an= 由a7=1,得a6=2,∴a5=4,∴a4=1或a4=8. ①当a4=1时,a3=2,∴a2=4,∴a1=1或a1=8,∴a0=2或a0=16. ②当a4=8时,a3=16,∴a2=5或a2=32.当a2=5时,a1=10,此时a0=3或a0=20;当a2=32时,a1=64,此时a0=21或a0=128. 综上,满足条件的a0的值共有6个. 9.答案　②③④ 解析　对于①,由题可得a2=3,a3=7,a4=43,a5=1 807,所以①错误; 对于②,易得an+1=an(an-1)+1,且an都是整数,从而an(an-1)必然是偶数,从而an(an-1)+1必然是奇数,所以②正确; 对于③,因为an+1=-an+1,所以an+1-1=(an-1)2+(an-1),上式两边同除以an-1,得=an, 所以=a1,=a2,……,=an-1(n≥2), 所以··…·=a1a2…an-1(n≥2), 即=a1a2…an-1(n≥2), 又a1=2,所以an-1=a1a2…an-1(n≥2), 所以===-=-(n≥2), 所以++…+=++…+=-=1-<1,所以③正确; 对于④,(2an-1)2=4-4an+1=4an+1-3=(2an+1-1)2-(2an+1-2)2,即(2an-1)2+(2an+1-2)2=(2an+1-1)2,所以④正确. 10.A　若对任意正整数n,均有an>0,则当n≥2,n∈N+时,Sn-Sn-1=an>0,即Sn>Sn-1,所以数列{Sn}是递增数列, 所以“对任意正整数n,均有an>0”是“{Sn}为递增数列”的充分条件; 取数列{an}为-1,1,2,3,4,…,则S1=-1,S2=0,S3=2,S4=5,……,显然数列{Sn}是递增数列,但是an不一定大于零, 所以“对任意正整数n,均有an>0”不是“{Sn}为递增数列”的必要条件. 因此“对任意正整数n,均有an>0”是“{Sn}为递增数列”的充分不必要条件. 11.ACD　对于A,由4-1=4an+1an,an>0,a1=1,可得an+1-an=an+1-=>0,即an+1>an,所以数列{an}为递增数列,故A正确; 对于B,由A知数列{an}为递增数列,则a8>a7>a1=1,所以<,故B错误; 对于C,由A知数列{an}为递增数列,an+1-an=,且an>0,所以<1,所以-=an+1an+-=+an(an+1-an)=+<+=,故C正确; 对于D,令bn=an+1-an,结合A中分析可得bn+1-bn=-=<0,则数列{an+1-an}为递减数列,故D正确. 12.解析　(1)解法一:∵a=-7,∴an=1+. 结合函数y=1+的单调性,可知1>a1>a2>a3>a4,a5>a6>a7>…>an>1(n∈N+), ∴数列{an}中的最大项为a5=2,最小项为a4=0. 解法二:∵a=-7,∴an=1+. 设数列中的最大项为an, 则(n≥2且n∈N+), 即解得<n<. 又∵n≥2且n∈N+,∴n=5,即数列{an}中的最大项为a5=2. 同理可得,数列{an}中的最小项为a4=0. (2)由题得an=1+=1+. ∵对任意的n∈N+,都有an≤a6成立, ∴结合函数y=1+的单调性,可知5<<6, ∴-10<a<-8,故实数a的取值范围为(-10,-8). 7 学科网（北京）股份有限公司 $