1.2.1 等差数列及其通项公式 1.2.2 等差数列与一次函数（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（湘教版）

**基本信息** 以“基础过关+能力提升”分层，聚焦等差数列概念、公式、性质及综合应用，通过梯度题组实现从概念辨析到跨情境应用的知识巩固，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础过关练|等差数列概念、通项公式、等差中项、性质|以选择、填空为主，如第1题辨析公差，第5题证明等差数列，强化概念理解与基础运算| |能力提升练|通项公式应用、性质综合、跨学科情境|含多选题（如第3题）、实际问题（如第8题中国剩余定理），第15题结合函数与数列，提升推理与建模能力|

1.2　等差数列 1.2.1 等差数列及其通项公式　1.2.2 等差数列与一次函数 基础过关练 题组一　等差数列的概念 1.(2024陕西西北农林科大附中期中)若数列{an}满足3an+1=3an+1,则数列{an}(　　) A.是公差为1的等差数列 B.是公差为的等差数列 C.是公差为-的等差数列 D.不是等差数列 2.(2025四川成都树德中学开学考试)“数列{an},{bn}都是等差数列”是“数列{an+bn}是等差数列”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.(多选题)(2025甘肃天水一中期中)若数列{an}为等差数列,则下列说法中正确的有(　　) A.数列2a1,2a2,2a3,…,2an为等差数列 B.数列a2,a4,a6,…,a2n为等差数列 C.数列{anan+1}为等差数列 D.数列{an+an+1}为等差数列 4.已知数列{an}是等差数列,且an=an2+n,则实数a=　　　　.  5.已知数列{an}中,点(an,an+1)(n∈N+)在直线x-y+1=0上,且a2=2.求证:数列{an}是等差数列. 题组二　等差数列的通项公式 6.(2024安徽六安一中期末)已知数列是首项为3,公差为1的等差数列,则a2 024=(　　) A.　　　　　B.　　　　　C.　　　　　D. 7.(2025江苏徐州一中期中)在数列{an}中,若=+,a1=8,则数列{an}的通项公式为(　　) A.an=2(n+1)2　　　　　B.an=4(n+1) C.an=8n2　　　　　D.an=4n(n+1) 8.(2024甘肃兰州第六十一中学期末)“中国剩余定理”又称“孙子定理”,它讲的是一个关于整除的问题.现有这样一个整除问题:将1到2 019这2 019个数中,能被3除余2且被5除余2的数按从小到大的顺序排成一列,构成数列{an},则此数列的所有项中,中间项的值为(　　) A.992　　　　　B.1 022　　　　　C.1 007　　　　　D.1 037 9.(2024北师大二附中期中)《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著,被誉为人类科学史上应用数学的最早巅峰.全书分为九章,卷第六《均输》中有一问题:“今有竹九节,下三节容量四升,上四节容量三升,问中间二节欲均容,各多少?”其意思为:“今有竹九节,下三节容量和为4升,上四节容量和为3升,使中间两节也均匀变化,每节容量是多少?”这一问题中从下部算起第五节的容量是　　　升.(结果用分数表示)  10.(2024河南平顶山第一高级中学阶段测试)(1)已知数列{log2(an-1)}(n∈N+)为等差数列,且a1=3,a3=9,求数列{an}的通项公式; (2)已知数列{an}满足a1=4,an+1=4-,记bn=,求证:数列{bn}是等差数列,并求出数列{an}的通项公式. 题组三　等差中项 11.(2025甘肃酒泉四地期中联考)在等差数列{an}中,a6+a7+a8=21,则a5+a9的值为(　　) A.7　　　　　B.14　　　　　C.21　　　　　D.28 12.已知m和2n的等差中项是4,2m和n的等差中项是5,则m和n的等差中项是(　　) A.2　　　　　B.3　　　　　C.6　　　　　D.9 13.(多选题)(2024甘肃临夏中学月考)下列命题中,正确的是(　　) A.若a,b,c成等差数列,则2a,2b,2c成等差数列 B.若a,b,c成等差数列,则log2a,log2b,log2c成等差数列 C.若a,b,c成等差数列,则a+2,b+2,c+2成等差数列 D.若a,b,c成等差数列,则2a,2b,2c成等差数列 题组四　等差数列的性质 14.(2025甘肃天水期中)在等差数列{an}中,a1+3a7+a13=120,则3a9-a13=(　　) A.6　　　　　B.12　　　　　C.24　　　　　D.48 15.(2025江苏泰州多校期中联考)在1和15之间插入m个数,使得这m+2个数成等差数列.若这m个数中第1个为a,第m个为b,则+的最小值是(　　) A.　　　　　B.2　　　　　C.　　　　　D.3 16.(多选题)(2024黑龙江百师联盟联考)若数列{an}是等差数列,公差d>0,则下列说法正确的是(　　) A.若bn=-an,则数列{bn}是递减数列 B.若bn=,则数列{bn}是递增数列 C.若bn=an+an+1,则数列{bn}是公差为d的等差数列 D.若bn=an+n,则数列{bn}是公差为d+1的等差数列 17.已知数列{an}是等差数列,若a4+a7+a10=17,a4+a5+a6+…+a12+a13+a14=77,且ak=13,求k的值. 18.(2024黑龙江牡丹江第二高级中学月考)已知在递增的等差数列{an}中,a3a7=55,a4+a6=16. (1)求a3和a7; (2)求{an}的通项公式. 能力提升练 题组一　等差数列的通项公式及其应用 1.(2024重庆第八中学校期中)已知等差数列{an}的首项为a,公差为1,bn=,若对任意的正整数n都有bn≥b5,则实数a的取值范围是　　(　　) A.(-∞,-4)∪(-3,+∞)　　　　　 B.(-4,-3)　　　　　 C.(-∞,-5)∪(-4,+∞)　　　　　 D.(-5,-4) 2.()已知数列{an},{bn}均为等差数列,若a1b1=3,a2b2=7,a3b3=13,则a4b4=(　　) A.19　　　　　B.21　　　　　C.23　　　　　D.27 3.(多选题)()已知数列{an}满足a1=10,a2=5,an-an+2=2(n∈N+),则下列说法正确的有(　　) A.数列{an}是等差数列 B.a2k=7-2k(k∈N+) C.a2k-1=12-2k(k∈N+) D.an+an+1=18-3n 4.(2024湖北武汉外国语学校期末)已知数列{an}中,a1=4,an+1=bn=a2n,则b2 024=　　　　　　.  5.(2024安徽芜湖期末教学质量监控)已知数列{an},{bn}是公差相等的等差数列,且an+bn=2n+5,bn为正整数,设cn=(n∈N+),则数列{cn}的通项公式为cn=　　　　　.  6.(2024浙江宁波镇海中学期中)在数列{an}中,若-=d(n∈N+,d为常数),则称数列{an}为“等比差数列”.已知{an}为“等比差数列”,且a1=a2=1,a3=3,则a5=　　　　,=　　　　.  7.(2025甘肃武威期中)已知数列{an}满足a1=,且当n>1,n∈N+时,有=.设bn=,n∈N+. (1)求证:数列{bn}为等差数列; (2)a1a2是不是数列{an}中的项?如果是,是第几项?如果不是,请说明理由. 题组二　等差数列的性质及其应用 8.(多选题)(2024湖南邵阳二中期中)已知各项均为正数的等差数列{an}单调递增,且a5=2,则(　　) A.公差d的取值范围是 B.2a7=a9+2 C.a8+a4>a6+a5 D.a1+a9=4 9.(2025山东青岛部分学校综合调研)数列{an}满足a1=1,an+1=(n∈N+),实数k为常数. ①数列{an}有可能是常数列; ②k=1时,数列为等差数列; ③若a3>a1,则k的取值范围是(-2,0); ④k>0时,数列{an}单调递减. 则以上说法正确的序号是　　　　.  10.(2024四川绵阳中学月考)已知函数f(x)=x3+3x2+5x+1,设数列{an}的通项公式为an=-2n+7,则f(a1)+f(a2)+…+f(a9)=　　　　.  题组三　等差数列的综合应用 11.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若,,依次成等差数列,则下列结论中一定成立的是(　　) A.a,b,c依次成等差数列 B.,,依次成等差数列 C.a2,b2,c2依次成等差数列 D.a3,b3,c3依次成等差数列 12.(2024四川宜宾质检)已知数列{an}的首项a1=21,且满足(2n-5)an+1=(2n-3)an+4n2-16n+15,则数列{an}中最小的一项是第　　　　项.  13.(2025上海师范大学附属外国语中学期中)将平面内一四边形ABCD的四个内角A,B,C,D由小到大依次排列,恰好构成公差不为零的等差数列,若λ=sin A+sin B+sin C+sin D,则λ的取值范围是　　　　.  14.(2025甘肃兰州西北师范大学附属中学诊断考试)已知等差数列{an}的首项和公差分别为a1=2,d=8,若在{an}中的每相邻两项间都插入3项,使其与原数列的项构成新的等差数列{bn}. (1)若插入的第一组的3项之和记为c1,第二组的3项之和记为c2,……,判断{cn}是不是等差数列,若是,求出通项公式,若不是,请说明理由; (2)在(1)的条件下,用an与cn表示bn. 15.()在数列{an}中,a1=1,3anan-1+an-an-1=0(n≥2,n∈N+). (1)证明:数列是等差数列; (2)求数列{an}的通项公式; (3)若λan+≥λ对任意的n≥2,n∈N+恒成立,求实数λ的取值范围. 答案与分层梯度式解析 第1章　数列 1.2　等差数列 1.2.1　等差数列及其通项公式 1.2.2　等差数列与一次函数 基础过关练 1.B　由3an+1=3an+1,得3an+1-3an=1,即an+1-an=,为常数,所以数列{an}是公差为的等差数列. 2.A　若数列{an},{bn}都是等差数列,则设数列{an},{bn}的公差分别为d1,d2, 所以an+1+bn+1-(an+bn)=(an+1-an)+(bn+1-bn)=d1+d2,为常数,所以数列{an+bn}是等差数列; 若数列{an+bn}是等差数列,不妨令an=2n,bn=n-2n,则an+bn=2n+(n-2n)=n,an+1+bn+1-(an+bn)=1,为常数,即{an+bn}是等差数列,而此时{an}和{bn}均不是等差数列. 所以“数列{an},{bn}都是等差数列”是“数列{an+bn}是等差数列”的充分不必要条件. 3.ABD　设等差数列{an}的公差为d. A中,2an+1-2an=2(an+1-an)=2d(常数),A中说法正确. B中,a2(n+1)-a2n=a1+(2n+1)d-[a1+(2n-1)d]=2d(常数),B中说法正确. C中,n≥2时,anan+1-an-1an=an(an+1-an-1)=2and, 当d=0时,2and=0(常数),此时数列{anan+1}为等差数列;当d≠0时,2and=2a1d+2(n-1)d2(不是常数),此时数列{anan+1}不是等差数列,C中说法不正确. D中,n≥2时,an+an+1-(an-1+an)=an+1-an-1=2d(常数),D中说法正确. 4.答案　0 解析　∵{an}是等差数列,∴an+1-an为常数,又an+1-an=[a(n+1)2+(n+1)]-(an2+n)=2an+a+1,∴2an+a+1为常数, ∴2a=0,∴a=0. 5.证明　∵点(an,an+1)(n∈N+)在直线x-y+1=0上, ∴an-an+1+1=0,即an+1-an=1(n∈N+), 又∵a2=2,∴a1=1. ∴数列{an}是公差、首项均为1的等差数列. 6.B　由题得=3+(n-1)×1=n+2,所以an=, 故a2 024==. 7.A　由题意得-=,=2,故数列{}是首项为2,公差为的等差数列,所以=2+(n-1)=n+,故an=2(n+1)2. 8.C　由题意可知an-2既是3的倍数,又是5的倍数,所以an-2是15的倍数,即an-2=15(n-1),n∈N+,故an=15n-13,易求得a135=15×135-13= 2 012<2 019,a136=15×136-13=2 027>2 019, 故n=1,2,3,…,135,所以数列{an}共有135项,中间项为第68项,且a68=15×68-13=1 007. 9.答案　 解析　记从下部算起第n节的容量为an升,则数列{an}为等差数列,设其公差为d, 则解得∴a5=a1+4d=,即从下部算起第五节的容量是升. 10.解析　(1)令cn=log2(an-1),则c1=log2(a1-1)=1,c3=log2(a3-1)=3, 故等差数列{log2(an-1)}的公差为=1,所以cn=n,即log2(an-1)=n,故an=2n+1. (2)由an+1=4-得bn+1-bn=-=-=, 又b1==,所以数列{bn}是首项为,公差为的等差数列,所以bn=+(n-1)=,即=,所以an=2+. 11.B　因为在等差数列{an}中,a6+a7+a8=21, 所以3a7=21,所以a7=7, 所以a5+a9=2a7=14. 12.B　由已知得解得 所以m和n的等差中项为=3. 13.AC　∵a,b,c成等差数列,∴2b=a+c,∴2×(2b)=2a+2c,∴2a,2b,2c成等差数列,故A正确;取a=1,b=2,c=3,得log2a,log2b,log2c分别为0,1,log23,不成等差数列,故B错误;∵a,b,c成等差数列,∴2b=a+c,∴2(b+2)=(a+2)+(c+2),∴a+2,b+2,c+2成等差数列,故C正确;取a=1,b=2,c=3,得21=2,22=4,23=8,不成等差数列,故D错误. 14.D　由题意得a1+3a7+a13=5a7=120,所以a7=24,所以3a9-a13=a9+2a9-a13=a9+a5=2a7=2×24=48. 15.C　由等差数列的性质可得a+b=1+15=16, 则+=(a+b) =≥=×(26+2)=, 当且仅当=,即a=,b=时取等号, 所以+的最小值为. 16.AD　由题知an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d). A中,由bn=-an=-dn+(d-a1),d>0知数列{bn}是递减数列,故A正确; B中,bn==,若d>0>a1,如d=1,a1=-2,则{bn}不单调,故B错误; C中,bn=an+an+1=2dn+(2a1-d),则bn+1=2d(n+1)+(2a1-d),bn+1-bn=2d,则数列{bn}是公差为2d的等差数列,故C错误; D中,bn=an+n=(d+1)n+(a1-d),则bn+1=(d+1)(n+1)+(a1-d),bn+1-bn=d+1,则数列{bn}是公差为d+1的等差数列,故D正确. 17.解析　设数列{an}的公差为d,∵a4+a7+a10=3a7=17,∴a7=.∵a4+a5+a6+…+a12+a13+a14=11a9=77,∴a9=7,∴d==.∴ak-a9=(k-9)d,即13-7=(k-9)×,解得k=18. 18.解析　(1)由已知得 解得或 又{an}为递增数列,所以a3=5,a7=11. (2)设数列{an}的公差为d(d>0), 由(1)知d===,所以数列{an}的通项公式为an=5+(n-3)×=n+. 能力提升练 1.D　依题意得an=a+(n-1)×1=n+a-1, ∴bn==1+. 解法一:设函数y=+1,画出图象,如图. 结合题意知,1-a∈(5,6), ∴5<1-a<6,解得-5<a<-4, ∴实数a的取值范围是(-5,-4). 解法二:若对任意的正整数n都有bn≥b5, 则有(bn)min=b5=1+, 结合数列{bn}的单调性可知, 即解得-5<a<-4, ∴实数a的取值范围是(-5,-4). 2.B　设等差数列{an},{bn}的通项公式分别为an=an+b,bn=cn+d,则anbn=(an+b)(cn+d)=acn2+(ad+bc)n+bd,令cn=anbn=acn2+(ad+bc)n+bd,则cn+1-cn=ac(n+1)2+(ad+bc)(n+1)+bd-acn2-(ad+bc)n-bd=2acn+(ac+ad+bc),易知数列{cn+1-cn}为等差数列,设为{dn}.又∵c1=a1b1=3,c2=a2b2=7,c3=a3b3=13,∴d1=c2-c1=4,d2=c3-c2=6,可得数列{dn}的公差为2,d3=c4-c3=a4b4-a3b3=d2+2=8,∴a4b4=a3b3+8=13+8=21. 3.BC　由an-an+2=2得a3=a1-2=8,由于2a2≠a1+a3,所以{an}不是等差数列,故A不正确;由an-an+2=2,知{an}的偶数项、奇数项分别构成等差数列,公差都为-2,当n=2k(k∈N+)时,a2k=a2+(k-1)×(-2)=7-2k,当n=2k-1(k∈N+)时,a2k-1=a1+(k-1)×(-2)=12-2k,故B,C正确;当n=2时,a2+a3=5+8=13,不满足an+an+1=18-3n,故D错误. 4.答案　8 097 解析　由题可得b1=a2=a1+1=5, 又a2k+2=a2k+1+1,a2k+1=a2k+3,k∈N+, 所以a2k+2=a2k+4,k∈N+, 所以bk+1=bk+4,即bn+1-bn=4, 所以{bn}是公差为4,首项为5的等差数列, 所以b2 024=5+(2 024-1)×4=8 097. 5.答案　n+5 解析　设数列{an},{bn}的公差为d, 由an+bn=a1+b1+2(n-1)d=a1+b1-2d+2nd=2n+5, 可得解得 则an=a1+n-1,bn=b1+n-1, 所以cn===a1+(b1+n-1)-1=7-2+n=5+n. 6.答案　105;3 363 解析　由题意得-=-=2,则-=2, 则数列是首项为=1,公差为2的等差数列, 所以=1+2(n-1)=2n-1(n∈N+), 所以=2n+1,则=·=(2n+1)(2n-1)=4n2-1(n∈N+), 所以=4×32-1=35,则a5=35a3=35×3=105, 易得=4×292-1=3 363. 7.解析　(1)证明:当n>1,n∈N+时, =⇔=⇔-2=2+⇔-=4⇔bn-bn-1=4, 又∵b1==5, ∴{bn}是首项为5,公差为4的等差数列. (2)a1a2是数列{an}中的项. 由(1)知bn=5+4(n-1)=4n+1, ∴an==,n∈N+,∴a2=, 又∵a1=,∴a1a2=. 令an==,解得n=11,即a1a2=a11, ∴a1a2是数列{an}中的项,是第11项. 8.BCD　由题意得d>0,a1>0,a5=2, 所以a1=2-4d>0,解得d<,所以d∈,故A错误; 易得2a7-a9=(a5+a9)-a9=a5=2,故B正确; a8+a4-(a6+a5)=a8-a6-(a5-a4)=2d-d=d>0,故a8+a4>a6+a5,故C正确; 由等差数列的性质,得a1+a9=2a5=4,故D正确. 9.答案　①②④ 解析　当k=0时,数列{an}是常数列,故①正确;当k=1时,整理原式得-=1,所以数列为等差数列,故②正确;若a3>a1,则a3===>1,解得-1<k<0,故③错误;令n=1,得a2==,令n=2,得a3=,令n=3,得a4==,……,归纳可得an=, 由k>0得>>0,故an+1<an,故④正确. 10.答案　36 解析　f(x)=x3+3x2+5x+1=(x+3)3-4(x+3)+4,令y=x3-4x,其定义域为R,关于原点对称, 又(-x)3-4(-x)=-,所以y=x3-4x是奇函数,其图象的对称中心为点(0,0), 所以曲线f(x)的对称中心为点(-3,4), 即f(x)+f(-6-x)=8, 因为an=-2n+7,所以数列{an}为等差数列,a5=-3, 所以a1+a9=a2+a8=a3+a7=a4+a6=2a5=-6, 则f(a1)+f(a9)=f(a2)+f(a8)=f(a3)+f(a7)=f(a4)+f(a6)=8,f(a5)=f(-3)=4, 所以f(a1)+f(a2)+…+f(a9)=4×8+4=36. 11.C　由已知得=+, 所以=+, 利用正弦定理及余弦定理得2·=+,整理得2b2=a2+c2, 即a2,b2,c2依次成等差数列.此时对等差数列a2,b2,c2的每一项取相同的运算得到数列a,b,c或,,或a3,b3,c3,这些数列一般都不可能是等差数列,除非a=b=c,但题目中没有说△ABC是等边三角形. 12.答案　5 解析　由已知得=+1,=-7,所以数列是以-7为首项,1为公差的等差数列,所以=-7+(n-1)×1=n-8,则an=(2n-5)(n-8), 令f(n)=(2n-5)(n-8)=2n2-21n+40,n∈R,则函数f(n)的图象开口向上,且对称轴为直线n=-=5.25,所以数列{an}中最小的一项是第5项. 13.答案　<λ<4 解析　依题意,设A,B,C,D所构成的等差数列的公差为2d(d>0),且A=α-3d,B=α-d,C=α+d,D=α+3d, 由题意知A+B+C+D=2π,故α=, 则A=-3d,B=-d,C=+d,D=+3d,由0<-3d<,得0<d<, 因此λ=cos 3d+cos d+cos d+cos 3d=2(cos d+cos 3d),0<d<, 易知函数y=cos x,y=cos 3x在上都单调递减,则y=2(cos x+ cos 3x)在上单调递减, 所以当d=0时,λ取最大值,为2(cos d+cos 3d)=4, 当d=时,λ取最小值,为2(cos d+cos 3d)=, 所以<λ<4,所以λ的取值范围是<λ<4. 14.解析　(1)数列{cn}是等差数列. 由题意可知,an=2+8(n-1)=8n-6, 设an,an+1间插入的三项依次为t1,t2,t3, 因为an,t1,t2,t3,an+1为等差数列,所以t2===8n-2, 所以cn=t1+t2+t3=3t2=24n-6, 因为cn+1-cn=(24n+18)-(24n-6)=24,且c1=18, 所以数列{cn}是以18为首项,24为公差的等差数列,且cn=24n-6. (2)由题意可知,数列{bn}是首项为a1=2,公差为=2的等差数列,所以bn=2+2(n-1)=2n, 由(1)知an=8n-6,cn=24n-6,所以bn=(cn-an). 15.解析　(1)证明:由3anan-1+an-an-1=0(n≥2,n∈N+),得-=3(n≥2,n∈N+). 因为=1,所以数列是以1为首项,3为公差的等差数列. (2)由(1)可得=1+3(n-1)=3n-2, 所以an=(n∈N+). (3)因为λan+≥λ对任意的n≥2,n∈N+恒成立,即+3n-2≥λ对任意的n≥2,n∈N+恒成立,所以只需λ≤对任意的n≥2,n∈N+恒成立即可. 令f(n)=(n≥2,n∈N+), 则只需满足λ≤f(n)min即可. 因为f(n+1)-f(n)=-= =3-, 所以当n≥2时, f(n+1)-f(n)>0, 即f(2)<f(3)<f(4)<…, 所以f(n)min=f(2). 又因为f(2)=,所以λ≤, 所以实数λ的取值范围为. 7 学科网（北京）股份有限公司 $